Derivativos - MFEE Monitoria do dia 30/11/2009
Monitor: Rafael Ferreira
Quest˜ao 1 Suponha que a lei de movimento de uma a¸c˜ao siga o movimento geom´etrico browniano:
dSt= µStdt + σStdwt
Vocˆe ir´a apre¸car um call europeia, que paga: f (ST, T ) =
ST− K, se ST > K
0, c.c. Para tanto, siga os seguintes passos:
a) Derive o processo estoc´astico para a fun¸c˜ao f (St, T ). Vocˆe ter´a que usar
o lema de Itˆo.
b) Construa um portf´olio livre de risco (vocˆe ter´a que eliminar a parte do movimento browniano).
c) Derive como esse portf´olio ir´a evoluir ao longo do tempo.
d) Use um argumento de n˜ao-arbitragem para dizer o quanto esse portf´olio deve render.
e) Construa a equa¸c˜ao diferencial parcial do derivativo.
f ) Na lei de movimento da a¸c˜ao, troque µ por r (taxa livre de risco). Agora, vocˆe est´a no mundo neutro ao risco. Calcule ST, i.e., a solu¸c˜ao da seguinte
equa¸c˜ao diferencial estoc´astica:
dSt= rStdt + σStdWt∗
g) Seja f (ST, T ) como explicitado acima. Calcule o pre¸co da call, i.e., calcule
e−r(T −t)E∗[f (ST, T )], a esperan¸ca num mundo neutro ao risco. Dˆe a sua
resposta em termos de uma normal padr˜ao:
Φ(d1) = Pr(X ≤ d1) = Z d1 −∞ 1 √ 2πexp −1 2x 2
Ser´a ´util usar:
d1= ln St− ln K + (r + σ2/2)(T − t) σ√T − t d2= d1− σ √ T − t
Seja S o pre¸co da a¸c˜ao, que segue um movimento browniano geom´etrico
dS = µSst + σSdw (1)
Resolvendo essa equa¸c˜ao para ST, temos que:
ln ST = ln St+ µ −σ 2 2 (T − t) + σ(WT − Wt) (2)
De onde segue que: ST = Stexp µ −σ 2 2 (T − t) + σ(WT− Wt) (3) Esse resultado nos ser´a ´util mais a frente. Seja f o pre¸co do derivativo. Pelo lema de Itˆo, segue que:
df = ∂f ∂SµSdt + ∂f ∂t + 1 2 ∂2f ∂S2S 2σ2 dt + ∂f ∂SSσdw (4)
Seja Π o valor do portf´olio formado pela venda de uma unidade do derivativo, e pela compra de ∂f
∂S unidades da a¸c˜ao. Logo, segue que: Π = −f + S∂f
∂S ⇒ dΠ = −df + ∂f
∂SdS (5)
Substituindo as equa¸c˜oes (1) e (4) na equa¸c˜ao (5), temos: dΠ = − ∂f ∂SµSdt + ∂f ∂t + 1 2 ∂2f ∂S2S 2σ2 dt −∂f ∂SSσdw + ∂f ∂S (µSst + σSdw) que resulta em:
dΠ = −∂f ∂tdt + 1 2 ∂2f ∂S2S 2σ2dt
Esse portf´olio ´e livre de risco, para um per´ıodo infinitesimal de tempo. Logo, por n˜ao-arbitragem, deve render o mesmo que um t´ıtulo livre de risco, isto ´e:
dΠ = −∂f ∂tdt − 1 2 ∂2f ∂S2S 2σ2dt = rΠdt = −rf + rS∂f ∂S
O que nos leva, ent˜ao, `a equa¸c˜ao diferencial parcial de Black-Scholes-Merton: ∂f ∂tdt + 1 2 ∂2f ∂S2S 2σ2dt − rf + rS∂f ∂S = 0 (6) ´
E poss´ıvel resolver essa equa¸c˜ao recorrendo `a f´ormula de Feynman-Kac, usando a condi¸c˜ao terminal, para t = T , f (ST, T ) = max{ST − K, 0}. No entanto,
podemos recorrer a um argumento mais simples. Note que nada na equa¸c˜ao (6) depende de parˆametros ligados `as preferˆencias em rela¸c˜ao ao risco. Logo, a
solu¸c˜ao da equa¸c˜ao tamb´em n˜ao depender´a, o que significa dizer que podemos resolvˆe-la como se estiv´essemos em um mundo neutro ao risco, o que facilita o nosso trabalho. Portanto, se estamos em um mundo neutro ao risco, a equa¸c˜ao (3) se torna: ST = Stexp r −σ 2 2 (T − t) + σ(WT∗− Wt∗) (7) Em que substitu´ımos µ por r, j´a que num mundo neutro ao risco os agentes n˜ao exigem um retorno maior para tomarem mais risco; e W∗agora ´e expresso na medida neutra ao risco. Sabemos que num mundo neutro ao risco, o pre¸co do nosso derivativo ser´a o valor presente do valor esperado (pela probabilidade neutra ao risco) dos payoffs do ativo. Logo, se denotamos por f (St, t) esse pre¸co
na data t e por E∗o valor esperado pela probabilidade neutra ao risco, em t = T temos:
f (ST, T ) = max{ST − K, 0} = (ST − K)1{ST>K}=
1, se ST > K
0, c.c.
em que1{ST>K} ´e a fun¸c˜ao indicadora, que assume o valor 1 se ST > K, e o
valor 0 caso contr´ario. Logo, temos:
f (St, t) = e−r(T −t)E∗[(ST− K)1{ST>K}]
= e−r(T −t)E∗[ST1{ST>K}] − E ∗[K1
{ST>K}]
Recorrendo `a equa¸c˜ao (7), temos:
f (St, t) = e−r(T −t)E∗ Ste r−σ2 2 (T −t)+σ(W∗ T−Wt∗)− K 1{ST>K} = e−r(T −t) ( E∗ Ste r−σ2 2 (T −t)+σ(WT∗−W∗ t)1 {ST>K} | {z } A − E∗hK1{ST>K} i | {z } B )
Segue, pois, que:
f (St, t) = e−r(T −t)[A − B] (8)
Dividimos o valor esperado em A e B para facilitar o c´alculo. Para calcular esse valor esperado, note que:
ST > K ⇔ Stexp r −σ 2 2 (T − t) + σ(WT∗− Wt∗) > K ⇔ ⇔ (W ∗ T − W ∗ t) √ T − t > ln K − ln St− r − σ2/2 (T − t) σ√T − t = −d2 Logo, se x ∼ N (0, 1), temos (WT∗− W∗ t) = x √ T − t ∼ N (0, T − t). Portanto, usando esse resultado vamos calcular os valores de A e de B, que nos permitir˜ao
obter o valor esperado pela a probabilidade neutra ao risco do payoff da op¸c˜ao: A = Z ∞ −d2 Ste r−σ2 2 (T −t)+xσ√T −t ×√1 2πe −x2 2 dx = Ster(T −t) Z ∞ −d2 1 √ 2πe −1 2[x 2−2xσ√T −t+σ2(T −t) ]dx (9)
Da express˜ao (9), note que x2− 2xσ√T − t + σ2(T − t) = (x − σ√T − t)2. Logo,
temos que: A = Ster(T −t) Z ∞ −d2 1 √ 2πe −1 2(x−σ √ T −t)2dx
Realizando uma mudan¸ca de vari´avel, considere Y = X − σ√T − t. Logo, o limite de integra¸c˜ao inferior1se torna (−d
2− σ √ T − t) = −d1, e chegamos a: A = Ster(T −t) Z ∞ −d1 1 √ 2πe −y2 2 dx = Ster(T −t)Φ(d1) (10)
em que Φ(·) corresponde `a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada da normal-padr˜ao. Vamos, agora, calcular o valor de B:
B = KE∗h1{ST>K} i = K Z ∞ −d2 1 √ 2πe −x2 2 dx = KΦ(d2) (11)
Combinando os resultados (10) e (11) `a equa¸c˜ao (8), temos o resultado desejado: f (St, t) = StΦ(d1) − Ke−r(T −t)Φ(d2)
1Na monitoria, o erro que cometemos foi usar a simetria da vari´avel normal-padr˜ao antes de realizar a mudan¸ca de vari´avel. Esta vers˜ao do exerc´ıcio corrige esse erro.
Quest˜ao 2 (12.8, Hull 5th ed.) A stock price follows a geometric Brownian motion with an expected return of 16% and a volatility of 35%. The current price is $38.
a) What is the probability that a European call option on the stock with an exercise price of $40 and a maturity date in six months will be exercised? b) What is the probability that a European put option on the stock with the
same exercise price and maturity will be exercised?
Se o pre¸co da a¸c˜ao segue um movimento Browniano geom´etrico, temos: dS = µSdt + σSdw
Da quest˜ao anterior, vimos que: ln S ∼ N µ −σ 2 2 T, σ2T
Queremos inicialmente encontrar a probabilidade de que a call europeia seja exercida. Ora, isso ocorrer´a apenas se ST > K. Como ln ´e uma fun¸c˜ao
estrita-mente crescente, temos:
Pr(ST > K) = Pr(ln ST > ln K) = Pr Z > ln K − [ln S0+ (µ − σ 2/2)T ] σ√T em que Z ∼ N (0, 1). Para K = 40, T = 0, 5, µ = 0, 16, S0 = 38 e σ = 0, 35, temos: Pr(ST > K) = Pr Z > ln 40 − ln 38 − [0, 16 + (0, 35) 2/2] × 0, 5 0, 35 ×√0, 5 = Pr(Z > 0, 008) = 1 − Φ(0, 008) = 1 − 0, 5032 = 0, 4968
Logo, a probabilidade de que a call seja executada ´e de 49, 68%. A probabilidade de que a put europeia seja exercida ´e dada por: Pr(ST < K) = 1 − Pr(ST > K) = 0, 5032 = 50, 32%
Quest˜ao 3 (12.11, Hull 5th ed.) Assume that a non-dividend-paying stock has an expected return of µ and a volatility of σ. An innovative financial in-stitution has just announced that it will trade a security that pays off a dollar amount equal to ln ST at time T , where ST denotes the value of the stock price
at time T .
a) Use risk-neutral valuation to calculate the price of the security at time t in terms of the stock price, S, at time t.
b) Confirm that your price satisfies the differential equation above: ∂f ∂t + rS ∂f ∂S + 1 2σ 2S2∂ 2f ∂S2 = rf (12)
Como vimos na quest˜ao anterior, na data t o valor esperado de ln ST ´e dado
por: E[ln ST] = ln S + µ −σ 2 2 (T − t) No mundo neutro ao risco, temos ent˜ao:
E[ln ST] = ln S + r −σ 2 2 (T − t)
Usando o m´etodo de apre¸camento neutro ao risco, o valor do ativo ser´a dado por: f = e−r(T −t) ln S + r − σ 2 2 (T − t)
Vamos, ent˜ao, checar se esta f´ormula satisfaz a equa¸c˜ao de Black-Scholes. Note que: ∂f ∂S = e−r(T −t) S ∂2f ∂S2 = − e−r(T −t) S2 ∂f ∂r = re −r(T −t) ln S + r −σ 2 2 (T − t) − e−r(T −t) r − σ 2 2
Substituindo as equa¸c˜oes acima nos termos correspondentes do lado esquerdo da equa¸c˜ao (12), temos: e−r(T −t) r ln S + r r − σ 2 2 (T − t) − r −σ 2 2 + r −σ 2 2 = r e−r(T −t) ln S + r −σ 2 2 (T − t) | {z } f = rf
