Mais derivadas. 1 Derivada de logaritmos. Notas: Rodrigo Ramos. 1 o. sem Versão 1.0

(1)

Mais derivadas

Notas: Rodrigo Ramos

∗

1

o

. sem. 2015 – Vers˜

ao 1.0

Obs: Esse é um texto de matemática, você deve acompanhá-lo com aten¸cão, com lápis e papel, e ir fazendo as coisas que são pedidas ao longo do texto. Essa demonstra¸cão que vou deixar é absolutamente tradicional e pode ser encontrada em qualquer dos livros de cálculo indicados na bibliografia do curso.

Importante: Esse texto é de conteúdo considerado ”hard level”, demonstra¸cões não são funda-mentais para dominar as aplica¸cões das técnicas. Essas provas eu coloquei aqui apenas para poder acelerar a aula (não é interessante ficar demonstrando tudo isso na lousa). Assim os detalhes deste texto são particularmente interessante para os ”rebeldes” que querem ver as coisas provadas.

De modo geral: você pode se fixar apenas nos resultados (que são regras de deriva¸cão, como era a regra do tombo). Os resultados também são sempre resumidos na tabela de fórmulas.

1 Derivada de logaritmos

Essa conta foi feita, mas eu disse ”não se des-gastem anotando a lousa que eu coloco lá na página, apenas sigam com aten¸cão”. Fiz essa para chamar aten¸cão ao fato de que o ”número e”é muito especial e para mostrar como as coisas correm por aqui.

y = ln x, vamos mostrar que dy dx = 1 x dy dx = ∆x→0lim ln(x + ∆x) − ln(x) ∆x = lim ∆x→0 lnx+∆x_x ∆x = lim ∆x→0 1 ∆xln 1 + ∆x x = lim ∆x→0ln 1 + ∆x x 1 ∆x

Com a mudan¸ca de vari´avel (de ∆x para z):

1 z = ∆x x Ent˜ao: 1 ∆x = z x; e se ∆x → 0 ent˜ao: ∆z → ∞ Dessa maneira:

(2)

dy dx = z→∞lim ln 1 + 1 z xz = ln lim z→∞ 1 + 1 z z_x1 = ln e1x = 1 xln e = 1 x Em suma: dy dx = 1 x

Se em vez de y = ln x, fosse y = log_ax, note que toda a demonstra¸c˜ao seria a mesma e, no final sobraria:

dy

dx = ... = 1

xlogae

2 Fun¸

c˜

oes mistas

Vamos chamar de ”fun¸cões mistas”, fun¸cões resultantes das misturas de fun¸cões simples (retas, parábolas, cúbicas,... enfim, polinômios, com logaritmos, exponenciais...) por meio de somas, sub-tra¸cões, produtos e razões, etc...

s(x) = f (x) ± g(x) (1)

p(x) = f (x) · g(x) (2)

q(x) = f (x)

g(x) (3)

(4)

Vamos usar uma forma simplificada de escrever a derivada dy dx = y

0

ou y0(x).1

A primeira mistura (soma e subtra¸cão), a(x), já dominamos desde as primeiras aulas com deri-vadas, e já usamos bastante.

s0(x) = f0(x) ± g0(x)

As duas seguintes definem as regras tradicionalmente chamadas ”derivada do produto”e ”derivada do quociente”

1_{A nota¸}_c˜_{ao de} dy

dx é chamada ”nota¸cão de Leibniz”, a nota¸cão com y

(3)

p0(x) = f0(x) · g(x) + f (x) · g0(x)

q0(x) = f

0_{(x) · g(x) − f (x) · g}0_(x)

g2_(x)

A demonstra¸cão de ambas também pode ser encontrada em qualquer dos livros de cálculo suge-ridos. Deixarei as duas demonstra¸cões no final deste texto.

Alguns Exemplos:

1) y = x2(x3+ x + 1) =⇒ y = f (x) · g(x) f (x) = x2 =⇒ f0(x) = 2x

g(x) = x3+ x + 1 =⇒ g0(x) = 3x2+ 1 Substituindo na derivada do produto:

dy dx = f 0 (x)g(x) + f (x)g0(x) = 2x(x3+ x + 1) + x2(3x2+ 1) 2) y = x 2_{+ 2x + 1} 2x3 =⇒ y = f (x) g(x) f (x) = x2 + 2x + 1 ent˜ao: f0(x) = 2x + 2 g(x) = 2x3 ent˜ao g0(x) = 6x2

Substituindo na derivada da divis˜ao:

dy dx = f0(x)g(x) − f (x)g0(x) g2_(x) = (2x + 2)2x 3_{− (x}2_{+ 2x + 1)6x}2 (2x3₎2 = (2x + 2)2x 3_{− (x}2_{+ 2x + 1)6x}2 4x6

3 fun¸

c˜

oes compostas

Por fim a última forma de ”mistura”de fun¸cões é a fun¸cão composta. Já hav´ıamos trabalhado a idéia de ”colocar uma fun¸cão dentro de outra”, quando com as fun¸cões inversas escrevemos: f (f−1(x)) = x.

(4)

Uma fun¸cão composta é, então, substituir no argumento de uma fun¸cão (ou seja em sua variável independente) em outra fun¸cão. Por exemplo: f (x) = (x + 1)2

A mesma fun¸cão pode ser escrita a partir da fun¸cão g(x) = x + 1, e da fun¸cão h(x) = x2. Simbolicamente: f (x) = h(g(x)):

Note: h(x) = x2, portanto: h(g) = g2. Mas ent˜ao, substituindo g em termos de x: h(g(x)) = (x + 1)2, ou seja: f (x) = h(g(x)).

Ou seja, ”x está dentro de g, que está dentro de h... e isso é f”.

A derivada de uma fun¸c˜ao composta segue a chamada ”regra da cadeia”.

df dx = dh dg · dg dx ou f0(h(g(x))) = h0(g) · g0(x) O primeiro termo: dh dg (ou h 0

(g)): é a derivada da fun¸cão h(g) em termos de g (isso, tratado como se fosse uma variável);

O segundo termo: dg dx (oug

0

(x)) ´e a derivada da fun¸c˜ao g(x) em termos de x.

No exemplo acima: f (x) = (x + 1)2, com f (x) = h(g(x)), desde que h(g) = g2, g(x) = x + 1. Mas tanto h (uma par´abola) quanto g (uma reta) s˜ao simples de derivar. Assim: dh

dg = 2g, dg dx = 1. Substituindo: df dx = dh dg · dg dx = 2g · 1 = 2(x + 1)

Noves fora, ”dividimos a fun¸c˜ao em camadas, e vamos derivando camada por camada”.

Uma infinidade de exerc´ıcios pode ser realizada com essas regras, já que uma infinidade de fun¸cões pode ser criada com as misturas e com a fun¸cão composta. Assim, além de podermos criar essas fun¸cões a partir das que estudamos, também, como se vê, podemos estudar suas varia¸cões por meio de suas derivadas, por métodos absolutamente gerais.

Vocês podem encontrar diversos materiais na rede sobre o assunto, de textos, exerc´ıcios, video-aulas... O fato é que apenas a prática conduz à seguran¸ca.

(5)

as que eu coloquei neste texto. É preciso pensar de modo mais geral, pelo que não vou colocá-la (por também uma questão de praticidade). Aos interessados sugiro o livro do Guidorizzi indicado na bibliografia.

4 Derivada da exponencial

Um bônus de havermos estudado fun¸cões inversas, e a derivada da fun¸cão composta é a derivada da exponencial. Novamente usaremos o logaritmo como ferramenta:

Considere a igualdade: ln ex = x Note: ln ex = ln h, com h(x) = ex. Ent˜ao: ln ex = x d dx(ln h(x)) = d dxx d(ln h) dh dh dx = 1 1 h · h 0 (x) = 1 h0(x) = h h0(x) = ex

De modo que, se h(x) = ex, ent˜ao: dh dx = e

x_.

4.1 Para uma base qualquer: y = a

x

y = ax= e(ln a)x

Ent˜ao usando a regra da cadeia:

y0 = e(ln a)x· ln a

De maneira que: y = ax=⇒ dy

dx = (ln a)a

(6)

4.2 y = e

ax

Essa fun¸cão acima é muito comum, mas para derivar você precisa da regra da cadeia. A resposta ´

e y0 = aeax, mas não confunda isso com ”regra do tombo”. Aqui o que temos é, novamente, uma fun¸cão encadeada: y = eax=⇒ y = f (g(x)) f (g) = eg =⇒ f0(g) = eg g(x) = ax =⇒ g0(x) = a Então: dy dx = df dg dg dx = eg· a = eax_{· a}

5 Generaliza¸

c˜

ao da regra do tombo

N´os j´a sabemos que se y = xn=⇒ y0 = nxn−1

Mas isso era sempre para n sendo um n´umero inteiro. Entretanto a regra do tombo ´e mais geral que isso. Na verdade:

y = xa =⇒ y0 = axa−1

Para qualquer número a. Ou seja tanto faz se positivo, negativo, fracionário (racional), ou irracional. Essa generaliza¸cão é demonstrada abaixo, utilizaremos a exponencial, cuja regra já foi demonstrada acima, e a regra da cadeia.

y = xa = eln xa = ea ln x (5)

Agora basta derivar:

y0 = ea ln x (6) = ea ln x· (a ln x)0 (7) = ea ln x· a x (8) = xaa x (9) = axa−1 (10) (11)

(7)

6 Demonstra¸

c˜

oes – produto e divis˜

ao.

6.1 Derivada do Produto, y = f (x)g(x)

dy dx = ∆x→0lim f (x + ∆x)g(x + ∆x) − f (x)g(x) ∆x

Introduzindo dois termos: +f (x + ∆x)g(x) − f (x + ∆x)g(x) no denominador e juntando fatores comuns, o denominador fica:

f (x + ∆x)g(x + ∆x) − f (x)g(x) + f (x + ∆x)g(x) − f (x + ∆x)g(x) =

f (x + ∆x)(g(x + ∆x) − g(x)) + (f (x + ∆x) − f (x))g(x)

Com a divis˜ao por ∆x

dy dx = ∆x→0lim f (x + ∆x)g(x + ∆x) − f (x)g(x) ∆x = lim ∆x→0 f (x + ∆x)(g(x + ∆x) − g(x)) + (f (x + ∆x) − f (x))g(x) ∆x = lim ∆x→0 f (x + ∆x)(g(x + ∆x) − g(x)) ∆x + lim∆x→0 (f (x + ∆x) − f (x))g(x) ∆x = lim ∆x→0f (x + ∆x) lim∆x→0 g(x + ∆x) − g(x) ∆x + lim∆x→0 f (x + ∆x) − f (x) ∆x g(x) = f (x)g0(x) + f0(x)g(x)

6.2 Derivada da divis˜

ao, y =

f (x)

g(x)

Aqui é mais prático interpretar em termos da fun¸cão composta, e usar a regra do produto, que já foi demonstrada ser válida.

y = f (x) g(x) = f (x) · 1

g(x)

(8)

f (x) · 1 g(x) !0 = f0(x) 1 g(x)+ f (x) 1 g(x) !0 A derivada 1 g(x) !0

, pode ser obtida pela regra da cadeia.

Veja: 1

g(x) = h(g(x)), com h(g) = 1 g = g

−1

, cuidado que isso não é a inversa, mas sim a divisão por g. A derivada dessa fun¸cão de h(g) (regra da cadeia):

dh dg = −1g −2 = −1 g2 Ent˜ao: 1 g(x) !0 = dh dg dg dx = − 1 g2_(x)g 0 (x)

Agora ´e s´o juntar tudo

f (x) g(x) !0 = f (x) · 1 g(x) !0 = f0(x) 1 g(x) + f (x) 1 g(x) !0 = f 0_(x) g(x) + f (x) − g0(x) g2_(x) ! = f 0_(x) g(x) − f (x)g0(x) g2_(x) = f 0_{(x)g(x) − f (x)g}0_(x) g2_(x)