Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual

Mecânica Quântica:

uma abordagem (quase) conceitual

Carlos Eduardo Aguiar Carlos Eduardo Aguiar

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ

Sumário

1. Ensino e aprendizagem de mecânica quântica 2. Fenômenos quânticos

3. Princípios da mecânica quântica

4. Sistemas quânticos simples: aplicações 5. Emaranhamento

6. Realismo, contextualidade e não-localidade 7. Operadores, autovalores, autovetores

Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• Dificuldades conceituais • Dificuldades matemáticas • Literatura

• Literatura

Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• Dificuldades conceituais

– Superposição quântica

– Probabilidade subjetiva x objetiva – Complementaridade – O problema da medida – Realismo vs. localidade – ... – ... • Dificuldades matemáticas – Vetores – Números complexos

– Espaços vetoriais complexos

– Operadores, autovalores, autovetores

Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria, essencial a aplicações.

• Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais. • Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais

o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo).

Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996.

• I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.

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35, 393, 2000.

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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica

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• D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how

language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics

• D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how

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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica

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• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern

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• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics • S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics

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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica

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Livros

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• H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002. • I. M. Greca, V. E. Herscovitz, Introdução à Mecânica Quântica, UFRGS, 2002

(http://www.if.ufrgs.br/public/tapf/n13_2002_greca_herscovitz.pdf) • O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.

• D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000. • J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. • V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.

• V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.

• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, 2006. • A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012.

• M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.

• L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014 • G. Greenstein, A. G. Zajonc, The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of

Quantum Mechanics, Jones & Bartlett, 2005.

• M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.

• D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley, 2012.

Simulações

• Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)

http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/

• Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)

http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm

• QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)

http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html

• PhET (University of Colorado)

http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena

• SPINS (Oregon State University)

http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html

• Quantum physics (École Polytechnique)

Internet

• Quantum Physics (IoP)

http://quantumphysics.iop.org/

• Quantum Mechanics (Leonard Susskind)

http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter

• Quantum Entanglement (Leonard Susskind) • Quantum Entanglement (Leonard Susskind)

http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall

• Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)

Fenômenos Quânticos

Um experimento com a luz

espelho detectores de luz D₁ D₂ feixe luminoso pouco intenso semiespelho (50-50%) espelho

Resultado do experimento

• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo:

apenas um, ou D₁ ou D₂, é ativado a cada vez.

D₁ D₁ D₂ D₂ ou 50% 50% probabilidade

Se a luz fosse uma onda

D₁

D

... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.

Se a luz é composta por partículas

D₁ D₂ D₁ D₂ ... ou D₁ dispara, ou D₂ dispara. ou D₂ D₂

Conclusão

• A luz é composta por partículas: os fótons.

• O detector que dispara aponta “qual caminho”

o fóton tomou.

D caminho 2 caminho 1 D₂ D₁

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.

• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.

ν

₁

ν

₂ átomo de

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

w = 9 ns

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a

Sobre o ensino do conceito de fóton

• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.

• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.

• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton • Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton

não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.

– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)

Outro experimento com a luz

D₂ D₁ segundo interferômetro de Mach-Zehnder segundo semiespelho feixe luminoso “fóton a fóton”

Preliminares: um feixe bloqueado

50% 25% 25% 1 2

O outro feixe bloqueado

25% 25% 1 2 50%

Resultado fácil de entender com partículas

50% 25% 25% = caminho do fóton 1 2

De volta ao interferômetro

D₁

Resultado do experimento:

0% 100% D₁ D₂ D₂

Difícil de entender se os fótons seguem caminhos

definidos

caminho 1 caminho 2 25% 25% 25% 25% 1 25% 2 25%

Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.

) 2 ( ) 1 (

P

P

P

=

+

Proposição*

Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2

consequência: ) 2 ( D ) 1 ( D D_n

P

_n

P

_n

P

=

+

probabilidade do

detector D_n disparar apenas o caminho 1 aberto

apenas o caminho 2 aberto

Teste da Proposição

Experimentalmente:

%

25

P

_D(1) 1

=

%

25

P

_D(2) 1

=

%

25

P

_D(1) 2

=

%

25

P

_D(2) 2

=

) 2 ( D ) 1 ( D D_n

P

_n

P

_n

P

≠

+

%

100

P

1 D

=

P

D₂

=

0

%

a proposição é falsa!

Repetindo:

A afirmativa

“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”

é falsa. é falsa.

“\ um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.”

Por onde vai o fóton?

1 e 2

1 2

ou 1 ou 2

Por onde vai o fóton?

• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa. • Se os dois caminhos forem fechados, nenhum

fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável.

também não é aceitável.

• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo.

Uma resposta melhor

• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os

caminhos 1 e 2.

• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta.

Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado.

- W. Heisenberg,

The physical content of quantum kinematics and mechanics

Fácil de entender num modelo ondulatório

D₁ D interferência construtiva D₂ interferência destrutiva

Comprimentos variáveis

L₂ P_D2 P_D1 L₁ L₁, L₂ = comprimentos ajustáveis

Resultado experimental:

L

₁

– L

₂ 0 1

P

_D1

L

₁

– L

₂ 1 0

P

_D2

• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda. • Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com

ele mesmo”.

• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o

comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.

(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ P_D(1) _{+ P} D(2))

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

Interferência de nêutrons

interferômetro de nêutrons

Interferência de átomos

interferômetro de átomos

A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry

Interferência de elétrons

A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up

E se os caminhos forem distinguíveis?

interferência desaparece !

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer

at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

E se os caminhos forem distinguíveis?

• Massa = 0 • caminho

identificado

• não há padrão de • Massa →_{• caminho não}∞

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer

at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

N ↔ Massa

• não há padrão de

interferência • caminho não_identificado

• padrão de interferência

E se a informação sobre o caminho for apagada?

impossível determinar o caminho

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer

Quando há interferência?

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente

interferência (“1 e 2”)

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente

(“ou 1 ou 2”)

Princípios da Mecânica Quântica

• Vetores de estado e o princípio da superposição • A regra de Born

• Complementaridade e o princípio da incerteza • Colapso do vetor de estado

• Colapso do vetor de estado • Evolução unitária

Vetores de Estado

e o

Princípio da Superposição

Princípio da Superposição

Sistemas de dois estados

• esquerda / direita

• horizontal / vertical

• para cima / para baixo

• para cima / para baixo

• sim / não

Sistemas de dois estados

fóton refletido

cara coroa

Sistemas de dois estados

   = 2 1 a a A

grandeza física observável:

a₂ a₁ A = ? a₁ a₂ a₂ a₁ medidor de “A” ou

Sistemas clássicos

• Sistema clássico de dois estados, A = a₁ e A = a₂.

• Representação dos estados: pontos no “eixo A”

A a₁ a₂ sistema tem A = a₁ sistema tem A = a₂

Sistemas quânticos: vetores de estado

• Sistema quântico de dois estados, A = a₁ e A = a₂.

• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões a 1 a 2 a sistema tem A = a₂ sistema tem A = a₁

A notação de Dirac

vetor ↔ L identificação a a ↓ ↑ b ↔ 2 1 a a direita esquerda 1 0 exemplos:

O que muda?

Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.

2 a

?

1 a A a₁ a₂

O Princípio da Superposição

Qualquer combinação linear dos vetores |a₁〉 e |a₂〉

representa um estado físico do sistema.

2 2 1 1 a c a c + = ψ 1 a 2 a _ψ

Significado de |ψ〉

• A = a

₁

e A = a

₂

?

• esquerda e direita?

• horizontal e vertical?

2 a _ψ

• horizontal e vertical?

• sim e não?

• 0 e 1?

1 a

O espaço de estados é grande

• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.

• Os estados |a₁〉 e |a₂〉 formam uma “base” do

espaço de estados.

1

a

2

Princípio da Superposição: formulação geral

Se |ϕ〉 e |χ〉 são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.

χ β + ϕ α = ψ ϕ χ _ψ

Um ‘detalhe técnico’

• As constantes c

₁

e c

₂

podem ser números

complexos (o espaço de estados é um

espaço vetorial complexo).

• Deve-se ter cuidado com figuras como

esta:

esta:

a 2 a ψ c₂ c

Outro ‘detalhe técnico’

• Qual o significado de “ortogonalidade”

num espaço vetorial complexo?

• Como se define “comprimento” de um

vetor nesse espaço?

1

a

2

a

A Regra de Born

2 2 1 1 a c a c + = ψ a 2 a ψ c₂ c 1 a c₁

A probabilidade de uma medida da

grandeza física A resultar em A = a_n é

2 2 2 1 2 n n c c c ) a ( P + = (n = 1, 2)

A Regra de Born

2 2 1 1 a c a c + = ψ a₂ a₁ 2 2 2 1 1 c c c ) a ( P + = ? a₁ a₂ a₂ a₁ medidor de “A” 2 2 2 1 c c + 2 2 2 1 2 2 2 c c c ) a ( P + =

Probabilidade total

1 c c c c c c ) a ( P ) a ( P ₂ 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = + + + = +

Só há dois resultados possíveis, ou a₁ ou a₂.

A probabilidade da medida resultar

Normalização do vetor de estado

2 2 2 1 c c + = Ψ Norma de |Ψ〉: 2 a ψ c₂ (tamanho do vetor |Ψ〉) 1 a a₁ = ₂ = 1 a c₁ (tamanho do vetor |Ψ〉)

Normalização do vetor de estado

Ψ Ψ λ = Φ 2 2 1 1 a c a c + λ λ = Φ 2 2 1 1 a c a c + = Ψ

|Φ〉 e |Ψ〉 têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

) a ( P c c c c c c ) a ( P _{2 n} 2 2 1 2 n 2 2 2 1 2 n n Ψ Φ = + = λ + λ λ = Ψ × λ = Φ

Normalização do vetor de estado

Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo

estado físico.

Podemos trabalhar apenas Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:

1 = Ψ 1 c c , a c a c_{1 1} + _{2 2 1} 2 + ₂ 2 = = Ψ ou seja,

2 n n) c a ( P =

Vetores normalizados: a Regra de Born

2 2 1 1 a c a c + = Ψ a a P(a ) = c 2 (normalizado) ? a₁ a₂ a₂ a₁ a₂ a₁ medidor de “A” 1 1) c a ( P = 2 2 2) c a ( P =

Amplitude de probabilidade

c

_n

⇔

amplitude de probabilidade

probabilidade = |

amplitude de probabilidade

|

2

x c x c + = Ψ n n) c x ( = Ψ “função de onda” 2 n n) (x ) x ( P = Ψ 2 2 1 1 x c x c + = Ψ

Frequência dos resultados de medidas

N medidas de A (N→ ∞) a₂ a₁ a₂ a₁ Ψ Ψ N₁ ↔ a₁ N₂ ↔ a₂ a c a c + = Ψ Ψ a₂ a₁ • • • _{podemos prever} a frequência dos resultados: 2 1 1 1 _{P(a ) c} N N = = 2 2 2 2 _{P(a ) c} N N = = 2 2 1 1 a c a c + = Ψ

Valor médio dos resultados

valor médio de A: N a N a N A = 1 1 + 2 2 a₂ a₁ a₂ a₁ Ψ Ψ Ψ a₂ a₁ • • • 2 2 1 1 a c a c + = Ψ 2 2 2 1 2 1 a c a c A = +

Incerteza

2 2 1 1 a c a c + = Ψ a 2 a Ψ c₂ c₁, c₂

≠

0 impossível prever o

possível prever o resultado (probabilidade = 100%): valor de A “bem definido”

1

a

c₁

impossível prever o resultado de uma medida

0 c , 1 c a₁ ↔ ₁ = ₂ = = Ψ ou Se 1 c , 0 c a₂ ↔ ₁ = ₂ = = Ψ

Incerteza

2 2 1 1 a c a c + = Ψ ∆ A = incerteza de A no estado |Ψ〉

(

)

2 ₂ 2 2 A A A A ) A (∆ A) =

(

A − A

)

= A − A (∆ = − = − 1 a = Ψ ou 2 a = Ψ ∆ A = 0

Complementaridade

e o

Princípio da Incerteza

Princípio da Incerteza

Complementaridade

a₂ a₁ A 1 a 2 a duas grandezas físicas: A e B B b₂ b₁ 2 b 1 b físicas: A e B

Grandezas compatíveis e incompatíveis

1 a 2 a 1 b 2 b A e B compatíveis 2 b 1 b 2 a 1 a A e B incompatíveis

O Princípio da Incerteza

2 b 2 a Ψ A e B incertos (∆ A ≠ 0, ∆ B ≠ 0) A bem definido, B incerto

(∆ A = 0, ∆ B ≠ 0)

B bem definido, A incerto

1

b

1

a

B bem definido, A incerto (∆ B = 0, ∆ A ≠ 0)

O Princípio da Incerteza

2 b 2 a Ψ A e B incompatíveis

⇒

nenhum estado |Ψ〉 com ∆A = 0 e ∆B = 0

1

b

1

Exemplo: posição e momentum

X

x₁ x₂

duas posições: |x₁〉, |x₂〉 (“aqui”, “ali”)

dois estados de movimento: |p 〉, |p 〉 (“repouso”, “movimento”)

dois estados de movimento: |p₁〉, |p₂〉 (“repouso”, “movimento”)

2 p p₁ 2 x 1 x

impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

Resumo da “cinemática” quântica

estado físico vetor no espaço

de estados

grandeza física

sistema de eixos (uma “base”) no espaço de estados

Resumo da “cinemática” quântica

probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a₁ ou A = a₂ 2 a a projeção do vetor de estado no eixo |a_n〉

⇓

probabilidade da medida resultar em A = a grandezas físicas incompatíveis (complementares) diferentes sistemas de eixos no espaço de estados 1 a em A = a_n

• “Colapso” durante uma medida

• Evolução unitária (equação de

Como o vetor de estado muda com o tempo?

• Evolução unitária (equação de

Schroedinger)

Colapso do vetor de estado

a₂ a₁ Ψ antes da medida a₂ a₁ a₂ depois da medida

Colapso do vetor de estado

2 a Ψ resultado A = a₂ resultado A = a 1 a A = a₁

medida de A resulta em a_n

⇒

logo após a

Colapso do vetor de estado

• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = a_n e

imediatamente refazemos a medida, encontramos A = a_n novamente com 100% de probabilidade.

• O estado | a_n〉 é o único em que a nova medida resultará em A = a_n com 100% de probabilidade.

• |Ψ〉 → |a_n〉: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.

estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.

• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou

projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:

– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a primeira medida.

– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.

Medidas simultâneas de duas grandezas

Ψ _Φ a₂ a₁ b₂ b₁ (A, B) (∆ A ≠ 0, ∆B ≠ 0) _{(∆ A = 0, ∆B = 0)} (A, B)

Se A e B são incompatíveis (complementares), não

existe estado |Φ〉 com ∆ A

=

0 e ∆ B

=

0.

É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).

A equação de Schroedinger

• Evolução temporal do vetor de estado:

|Ψ

(0)

〉 → |Ψ

(t)

〉

• Dinâmica quântica: determinada pela

energia do sistema (o conceito de força

é pouco relevante).

A (solução da) equação de Schroedinger

2

E

1

E

Sistema de dois estados Dois níveis de energia: E₁, E₂

2 2 1 1 E c E c ) 0 t ( = = + Ψ 2 / t E i 2 1 / t E i 1e E c e E c ) t ( = − 1 h + − 2 h Ψ

• ћ = constante de Planck (÷ 2π) ≈ 1×10-34 Js

• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,

para t

≠

0 elas serão complexas:

A (solução da) equação de Schroedinger

• A evolução |Ψ(0)〉 → |Ψ(t)〉 ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos).

h / t E i n n n e c ) t ( c = −

Propriedades da equação de Schroedinger

• Linearidade: ) t ( ) 0 ( ) t ( ) 0 ( b b a a Ψ → Ψ Ψ → Ψ Ψ(0) = α Ψa(0) +β Ψb(0) ) t ( ) t ( ) t ( = α Ψ_a + β Ψ_b Ψ t = 0 t

≠

0

Propriedades da equação de Schroedinger

• Conserva a norma do vetor de estado:

) 0 ( ) t ( = Ψ Ψ Ψ(t) ) 0 ( Ψ

tamanho não muda

• Conserva o ortogonalidade entre vetores:

) 0 ( Ψ ) t ( Ψ ) 0 ( Φ ) t ( Φ

dois vetores perpendiculares continuam perpendiculares

Demonstração da linearidade 2 2 1 1 b 2 2 1 1 a E d E d ) 0 ( E c E c ) 0 ( + = Ψ + = Ψ b a E ) d c ( E ) d c ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( β + α + β + α = Ψ β + Ψ α = Ψ 2 2 2 1 1 1 d )E ( c d )E c (α +β + α +β =

(

) (

)

) t ( ) t ( E e c E e c E e c E e c E e ) d c ( E e ) d c ( ) t ( b a 2 / t E i 2 1 / t E i 1 2 / t E i 2 1 / t E i 1 2 / t E i 2 2 1 / t E i 1 1 2 1 2 1 2 1 Ψ β + Ψ α = + β + + α = β + α + β + α = Ψ − − − − − − h h h h h h

Demonstração da conservação da norma 2 / t E i 2 1 / t E i 1 2 2 1 1 E e c E e c ) t ( E c E c ) 0 ( 2 1 h − h − ₊ = Ψ + = Ψ 2 / t E i 2 2 / t E i 1 2 e c e c ) t ( = 1 + 2 Ψ − h − h 2 2 2 2 1 2 1 ) 0 ( c c e c e c ) t ( Ψ = + = + = Ψ

Demonstração da conservação da ortogonalidade ) 0 ( Ψ ) 0 ( Φ ) 0 ( Ω ) t ( Ψ ) t ( Φ Ω(t) 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( = Φ − Ψ = Ω |Ψ(0)〉 e |Φ(0)〉 ortogonais 2 ) t ( ) t ( ) t ( = Φ − Ψ = Ω |Ψ(t)〉 e |Φ(t)〉 ortogonais

• Determinismo

• Continuidade

• Linearidade

Propriedades da equação de Schroedinger

“evolução unitária”

• Conservação da norma

Estados estacionários

n E ) 0 ( = Ψ iE t/ _n E e ) t ( = − n h Ψ

mesma “direção” que |E_n〉

• Estado de energia bem definida E_n:

• |Ψ(t)〉 e |Ψ(0)〉 representam o mesmo estado físico. • Estados de energia bem definida são “estacionários”.

Conservação da energia

2 / t E i 2 1 / t E i 1e E c e E c ) t ( = − 1 h + − 2 h Ψ 2 n 2 / t E i n n,t) c e c E ( P = − n h = ) 0 ( ) t ( E E _Ψ = _Ψ ) 0 t , E ( P ) t , E ( P _n = _n =

Eq. de Schroedinger x Processos de medida

• Equação de Schroedinger:

– contínua

– determinista

– válida enquanto não se faz uma medida

• Colapso do vetor de estado:

– descontínuo – probabilístico

Eq. de Schroedinger x Processos de medida

Dois tipos de evolução temporal?

• Equação de Schroedinger:

– interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos.

– A = a e A = a

– A = a₁ e A = a₂

• Colapso do vetor de estado

:

– interação do sistema quântico com um aparato

clássico, o aparelho de medida (o “observador”).

O “problema da medida”

Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?

a₂

a₁ a₁ a₂ a₁ a₂

Descrição quântica do aparelho de medida:

| 〉 |↑〉 | 〉 | 〉 |↑〉 | 〉 2 2 a a _↑ ⇒ 1 1 a a _↑ ⇒ 2 2 1 1 2 2 1 1 a c a c a c a c _↑ + _↑ ⇒ + equação de Schroedinger:

o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo ! aparelho de medida:

O “problema da medida”

• Porque as superposições quânticas não são encontradas

no mundo macroscópico?

– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo.

– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.

• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados

com a observação de apenas alguns poucos estados

macroscópicos?

Uma descrição do processo de medida

baseada na equação de Schroedinger

deve dar respostas a essas questões.

Física quântica x física clássica

• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…

L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal, não podem ser propriamente incluídos no domínio de não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica.

N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935

• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica.

Física quântica x física clássica

física quântica física

clássica

…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...

Sistemas de N Estados

Você está em todo lugar

Sistemas de 3 estados

2 a 1 a a1 a2 a3 Três valores possíveis para a grandeza A: 1 a 3 a 3 3 2 2 1 1 a c a c a c + + = Ψ 3 , 2 , 1 n , | c | ) a ( P _n = _n 2 =

Sistemas de N estados

2 a 1 a N valores possíveis para a grandeza A: a_N a₁ a2

...

3 a N a

...

(impossível desenhar N eixos perpendiculares)

∑

= = Ψ N 1 n n n a c N , 2 , 1 n , | c | ) a ( P _n = _n 2 = K

Sistemas de infinitos estados

• N pode ser infinito:

∑

∞ = = Ψ 1 n n n a c

• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos: • N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:

∫

= Ψ da c(a) a

∫

′′ ′ = ′′ ′ a a 2 | ) a ( c | da ) a , a ( P 2 | ) a ( c | ) a ( p = densidade de probabilidade: probabilidade:

Exemplo: a = x = posição de uma partícula

Sistemas de infinitos estados

∫

Ψ = Ψ dx (x) x

∫

Ψ = 2 1 x x 2 2 1,x ) dx | (x) | x ( P 2 | ) x ( | ) x ( p = Ψ densidade de probabilidade: probabilidade: função de onda: Ψ(x)

Sistemas de infinitos estados

• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:

∫

∑

+ = Ψ c a da c(a) a n n n

Exemplo: a = E = energia de uma partícula

∫

∑

+ = Ψ c E dE c(E) E n n n

Interferômetro de Mach-Zehnder

• Interferência de uma partícula

• Descrição quântica do interferômetro • Interferência e indistinguibilidade

O interferômetro de Mach-Zehnder

0% 100% D₁ interferência construtiva interferência destrutiva “ondas” D₂

O interferômetro de Mach-Zehnder

50%

25% 25%

D₁ e D₂ nunca disparam em coincidência “partículas” 1

Descrição quântica do interferômetro

1 _{(caminho 1)}

Espaço de estados

2 c 1 c₁ + ₂ = Ψ 2    = = 2 2 2 2 1 1 c P c P probabilidades: 1

Semiespelho

2 2 1 1 2 1 1 → + 1 1 2 2 evolução unitária 2 2 1 1 2 1 2 → − 1 2 2

probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 unitária

Semiespelho

2 2 1 1 2 1 + 2 2 2 1 1 2 1 −

1 sinal negativo: evolução unitária conserva a

Interferômetro

D₁ D₂ 2 1 1

Interferômetro

Primeiro semiespelho: 2 2 1 1 2 1 1 → + Estado inicial: 1 2 2

Interferômetro

Segundo semiespelho:       ₋ +       ₊ → + 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1

ou seja, o estado final é

1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 =       − +       + interferência destrutiva interferência construtiva P₁ = 100% P₂ = 0%

O que interfere?

2 2 1 2 1 1 2 1 2 1       − +       + (1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) 1 1 1 2 1 ₁ 2 2

soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis

Caminho bloqueado

D₂

D₁

1 2

Caminho bloqueado

Primeiro semiespelho: 2 2 1 1 2 1 1 → + Estado inicial: 1 2 2 Bloqueio: + → + ⊗ 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 fóton bloqueado

Caminho bloqueado

Segundo semiespelho: ⊗ +       ₊ → ⊗ + 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1

ou seja, o estado final é

⊗ + + 2 1 2 2 1 1 2 1 P1 = 25% P₂ = 25% P_⊗ = 50%

Por que não há interferência?

(1-1-1) (1-1-2) 1 ⊗ + + 2 1 2 2 1 1 2 1 (1-2-⊗) 2 2 ⊗

não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais ⇒ não há interferência

1

1 _{1 1}

2

1

Caminhos alternativos distinguíveis

D₁

D₂

Caminhos alternativos distinguíveis

Estado inicial: 1R • 1, 2: caminho do fóton • R: espelho em repouso • M: espelho em movimento M 2 , M 1 , R 2 , R 1 Primeiro semiespelho: 2 M 2 1 R 1 2 1 R 1 → + Estado inicial: 1R

Caminhos alternativos distinguíveis

Segundo semiespelho:       ₋ +       ₊ → + 2M 2 1 M 1 2 1 2 1 R 2 2 1 R 1 2 1 2 1 M 2 2 1 R 1 2 1

ou seja, o estado final é

M 2 2 1 R 2 2 1 M 1 2 1 R 1 2 1 − + + P₁ = P(1, R) + P(1, M) = 50% P₂ = P(2, R) + P(2, M) = 50% soma de probabilidades, não de amplitudes

Apagando a informação sobre o caminho

D₁ 100%

D₂ 0%

mola mola

Apagando a informação sobre o caminho

Segundo semiespelho:       ₋ +       ₊ → + 2M 2 1 R 1 2 1 2 1 M 2 2 1 R 1 2 1 2 1 M 2 2 1 R 1 2 1

ou seja, o estado final é

R 1

a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida

O palito de fósforo quântico

fóton

• fósforo “bom”

fóton

O palito de fósforo quântico

palitos bons e ruins misturados

Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?

Teste clássico

palito bom queimado

Teste quântico

D₁

Palito ruim

D₁ 100%

D₂ 0%

transparente

Palito bom

D₂ 25% D₁ 25%

50%

palito bom ⇒ D₂ dispara em 25% das vezes,

Teste quântico

• D

₂

→ fósforo bom intacto

• D

₁

→ fósforo bom intacto ou fósforo ruim

• Fósforo acende → fósforo bom queimado

Dos fósforos bons:

• 25% estão identificados e intactos • 50% foram queimados

• 25% em dúvida

Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.

Mais aplicações a sistemas simples

• O problema de Deutsch

• Molécula de H

₂+

• Benzeno

• Oscilação de neutrinos

• Oscilação de neutrinos

• Polarização do fóton

• Spin ½

• Informação quântica

Emaranhamento

|Ψ〉 sistema I |Φ〉 sistema II |Ψ〉 subsistema I |Φ〉 subsistema II sistema composto

Emaranhamento

• Estados do sistema composto:

II I ,Φ ≡ Ψ Φ Ψ II I ,Ψ = Φ Ψ Φ

↔ sistema I no estado |Ψ〉, sistema II no estado |Φ〉

↔ sistema I no estado |Φ〉, sistema II no estado |Ψ〉

• Superposição ⇒ estado emaranhado: Ψ Φ + Φ Ψ , 2 1 , 2 1

Emaranhamento

• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais.

• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os

subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas, • Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da

mecânica quântica. mecânica quântica.

“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras.”

- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics (o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)

Realismo, Contextualidade e Localidade

“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber

Variáveis ocultas

)

(

A

λ

Medidas:

• revelam um valor preexistente? • criam o resultado encontrado?

)

(

A

λ

variável “oculta” que determina o valor de A grandeza medida

Experimentos com um sistema composto

I

II

A_I = ±1 _AII = ±1 incompatíveis B_II = ±1 B_I = ±1 incompatíveis compatíveis

Quatro experimentos com um sistema composto

Quatro experimentos possíveis:

1) Medida de A_I e A_II

A_I = +1 e A_II = +1 ↔ encontrado algumas vezes

2) Medida de A e B 2) Medida de A_I e B_II A_I = +1 e B_II = +1 ↔ nunca encontrado 3) Medida de B_I e A_II B_I = +1 e A_II = +1 ↔ nunca encontrado 4) Medida de B_I e B_II B_I = -1 e B_II = -1 ↔ nunca encontrado

Quatro experimentos com um sistema composto

1) P(A_I+, A_II+) (em %)

A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat,

Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)

grau de emaranhamento 2) P(A_I+, B_II+) = 0

3) P(B_I+, A_II+) = 0 4) P(B_I−, B_II−) = 0

Experimentos com um sistema composto

A

_I

= +1

A

_II

= +1

Se os valores de A_I, A_II, B_I e B_II já

existiam antes das medidas:

B

_I

= -1

B

_II

= -1

sempre

!!

Estados de Hardy

(

+ + + + − + − +

)

= Ψ B_I ,B_II B_I ,B_II B_I ,B_II 3 1 estado emaranhado P(B_I−, B_II−) = 0 ⇐ experimento 4

L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and

Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).

L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all

Estados de Hardy

(

+ + −

)

= + 1 A A B B+ − B − A Experimentos 1, 2 e 3:

(

)

(

− + + −

)

= − − + + = + A A 2 1 B A A 2 1 B B+ + A

Estados de Hardy

(

)

1

(

+ − + − + + − −

)

= Ψ 2 B_I ,A_II B_I ,A_II B_I ,A_II 6 1 Experimentos 1, 2 e 3: 3)

(

− + + + − + − −

)

= Ψ 2 A_I ,B_II A_I ,B_II A_I ,B_II 6 1

(

− + + + + − + − + + − −

)

= Ψ A_I ,A_II A_I ,A_II A_I ,A_II 3 A_I ,A_II 12 1 2) 1)

Contextualidade

)

C

,

(

A

_I

λ

_II

o que está sendo medido em II (A_II ou B_II)

)

C

,

(

B

_I

λ

_II

)

C

,

(

A

_II

λ

_I

o que está sendo medido em I (A_I ou B_I)

)

C

,

(

B

_II

λ

_I

Não-localidade

A_I A_II I II A_I A_II B_II B_I

O teorema de Bell

Qualquer teoria de variáveis ocultas

compatível com a mecânica quântica

é necessariamente não-local.

é necessariamente não-local.

Conexão com os operadores

• Produto escalar: 〈Φ|Ψ〉 • Projetores: |Ψ〉〈Ψ|

• Operador associado à grandeza A:

• Autovalores e autovetores de A: 2 2 2 1 1 1 a a a a a a A = + • Autovalores e autovetores de A: Ψ λ = Ψ A 2 2 1 1 a , a ou a , a = λ = Ψ = λ = Ψ

É mais fácil encontrar (postular) o operador A

Em seguida:

• Simetrias e grandezas conservadas • Posição e momentum

• Partícula em 1 dimensão: aplicações – Partícula livre

– Potenciais constantes por partes: estados ligados, – Potenciais constantes por partes: estados ligados,

tunelamento, etc.

E se houver tempo:

• Partículas idênticas

• Partícula em 3 dimensões; momento angular • Soma sobre caminhos

• Descoerência

• Muitos-mundos, de Broglie-Bohm • Muitos-mundos, de Broglie-Bohm

Concluindo

• É possível apresentar alguns dos princípios básicos da mecânica quântica utilizando apenas matemática acessível a professores (e alunos?) do ensino médio. • Essa abordagem permite descrever apropriadamente • Essa abordagem permite descrever apropriadamente

a mecânica quântica de sistemas simples.

• Aspectos pouco (ou nada) intuitivos da mecânica quântica podem ser discutidos sem interferência de dificuldades adicionais associadas à matemática.