ANETE VALÉRIA MASSON COIMBRA DE LIMA UM ESTUDO SOBRE VALIDAÇÕES ALGÉBRICAS POR ALUNOS DA 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

(1)

UM ESTUDO SOBRE VALIDAÇÕES ALGÉBRICAS POR ALUNOS DA 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

UFMS

CAMPO GRANDE/MS 2009

(2)

ANETE VALÉRIA MASSON COIMBRA DE LIMA

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado em Educação Matemática, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação do Professor Doutor José Luiz Magalhães de Freitas.

UFMS

CAMPO GRANDE/MS 2009

(3)

ANETE VALÉRIA MASSON COIMBRA DE LIMA

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado em Educação Matemática da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul para obtenção do título de Mestre.

Aprovada em ____/____/ 2009.

BANCA EXAMINADORA

_________________________________________ Prof. Dr. José Luiz Magalhães de Freitas - UFMS

_____________________________________________ Profa. Dra. Cláudia Lisete Oliveira Groenwald - ULBRA

_______________________________________ Profa. Dra. Marilena Bittar - UFMS

________________________________________ Prof. Dr. Luiz Carlos Pais - UFMS

(4)

AGRADECIMENTOS

Ao professor Dr. José Luiz, meu orientador, pelo apoio constante e ensinamentos dispensados durante a construção, desenvolvimento e conclusão desta dissertação.

À professora Dra.Marilena Bittar, coordenadora do mestrado em Educação Matemática da Universidade Federal do Mato Grosso do Sul, pela oportunidade de crescimento, aprendizado, realização profissional e pessoal e pela confiança em mim depositada.

Ao meu marido, José Roberto, pelo carinho, incentivo, apoio e compreensão constantes.

Aos professores do Programa em Educação Matemática, Dr. Luiz Carlos Pais, Dra. Elisabete Souza Freitas, Dra. Neuza Maria Marques de Souza, por sempre me incentivarem na busca do crescimento, sendo exemplos de competência, garra, determinação e disciplina.

À amiga Anelisa pela competência, sugestões, discussões e empenho na finalização deste trabalho.

Aos colegas da turma de 2007, Susi, Juliana, Lia, Vera, Anderson, Irio e Júnior, por tudo que vivemos e aprendemos juntos nessa etapa de nossas vidas.

Aos alunos participantes desta investigação, pela disponibilidade e significativa colaboração na experimentação desta pesquisa.

À professora Dra. Cláudia Lisete Oliveira Groenwald, pelo valioso parecer dado por ocasião do exame de qualificação, proporcionando discussões e sugestões que serviram para crescimento, aprendizado e incentivo à pesquisa.

A minha mãe Luiza Anete Masson Zuliani, pela contribuição na elaboração do texto dessa dissertação, além do estímulo para seguir em frente nesta caminhada.

Ao meu filho Guilherme que, com seu amor incondicional, deu-me forças para continuar.

(5)

RESUMO

Neste trabalho, faz-se um estudo sobre validações algébricas por alunos da 3ª série do Ensino Médio no conjunto dos números inteiros. Nele, foi realizada, inicialmente, uma pesquisa histórica em busca da origem e evolução das demonstrações matemáticas, fazendo um recorte na evolução das validações algébricas e aritméticas ao longo dos séculos, e do papel desempenhado pela demonstração e pelo método dedutivo neste percurso. Foram estudadas as demonstrações matemáticas ao longo da história, até pesquisas recentes de Educação Matemática no que diz respeito ao ensino e à aprendizagem de demonstrações. A partir da análise dessas pesquisas, desenvolveu-se um trabalho visando não apenas a identificar tipos e níveis de provas produzidos por alunos, mas também a investigar possibilidades de ampliação da aprendizagem, tanto no que pertence ao uso da linguagem matemática, quanto ao de generalidade envolvidas na produção de níveis mais elevados de provas. Para tanto, dois foram os referenciais teóricos básicos sobre os quais apoiou-se a condução deste trabalho: a Teoria das Situações Didáticas, proposta por Brousseau (1986), e o modelo de produção de provas de Balacheff (1988). No que concerne à parte metodológica, para coleta e análise de dados sobre provas produzidas e aprendizagens realizadas pelos alunos, estruturou-se metodologicamente, na Engenharia Didática, Artigue (1988). Assim sendo, elaborou-se uma sequência didática composta de cinco sessões envolvendo os conteúdos de Paridade, Divisibilidade, Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e outros tipos de sequências. Essa investigação foi desenvolvida em uma escola particular, composta por Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio. Os alunos que participaram das sessões de forma voluntária, integravam a 3ª série do Ensino Médio e permaneciam na escola em período integral. Por meio da análise de produções desses alunos, foram observados indícios de aprendizagem, tanto no que se refere ao domínio da linguagem, quanto aos tipos de provas que produziam. Outro fato observado, com relação à aprendizagem, foi que, diante do rico universo de conjecturas envolvendo números inteiros e durante o desenvolvimento das atividades propostas, houve um grande envolvimento dos alunos em busca de soluções. Esse envolvimento pode ser caracterizado como momentos de estudo, fundamentais para a aprendizagem matemática, por meio da utilização do conjunto dos inteiros como ferramenta de aprendizagem.

(6)

ABSTRACT

In this work, it’s made a study of algebraic validation by students of the 3rd grade of high school for set of integers . Firstly it was performed a historical research in search of the origin and evolution of mathematical demonstrations, making a cutting in the development of algebraic and arithmetic validations along the centuries, and the role of demonstration and deductive method in this course. We studied the mathematical demonstrations throughout history, even recent studies of mathematics education in regard to teaching and learning demonstrations. Starting from the analysis of these researches, it was developed a work designed not merely to identify types and levels of evidence produced by students, but also to investigate possibilities of extending learning, both as pertains to the use of mathematical language, and the generality involved in the production of higher levels of evidence. To do so, two were the basic theoretical referenciais on which rested the conduct of this work: the Theory of the Didactic Situations, proposed by Brousseau (1986), and the model of production of proofs of Balacheff (1988). With regard to the methodology for collecting and analyzing data on evidence produced and learning acquired by students, it was structured methodology in the Didactic Engineering, Artigue (1988). Thus, a didactic sequence composed of five sessions was elaborated involving the contents of Parity, Severability, Arithmetic Progression, Geometric Progression and other types of sequences. That research was conducted at a private school, composed of Childhood Education, Elementary and High School. The students, who participated in sessions in a voluntary way, attended the 3rd grade of high school and remained in school full time. Through the analysis of production of these students, signs of learning could be seen, both as regards the field of mastery of language, and the kinds of exams they produced. Another observed factor, in relation to learning, was that before the rich universe of assumptions involving whole numbers and for the development of proposed activities, there was a great involvement of students in search of solutions. This involvement can be characterized as moments of study, fundamental to learning mathematics through the use of all the set of integers as a learning tool.

(7)

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Prova do Teorema de Pitágoras ... 16

Figura 2 - Produção de TR na Sessão 1 ... 58

Figura 3 - Produção de BR na Sessão 1 ... 58

Figura 4 - Produção de KK na Sessão 1 – atividade 1 ... 58

Figura 5 - Produção de LN na Sessão 1 – atividade 1 ... 59

Figura 7 - Produção de BR na Sessão 1 – Desafios (item 1) ... 61

Figura 8 - Produção de RT na Sessão 1 – Desafios (item 2) ... 61

Figura 9 - Produção de LN na Sessão 1 – Desafios (item 3) ... 62

Figura 10 - Produção de RT na Sessão 1 – Desafios (item 3) ... 62

Figura 11 - Produção de RT na Sessão 2 – atividade 1... 65

Figura 12 - Produção de BR na Sessão 2 – atividade 1 ... 66

Figura 13 - Produção de MF na Sessão 1 – atividade 1 ... 71

Figura 14 - Produção de MF na Sessão 3 – atividade 1 ... 71

Figura 19 - Produção de GB na Sessão 4 – atividade 1 ... 81

Figura 20 - Produção de CB na Sessão 4 – atividade 2 ... 82

Figura 23 - Produção correta de BR na Sessão 4 – atividade 2 ... 84

(8)

Figura 29 - Produção de GB na Sessão 5 – atividade 1 ... 95

Figura 32 - Produção de GB na Sessão 5 – Desafios ... 97

Figura 33 - Produção de BR na Sessão 5 – Desafios ... 97

Figura 34 - “Provas de BR na Sessão 1” ... 99

Figura 35 - “Provas de RT na Sessão 1” ... 99

Figura 36 - “Provas de KK na Sessão 1” ... 100

Figura 44- “Provas de RT na Sessão 4” ... 104

(9)

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO...10

CAPÍTULO 1 - AS DEMONSTRAÇÕES ALGÉBRICAS E ARITMÉTICAS AO LONGO DOS SÉCULOS...12

1 A DEMONSTRAÇÃO ENTRE OS POVOS ANTIGOS ... 13

2 A DEMONSTRAÇÃO NA IDADE MÉDIA. ... 16

3 A DEMONSTRAÇÃO NO RENASCIMENTO ... 17

4 UM PERÍODO DE TRANSIÇÃO... 18

5 A VOLTA DAS DEMONSTRAÇÕES NO SÉCULO XIX ... 20

6 O CAMINHO DAS DEMONSTRAÇÕES NA PASSAGEM DO SÉC. XX PARA O SÉC. XXI ... 20

7 AS DEMONSTRAÇÕES E AS NOVAS TENDÊNCIAS. ... 23

CAPÍTULO 2 - CONSTRUÇÃO DO OBJETO DE PESQUISA...28

1 EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E DIDÁTICA DA MATEMÁTICA. ... 28

2 REFERENCIAL TEÓRICO E METODOLÓGICO... 29

3 A TIPOLOGIA DE PROVAS ... 30

4 A TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS ... 34

5 POR QUE ESTUDAR PROBLEMAS QUE ENVOLVAM VALIDAÇÕES ALGÉBRICAS DENTRO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ... 37

6 CARACTERIZAÇÃO DO OBJETO E OBJETIVOS DE ESTUDO ... 39

6.1 Objetivo geral ... 40

6.2 Objtivos específicos ... 40

7 CONSTRUÇÃO E APLICAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA ... 40

CAPÍTULO 3 - O DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL ... 44

1 VARIÁVEIS DIDÁTICAS ... 46 2 SESSÃO 1 ... 47 2.1 Análise a priori ... 47 2.2 Atividade 1 ... 48 2.3 Atividade 2 ... 52 2.4 Desafios ... 54

2.5 Descrição e análise a posteriori ... 57

3 SESSÃO 2 ... 63

3.1Análise a priori ... 63

3.2 Atividade 1 ... 63

(10)

4 SESSÃO 3 ... 67

4.1 Análise a priori ... 67

5 SESSÃO 4 ... 73

6 SESSÃO 5 ... 85

6.2 Atividade 1 – 1ª folha ... 86

6.3 Desafios ... 90

7 AVALIAÇÃO FINAL DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA ... 98

7.1 Análise da sessão 1... 98

8 CONSIDERAÇÕES SOBRE A EVOLUÇÃO DOS ALUNOS APÓS A APLICAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA ... 106

CONSIDERAÇÕES FINAIS...107

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...111

(11)

INTRODUÇÃO

Há vinte anos, quando optei pelo curso de Licenciatura Plena em Matemática, considerava que, para ser professora do Ensino Fundamental e Médio, bastava, primeiramente, possuir “didática”, “saber Matemática” e “preparar bem as aulas”, relembrando o que havia estudado sobre os conteúdos matemáticos escolares. Nessa época, comecei a lecionar utilizando muito pouco os conhecimentos e saberes adquiridos em meu curso superior. Era importante cumprir o conteúdo programático exigido pela coordenação pedagógica e as minhas aulas acabavam tornando-se densas e cansativas. Muitas vezes, os alunos “aprendiam” as ferramentas matemáticas, porém não conseguiam aplicá-las.

A partir de 1994, como coordenadora pedagógica de Ensino Médio, deparei-me com as mudanças propostas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, 2000) e Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio (PNLEM) (BRASIL, 2006) entre elas, a importância dada à resolução de problemas. Os professores de Matemática, pertencentes a minha equipe, constatavam que os seus alunos possuíam dificuldades na resolução de problemas matemáticos e que tais dificuldades cresciam à medida que esses problemas tornavam-se mais elaborados, em especial aqueles que envolviam validações algébricas.

Mas como fazer para que os alunos aprendessem a resolver problemas? Que conhecimentos precisariam ser desenvolvidos para que os alunos tivessem autonomia na resolução de um problema?

Ao ingressar no Mestrado em Educação Matemática, em 2007, buscava encontrar respostas para essas questões, e elas foram ao encontro de estudos que vinham sendo realizados pelo meu orientador. Certamente, percebi que minha visão sobre o contexto ampliara-se e que as respostas seriam mais fáceis a partir das aulas de Didática de Matemática, Pesquisa em Educação Matemática e outras disciplinas.

Por este motivo optei, então, por investigar os procedimentos utilizados por alunos da 3ª série do Ensino Médio na validação algébrica de conjecturas no Conjunto dos Números Inteiros. A escolha pelo Conjunto dos Números Inteiros deu-se porque neste conjunto é possível formular uma diversidade de conjecturas, nas quais pretendo investigar os tipos e níveis de procedimentos de validação algébrica. Acredito que, com o uso da Álgebra, os alunos podem validar conjecturas baseadas em suposições aritméticas, as quais foram verificadas para números inteiros.

(12)

De acordo com o Currículo e os Padrões de Avaliação do National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) para Matemática nas Escolas “a demonstração da validade lógica de conjecturas é a essência do ato criativo de fazer a matemática” (NCTM, 1989, p.81). Por essas razões, esta pesquisa visa não apenas a identificar tipos e níveis de provas produzidos pelos alunos, mas também a investigar possibilidades de aprendizagem, tanto no que concerne ao uso da linguagem matemática quanto a evolução na produção de provas a cada atividade desenvolvida

Assim, a organização desta dissertação estrutura-se em quatro capítulos. No primeiro capítulo, é feito um estudo bibliográfico, fazendo um recorte na evolução das validações algébricas e aritméticas ao longo dos séculos, no papel desempenhado pela demonstração e pelo método dedutivo nesse percurso.

No segundo capítulo, é apresentado o objeto de estudo, bem como os referenciais teóricos básicos sobre os quais se apoia a condução desta pesquisa: a Teoria das Situações Didáticas, proposta por Brousseau (1986), e o modelo de produção de provas defendida por Balacheff (1988). No que se refere à parte metodológica, para coleta e análise de dados sobre provas produzidas e aprendizagens realizadas pelos alunos, apoiamos- nos na Engenharia Didática, escrita por Artigue (1988). Considera-se que esses referenciais são adequados para as análises das dimensões teórica e experimental desta pesquisa, pois além de integrarem um mesmo programa epistemológico, neste caso, eles se complementam quanto às abordagens que foram feitas.

No terceiro capítulo, são analisados procedimentos utilizados por alunos do Ensino Médio durante a resolução de problemas que envolvem conjecturas no conjunto dos números inteiros.

Por fim, no quarto capítulo são apresentadas a organização, análise e discussão dos resultados obtidos, tomando como base o referencial teórico discutido nos capítulos anteriores.

Nas considerações finais, é feita uma síntese dos resultados obtidos e uma análise a respeito dos tipos de provas encontrados e das possibilidades de aprendizagem matemática, a partir de problemas que envolvem validações algébricas de conjecturas no Conjunto dos Números Inteiros por alunos do Ensino Médio.

(13)

CAPÍTULO 1

AS DEMONSTRAÇÕES ALGÉBRICAS E ARITMÉTICAS AO LONGO DOS SÉCULOS

O educador deve fazer a criança passar novamente por onde passaram seus antepassados; mais rapidamente, mas sem omitir etapa. Por essa razão, a história da ciência deve ser nosso primeiro guia (POINCARÉ apud ROXO, 1930,

p.6) 1.

Neste primeiro capítulo, apresentamos uma breve história das demonstrações matemáticas fazendo um recorte na evolução das validações algébricas e aritméticas ao longo dos séculos, e do papel desempenhado pela demonstração nesse percurso. Acreditamos que recorrer à história seja importante, pois segundo Miguel (2005) a partir do século XIX, tornou-se quase que prática corrente recorrer ao chamado “princípio genético” 2 como um modo aparentemente sensato e natural de se justificar a participação da história no processo de ensino e aprendizagem da matemática escolar. Além disso, observarmos nesse estudo histórico alguns dos grandes progressos alcançados pela Matemática devido aos métodos de demonstração.

Nossos estudos foram embasados em uma pesquisa bibliográfica na qual pretendemos estruturar o nosso Referencial Teórico e Metodológico e utilizá-la efetivamente neste trabalho. Não temos a pretensão de esgotar o assunto nem de aprofundá-lo demasiadamente, mas apenas tentar seguir a linha do tempo e responder, se possível, as seguintes perguntas: o que é uma prova rigorosa? Por quais caminhos iniciou sua presença? Existem outros possíveis meios de argumentação sobre a validade das afirmações em Matemática? Segundo Bicudo e Garnica (2006), buscar o caminho histórico que constitui a prova rigorosa como fundamental ao estilo matemático passa, naturalmente, pela constituição da própria Matemática como ciência hipotético-dedutiva. As raízes históricas dessa constituição parecem iniciar-se na Grécia, tendo Os Elementos de Euclides um papel essencial nessa trajetória. Primeiramente,

1_{L’educateur doit faire repasser l’enfant par où ont passé ses pères; plus rapidement mais sans brûler d’étape. A} ce compte, l’histoire de La science doit être notre premier guide” (POINCARE apud ROXO, 1930, p.6).

2_{A expressão “princípio genético” é utilizada para designar uma versão pedagógica da “lei biogenética” de} Ernest Haeckel (1834-1919). Essa lei sugeriu que, durante o seu desenvolvimento, o embrião humano atravessaria os mais importantes estágios pelos quais teriam passado seus ancestrais adultos (RONAN, 1987, v. IV, p.79). A versão pedagógica dessa lei consiste que todo indivíduo, em sua construção particular do conhecimento, passaria pelos mesmos estágios que a humanidade teria passado na construção desse conhecimento.

(14)

formas de argumentação sobre natureza matemática podem ser encontradas em registros anteriores. Admitindo que todo o conhecimento é um acumular de esforços, chegamos à conclusão de que as manifestações argumentativas em torno das demonstrações matemáticas parecem desembocar na sistematização euclidiana. Essa sistematização pode ser vista como inspiração do formalismo moderno que, no que concerne à Geometria Euclidiana, resultará na axiomática de Hilbert.

Duas são as explicações mais frequentes dadas a essa transformação. Segundo Arsac (1987), existem duas teses que geram, por exclusões e complementações, uma terceira. A prova rigorosa, “a externalista”, por não envolver diretamente a produção do conhecimento matemático – naturalmente, surgiria da aplicação, na Matemática, das regras do debate argumentativo, que governava a vida política na cidade grega. Em contrapartida, “a internalista”, fundamentada na questão “qual o problema matemático que justificou a demonstração?”.

1 A DEMONSTRAÇÃO ENTRE OS POVOS ANTIGOS

Segundo Domingues (2002), por vários milênios, a Matemática desenvolveu-se sem utilizar o método da demonstração. Apesar de avançadas, tanto a Matemática babilônica quanto a egípcia não se baseavam em um processo de demonstração ou em qualquer estrutura axiomática que garantisse a validade de suas regras. Tais regras eram admitidas mediante a simples concordância em que se confirmavam. Provavelmente, eram atingidas através do produto da evidência física da tentativa e erro ou até mesmo pelo método empírico.

Pitágoras de Samos (532 a.C.) e sua escola pitagórica seriam os responsáveis pela criação da Matemática pura, a qual é movida por razões intelectuais e no esteio de problemas abstratos. Porém, em sua contribuição à ciência Matemática, limitou-se a estabelecer resultados particulares tanto na Geometria como na Aritmética. Outro apontamento feito pelo autor é que, de acordo com a filosofia da escola pitagórica, todos os fenômenos do universo poderiam ser explicados em termos de números inteiros positivos e suas razões. Os pitagóricos alimentavam a crença de que duas grandezas quaisquer da mesma espécie eram sempre comensuráveis. Porém, no século V a.C., o pitagórico Hipaso de Metaponto demonstrou a falsidade dessa crença. Como, exatamente, não se sabe.

Ao analisarmos Boyer (1974, p.35) e Eves (1995, p.25), podemos encontrar Tales de Mileto (600 a.C.) como o primeiro matemático preocupado com as demonstrações. Para ele “A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos” (BOYER, 1974, p.33).

(15)

Em Hefez (2005), verificamos que, para os pitagóricos, os números possuíam um poder místico adotando a aritmética como seu sistema filosófico. Possuíam, portanto, forte inclinação para a Filosofia e a Lógica, o que influenciou fortemente sua cultura e, particularmente, a Matemática. Platão (429 - 348 a.C.) sofreu grande influência dessa cultura. Apesar de não ser matemático, nela via um indispensável treinamento lógico para sua filosofia, ressaltando os processos axiomáticos e dedutivos como uma metodologia a ser seguida em todos os campos do conhecimento. A preferência de Platão pelos aspectos mais teóricos e conceituais fazia-o estabelecer uma clara diferenciação entre a ciência dos números, a qual chamava de aritmética, e a arte de calcular, a qual chamava de logística e que desprezava por ser “infantil” e “vulgar”.

Segundo Boyer (1974), Platão também esclareceu definições e reorganizou hipóteses. Entretanto, seu discípulo Aristóteles (384-322 a.C.) foi o primeiro filósofo a expor uma categoria de argumentação nos Tópicos e Retórica. Procurando um meio caminho entre Platão e os Sofistas, encontrou na Retórica uma arte que visava a descobrir os meios de persuasão possíveis para os vários argumentos. O seu objetivo foi o de obter uma comunicação mais eficaz para o saber que é pressuposto como adquirido. A Retórica de Aristóteles tornou-se a arte de compor discursos que primavam pela sua organização e beleza estética, sendo reconhecida como uma das primeiras formas de demonstração matemática. Aristóteles é conhecido como o criador da Lógica Matemática, o iluminador do pensamento matemático.

Domingues (2002) observa que Aristóteles confirma a hipótese do pitagórico Hipaso de Metaponto e ainda diz que a validação de tal hipótese pode ter sido por redução ao absurdo e a demonstra. Por esse método, a diagonal e o lado de um quadrado são incomensuráveis, demonstração essa que pode ter sido encontrada por Hipaso. A demonstração de Aristóteles é equivalente a que se dá hoje para provar que é irracional e que apresentamos a seguir.

Demonstração: é irracional

Hipótese: Existem . Demonstração:

= = = 2 =2 (1).

(1) é par e, consequentemente a também é par

(verifique!3).

3_{Observe a demonstração do teorema: a é par}

(16)

. : =2 = , ). é irracional.

Esse ambiente cultural dos pensadores gregos, desde os tempos de Tales e Pitágoras, por volta de 300 a.C., proporcionou o surgimento, em Alexandria, de um tratado que se tornaria um dos marcos mais importantes da Matemática, Os Elementos de Euclides. Dos treze livros de Os Elementos de Euclides, dez são destinados ao campo geométrico e três, ao campo aritmético. Nos três livros de aritmética, Livros VII, VIII e IX, assunto de nosso interesse nesse capítulo, Euclides desenvolve a teoria dos números naturais, sempre com uma visão geométrica (para ele os números representam segmentos e os números ao quadrado representam áreas). No Livro VII, são definidos os conceitos de divisibilidade, de número primo, de números perfeitos, de máximo divisor comum e de mínimo múltiplo comum, entre outros. No mesmo livro, encontramos bem posta a chamada divisão euclidiana: divisão de um número natural por outro. Com o uso de tal divisão, Euclides estabelece o algoritmo mais eficiente até hoje conhecido para o cálculo do máximo divisor comum de dois inteiros (Proposições 1 e 2 do livro VII), conhecido como Algoritmo de Euclides. No Livro VIII, são estudadas propriedades de sequências de números em progressão geométrica. No Livro IX, Euclides mostra de forma exímia que existem infinitos números primos, como também prova que todo número natural se escreve de modo único como produto de números primos. Essa propriedade é conhecida hoje como Teorema Fundamental da Aritmética.

Segundo Coutinho (2005), Diofanto de Alexandria, que viveu por volta de 250 anos depois de Cristo, nos legou uma obra chamada Aritmética a qual foi escrita em treze volumes, mas apenas sete nos chegaram. Trata-se do primeiro tratado de Álgebra hoje conhecido, pois a abordagem de Diofanto era totalmente algébrica, haja vista que ele iniciou a utilização de símbolos na Matemática para facilitar a escrita e os cálculos. Esses símbolos eram, geralmente, abreviações que expressavam quantidades e operações. Essa maneira de representar argumentos na resolução de problemas foi denominada álgebra sincopada. A maioria dos problemas tratados por Diofanto, em Aritmética, visava a encontrar soluções em números inteiros, muitas vezes contentando-se em encontrar apenas uma solução de equações

(17)

algébricas com uma ou várias incógnitas. A Aritmética de Diofanto, conforme Domingues (2002) é uma obra em que não se encontram definições, postulados e proposições (nem, portanto, demonstrações), mas é considerada um ícone da Matemática grega, especialmente pelo seu caráter inovador, tanto pelo conteúdo como pela abordagem.

2 A DEMONSTRAÇÃO NA IDADE MÉDIA

Nesse período, de aproximadamente mil anos, da queda de Roma em 476 à de Constantinopla, em 1453, o mundo ocidental foi regido pela Igreja Católica. Ele é também conhecido como período teocêntrico, uma época em que pensar ou escrever sobre a forma do Sol ou da Terra era motivo para ser condenado à fogueira. Tal fato ocasionou o declínio cultural, o adormecimento científico ocidental, e, por sua vez, a decadência do estudo da Matemática.

Durante esse período, a Matemática encontrou espaço para se desenvolver no Oriente, pois estava livre da repressão católica sofrida pelo Ocidente. Porém, enquanto os gregos tinham Os Elementos de Euclides, os povos do Oriente repetiam a matemática babilônica e egípcia ao colecionarem problemas específicos. Entretanto, por volta de 750, em Bagdá, foi criada uma casa da sabedoria, sendo chamados estudiosos a fim de colecionar e traduzir todas as obras gregas encontradas. Os hindus criaram nosso sistema de numeração, o qual foi utilizado e divulgado pelos árabes. Hindus e árabes realizaram muitos progressos na Aritmética, na Álgebra e na Trigonometria. Os árabes tiveram o grande mérito de conservarem os clássicos gregos e desenvolver a álgebra e a aritmética da Índia, além de levarem esses conhecimentos ao Ocidente, pela Espanha, na época das cruzadas.

Eves (1997) conta-nos, que na Índia, um dos lugares onde a Matemática conseguiu se desenvolver, afirmações geométricas eram provadas por meio de apelo à figura. Um exemplo clássico era a prova do teorema de Pitágoras, reproduzida por Bhãskara, no século XII, a qual consistia da Figura 1 acompanhada de um único comentário: “contemple-a”.

Figura 1 – Prova do Teorema de Pitágoras. Fonte: FREITAS (1994, p.3).

(18)

É bem conhecida, mesmo em nível médio, a demonstração de Bhãskara, por decomposição do teorema de Pitágoras (muito tempo antes essa demonstração já fora dada na China). Nessa demonstração decompõe-se o quadrado sobre a hipotenusa em quatro triângulos, cada um deles congruentes ao triângulo dado como se vê na figura 1. Facilmente se arranjam as partes de modo a obter a soma dos quadrados sobre os catetos. Bhãskara desenhou a figura e não ofereceu nenhuma explicação, mas tão somente a palavra “Veja”. Com um pouco de álgebra, porém, faz-se a demonstração; pois se c é a hipotenusa e a e b são os catetos do triângulo,

(EVES, 1974, p.33).

Para Domingues (2002) a Idade Média foi um período de transição com um grande declínio cultural verificado no Ocidente. A obra Os Elementos tornou-se uma obra com um nível intelectual muito acima das possibilidades da época, só usada restrita e superficialmente. Nessa época, os estudos da Matemática ficaram praticamente restritos aos povos árabes e hindus, mas esses povos não priorizavam a demonstração como os helênicos o fizeram.

3 A DEMONSTRAÇÃO NO RENASCIMENTO

O conhecimento científico, no ocidente, renasceu das trevas por volta do século XV e XVI. Ele chega à Europa por dois caminhos diferentes: uma parte conservada pelas instituições religiosas e a outra, muito mais importante, proveniente da Arábia. No final do século XV e durante o séc. XVI, a Europa já possuía muitos cultivadores da Matemática, na Escola Italiana, com Leonardo da Vinci (1452-1519), que encontrou a visão estética de suas obras na Matemática e foi buscar suas raízes na Geometria de Euclides e Platão. Tartaglia (1500-1557), Cardano (1501-1576) e Ferrari (1522-1565), algebristas italianos, foram os responsáveis pela resolução das equações de terceiro e quarto graus. Ferrari também chegou à demonstração da equação de terceiro grau.

Segundo Chevallard (1985), depois do séc. XVI essa explosão de conhecimentos marcou o progresso científico matemático. Uma das causas desse progresso deu-se com a consolidação da álgebra simbólica, que surgiu no mesmo século, na França, mas só conseguiu impor seu estilo, em grande parte do mundo, do meio do séc. XVII em diante. François Viète (1540-1603) também foi matemático notável, apaixonado por Álgebra e passou para a História como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da Matemática. Foi ele que adotou vogais para as incógnitas e consoantes para os números conhecidos. Por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra. Viète, que também simplifica as relações trigonométricas, pode ser considerado um precursor da Geometria Analítica. No

(19)

final do século XVII, foi publicada a obra de Viète, mais tarde ampliada, o qual admitiu que as expressões literais pudessem tomar valores negativos. Foi ele quem, realizando numerosas simplificações na resolução das equações, abriu caminho para os trabalhos de Descartes e Newton, entre outros. O cientista René Descartes (1596-1650), que valorizava o método axiomático-dedutivo, em particular o método matemático, ao escrever Geometria, sua única obra matemática, não utilizou nem postulados e nem demonstrações, denegrindo assim sua própria epistemologia. O mesmo ocorreu com o Cálculo. Basta citarmos Newton, um de seus criadores, ao passar a limpo suas ideias, nenhuma delas foi convincente, duramente falando.

Segundo Domingues (2002), podemos finalizar o nosso breve estudo da Matemática, no Renascimento, com o resgate da geometria euclidiana pelos matemáticos do Ocidente, graças a sua organização lógica e ao surto de desenvolvimento muito grande da Matemática em vários setores, só comparável ao período áureo da Matemática grega. Porém, novas áreas da Matemática, como a Geometria Analítica e o Cálculo, por exemplo, provavelmente, não chegaram a satisfazer sob o ponto de vista do rigor, nem mesmo a seus criadores. A Matemática renascentista foi rica no campo das novas descobertas, porém com poucas demonstrações rigorosas, não que faltasse capacidade aos matemáticos da época. A verdade é que os fundamentos da Matemática careciam ainda de uma estruturação consistente e abrangente, a qual foi alcançada somente na segunda metade do século XIX.

Para Arsac (1987), o século XVII marca uma ruptura na concepção de demonstração. Surge na Europa uma nova geração de cientistas, muito mais preocupada com a descoberta do funcionamento dos fenômenos que de suas explicações. Apesar de admirarem os antigos textos gregos, em particular os de Euclides e Arquimedes, eles formulavam sérias críticas às suas demonstrações, tais como: ausência de um método geral, utilização de demonstrações indiretas (raciocínio por absurdo) por toda a parte e, sobretudo o fato de que esses antigos textos não apresentam nenhum método de descoberta. Observa-se que o objetivo dos gregos era muito mais convencer que de esclarecer.

4 UM PERÍODO DE TRANSIÇÃO

Nesse período, segundo Hefez (2005), ocorreu o renascimento da Aritmética, na acepção de Platão, essencialmente pela obra do jurista francês Pierre de Fermat. Na época, não era comum para os matemáticos exporem as demonstrações dos resultados que descobriam, lançando-os como desafio para outros. Os resultados de Fermat foram divulgados através de suas correspondências, principalmente com o padre Marin Mersenne. Em uma de

(20)

suas cartas, de 1640, Fermat enunciou o seu Pequeno Teorema, dizendo que não escreveria a sua demonstração por ser longa demais. Descobriu vários teoremas em Teoria dos Números, mas sua contribuição mais marcante foi descobrir a sua mais famosa conjectura, que ficou conhecida como Último Teorema de Fermat. Tal fato ocorreu após ler, na Aritmética de Diofante, uma série de observações e problemas relativos ao Teorema de Pitágoras. Fermat olhou mais atentamente para a equação , a qual tem infinitas soluções e modificou-a de modo a obter uma muito semelhante. Passou a considerar uma nova equação, em que o expoente era maior do que dois, e chegou à proposição: ·, com e e inteiros positivos, não tem soluções.

Afirmação de Fermat

É impossível separar um cubo em dois cubos, ou um biquadrado em dois biquadrados ou, em geral, uma potência qualquer, exceto um quadrado em duas potências com o mesmo expoente: para isso eu descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa. Mas a margem é muito pequena para contê-la. (Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos testatem in duas ejusden nominis faz est dividere: cujus demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc margins exiguitas non caperet) (GARBI, 2007, p. 196). Segundo Domingues (2002), quanto ao cálculo, basta citar que um de seus criadores, Isaac Newton, fez três tentativas para passar a limpo suas ideias, nenhuma convincente. Evidentemente, não faltava capacidade a esse matemático, mas a verdade é que, segundo Freitas (1986), esse é o período em que a Matemática é escrava da Física, sendo sua característica principal a falta de rigor absoluto. Os matemáticos desse período utilizavam mais a intuição que a perfeição lógica, afastando-se cada vez mais das demonstrações da matemática pura. Como consequência, no séc. XVIII desenvolvem–se o cálculo diferencial, o cálculo integral e o cálculo das variações. Também são desenvolvidas as teorias analíticas e infinitesimais de curvas e superfícies, a fim de auxiliar no avanço das ciências da natureza, quando os matemáticos estavam mais preocupados com as aplicações. Para Domingues (2002), ao iniciar o séc. XIX, a geometria de Euclides, com sua organização lógica, realmente se diferenciava das matemáticas recém-descobertas ainda à procura de seus alicerces. Mas o que predominava era a visão do filósofo Immanuel Kant (1724-1804), com sua enorme influência científica de cunho euclidiano. Kant defendia o caráter a priori do conhecimento geométrico e, para isso, argumentava que uma propriedade como a de que a “a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos”, não está sujeita a alterações, haja vista tratar-se de um conhecimento universal que não comporta exceção nenhuma.

(21)

5 A VOLTA DAS DEMONSTRAÇÕES NO SÉCULO XIX

No séc. XIX ocorreu a idade áurea da Matemática. Nesse século, a produção matemática superou tanto em quantidade como em qualidade toda a época precedente em conjunto. Galois (1811-1832) cria a teoria dos grupos e põe fim ao problema da resolução das equações algébricas por meio de radicais. A partir da segunda metade desse século, a Álgebra passa a tratar dos estudos das estruturas algébricas. Houve avanços no campo da Geometria, com a resolução do “problema das paralelas”. Na solução desse problema, nascem as geometrias não euclidianas. Hilbert (1862-1943), com a obra “fundamentos da geometria”, dá um tratamento axiomático rigoroso contrapondo-se ao método euclidiano. Ocorre também a chamada Aritmetização da Análise, com os matemáticos Cauchy (1789-1857), Weierstrass (1822-1901), Rieman (1826-1866), e outros. Cantor (1845-1918) e Dedekind (1831-1916) solucionaram, quase que simultaneamente, o problema da continuidade da reta em trabalhos independentes. A “Teoria dos Conjuntos” foi criada por Cantor para analisar os diversos tipos de conjuntos infinitos.

Para Domingues (2002), mediante tantas criações postas no parágrafo anterior, as demonstrações foram reformuladas, pois tornou-se necessário submeter a demonstração a uma análise mais profunda. Dentre os matemáticos que contribuíram para essa reestruturação é importante citarmos G. Frege (1848-1925). Com ele, surgiu a demonstração formal, a qual é formada por uma sequência de proposições tal que: (i) a primeira proposição é um axioma; (ii) cada uma das outras ou é um axioma ou é dedutível diretamente das que precedem na sequência; (iii) a última preposição é a que se pretendia demonstrar. Apesar de um grande avanço em relação aos procedimentos psicológicos precedentes, a demonstração formal carregava consigo a semente de alguns contratempos futuros para os especialistas matemáticos.

6 O CAMINHO DAS DEMONSTRAÇÕES NA PASSAGEM DO SÉC. XX PARA O SÉC. XXI

Segundo Davis (1985), a Matemática, nas primeiras décadas do séc. XX é marcada pela chamada “crise dos fundamentos”. As três principais correntes que envolveram os princípios básicos dessa ciência são: logicismo, intuicionismo e formalismo. O logicismo de Bertrand Russel (1872-1970) pretendia tornar a matemática parte da lógica. A teoria dos conjuntos de Cantor parecia, a princípio, ser quase o mesmo que a lógica. A relação de

(22)

inclusão da teoria dos conjuntos em que A é um subconjunto de B, pode ser sempre restrita como a relação lógica de implicação, “se A, ent o B”. Assim, parecia possível que a lógica da teoria dos conjuntos poderia servir de fundamento para toda a Matemática. No entanto, foi o próprio Russel quem descobriu que a noção que demonstrava aparência de conjunto continha armadilhas inesperadas. O paradoxo de Russel mostrou que a lógica intuitiva, longe de ser mais segura do que a matemática clássica, era mais traiçoeira, uma vez que poderia conduzir a contradições de uma maneira que nunca aconteceria na aritmética ou na geometria.

O intuicionismo é uma doutrina nascida entre os próprios matemáticos. Segundo ela, só possuem existência real aqueles objetos matemáticos que podem ser construídos a partir de certos objetos primitivos, de maneira finita. Segundo Davis (1985), os intuicionistas eram também conhecidos por construtivistas e consideravam muitas das demonstrações – padrão da matemática clássica como inválidas. Em alguns casos, fornecem uma demonstração construtiva, em outros mostram que tal demonstração é impossível. Teoremas que são considerados verdadeiros na matemática clássica são considerados falsos na matemática construtiva. Hilbert, em particular, ficou alarmado e empreendeu-se na tarefa de criticar a matemática intuicionista, dando uma demonstração da consistência da matemática clássica e fazendo surgir o formalismo.

O formalismo é a posição em que a Matemática consiste num jogo de símbolos com regras bem definidas, ou seja, axiomas, definições e teoremas, sendo que, na França, nas primeiras décadas do século passado, o Grupo Boubarki aproxima-se bastante de suas ideias.

Segundo Domingues (2002), na década de 20, Hilbert e sua escola criaram a teoria da demonstração, um método que objetivava estabelecer a consistência de qualquer sistema formal. Buscando evitar críticas, adotou uma lógica que se aproximava dos princípios intuicionistas. Assim, reduziu a consistência da maior parte da Matemática à da teoria dos números ou à da teoria dos conjuntos. Porém, Kurt Gödel (1906-1978) publicou resultados demonstrando que tal projeto era irrealizável, já que era impossível estabelecer a consistência de qualquer sistema matemático amplo o possível para abarcar a aritmética dos números inteiros. No entanto, o formalismo tornou-se a corrente predominante nos textos matemáticos. Imre Lakatos (1922-1973) entrou em cena como um filósofo matematicamente educado, apresentando uma Matemática crescendo a partir de um problema e uma conjectura, com uma teoria adquirindo forma sob os nossos olhos, no calor do debate e da discordância; a dúvida cedendo lugar à certeza, e em seguida, a novas dúvidas. Proofs and Refutations, nome da obra-prima de Lakatos, foi, durante quinze anos, uma espécie de clássico proibido entre os matemáticos até ser publicado em forma de livro, em 1976, pela Editora da Universidade de

(23)

Oxford, três anos após sua morte. Em sua obra, ele utiliza a história para explicar a Matemática. Segundo Lakatos (1978), a Matemática, como as outras ciências, é falível, crescendo por meio a críticas e correção de suas teorias não livres de erros.

Para Lakatos (1978), a demonstração, neste contexto de matemática informal, não significa um processo mecânico, que transmite as verdades em uma cadeia inquebrantável das hipóteses às conclusões. Em vez disso, significa explicações, justificações, elaborações, que tornam a conjectura mais plausível, enquanto é testada pela produção de contraexemplos. Assim, Lakatos aplicou sua análise epistemológica não ao formalismo, mas à matemática informal, do processo de crescimento à descoberta, que é, naturalmente, a Matemática conhecida dos matemáticos e dos estudantes de Matemática.

Segundo Coutinho (2005), foi a influência da filosofia grega que fez da Matemática uma ciência. De fato, os primeiros matemáticos gregos estão entre os primeiros filósofos, como é o caso de Tales e Pitágoras. A noção de que um fato matemático pode ser demonstrado é fruto da interação da Matemática e da Filosofia. Afinal, a demonstração é um argumento para esclarecer como certo fato é consequência de algo que conhecemos. Na Educação Matemática, em vez de apresentar uma fórmula e aplicá-la, devemos entender porque a mesma é verdadeira. Um fato matemático é frequentemente chamado de teorema. O sentido moderno de “proposi o a ser demonstrada” é atestado a partir dos Elementos de Euclides. O enunciado de um teorema é constituído de duas partes: a hipótese e a tese. A hipótese descreve aquilo que estamos supondo ser verdade; a tese é a conclusão do teorema.

Vejamos um exemplo de demonstração:

Demonstração: a é par é par

Podemos dividir este teorema em duas partes e demonstrá-las separadamente:

(1)-Tese: Se é um número inteiro par, então também é par. Resolução:

-Hipótese: a é inteiro par / Tese: é par.

A hipótese nos diz que a é inteiro par. Isto significa, por definição, que é múltiplo de 2. Portanto deve existir um inteiro b tal que a = 2b. Elevando ao quadrado temos Assim também é múltiplo de 2; logo é par. Mas Isto é a tese, e, portanto o teorema está provado.

(2)-Tese: Se _{é um número inteiro par, então também é par.}

Resolução:

Na verdade o que vai ser provado é a contrapositiva desta afirmação, que é : se não é par.

(24)

Um número ímpar é sempre da forma . Logo se é ímpar, tem que existir um inteiro tal que . Elevando ao quadrado obtemos

= = , que é um número ímpar. Portanto a contrapositiva da afirmação que queremos provar é verdadeira. Como contrapositiva e afirmação original são equivalentes, provamos que se é um número inteiro par, então também é par.

Por (1) e (2) temos que se a é par é par.

Para Braun (2007), a Matemática apresenta as demonstrações clássicas, como as do exemplo anterior, e também as demonstrações por absurdo4, com base no Princípio do Terceiro Excluído, o qual afirma que uma sentença é verdadeira ou falsa. Se couber uma terceira opção, adotamos como hipótese exatamente o contrário daquilo que queremos provar. Desse modo, ao encontrarmos uma contradição durante a demonstração, se está logicamente encadeada, é porque essa contradição deve-se exatamente às hipóteses do problema e, portanto, essas hipóteses são falsas e sua negação é verdadeira.

De acordo com Bicudo e Garnica (2006), buscar o caminho histórico que constitui a prova rigorosa como fundamental ao estilo matemático, passa, naturalmente, pela constituição da própria Matemática como ciência hipotético-dedutiva. As raízes históricas dessa constituição parecem iniciar-se na Grécia, mas, certamente, formas de argumentação sobre proposições de natureza matemática podem ser encontradas em registros bem anteriores, posto que todo conhecimento é um acumular de esforços, indo da sistematização proposta por Euclides até a formalização axiomática de Hilbert. E ainda relatam-nos, que a Educação Matemática é o campo propício para o estabelecimento de uma postura crítica em relação à Matemática, contrapondo-se à esfera de produção científica da Matemática, campo de uma postura técnica com tendências conservadoras quanto ao ensino e à aprendizagem. Enaltece o destino crítico da Educação Matemática pela aceitação de metodologias alternativas, pelo vínculo de sua prática de pesquisa com a prática pedagógica, pela tendência em valorizar o processo em detrimento do produto.

7 AS DEMONSTRAÇÕES E AS NOVAS TENDÊNCIAS

Tendências atuais em Educação Matemática apontam para a necessidade de ir além do domínio da técnica, ou seja, não basta tomar uma fórmula e aplicá-la, é igualmente importante

4

Para verificar a Demonstração de Aristóteles para a constatação de que a diagonal e o lado de um quadrado são incomensuráveis, por redução ao absurdo, recomendamos a leitura da Revista Carta na Escola, São Paulo, SP: Editora Confiança, 14. ed. mar. 2007.

(25)

entender sua origem e por que a mesma é verdadeira. Em nosso levantamento histórico, percebemos por que a construção de provas pelos alunos é um assunto que causa angústia em alguns pesquisadores brasileiros. No Guia do PNLEM, encontramos a seguinte citação com relação à orientação quanto ao trabalho com as demonstrações nos livros didáticos do Ensino Médio no Brasil:

O livro-texto deve valorizar os vários recursos do pensamento matemático, como a imaginação, a intuição, o raciocínio indutivo e o raciocínio lógico-dedutivo, a distinção entre validação matemática e validação empírica e favorecer a construção progressiva do método dedutivo em Matemática. A respeito do método dedutivo, convém advertir para desvios freqüentes a serem afastados. O primeiro deles é o de formular uma generalização como fato provado, com base na verificação de exemplos — muitas vezes um ou dois apenas. Outros são apresentar provas muito complicadas de alguns teoremas, que podem ser deixadas para estudos posteriores, ou expor demonstrações difíceis para fatos intuitivamente evidentes. Muitas vezes, tais demonstrações podem ser dispensadas sem prejuízo da compreensão. (BRASIL, 2006, p.75).

Além da citação anterior, temos ainda as pesquisas que envolvem a trajetória da evolução do raciocínio matemático. Destacamos Pietropaolo (2009), que apresenta em sua tese a existência de muitas pesquisas, não brasileiras, envolvendo provas na Educação Básica. Esse pesquisador identificou o senso comum entre os professores de Matemática entrevistados. A prova é vista por estes professores como “conteúdo” e como recurso pedagógico bastante rico em sala de aula, mas desde que se admita um sentido maior para essa palavra e não a simples reprodução – pelo aluno e professor – das provas presentes nos livros, mas sim o “fazer matemática” em sala de aula, envolvendo assim experimentações, conjecturas e argumentações.

Encontramos também, na dissertação de Leandro (2006), o estudo diagnóstico das validações realizadas por alunos do Ensino Médio de uma escola localizada em São Paulo, no qual ele se apoiou na Tipologia de Provas de Ballacheff (1988), que é resultado de sua tese de doutorado. O pesquisador aponta as dificuldades dos alunos ao construírem e elaborarem provas matemáticas, desde as mais empíricas até as mais formais. Em seu trabalho, ao analisar uma classe particular de problemas, ele identifica a existência de diferentes tipos e níveis de prova em Matemática.

Hanna e Jahnke (1996, p. 47) procuram sintetizar a função da prova na Matemática e na Educação Matemática: “[...] enquanto na prática matemática a função da prova é a justificação e a verificação, a sua função principal na educação matemática é seguramente a da explicação”.

(26)

E ainda sugere em seu trabalho que o ensino da demonstração no contexto da matemática escolar serve para esclarecer ideias que vale a pena tornar conhecidas dos alunos. Estas ideias de negociação e aceitação também são apresentadas na tese de Garnica (1996), a seguir:

O programa de rigor sistematizado por Euclides, dizem, não é, nem nunca foi, seguido rigidamente na produção em matemática [...] donde a aceitação de um resultado, entre os que produzem matemática, ser mais um processo social de negociação de significados dentro do grupo de especialistas ao qual o resultado em questão se relaciona, do que o mero seguir cego das regras impostas pela proposta formal. (GARNICA, 1996, p.37).

Healy e Hoyles (2000) realizaram um estudo sobre concepção de provas matemáticas produzidas por alunos ingleses com idades entre 14 e 15 anos. Constataram que o empirismo é muito forte e que os alunos possuem muitas dificuldades na elaboração de provas mais formais. Como resultado, chegou-se à conclusão de que tais dificuldades não se devem somente à competência dos alunos, mas também a fatores curriculares, pois as demonstrações matemáticas são pouco trabalhadas em sala de aula. Os questionários elaborados por esses pesquisadores já foram adaptados e utilizados em vários países.

Há vários estudos dedicados à passagem da Aritmética para a Álgebra. Essa passagem tem se mostrado fonte de dificuldades para um grande número de alunos, dentre elas aquelas ligadas à introdução do formalismo algébrico (CHEVALLARD, 1985, 1989; GALLARDO; ROJANO, 1988; VERGNAUD, 1988). No entanto, trabalhos sobre o aprendizado da demonstração são frequentes para conteúdos de Geometria, mas poucos são os estudos específicos sobre processos de prova na resolução de problemas de “Aritmética-Álgebra”.

Como o estudo que aqui apresentamos está centrado em conjecturas e provas no Conjunto dos Inteiros e em problemas na passagem da Aritmética para a Álgebra, priorizamos a análise de trabalhos de alguns autores, cujos objetos de estudo estão mais próximos dessa temática.

No trabalho realizado por Freitas (1993), relativamente ao campo da Aritmética-Álgebra, foram identificados dois tipos de provas intelectuais: a prova por enunciados e a prova algébrica. Essa distinção foi feita levando-se em conta de um lado, a linguagem empregada (linguagem natural versus linguagem algébrica); de outro, o funcionamento mental inerente. Segundo Freitas (2007), a atividade de validação dos alunos depende tanto do domínio da linguagem quanto do conteúdo:

(27)

Nas duas categorias de provas, “pragmáticas” e “intelectuais”, produzidas pelos alunos observamos tanto tratamentos de registros, quanto conversões entre três tipos de registros de representação: linguagem natural, numérica e algébrica. Observamos que a atividade de validação é indissociável do registro utilizado, ou seja, que a provas produzidas pelo aluno dependem tanto do seu domínio sobre registro de representação quanto do nível de conhecimento sobre o conteúdo representado (FREITAS, 2007, p.123, grifo do autor).

No tipo “prova por enunciados”, a formulação da sequência dedutiva das afirmações é apresentada em linguagem natural, enquanto que no tipo “prova algébrica” a sequência de afirmações prioriza o emprego de códigos simbólicos da linguagem algébrica para atingir relações gerais. Nesse trabalho, identificou-se que muitos alunos, de início do Ensino Médio, diante de certos problemas que exigem um nível mais elevado de abstração ou de generalização, insistiam em verificar exemplos aritméticos particulares, permanecendo no nível empírico de validação sem atingir o nível adequado.

Ainda no que concerne ao aprendizado da Álgebra, em nível dos anos finais do Ensino Fundamental e Médio, constata-se que um dos principais objetivos é desenvolver a capacidade de utilização de símbolos, que inclui tanto o cálculo algébrico quanto a modelagem e o estudo de variação. Segundo Ponte (2000), o pensamento algébrico deve igualmente incluir a capacidade de lidar com estruturas matemáticas e usá-las na interpretação e resolução de problemas matemáticos ou de outros domínios e, em particular, na validação algébrica de conjecturas.

Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) desenvolvem atividades de investigação com alunos de faixa etária entre 12 e 14 anos, para uma variedade de problemas envolvendo a produção e validação de conjecturas, alguns bastante próximos daqueles por nós trabalhados. Dentre suas conclusões, ele identifica a “partilha de conhecimentos” como um aspecto importante desse trabalho:

Os alunos podem pôr em confronto as suas estratégias, conjecturas e justificações, cabendo ao professor desempenhar o papel de moderador. O professor deve garantir que sejam comunicados os resultados e os processos mais significativos da investigação realizada e estimular os alunos a questionarem-se mutuamente. Essa fase deve permitir também uma sistematização das principais idéias e uma reflexão sobre o trabalho realizado. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p. 41).

Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) afirmam que em um ambiente de Investigação Matemática pode ser comparado àquele vivenciado pelos matemáticos quando estão em processo de produção do conhecimento matemático. Esse ambiente pode ser caracterizado

(28)

como exploratório e de formulação de conjecturas ou hipóteses, as quais são testadas empiricamente ou racionalmente, verificando sua validade ou não. Ou seja, o que mais fortemente as caracteriza é este estilo de conjectura – teste – demonstração: um ambiente especial de formulação e resolução de problemas.

Por outro lado, Pietropaulo (2005) argumenta que os motivos pelos quais as provas, rigorosas ou não, deveriam estar presentes nos currículos da Matemática em qualquer nível escolar não se resumem apenas ao fato da demonstração é o – ou está no – “coração da Matemática” e é fundamental olhar a relação prova - Educação Matemática, no que diz respeito às demonstrações, sob outras perspectivas não exclusivas, tais como cognição e práticas argumentativas.

Devemos salientar, contudo, que há estudos sobre provas com estas perspectivas – sobre os quais falaremos mais adiante, no próximo capítulo, aqueles que usam as investigações, a partir de validações de conjecturas, utilizando meios que permitam a mobilização de conhecimentos prévios de cada sujeito.

(29)

CAPÍTULO 2

CONSTRUÇÃO DO OBJETO DE PESQUISA

Neste segundo capítulo, realizamos uma breve discussão sobre Educação Matemática e Didática da Matemática, problemas matemáticos, conjecturas, mais especificamente, um estudo referente à produção de provas por meio de validações aritméticas e algébricas na Matemática, bem como relativo a aspectos da aprendizagem. Pesquisamos tanto demonstrações matemáticas, quanto outras formas de validação.

1 EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E DIDÁTICA DA MATEMÁTICA

A área de Educação Matemática vem se consolidando há cerca de três décadas, tornando-se campo de pesquisa na Alemanha, Estados Unidos, França, Holanda, Inglaterra e em outros países. No Brasil, a partir do início da década de 1990, surgem propostas inovadoras as quais valorizam o trabalho com campos de significado tais como: contextualização, interdisciplinaridade, articulação entre os conteúdos, uso das novas tecnologias e formação continuada dos professores, entre outras.

A Educação Matemática, segundo Pais (2005), é um grande campo de pesquisa educacional, cujo objeto de estudo é a compreensão, interpretação e descrição dos fenômenos referente ao ensino e à aprendizagem da Matemática nos diversos níveis de escolaridade, quer seja em sua dimensão teórica ou prática.

Encontramos a seguinte citação a respeito de como poderiam ser trabalhadas essas novas tendências dentro da Matemática no Brasil:

Apesar dessas tendências permearem a Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB), os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), o Projeto Nacional de Livros Didáticos (PNLD) e, em parte, o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), elas continuam ainda distantes das práticas pedagógicas da maioria dos professores que estão atuando em sala de aula. É necessária a participação dos docentes na elaboração dessas políticas e, sobretudo, é imprescindível investir na formação continuada do professor (BITTAR; FREITAS, 2005, p.22).

A partir da leitura de textos e artigos da área de Educação Matemática, é possível perceber que a Matemática por ela proposta é aquela que funciona como um motor de progresso social, de liberdade individual e política. É um instrumento capaz de manejar

(30)

situações novas e reais a partir da modelagem e formulação de problemas que, de modo geral, não estão presentes nos antigos currículos. E, sobretudo, é um fator de formação do cidadão, pois fornece subsídios para analisar e interpretar dados, preparando-o politicamente para a leitura do mundo globalizado.

Para D’Ambrósio (2005), a Educação Matemática tem sido central no pensamento dos filósofos desde a Antiguidade. Somente no início do século XX, com a importância da Matemática no intenso desenvolvimento científico e tecnológico da época, e apoiado nas novas teorias da aprendizagem, a Educação Matemática começa a tornar-se autônoma. A fundação, em 1908, da Comissão Internacional de Instrução Matemática, o ICMI, tendo o ilustre matemático Félix Klein, como seu primeiro presidente, foi o ícone do reconhecimento dessa autonomia.

Somente a partir do final da década de 60, começa a se definir a Didática da Matemática como uma das disciplinas centrais da Educação Matemática, a qual pesquisa os fatores que influenciam o ensino-aprendizagem da Matemática e o estudo das condições que favorecem a sua aquisição pelos alunos.

Segundo Pais (2005), a Didática da Matemática tem como objeto de estudo a elaboração de conceitos e teorias compatíveis com a especificidade educacional do saber escolar matemático, procurando manter fortes vínculos com a formação de conceitos matemáticos, tanto em termos experimentais da prática pedagógica, como no território teórico da pesquisa acadêmica. Encontramos, no Programa Epistemológico de ensino e aprendizagem matemática, que vem sendo desenvolvido por teóricos franceses uma representação do que estamos aqui considerando como Didática da Matemática.

Dentre as teorias da Didática da Matemática, apoiamo-nos mais especificamente na Teoria das Situações Didáticas, de Brousseau, e no modelo de Tipologia de Provas de Balacheff. A primeira teoria nos fornece meios de investigar possibilidades de aprendizagem, tanto no que concerne ao uso da linguagem matemática quanto ao de generalidade envolvida na produção de tipos e níveis mais elevados de provas, enquanto que a segunda possibilita diagnosticar e categorizar tipos de validações algébricas produzidas por alunos.

2 REFERENCIAL TEÓRICO E METODOLÓGICO

Dois foram os referenciais teóricos básicos sobre os quais nos apoiamos na condução deste trabalho: a Teoria das Situações Didáticas, proposta por Brousseau (1986), e o modelo de produção de provas de Balacheff (1988).

(31)

Através da Tipologia de Provas de Balacheff (1988), podemos identificar os tipos de provas produzidos pelos alunos, bem como, ao lado da Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1986), avaliar a ocorrência de aprendizagem.

No que concerne à parte metodológica, para coleta e análise de dados sobre provas produzidas e aprendizagens realizadas pelos alunos, apoiamo-nos metodologicamente na Engenharia Didática. Artigue (1988) caracteriza a Engenharia Didática como sendo um método que dá importância tanto à dimensão teórica quanto ao experimental da pesquisa, possibilitando meios que permitam investigar a aprendizagem de conceitos matemáticos.

3 A TIPOLOGIA DE PROVAS

No modelo teórico de Ballacheff (1988), são identificados vários tipos de provas classificadas em dois níveis: a prova pragmática e a prova conceitual.5

São consideradas pragmáticas as provas que se apoiam em manipulações empíricas. Ao contrário disso, as provas conceituais apoiam-se em formulações de propriedades e de possíveis relações entre elas. Nesse sentido, as demonstrações são caracterizadas como um tipo de prova conceitual. Balacheff admite que o movimento das provas pragmáticas para as provas conceituais repousa inicialmente em tomar conhecimento da qualidade genérica das situações consideradas. Tal movimento exige um nível elevado de descontextualização, despersonalização e destemporalização do objeto em questão.

Balacheff (1988) considera que as palavras explicação, prova e demonstração aparecem frequentemente como sinônimos nos enunciados de problemas em Matemática, mas em seu modelo teórico elas possuem significados diferentes. Para esse pesquisador, explicação é um discurso que visa a tornar inteligível o caráter de verdade de uma proposição ou de um resultado que o indivíduo que o faz acredita em sua validade. Prova é uma explicação aceita por certa comunidade, num dado momento e contexto particular. Demonstração é uma prova particular, aceita pela comunidade matemática e constituída a partir de uma sequência de afirmações organizadas com regras aceitas por essa comunidade. Segundo Balacheff, a demonstração é, em Matemática, um tipo privilegiado de prova envolvendo uma prática que permite comunicação dentro da academia.

5

Balacheff usa o termo intelectual, mas estamos chamando de conceitual, por considerarmos mais adequado ao contexto da nossa língua e porque ela é caracterizada por tratar de conceitos e propriedades.