U
NIVERSIDADE
F
EDERAL DE
G
OIÁS
I
NSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
M
ILTON
J
AVIER
C
ÁRDENAS
M
ENDEZ
Parametrização de uma hipersuperfície
via função suporte no espaço
Hiperbólico
Goiânia 2018
M
ILTON
J
AVIER
C
ÁRDENAS
M
ENDEZ
Parametrização de uma hipersuperfície
via função suporte no espaço
Hiperbólico
Dissertação apresentada ao Programa de Pós–Graduação do Instituto de matemática e estatística da Universidade Federal de Goiás, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.
Área de concentração: Geometria.
Orientador: Prof. Armando Mauro Vasquez Corro
Goiânia 2018
Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor, através do Programa de Geração Automática do Sistema de Bibliotecas da UFG.
CDU 514.77 Cardenas Mendez, Milton Javier
Parametrização de uma hipersuperfície via função suporte no espaço Hiperbólico [manuscrito] / Milton Javier Cardenas Mendez. - 2018. LXXVII, 77 f.
Orientador: Prof. Dr. Armando Mauro Vasquez Corro.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás, Instituto de Matemática e Estatística (IME), Programa de Pós-Graduação em Matemática, Goiânia, 2018.
Bibliografia.
Inclui gráfico, lista de figuras.
1. O problema de Christoffel. 2. O problema de Nirenberg. 3. Horoesferas, métrica horoesferica,. 4. Raio de curvatura hiperbólico. 5. Aplicação hiperbólica de Gauss.. I. Vasquez Corro, Armando Mauro, orient. II. Título.
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador(a).
Milton Javier Cárdenas Mendez
Graduou-se em Matemáticas na UDFJC - Universidad Distrital Francisco José de Caldas em 2014.Durante a graduação sempre foi um estudante ativo nas atividades acadêmicas na UDFJC. Durante o Mestrado na UFG- Universidade Federal de Goiás, foi bolsista da CNPq.
Agradecimentos
Agradeço meu orientador Dr. Armando Mauro Vasquez Corro por me guiar na produção deste trabalho.
Agradeço aos professores e funcionários do IME pelo apoio e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico- (CNPq) pelo apoio financeiro para a realização desta dissertação.
Finalmente agradeço minha família, pois sem a ajuda deles eu não teria conseguido terminar este trabalho, em especial a minha mãe Ana Elvia Mendez, por sua compressão e conselhos, e ao meu pai Rafael Cárdenas por seu amor e todo o apoio.
É pela lógica que demonstramos, mas pela intuição que descobrimos. Henri Poincaré ,
Resumo
Cárdenas Mendez, Milton Javier. Parametrização de uma hipersuperfície via função suporte no espaço Hiperbólico . Goiânia, 2018.77p. Dissertação de Mestrado. Instituto de matemática e estatística, Universidade Federal de Goiás.
Nosso primeiro objetivo é revisar a aplicação hiperbólica de Gauss para hipersuperfícies Mn ⊂ Hn+1 e sua relação com as horoesferas tangentes, vamos apresentar ovaloides horoesfericos como hipersuperfícies compactas com aplicação regular hiperbólica de Gauss, além disso, queremos dar uma possível formulação do problema de Christoffel em Hn+1 com a noção de raios de curvatura hiperbólica.
Nosso segundo objetivo é mostrar que o problema de Christoffel em Hn+1 é equivalente ao problema de Nirenberg em Sn, isso é equivalente, dar uma parametrizacão de uma hi-persuperfície em termos da aplicão hiperbólica de Gauss e da funcão suporte horoesferica.
Palavras–chave
O problema de Christoffel, o problema de Nirenberg, horoesferas, métrica horo-esferica, raio de curvatura hiperbólico, aplicação hiperbólica de Gauss.
Abstract
Cárdenas Mendez, Milton Javier. Parametrização de uma hipersuperficie via função suporte no espação Hiperbólico. Goiânia, 2018. 77p. MSc. Dissertation. Instituto de matemática e estatística, Universidade Federal de Goiás.
First objective will revise the hyperbolic Gauss map for hypersurfaces Mn⊂ Hn+1and its relation with tangent horospheres. We will introduce horospherical ovaloids as compact hypersurfaces with regular hyperbolic Gauss map and analyze their properties, analyzes the possible formulations of the Christoffel problem in Hn+1 and that this leads to the notion of hyperbolic curvature radii.
Second objective we will prove that the Nirenberg problem on Sn is equivalent to the Christoffel problem in Hn+1. This equivalence is made explicit by means of a representation formula for hypersurfaces in terms of the hyperbolic Gauss map and the horospherical support function.
Keywords
Christoffel problem, Nirenberg problem, horospheres, horospherical metric, hy-perbolic curvature radii, hyhy-perbolic Gauss map.
Sumário
Lista de Figuras 10 1 Preliminares 13 1.1 Variedades Diferenciáveis 13 1.2 Imersões e mergulhos 15 1.3 Métricas Riemannianas 161.4 Gradiente, divergência e Laplaciano 20
1.5 Formas Fundamentais 24
1.6 Geodésicas 26
1.7 Curvaturas 35
1.7.1 Curvatura Seccional 38
1.7.2 Curvatura de Ricci e curvatura escalar 40
1.8 Espaço Hiperbólico 40
1.8.1 Modelos do espaço hiperbólico 43
2 Parametrização de uma hipersuperfície via função suporte no espaço
Hiperbó-lico 48
2.1 Horoesferas e aplicação hiperbólica de Gauss 48
2.2 Regularidade da aplicação hiperbólica de Gauss 51
2.3 Métrica Horoesferica 56
2.4 O problema de Christoffel emHn+1 57
2.4.1 Raio de curvatura hiperbólico 58
2.4.2 Orientação e fluxo paralelo 59
2.5 Formulação do problema de Christoffel emHn+1 60
2.6 Parametrização de uma hipersuperfície via função suporte 61
Lista de Figuras
1.1 Mudança de parametrizações 14
1.2 A diferencial deφem p 14
1.3 Aplicação diferenciável 15
1.4 Imersão 16
1.5 Geodésicas do plano de Lobatchvski 32
1.6 Geodésicas no modelo do Poincaré paraM= B2 45
1.7 Geodésicas modelo do hiperboloide 47
2.1 (a) e (b) São exemplos de horoesferas no modelo do Poincaré 49 2.2 (a) e (b) São exemplos de horoesferas no modelo do espaço semi-superior 49
2.3 Horoesfera no hiperbolóide 50
2.4 (a) e (b) São Aplicações hiperbólicas de Gauss no modelo de Poincaré e
no espaço semi-superior respectivamente 51
Introdução
Alguns dos problemas mais interessantes na teoria das EDP´s geométricas vem da seguinte questão clássica:Dado um difeomorfismo G : Sn−→ Sn e uma função suave (classe C∞) F : Sn−→ R, pode-se encontrar uma hipersuperfície convexa f : Sn−→ Rn com aplicação de Gauss G e com F uma função prescrita por suas curvaturas principais?. Possivelmente o mais antigo caso particular deste problema é o famoso problema de Christoffel [4] que prescreve F por meio dos raios de curvatura da hipersuperficie
F =1 n n
∑
i=1 Ri, Ri= 1 ki (0-1)Onde k1, ..., knsão as curvaturas principais da hipersuperficie. O problema de Christoffel clássico foi resolvido após os trabalhos [5] [6].
É natural esperar que o problema de Christoffel tenha extensões para outros es-paços, apesar de muitas contribuições interessantes sobre hipersuperfícies com curvaturas de Weingarten prescritas,um desenvolvimento satisfatório do problema de Christoffel em Sn+1ou Hn+1 permanece desconhecido. O motivo para isso parece ser, como Oliker [14] ressalta, que a aplicação normal de Gauss clássica não é valida, é dizer não está disponí-vel nesses espaços. De fato, o unitario normal leva seus valores no unitario tangente da forma espacial, que não é identificado com Sn.Então a pergunta sutil é como formular o problema de Christoffel em Sn+1ou Hn+1.
Nossa principal referência para este trabalho é o artigo [10], nosso primeiro objetivo neste artigo é mostrar que o problema de Christoffel pode ser naturalmente formulado no contexto das hipersuperfícies Mn ⊂ Hn+1 no espaço hiperbólico. Por isso, nós substituímos a aplicação normal de Gauss pela aplicação de Gauss hiperbólico G: Mn −→ Sn, que é amplamente aceita entre especialistas em geometria hiperbólica para ser o análogo da aplicação normal Gauss. Além disso, as inversas das curvaturas principais de Mn⊂ Hn+1não servem mais como raios de curvatura neste contexto. Vamos superar essa dificuldade ao introduzir os raios de curvatura hiperbólica de Mn⊂ Hn+1, definindo Ri= |1−k1 i|, o qual desempenhará um papel importante em Hn+1.
12
essencialmente equivalente a um problema famoso da teoria das EDP´s geométricas isto é, o problema de prescrever a curvatura escalar em Snpara métricas conformes, conhecido como o problema de Nirenberg (ou o problema de Kazdan-Warner).
Dada a aplicação S : Sn−→ R existe uma métrica g = e2ρg
0conforme a métrica estándar g0de Sne cuja curvatura escalar é dada por S ?.
Equivalentemente, para quais funções S em Sna seguinte EDP não linear elíptica ( −∆g0ρ + 1 =e2ρ 2 S(x) se n= 2 −∆g0u+n(n−2) 4 u= n−2 4(n−1)S(x)u n+2 n−2 se n> 2, u 4 n−2 = e2ρ (0-2)
Admite solução global definida em Sn. Portanto vamos mostrar a equivalência da para-metrização φ = e2p(1 + e−2p(1+ k ∇g0ρ k2
g0)(1, x) + e
−p(0, −x + ∇g0ρ)) com (0-2)
O problema de Nirenberg recebeu um número impressionante de contri-buições nos últimos 30 anos. Como resultado, pesquisadores em EDP´s geomé-tricas têm esclarecido um importante numero de funções suaves em Sn que sur-gem como funções de curvatura escalar de métricas conformes. Podemos citar [[1],[11],[12],[13],[16],[17],[3],[7],[9],[8],[18],[19]] como alguns trabalhos (veja a pes-quisa [20] para mais detalhes). No entanto, uma caracterização completa de funções de curvatura escalar em Snainda é desconhecida.
A construção de ida e volta que desenvolvemos aqui nos permitirá trasladar os resultados do problema de Nirenberg em resultados para o problema de Christoffel em Hn+1. Reciprocamente, nossa construção também fornece uma interpretação da teoria de hipersuperficie de um problema abstrato da geometria conforme, tais como o problema de Nirenberg.
CAPÍTULO
1
Preliminares
Neste capítulo introduziremos algumas definições e alguns resultados básicos de geometria Riemanniana. No decorrer de cada uma dessas seções particularizaremos os resultados com o objetivo de compreender o nosso principal ambiente de estudo o espaço hiperbólico.
1.1
Variedades Diferenciáveis
Definição 1.1 Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M e uma família de aplicações biunívocas xα : Uα ⊂ Rn → M de abertos Uα de Rn em M tais que:
(a) S
α
xα(Uα) = M.
(b) Para todo para α, β com xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= /0, os conjuntos x −1 α (W ) e x−1
β (W ) são abertos em R
n e as aplicações x−1
β ◦ xα são diferenciáveis ver figura1.1
(c) A família{(Uα, xα)} é máxima relativamente às condições (a) e (b).
O par (Uα, xα) com p ∈ xα(Uα) é chamado uma parametrização de M em p.Uma familia {(Uα, xα)} satisfazendo (a) e (b) é chamada uma estrutura diferenciável em M.
A condição (c) aparece por razões técnicas e que uma estrutura diferenciável induz de uma maneira natural uma topologia em M. Basta definir que A ⊂ M é um aberto de M se x−1α (A ∩ xα(Uα)) é um aberto do Rnpara todo α.
Exemplo 1.1 Considere o conjunto Sn⊂ Rn+1, dado por
Sn= {(x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1; x21+ · · · + x2n+1= 1} E a aplicação π1: Rn→ Sn− {N}, dada por
π1(y) = 2y1 1 + |y|2, ..., 2yn 1 + |y|2, |y|2− 1 1 + |y|2 (1-1)
1.1 Variedades Diferenciáveis 14
Onde y= (y1, ..., yn) ∈ Rne N denota o polo norte de Sn. De maneira análoga, podemos definir a aplicação π2: Rn→ Sn− {S} que cobre Snmenos o polo sul S. Assim, a familia {(πi, Rn)}, com i = 1, 2, é uma estrutura diferenciável para Sn.
Figura 1.1: Mudança de parametrizações
Proposição 1.2 Sejam M1n e M2n variedades diferenciáveis e seja φ : M1 → M2 uma aplicação diferenciável. Para cada p∈ M1 e cada v ∈ TpM1, escolha uma curva di-ferenciável α : (−ε, ε) → M1 com α(0) = p, α0(0) = v. Faça β = φ ◦ α. A aplicação dφp: TpM1→ Tφ( p)M2dada por dφp(v) = β0(0) é uma aplicação linear que não depende da escolha de α, ver figura1.2.
Figura 1.2: A diferencial de φ em p
Definição 1.3 A aplicação linear dφpdada pela proposição anterior é chamada diferen-cial de φ em p.
1.2 Imersões e mergulhos 15
Definição 1.4 Sejam M1 e M2 variedades diferenciáveis. Uma aplicação φ : M1 → M2 é um difeomorfismo se ela é diferenciável, biunívoca, sobrejetiva e sua inversa φ−1 é diferenciável. φ é um difeomorfismo local em p ∈ M se existem vizinhanças U de p e V de φ(p) tais que φ : U → V é um difeomorfismo.
A noção de difeomorfismo é a noção natural de equivalência entre variedades diferenciá-veis,é uma conseqüência imediata do teorema da função composta que se φ : M1→ M2é um difeomorfismo, então dφp: TpM1→ Tφ( p)M2é um isomorfismo para todo p ∈ M1; em particular as dimensões de M1e M2são iguais. Um recíproco local deste fato é o seguinte teorema.
Teorema 1.5 Seja φ : M1n → Mn
2 uma aplicação diferenciável e seja p∈ M1 tal que dφp: TpM1→ Tφ( p)M2é um isomorfismo.Então φ é um difeomorfismo local em p.
A demonstração é uma aplicação imediata do teorema da função inversa no Rn.
1.2
Imersões e mergulhos
Definição 1.6 Sejam Mn e Nn variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável φ : M → N é uma imersão se dφp: TpM→ Tφ( p)N é injetiva para todo p∈ M. Se, além disto, φ é um homeomorfismo sobre φ(M) ⊂ N, onde φ(M) tem a topologia induzida por N, diz-se que φ é um mergulho. Se M ⊂ N e a inclusão i : M → N é um mergulho diz-se que M é uma subvariedade de N.
Exemplo 1.2 A curva α : R → R2dada por α(t) = (t3,t2) é uma aplicação diferenciável, mas não é uma imersão. Com efeito, a condição de imersão neste caso é equivalente a que α0(t) 6= 0, o que não ocorre para t = 0, ver figura1.3
Figura 1.3: Aplicação diferenciável
Exemplo 1.3 A curva α(t) = (t3− 4t,t2− 2), ver figura1.4, é uma imersão α : R → R2
1.3 Métricas Riemannianas 16
Figura 1.4: Imersão
1.3
Métricas Riemannianas
Em 1854 Riemann retoma as idéias de Gauss, ele introduziu o conceito de variedade diferenciável de dimensão n, associou a cada ponto a primeira forma quadrática e generalizou a noção de curvatura de Gauss para esta situação. Além disto, ele enunciou varias relações entre a primeira forma fundamental e a curvatura que levaram décadas para serem demostradas. Em todo seu trabalho, fica evidente a preocupação de Riemann com as questões fundamentais contidas no desenvolvimento das geometrias não euclidianas, a saber, as relações entre a física e a geometria.
Definição 1.7 Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M um produto interno h, ip (isto é, uma forma bilinear simétrica, positiva definida) no espaço tangenteTpM, que varia diferencialmente no seguinte sentido: Sex : U ⊂ R → M é um sistema de coordenadas locais em torno de p, com x(x1, ..., xn) = q ∈ x(U ) e ∂x∂i(q) = dx(0, ..., 1, ..., 0) então h ∂
∂xi(q), ∂
∂xj(q)iq= gi j(x1, ..., xn) é uma função diferenciável em U .
É claro que esta definição não depende da escolha do sistema de coordenadas, além disso as funções gi j são chamadas expressão da métrica riemanniana no sistema de coordenadas x : U ⊂ R → M. Uma variedade diferenciável com uma dada métrica Riemanniana chama-se uma variedade Riemanniana.
Conexões afins
Indicaremos por χ(M) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em M e por D(M) o anel das funções reais de classe C∞definidas em M.
1.3 Métricas Riemannianas 17
Definição 1.8 Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplicação
∇ : χ(M) × χ(M) → χ(M)
Que se indica por(X ,Y )−→ ∇∇ XY , e satisfaz as seguintes propiedades: 1. ∇f X+gYZ= f ∇XZ+ g∇YZ
2. ∇X(Y + Z) = ∇xY+ ∇XZ 3. ∇X( f Y ) = ∇XY+ X ( f )Y Onde X,Y, Z ∈ χ(M) e f , g ∈ D(M).
A seguinte proposição, deverá esclarecer um pouco a situação.
Proposição 1.9 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Então existe uma única correspondência que associa a um campo vetorial V ao longo da curva diferenciável c: I → M um outro campo vetorial DVdt ao longo de c, denominado derivada covariante de V ao longo de c, tal que:
1. D dt(V +W ) = DV dt + DW dt 2. D dt( f V ) = d f dtV+ f DV
dt , onde W é um campo de vetores ao longo de c e f é uma função diferenciável em I.
3. Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ χ(M), isto é V (t) = Y (c(t)) então DV
dt = ∇dc/dtY .
Prova. Ver [2].
Observação 1.1 V (t) = Y (c(t)), então DVdt = ∇dc/dtY tem sentido, pois ∇XY(p) depende só do valor de X(p) e do valor de Y ao longo de uma curva tangente a X em p. Com efeito, a parte 3 da definição anterior permite mostrar que a noção de conexão afim é de fato uma noção local.
Escolhendo um sistema de coordenadas (x1, ..., xn) em torno de p e escrevendo X=
∑
i xiXi, Y =∑
j yjYj Onde Xi= ∂x∂i, teremos ∇XY =∑
i xi∇Xi∑
j yjXj ! =∑
i j xiyj∇XiXj+∑
i j xiXi(yj)Xj1.3 Métricas Riemannianas 18
Fazendo ∇XiXj= ∑ k
Γki jXk, concluimos que Γki j são funções diferenciáveis e que
∇XY =
∑
k∑
i jxiyjΓki j+ X (yk) !
Xk
O que mostra que ∇XY(p) depende de xi(p) e yk(p) e das derivadas X (yk)(p) de yk, segundo X . A noção de paralelismo surge agora de maneira natural
Definição 1.10 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Um campo vetorial V ao longo de uma curva c: I → M é chamado paralelo quando DVdt = 0 para todo t∈ I.
Definição 1.11 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇ e uma métrica Riemanniana h, i. A conexão é dita compatível com a métrica h, i quando para toda curva diferenciável c e quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P0 ao longo de c, tivermoshP, P0i = constante.
Proposição 1.12 Seja M uma variedade Riemanniana.Uma conexão ∇ em M é compatí-vel com a métrica se e só se para todo par V e W de campos de vetores ao longo da curva diferenciável c: I → M tem-se d dthV,W i = DV dt ,W + V,DW dt , t ∈ I Prova. Ver [2].
Corolário 1.13 Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatível com a métrica se e só se
XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi, X,Y, Z ∈ χ(M)
Prova. Suponhamos que ∇ é compatível com a métrica.Seja p ∈ M e sejam c : I → M uma curva diferenciável com c(t0) = p,t0∈ I e com dcdt |t=t0= X (p) então
X(p)hY, Zi = d
dthY, Zi |t=t0= h∇X(p)Y, Zip+ hY, ∇X(p)Zip
Como p é arbitrário segue-se o resultado.
Teorema 1.14 (Levi-Civita) Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única conexão afim ∇ em M satisfazendo as condições
1.3 Métricas Riemannianas 19
1. ∇ é simétrica.
2. ∇ é compatível com a métrica Riemanniana.
Prova. Suponhamos inicialmente a existência de uma ∇, então
XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi (1-2)
YhZ, Xi = h∇YZ, X i + hZ, ∇YXi (1-3)
ZhX,Y i = h∇ZX,Y i + hX , ∇ZYi (1-4) Somando (1-2) e (1-3) e subtraindo (1-4), teremos, usando a simetria de ∇, que
XhY, Zi +Y hZ, Xi − ZhX,Y i = h[X, Z],Y i + h[Y, Z], Xi + h[X,Y ], Zi + 2hZ, ∇YXi
Portanto hZ, ∇YXi =
1
2{XhY, Zi+Y hZ, Xi−ZhX,Y i−h[X, Z],Y i−h[Y, Z], Xi−h[X,Y ], Zi} (1-5) A expressão (1-5) mostra que ∇ está unívocamente determinada pela métrica h, i. Portanto caso exista, ela será única. Para mostrar a existência só é necessário definir ∇ por (1-5), assim ∇ está bem definida e satisfaz todas as propriedades desejadas.
Observação 1.2 A conexão dada pelo teorema acima é denominada conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana) de M.
As funções Γki j definidas em U por ∇xiXj= ∑kΓ k
i jXksão os coeficientes da conexão ∇ em U ou os símbolos de Christoffel da conexão, de (1-5) segue-se que
∑
` Γki jg`k= 1 2 ∂ ∂xi gjk+ ∂ ∂xj gki− ∂ ∂xk gi j Onde gi j = hXi, Xji.Como a matriz (gkm) admite uma inversa (gkm), teremos que
Γmi j =1 2
∑
k ∂ ∂xi gjk+ ∂ ∂xj gki− ∂ ∂xk gi j gkm (1-6)A equação (1-6) é a expressão clássica dos símbolos de Christoffel da conexão Rieman-niana em termos dos gi j dados pelas métrica.
1.4 Gradiente, divergência e Laplaciano 20
1.4
Gradiente, divergência e Laplaciano
Definição 1.15 Seja M uma variedade Riemanniana de dimensão n e p ∈ M, então existe uma vizinhança U ⊂ M de p e n campos de vetores E1, ..., En∈ χ(U), ortonormais em cada ponto de U , tais que, em p, ∇EiEj(p) = 0. Uma tal familia {Ei}
n
i=1, de campos de vetores é chamada um referencial geodésico em p.(local)
Seja M uma variedade Riemanniana. Sejam X ∈ χ(M) e f ∈
D
(M), ondeD
é o conjunto das funções de M diferenciáveis em p ∈ M. Defina divergência de X como a função divX : M → R dada por divX(p) =traço da aplicação linear Y (p) → ∇YX(p), p ∈ M, e gradiente de f como o campo vetorial grad f em M definido porhgrad f (p), vi = d fp(v), p∈ M, v∈ TpM. (1-7)
Definição 1.16 Seja M ⊂ Rn uma subvariedade e para cada p∈ M, seja gp : TpM× TpM→ R o produto escalar dado por
gp(x, y) = hx, yi, x, y ∈ TpM
A familia g = {gp}p∈M destes produtos escalares chama-se a métrica Riemanniana induzida em M.
O seguinte teorema fornece uma representação em coordenadas locais para o gradiente na base canônica associada a um sistema de coordenadas, particularmente, mostra que o campo ∇ f é suave.
Teorema 1.17 Seja Mn uma variedade diferencial e(U, X ) um sistema de coordenadas em M. Dada f ∈ D(M), denote a representação correspondente de f por bf = f ◦ X−1 : X(U ) → R e seja (gi j) a matriz inversa de (gi j) =
gp ∂ ∂xi, ∂ ∂xj . Então no dominio U temos ∇g0f = n
∑
i, j=1 gi j∂ f ∂xi ∂ ∂xj1.4 Gradiente, divergência e Laplaciano 21
Prova. Calculamos para um α ∈ {1, ..., n}
d fp ∂ ∂xα = ∂ bf ∂xα (X (p)) = ∂( f ◦ X −1) ∂xα (X (p)) = n
∑
i=1 ∂( f ◦ X−1) ∂xi (X (p))δiα = n∑
i, j=1 ∂( f ◦ X−1) ∂xi (X (p))gi j(p)gjα(p) = n∑
i, j=1 ∂( f ◦ X−1) ∂xi (X (p))gi j(p)gp( ∂ ∂xj , ∂ ∂xα ) = gp m∑
i, j=1 gi j(p)∂ bf ∂xi (X (p)) ∂ ∂xj ∂ ∂xα !Por outro lado, da definição do gradiente, temos
gp ∇ f ( p), ∂ ∂xα = d fp ∂ ∂xα
De onde segue o resultado.
Vamos mostrar os seguintes fatos (exercício 8 do capitulo 3 de [2]), • Seja {Ei}ni=1, n = dim M, um referencial geodésico em p ∈ M. Mostre que
grad f(p) = n
∑
i=1 (Ei( f ))Ei(p). (1-8) divX(p) = n∑
i=1 Ei( fi)(p), onde X=∑
i fiEi.Por hipóteses {Ei}ni=1é um referencial geodésico em p ∈ M, de onde segue que
hgrad f (p), Ei(p)i = d fp(Ei(p)) = Ei( f )(p) Como {Ei}ni=1 é uma base ortonormal de TpM, temos que
grad f(p) = n
∑
i=1 hgrad f (p), Ei(p)iEi(p) = n∑
i=1 Ei( f )(p)Ei(p) Portanto, grad f (p) = ∑n i=1 Ei( f )Ei(p).1.4 Gradiente, divergência e Laplaciano 22
Calcularemos agora divX (p) =traço(Y (p) → ∇YX(p)). Ora, para X = n ∑ j=1 fjEj, temos divX(p) = n
∑
i=1 h∇EiX(p), Ei(p)i = n∑
i=1 h∇EiX, Eii(p) = n∑
i=1 h∇Ei(∑
fjEj), Eii(p) = n∑
i=1 h∇EifjEj, Eii(p) = n∑
i, j=1 h fj∇EiEj+ Ei( fj)Ej, Eii(p).Como {Ei}ni=1 é um referencial geodésico, ∇EiEj = 0, o que juntamente
ortonor-malidade de {Ei}ni=1nos fornece:
divX(p) = n
∑
i, j=1 hEi( fj)Ej, Eii(p) = n∑
i, j=1 Ei( fj)δi j(p) = n∑
i=1 Ei( fi)(p)• Suponha que M = Rn, com coordenadas (x
1, ..., xn) e ∂x∂i = (0, ..., 1, ..., 0) = ei. Mostre que grad f = n
∑
i=1 ∂ f ∂xi ei divX=∑
i ∂ fi ∂xi , onde X =∑
i fiei.Para o caso M = Rn, temos Ei=∂x∂i = e1e ei( f )(p) = ∂x∂ fi(p). Obtemos
grad f(p) = n
∑
i=1 ∂ f ∂xi (p)ei = ∂ f ∂x1 (p), ..., ∂ f ∂xn (p)Temos ainda que n ∑ i=1 Ei( fi)(p) = n ∑ i=1 ∂ fi ∂xi(p). Portanto, divX (p) = n ∑ i=1 ∂ fi ∂xi(p).
1.4 Gradiente, divergência e Laplaciano 23
Seja M uma variedade Riemanniana. Defina um operador ∆ :
D
(M
) →D
(M
) (o Laplaciano de M) por∆ f = div grad f , f ∈
D
(M
). Vamos mostrar os seguintes fatos (exercício 9 do capitulo 3 de [2]),• Seja {Ei}ni=1, n = dim M um referencial geodésico em p ∈ M. Mostre que ∆ f ( p) =
∑
i
Ei(Ei( f ))(p)
Conclua dai que se M = Rn, ∆ coincide com o laplaciano usual, a saber, ∆ f = ∑ i
∂2f ∂x2i. Então, sendo ∆ f = div grad f (p), temos pelo fato anterior que
grad f(p) = n
∑
i=1 (Ei( f ))Ei(p) divX(p) = n∑
i=1 Ei( fi)(p)Assim, fazendo X (p) = grad f (p), temos fi= Ei( f ). Obtemos
div grad f(p) = n
∑
i=1
Ei(Ei( f ))(p)
Em particular se M = Rn, temos Ei= eie, assim, ∆ f ( p) = div grad f ( p) = n
∑
i=1 Ei(Ei( f ))(p) = n∑
i=1 ei(ei( f ))(p) = n∑
i=1 ∂2f ∂x2i (p)• Mostre que ∆( f · g) = f ∆g + g∆ f + 2hgrad f , gradgi. Usando o fato anterior temos
∆( f · g) = n
∑
i=1
1.5 Formas Fundamentais 24 Temos que Ei(Ei( f · g)) = Ei(Ei( f ) · g + f · Ei(g)) = Ei(Ei( f ) · g + Ei( f · Ei(g))) = Ei(Ei( f ) · g + Ei( f ) · Ei(g) + Ei( f ) · Ei(g) + f · Ei(Ei(g)) = Ei(Ei( f ) · g + 2Ei( f ) · Ei(g) + f · Ei(Ei(g)) E, portanto, ∆( f · g) = n
∑
i=1 [Ei(Ei( f )) · g + 2Ei( f ) · Ei(g) + Ei(Ei(g)) · f ] = n∑
i=1 [Ei(Ei( f )) · g + Ei(Ei(g)) · f ] + 2 n∑
i=1 Ei( f ) · Ei(g) = g n∑
i=1 Ei(Ei( f )) + f n∑
i=1 Ei(Ei(g)) + 2 n∑
i=1 Ei( f ) · Ei(g) = g∆ f + f ∆g + 2hgrad f , gradgi.1.5
Formas Fundamentais
Vamos considerar uma superfície regular S ⊂ R3. Em cada plano tangente TpS, com p ∈ S, é induzido um produto interno h, ip, que é uma forma bilinear simétrica, logo tem associada uma forma quadrática Ip. Definimos o produto interno h, ipe a forma quadrática Ip, respectivamente, como
h, ip: TpS× TpS→ R (u, v) → h, ip Ip: TpS→ R
w→ Ip(w) = |w|2
A forma quadrática Ipé chamada primeira forma fundamental da superficie regular S em p. Suponhamos que X : U ⊂ R2→ R3, uma superficie regular, sendo {X
u, Xv} base de TpS, para aXu+ bXvcom a, b ∈ R, podemos escrever
Ip(aXu+ bXv) = |aXu+ bXv|2
1.5 Formas Fundamentais 25
Assim obtemos as seguintes funções
g11 = hXu, Xui = E g12 = g21 = hXu, Xvi = f
g22 = hXv, Xvi = G
Chamadas às funções gi j de coeficientes da primeira forma fundamental. Explicitamente, a primeira forma fundamental pode ser escrita como
I= Edu2+ 2Fdudv + Gdv2
Agora, consideremos a superficie regular S orientada, parametrizada por X : U ⊂ R2→ S. Definimos a aplicação de Gauss em p ∈ S como
N: U ⊂ R2→ R
(u, v) → N(u, v) = Xu× Xv |Xu× Xv|
A qual associa a cada ponto de S sua imagem normal em S2. Sabemos que dNp: TpS→ TpS é uma aplicação linear auto adjunta, o que permite associar-lhe uma forma quadrática Qp definida como
Qp: TpS× TpS→ R
(u, v) → Q(u, v) = hdNpu, vi Associamos a Qpa forma quadrática IIpdefinida como
IIp: TpS→ R
u→ IIp(u) = −Q(u, u) = −hdNpu, ui
A forma quadrática IIpé chamada segunda forma fundamental da superficie regular S em p.
Análogo ao caso da primeira forma fundamental, para aXu+ bXv, com a, b ∈ R, podemos escrever
IIp(aXu+ bXv) = −hdNp(aXu+ bXv), aXu+ bXvi
= −a2hdNp(Xu), Xui − 2abhdNp(Xu), Xvi − b2hdNp(Xv), Xvi = a2N, Xuui + 2abhN, Xuvi + b2hN, xvvi
1.6 Geodésicas 26
Obtemos as seguintes funções
e11= hN, Xuui = −hNu, Xui = e
e12= e21= hN, Xuvi = −hNu, Xvi = −hNv, Xui = f e22= hN, Xvvi = −hNv, Xvi = g
Chamamos as funções {ei j} de coeficientes da segunda forma fundamental. Explicita-mente, a segunda forma fundamental pode ser escrita como
II= edu2+ 2 f dudv + gdv2
Definição 1.18 Seja X : U ⊂ R2 → R3 uma superfície regular. Definimos a curvatura Gaussiana como K= e11e22− e 2 12 g11g22− g2 12
E se for uma superficie orientada, definimos a curvatura média como
H=1 2
e11g22− 2e12g12+ e22g22 g11g22− g212
1.6
Geodésicas
Neste Capítulo introduziremos a noção de geodésica como uma curva cuja acele-ração é nula, também mostraremos que uma geodésica minimiza o comprimento de arco para pontos "suficientemente próximos", além disso, se uma curva minimiza o compri-mento de arco entre dois quaisquer de seus pontos, ela é uma geodésica.
No que se segue, M será uma variedade Riemanniana munida de sua conexão Riemanni-ana.
Definição 1.19 Uma curva parametrizada γ : I → M é uma geodésica em t0 ∈ I se D
dt( dγ
dt) = 0 no ponto t0; se γ é geodésica em t, para todo t ∈ I, dizemos que γ é uma geodésica.
Se[a, b] ⊂ I e γ : I → M é uma geodésica, a restrição de γ a [a, b] é chamada de geodésica ligando γ(a) e γ(b).
Se γ : I → M é uma geodésica, então d dt dγ dt, dγ dt = 2 D dt dγ dt, dγ dt = 0
1.6 Geodésicas 27
Vamos agora determinar as equações locais satisfeitas por uma geodésica γ em um sistema de coordenadas (U, x) em torno de γ(t0), em U
γ(t) = (x1(t), ..., xn(t))
γ será uma geodésica se e só se
0 = D dt dγ dt =
∑
k d2xk dt2 +∑
i, j Γki jdxi dt dxj dt ! ∂ ∂xkLogo o sistema de equações diferenciais de segunda ordem d2xk dt2 +
∑
i, j Γki jdxi dt dxj dt = 0, k= 1, .., n (1-9)Fornece as equações procuradas. Para estudar o sistema (1-9) é conveniente considerar o fibrado tangente T M.
T M é o conjunto dos pares (q, v), q ∈ M, v ∈ TqM. Se (U, x), é um sistema de coor-denadas em M, então todo vetor de TqM, q ∈ x(U ), é escrito como
n ∑ i=1 yi ∂ ∂xi, tomando (x1, ..., xn, y1, ..., yn) como coordenadas de q, v em TU .
Observe que TU = U × Rn, isto é, o fibrado tangente é localmente um produto, além disso a projeção canônica π : T M → M dada por (π(q, v) = q) é diferenciável.
Qualquer curva diferenciável t → γ(t) em M determina uma curva t → (γ(t),dγdt) em T M. Se γ é uma geodésica, então, em TU , a curva.
t→ x1(t), ..., xn(t), dx1(t) dt , ..., dxn(t) dt Satisfaz o sistema dxk dt = y dyk dt = ∑i, jΓ k i jyiyj k= 1, ..., n (1-10)
Em termos de coordenadas (x1, ..., xn, y1, ..., yn) de TU . Portanto, o sistema de segunda ordem (1-9) em U é equivalente ao sistema de primeira ordem (1-10) em TU .
Proposição 1.20 Dado p ∈ M, existem um aberto V ⊂ M, p ∈ V , números δ > 0 e ε1> 0 e uma aplicação C∞
γ : (−δ, δ) × U → M, U = {(q, v); q ∈ V, v ∈ TqM, |v| < ε1}
Tais que a curva t→ γ(t, q, v),t ∈ (−δ, δ), é a única geodésica de M que no instante t = 0, passa por q com velocidade v, para cada q∈ V e cada v ∈ TqM, com|v| < ε1.
1.6 Geodésicas 28
A proposição1.20afirma que se | v |< ε1a geodésica γ(t, q, v) existe um intervalo (−δ, δ) e é única.
É possível aumentar a velocidade de uma geodésica diminuindo o seu intervalo de definição ou vice-versa, como acontece no seguinte lema de homogeneidade.
Lema 1.21 (Homogeneidade de uma geodésica).
Se a geodésica γ(t, q, v) está definida no intervalo (−δ, δ), então a geodésica γ(t, q, av), a ∈ R, a > 0, está definida mo intervalo
−δ a, δ a e γ(t, q, av) = γ(at, q, v) Prova. Seja h : −δ a, δ a
→ M uma curva dada por h(t) = γ(at, q, v). Então h(0) = q e dh
dt(0) = av. Além disso, como h
0(t) = aγ0(at, q, v), D dt dh dt = ∇h0(t)h0(t) = a2∇γ0(at.q.v)γ0(at, q, v) = 0
Onde, na primeira igualdade, entendemos h0(t) a uma vizinhança de h(t) em M. Portanto, h é uma geodésica que no instante t = 0, passa por q com velocidade av, por unicidade temos
h(t) = γ(at, q, v) = γ(t, q, av).
Proposição 1.22 Dado p ∈ M, existem uma vizinhança V de p em M, um numero ε > 0 e uma aplicação C∞, γ : (−2, 2) × U → M, U= {(q, w) ∈ T M; q ∈ V, w ∈ T
qM, | w |< ε} tal que t→ γ(t, q, w), t∈ (−2, 2), é a única geodésica de M que no instante t = 0 passa por q com velocidade w, para cada q∈ V e cada wqM, com| w |≤ ε.
Prova. A geodésica γ(t, q, v) da proposição1.20está definida para | t |< δ e para | v |< ε1. Pelo lema de homogeneidade, γ(t, q,δv
2) está definida para |t| < 2, tomando ε < δε1
2 , a geodésica γ(t, q, w) está definida para | t |< 2 e | w |< ε.
A proposição1.22nos permite introduzir o conceito de aplicação exponencial da seguinte maneira.
Seja p ∈ M e U ⊂ T M um aberto dado pela proposição1.22, então a aplicação exp : U → Mdada por exp(q, v) = γ(1, q, v) = γ |v|, q, v |v| , (q, v) ∈ U
1.6 Geodésicas 29
É chamada aplicação exponencial em U . É claro que exp é diferenciável. Usaremos a restrição de exp a um aberto do espaço tangente TqM, isto é, definiremos
expq: Bε(0) ⊂ TqM→ M
Por expq(v) = exp(q, v) e Bε(0) denota uma bola aberta de centro na origem 0 de TqM e de raio ε, é imediato verificar que expq é diferenciável e expq(0) = q. Além disso, a interpretação geométrica de expq(v) é o ponto de M obtido percorrendo um comprimento igual a |v|, a partir de q, sobre a geodésica que passa por q com velocidade igual a |v|v. Proposição 1.23 Dado q ∈ M, existe ε > 0 tal que expq : Bε(0) ⊂ TqM → M é um difeomorfismo de Bε(0) sobre um aberto de M.
Prova. d(expq)0(v) = d dt(expq(tv)) |t=0= d dt(γ(1, q,tv)) |t=0 = d dt(γ(t, q, v)) |t=0= v
Assim, d(expq)0é a identidade de TqM, donde pelo teorema da função inversa expqé um
difeomorfismo local numa vizinhança de 0.
Desejamos agora estudar certas propriedades de minimização das geodésicas, para isto vamos a necessitar de algumas definições.
Definição 1.24 Uma curva diferenciável por partes é uma aplicação continua c : [a, b] → M de um intervalo fechado[a, b] ⊂ R em M satisfazendo a seguinte condição: existe uma partição a= t0< t1< · · · < tk−1< tk= b de [a, b] tal que as restrições c |[ti,t[i+ 1]], i= 0, ..., k − 1, são diferenciáveis. Portanto c liga os pontos c(a) e c(b).
Definição 1.25 Um segmento de geodésica γ : [a, b] → M é chamado minimizante se `(γ) ≤ `(c), onde `() indica o comprimento de uma curva e c é qualquer curva dife-renciável por partes ligando γ(a) e γ(b).
Se expp é um difeomorfismo em uma vizinhança V da origem em TpM, exppV = U é chamada uma vizinhança normal de p. Se Bε(0) é tal que Bε(0) ⊂ V , chamamos exppBε(0) = Bε(p) a bola normal(ou geodésica) de centro p e raio ε.
Mostraremos que as geodésicas minimizam localmente o comprimento de arco, temos o seguinte resultado.
Proposição 1.26 Sejam p ∈ M, U uma vizinhança normal de p, e B ⊂ U uma bola normal de centro p. Seja γ : [0, 1] → B um segmento de geodésica com γ(0) = p. Se c : [0, 1] → M é qualquer curva diferenciável por partes ligando γ(0) a γ(1) então `(γ) ≤ `(c) e se a igualdade vale então γ([0, 1]) = c([0, 1]).
1.6 Geodésicas 30
Prova. Ver [2].
Observação 1.3 A proposição acima não é global, se consideramos um arco suficiente-mente grande de geodésica ele pode deixar de ser minimizante, por exemplo as geodésicas de uma esfera, que partem de um ponto p não são minimizantes depois que passam pelo antípoda de p.
Corolário 1.27 Se uma curva diferenciável por partes γ[a, b] → M, com parâmetro condicional ao comprimento de arco, tem comprimento menor ou igual ao comprimento de qualquer outra curva diferenciável por partes ligando γ(a) a γ(b) então γ é uma geodésica, em particular γ é regular.
Prova. Ver [2].
Usando o corolario 1.27, podemos determinar as geodésicas do plano de Lobatchevski. Basta observar o fato, que as isometrias de uma variedade Riemanniana levam geodésicas em geodésicas.
Exemplo 1.4 Seja G o semi-plano superior,isto é G = {(x, y) ∈ R; y > 0} com a métrica Riemanniana g11= g22= y12, g12= g21= 0.
Mostremos que o segmento γ : [a, b] → G, a > 0, do eixo dos y, dado por γ(t) = (0,t), é a imagem de uma geodésica, de fato, para qualquer arco c : [a, b] → G dado por c(t) = (x(t), y(t)) com c(a) = (0, a) e c(b) = (0, b), temos que
`(c) = Z b a dc dt dt = Z b a s dx dt 2 + dy dt 2 dt y ≥ Z b a dy dt dt y ≥ Z b a dy y = `(y).
Segue-se que γ minimiza arcos diferenciáveis por partes, e do corolario1.27que a imagem de γ é uma geodésica.
Pelo exercício 4 do capitulo 1 de Ver [2] parte b, temos que (x, y) = z = x + iy, i =√−1, a transformação z → z0= az+bcz+d, a, b, c, d ∈ R, ad− bc = 1 é uma isometria de G. Sugestão: Observe que a primeira forma fundamental pode ser escrita:
ds2= dx
2+ dy2
y2 = −
4dzdz (z − z)2
De fato, como z = x + iy e z = x − iy, temos dz = dx + idy e dz = dx − idy. Logo dzdz= (dx + idy)(dx − idy)
1.6 Geodésicas 31 Sendo (z − z)2= (x + iy − x + iy)2 = −4y2 Segue −4dzdz (z − z)2 = −4(dx2+ dy2) −4y2 = dx 2+ dy2 y2
Mostremos que a aplicação T : z → z0 = az+bcz+d, a, b, c, d ∈ R, ad− bc = 1, é uma isometria. Devemos mostrar que:
• T é um difeomorfismo.
Note que T é injetiva, pois T z = T x então az+bcz+d = ax+bcx+d ⇒ (az + b)(cx + d) = (ax + b)(cz + d) ⇒ (ad − bc)z = (ad − bc)x ⇒ z = x.
Além disso, T é sobrejetiva, pois dado w = az+bcz+d tome z = b−dwcw−a assim teremos T z= w.
Logo T é bijetiva e T−1 é dada por T−1(w) = b−dwcw−a é suave, portanto T é um difeomorfismo.
• hv, wip= hdT v, dTwiT(p).
Isto é equivalente a mostrar que as primeiras formas fundamentais coincidem, isto é, se w = az+bcz+d, então − 4dzdz (z − z)2 = − 4dwdw (w − w)2 Ora, dw= d(az + b)(cz + d) − d(cz + d)(az + b) (cz + d)2 = adz(cz + d) − cdz(az + b) (cz + d)2
= aczdz+ addz − acdz − bcdz (cz + d)2
⇒ dw = dz
(cz + d)2 (1-11)
De forma análoga obtemos
dw= dz
1.6 Geodésicas 32 Também temos w− w = (az + b)(cz + d) − (cz + d)(az + b) (cz + d)(cz + d) = z− z (cz + d)(cz + d) ⇒ (w − w)2= (z − z) 2 (cz + d)2(cz + d)2 (1-13) De (1-11), (1-12) e (1-13), obtemos − 4dzdz (z − z)2 = − 4dwdw (w − w)2
Portanto z → z0= az+bcz+d, a, b, c, d ∈ R, ad− bc = 1 são isometrias que transformam o eixo 0y em semi-círculos superiores ou em semi-retas x = x0, y> 0 ver figura1.5. Estas curvas são, portanto, geodésicas em G. Na verdade, estas são todas as geodésicas de G, pois por cada p ∈ G e cada direção em TpGpassa um tal círculo com centro no eixo 0x, no caso especial em que a direção é normal a 0x, o círculo degenera uma reta normal a 0x.
Figura 1.5: Geodésicas do plano de Lobatchvski
De forma mais geral, vamos mostrar que as geodésicas de Hn= {x ∈ Rn; xn> 0} com a métrica gi j =δxi j2
n são semi-retas e semi-círculos perpendiculares ao plano xn
= 0. Temos que qualquer isometria de Rnque só envolve as variáveis x1, ..., xn−1, não altera a métrica gi j e é portanto uma isometria de Hn, dai basta considerar somente o plano xixn
1.6 Geodésicas 33
para algum i = 1, ..., n − 1, então considere Hn= {(x1, xn) ∈ R2; xn> 0}, assim temos
g= 1 x2 n 0 0 1 x2 n ! , g−1= x 2 n 0 0 x2n !
Além disso, por (1-6) que
Γmi j =1 2
∑
k ∂ ∂xi gjk+ ∂ ∂xj gki− ∂ ∂xk gi j gkmSem perda de generalidade, podemos identificar xn= x2 • Γ1 i j= 12 n ∂ ∂xigj1+ ∂ ∂xjg1i− ∂ ∂x1gi j o g11 daí temos – Γ111 =12n ∂ ∂x1g11+ ∂ ∂x1g11− ∂ ∂x1g11 o g11= 0 – Γ112 = 12n ∂ ∂x1g21+ ∂ ∂x2g11− ∂ ∂x1g12 o g11 = 12n ∂ ∂x2g11 o g11 = 12n ∂ ∂x2 1 x22 o x22 = −x1 2 = Γ 1 21 – Γ122 =12n ∂ ∂x2g21+ ∂ ∂x2g12− ∂ ∂x1g22 o g11= 0 • Γ2 i j= 12 n ∂ ∂xigj2+ ∂ ∂xjg2i− ∂ ∂x2gi j o g22 dai temos – Γ211 =12n ∂ ∂x1g12+ ∂ ∂x1g21− ∂ ∂x2g11 o g22=12n− ∂ ∂x2g11 o g22= x1 2 – Γ212 =12n ∂ ∂x1g22+ ∂ ∂x2g21− ∂ ∂x1g12 o g22= 0 = Γ221 – Γ222 =12 n ∂ ∂x2g22+ ∂ ∂x2g22− ∂ ∂x2g22 o g22= −x1 2 Isto é, Γ111= Γ122= Γ212= Γ221= 0, Γ112 = Γ121= Γ222= −1 x2, Γ 2 11= 1 x2 Usando (1-9) temos, d2xk dt2 +
∑
i, jΓ k i j dxi dt dxj dt = 0, k= 1, 2 Obtemos, ( x001+ ∑i, jΓ1i jx0ix0j= 0 x002+ ∑i, jΓ2i jx0ix0j= 0 ⇔ ( x001+ Γ112x10x20 + Γ121x01x02= 0 x002+ Γ211x10x10 + Γ222x02x02= 0 ⇔ ( x001+ Γ112x01x20 + Γ121x01x02= 0 x002+ Γ211(x01)2+ Γ222(x20)2= 0 ⇔ ( x001− 2 x2x 0 1x02= 0 x002+x1 2(x 0 1)2−x12(x 0 2)2= 0 ⇔ ( x2x001− 2x01x02= 0 x2x002(x01)2− (x02)2= 01.6 Geodésicas 34
Para resolver o sistema anterior consideramos dois casos
1. Se x01= 0, então x1(t) = x0(constante), mas x2(t) satisfaz
x002− 1 x2(x 0 2)2= 0 ⇔ x2x002− (x02)2= 0 ⇔ x02 x2 0 = 0 Então x02= kx2 ⇒ x02 x2 = k ⇒ ln(x2) = kt + k0 ⇒ x2= k1ekt, k1> 0
Então as geodésicas são γ(t) = (x0, k1ekt), são as semi-retas do plano superior. 2. Se x01= 0, neste caso temos
x2x02 x01 0 = x 0 1x2x002+ x01(x20)3− x001x2x02 (x01)2 = x 0 1x2x002+ x01(x10)2− x01(x01)2+ x01(x02)2− x01(x20)2+ x01(x01)2 (x01)2 = x 0 1[x2x002+ (x01)2− (x02)2] − x20[x2x001− 2x01x02] − (x01)3 (x01)2 = −x01 Assim x 1x02 x01 + x1 0 = 0, ou seja x1x02 x01 + x1= a, a∈ R ⇒ x2x02+ x01x1= ax01⇒ x22 2 + x01 2 = ax1+ b ⇒ x22+ x21= 2ax1+ b ⇒ x22+ x21− 2ax1= b ⇒ x22+ (x1− a)2= b + a2⇒ x22+ (x1− a)2= c2 c> 0
Assim, as geodésicas são semi-círculos superiores centrados em (a, 0) do eixo x1. Portanto para dois pontos quaisquer no espaço Hn vamos encontrar sempre um plano que contém aqueles pontos e pelo teorema de existência e unidade as curvas da forma anterior são as únicas geodésicas de Hn contidas nos planos perpendiculares ao hiperplano xn= 0.
1.7 Curvaturas 35
1.7
Curvaturas
Definição 1.28 A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa a cada par X,Y ∈ χ(M) uma aplicação R(X ,Y ) : χ(M) → χ(M) dada por :
R(X ,Y )Z = ∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+ ∇[X ,Y ]Z, Z∈ χ(M)
onde ∇ é a conexão Riemanniana de M.
Observe que se M = Rn, então R(X ,Y )Z = 0 para todo X ,Y, Z ∈ χ(Rn). Com efeito, se indicarmos por Z = (z1, ..., zn) as componentes do campo Z nas coordenadas naturais do Rn, obteremos que
∇XZ= (X z1, ..., X zn)
Donde
∇Y∇XZ= (Y X z1, ...,Y X zn)
O que implica que
R(X ,Y )Z = ∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+ ∇[X ,Y ]Z
= (Y X z1, ...,Y X zn) − (XY z1, ..., XY zn) + (XY z1, ..., XY zn) − (Y X z1, ...,Y X zn) = 0 Como havíamos afirmado. Podemos, portanto, pensar em R como uma maneira de medir o quanto M deixa de ser euclidiana.
Outra maneira de olhar a definição1.28é considerar um sistema de coordenadas {xi} em torno de p ∈ M. Como [ ∂ ∂xi, ∂ ∂xj] = 0, obtemos R ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ∂ ∂xk = (∇∂/∂xj∇∂/∂xi− ∇∂/∂xi∇∂/∂xj) ∂ ∂xk Isto é a curvatura mede a não comutatividade da derivada covariante.
Proposição 1.29 A curvatura R de uma variedade Riemanniana goza das seguintes propriedades:
1. R é bilinear em χ(M) × χ(M), isto é
R( f X1+ gX2,Y1) = f R(X1,Y1) + gR(X2,Y1), R(X1, f Y1+ gY2) = f R(X1,Y1) + gR(X1,Y2) f, g ∈
D
(M) ,X1, X2,Y1,Y2∈ χ(M).1.7 Curvaturas 36
2. Para todo par X,Y ∈ χ(M), o operador curvatura R(X ,Y ) : χ(M) → χ(M) é linear, isto é
R(X ,Y (Z +W )) = R(X ,Y )Z + R(X ,Y )W, R(X ,Y ) f Z = f R(X ,Y )Z f ∈
D
(M), Z,W ∈ χ(M).Prova. Ver [2].
Proposição 1.30 (Primeira Identidade de Bianchi)
R(X ,Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X )Y = 0
Prova. Ver [2].
De agora em diante, escreveremos por conveniência,hR(X ,Y )Z, T i = hX,Y, Z, T i. Proposição 1.31 1. (X,Y,Z,T)+(Y,Z,X,T)+(Z,X,Y,T)=0 2. (X,Y,Z,T)=-(Y,X,Z,T) 3. (X,Y,Z,T)=-(Y,X,T,Z) 4. (X,Y,Z,T)=-(Z,T,X,Y) Prova.
1. Usando a identidade Bianchi temos
(X ,Y, Z, T ) + (Y, Z, X , T ) + (Z, X ,Y, T ) = hR(X ,Y )Z, T i + hR(Y, Z)X , T i + hR(Z, X )Y, T i = hR(X ,Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X )Y, T i = 0 2. Pela antisimetria do colchete de Lie e pela definição1.28temos
(X ,Y, Z, T ) = hR(X ,Y )Z, T i
= h∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+ ∇[X ,Y ]Z, T i = h∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+ ∇−[Y,X]Z, T i = h∇Y∇XZ− ∇X∇YZ− ∇[Y,X ]Z, T i = h−(∇X∇YZ− ∇Y∇XZ+ ∇[Y,X ]Z), T i
1.7 Curvaturas 37
3. É equivalente a (X ,Y, Z, Z) = 0, o que provaremos a seguir: (X ,Y, Z, Z) = h∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+ ∇[x,y]Z, Zi = h∇Y∇XZ, Zi − h∇X∇YZ, Zi + h∇[x,y]Z, Zi = Y h∇XZ, Zi − h∇XZ, ∇YZi − (Xh∇YZ, Zi − h∇YZ, ∇XZi) + 1 2[X ,Y ]hZ, Zi = Y h∇XZ, Zi − X h∇YZ, Zi + 1 2[X ,Y ]hZ, Zi = 1 2Y(X hZ, Zi) − 1 2X(Y hZ, Zi) + 1 2[X ,Y ]hZ, Zi = −1 2[X ,Y ]hZ, Zi + 1 2[X ,Y ]hZ, Zi = 0 4. Vamos usar 1 e escreveremos :
(X ,Y, Z, T ) + (Y, Z, X , T ) + (Z, X ,Y, T ) = 0 (Y, Z, T, X ) + (Z, T,Y, X ) + (T,Y, Z, X ) = 0 (Z, T, X ,Y ) + (T, X , Z,Y ) + (X , Z, T,Y ) = 0 (T, X ,Y, Z) + (X ,Y, T, Z) + (Y, T, X , Z) = 0 Somando-se as equações acima, obtemos
2(Z, X ,Y, T ) + 2(T,Y, Z, X ) = 0 Portanto,
(Z, X ,Y, T ) = (Y, T, Z, X )
É conveniente escrever o que foi visto acima em um sistema de coordenadas (U, x) em torno do um ponto p ∈ M, com ∂
∂xi = Xi.Ponhamos
R(Xi, Xj)Xk=
∑
`R`i jkX`
Assim R`i jk são as componentes da curvatura R em (U, x). Se X =
∑
i uiXi, Y =∑
j vjXj, Z=∑
k wkXk,1.7 Curvaturas 38
Obteremos pela linearidade de R
R(X ,Y )Z =
∑
i, j,k,`R`i jkuivjwkX`
Para exprimirmos R`i jk em termos dos coeficientes Γki j da conexão Riemanniana, escreve-mos R(Xi, Xj)Xk= ∇Xj∇XiXk− ∇Xi∇XjXk = ∇Xj(
∑
` Γ`ikX`) − ∇Xi(∑
` Γ`jkX`)O que, por um cálculo direto, fornece
Rsi jk=
∑
` Γ`ikΓsj`−∑
` Γ`jkΓsi`+ ∂ ∂xj Γsik− ∂ ∂xi Γsjk Fazendo hR(Xi, Xj)Xk, Xk)i =∑
` R`i jkg`s= Ri jksAssim podemos escrever as identidades da Proposição1.31como: Ri jks+ Rjkis+ Rki js= 0
Ri jks= −Rjiks Ri jks= −Ri jsk Ri jks= Rksi j
1.7.1
Curvatura Seccional
De forma imediata a curvatura R está relacionada com a curvatura seccional ou Riemanniana, que passamos a definir. No que se segue, convém usar a seguinte notação. Dado um espaco vetorial V , indicaremos por
| x ∧ y |= q
| x |2| y |2−hx, yi2
Que representa a área do paralelogramo bi-dimensional determinado pelo par de vetores x, y ∈ V .
1.7 Curvaturas 39
sejam x, y ∈ σ dois vetores linearmente independentes, então K(x, y) = (x, y, x, y)
| x ∧ y | não depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ.
Prova. Ver [2].
Definição 1.33 Dado um ponto p ∈ M e um subespaço bi-dimensional σ ⊂ TpM, o numero real K(x, y) = K(σ), onde {x, y} é uma base qualquer de σ, é chamado curvatura seccional de σ em p.
A curvatura seccional tem interessantes interpretações geométricas, sua impor-tância provém do fato do conhecimento de K(σ) para todo σ, determinar completamente a curvatura R, isto é um fato puramente algébrico.
As variedades Riemannianas que possuem curvatura seccional constante desempenham um papel fundamental no desenvolvimento da geometria Riemanniana. Vamos observar como tais variedades por meio das componentes Ri jk`da curvatura em uma base ortonor-mal podem ser caracterizadas, isto decorre do lema abaixo.
Lema 1.34 Sejam M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M. Defina uma aplicação trilinear R0: TpM× TpM× TpM→ TpM por
hR0(X ,Y,W ), Zi = hX ,W ihY, Zi − hY,W ihX , Zi
Para todo X,Y,W, Z ∈ TpM. Então M tem curvatura seccional constante igual K0se e só se R= K0R0, onde R é a curvatura de M.
Corolário 1.35 Sejam M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M e {e1, ..., en}, n= dimM, uma base ortonormal de TpM. Escreva Ri jk` = hR0(ei, ej)ek, e`i , i, j, k, ` = 1, .., n. Então K(p, σ) = K0, para todo σ ⊂ TpM, se e só se
Ri jk`= K0(δikδj`− δi`δjk) Onde δi j = 1 se i = j 0 se i 6= j
Em outras palavras, K(p, σ) = K0para todo σ ⊂ TpM se e só se Ri ji j= −Ri ji j = K0para todo i6= j e Ri jk`= 0 nos outros casos
1.8 Espaço Hiperbólico 40
1.7.2
Curvatura de Ricci e curvatura escalar
Algumas combinações das curvaturas seccionais aparecem com tanta freqüência que elas merecem nomes.
Seja x = zn um vetor unitário em TpM; tomemos uma base ortonormal {z1, ..., zn−1} do hiperplano de TpMortonormal a x e consideremos as seguintes médias:
Ricp(x) = 1 n− 1
∑
i hR(x, zi)x, zii, i= 1, ..., n − 1 K(p) = 1 n∑
j Ricp(zj) = 1 n(n − 1)∑
i jhR(zi, zj)zi, zji j= 1, ..., n1.8
Espaço Hiperbólico
Considere o semi-espaço do Rndado por
Hn= {(x1, ..., xn) ∈ Rn; xn> 0} E introduza em Hna métrica gi j(x1, ..., xn) = δi j x2 n (1-14) Sabemos que Hn é simplesmente conexo. Vamos mostrar que Hn com a métrica (1-14) tem curvatura seccional constante igual a -1, Hn é chamado o espaço hiperbólico de dimensão n.
Duas métricas h, i e hh, ii são conformes em uma variedade diferenciável M, se existe uma função diferenciável f : M → R positiva, tal que para todo p ∈ M e todo u, v ∈ TpM se tenha
hu, vip= f (p)hhu, vi, ip
Vemos que a métrica (1-14) de Hn é conforme `amétrica usual do espaço euclidiano Rn. Agora consideremos em Hna métrica
gi j= δi j F2
Onde F é uma função positiva diferenciável em Hn, tal métrica é conforme `a métrica usual de Rn. Escreveremos gi j = F2δi j para indicar a matriz inversa de gi j, e faremos logF= f , indicando também ∂
1.8 Espaço Hiperbólico 41 ∂gik ∂xj = ∂ ∂xj δik F2 = −δik 2 F3Fj = −2δik F2 Fj F = −2δik F2fj. Para o cálculo dos símbolos de Christoffel, temos
Γmi j= 1 2k=1
∑
k6=m ∂ ∂xi gjk− ∂ ∂xk gi j+ ∂ ∂xj gki gmk= 0Já que gmk= 0 pela definição da métrica, então para k = m temos
Γki j= 1 2 ∂ ∂xi gjk− ∂ ∂xk gi j+ ∂ ∂xj gki gkk = 1 2 ∂ ∂xi gjk− ∂ ∂xk gi j+ ∂ ∂xj gki F2 = 1 2 −2δjk F2 fi+ 2 δi j F2fk− 2 δki F2fj F2 = −δjkfi+ δi jfk− δkifj
Além disso podemos concluir que se os índices i, j, k são distintos então, Γki j= 0, e se dois indices são iguais, temos
Γii j= − fj, Γiij = fj, Γi jj = − fi, Γiii= − fi Γiji= − fj, Γjji= − fi, Γij j= fi, Γjj j= − fj
Para o cálculo dos coeficientes da curvatura, usando a definição, temos Ri jks=
∑
` R`i jkg`s lembrando que Rsi jk=∑
` Γ`ikΓsj`−∑
` Γ`jkΓsi`+ ∂ ∂xj Γsik− ∂ ∂xi Γsjk1.8 Espaço Hiperbólico 42
Para dois coeficientes temos
Ri ji j=
∑
` R`i jig` j= Ri jij gj j= Ri jij 1 F2 Já que ∑ ` R`i jig` j= 0, se ` 6= j, então temos Ri ji j= Ri jij 1 F2 = 1 F2 (∑
` Γ`iiΓjj`−∑
` Γ`jiΓi`j + ∂ ∂xj Γiij− ∂ ∂xi Γjji ) Como ∂ ∂xjΓ j ii= ∂ ∂xjfj= fj je ∂ ∂xiΓ j ji= ∂ ∂xi− fi= − fii, então F2Ri ji j =∑
` `6=i,`6= j ( f`)(− f`) + fi2− f2j − fi2+ f2j + fj j+ fii = −∑
` `6=i,`6= j f`2+ fi2− f2j − fi2+ f2j + fj j+ fii Quando ` = i e ` = j temos ΓiiiΓjji = (− fi)(− fi) = fi2 e Γ j iiΓ j j j = ( fj)(− fj) = − f2j respectivamente, então F2Ri ji j= −∑
` f`2+ fi2+ f2j + fj j+ fiiAlém disso, Ri jks = 0 se os quatro índices são distintos, e se três índices sao distintos temos Rii jk= − fjfk− fk j, Ri jkj = fifk+ fki, Rki jk= 0. (1-15) Já que Rii jk=
∑
` Γ`ikΓij`−∑
` Γ`jkΓii`+ ∂ ∂xj Γiik− ∂ ∂xi Γijk = ΓiikΓiji− ΓjjkΓii j− ΓkjkΓiik+ ∂ ∂xj Γiik− ∂ ∂xi Γijk = (− fk)(− fj) − (− fk)(− fj) − (− fj)(− fk) + ∂ ∂xi (− fk) = − fjfk− fk jAnalogamente temos que Ri jkj = fifk+ fki e Rki jk= 0. Finalmente, a curvatura seccional no gerado por ∂ ∂xi , ∂ ∂xj é (note queh ∂ ∂xi, ∂ ∂xji = 0 ).
1.8 Espaço Hiperbólico 43 Ki j = Ri ji j giigj j = Ri ji jF4= F2(Ri ji jF2) = F2(−
∑
` f`2+ fi2+ fj2+ fj j+ fii)Particularizando para o caso F2= x2n, o que implica f = logxn, temos os seguintes casos. Primeiro caso: quando i 6= n , j 6= n obtemos
Ki j = F2(−
∑
` f`2+ fi2+ fj2+ fj j+ fii) = x2n(−∑
` f`2+ fi2+ f2j + fj j+ fii) = x2n(− fn2) = xn2(− fn)( fn) = x2n(− ∂ ∂xn logxn)( ∂ ∂xn logxn) = x2n(−1 xn)( 1 xn) = x 2 n(− 1 x2 n ) = −1Segundo caso: quando i = n e j 6= n temos Kn j= F2(−
∑
` f`2+ fi2+ f2j + fj j+ fii) = x2n(− fn2+ fn2+ fnn) = x2n( fnn) = x2n( ∂ ∂xn ( ∂ ∂xn logxn)) = x2n( ∂ ∂xn 1 xn) = x2n(−1 x2 n ) = −1Finalmente, o caso que i 6= j e j = n teremos ainda Kin= −1. Usando as expressões em (1-15) e corolário1.35, concluímos que a curvatura seccional de Hn é constante igual a -1.
1.8.1
Modelos do espaço hiperbólico
Vamos mostrar diversos modelos geométricos para Hn+1. O espaço hiperbólico Hn+1, pode ser realizado como uma hiperquádrica no espaço de Lorentz-Minkowski Ln+2, assim Ln+2sera o espaço Rn+2dotado com a métrica Lorentziana.
Sejam (x0, ..., xn+1) as coordenadas canônicas de Rn+2 e métrica Lorentziana dada por h, i = −dx20+n+1∑
i=1
dx2i, com isto, o espaço hiperbólico Hn+1
1.8 Espaço Hiperbólico 44
Com a métrica Riemanniana induzida por Ln+2.
Otras hiperquádricas que serão usadas são, o espaço de De Sitter
Sn+11 = {x ∈ L
n+2: hx, xi = 1}
E o cone de luz
Nn+1+ = {x ∈ Ln+2: hx, xi = 0, x0> 0}
Modelo do Semi-espaço Superior
Consideremos R3+= {(x1, x2, x3) ∈ R3: x3> 0} o semi-espaço superior de R3e definimos nele a métrica dada por:
ds2= 1 x23(dx
2
1+ dx22+ dx23) (1-16)
Está métrica tem curvatura constante −1 e sua correspondência entre H3 ⊂ L4 e R3+ é dada por:
(x0, x1, x2, x3) ∈ H3↔ 1 x0+ x3
(x1, x2, 1) ∈ R3+ (1-17) É uma isometria entre H3e (R3+, ds2). Assim de (1-16) as translações e rotações horizon-tais são isometrias de R3+, além, para λ > 0 e (y1, y2, 0) um ponto da fronteira x3= 0 a aplicação de R3+em R3+dada por
(x1, x2, x3) → λ(x1− y1, x2− y2, x3)
É uma isometria de (R3+, ds2) que chama-se translação hiperbólica vertical. Geometrica-mente representa de forma euclidia de centro (y1, y2, 0) e razão λ. Se escolhemos de novo (y1, y2, 0) no fronteira de R3+, λ > 0 e k · k denota a norma de R3, então a aplicação
(x1, x2, x3) ∈ R3+→ (y1, y2, 0) + λ2
(x1− y1, x2− y2, x3) k(x1− y1, x2− y2, x3)k2
É novamente uma isometria de (R3+, ds2). Estas isometrias são chamadas reflexões hiperbólicas e desde geometria euclidiana representam inversões em R3+de uma esfera de centro (y1, y2, 0) e raio λ. As geodésicas são retas verticais e semi-círculos que intersectam a fronteira ∂R3+ ortogonalmente. Ver figura 1.5. Além disso, os espaços totalmente geodésicos são planos verticais e semiesferas que intersectam a ∂R3+ ortogonalmente.
1.8 Espaço Hiperbólico 45
Modelo de Poincaré
Seja B3 a bola unitaria em R3com métrica Riemanniana de curvatura constante −1 dada por
dσ2 4
(1 − kxk2)2(dx 2
1+ dx22+ dx23)
Sendo k · k a norma euclidiana de R3e x = (x1, x2, x3). Então a aplicação de R3+sobre B3 dada por
(x1, x2, x3) ∈ R3+ →
1
x21+ x22+ (x3+ 1)2
(2x1, 2x2, x21+ x22+ x23− 1) ∈ B3
Define uma isometria entre (R3+, ds2) e (B3, dσ2).
As geodésicas no modelo de Poincaré são retas que passam pelo origem e semi-círculos. Ver figura1.6, além disso , as superfícies totalmente geodésicos são esféricos e os discos que cortam ortogonalmente a fronteira da bola B3.
1.8 Espaço Hiperbólico 46
Modelo Hermitico
Identificaremos a L4 com o conjunto das matrizes hermiticas 2 × 2 Herm(2), mediante a relação (x0, x1, x2, x3) ∈ L4↔ x0+ x3 x1+ ix2 x1− ix2 x0− x3 ! ∈ Herm(2)
Com está definição, o produto Lorentziano de L4sobre Herm(2) é dado por h, i = 1
2(a1c2+ a2c1− b1b2− b2b1) Em particular, para cada m ∈ Herm(2) temos hm, mi = −det(m).
O cone de luz positivo, pode ser contemplado como o conjunto de matrizes semi-definidas positivas em Herm(2) de determinante zero, da seguinte forma
N3= {wwt : wt = (w1, w2∈ C2)}
w ∈ C2 está determinado salvo produto por um numero complejo de modulo um. Se consideramos o quociente N3/R+ com a relação de equivalencia projetiva usual, temos que identificar de forma natural de N3/R+ com o fronteira ideal de S2∞ de H
3. Assim a métrica induzida sobre o quociente está definida salvo um fator de proporcionalidade, pelo que S2∞tem estrutura conforme natural.
Além disso, a aplicação N3 em CP1 dada por wwt → [w] que é a projeção de N3 em N3/R+ ≡ S2∞e identifica a S
2
com CP1, a projeção esta dada por (x0, x1, x2, x3) ∈ N3→
x1− ix2
x0+ x3 ∈ C∞≡ CP 1
Para finalizar, as curvas geodésicas no espaço hiperbólico Hnsão as hipérbolas obtidas da intersecção do hiperboloide com os planos que passam pelo origem de Rn+11 . Ver figura
1.7.
Seja para um ponto p ∈ Hne um vetor v ∈ TpHn, consideremos o plano π que contém p, origem, e v, então quando o plano π tem intersecção com o hiperboloide obtemos uma curva plana γ que é geodésica.
Observação 1.4 As curvas descritas anteriormente são dadas por γp,v(t) = cosh(t)p + sinh(t)v, que satisfazem a equação (1-9).
1.8 Espaço Hiperbólico 47
CAPÍTULO
2
Parametrização de uma hipersuperfície via
função suporte no espaço Hiperbólico
Neste capítulo vamos estudar as hipersuperficies em Hn+1 com aplicação re-gular hiperbólica de Gauss em termos de suas curvaturas principais e suas horoesferas tangentes. Apresentaremos os ovaloides horoesfericos como hipersuperficies compactas com aplicação regular hiperbólica de Gauss, além disso, queremos dar uma possível formulação do problema de Christoffel em Hn+1 com a noção de raios de curvatura hiperbólica.
Também queremos mostrar que o problema de Christoffel em Hn+1 é equiva-lente o problema de Nirenberg em Sn, isso é equivalente a dar uma parametrização de uma hipersuperfície em termos da aplicacão hiperbólica de Gauss e da funcão suporte horoesferica.
2.1
Horoesferas e aplicação hiperbólica de Gauss
Do ponto de vista da teoria das hipersuperfícies, as horoesferas são as úni-cas hipersuperfícies planas totalmente umbilicais, são completas e são mergulhadas no espaço Hn+1. Tudo isso sugere que as horoesferas podem ser naturalmente considera-das de muitas maneiras como hiperplanos no espaço hiperbólico Hn+1, mesmo que não sejam totalmente geodésicas. Seja Hn+1 o espaço hiperbólico (n + 1)-dimensional de curvatura constante -1, e seja Sn∞ = ∂∞Hn+1 sua fronteira ideal. Assim, segue-se que as horoesferas de Hn+1 desempenham um papel central, por exemplo estas hipersuper-fícies são facilmente visualizadas no modelo de Poincaré (Bn+1, ds2) em Hn+1, onde Bn+1= {x ∈ Rn+1: ||x|| < 1} (ver figura2.1).
Neste modelo as horoesferas correspondem as n-esferas que são tangentes em um ponto da esfera no infinito Sn∞. Desta forma, duas horoesferas são sempre congruentes, e estão em uma distância constante se seus respectivos pontos no infinito concordam.
dege-2.1 Horoesferas e aplicação hiperbólica de Gauss 49
(a) M = B2 (b) M = B3
Figura 2.1:(a) e (b) São exemplos de horoesferas no modelo do Poincaré
nerado de L4. No modelo do semi-espaço superior as horoesferas são planos horizontais ou esferas tangentes a ∂H3+(ver figura2.2), no entanto, as horoesferas no hiperbólide são como na figura2.3.
(a) (b)
Figura 2.2:(a) e (b) São exemplos de horoesferas no modelo do espaço semi-superior
2.1 Horoesferas e aplicação hiperbólica de Gauss 50
Figura 2.3: Horoesfera no hiperbolóide
Definição 2.1 Seja φ : Mn−→ Hn+1, uma hipersuperfície orientada inmersa em Hn+1, com unitario normal η. A aplicação de Gauss hiperbólica
G: Mn−→ Sn∞≡ Sn
de φ é definida para todo p ∈ Mn, G(p) ∈ Sn é o ponto no infinito da única horoesfera em Hn+1 passando através de φ(p), cujo unitario normal em p concorda com η(p)(ver figuras2.4).
Observação 2.1 As horoesferas são globalmente convexas, o que nos permite falar sobre a orientação para fora ou para dentro de uma horoesfera, o que significa simplesmente que o unitario normal aponta no lado côncavo ou convexo da horoesfera. Em relação a essa orientação, a segunda forma fundamental de uma horoesfera é definida positiva. Além disso, as horoesferas orientadas são as únicas hipersuperfícies em Hncom aplica-ção de Gauss hiperbólico constante.
Observação 2.2 Existe uma definição equivalente para aplicação hiperbólica de Gauss G: Mn−→ Sn∞≡ Snde Mn, que envia cada p∈ Mnpara o ponto G(p) na fronteira ideal Sn∞, alcançado pela única geodésica γ de H
n+1 que começa em φ(p) com velocidade inicial η(p).
A aplicação hiperbólica de Gauss é um conceito análogo no espaço hiperbólico para apli-cação normal Gauss para hipersuperfícies de Rn+1, as horoesferas tangentes desempe-nham o papel de hiperplanos tangentes na teoria euclidiana. A priori a orientação esco-lhida para a hipersuperfície é importante para a aplicação hiperbólica de Gauss. De fato,
2.2 Regularidade da aplicação hiperbólica de Gauss 51
(a) (b)
Figura 2.4:(a)e(b)São Aplicações hiperbólicas de Gauss no mo-delo de Poincaré e no espaço semi-superior respecti-vamente
se mudamos a orientação de Mn, então G transforma-se na aplicação hiperbólica negativa de Gauss G−: Mn−→ Sn, cujo comportamento é totalmente diferente de G.
2.2
Regularidade da aplicação hiperbólica de Gauss
O espaço hiperbólico Hn+1, pode ser realizado como uma hiperquádrica no espaço de Lorentz-Minkowski Ln+2. Assim Ln+2 sera o espaço Rn+2 dotado com a métrica Lorentziana.Sejam (x0, ..., xn+1) as coordenadas canônicas de Rn+2 e métrica Lorentziana dada por h, i = −dx20+
n+1 ∑ i=1
dx2i. Definimos o espaço hiperbólico, o espaço de De Sitter e o cone de luz positivo respectivamente.
• Hn+1= {x ∈ Ln+2: hx, xi = −1, x 0> 0} • Sn+11 = {x ∈ Ln+2: hx, xi = 1}
• Nn+1+ = {x ∈ Ln+2: hx, xi = 0, x0> 0}
Seja φ : Mn→ Hn+1uma hipersuperfície orientada imersa e seja η : Mn→ Sn+11 o unitario normal, definimos aplicação normal associada a φ que toma os valores no cone de luz como
ψ = φ + η : Mn−→ Nn+1+ . (2-1)
A aplicação ψ está fortemente relacionada com a aplicação hiperbólica de Gauss G. De fato, a fronteira ideal de Nn+1+ concorda com Sn∞ e pode ser identificada com o espaço projetivo quociente Nn+1+ \R+. Assim, temos G = [ψ] : Mn−→ Sn∞≡ N
n+1 + \R+.
