Regularidade da aplicação hiperbólica de Gauss O espaço hiperbólico H n+1 , pode ser realizado como uma hiperquádrica no

espaço de Lorentz-Minkowski Ln+2. Assim Ln+2 sera o espaço Rn+2 dotado com a métrica Lorentziana.

Sejam (x0, ..., xn+1) as coordenadas canônicas de Rn+2 e métrica Lorentziana dada por h, i = −dx2₀+

n+1 ∑ i=1

dx2_i. Definimos o espaço hiperbólico, o espaço de De Sitter e o cone de luz positivo respectivamente.

• Hn+1_{= {x ∈ L}n+2_{: hx, xi = −1, x} 0> 0} • Sn+11 = {x ∈ Ln+2: hx, xi = 1}

• Nn+1+ = {x ∈ Ln+2: hx, xi = 0, x0> 0}

Seja φ : Mn_{→ H}n+1uma hipersuperfície orientada imersa e seja η : Mn_{→ S}n+1₁ o unitario normal, definimos aplicação normal associada a φ que toma os valores no cone de luz como

ψ = φ + η : Mn−→ Nn+1+ . (2-1)

A aplicação ψ está fortemente relacionada com a aplicação hiperbólica de Gauss G. De fato, a fronteira ideal de Nn+1+ concorda com Sn∞ e pode ser identificada com o espaço projetivo quociente Nn+1+ \R+. Assim, temos G = [ψ] : Mn−→ Sn∞≡ N

n+1 + \R+.

2.2 Regularidade da aplicação hiperbólica de Gauss 52

Definição 2.2 A função suave dada por

eρ: Mn_{−→ R}

É chamada de função suporte horoesferica da hipersuperfície φ : Mn−→ Hn+1

Lema 2.3 Seja ψ a aplicação normal que toma valores no cone de luz, então hψ, ψi = 0. Além disso, ψ está relacionada com a aplicação hiperbólica de Gauss G tal que ψ = eρ(1, G).

Prova. De fato, pelas propriedades do produto interno, a equação (2-1) e o fato hφ, ηi = 0, já que φ e η são ortogonais (φ é posição e η é vetor normal ) temos

hψ, ψi = hφ + η, φ + ηi

= hφ, φi + hφ, ηi + hη, φi+ < η, ηi = hφ, φi + 2hφ, ηi + hη, ηi

= −1 + 2hφ, ηi + 1 = 0

Além disso, podemos interpretar G como a aplicação G : Mn−→ Sn_{dada por} G= 1

ψ0

(ψ1, ..., ψn+1) (2-2)

Desta forma, se chamamos eρ _{= ψ}

0e escrevemos ψ = (ψ0, ..., ψn+1), pela equação (2-2) temos ψ = (ψ0, ψ1, ..., ψn+1) = ψ0(1, ψ1 ψ0 , ...,ψn+1 ψ0 ) = ψ0(1, 1 ψ0 (ψ1, ..., ψn+1)) = ψ0(1, G)

Portanto, obtemos a seguinte relação

ψ = eρ(1, G) : Mn−→ Nn+1₊ (2-3)

2.2 Regularidade da aplicação hiperbólica de Gauss 53

Lema 2.4 A aplicação hiperbólica de Gauss G é unitaria, hG, Gi = 1 e hdψ, dψi = e2ρhdG, dGi_Sn.

Prova. De fato,

hψ, ψi = h(ψ0, ψ1, ..., ψn+1), (ψ0, ψ1, ..., ψn+1)i = −ψ2₀+ ψ2₁+ ... + ψ2n+1

Pelo lema2.3temos ψ2₀= ψ2₁+ ... + ψ2_n+1 e pela equação (2-2) temos

hG, Gi = h 1 ψ0 (ψ1, ..., ψn+1), 1 ψ0 (ψ1, ..., ψn+1)i = 1 ψ2₀h(ψ1, ..., ψn+1), (ψ1, ..., ψn+1 )i = 1 ψ2₀(ψ 2 1+ ... + ψ2n+1) = 1 ψ2₀ψ 2 0= 1

Pela equação (2-3) temos ψ = (eρ_{, e}ρ_{G) então}

dψ = (eρ_{dρ, e}ρ_{dρG + e}ρ_dG)

= (eρ_{dρ, e}ρ_{(dρG + dG))} (2-4)

Usando hG, Gi = 1, a equação (2-4) e as propriedades do produto interno temos ⇒ hdψ, dψi = h(eρ dρ, eρ(dρG + dG)), (eρ dρ, eρ(dρG + dG))i = −e2ρdρ2+ e2ρhdρG + dG, dρG + dGi_Sn = −e2ρdρ2+ e2ρ(dρ2hG, Gi_Sn+ dρhG, dGi Sn+ dρhdG, GiSn+ hdG, dGiSn) = −e2ρdρ2+ e2ρdρ2+ 2e2ρdρhG, dGi_Sn+ e2ρhdG, dGi_Sn

hdψ, dψi = e2ρhdG, dGi_Sn (2-5)

 Se {e1, ..., en} é uma base ortonormal das direções principais de φ em p e se k₁, ..., knsão as curvaturas principais associadas, é imediato que

hdψ(ei), dψ(ej)i = (1 − ki)2δi j (2-6) De fato, para eicom i = 1, ..., n que pertence a base ortonormal de φ, temos por definição, que dφ(ei) = eie dη(ei) = −kieionde η é unitario normal. Usando equação (2-1) e pela

2.2 Regularidade da aplicação hiperbólica de Gauss 54

linearidade da diferencial temos

ψ = φ + η ⇒ dψ = d(φ + η) = dφ + dη ⇒ dψ(ei) = dφ(ei) + dη(ei) = ei− kiei

hdψ(ei), dψ(ej)i = hei− kiei, ej− kjeji = δi j(1 − ki− kj+ kikj) = (1 − ki)2δi j

Lema 2.5 Seja φ : Mn_{−→ H}n+1 uma hipersuperfície orientada. As seguintes condições são equivalentes em p_{∈ M}n.

1. A aplicação hiperbólica de Gauss é um difeomorfismo local. 2. A aplicação associada ao cone de luz ψ é regular.

3. k_i6= 1, onde cada ki, com i= 1, ..., n, são as curvaturas principais.

Prova. 1) → 2). Como G é um difeomorfismo local, G é regular, então dG(v) 6= 0 para todo v ∈ Mn, em particular para os elementos da base {e1, ..., en}, dG(ei) 6= 0, temos

hdψ(ei), dψ(ej)i = e2ρhdG(ei), dG(ej)i 6= 0 Portanto, ψ é regular.

2) → 3). Como ψ é regular então dψ(ei) 6= 0 para todo ei, com i = 1, ..., n elemento da base, usando aquacade (2-1) e propriedades da diferencial temos

dψ(ei) = (dφ + dη)(ei) = dφ(ei) + dη(ei) = ei− kiei= ei(1 − ki) 6= 0

como ei6= 0 já que pertenece a base, logo 1 − ki6= 0 portanto ki6= 1 com i = 1, ..., n . 3) → 1) Pelas equações (2-5) e (2-6) temos respectivamente hdψ, dψi = e2ρhdG, dGi e hdψ(ei), dψ(ej)i = (1 − ki)2δi j daí obtemos

hdψ(ei), dψ(ej)i = (1 − ki)2δi j= e2ρhdG(ei), dG(ej)i(∗)

Pela igualdade acima (∗) temos (1 − ki)2δi j = e2ρhdG(ei), dG(ej)i, como ki 6= 1 com i= 1, ..., n então hdG(ei), dG(ej)i 6= 0 portanto G é um difeomorfismo local. 

Definição 2.6 Seja Mn_{⊂ H}n+1 uma hipersuperfície imersa orientada e sejaHp horoes- fera em Hn+1 que é tangente a Mnem p e cujo interior unitario normal em p concorda com o un de Mn.Diremos que Mn é horoesfericamente côncava em p se existe uma vizi- nhança V ⊂ Mn_{de p de modo que V\[p] não intercepté H}

p, V\[p] está contida no lado côncavo deHp(ver figura2.5).

2.2 Regularidade da aplicação hiperbólica de Gauss 55

Figura 2.5: Hipersuperfície horoesfericamente côncava no modelo de Poincaré

Esta definição pode ser uma caracterização do seguinte

Corolário 2.7 Uma hipersuperfície orientada Mn_{⊂ H}n+1 é horoesfericamente côncava em p∈ Mn_{, se, e somente se, todas seus curvaturas principais de M}n_{em p são simultane-} amente ki(p) < 1 ou ki(p) > 1.

Em particular, se Mn é horoesfericamente côncava em p ∈ Mn qualquer das condições equivalentes no lema anterior são certas.

Definição 2.8 Uma hipersuperfície imersa compacta φ : Mn _{−→ H}n+1 é chamada de ovalóide horoesferica de Hn+1 se ela é orientada de modo que é horoesfericamente côncava em cada ponto.

Equivalentemente, uma hipersuperfície compacta é ovaloide horoesferica se e somente se pode ser orientada de modo que sua aplicação hiperbólica de Gauss seja um difeo- morfismo global. Esta equivalência segue-se diretamente de lema2.5e do corolario2.7e argumentos topológicos. Lembrando que cada hipersuperfície em Hn+1 tem um ponto p no qual | ki(p) |> 1 para cada i em particular Mné difeomorfo a Sn.

É também imediato da existência deste ponto com | ki(p) |> 1, que cada horoesfera ovaloide tem uma única orientação tal que ki< 1 para cada i = 1, ..., n . Nós chamamos

2.3 Métrica Horoesferica 56

essa orientação de orientação canônica de horoesfera ovaloide. Segue-se que a aplicação hiperbólica de Gauss de horoesfera canônica orientada é sempre um difeomorfismo glo- bal, isso não é necessariamente verdade para outra possível orientação. Seja p é ponto da horoesfera ovaloide canônica orientada Mn_{⊂ H}n+1é (estritamente côncava) ovaloide se todas suas curvaturas principais são não-zero e de mesmo sinal. Assim, qualquer ovaloide é uma horoesfera ovaloide mas o recíproca não é verdade.

Outra característica interessante dos ovaloides horoesfericos orientada canónica- mente é seu bom comportamento em relação ao fluxo paralelo. O fluxo paralelo de uma hipersiperfície orientada φ : Mn_{→ H}n+1é definida para cada t ∈ R como φt: Mn→ Hn+1,

φt(p) = expφ( p)(tηp) : M n

→ Hn+1 (2-7)

Onde exp denota a aplicação exponencial de Hn+1e ηpé o unitario normal de φ em p.

2.3

Métrica Horoesferica

Será importante para nossos propósitos associar uma métrica ao espaço das horoesferas em Hn+1.

Seja

_M

o espaço das horoesferas em Hn+1, vamos também fixar um ponto arbitrário p _{∈ H}n+1 que consideraremos sem perda de generalidade como origem no modelo da bola de Poincaré, então podemos ver cada horoesfera H como um par (x,t) ∈ Sn× R, onde x é o ponto no infinito de H e t é a distância hiperbólica de H até o ponto p. Aqui, t é negativo se p está contido no domínio convexo da fronteira por H, assim podemos identificar

_M

_{≡ S}n_{× R.}

Vamos construir uma métrica natural no espaço das horoesferas, os pontos da forma (x, 0) correspondem a horoesferas que passam pela origem no modelo da bola de Poincaré, é natural dotar cada um desses pontos com a métrica canônica g0de Snavaliado em x. Mas a horoesfera (x,t) é uma superfície paralela de (x, 0) e a métrica induzida em Hn+1dessa horoesfera paralela é uma dilatação de uma de H ≡ (x, 0) de fator e2t, assim a métrica natural a definir em (x,t) é métrica dilatada e2tg₀ avaliado em x. Conseqüentemente podemos ver o espaço das Horoesferas em Hn+1 como o produto Sn× R dotado com a métrica degenerada natural

h, i := e2tg₀

Observe que o domínio vertical de Sn× R são linhas nulas em relação com esta métrica degenerada.

No documento Parametrização de uma hipersuperfície via função suporte no espaço Hiperbólico (páginas 55-61)