INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 5 MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE

(1)

Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru

CAPÍTULO 5

MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE

Conforme se estabeleceu, no Capítulo 4, com exceção do espaço nulo V =

{ }

0 , que não possui base, todos os demais espaços vetoriais possuem infinitas bases. Uma vez que existem infinitas bases, capazes de gerar o mesmo espaço vetorial, pode-se pensar que elas tenham algo em comum. Cabe, assim, o seguinte questionamento: como relacionar os vetores de uma base B com os vetores de uma base C?

Ainda no Capítulo 4, viu-se que é possível determinar as coordenadas de um dado vetor em diferentes bases e que, embora essas coordenadas sejam expressas de formas diferentes, elas representam o mesmo vetor. Se, por exemplo,

[ ]

v _B são as coordenadas de um vetor v em relação à base B e

[ ]

v_C são as coordenadas de v em relação à base C, pergunta-se: é possível, a partir de

[ ]

v _B, obter

[ ]

v_C e vice-versa? Ver-se-á, neste capítulo, que isto é possível; ressalta-se, ainda, que, em muitas aplicações práticas, é necessário passar de um sistema de coordenadas para outro, o que é feito através de uma matriz de mudança de coordenadas.

Exemplo: Considerem-se o espaço vetorial real ℜ e o vetor 2 v =

( )

6,2 . A representação de v em relação à base canônica C =

{

ir =

( )

1,0,jr =

( )

0,1

}

é v =6

( )

1,0 +2

( )

0,1 e, portanto, suas coordenadas em relação à base canônica C são

[ ]

_

     = 2 6 C

v . Considere-se, agora, a base

(

)

( )

{

f₁ 1, 1,f₂ 1,1

}

B = r = − r = ; para determinar as coordenadas do vetor vr em relação a essa base, escreve-se v como combinação linear dos vetores de B:

( )

6,2 = a

(

1,−1

)

+ b(

( ) (

1,1 = a+b,−a+b

)

, de onde se segue que:

   + − = + = b a b a 2 6 ,

e, portanto, a =2 e b = 4. Logo, as coordenadas de v em relação à base B são

[ ]

_      = 4 2 B v .

É possível interpretar geometricamente esses resultados. Quando se considera o espaço ℜ 2 com a base canônica, a representação geométrica desse espaço é o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, usualmente designado por plano Oxy. O eixo horizontal Ox tem a direção do vetor ir =

( )

1,0 e o eixo vertical Oy tem a direção do vetor jr =

( )

0,1 . Na Figura 8, vê-se a reprevê-sentação geométrica dos vetores da bavê-se C e do vetor v.

Considerar uma nova base B significa considerar um novo sistema de coordenadas, que será indicado por Ox′y′, cujos eixos têm a direção dos vetores f₁ =

(

1,−1

)

r

(2)

respectivamente. Representando-se, geometricamente, esses novos eixos no mesmo sistema de coordenadas Oxy, vê-se que o sistema Ox′y′ está rotacionado, em relação ao sistema Oxy. Entretanto, é claro que, independentemente do sistema considerado (ou seja, independentemente da base considerada), a representação geométrica de v é a mesma.

FIGURA 8

Considerando-se a expressão do vetor v, escrito como combinação linear dos vetores da base C, ou seja, v = 6

( )

1,0 +2

( )

0,1, vê-se que o segundo membro pode ser expresso, equivalentemente, como um produto de matrizes:

      ⋅       = 2 6 1 0 0 1 v .

Observe-se que os vetores da base C constituem as colunas da matriz _      1 0 0 1 ; chamando de C

essa matriz, ou seja, escrevendo a base na forma matricial _      = 1 0 0 1 C , escreve-se, simbolicamente:

[ ]

v_C C v = ⋅ .

Considerando-se, agora, a expressão do vetor v, escrito como combinação linear dos vetores da base B, ou seja, v = 2

(

1,−1

)

+4

( )

1,1, vê-se que o segundo membro pode ser expresso, equivalentemente, como um produto de matrizes:

      ⋅       − = 4 2 1 1 1 1 v .

Observe-se que os vetores da base B constituem as colunas da matriz _      −1 1 1 1 ; chamando de

(3)

Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru B essa matriz, ou seja, escrevendo a base na forma matricial _

     − = 1 1 1 1 B , escreve-se, simbolicamente:

[ ]

v _B B v = ⋅ .

Conforme se viu, o vetor v tem coordenadas diferentes, quando se consideram bases diferentes do ℜ2; esse fato leva às questões: como obter

[ ]

_

     = 4 2 B v a partir de

[ ]

_      = 2 6 C v e como obter

[ ]

_      = 2 6 C v a partir

[ ]

_      = 4 2 B

v ? Essas questões são equivalentes à seguinte

questão: qual é a relação entre as bases _      − = 1 1 1 1 B e _      = 1 0 0 1 C ?

Uma vez que tanto B quanto C geram o ℜ2, pois são bases, espera-se que haja uma relação entre elas. De fato, pode-se verificar que as matrizes B e C são equivalentes, isto é, pode-se obter uma delas a partir da outra, utilizando-se as operações elementares com as filas (linhas ou colunas) de uma delas, como se mostra a seguir:

      −     →        −     →        ₋ ₊ ₊ 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 L₁ L₂ L₂ 2L₁ _.

Mostra-se, agora, como mudar de uma base para outra, matricialmente.

Considerem-se um espaço vetorial V sobre um corpo K e duas de suas bases:

{

v ,v , ,vn

}

B ₌ ₁ ₂ L _e _C ₌

{

_u₁_,_u₂_,L_,_u_n

}

_{. Uma vez que B gera o espaço V, cada um dos} vetores da base C pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base B. Então, existem escalares a_ij ∈K, tais que:

       + + + = + + + = + + + = n nn n n n n n n n v a v a v a u v a v a v a u v a v a v a u : S L M L L 2 2 1 1 2 2 22 1 12 1 2 21 1 11 1 2 _.

A matriz P, de ordem n, constituída dos escalares

a

_ij, isto é:

              = nn n n n n a a a a a a a a a P L M M M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11

é chamada de matriz mudança da base B para a base C. Notação: P =

[ ]

M_CB.

Observações:

1) As colunas da matriz P são constituídas das coordenadas de cada vetor u_i

(

1≤ i ≤ n

)

da base C em relação à base B, ou seja:

(4)

[ ]

              =               =               = nn n n B n n B n B a a a u , , a a a u , a a a u M L M M 2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 .

2) A matriz mudança de base é sempre uma matriz quadrada, pois as bases B e C têm a mesma quantidade de vetores. Além disso, como cada vetor da base C se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores da base B e essas coordenadas formam um conjunto de vetores LI, o determinante da matriz P é diferente de zero e, portanto, ela é inversível.

3) A notação P =

[ ]

MB_C indica a matriz mudança da base B para a base C; entretanto, ressalta-se que são os vetores da baressalta-se C que são escritos como combinação linear dos vetores da baressalta-se B.

4) Escrevendo-se a matriz dos coeficientes do sistema linear S, isto é:

              nn n n n n a a a a a a a a a L M M M M L L 2 1 2 22 12 1 21 11 ,

vê-se que a matriz mudança de base é a sua transposta.

5) É claro que se pode considerar também a matriz de mudança da base C para a base B. Para isso, basta escrever cada vetor da base B como combinação linear dos vetores da base C e considerar a matriz cujas colunas são constituídas pelas coordenadas dos vetores da base B em relação à base C. Nesse caso, obter-se-ia a matriz Q=

[ ]

MC_B.

Exemplo: Sejam B =

{

v₁ =

( )

1,1,v₂ =

( )

1,0

}

e C =

{

u₁ =

( )

1,2,u₂ =

(

−4,−3

)

}

duas bases do espaço vetorial real ℜ . 2

(a) Determinar a matriz P de mudança da base B para a base C. (b) Determinar a matriz Q de mudança da base C para a base B. (c) Que conclusões se obtêm a partir dos produtos P⋅Q e Q⋅P?

(a) Para determinar P =

[ ]

MB_C, escrevem-se os vetores da base C como combinação linear dos vetores da base B, isto é:

( )

1,2 = a

( )

1,1 +b

( )

1,0 ⇒

( ) (

1,2 = a+b,a

)

, de onde se segue que:

   = = + 2 1 a b a ,

ou seja, a =2 e b = −1. Logo, o vetor u₁ =

( )

1,2 da base C se escreve:

(5)

Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru isto é, suas coordenadas em relação à base B são:

[ ]

_      − = 1 2 1 B u .

Considerando-se, agora, o vetor u₂ =

(

−4,−3

)

, tem-se:

(

−4,−3

)

= c

( )

1,1 +d

( )

1,0 ⇒

(

−4,−3

) (

= c +d,c

)

. Então:    − = − = + 3 4 c d c ,

de onde se obtém: c = −3 e d = −1. Logo, o vetor u₂ =

(

−4,−3

)

da base C se escreve:

(

−4,−3

)

= −3

( ) ( )

1,1 − 1,0 ,

ou seja, suas coordenadas em relação à base B são:

[ ]

_      − − = 1 3 2 B u .

O sistema linear S, é então:

   − − = − = 2 1 2 2 1 1 3 2 v v u v v u : S

e, portanto, a matriz dos coeficientes é:

      − − − 1 3 1 2 .

A matriz P é a transposta dessa matriz; suas colunas são formadas pelas coordenadas de u e ₁

2 u em relação à base B:

[ ]

_      − − − = = 1 1 3 2 B C M P .

(b) Quer-se, agora, determinar a matriz Q=

[ ]

MC_B. Para isso, escrevem-se os vetores da base B como combinação linear dos vetores da base C. Tem-se:

( )

1,1 = a

( )

1,2 +b

(

−4,−3

)

⇒

( ) (

1,1 = a−4b,2a−3b

)

, de onde vem que:

   = − = − 1 3 2 1 4 b a b a ; então: 5 1 = a e 5 1 − =

b . Logo, o vetor v₁ =

( )

1,1 da base B se escreve:

( )

(

4 3

)

5 1 2 1 5 1 1 1, = , − − ,− ,

isto é, suas coordenadas em relação à base C são:

[ ]

            − = 5 1 5 1 1 C v .

(6)

( )

1,0 =c

( )

1,2 +d

(

−4,−3

) ( ) (

⇒ 1,0 = c−4d,2c−3d

)

, ou seja, tem-se o sistema linear:

   = − = − 0 3 2 1 4 d c d c , de onde se obtém: 5 3 − = c e 5 2 − =

d . Logo, o vetor v₂ =

( )

1,0 da base B se escreve:

( )

(

4 3

)

5 2 2 1 5 3 0 1, = − , − − ,− ,

ou seja, suas coordenadas em relação à base B são:

[ ]

            − − = 5 2 5 3 2 C v .

O sistema linear S, é então:

      − − = − = 2 1 2 2 1 1 5 2 5 3 5 1 5 1 u u v u u v : S

e, portanto, a matriz dos coeficientes é:

            − − − 5 2 5 3 5 1 5 1 .

A matriz Q é a transposta dessa matriz; suas colunas são formadas pelas coordenadas de v₁ e

2 v em relação à base C:

[ ]

            − − − = = 5 2 5 1 5 3 5 1 C B M Q .

(c) Efetuando-se os produtos solicitados, têm-se:

      =             − − −       − − − = 1 0 0 1 5 2 5 1 5 3 5 1 1 1 3 2 PQ e       =       − − −             − − − = 1 0 0 1 1 1 3 2 5 2 5 1 5 3 5 1 QP .

Conclui-se, assim, que as matrizes P e Q são inversas entre si, ou seja,

[ ]

( )

[ ]

−1

= B_C

C

B M

M e

[ ]

M_CB =

( )

[ ]

MC_B −1.

(7)

Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru mudança da base B para C. Então:

(a) C =Pt⋅B (b) B =

( )

Pt −1 ⋅C Demonstração:

(a) Hipóteses: B ₌

{

v₁,v₂,L,v_n

}

e C ₌

{

u₁,u₂,L,u_n

}

são bases do espaço vetorial V; P é a matriz de mudança da base B para a base C

Tese: C = Pt⋅B

Escrevendo-se os vetores da base C como combinação linear dos vetores da base B, obtém-se o sistema linear:        + + + = + + + = + + + = n nn n n n n n n n v a ... v a v a u v a ... v a v a u v a ... v a v a u : S 2 2 1 1 2 2 22 1 12 1 2 21 1 11 1 2 M .

Portanto, por definição, a matriz de mudança da base B para a base C é:

              = nn n n n n a ... a a ... ... ... ... a ... a a a ... a a P 2 1 2 22 21 1 12 11 .

A forma matricial do sistema é:

              ⋅               =               n nn n n n n n v v v a a a a a a a a a u u u M L M M M M L L M 2 1 2 1 2 22 12 1 21 11 2 1 .

Vê-se, assim, que a matriz dos coeficientes do sistema é a transposta de P. Se as bases B e C forem escritas na forma de matrizes-colunas, isto é,

              = n v v v B M 2 1 e               = n u u u C M 2 1 , conclui-se que C =Pt ⋅B

(b) Hipóteses: B =

{

v₁,v₂,L,v_n

}

e C =

{

u₁,u₂,L,u_n

}

são bases do espaço vetorial V; P é a matriz de mudança da base B para a base C.

Tese: B =

( )

Pt −1 ⋅C

De (a), tem-se que C = Pt ⋅B; sendo a matriz P inversível, pode-se determinar P−1 e sua transposta

( )

P−1t. Uma vez que, por propriedade de matrizes, tem-se que

( ) ( )

_P−1t = _Pt −1_, pode-se escrever:

(8)

( )

Pt−1⋅C =

( )

Pt −1⋅Pt ⋅B, ou seja,

( )

Pt −1 ⋅C = Id_n ⋅B,

onde Id é a matriz identidade de ordem n. Logo, vem: _n

( )

P C B = t −1 ⋅ .

Exemplo: considerando-se, novamente, o espaço vetorial real ℜ , com as bases 2

( )

{

v₁ 1,1,v₂ 1,0

}

B = = = e C =

{

u₁ =

( )

1,2,u₂ =

(

−4,−3

)

}

, pode-se verificar os resultados apresentados no teorema anterior.

(a) Do desenvolvimento feito anteriormente, tem-se a matriz de mudança da base B para a base C:       − − − = 1 1 3 2 P ; sua transposta é:       − − − = 1 3 1 2 t P .

Escreve-se a matriz B da seguinte maneira: na 1ª linha, colocam-se as coordenadas do vetor

1

v e, na 2ª linha, as coordenadas do vetor v . Efetuando-se o produto ₂ Pt ⋅B, vem:

C B Pt _ =      − − =       ⋅       − − − = ⋅ 3 4 2 1 0 1 1 1 1 3 1 2

Observa-se que a 1ª linha de C contém as coordenadas do vetor u e a 2ª, as coordenadas do ₁ vetor u . Mostrou-se, assim, que ₂ C =Pt⋅B.

(b) Para mostrar que B =

( )

Pt −1 ⋅C, calcula-se a matriz inversa deP : t ⇒       =             − − − 1 0 0 1 1 3 1 2 d c b a ⇒       =       − − − − − − 1 0 0 1 3 3 2 2 d b c a d b c a    = − − = − ⇒ 0 3 1 2 c a c a e    = − − = − 1 3 0 2 d b d b

Resolvendo os sistemas lineares, obtém-se a solução:

            − = − = − = = 5 2 5 3 5 1 5 1 d c b a ;

(9)

( )

            − − − = − 5 2 5 3 5 1 5 1 1 t P .

Efetuando-se, agora, o produto

( )

Pt −1⋅C, vem:

( )

Pt C _ = B      =       − −             − − − = ⋅ − 0 1 1 1 3 4 2 1 5 2 5 3 5 1 5 1 1 ,

o que mostra o resultado do teorema.

Teorema: Sejam: V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Se P =

[ ]

MB_C é a matriz de mudança da base B para C e Q =

[ ]

MC_D é a matriz de mudança da base C para D, então a matriz R =

[ ]

MB_D, de mudança da base B para a base D, é igual ao produto das matrizes P e Q, isto é, R = P⋅Q =

[ ] [ ]

M_CB ⋅ MC_D.

Demonstração:

Hipóteses: B, C e D são bases de um espaço vetorial V; P =

[ ]

M_CB, Q =

[ ]

MC_D e R =

[ ]

MB_D são matrizes de mudança de base

Tese: R = P⋅Q

Pelo teorema anterior, tem-se: B P C = t⋅ , D=Qt ⋅C e D =Rt ⋅B. Então, vem: B P Q C Q D = t ⋅ = t ⋅ t ⋅ ;

Por propriedade de matrizes transpostas, tem-se que:

(

P Q

)

B D = ⋅ t ⋅ .

Como D =Rt ⋅B, conclui-se que R = P⋅Q, ou seja, a matriz de mudança da base B para a base D é:

[ ] [ ]

C D B C M M Q P R = ⋅ = ⋅ .

Teorema: Sejam: V um espaço vetorial e B e C duas de suas bases. Se P =

[ ]

MB_C é a matriz de mudança da base B para C e w é um elemento qualquer de V, então:

(a)

[ ]

w _B = P ⋅

[ ]

w_C (b)

[ ]

w _C = P−1 ⋅

[ ]

w _B Demonstração:

(a) Hipóteses: B e C são bases de um espaço vetorial V; P =

[ ]

MB_C é a matriz de mudança da base B para a base C; w é um elemento genérico de V

(10)

Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru Tese:

[ ]

w _B = P ⋅

[ ]

w_C

Sejam B ₌

{

v₁,v₂,L,v_n

}

_e_C ₌

{

_u₁_,_u₂_,L_,_u_n

}

_{as bases consideradas. Então, os vetores da} base C podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base B, isto é, existem escalares a_ij

(

1≤ i,j ≤ n

)

, tais que:

       + + + = + + + = + + + = n nn n n n n n n n v a v a v a u v a v a v a u v a v a v a u : S L M L L 2 2 1 1 2 2 22 1 12 1 2 21 1 11 1 2 _.

Portanto, por definição, matriz mudança da base B para a base C é

              = nn n n n n a a a a a a a a a P L M M M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 .

Considerando-se um vetor w de V, este se escreve como combinação linear dos vetores das bases B e C: n nv v v w = α₁ ₁ +α₂ ₂ +L+α _e_w ₌ β₁_u₁ ₊ β₂_u₂ ₊L₊β_n_u_n_.

Assim, têm-se suas coordenadas em relação a cada uma das bases:

[ ]

              = n B w α α α M 2 1 ⇒

[ ]

              = n C w β β β M 2 1 .

Igualando-se as duas expressões de w, vem:

n n n nv u u u v v w = α₁ ₁ +α₂ ₂ +L+α = β₁ ₁+ β₂ ₂ +L+ β _.

Substituindo-se, no segundo membro dessa equação, as expressões dos vetores u_i

(

1≤ i ≤ n

)

que constam do sistema S, obtém-se:

(

+ + +

)

+

(

+ + +

)

+ + = + + + v L _nv_n a v a v L a_nv_n a v a v L a_n v_n L v₁ ₂ ₂ ₁ ₁₁ ₁ ₂₁ ₂ ₁ ₂ ₁₂ ₁ ₂₂ ₂ ₂ 1 α α β β α

(

n n nn n

)

n a v + a v + +a v +β ₁ ₁ ₂ ₂ L , ou seja,

(

+ + +

)

+ = + + + ₂ ₂ ₁ ₁₁ ₂ ₁₂ ₁ ₁ 1 1v α v αnvn β a β a βna nv α L L

(

β a + β a + +βna n

)

v + +

(

β an +β an + + βnann

)

vn + ₁ ₂₁ ₂ ₂₂ L ₂ ₂ L ₁ ₁ ₂ ₂ L

Uma vez que cada vetor se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores de uma mesma base, segue-se que:

       + + + = + + + = + + + = nn n n n n n n n n a a a a a a a a a β β β α β β β α β β β α L M L L 2 2 1 1 2 22 2 21 1 2 1 12 2 11 1 1 ;

(11)

Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru                             =               n nn n n n n n a a a a a a a a a β β β α α α M L M M M M L L M 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 . Portanto,

[ ]

w_B = P⋅

[ ]

w_C.

(b) Hipóteses: B e C são bases de um espaço vetorial V; P =

[ ]

MB_C é a matriz de mudança da base B para a base C; w é um elemento genérico de V.

Tese:

[ ]

w_C = P−1 ⋅

[ ]

w _B

Sabe-se que a matriz P é inversível e, do item (a), tem-se que

[ ]

w _B = P⋅

[ ]

w_C. Então, multiplicando-se ambos os membros dessa expressão pela matriz P−1, obtém-se:

[ ]

w B P P

[ ]

w C P

[ ]

w B Idn

[ ]

w_C

[ ]

w _C

P−1⋅ = −1⋅ ⋅ ⇒ −1⋅ = ⋅ =

Conclui-se, assim, que

[ ]

w_C = P−1 ⋅

[ ]

w _B.

Exemplos:

1) Sejam: P₂

( )

ℜ , o espaço vetorial real dos polinômios de grau menor ou igual a 2;

{

, t

}

C = 2 2+ , uma base desse espaço; _      = 1 0 2 2

P a matriz mudança da base B para a base C.

Determinar a base B. Sendo _      = 1 0 2 2 P , tem-se que

( )

            − = − 1 1 0 2 1 1 t

P . Sabe-se que B =

[ ]

Pt −1 ⋅C. A matriz C tem como linhas as coordenadas dos vetores da base que, nesse caso, são os coeficientes dos polinômios que a compõem, isto é:

      = 1 2 0 2 C . Então:       =       ⋅             − = 1 0 0 1 1 2 0 2 1 1 0 2 1 B ,

ou seja, os vetores da base B são:

( )

1,0 e

( )

0, . Uma vez que as coordenadas dos vetores são 1 os coeficientes dos polinômios que compõem a base, tem-se: B =

{ }

1,t , que é a base canônica de P₂

( )

ℜ .

Essa é a forma mais simples de obter a base B; poder-se-ia tê-la encontrado através da matriz de mudança da base B para a base C, como segue. Para isso, escreve-se cada vetor da base C

(12)

como combinação linear dos vetores da base B. Tomando-se B como sendo

{

a at,b bt

}

B = ₀ + ₁ ₀ + ₁ , tem-se, então:

(

)

(

)

(

) (

)

   + + + = + + + + = t b b t a a t t b b t a a 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 2 0 2 2 , ou seja,

(

) (

)

   + + + = + + = + t b t a b a t t a a t 1 1 0 0 1 0 2 2 1 2 2 2 0 2 ,

de onde se obtêm os sistemas lineares

   = = 1 0 2 0 2 2 a a e    + = + = 1 1 0 0 2 1 2 2 b a b a .

Assim, têm-se as soluções: a₀ =1, b₀ = 0, a₁ =0 e b₁ =1, isto é, obtêm-se os vetores

( )

1,0 e

( )

0, . Portanto, a base B é: 1 B =

{ }

1,t .

2) Sejam: B =

{

( ) (

1,2 , −1,1

)

}

uma base do espaço vetorial real ℜ e 2

            = 3 5 3 1 3 2 3 1 P a matriz de

mudança da base B para uma base C. Determinar as coordenadas do vetor v =

( )

2,3 em relação à base C.

Conforme resultado anterior, tem-se:

[ ]

v_C = P−1⋅

[ ]

v _B. Assim, é preciso determinar as coordenadas de v em relação à base B e a matriz inversa de P.

Escrevendo o vetor v como combinação linear dos vetores de B, vem:

( )

2,3 = a

( )

1,2 +b

(

−1,1

) (

= a−b,2a+b

)

; Então:    + = − = b a b a 2 3 2 , de onde se obtêm: 3 5 = a e 3 1 − =

b . Assim, as coordenadas de v em relação à base B são:

[ ]

            − = 3 1 3 5 B v .

Usando-se qualquer um dos métodos vistos anteriormente, calcula-se a inversa da matriz P, obtendo-se:       − − = − 1 1 2 5 1 P . Assim:

[ ]

_      − =             −       − − = 2 9 3 1 3 5 1 1 2 5 C v .

(13)

Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru relação à base C através da definição da matriz de mudança da base de B para C. Considerando-se a base C como sendo: C =

{

(

a,b

) (

, c,d

)

}

, tem-se:

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

      − + = − + = 1 1 3 5 2 1 3 2 1 1 3 1 2 1 3 1 , , d , c , , b , a ,

de onde se obtêm os vetores

( )

0, e 1

(

−1,3

)

. Assim, C =

{

( ) (

0,1, −1,3

)

}

. Determinam-se, agora, as coordenadas do vetor v =

( )

2,3 em relação à base C:

( )

2,3 =α

( )

0,1 +β

(

−1,3

) (

= − β,α +3β

)

, que leva ao sistema linear:

   + = − = β α β 3 3 2 ,

cuja solução é α = 9 e β = −2. Portanto, tem-se:

[ ]

_      − = 2 9 C v . Exercícios Propostos

1) Sejam: B =

{

( ) ( )

1,0, 1,1

}

, C =

{

(

2,−1

) ( )

, 3,2

}

e D três base do espaço vetorial real ℜ ; 2       − = 3 1 0 2

Q a matriz de mudança da base C para a base D. Determinar a matriz de mudança

da base B para a base D e a base D.

R:

[ ]

_      − = 6 4 3 5 B D M ; D =

{

(

1,−4

) ( )

, 9,6

}

2) Determinar a matriz de mudança da base B =

{

−2,3+t,−1+2t2

}

para a base

{

₁ _t_, ₂_t _t2_,₃ _t2

}

C = + − + + . R:

[ ]

          − − − = = 2 1 2 1 4 7 4 13 0 0 2 1 1 B C M P

3) Sejam: B a base canônica do espaço M₂

( )

ℜ e _      − = 8 5 3 2

A um elemento desse espaço.

Sabendo que a matriz de mudança da B para a base C é

              − − = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 P , determinar as

coordenadas de A em relação à base C e a base C.

R:

[ ]

              − − = 4 12 7 2 C A ;               −             −       = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 , , , C

(14)

4) Considerem-se, no ℜ , as bases 3 B =

{

e₁,e₂,e₃

}

e C =

{

g₁,g₂,g₃

}

, relacionadas da seguinte forma:      + + = + + = + = 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1 1 2 2 e e e g e e e g e e g . Sabendo que

[ ]

          − − = 1 5 2 B

v são as coordenadas do vetor v em relação à base B, determinar

[ ]

vC. R:

[ ]

          − − = 3 1 3 C v

5) Dadas as bases B =

{

(

1,2,−1

) (

, 3,4,2

) (

,1,1,1

)

}

e C =

{

(

1,1,1

) (

,1,1,0

) (

,1,0,0

)

}

, verificar que a matriz de mudança da base B para a base C pode ser determinada por P =

[ ]

M_CB =

[

C ⋅B−1

]

t.