FOTOGRAMETRIA II
(notas de aulas)
TEORIA DAS ORIENTAÇÕES (ANALÍTICA/DIGITAL)
Introdução
Júlio Kiyoshi Hasegawa
Presidente Prudente
2016
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Orientação Fotogramétrica – Analítica/Digital
SUMÁRIO
1. Introdução ... 3
1.1. Câmaras fotogramétricas ... 4
2. Considerações iniciais ... 5
2.1. Medição das coordenadas ... 6
2.1.1. Observações nos comparadores ... 6
2.2. Observações ... 7
2.3. Métodos de orientação fotogramétrica analítica/digital ... 8
3. Equações básicas utilizadas na orientação fotogramétrica ... 12
3.1. As equações de colinearidade ... 12
3.2. A equação de Coplanaridade ... 18
4. Termos técnicos ... 21
5. Sistemas de Coordenadas ... 22
5.1. Sistema de Coordenadas do espaço imagem ... 22
5.2. Sistemas de coordenadas Terrestre ... 23
5.3. Sistemas de coordenadas arbitrários ... 24
1. Introdução
A restituição fotogramétrica produz o primeiro esboço de um mapa, produto este que tem como função à transferência de conhecimentos, idéias e informações acerca de uma região, realizando a interface entre o mundo real e o homem por meios indiretos.
Dessa forma, as técnicas fotogramétricas de produção de mapas que têm a preocupação de produzir resultados (rigorosamente) precisos dos pontos no espaço objeto, foram desenvolvidas e popularizadas com o desenvolvimento dos restituidores fotogramétricos.
Genericamente, podem-se classificar os instrumentos restituidores em: analógico, analítico e digital. Os instrumentos analógicos (Figura 1.01) realizam a reconstrução da superfície física projetando o feixe de raios perspectivos, por meio de componentes óticos, mecânicos ou óticos-mecânicos. Os processos de reconstrução utilizado nos instrumentos analógicos tendem a provocar erros devido ao uso, desgaste dos seus componentes, ainda, a operação do instrumento depende exclusivamente de um técnico especializado.
Segundo Slama (1980) uns dos primeiros restituidores desenvolvidos para aplicações aéreas datam de 1906, com domínio de aproximadamente de 70 anos (1900 a 1970) projetado por Gasser, cujo instrumento tinha um sistema de projeção óptica. A execução produção de mapa pelos restituidores analógicos, com passar dos tempos, tem-se mostrado lentos e custosos, e muito limitado na hora da utilização pelos distintos usuários. Entretanto, os instrumentos analógicos ganharam uma sobrevida com as Figura 1.01: a) Restituidor Analógico Wild B-8; b) Modelo esquemático do Wild B-8
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adaptações dos servos-motores e encoders conectados a computadores através de interfaces, possibilitando assim, a conexão direta com sistemas gráficos. Esta adaptação permitiu uma melhor comodidade operacional, observando aqui que, não houve uma transformação de instrumento analógico em analítico, pois a reconstrução do terreno se processa mecanicamente.
Num restituidor analítico (Figura 1.02), a projeção dos feixes perspectivos na reconstrução é realizada matematicamente, eliminando assim, os erros provocados pelos
seus componentes mecânicos ou óticos, pois são poucos. A operação do equipamento, menos complicada, depende ainda, de um técnico (menos) especializado. Os produtos gerados, as informações, por serem numéricas tornam-se mais flexível e maleável na sua utilização.
1.1. Câmaras fotogramétricas
A mais simples e primitiva câmara que representa com maior fidelidade às considerações da óptica geométrica é a de pinhole, conhecida como câmara de orifício ou buraco de agulha, que é uma caixa hermeticamente fechada com um pequeno orifício. Este dispositivo, teoricamente, deixa passar os raios de luz provenientes dos pontos objeto, projetando a cena invertida no plano oposto ao do orifício, produzindo uma imagem sem aberrações e sem distorções.
Entretanto, esta câmara deixa passar pouca luminosidade pelo pequeno orifício, tornando-a extremamente lenta, incapacitando-a para a maioria dos trabalhos fotográficos. Com a finalidade de eliminar este problema, usam-se lentes para aumentar a
quantidade de luz que passa pelo orifício. Dessa forma, as lentes utilizadas na câmara fotográfica têm por finalidade reunir os raios de luz que vêm do objeto e focalizá-los em alguma posição do lado oposto à lente.
Contudo, o uso de lentes provoca imperfeições na imagem, degradando a nitidez e produzindo aberrações (aberração esférica, astigmatismo e curvatura de campo, coma e aberração cromática). Para diminuir estas aberrações, combinações de lentes com diferentes índices de refração são utilizadas, procedimento este que provocam algumas distorções.
Essas distorções (erros sistemáticos) provocam o deslocamento do ponto que podem ser modelados, conhecida na área de Visão Computacional e Fotogrametria como calibração dos parâmetros intrínsecos da câmara. Esses parâmetros são determinados juntamente com os parâmetros extrínsecos de calibração durante o processamento computacional. O processo de calibração dos parâmetros intrínsecos é de fundamental importância no processo fotogramétrico, devido à sua especificidade não será abordada neste trabalho (para maiores detalhes ver - Galo 1993). Existem várias formulações matemáticas que representam com maior ou menor aproximação a condição física que ocasionaram os erros. Dessa forma, é de grande importância a escolha adequada de um modelo matemático. A decisão para a correção ou não do erro, deverá ser tomada para cada caso, considerando a precisão requerida e a magnitude do erro sistemático.
2. Considerações iniciais
O mapa produzido pelo método fotogramétrico é gerado por um restituidor fotogramétrico. O restituidor é um instrumento que possibilita a extração de informações das imagens fotográficas, geradas por projeção perspectiva, convertendo-as em projeção ortogonal, produzindo-se assim o material cartográfico. Algumas operações devem ser realizadas nos restituidores para a correta produção do mapa, cuja finalidade consiste na formação do modelo estereoscópico que são utilizados para as medidas (observações) dos pontos a serem restituídos. Essas operações são concretizadas pelas orientações interior e exterior. No modo analógico orientação exterior é dividida em orientação relativa e absoluta, no modo analítico ou digital ela é realizada em um único processamento, no entanto, devido a versatilidade, ela pode ser realizada como no modo analógico.
O processo de orientação analítica consiste basicamente em observar em um instrumento capaz de fornecer coordenadas bidimensionais dos pontos na fotografia (com
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precisão aceitável), e aplicar um modelo matemático de transformação para determinar as coordenadas ajustadas. O instrumento pode ser um monocomparador, estereocomparador ou um restituidor analítico. Assim, nesse procedimento a fase instrumental somente as observações das coordenadas x e y dos pontos nas fotos é necessária, ficando a determinação das coordenadas tridimensionais (X, Y e Z) para o modelo matemático (ajustamento) através das equações de colinearidade. Dessa forma, a fase instrumental e conseqüentemente, as observações são reduzidas a um mínimo (medidas de coordenadas bidimensionais na imagem), proporcionando a mais alta precisão entre os métodos existentes de orientação.
No caso de utilizar estação fotogramétrica digital as observações ficam restritas as medidas das coordenadas de tela dos pontos.
2.1. Medição das coordenadas
Definidos e identificados os pontos que descrevem as feições e os de controle no par de fotos, inicia-se o processo de leitura das coordenadas na imagem, utilizando instrumento fotogramétrico (estereocomparador ou restituidor analítico).
As observações necessárias em uma orientação analítica/digital são: a) leitura de todas as marcas fiduciais dos diapositivos;
b) leitura dos pontos que definem as feições;
c) leitura de todos os pontos de apoio, altimétrico, planimétrico ou duplo apoio. A identificação e a codificação dos pontos, corretamente, são de fundamental importância, pois é nesta fase que a probabilidade de ocorrer erros grosseiros é maior. Ainda, a classificação correta dos pontos de controle (altimétrico, planimétrico ou duplo apoio) deve ser cuidadosa, para se evitar possíveis erros grosseiros.
2.1.1. Observações nos comparadores
Os instrumentos fotogramétricos analíticos utilizados na coleta de dados na orientação podem ser: estereocomparador e restituidor analítico. Nesta consideração foram excluídos os monocomparadores, pois este instrumento não proporciona observações estereoscópicas, muito embora, o modelo matemático proporcione a aplicação de observações monoscópicas, o que neste caso provocaria uma perda de precisão.
Os estereocomparadores e os restituidores analíticos medem simultaneamente as coordenadas dos pontos homólogos nos pares de diapositivos. Geralmente, estes instrumentos têm dois sistemas de coordenadas distintos, uma para cada imagem. Como eles utilizam o recurso estereoscópico, as medidas devem ser efetuadas nos pontos homólogos, inclusive das marcas fiduciais. Esses instrumentos possuem um sistema de coordenadas plano retangular distinto para cada projetor. Geralmente, os instrumentos possuem um deslocamento relativo nos eixos X e Y do sistema de coordenadas do primeiro projetor para o segundo. Assim, os estereocomparadores são dotados de 4 eixos proporcionando coordenadas x, y, px e py (ver Figura 2.01).
X Y
Sistema de coordenadas do instrumento
sistema de coord. fiducial p
p p
X
Yp p
sistema de coord. fiducial
Xp p Y p X Y , , , X Y, Y,, , X, p Y,, , X p , px py
Imagem da esquerda Imagem da direita
Figura 2.01 - Sistema de coordenadas de um comparador para duas imagens.
O procedimento de produção do mapa utilizando um restituidor analítico pode ser realizado de modo on-line, ou off-line. No modo on-line, as feições são visualizadas (na tela graficamente) e transformadas para o sistema de coordenadas do espaço objeto na medida em que elas são observadas, procedimento que pode ser realizado num restituidor analítico. No caso de estereocomparadores a produção do mapa, geralmente, se dá de forma off-line, nesse caso as observações são processadas após a etapa de coleta de dados.
2.2. Observações
A realização da orientação está subordinada à determinação dos parâmetros de transformação, que por sua vez dependem das observações realizadas nos comparadores (precisão de 2 a 3 µm). Desta forma, é necessário medir as coordenadas dos pontos (de apoio e das feições), inclusive as marcas fiduciais, de forma a possibilitar a transformação dos pontos no sistema fotogramétrico.
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Assim, considerando que observações foram realizadas pelo operador, erros (grosseiros, aleatórios e sistemáticos) podem ocorrer, as possíveis fontes de erros encontrados nas coordenadas são:
1) Erros de identificação; 2) Erros de registro; 3) Erros de observação; 4) Erros do comparador;
5) Influência da distorção das lentes; 6) Deformação do filme;
7) Influência da não planaridade do filme no instante da exposição; 8) Influência da Refração atmosférica; e
9) Influência da curvatura da terra.
Os três primeiros erros podem ser detectados através de observações redundantes (recomendado no mínimo 3), e podem ser minimizados através de uma preparação ou planejamento adequado e cuidadoso. Os erros 4 e 5 (itens) podem ser determinados e/ou minimizado através da calibração constante do comparador e da câmara, respectivamente. Os erros 6 e 7 (itens) podem ser evitados e/ou minimizados utilizando-se das placas de “reutilizando-seau” na câmara. Os erros 8 e 9 (itens) podem utilizando-ser minimizados através do conhecimento da altura de vôo e de outros parâmetros.
Os erros grosseiros são, nas maiorias dos casos, eliminados com as observações redundantes ou a partir da análise dos resultados. Os aleatórios e parte dos sistemáticos com efeitos semelhantes aos do aleatório são eliminados no processamento dos dados (processo de ajustamento). Dessa forma, resta corrigir somente os erros sistemáticos, que são modelados considerando-se a sua provável causa.
2.3. Métodos de orientação fotogramétrica analítica/digital
No processo de orientação, quando realizada analiticamente, a interior é efetuada através dos modelos matemáticos, desenvolvido na aula Orientação Interior – analítica/Digital, que são basicamente as etapas de transformação de sistemas da máquina (observada) para o das marcas fiduciais e as correções dos erros sistemáticos.
A partir desta correção, dos erros sistemáticos, vários métodos de orientação podem ser realizados, dependendo da finalidade e conseqüentemente da precisão requerida do mapeamento.
Dentre os vários procedimentos de orientação fotogramétrica analítica que podem ser realizados, a Figura 2.02 apresenta a que será aplicada nesta disciplina:
a) Realização da orientação relativa e absoluta separadamente (sequência “a” do fluxograma da Figura 2.02):
a.1) A orientação relativa analítica, etapa que produz um modelo tridimensional do terreno no sistema arbitrário, pode ser realizada com base em duas equações a de coplanaridade e as de colinearidade.
a.2) A orientação absoluta do modelo tridimensional formado pode ser realizada com a transformação geométrica isogonal ou afim no espaço tridimensional, nessa etapa o modelo é orientado e escalado em relação ao referencial do terreno adotado.
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Figura 2.02 - Fluxograma das etapas de uma restituição fotogramétrica analítica.
b) Realização da orientação exterior em uma única etapa, tendo como base as equações de colinearidade, para a determinação dos parâmetros de orientação exterior das câmaras e as coordenadas tridimensionais dos pontos. Nesses casos,
Restituição Fotogramétrica Analítica
Orientação Relativa: (1)
Determinação das coordenadas do modelo.
Orientação Exterior: Determ. dos elementos de orientação.(3)
Determinação simultânea:(3) elementos de orientação e coordenadas dos pontos.
Coordenadas 3D:Interseção de raios homólogos, utilizando (1). Coordenadas 3D: Utilizando (1) e aplicando MMQ. Orientação Absoluta.(2)
Coordenadas 3D dos objetos
Orientação Interior: Correção dos erros sistemáticos (reconstrução dos feixes de raios)
Orientação separada das 2 fotos
Orientação conjunta das 2 fotos (mesma etapa)
(1) Equação de colinearidade ou de coplanaridade. (2) Modelo de transformação Isogonal 3D.
(3) Equação de colinearidade.
a)
b.1) b.2)
pode-se realizar a orientação e restituição do objeto fotografado, segundo os três procedimentos colocados a seguir:.
b.1) Determinação dos elementos de orientação exterior de uma foto por vez e, posteriormente, determinação das coordenadas tridimensionais dos pontos (definem a feição) por interseção dos pares de raios homólogos dos feixes (dois) perspectivos. Esse procedimento é denominado de resseção espacial. b.2) Determinação dos elementos de orientação exterior das duas fotos somente com os pontos de apoio e, posteriormente, determinação das coordenadas tridimensionais do ponto, de forma semelhante ao caso b1.
b.3) Determinação simultânea dos parâmetros de orientação exterior da câmara e das coordenadas tridimensionais dos pontos (apoio e feição).
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3. Equações básicas utilizadas na orientação fotogramétrica
Diversos modelos matemáticos podem ser utilizados para realizar uma restituição analítica. Esses modelos determinam as coordenadas tridimensionais dos pontos a partir das fotocoordenadas (observadas nas imagens) bidimensionais dos pontos.
Na orientação relativa do modelo pode-se utilizar além das equações de colinearidade as de coplanaridade.
3.1. As equações de colinearidade
As equações de colinearidade reproduzem, matematicamente, o processo de formação da imagem, fazendo a ligação entre as coordenadas dos pontos no espaço objeto (3D) e suas correspondentes coordenadas no espaço imagem (2D). As equações de colinearidade regem a condição de que os três pontos (centro perspectivo, ponto imagem e ponto objeto) pertencem à mesma reta. Essa condição pode ser aplicada a todos os raios que passam pelo centro de projeção (ou ponto de vista ou ponto perspectivo), produzindo-se analiticamente a imagem.
Seja um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro de projeção (ver Figura 3.01) denominado referencial da imagem, pode-se relacionar o ponto P = (X´,
Y´, Z´)T com o ponto imagem p=(x
p,yp,zp) T descritos no mesmo referencial via a equação
perspectiva.
Figura 3.01: Sistema de coordenadas cartesianas local.
O triângulo
∆COD (espaço objeto)
é semelhante ao ∆Cod (espaço
imagem)
e, similarmente,
Desta forma, conforme a Figura 3.01, pode-se deduzir a equação geral da reta: x X y Y z Z p p p , = , = , , (3.01)
que é a equação de uma reta no espaço passando pela origem do sistema referencial cartesiano (X, Y, Z)´.
Desenvolvendo a equação (3.01), obtêm duas equações linearmente
independentes: x z X Z p = p , , (3.02) y z Y Z p = p , , (3.03)
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Figura 3.02: Sistemas de coordenadas da imagem e do objeto.
o ponto P(XP, YP, ZP) no sistema de coordenadas do referencial geodésico pode ser
relacionado com o ponto P(X´, Y´, Z´) no sistema de coordenadas cartesianas local com a equação , X Y Z M X X Y Y Z Z p c p c p c , , , = ⋅ − − −
λ
(3.04)que é uma transformação de similaridade (ou isogonal), que realiza matematicamente a transformação entre os dois sistemas de coordenadas, onde:
M = Rx(ω)Ry(φ)Rz(κ) e Rz(κ) =
−
1
0
0
0
)
cos(
)
(
0
)
(
)
cos(
κ
κ
κ
κ
sen
sen
, (3.05) Ry(φ) =
−
(
)
0
cos(
)
0
1
0
)
(
0
)
cos(
φ
φ
φ
φ
sen
sen
e (3.06)Rx(ω) =
−
)
cos(
)
(
0
)
(
)
cos(
0
0
0
1
ω
ω
ω
ω
sen
sen
(3.07) assim,M =
m m m
m m m
m m m
11 12 13 21 22 23 31 32 33
(3.08) com: (3.09) e,X´, Y´ e Z´ são as coordenadas cartesianas de P em relação ao sistema de coordenadas
da imagem (referencial do espaço imagem),
Xp, Yp e Zp são as coordenadas cartesianas de P em relação ao sistema de coordenadas
do objeto (referencial do espaço objeto),
Xc, Yc e Zc são as coordenadas do centro perspectivo em relação ao sistema de
coordenadas do objeto,
λ é o fator de escala entre os dois sistemas de referência,
M é a matriz de rotação, determinada em função das três rotações em torno dos eixos cartesianos e
κ, φ e ω são os ângulos de rotação em torno dos eixos Z, Y e X, respectivamente. Assim, desenvolvendo-se as equações (3.04) têm-se:
[
]
[
]
[
]
X X X m Y Y m Z Z m Y X X m Y Y m Z Z m Z X X m Y Y m Z Z m p c p c p c p c p c p c p c p c p c , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ⋅ − + − + − = ⋅ − + − + − = ⋅ − + − + − λ λ λ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 (3.10) + − − − + − = ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) cos( ϕ ω κ ϕ ω κ ω κ ϕ ω κ ω ϕ ω κ ϕ ω κ ω κ ϕ ω κ ω ϕ κ ϕ κ ϕ ωϕκ sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen M____________________________________________________________
substituindo X´, Y´ e Z´das equações (3.10) nas equações (3.02 e 3.03) obtém-se:
x z m X X m Y Y m Z Z m X X m Y Y m Z Z p p p c p c p c p c p c p c = − + − + − − + − + − 11 12 13 31 32 33 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.11) y z m X X m Y Y m Z Z m X X m Y Y m Z Z p p p c p c p c p c p c p c = − + − + − − + − + − 21 22 12 31 32 33 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.12)
assumindo que zp seja igual à distância focal (-f), o sinal negativo é devido a
compatibilização de sistemas (imagem/objeto), tem-se
x f m X X m Y Y m Z Z m X X m Y Y m Z Z p p c p c p c p c p c p c = − − + − + − − + − + − 11 12 13 31 32 33 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.13) y f m X X m Y Y m Z Z m X X m Y Y m Z Z p p c p c p c p c p c p c = − − + − + − − + − + − 21 22 23 31 32 33 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.14)
Com base nas equações (3.13) e (3.14), conhecidas como equações de colinearidade, podem-se formalizar as várias aplicações na fotogrametria.
3.2. As equações de colinearidade inversa
Em várias aplicações fotogramétricas as equações de colinearidade inversa são
úteis, tais como na restituição estereoscópica (intersecção fotogramétrica),
monorestituição, geração de ortoimagens e outras.
As equações de colinearidade inversa pode ser deduzida, a partir das equação 3.04, reescrita para melhor compreensão:
X Y Z M X X Y Y Z Z p c p c p c , , , = ⋅ − − −
λ
Substituindo as equações 3.02 e 3.03 nas 3.04, obtém-se:
− − − ⋅ = c p c p c p p p p p Z Z Y Y X X M Z y z Z x z Z
λ
' ' ' (3.15) ⋅ = − − − − − ' ' ' 1 1 Z y z Z x z Z M Z Z Y Y X X p p p p c p c p c p
λ
, readequando: (3.16) ⋅ = − − − − p p p p c p c p c p z y x z Z M Z Z Y Y X X T ' 1λ
, resulta em (3.17)[
]
[
]
[
13 23 33]
' 1 32 22 12 ' 1 31 21 11 ' 1 m z m y m x z Z Z Z m z m y m x z Z Y Y m z m y m x z Z X X p p p p c p p p p p c p p p p p c p + + ⋅ = − + + ⋅ = − + + ⋅ = − − − −λ
λ
λ
(3.18)Dividindo a 1ª e a 2ª pela 3ª, resulta em:
[
]
[
]
[
]
[
13 23 33]
' 1 32 22 12 ' 1 33 23 13 ' 1 31 21 11 ' 1 m z m y m x z Z m z m y m x z Z Z Z Y Y m z m y m x z Z m z m y m x z Z Z Z X X p p p p p p p p c p c p p p p p p p p p c p c p + + ⋅ + + ⋅ = − − + + ⋅ + + ⋅ = − − − − − −λ
λ
λ
λ
(3.19)Simplificando e isolando os termos Xp e Yp, resulta na equação de colinearidade
inversa.
(
)
[
[
]
]
(
)
[
[
]
]
33 23 13 32 22 12 33 23 13 31 21 11 m z m y m x m z m y m x Z Z Y Y m z m y m x m z m y m x Z Z X X p p p p p p c p c p p p p p p p c p c p + + + + − + = + + + + − + =____________________________________________________________
(
)
[
[
]
]
(
)
[
[
]
]
33 23 13 32 22 12 33 23 13 31 21 11 fm m y m x fm m y m x Z Z Y Y fm m y m x fm m y m x Z Z X X p p p p c p c p p p p p c p c p − + − + − + = − + − + − + = (3.21) 3.3. A equação de CoplanaridadeA equação de coplanaridade impõe a condição de que os dois centros perspectivos
o ponto Pi no espaço objeto e as suas imagens nas duas fotos pertencem a um mesmo
plano (ver Figura 3.03). Da Figura 3.03, deduz-se que a condição de coplanaridade pode ser escrita em função de um produto vetorial e um produto escalar. Na Figura 3.03, pode-se definir basicamente três vetores:
r
Veque liga o ponto Pi (espaço objeto) com o centro perspectivo Oe;
r
Vd que liga o ponto Pi (espaço objeto) com o centro perspectivo Od; e
r
B que liga os centros perspectivos Oe e Od.
Ve V d B x y y x e e d d Oe O d P i p di pe i
Figura: 3.03 - Condição de coplanaridade, vetores
r Ve,
r Vd e
r
B pertencem ao mesmo plano.
Desta forma, convencionando que o vetor r
Ve inicia no centro perspectivo (Oe) da
foto da esquerda passa pelo ponto imagem pe
ie termina no ponto Pi. E o vetor
r
Vd inicia
no centro perspectivo da foto da direita passa pelo ponto imagem pd
i e termina no ponto
Pi. O vetor
r
Para atender a condição de coplanaridade basta impor a condição de que os três pontos estão no mesmo plano, ou os três vetores (
r Ve,
r Vd e
r
B ). Desta forma, a condição de coplanaridade pode ser dada pelo produto vetorial entre os dois vetores
r Ve e
r Vd, resultando em um vetor normal à eles. Tomando agora o vetor resultante do produto vetorial basta aplicar um produto escalar com o vetor
r
B , e considerar que este produto seja nulo, ou seja, aplicar a condição de perpendicularidade entre dois vetores.
( r Vex r Vd). r B = 0. (3.22) Expressando o vetor r
Ve em função de seus componentes, obtém-se:
r
Ve = (Xp − Xce)i +(Yp −Yce)j+(Zp −Z kce)
r r r
(3.23) relacionando os componentes do vetor
r
Ve (equação 3.23) com suas respectivas
coordenadas no espaço imagem, através de uma transformação isogonal, obtém-se:
Xp −Xce =λ [e m x11 p +m y12 p +m z13 p];
Yp −Yce =λ [e m x21 p +m y22 p +m z23 p]; e (3.24) Zp −Zce =λ [e m x31 p +m y32 p +m z33 p];
onde,
mij são os elementos da matriz de rotação,
xp e yp são as coordenadas corrigidas dos erros sistemáticos da foto da esquerda, e
λe é o fator de escala. Fazendo,
ue = [m x11 p +m y12 p +m z13 p]
ve = [m x21 p +m y22 p +m z23 p]; e (3.25)
we = [m x31 p +m y32 p +m z33 p];
as equações (3.24) pode ser escritas,
____________________________________________________________
Yp −Yce =
λ
eve; e (3.26) Zp −Zce =λ
ewe.Similarmente pode-se escrever para o vetor r Vd as seguintes equações: Xp − Xcd =
λ
dud Yp −Ycd =λ
dvd; e (3.27) Zp −Zcd =λ
dwd. O vetor rB pode ser expresso em função das coordenadas tridimensionais dos dois centros perspectivos:
r
B = (Xcd − Xce)i +(Ycd −Yce)j+(Zcd −Z kce)
r r r
(3.28) Aplicando a condição de coplanaridade imposta na equação 3.22, em forma de determinante, obtém-se: (X X ) (Y Y ) (Z Z ) u v w u v w c d c e c d c e c d c e e e e d d d − − − = 0 (3.29) Desenvolvendo a equação 3.29, (Xcd −Xce)(v we d −v wd e)+(Ycd −Yce)(u wd e−u we d)+(Zcd −Zce)(u ve d −u vd e) = 0 (3.30) que é a equação de coplanaridade.
4. Termos técnicos
Neste item serão realizadas algumas definições de termos técnicos necessários no processo de fototriangulação analítica, verificado em Analytical Photogrammetry escrito por Merchant (1979) e definição de alguns sistemas de coordenadas utilizados em processamentos fotogramétricos.
Marcas fiduciais - são marcas de referencias fixadas rigidamente no corpo (cone) da câmara métrica que são gravadas no negativo, durante a exposição. Estas marcas, geralmente (quatro) nas laterais (Fig. B.01- a) ou nos cantos (Fig. B.01 - b), têm como objetivo recuperar a geometria interna (orientação interior) da câmara.
Centro fiducial - é um ponto definido sobre a foto (diapositivo) pela interseção das linhas que conectam as marcas fiduciais opostas.
Ponto principal - adotado como o ponto na qual o eixo z do sistema de coordenadas, da foto, intercepta o plano da foto perpendicularmente. Observa-se aqui que existem várias outras denominações para este ponto, bem como outras definições (para mais detalhes ver Merchant 1979 Part I).
Pontos Nodais - Dois pontos relacionados ao sistema de lentes da câmara, com a característica de produzir raios incidentes e refratados paralelos, quando estes incidem no ponto Nodal anterior (exterior) e emergem no ponto Nodal posterior (interior). Geralmente nos modelos matemáticos, estes pontos fisicamente espaçados, são considerados coincidentes, conhecidos como centro perspectivo. Distância Focal - distância entre o ponto nodal posterior e o plano focal imagem da
objetiva. Seu valor é obtido, para um sistema ótico, pela aplicação das equações da óptica geométrica.
Distância Focal Calibrada - ou distância principal ou constante da câmara, é um valor calculado numericamente para compensar a distorção radial. Na aerofotogrametria a (1/f=1/c+1/o) distância focal tem o mesmo valor que a distância principal (termo utilizado em óptica), pois para objetos distantes da lente o valor de o é "bem" maior que c, assim, 1/o é igual a zero e f = c.
Estação de exposição - (Xc, Yc, Zc) - Posição espacial da tomada fotográfica ou posição
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5. Sistemas de Coordenadas
Os sistemas de coordenadas espaciais, utilizado em fotogrametria analítica podem ser divididos, basicamente, em dois grupos, conforme o uso do espaço físico:
• espaço imagem, quando utiliza o espaço compreendido entre o ponto nodal posterior e o plano do negativo, associando-se assim, as informações, os sistemas de coordenadas referenciadas às imagens.
• Espaço objeto, o espaço compreendido entre o ponto nodal anterior e todos os pontos do espaço fotografado.
5.1. Sistema de Coordenadas do espaço imagem
Sistema de coordenadas fiducial - é um sistema de coordenadas retangular bidimensional, com origem no centro fiducial. O eixo ox é definido como sendo a
linha que contém as marcas fiduciais opostas que estão dispostas
perpendicularmente a linha lateral aos dos registros dos relógios. O eixo ox é convencionado positivo na direção dos relógios. O eixo oy é normal ao eixo ox no centro fiducial, formando um sistema dextrogiro e situados no plano do diapositivo. Nas fotografias em que as marcas fiduciais são fixadas nos cantos, o eixo x é definido como antes, mas girado de 45 graus.
x'
Y'
Y'
x'
45 o
(a) (b)
Sistema de coordenadas da foto - é um sistema retangular cartesiano dextrógiro tridimensional com origem no centro perspectivo. Os eixos x e y são paralelos e orientados aos seus homônimos do sistema fiducial.
x' y' x y z pp O
Figura B.02 - Sistema de coordenada da foto e ponto principal.
5.2. Sistemas de coordenadas Terrestre
Os modelos matemáticos empregados em processamento fotogramétrico utilizam sistemas de coordenadas tri-retangulares. Geralmente, é um sistema Cartesiano 3-D dextrógiro, sua origem é variável, muito embora, seja convencionado que o eixo Z é paralelo a vertical do ponto (origem), com sentido positivo para o zênite, compondo com os eixos X e Y um sistema de coordenadas dextrógiro.
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Figura B.03: Sistemas de coordenadas Terrestres (Fonte - Lugnani 1987).
Uma discussão mais aprofundada de sistemas de coordenadas terrestres, cujo assunto é complexo e extenso fugindo, portanto, do assunto em questão, pode ser
encontrado com maiores detalhes em, Lugnani 1987, Blachut et al 1979
.
5.3. Sistemas de coordenadas arbitrários
Os sistemas de coordenadas arbitrários, utilizados em fotogrametria podem ser definidos tanto no espaço imagem como no espaço objeto. Estes sistemas podem ser bi ou tri dimensional, ortogonal ou não, dependendo da definição matemática ou do instrumento utilizado.
Como exemplo de sistemas de coordenadas bi-dimensionais pode-se citar: • Sistema de coordenadas dos monocomparadores e estereocomparadores; • Mesas digitalizadoras, coordenatógrafos;
• E mais recentemente, sistema de coordenadas da tela (levogiro) do computador utilizado em fotogrametria digital;
O sistema de coordenadas tridimensionais, utilizados em restituição analítica pode ser:
• Sistema de coordenadas do modelo com origem na foto da esquerda.
Neste sistema, a foto da esquerda permanece fixa (inclinação nula) e realiza (define) o sistema de coordenadas do modelo, na Figura B.04 o sistema de coordenadas do modelo é definido pelo sistema XYZ, com origem no centro perspectivo C1. y´ x´ bz by Y z´ x" y" z" C1 C2 f f bx = cte P(X Y Z) X Z
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• Sistema de coordenadas com a base coincidente com o eixo x.
Neste sistema as duas câmaras são movimentadas de tal forma a proporcionar orientação relativa sem fixar as câmaras.
Figura B.05: Sistemas de coordenadas de um modelo estereoscópico com o eixo X paralelo à base (bx). X Y Z C2 X y ´ x" y" C1 f f bx = cte P(X Y Z) x ´ z ´ z"
6. Referências Bibliográficas
ANDRADE, J. B. “Refração Fotogramétrica”, Boletim da Universidade Federal do Paraná, no 24,
1980.
ANDRADE, J. B. e OLIVAS, M. A A, “Calibração de Câmeras Fotogramétricas”, Boletim da Universidade Federal do Paraná, no 26, 1981
BLACHUT, T.J. AND CHRZANOWSK, A. AND SAASTAMOINEN, J. H. "Urban Surveying and Mapping". Spring-Verlag, 1979.
HASEGAWA, J. K., "Fototriangulação em linha com Depuração de erros em micro-computador", Dissertação de Mestrado, 1991.
KRAUS, K. “Photogrammetry” Ferd. Dümmlers Verlag. 397 p. 1993.
MERCHANT, D. C. “Analytical Photogrammetry - Theory and Practice - Parte I”. Ohio State University. 1979.
MERCHANT, D. C. “Analytical Photogrammetry - Theory and Practice - Parte II”. Ohio State University. 1979.
MOFFIT, F. H e MIKHAIL, E. M. “Photogrammetry”, Harper & Row, Inc. 1980. LUGNANI, J. B. “Introdução à Fototriangulação” UFPR. 134 p. Curitba PR. 1987. SLAMA, C. C. “Manual of Photogrammetry”. ASP - Falls Church. 1980.
OLIVEIRA, C. “Dicionário Cartográfico”, 4a Edição – Rio de Janeiro. IBGE, 1993.
