SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a 11 de novembro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES

(1)

SENSIBILIDADE DE UM MODELO NÃO LINEAR DE SELEÇÃO DE

EQUIPAMENTOS EM AMBIENTE JUST IN TIME, CONSIDERANDO-SE

TRÊS RELAXAÇÕES

Luiz Cláudio Lopes Alves

D.Sc. em Engenharia de Produção pela COPPE/UFRJ Rua Caruaru, 150, apto 901 – Grajaú – Rio de janeiro – RJ

CEP 20560-210

Carlos Augusto de Alcantara Gomes

Professor Adjunto IV do Departamento de Engenharia Industrial da EP/UFRJ Avenida Maracanã, nº 1302/4º andar – Tijuca – Rio de Janeiro – RJ

CEP 20511-001 E-mail: alcantaragomes@uol.com.br

RESUMO

No presente trabalho, realizamos uma análise de sensibilidade de um modelo não linear para seleção de equipamentos em ambiente Just in Time , considerando-se três relaxações, isto é: de que haveria perda de tempo devido a paradas de máquina, geração de sucata e variabilidade da demanda. Procura-se, com isto, apresentar um modelo mais representativo da realidade atual, bem como, justificar a sua adoção no planejamento de capacidade de máquinas de um sistema de manufatura em série.

Palavras-chave: Just in Time, Seleção de Equipamentos, Relaxação do Ambiente Just in Time.

ABSTRACT

In the present work we make a sensibility analysis of a nonlinear programming model for equipment selection in a Just in Time environment, considering three relaxations, that is: there is loss of time with machine’s break, there is generation of scrap and variability of demand. We seek herewith , present a more representative model of the actual reality, and to justify its adoption in the machine capacity planning of a serial manufacturing systems.

Key-words: Just in Time, Equipment Selection, Relaxation of the Just in Time Environment.

1. INTRODUÇÃO

GUNASEKARAN et alii (1993), propuseramum modelo matemático não linear de seleção de equipamentos em sistemas de manufatura Just in Time.

O objetivo do presente trabalho é apresentar uma análise de sensibilidade do modelo citado acima, reformulado por ALVES(1997,2001), onde foram desenvolvidas três relaxações: a primeira de que poderia ocorrer perda de tempo devido a quebra de máquinas, a segunda de que haveria a geração de sucata e a terceira de que a demanda seria variável. Implicando esta última, em um custo de perda de venda, quando não ocorresse o atendimento à 100% da demanda do público.

A sensibilidade é realizada no valor da função objetivo do modelo, ou seja, no custo total de manufatura conforme detalhado nos próximos capítulos.

Procura-se reforçar que estas variações são significativas, principalmente quando tomadas em conjunto e incluindo-se sempre a relaxação de que pode haver quebra de máquinas. E, como estas fazem parte da nossa realidade, em maior ou menor grau conforme o estágio de desenvolvimento das

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empresas existentes, justificar-se-ia a adoção do modelo aqui apresentado nos estudos e planejamentos de capacidade de máquinas de processos fabris em série.

2. O MODELO MATEMÁTICO PARA SELEÇÃO DE EQUIPAMENTOS

O sistema de produção considerado neste trabalho tem múltiplos estágios. A cada estágio podem existir máquinas semelhantes realizando os mesmos tipos de operações (GUNESEKARAN, A., et alii, 1993).

O modelo desenvolvido busca encontrar o número de máquinas requeridas em cada estágio que minimizam o custo total de produção associado.

O custo total do sistema consiste dos seguintes custos: (i) custo devido ao processamento dos produtos (ii) custo devido ao não-balanceamento nas taxas de produção; (iii) investimento em equipamentos; (iv) custo devido a quebra de máquinas (1ª relaxação); (v) custo devido a geração de sucata (2ª relaxação); e (vi) custo devido ao não atendimento à demanda(3ª relaxação).

NOTAÇÃO:

i = índice de produto (i = 1, 2, ..., P);

Di = demanda do produto i por unidade de tempo ou ano;

j = índice de estágio (j = 1, 2, ..., S).

• Para o estágio j:

nj = número de máquinas;

Mj = custo por máquina ou taxa de aluguel;

Vj = área do espaço requerido por uma máquina.

• Para o i-ésimo produto e j-ésimo estágio:

Apij = tempo médio de processamento para um lote;

Qij = tamanho do lote;

Oij = peso de prioridade dado no processamento (seqüenciamento);

αij = custo devido ao processamento por unidade de tempo;

βij = custo de penalidade devido a uma unidade de desbalanceamento nas taxas de produção entre

os estágios j e j+1;

PTij = tempo de processamento para um lote;

NPCij = número de ciclos de produção por unidade de tempo;

Tij = tempo de processamento de uma unidade;

kmij = taxa de diminuição no tempo de processamento face a um aumento de uma unidade no

investimento de máquinas;

MMij = tempo de processamento por unidade quando o investimento em equipamento é zero;

λij = taxa de produção

Cbij = custo devido à perda no tempo de processamento por unidade de tempo;

δij = perda média percentual de tempo de processamento;

Csij = custo devido à perda em um lote por unidade de tempo;

γij = perda média percentual em um lote;

TM = orçamento de capital máximo disponível para investimento em máquinas; Ω = espaço máximo disponível para máquinas na fábrica;

Mgi = margem de lucro do produto i por unidade de tempo ou ano;

µi = percentagem da produção deixada de ser vendida por lote do produto i no último estágio;

(3)

(i) Custo de processamento de produtos:

O custo total devido ao processamento de produto para dada demanda, considerando todos os produtos i e todos os estágios j, por unidade de tempo (ano), é dado por:

{

NPC

ij

.AP

ij

.

α

ij

}

P l i S 1 j

∑∑

= = (2.1) onde:













=

ij i ij

Q

D

NPC

(2.2) ij ij

λ

1 AP

=

(2.3)

{

}

{ }

ij j ij ij

PT

n

.

O

λ

=

(2.4) PTij = Qij

.

Tij (2.5) Tij = MMij – kmij Mj ; Mb ≤ Mj ≤ Mc (2.6) ΣOij = 1 ; para j = 1, 2, ..., S. (2.7)

(ii) Custo devido ao não-balanceamento das taxas de produção entre dois estágios sucessivos:

O custo total devido ao não-balanceamento nas taxas de produção considerando-se todos os produtos e estágios, é dado por:

{

}

[

]

∑∑

= = + −

λ

P l i l -S 1 j ij 1 ij ij

β

(2.8)

(iii) Custo de investimento em equipamento:

O investimento total em equipamento (aluguel de equipamento) por ano, considerando-se todos os estágios, é dado por:

{

}

∑

= n l j j j

n

M

(2.9)

(4)

Custo devido à quebra de máquinas (1ª relaxação):

O custo devido à quebra de máquinas considerando-se todos os produtos e todos os estágios é dado por:

{

NPC

ij

x

AP

ij

x

ij X

Cb

ij

}

P l i S l j

δ

∑∑

= = (2.10) onde:

δij pertence ao intervalo 0 < δij < 1, e representa a perda média percentual do tempo de processamento para um lote do produto i, no estágio j, e Cbij o custo desta perda por unidade de tempo (ano).

(v) Custo devido à geração de sucata (2ª relaxação):

Considerando-se a perda de fabricação como uma percentagem dos lotes, o custo total desta perda será:

{

NPC

ij

x AP

ij

x

γ

ij X

Cs

ij

}

P l i S l j

∑∑

= = (2.11) onde:

γij pertence ap intervalo 0 < γij < 1, e representa a perda média percentual de um lote do produto i, no estágio j, e Csij o custo desta perda por unidade de tempo (ano).

(vi) Custo devido ao não atendimento à demanda (3ª relaxação):

Considerando-se o não atendimento à demanda, em virtude de suas variações probabilísticas, como uma percentagem dos lotes dos produtos i no último estágio de produção, o custo total desta perda será:

[

]

















∑

= = P 1 i S 1 j ij ij ij i i

x

Mg

NPC

x

AP

x

α

µ

(2.12) onde:

µi, pertence ao intervalo 0 < µi < 1, e representa a quantidade média percentual, deixada de vender, de um lote do produto i no último estágio de produção e, onde Mgi é a margem de lucro do produto i por unidade de tempo ou ano.

(5)

3. FORMULAÇÃO DO MODELO

A formulação matemática do modelo seria então:

[

]

+

















α

=

∑∑

= = P 1 i S 1 j ij ij ij

x

AP

x

NPC

Z

Min

[

]

(

)

+

















−

+

∑ ∑

= − = + P l i 1 S l j ij 1 ij ij

λ

β

λ

[

]

+

















+

∑

= S l j j j

n

M

[

]

+

















+

∑∑

= = P l i S l j

Cbij

δ

x

x AP

NPC

ij ij ij X (3.1)

[

]

+

















+

∑∑

= = P l i S l j ij ij X ij ij

x AP

x

γ

Cs

NPC

















+

∑

= i

xMg

i =

[

NPC

ij

xAP

ij

x

ij

]

P 1 i S 1 j

α

µ

Sujeito às seguintes restrições:

{

M

n

}

TM

S l j j j

≤

∑

= (3.2)

{

}

≤

Ω

∑

=

s

V

n

l j j j (3.3) 0 < δij< 1 (3.4) 0 < γij< 1 (3.5) 0 < µi< 1 (3.6)

(6)

4. EXEMPLO

Seja um sistema de produção em série de quatro estágios que fabrica três produtos ao qual aplicaremos o modelo em estudo. Os dados de entrada do exemplo estão apresentados na tabela 5.1

TABELA 4.1. DADOS DE ENTRADA DO MODELO MATEMÁTICO

P=3 S=4

Parâmetros Produto 1 Produto 2 Produto 3

Variáveis Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4

D 3000 2000 4000 M (x 102_{) 50,00 55,00 40,00 60,00 50,00 55,00 40,00 60,00 50,00 55,00 40,00 60,00} V 60,00 50,00 80,00 40,00 60,00 50,00 80,00 40,00 60,00 50,00 80,00 40,00 Q 800 800 800 800 700 700 700 700 900 900 900 900 km (x 10-3_{) 0,20 0,30 0,40 0,30 0,10 0,40 0,30 0,20 0,20 0,30 0,20 0,20} O 0,20 0,40 0,50 0,50 0,60 0,30 0,30 0,20 0,20 0,30 0,20 0,30 α=Cb=Cs 2,00 1,50 3,00 2,00 3,00 2,50 1,00 2,00 2,00 2,00 2,00 1,00 δ 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 γ 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 µ 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 Mg 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 Ω (x 105₎ _{60,00 90,00 60,00 80,00 90,00 80,00 80,00 70,00 80,00 100,00 80,00 90,00} MM 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 Mb = 1,0 x 103 Mc = 2,0 x 103 Ω = 3,0 x 103 TM = 6,0 x 106 O propósito do planejamento de capacidade é obter um fluxo de materiais com investimento ótimo de equipamentos.

Utilizando-se o método de Hooke & Jeeves (Busca Direta), (BAZARAA, M.S.,et alii, 1979), para resolução do problema matemático, que é de natureza não-linear, apresenta-se os resultados das otimizações dos modelos, até a 42ª iteração. Tais resultados estão organizados nas tabelas 4.3 a 4.8 conforme apresentadas a seguir, permitindo visualizar-se as recuperações de custo nas otimizações tanto do modelo original como nos modelos que incluem as relaxações, consideradas individualmente e em conjunto.

TABELA 4.2 - DADOS INICIAIS PARA O MÉTODO DE BUSCA DIRETA

Parâmetros Valor Notação Descrição

Mj Número inicial de máquinas 4.6.8.10 EPS Valores iniciais do tamanho do passo 4.4.4.4 NSTAGE Número total de estágios (S) 4 ITMAX Número máximo de iterações permitido 500 NKAT Número máximo de vezes que o passo inicial será reduzido 20 EPSY Erro da função objetivo para convergência 0,0001 ALPA Fator para estender tamanhos de passos iniciais 4.0 BTA Fator para reduzir os tamanhos dos passos iniciais 0,50

(7)

TABELA 4.3 - RESULTADOS SEM AS RELAXAÇÕES (GUNASEKARAN et al., 1993)

Iteração Número de máquinas

Custo devido ao processamento ($) Custo devido ao não- balancea-mento ($) Investi-mento em máquina ($) Custo total (Z) ($)

Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4 (x104_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4₎

1 4 6 8 10 4,1213 23,79610 14,500 42,4175

9 4 2 4 6 7,0056 11,81060 8,300 27,1162

18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 24.7563

24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 23,0299

42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 21,1883

Recuperação de custo devido a otimização da capacidade :

(21,1883/42,4175)x100 = 50,05% (redução do custo total da 1a_{iteração após 42 iterações).}

TABELA 4.4 - RESULTADOS COM A 1a_RELAXAÇÃO

Custo devido ao processamento ($) Custo devido ao não- balancea-mento ($) Investi-mento em máquina ($) Custo de devido à quebra de máquina ($) 1a relaxação Custo total (Z) ($)

Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4 (x104_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4₎

1 4 6 8 10 4,1213 23,79610 14,500 0,8243 43,2418

9 4 2 4 6 7,0056 11,81060 8,300 1,4011 28,5173

18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 3,6420 28,3983

24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 1,4782 24,5081

42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 2,0192 23,2075

Recuperação de custo devido a otimização da capacidade = (23,2075/43,2418)x100 = 53,67%

Custo devido ao processamento ($) Custo devido ao não- balancea-mento ($) Investi-mento em máquina ($) Custo de devido à sucata ($) 2a relaxação Custo total (Z) ($)

1 4 6 8 10 4,1213 23,79610 14,500 0,1649 42,5824

9 4 2 4 6 7,0056 11,81060 8,300 0,2802 27,3964

18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 0,7284 25,4847

24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 0,2956 23,3255

42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 0,4038 21,5921

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Custo devido ao processamento ($) Custo devido ao não- balancea-mento ($) Investi-mento em máquina ($) Custo devido à perda de venda ($) 3a relaxação Custo total (Z) ($)

1 4 6 8 10 4,1213 23,79610 14,500 0,1649 42,5824

9 4 2 4 6 7,0056 11,81060 8,300 0,2802 27,3964

18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 0,7284 25,4847

24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 0,2956 23,3255

42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 0,4038 21,5921

Recuperação de custo devido a otimização da capacidade =(21,5921/42,5824)x100 = 50,71%

TABELA 4.7 - RESULTADOS COM AS 1a + 2a RELAXAÇÕES

Itera-ção Número de máquinas Custo devido ao processamento ($) Custo devido ao não- balancea-mento ($) Investi-mento em máquina ($) Custo de devido à quebra de máquina ($) 1a relaxação Custo de devido à sucata ($) 2a relaxação Custo total (Z) ($)

Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 (x104_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4₎

1 4 6 8 10 4,1213 23,79610 14,500 0,8243 0,1649 43,4067

9 4 2 4 6 7,0056 11,81060 8,300 1,4011 0,2802 28,7975

18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 3,6420 0,7284 29,1267

24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 1,4782 0,2956 24,8037

42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 2,0192 0,4038 23,6113

Recuperação de custo devido a otimização da capacidade = (23,6113/43,4067)x100 = 54,40%

TABELA 4.8 - RESULTADOS COM AS 1a_{+ 2}a_{+ 3ª RELAXAÇÕES}

Ite- ra-ção Número de máquinas Custo devido ao proces- samen-to ($) Custo devido ao não- balancea-mento ($) Investi-mento em máqui-na ($) Custo de devido à quebra de máquina ($) 1a relaxação Custo de devido à sucata ($) 2a relaxação Custo devido à perda de venda ($) 3a relaxação Custo total (Z) ($)

Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 (x104_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4₎

1 4 6 8 10 4,1213 23,7961 0 14,500 0,8243 0,1649 0,1649 43,5716 9 4 2 4 6 7,0056 11,8106 0 8,300 1,4011 0,2802 0,2802 29,0777 18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 3,6420 0,7284 0,7284 29,8551 24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 1,4782 0,2956 0,2956 25,0993 42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 2,0192 0,4038 0,4038 24,0151

(9)

5. CONCLUSÕES

Verifica-se que, com a reformulação do modelo original, incluindo-se as três relaxações citadas acima, se obtém uma ferramenta de planejamento e controle de capacidade de produção, bem mais robusta, para se avaliar problemas nesta área de trabalho. Não só por complementar um modelo que já era exemplar em sua forma matemática original, mas como também, por permitir, com as relaxações introduzidas, que se retrate mais precisamente a realidade atual de nossas empresas.

Com o exemplo prático descrito anteriormente, realizamos sensibilidades do modelo de GUNASEKARAN et alii (1993), face as três relaxações mencionadas, consideradas individualmente e em conjunto. Isto levando-se em consideração valores médios mais encontrados em nosso meio industrial para percentuais de perda de tempo, perda de matéria prima e produtos intermediários, e de perda de venda por não atendimento a 100% da demanda do público, assumidos, respectivamente, iguais a 4%, 20% e 4%(neste caso considerando-se 40% de margem de lucro e 10% de clientes não atendidos).

Êste trabalho nos permitiu concluir, que as variações são significativas principalmente quando tomadas em conjunto, e que o modelo é mais sensível sempre que se inclui a relaxação de que pode haver perda de tempo devido a quebra de máquinas, tanto individualmente como em conjunto, e que esta variável implica numa redução da recuperação do custo total de manufatura, após a otimização, de 3,62 %(53,67-50,05), quando considerada individualmente, de 3,90%(54,40-50,05) quando em conjunto com geração de sucata, e de 4,62%(55,12-50,05) no caso de se tomar as três relaxações ao mesmo tempo.

Portanto, apresentamos um modelo que, dentro da realidade atual de nossas empresas e conforme o nível de desenvolvimento destas, pode ser substancialmente útil em suas atividades de planejamento e controle da produção.

BIBLIOGRAFIA

ALVES, L.C.L., 1997. Um modelo para seleção de equipamentos em sistemas de produção

Just-in-Case: O caso da relaxação do ambiente Just-in-Time. Tese D.Sc., COPPE, UFRJ, Rio de

Janeiro, Brasil, 142p.

ALVES, L.C.L., ALCANTARA GOMES, C.A., FUKS, S., 2001. Avaliação da Perda de Efetividade em um Sistema de Manufatura com Demanda Variável, através de um Modelo Não Linear de Seleção de Equipamentos, XXXIII SBPO, Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Campos de Jordão, S.P., Brasil.

BAZARAA, M. S., SHERALI, H. D., SHETTY, C. M., 1979. Nonlinear programming. 2ª edição, 1993, John Wiley & Sons, inc., 638p.

GUNASEKARAN, A., GOYAL, S.K., MARTIKAINEM, T., YLI-0LLI, P., 1993. Equipment selection problem in Just-in-Time manufacturing systems. Journal of the Operational

Research, v.44, n.4, p.345-353.

PETERSON, R., SILVER, E.A., 1979. Decision Systems for Inventory Management and Production Planning, John Wiley & Sons, 799p.