MATEMÁTICA 9 o ANO PROF PADRÃO VOL II

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MATEMÁTICA – 9

o

ANO

PROF – PADRÃO – VOL II

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Direção Executiva:

Fabio Benites

Gestão Editorial:

Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração

de capa e Projeto Gráfico:

Alan Gilles Mendes

Alex França

Dominique Coutinho

Erlon Pedro Pereira

Estevão Cavalcante

Paulo Henrique de Leão

Estagiários:

Amanda Silva

Fabio Rodrigues

Gustavo Macedo

Lucas Araújo

Irium Editora Ltda

Rua Desembargador Izidro,

n

o

_{114 - Tijuca - RJ}

CEP: 20521-160

Fone: (21) 2560-1349

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É proibida a reprodução total ou parcial, por

qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às

caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos

autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e

Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e

apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia:

D. Geométrico:

Espanhol:

Física:

Geografia:

História:

Inglês:

Matemática:

Português:

Química:

Redação:

Autores:

Bruno Zeitone

Thiago Santos

Verônica Louro

Collyer

João Paulo Prado

Michelle Trugilho

Maria Izadora Zarro

Luanna Ramos

Luiza Marçal

Wendel Medeiros

Cláudia Pires

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

1 ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO FUNDAMENTAL 2016/2017

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2016/2017 com o

intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e

alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico inovador, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a passagem das informações. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas para favorecer a aprendizagem.

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Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de

vanguarda. Além disso, o material impresso “conversa” com o site galeracult.com.br, além de

vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01:

Apresentar um conteúdo em termos de ementa e nível de acordo com os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento, assim como do segmento subsequente (Ensino Médio).

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs, porém existe a

possibilidade de reordenação, pois o material é constituído de cadernos independentes, que possibilitam a construção de acordo com a vontade da escola parceira. Para isso, basta a escola utilizar o nosso cronograma – que está apresentado a seguir – e escolher a nova ordem dos cadernos, inclusive trocando de séries, caso seja necessário. Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Fundamento 02:

Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão

os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Após a contextualização, sugerimos que o professor

apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria vista e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Sinais de Pontuação, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar para compreensão dos alunos dos erros de comunicação gerados por má emprego da pontuação, reconheçam e saibam empregar corretamente os sinais de pontuação.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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Fundamento 03:

Transcender o conteúdo tradicional, através do diálogo entre este e outros saberes,

não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Fundamental II é focado

em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Educação Financeira, Noções de Nutrição, Noções de Direito, Empreendedorismo, entre outros, são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto galeracult.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e

o conteúdo é exposto por um personagem ficcional criado pelo time da Irium Educação. Esses personagens são jovens e possuem características e linguagem próprias da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento onde alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os educandos a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a música do Cazuza foi utilizada para exemplificar uma Oração Subordinada Adverbial e, com isso, acaba sendo conectada a história do próprio compositor, enriquecendo o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04:

Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado

mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante

da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na capa de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma

citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) – entre a imagem principal e a seção “Objetivos” – propõe uma reflexão sobre o conceito de História. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende desconstruir o conceito vulgar de História. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma tirinha para exemplificar uma oração subordinada adverbial.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

5

Fundamento 05:

Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de

sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem. Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar

simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno – na primeira impressão, - para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial,

eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do leitor, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos tem dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06:

Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor do

proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o

aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos

concursos e os Desafiando são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do

país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca,

localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da

aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2

→ ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para

casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07:

Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links

com sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão. Descrição: O material possui também exercícios não ortodoxos. As questões “tradicionais”

são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na

seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line

e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajuda-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade.

Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída

de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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Fundamento 08:

Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do

conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo,

onde é apresentado uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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8 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

9º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I

1º bimestre

EF2MAT906: Aprendendo técnicas de produtos notáveis e fatoração

• Produtos Notáveis • Fatoração

EF2MAT908: Potenciação e radiciação

• Potenciação • Radiciação • Racionalização

2º bimestre

EF2MAT911: Estruturando e aplicando equações do 2o grau

• Equações do 2o Grau com Uma Variável • Resolução de Equações do 2o Grau Completas

• Discussão das Raízes e Relação Entre Raízes e Coeficientes • Problemas e Sistemas do 2o Grau

• Equações Biquadradas • Equações Irracionais

3º bimestre

EF2MAT913: Estabelecendo conceitos básicos sobre funções

• Relações Entre Conjuntos • Funções

EF2MAT914: As funções de 1o grau e suas aplicações

• Função Polinomial de 1o Grau • Gráfico da Função do 1o Grau

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

9 4º bimestre

EF2MAT915: As funções de 2o grau

• Função Polinomial de 2o Grau • Gráfico da Função do 2o Grau • Problemas de Máximo e Mínimo

EF2MAT916: Análise combinatória e probabilidade

• Introdução à Análise Combinatória • Probabilidade

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8 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

9º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA II

1º bimestre

EF2MAT918: Introduzindo os conceitos de polígonos

• Polígonos Regulares

EF2MAT919: Aprendendo um pouco mais sobre triângulos

• Triângulos

• Cevianas de um Triângulo • Congruência de Triângulos

EF2MAT920: Observando os conceitos e as propiedades dos quadriláteros

• Quadriláteros: Trapézios • Quadriláteros: Paralelogramos

2º bimestre

EF2MAT921: Linhas proporcionais e semelhanças

• Feixe de Retas Paralelas • Aplicação do Teorema de Tales • Semelhança

EF2MAT922: Relações entre as medidas de um triângulo retângulo

• Relações Métricas no Triângulo Retângulo

3º bimestre

EF2MAT923: Estudando a matemática de circunferências e círculos

• Circunferência e Círculo • Ângulos na Circunferência

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

9 EF2MAT925: Aprendendo sobre polígonos regulares inscritos e circunscritos

• Polígonos Regulares Inscritos à Circunferência • Polígonos Regulares Circunscritos à Circunferência

4º bimestre

EF2MAT926: Medindo áreas de figuras planas e estudando sólidos

• Área de Quadriláteros • Área de Triângulos

• Área do Círculo e Suas Partes

• Área de Polígonos Inscritos e Circunscritos

• Área de Figuras Semelhantes e Cálculo de Áreas por Exclusão • Sólidos

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8 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

9º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA III

1º bimestre

EF2MAT907: Múltiplos e divisores: suas características e aplicações

• Múltiplos e Divisores • Números Primos • Máximo Divisor Comum • Mínimo Múltiplo Comum

2º bimestre

EF2MAT901: O universo da matemática das frações

• Números Fracionários

• Problemas Envolvendo Frações • Números Decimais

• Dízimas Periódicas

EF2MAT902: Razões e proporções

• Razões e Proporções • Números Proporcionais • Divisão Proporcional

• Regra de Três Simples e Composta

3º bimestre

EF2MAT903: Mergulhando no universo da Matemática Financeira

• Porcentagem

• Operações com Lucro e Prejuízo • Acréscimos e Descontos Sucessivos • Juros Simples e Compostos

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

9 4º bimestre

EF2MAT904: Noções de Estatística

• Noções de Estatística • Estatística

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

9 ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO FUNDAMENTAL 2016/2017

9º ano

MATEMÁTICA I

2

o

_bimestre:

Aula: 11

Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o_grau

Objetivos: Identificar uma equação do 2o_{grau; Determinar as raízes das equações do 2o grau, através}

da formula de Bhaskara

Subtópicos: Equações do 2o_{grau com uma incognita; Equações incompletas}

Exercícios: x

Para casa: Praticando 1 ao 4

Aula: 12

Objetivos: Identificar uma equação do 2o_{grau; Determinar as raízes das equações do 2o grau, através}

Subtópicos: Equações incompletas Exercícios: x

Aula: 13

Objetivos: Identificar uma equação do 2o_{grau; Determinar as raízes das equações do 2}o_{grau, através}

Subtópicos: Resolução de Equações completas Exercícios: x

Para casa: Praticando 7

Aula: 14

Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o_grau Objetivos: Analisar os coeficientes de uma equação do 2o_grau

Subtópicos: Discussão das raízes e relação entre coeficientes e raízes Exercícios: x

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10 Aula: 15

Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o_grau Objetivos: Analisar os coeficientes de uma equação do 2o_grau

Subtópicos: Soma e produto de raízes Exercícios: x

Aula: 16

Objetivos: Aplicar o conhecimento de equações de 2o_{grau para resolver problemas e sistemas de}

equações

Subtópicos: Resolvendo problemas e sistemas do 2o_grau

Exercícios: x

Aula: 17

equações biquadradas, fracionárias e irracionais Subtópicos: Equações biquadradas

Exercícios: x

Aula: 18

equações biquadradas, fracionárias e irracionais Subtópicos: Equações fracionárias

Exercícios: x

Aula: 19

equações biquadradas, fracionárias e irracionais Subtópicos: Equações irracionais

Exercícios: x

Aula: 20

Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o_grau Objetivos:

Subtópicos: Revisão

Exercícios: Aprofundando e Desafiando Para casa: Pesquisando

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

11 MATEMÁTICA II

2

o

_bimestre:

Aula: 11

Tópico: Linhas proporcionais e semelhanças

Objetivos: Identificar e relacionar segmentos determinados pela interseção entre diferentes retas transversais e um feixe de retas paralelas;

Subtópicos: Feixe de retas paralelas; Exercícios: x

Aula: 12

Objetivos: Aplicar o teorema na construção de segmentos determinados pelas bissetrizes internas de um ângulo

Subtópicos: Teorema da bissetriz interna Exercícios: x

Aula: 13

Objetivos: Estabelecer condições de semelhança entre polígonos; Subtópicos: Semelhança de polígonos

Exercícios: x

Aula: 14

Objetivos: Estabelecer condições de semelhança entre triângulos; Subtópicos: Semelhança de triângulos

Exercícios: Praticando 12 ao 15

Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula: 15

Objetivos: x

Subtópicos: Exercícios

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12 Aula: 16

Tópico: Relações entre medidas de um triângulo retângulo

Objetivos: Identificar as principais medidas existentes em um triângulo retângulo; Deduzir as principais relações métricas, incluindo o Teorema de Pitágoras

Subtópicos: Relações métricas no triângulo retângulo Exercícios: x

Aula: 17

Objetivos: Aplicar o Teorema de Pitagoras para determinar novas relações geométricas notáveis Subtópicos: Aplicações do Teorema de Pitágoras

Exercícios: x

Aula: 18

Objetivos: x

Subtópicos: Exercícios Exercícios: Aprofundando

Aula: 19

Objetivos: x

Aula: 20

Tópico: Revisão

Objetivos:

Exercícios: Revisão bimestral Para casa: Revisão bimestral

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

13 MATEMÁTICA III

2

o

_bimestre:

Aula: 11

Tópico: O universo da Matemática das frações

Objetivos: Aprender o que é, como representar, como calssificar uma fração e conhecer suas principais propriedades e operações

Subtópicos: Representação; Classificação; Comparação de frações; Propriedade Exercícios: x

Aula: 12

Objetivos: Aprender o que é, como representar, como calssificar uma fração e conhecer suas principais propriedades e operações

Subtópicos: Operações com frações; Problemas envolvendo frações Exercícios: x

Aula: 13

Objetivos: Realizar operações com frações decimais e compreender os conceitos de notação científica e ordem de grandeza

Subtópicos: Fração decimal; Operações com decimais; Notação científica; Ordem de grandeza Exercícios: x

Aula: 14

Objetivos: Compreender e saber calcular a origem de uma dízima periódica Subtópicos: Dízimas periódicas; Origem da dízima periódica

Aula: 15

Objetivos: x

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14 Aula: 16

Tópico: Razões e porporções

Objetivos: Aprender o que são razões e proporções, seus elementos e propriedades; Aplicar as noções de proporção para compreender o conceito de escala.

Subtópicos: Razão; Proporção; Propriedades; Razão entre duas grandezas; Escala; Quarta proporcional; Terceira proporcional

Exercícios: x

Aula: 17

Objetivos: Compreender o significado de números/grandezas diretamente ou inversamente proporcionais Subtópicos: Números diretamente proporcionais; Grandezas diretamente proporcionais; Números inversamente proporcionais; Grandezas inersamente proporcionais; Divisão em partes diretamente proporcionais; Divisão em partes inversamente proporcionais; Divisão em partes simultaneamente proporcionais a vários outros;

Exercícios: x

Aula: 18

Objetivos: Aprender a realizar os processos de regra de três simples e composta Subtópicos: Regra de três simples e direta; Regra de três composta

Aula: 19

Objetivos: x

Aula: 20

Tópico: Revisão

Objetivos:

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EF

2M

AT

9-11

ESTRUTURANDO E APLICANDO EQUAÇÕES DE 2o_GRAU

1

Praticando: 1) a) a = 10 b = 3 c = -1 b) a = -4 b = 6 c =0 c) a = -3 b = 0 c =27 d) a = 1 b = 2 c = -8 e) a = 1 b = 0 c = -16 f) a = 5 b = -10 c = 0 g) a = 5 b = -10 c = 3 2) a) x² - 7 = x + 5 => x² - x -7 - 5 = 0 => x² - x - 12 = 0 b) x² + 11x = 16x - 6 => x² + 11x - 16x + 6 = 0 => x² - 5x + 6 = 0 c) x.(x - 6) + x² = (x - 5).(x + 2) x² - 6x + x² = x² + 2x -5x -10 2x² - 6x = x² -3x - 10 2x² - 6x - x² + 3x + 10 = 0 x² -3x + 10 = 0 d) (x - 10)² + x.(x + 17) = 104 x² - 2.10.x + 100 + x² + 17x = 104 2x² - 3x +100 - 104 = 0 2x² - 3x - 4 = 0 e) x² - 1/3 = 1/6 . x² x² - 1/3 - x²/6 = 0 6.x² - 2.1 - 1.x² = 0 5x² - 2 = 0 f) x²/4 + 1/10 = x²/5 + x/2 5.x² + 2.1 = 4.x² + 10.x 5x² + 2 - 4x² - 10x = 0 x² - 10x + 2 = 0 3) a) a = 1 b = 13 c = 36 b) a = -3 b = 6 c =0 c) a = 3 b = 0 c =-12 d) a = 1 b = -10 c = 25 e) a = 1 b = 4 c = 0

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Estruturando e aplicando

equações de 2

o

_grau

Objetivos de aprendizagem:

• Identificar uma equação do 2o_{grau, sua}

condição de existência e seus coeficientes e di-ferenciar equações completas e incompletas;

• Determinar as raízes das equações de 2o

grau e aprender a e utilizar a fórmula de Bhas-kara para determinar as sua raízes;

• Analisar os coeficientes de uma equação do 2o_{grau e relacioná--los às raízes;}

• Aplicar o conhecimento de equações de 2o_{grau para resolver problemas e sistemas de}

equações;

• Utilizar as equações de 2o_{grau como}

ferra-mentas para resolução de equações biquadra-das, fracionárias e irracionais.

(24)

EF

2M

AT

9-11

2

f) a = k + 1 b = -2k c = 0 4) a) Completa b) Incompleta c) Incompleta d) Completa e) Incompleta f) Incompleta 5) a) x² - 12x = 0 x.(x - 12) = 0 x = 0 ou x - 12 = 0 x = 0 ou x = 12 S = {0,12} b) x² - 16 = 0 x² = 16 x = ±√16 S = {-4,+4} c) 5x² - 3x = 0 x.(5x - 3) = 0 x = 0 ou 5x - 3 = 0 x = 0 ou 5x = 3 x = 0 ou x = 3/5 S = {0,3/5} d) x² + 16 = 0 x² = -16 S = ∅ e) 9x² = 25 x² = 25/9 x = ±√(25/9) x = ±5/3 S = {-5/3,5/3} f) x² = 20 x = ±√20 x = ±2√5 S = {-2√5, 2√5} g) -4x² + 28x = 0 4x² - 28x = 0 x² - 7x = 0 x.(x - 7) = 0 x = 0 ou x - 7 = 0 x = 0 ou x = 7 S = {0,7} 6) a) 2x² + x = 0 x.(2x + 1) = 0 x = 0 ou 2x + 1 = 0 x = 0 ou 2x = -1 x = 0 ou x = -1/2 S = {-1/2,0} b) 3x² - 27 = 0 3x² = 27 x² = 9 x = ±3 S = {-,3,3} c) 3x² + 27 = 0 3x² = -27 x² = -9 S = ∅ d) 4y² - 9 = 0 4y² =9 y² = 9/4 y = ±√(9/4) y = ± 3/2 S = {-3/2,3/2} e) 9x² - 5•(x - x²) = 2x 9x² - 5x + 5x² = 2x 14x² -7x = 0 2x² - x = 0 x.(2x - 1) = 0 x = 0 ou 2x - 1 = 0 x = 0 ou 2x = 1 x = 0 ou x = 1/2 S = {0,1/2} f) x² - 3•(x + 1) = 6 - 3x x² - 3x - 3 = 6 - 3x x² - 3x - 3 - 6 + 3x = 0 x² - 9 = 0 x² = 9 x = ±3 S = {-,3,3} g) a4_{m²x² - a}6_m4_{= 0} a^4m²x² = a6_m4 x² = (a6_m4_)/(a4_m²) x² = a²m² x = ±√a²m² x = ±a.m h) ax² + 2ax - px = 0 x.(ax + 2a - p) = 0

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EF

2M

AT

9-11

3

x = 0 ou ax + 2a - p = 0 x = 0 ou ax = p - 2a x = 0 ou x = (p-2a)/a 7) a) (x + 2)² = 4x + 5 x² + 2.2.x + 4 - 4x - 5 = 0 x² + 4x -4x -1 = 0 x² - 1 = 0 x² = 1 x = ±√1 x = ±1 b) (2x + 3)² = (x - 3)² 4x² + 2.2x.3 + 9 = x² - 2.x.3 + 9 4x² + 12x - x² + 6x = 0 3x² + 18x = 0 3x (x + 6) = 0 x = 0 ou x = -6 c) (x² +1)/2 - (x² + 6)/3 = 0 3(x² + 1) - 2.(x² + 6) = 0 3x² + 3 - 2x² - 12 = 0 x² - 9 = 0 x² = 9 x = ±3 d) (x² - x)/2 = x - (x - x²)/3 3.(x² - x) = 6.x - 2.(x - x²) 3x² - 3x = 6x - 2x + 2x² 3x² - 3x = 4x + 2x² 3x² - 3x - 4x - 2x² = 0 x² - 7x = 0 x.(x - 7) = 0 x = 0 ou x - 7 = 0 x = 0 ou x = 7 x = 0 ou x = 7 e) y² - 5y + 4 = 0 Δ = b2 - 4.a.c Δ = (-5)2 - 4.1.4 Δ = 25 - 16 Δ = 9 y’ = (-(-5) + √9)/2.1 y’’ = (-(-5) - √9)/2.1 y’ = 8 / 2 y’’ = 2 / 2 y’ = 4 y’’ = 1 f) (x + 2)² + x = 0 x² + 2.x.2 + 4 + x = 0 x² + 4x + 4 + x = 0 x² + 5x + 4 = 0 Δ = b2 - 4.a.c Δ = 52 - 4.1.4 Δ = 25 - 16 Δ = 9 x’ = (-5 + √9)/2.1 x’’ = (-5 - √9)/2.1 x’ = -2 / 2 x’’ = -8 / 2 x’ = -1 x’’ = -4 g) 3x² - 2.(x - 1)² = 3 3x² - 2.(x² - 2x + 1) - 3 = 0 3x² - 2x² + 4x - 2 - 3 = 0 x² + 4x - 5 = 0 Δ = b2 - 4.a.c Δ = 42 - 4 .1.(-5) Δ = 16 + 20 Δ = 36 x’ = (-4 + √36)/2.1 x’’ = (-4 - √36)/2.1 x’ = 2 / 2 x’’ = -10 / 2 x’ = 1 x’’ = -5 h) (x² + 2)/2 - (x - 1)/3 = 11/2 (x² + 2)/2 - (x - 1)/3 = (2.1+1)/2 3.(x² + 2) - 2.(x - 1) = 3.3 3x² + 6 - 2x + 2 = 9 3x² - 2x + 8 - 9 = 0 3x² - 2x - 1 = 0 Δ = (-2)2 - 4.3.(-1) Δ = 4 + 12 Δ = 16 x’ = (-(-2) + √16)/2.3 x’’ = (-(-2) - √16)/2.3 x’ = 6 / 6 x’’ = -2 / 6 x’ = 1 i) x²/2-(x-12)/3=2x 3x² - 2.(x - 12) = 6.2x 3x² - 2x + 24 = 12x 3x² - 2x + 24 - 12x = 0 3x² - 14x + 24 = 0 Δ = (-14)2 - 4.3.24 Δ = 196 - 288 Δ = -92

Não há raízes reais. j) (x² - 4)/3-(x-2)/2=0

(26)

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4

2x² - 8 - 2x + 4 = 0 2x² - 2x - 4 = 0 x² - x - 2 = 0 Δ = b2 - 4.a.c Δ = (-1)2 - 4.1.(-2) Δ = 9 x’ = (-(-1) + √9)/2.1 x’’ = (-(-1) - √9)/2.1 x’ = 2 x’’ = -4 8) 5mx² - 5x - 1 = 0 5m(-3/5)² - 5.(-3/5) - 1 = 0 (5m.9)/25+15/5-1=0 1.45m + 5.15 - 25.1 = 25.0 45m + 75 - 25 = 0 45m + 50 = 0 9m + 10 = 0 9m = -10 m = -10/9 9) x² - 6x + k² - 3k - 4 = 0 0² - 6.0 + k² - 3k - 4 = 0 k² - 3k - 4 = 0 Δ = b2 - 4.a.c Δ = (-3)2 - 4.1.(-4) Δ = 9 + 16 Δ = 25 k’ = (-(-3) + √25)/2.1 k’’ = (-(-3) - √25)/2.1 k’ = 8 / 2 k’’ = -2 / 2 k’ = 4 k’’ = -1 10) 9x² - 6ax + a² - 4 = 0 9.((a-2)/3)2_{- 6.a.((a-2)/3)+a²-4=0} 9.((a²-2.a.2+4)/9) - (6a²-12a)/3+a²-4=0 a² - 4a + 4 - (2a² - 4a) + a² - 4 = 0 a² - 4a + 4 - 2a² + 4a + a² - 4 = 0 0 = 0

Logo, (a-2)/3 é raiz da equação

11) a) Para admitir 2 raízes reais diferentes, Δ > 0. x² - 3x + m = 0 Δ = (-3)2 - 4.1.m Δ = 9 - 4m 9 - 4m > 0 4m < 9 m < 9/4

b) Para admitir uma única raiz real, Δ = 0 3x² + mx + 3 = 0 Δ = m² - 4.3.3 Δ = m² - 36 m² - 36 = 0 m² = 36 m = ±6

c) Para que não admita raízes reais, Δ < 0. 5x² + 4x + m = 0 Δ = 4² - 4.5.m Δ = 16 - 20m 16 - 20m < 0 20m > 16 m > 16/20 m > 4/5

d) Para admitir 2 raízes reais diferentes, Δ > 0. mx² + 7x - 4 = 0 Δ = 72 - 4.m.(-4) Δ = 49 + 16m 49 - 16m > 0 16m < 49 m < 49/16 12) a) S = -6/2 = -3 P = -1/2 b) S = (-3√2)/4 P = (-12√2)/4 = -3√2 c) x² - (a + 1).x + a = 0 S = -(-(a + 1)) = (a + 1) P = a d) S = (-(m+2))/(m-2) P = (-m²+4)/(m-2) 13) a) (2m-1)/6=1 2m - 1 = 6 2m = 7 m = 7/2 b) (-(-3k - 1))/4 = 4 (3k+ 1)/4 = 4 3k + 1 = 16 3k = 16 - 1 k = 15/3 k = 5 c) -(m-1)/2)/8 = -15/8 -(m-1)/2 = -15 (m-1)/2 = 15 m - 1 = 30 m = 31

(27)

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d) -(-(3k-5)/4/4 = -12 3k-5/4/4 = -12 3k-5/4= -48 3k - 5 = -192 3k = -187 k = -187/3 14) a) -3/10 b) -4/10 = -2/5 c) 1/x₁+1/x₂ = x₂+x₁/x₂.x₁ = -3)/10/-2/5 = -3/10.5/-2 = 3/2.1/2 = 3/4

15) Sendo x uma das raízes, a outra será 1/x. x. 1/x = p-5/2

1 = p-5/2 p - 5 = 2 p = 7

16) Sendo uma das raízes igual a x, a outra será -x. -x + x = -(-(m-1))/2 0 = m-1/2 m - 1 = 0 m = 1 17) a) S = 6 + 8 = 14 P = 6.8 = 48 x² - 14x + 48 = 0 b) S = -1 + (-2) = -1 - 2 = -3 P = -1.(-2) = 2 x² + 3x + 2 = 0 c) S = -3/2 + (-1/4) = -3/2-1/4= 2.(-3)-1/4 = -6-1/4 0 = -7/4 = -2 P = -3/2.(-1/4) = 3/8 x² - 7/4x - 3/8 = 0 d) S = 1 + √2 + 1 - √2 = 2 P = (1 + √2).(1 - √2) = 1 - √2 + √2 - 2 = -1 x² - 2x - 1 = 0 e) S = -a + b P = -ab x² - (-a + b).x - ab = 0 f) S = -9 + 0 = -9 P = -9.0 = 0 x² + 9x = 0 g) S = -8 + 8 = 0 P = -8.8 = -64 x² - 64 = 0 18) 2x + 2y = 3 3xy = 1 → x = 1/3y 2.(1/3y) + 2y = 3 2/3y + 2y = 3 1.2 + 3y.2y = 3y.3 2 + 6y² = 9y 6y² - 9y + 2 = 0 Δ = (-9)2 - 4.6.2 Δ = 81 - 4.6.2 Δ = 33 y’ = (-(-9) + √33)/2.6 y’’ = (-(-9) - √33)/2.6 y’ = (9 + √33)/12 y’’ = (9 - √33)/12 19) x² + 3xy = 0 x - y = 2 → x = 2 + y (2 + y)² + 3.(2 + y).y = 0 4 + 4y + y² + 6y + 3y² = 0 4y² + 10y + 4 = 0 2y² + 5y + 2 = 0 Δ = 52 - 4.2.2 Δ = 25 - 16 Δ = 9 y = (-5 + √9)/2.2 y = (-5 - √9)/2.2 y = -2 / 4 y = -8 / 4 y = -0,5 y = -2 y - y = -0,5 - (-2) = -0,5 + 2 = 1,5 = 3/2 Letra C.

20) Sendo um deles igual a x, o outro será (x + 1). x² + (x + 1)² = 41 x² + x² + 2x + 1 - 41 = 0 2x² + 2x - 40 = 0 x² + x - 20 = 0 Δ = 12 - 4.1.(-20) Δ = 1 + 80 Δ = 81 x’ = (-1 + √81)/2.1 x’’ = (-1 - √81)/2.1 x’ = 8 / 2 x’’ = -10 / 2 x’ = 4 x’’ = -5

(28)

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21) Substituindo a segunda equação na primeira: 7x - 1 = mx² +3x + 1

mx² + 3x - 7x + 1 + 1 = 0 mx² - 4x + 2 = 0

Δ = (-4)2 - 4.m.2 Δ = 16 - 8m

Para que tenha uma única solução, Δ = 0. 16 - 8m = 0

8m = 16 m = 2 Letra C.

22) x = nº de bolas y = preço de uma bola xy = 400 y = 400/x (x+5) . (y-4)= 400 xy - 4x + 5y - 20 = 400 400 - 4x + 5y - 20 = 400 400 - 4x + 5y - 20 - 400 = 0 -4x + 5y - 20 = 0 -4x + 5(400/x) - 20 = 0 -4x + 2000/x - 20 = 0 -4x² + 2000 - 20x = 0 ÷(-4) x² + 5x - 500 = 0 Δ = 52 - 4.1.(-500) Δ = 25 + 2000 Δ = 2025 x’ = (-5 + √2025)/2.1 x’’ = (-5 - √2025)/2.1 x’ = 40 / 2 x’’ = -50 / 2 x’ = 20 x’’ = -25 23) a) x4_{- 16x² = 0}

Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-crevendo a equação: y² - 16y = 0 y.(y - 16) = 0 y = 0 ou y - 16 = 0 y = 0 ou y = 16 x² = 0 ou x² = 16 x = 0 ou x = ±4 S = {-4,0,4}] b) x4_{+ x² - 2 = 0}

Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-crevendo a equação: y² + y - 2 = 0 Δ = 12 - 4.1.(-2) Δ = 1 + 8 Δ = 9 y = (-1 + √9)/2.1 y = (-1 - √9)/2.1 y = 2 / 2 y = -4 / 2 y = 1 y= -2 x² = 1 ou x² = -2 x = ±1 S = {-1,1} c) 6x4_{+ (2x² - 3)² = (2x² + 1)² + 14} 6x4_{+ 4x}4_{- 2.2x².3 + 9 = 4x}4_{+ 4x² + 1 + 14} 6x4_{- 12x² + 9 = 4x² + 15} 6x4_{- 12x² + 9 - 4x² - 15 = 0} 6x4_{- 16x² - 6 = 0 (÷2)} 3x4_{- 8x² - 3 = 0}

Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-crevendo a equação: 3y² - 8y - 3 = 0 Δ = (-8)2 - 4.3.(-3) Δ = 64 + 36 Δ = 100 y = (-(-8) + √100)/2.3 y = (-(-8) - √100)/2.3 y = 18 / 6 y = -2 / 6 y= 3 y = -2 / 6 x² = 3 ou x² = -2/6 x = ±√3 S = {-√3, √3} d) (x² - 2)² = x² + 180 x4_{- 4x² + 4 = x² + 180} x4_{- 4x² + 4 - x² - 180 = 0} x4_{- 5x² - 176 = 0}

Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-crevendo a equação: y² - 5y - 176 = 0 Δ = (-5)2 - 4.1.(-176) Δ = 25 + 704 Δ = 729 y = (-(-5) + √729)/2.1 y = (-(-5) - √729)/2.1 y = 32 / 2 y = -22 / 2 y = 16 y = -11 x² = 16 ou x² = -2/6 x = ±4 S = {-4,4}

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24) a) x4_{- 9x² = 0}

Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-crevendo a equação: y² - 9y = 0 y.(y - 9) = 0 y = 0 ou y - 9 = 0 y = 0 ou y = 9 x² = 0 ou x² = 9 x = 0 ou x = ±3 S = {-3,0,3} b) 4x44_{- 13x² + 9 = 0}

Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-crevendo a equação: 4y² - 13y + 9 = 0 Δ = (-13)2 - 4.4.9 Δ = 169 - 144 Δ = 25 y = (-(-13) + √25)/2.4 y = (-(-13) - √25)/2.4 y = 18 / 8 y = 8 / 8 y = 9/4 y = 1 x² = 9/4 ou x² = 1 x = ±3/2 ou x = ±1 S = {-3/2,-1,1,3/2} c) (x² - 4)² + (x² + 1)² = 13 x4_{- 8x² + 16 + x^4 + 2x² + 1 = 13} 2x4_{- 6x² + 17 - 13 = 0} 2x4_{- 6x² + 4 = 0 (÷2)} x4_{- 3x² + 2 = 0}

Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-crevendo a equação: y² - 3y + 2 = 0 Δ = (-3)2 - 4.1.2 Δ = 9 - 8 Δ = 1 y = (-(-3) + √1)/2.1 y = (-(-3) - √1)/2.1 y = 4 / 2 y = 2 / 2 y = 2 y = 1 x² = 2 ou x² = 1 x = ±√2 ou x = ±1 S = {-√2,-1,1, √2} d) 2x² + 6/2x² = 5, onde x ≠ 0 2x² + 3/x² = 5 2x².x² + 3.1 = 5.x² 2x^4 + 3 - 5x² = 0

Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-crevendo a equação: 2y² - 5y + 3 = 0 Δ = (-5)2 - 4.2.3 Δ = 25 - 24 Δ = 1 y = (-(-5) + √1)/2.2 y = (-(-5) - √1)/2.2 y = 6 / 4 y = 4 / 4 y = 3/2 y = 1 x² = 3/2 ou x² = 1 x = ±√(3/2) ou x = ±1 25) x4_{- 8x² + 9 = 0}

Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-crevendo a equação: y² - 8y + 9 = 0 Δ = (-8)2 - 4.1.9 Δ = 64 - 36 Δ = 28 y = (-(-8) + √28)/2.1 y = (-(-8) - √28)/2.1 y = (8 + 2√7) / 2 y = (8 - 2√7) / 2 y = 4 + √7 y = 4 - √7 x² = 4 + √7 ou x² = 4 - √7 x = ±√(4 +√7) ou x = ±√(4-√7) 26) x4_{- bx² + 36 = 0}

Como uma das raízes é 3, então: 34_{- b.3² + 36 = 0}

81 - 9b + 36 = 0 9b = 117 b = 13

x4_{- 13x² + 36 = 0}

Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-crevendo a equação: y² - 13y + 36 = 0 Δ = (-13)2 - 4.1.36 Δ = 169 - 144 Δ = 25 y = (-(-13) + √25)/2.1 y = (-(-13) - √25)/2.1 y = 18 / 2 y = 8 / 2 y = 9 y = 4 x² = 9 ou x² = 4 x = ±3 ou x = ±2 27) a) x/x+1 - x/1-x = 8/3 x.(1-x)-x.(x+1)/(x+1)(1-x) = 8/3 x-x²-x²-x/x-x²+1-x=8/3

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-2x²/1-x²=8/3 -6x² = 8 - 8x² 2x² = 8 x² = 4 x = ±2 b) 2x-4/x²-1+x/x-1=1/x+1 2x-4/(x-1)(x+1)+x/x-1=1/x+1 1.(2x-4)+(x+1).x=(x-1).1 2x - 4 + x² + x = x - 1 x² + 3x - 4 - x + 1 = 0 x² + 2x - 3 = 0 Δ = 22 - 4.1.(-3) Δ = 4 +12 Δ = 16 x’ = (-2 + √16)/2.1 x’’ = (-2 - √16)/2.1 x’ = 2 / 2 x’’ = -6 / 2 x’ = 1 x’’ = -3 c) 2x/x-1-3/3-x = x+3/x²-4x+3

Vamos primeiro resolver a equação x² - 4x + 3 = 0.

S = 4 , P = 3 x’ = 1 ou x’’ = 3

Então podemos escrever x² - 4x + 3 como (x - 1)(x - 3)

Reescrevendo a equação: 2x/x-1-3/3-x = x+3/(x - 1)(x - 3)

Multiplicando o numerador e o denomina-dor de uma fração pelo mesmo valor, não altera essa fração. 2x/x-1-3/3-x.(-1)/(-1) = (x+3)/(x - 1)(x - 3) 2x/(x-1)-(-3)/(x-3) = x+3/(x - 1)(x - 3) 2x/(x-1)+3/(x-3)=(x+3)/(x - 1)(x - 3) 2x.x - 3 + 3.(x - 1) = (x + 3) 2x² - 6x + 3x - 3 = x + 3 2x² - 3x - 3 - x - 3 = 0 2x² - 4x - 6 = 0 (÷2) x² - 2x - 3 = 0 Δ = (-2)2 - 4.1.(-3) Δ = 4 + 12 Δ = 16 x’ = (-(-2) + √16)/2.1 x’’ = (-(-2) - √16)/2.1 x’ = 6 / 2 x’’ = -2 / 2 x’ = 3 x’’ = -1 d) x+2/2+2/x-2 = -1/2 (x + 2).(x - 2) + 2.2 = -1.(x - 2) x² - 4 + 4 = -x + 2 x² + x - 2 = 0 Δ = 12 - 4.1.(-2) Δ = 1 + 8 Δ = 9 x’ = (-1 + √9)/2.1 x’’ = (-1 - √9)/2.1 x’ = 2 / 2 x’’ = -4 / 2 x’ = 1 x’’ = -2 e) 7/x-1=6x+1/x+1-3.(1+2x2_/x²-1) 7/x-1=6x+1/x+1-3.(1+2x2_)/(x-1)(x+1) 7.(x + 1) = (6x + 1).(x - 1) - 3.(1 + 2x²) 7x + 7 = 6x² - 6x + x - 1 - 3 - 6x² 7x + 7 = -5x - 4 12x = -11 x = -11/12

28) a) Da segunda equação temos que x = 2 + y. Substituindo na primeira equação:

10/2+y+y=1 10/2+2y=1 10/2.(1+y)=1 5/(1+y)=1 1+y = 5 y = 4 x = 2 + 4 = 6

b) Da primeira equação temos que y = x + 5. Substituindo na segunda: 2/1-(x+5)=1/1+x 2/1-x-5=1/1+x 2/-x-4=1/1+x 2 + 2x = -x - 4 3x = -6 x = -2 y = -2 + 5 = 3

c) Substituindo a segunda equação na primeira: 4y+3-1/y=5

4y + 2 = 5y y = 2

x = 4.2 + 3 = 11

d) Da primeira equação temos que x = 8 - y. Substituindo na segunda: 4/8-y-2y=2 4/8-3y=2 4 = 16 - 6y 6y = 12 y = 2 x = 8 - 2 = 6

(31)

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29) 3 _{√ 7+√x-1=2}

Elevando ambos os lados por 3: 7+√x-1=8

√x-1=1

Elevando ambos os lados por 2: x - 1 = 1

x = 2

30) a) √(2x²+x-6)=x+2

Elevando ambos os lados por 2: 2x² + x - 6 = x² + 4x + 4 x² - 3x - 10 = 0 Δ = (-3)2 - 4.1.(-10) Δ = 9 + 40 Δ = 49 x’ = (-(-3) + √49)/2.1 x’’ = (-(-3) - √49)/2.1 x’ = 10 / 2 x’’ = -4 / 2 x’ = 5 x’’ = -2 b) x+√(x-1)=13 √(x-1)=13-x x - 1 = 169 - 26x + x² x² - 27x + 170 = 0 Δ = (-27)2 - 4.1.170 Δ = 729 - 680 Δ = 49 x’ = (-(-27) + √49)/2.1 x’’ = (-(-27) - √49)/2.1 x’ = 34 / 2 x’’ = 20 / 2 x’ = 17 x’’ = 10 c) √(1+x)+√(1-x)=2

Elevando ambos os lados por 2: (√(1+x)+√(1-x))²=2² (1 + x) + 2. √(1+x). √(1-x) + (1 - x) = 4 1 + x + 2 √((1+x)(1-x)) + 1 - x = 4 2√(1²-x²) + 2 = 4 2√(1-x²) = 2 √(1-x²) = 1

Elevando ambos os lados por 2: 1 - x² = 1 x² = 1 - 1 x² = 0 x = 0 31) 1-√(1+x²)=x² 1 - x² = √(1+x²)

Elevando ambos os lados por 2: 1 - 2x² + x4_{= 1+x²} x4_{- 2x² + 1 - 1 - x² = 0} x4_{- 3x² = 0} x².(x² - 3) = 0 x² = 0 ou x² - 3 = 0 x = 0 ou x² = 3 x = 0 ou x = ±√3 32) √(x-1+√(2x-2)) =2

Elevando ambos os lados por 2: x - 1 + √(2x-2) = 4

√(2x-2) = 5 - x

Elevando ambos os lados por 2: 2x - 2 = 25 - 10x + x² x² -12x + 27 = 0 Δ = (-12)2 - 4.1.27 Δ = 144 - 108 Δ = 36 x’ = (-(-12) + √36)/2.1 x’’ = (-(-12) - √36)/2.1 x’ = 18 / 2 x’’ = 6 / 2 x’ = 9 x’’ = 3 Letra D. Aprofundando: 1) A = 2p y² = 4y y² - 4y = 0 y.(y - 4) = 0 y = 0 ou y - 4 = 0 y = 0 ou y = 4 2) a) a = 1 b = 13 c = 36 b) a = -3 b = 6 c = 0 c) a = 3 b = 0 c = -12 d) a = 1 b = -10 c = 25

(32)

EF

2M

AT

9-11

10

e) a = 1 b = 4 c = 0 f) a = k + 1 b = -2k c = 0 3) a) completa b) incompleta c) incompleta d) completa e) incompleta f) incompleta 4) a) a) 2x² + x = 0 x.(2x + 1) = 0 x = 0 ou 2x + 1 = 0 x = 0 ou 2x = -1 x = 0 ou x = -1/2 S = {-1/2,0} b) 3x² - 27 = 0 3x² = 27 x² = 9 x = ±3 S = {-,3,3} c) 3x² + 27 = 0 3x² = -27 x² = -9 S = ∅ d) x² - 7x + 10 = 0 Δ = (-7)2 - 4.1.10 Δ = 49 - 40 Δ = 9 x’ = (-(-7) + √9)/2.1 x’’ = (-(-7) - √9)/2.1 x’ = 10 / 2 x’’ = 4 / 2 x’ = 5 x’’ = 2 V = {2,5} e) x² + 9x + 8 = 0 Δ = 92 - 4.1.8 Δ = 81 - 32 Δ = 49 x’ = (-9 + √49)/2.1 x’’ = (-9 - √49)/2.1 x’ = -2 / 2 x’’ = -16 / 2 x’ = -1 x’’ = -8 V = {-8,-1} f) x² - x - 2 = 0 Δ = (-1)2 - 4.1.(-2) Δ = 1 + 8 Δ = 9 x’ = (-(-1) + √9)/2.1 x’’ = (-(-1) - √9)/2.1 x’ = 4 / 2 x’’ = -2 / 2 x’ = 2 x’’ = -1 V = {-1,2} g) x² + x - 6 = 0 Δ = 12 - 4.1.(-6) Δ = 1 + 24 Δ = 25 x’ = (-1 + √25)/2.1 x’’ = (-1 - √25)/2.1 x’ = 4 / 2 x’’ = -6 / 2 x’ = 2 x’’ = -3 V = {-3,2} h) 15x² + 7x - 12 = 0 Δ = 72 - 4.15.(-12) Δ = 49 + 720 Δ = 769 x’ = (-7 + √769)/2.15 x’’ = (-7 - √769)/2.15 x’ = (-7 + √769)/30 x’’ = (-7 - √769)/30 V = {(-7 - √769)/30, (-7 + √769)/30} i) (x-1)/(x+2)+2/(x-2)=4x/(x²-4) (x-1)/(x+2)+2/(x-2)=4x/((x+2)(x-2)) (x - 1).(x - 2) + 2.(x + 2) = 4x.1 x² - 2x - x + 2 +2x + 4 - 4x = 0 x² - 5x + 6 = 0 Δ = (-5)2 - 4.1.6 Δ = 25 - 4. 1 . 6 Δ = 1 x’ = (-(-5) + √1)/2.1 x’’ = (-(-5) - √1)/2.1 x’ = 6 / 2 x’’ = 4 / 2 x’ = 3 x’’ = 2 V = {2,3} j) x² - 2mx + m² - 1 = 0 Δ = (-2m) - 4.1.(m² - 1) Δ = 4m² - 4m² - 4 Δ = -4

Não possui raízes reais. V = ∅

5) (x+1/x)2 _{-2 . (x+1/x) = 5/4}

(x.x+1.1)/x)2 _{- 2 . (x.x+1.1)/x = 5/4}

(33)

EF

2M

AT

9-11

11

(x4+2x²+1)/x² - (2x2_{+2)/x = 5/4} 1.(x4_{+2x²+1-x).(2x}2_{+2/x²) = 5/4} x4_+2x²+1-2x3_{-2x/x² = 5/4} 4x4_{+ 8x² + 4 - 8x³ - 8x = 5x²} 4x4_{- 8x³ + 3x² - 8x + 4 = 0}

Fatorando este polinômio temos: (4x³ + 3x - 2).(x - 2) = 0 (4x² + 2x + 4).(x - 1/2).(x - 2) = 0 4x² + 2x + 4 = 0 ou x - 1/2 = 0 ou x - 2 = 0 2x² + x + 2 = 0 ou x = 1/2 ou x = 2 Δ = 12 - 4 . 2 . 2 Δ = 1 - 4. 2 . 2 Δ = -15

Não há raízes reais. S = {1/2,2} 6) n/2.(n+1)=210 n²/2+n/2=210 (n²+n)/2=210 n² + n = 420 n² + n - 420 = 0 Δ = 12 - 4.1.(-420) Δ = 1 + 1680 Δ = 1681 n’ = (-1 + √1681)/2.1 n’’ = (-1 - √1681)/2.1 n’ = 40 / 2 n’’ = -42 / 2 n’ = 20 n’’ = -21

Soma de inteiros positivos não pode dar nú-mero negativo portanto, n = 20

7) x² = ((x + 8).x)/2 2x² = x² + 8x x² - 8x = 0 x.(x - 8) = 0 x = 0 ou x - 8 = 0 x = 0 ou x = 8

Medida de lado não pode ser nula portanto, x = 8

A = 64

8) Chamando o primeiro numero de x, o segun-do será x + 1 x² + (x + 1)² = 481 x² + x² + 2x + 1 = 481 2x² + 2x - 480 = 0 x² + x - 240= 0 Δ = 12 - 4.1.(-240) Δ = 1 + 960 Δ = 961 x’ = (-1 + √961)/2.1 x’’ = (-1 - √961)/2.1 x’ = 30 / 2 x’’ = -32 / 2 x’ = 15 x’’ = -16

Como o exercício fala em inteiros positivos, então x = 15 e (x + 1) = 16.

9) Um retângulo tem 2m de altura e 5m de com-primento. Sua área vale 10m².

Aumentando a altura e o comprimento em x, teremos:

altura = 2 + x

comprimento = 5 + x

Com isso, a área do novo retângulo se torna 7 vezes a original: (2 + x).(5 + x) = 7.10 10 + 2x + 5x + x² = 70 x² + 7x - 60 = 0 a = 1, b = 7, c = -60 ∆ = 49 + 240 = 289 √∆ = 17 x = (-7 ± 17)/2 x’ = -12 x” = 5

Como estamos tratando de medidas de um retângulo, não pode ser negativo, logo, x = 5m a) Dimensões do novo retângulo:

altura = 2 + 5 = 7m

comprimento = 5 + 5 = 10m b)Perímetro do novo retângulo:

2p = 7 + 7 + 10 + 10 = 34m 10) x² - 3x - m - 5 = 0

Para que a equação não tenha raízes reais, ∆ < 0. ∆ = (-3)² - 4.1.(-m - 5) ∆ = 9 + 4m + 20 ∆ = 4m + 29 4m + 29 < 0 4m < -29 m < -29/4 m < -7,25

Maior valor inteiro que satisfaz a inequação: -8.

(34)

EF

2M

AT

9-11

12

11) (1 - m).x² - 2x + 1 = 0

Para que a equação tenha raízes reais dife-rentes, ∆ > 0. ∆ = (-2)² - 4.(1 - m).1 ∆ = 4 - 4 + 4m ∆ = 4m 4m > 0 m > 0

Menor valor inteiro que satisfaz a inequação: 1.

12) 4x² + (m + 1).x + m + 6 = 0

Para que a equação tenha raízes reais iguais, ∆ = 0. ∆ = (m + 1)² - 4.4.(m + 6) ∆ = m² + 2m + 1 - 16m - 96 ∆ = m² - 14m - 95 m² - 14m - 95 = 0 Δ = (-14)2 - 4.1.(-95) Δ = 196 + 380 Δ = 576 x’ = (-(-14) + √576)/2.1 x’’ = (-(-14) - √576)/2.1 x’ = 38 / 2 x’’ = -10 / 2 x’ = 19 x’’ = -5 13) (2m + 1).x² + 4mx + 2.(m - 1) = 0

Para que a equação tenha raízes reais dife-rentes, ∆ > 0. ∆ = (4m)² - 4.(2m + 1).(m - 1) ∆ = 16m² - 4.(2m² - m - 1) ∆ = 16m² - 8m² + 4m + 4 ∆ = 8m² + 4m + 4 8m² + 4m + 4 > 0 2m² + m + 1 > 0

Esta equação não possui raízes reais, ou seja, é uma parábola que não corta o eito das abs-cissas. Seu coeficiente angular é maior do que zero, portanto, sua concavidade é voltada pra baixo. Desse modo, a parábola inteira está com-preendida na parte positiva do eixo das ordena-das (imagem), logo, para qualquer valor de m, a equação

14) 4x² - 4x + 2m - 1 = 0

Para que a equação não tenha raízes reais, ∆ < 0. ∆ = (-4)² - 4.4.(2m - 1) ∆ = 16 - 32m + 16 ∆ = 32 - 32m 32 - 32m < 0 32m > 32 m > 1 15) a) x² - mx + 15 = 0 3² - m.3 + 15 = 0 9 - 3m + 15 = 0 3m = 24 m = 8 b) x² - 9x + m = 0 ∆ = (-9)² - 4.1.m ∆ = 81 - 4m x = (-(-9)±√(81-4m))/2.1 x = (9±√(81-4m))/2 9+√(81-4m)/2 = 2 . (9-√(81-4m/2) 9+√81-4m/2 = 9 - √81-4m 9+√81-4m = 18-2√81-4m √81-4m+2√81-4m = 18-9 3√81-4m = 9 √81-4m = 3

Elevando ao quadrado em ambos os lados da equação: 81 - 4m = 9 4m = 81 - 9 4m = 72 m = 18 c) 2mx² + 9x - 5 = 0 2m(1/2)² + 9.(1/2) - 5 = 0 2m.(1/4) + 9/2 - 5 = 0 m/2 + 9/2 - 5 = 0 1.m + 1.9 - 2.5 = 0 m + 9 - 10 = 0 m - 1 = 0 m = 1 d) x² - mx + 3 = 0 ∆ = (-m)² - 4.1.3 ∆ = m² - 12 x = (-(-m)±√(m²-12))/2.1 x = (m±√(m²-12))/2 m+√m²-12/2 = 3 . (m-√m2_-12/2) m+√m²-12 = 3 . (m-√m2_-12) m+√m²-12 = 3m-3√m2_-12 √m²-12+3√m2_{-12 = 3m-m}

(35)

EF

2M

AT

9-11

13

4√m2_{-12 = 2m}

√m2_{-12 = m/2}

Elevando ambos os lados ao quadrado: m² - 12 = m²/4 4m² - 48 = m² 3m³ - 48 = 0 3m² = 48 m² = 16 m = ±4

16) a) O produto das raízes dessa equação será 5/2, que é um número positivo. Daí, podemos concluir que as raízes são ambas positivas, ou ambas negativa. A soma dessas raízes é -(-8/2) = 4, que é um número positivo. Concluí-se, portanto, que o sinal das raízes são ambos positivos. b) O produto das raízes dessa equação será 1/3, que é um número positivo. Daí, podemos con-cluir que as raízes são ambas positivas, ou am-bas negativa. A soma dessas raízes é -(5/3), que é um número negativo. Concluí-se, portanto, que o sinal das raízes são ambos negativos. c) O produto das raízes dessa equação será 8/5, que é um número positivo. Daí, podemos con-cluir que as raízes são ambas positivas, ou am-bas negativa. A soma dessas raízes é -(-2/5) = 2/5, que é um número positivo. Concluí-se, portanto, que o sinal das raízes são ambos positivos. d) O produto das raízes dessa equação será -3/2, que é um número negativo. Daí, podemos con-cluir que as raízes têm sinais opostos, uma é ne-gativa e a outra é positiva.

e) O produto das raízes dessa equação será -12, que é um número negativo. Daí, podemos con-cluir que as raízes têm sinais opostos, uma é ne-gativa e a outra é positiva.

f) O produto das raízes dessa equação será 1/ m², que é um número positivo (podemos garan-tir isso pois independente do valor de m, m² será sempre positivo). Daí, podemos concluir que as raízes são ambas positivas, ou ambas negativa. A soma dessas raízes é -(-2/m²) = 2/m², que é um número positivo. Concluí-se, portanto, que o si-nal das raízes são ambos positivos.

g) O produto das raízes dessa equação será 1, que é um número positivo. Daí, podemos con-cluir que as raízes são ambas positivas, ou am-bas negativa. A soma dessas raízes é -m², que é um número negativo (podemos garantir isso pois independente do valor de m, m² será sem-pre positivo, acompanhado de um sinal negati-vo, ficará negativo). Concluí-se, portanto, que o sinal das raízes são ambos negativos.

h) O produto das raízes dessa equação será (-4)/ (-5) = 4/5, que é um número positivo. Daí, pode-mos concluir que as raízes são ambas positivas, ou ambas negativa. A soma dessas raízes é (-9)/ (-5) = 9/5, que é um número positivo. Concluí--se, portanto, que o sinal das raízes são ambos positivos.

17) a) Não. O produto das raízes dessa equação será -15/5 = -3, que é um número negativo. Daí, podemos concluir que as raízes têm sinais opos-tos, uma é negativa e a outra é positiva.

b) A soma dessas raízes é -22/5, que é um núme-ro negativo. Daí, podemos concluir que o sinal da raiz de maior módulo é negativo.

18) x² - 6x + m - 1 = 0 ∆ = (-6)² - 4.1.(m - 1) ∆ = 36 - 4m + 4 ∆ = 40 - 4m ∆ = 4.(10 - m) x = (-(-6)±√4.(10-m/2.1) x = (6±2√10-m/2 x = 3±√10-m 3+√10-m/3-√10-m=2 3+√10-m=6-2√10-m √10-m+2√10-m=6-3 3√(10-m)=3 √(10-m)=1

Elevando ao quadrado em ambos os lados da equação: 10 - m = 1 m = 9 19) (m - p).x² + (m - 2).x - 4 = 0 , m ≠ p (-4)/(m-p)=x.(-x) (-4)/(m-p)=-x² 4/(m-p)=x² (-(m-2))/(m-p)=x+(-x) (-m+2)/(m-p)=0 -m + 2 = 0 m = 2 20) 1/x₂ + 1/x₁ = 1/3 1.x₂ + 1.x₁)/x₂.x₁= 1/3 x₁ +x₂/x₁.x₂=1/3 -(-2.(h+1)/h+3/h-10/h+3 = 1/3

(36)

EF

2M

AT

9-11

14

2h+2/h+3. h+3/h-10 = 1/3 2h+2/h-10=1/3 6h + 6 = h - 10 5h = -16 h = -16/5 21) x + x = -(-15/4) x + x = 15/4 x - x = 9/4 x + x = 15/4 2x = 24/4 x = 6/2 x = 3 x = 15/4 - 3 x = (15 - 12)/4 x = 3/4 x. x = p/4 3 . 3/4 = p/4 p = 9 22) x² - 5x + 6 = 0 S = 5 e P = 6 x’ = 2 ou x’’ = 3 x² - ax + 8 = 0 S = a e P = 8

Números cujo produto resulta em 8 são: 1 e 8

-1 e -8 2 e 4 -2 e -4

Para que as duas equações possuam uma raiz em comum, a deve ser igual a 2 ou 4.

23) x² - 6x + m = x² - 11x + 6m - 6x + 11x = 6m - m 5x = 5m x = m x² - 6x + m = 0 m² - 6m + m = 0 m² - 5m = 0 m.(m - 5) = 0 m = 0 ou m’ - 5 = 0 m’ = 0 ou m’’ = 5 24) m/m = x’.x’’ x’.x’’ = 1 x’’ = 1/x’ x’/x’’ = 1/4 x’ / (1/x’) = 1/4 x’ . x’ = 1/4 x’² = 1/4 x’ = ±1/2 x’’ = 1/(1/2) ou x’’ = 1/(-1/2) x’’ = 1.2 ou x’’ = 1.(-2) x’’ = 2 ou x’’ = -2 x’ + x’’ = (3m - 1)/m 1/2 + 2 = (3m - 1)/m (1 + 2.2)/2 = (3m - 1)/m 5/2 = (3m - 1)/m 5m = 6m - 2 m = 2 25) x= 1/x P = x.1/x = 1 (2m - 3)/2 = 1 2m - 3 = 2 2m = 5 m = 5/2 m = 2.5 26) q².r + q.r² = 6 q.r . (q + r) = 6 c/a . (-b/a) = 6 -bc/a² = 6

Fazendo por tentativas vemos que a letra D satisfaz a condição acima.

GABARITO: letra D. 27) (x’ + x’’)/2 = 7,5 (-b/a) / 2 = 7,5 -b/a = 15 √(x’.x’’)=1,5 √(c/a)=1,5 c/a = 2,25 x² - Sx + P = 0 x² - 15x + 2,25 = 0 (x4) 4x² - 60x + 9 = 0 Letra B.

(37)

EF

2M

AT

9-11

15

28) x² - Sx + P = 0 a) P = -10 S = -3 x² + 3x - 10 = 0 b) P = -0,2 S = -0,1 x² + 0,1x - 0,2 = 0 c) P = -2/3.9/16 = -1/1.3/8 = -3/8 S = -2/3+9/16 = -2.16+9.3/48 = -5/48 x² + 5/48.x - 3/8 = 0 d) P = 0 S = 2m x² - 2mx = 0 e) P = -k² S = 0 x² - k² = 0 f) P =(3+√5/2).(3-√5/2) = 9-5/4 = 1 S = (3+√5/2)+(3-√5/2) = 6/2 = 3 x² - 3x + 1 = 0 g) P = (2+√3).(2-√3) = 4 - 3 = 1 S = 2+√3+2-√3 = 4 x² - 4x + 1 = 0 29) Questão com erro!

30) P = (3+√2).(3-√2) = 9 - 2 = 7 S = 3+√2+3-√2 = 6 x² - 6x + 7 = 0 ∆ = (-6)² - 4.1.7 ∆ = 36 - 28 ∆ = 8 31) x² - y² = 32 3y = 2x + 3 → y = (2x+3)/3 x²- (2x+3/3)² = 32 x²-(4y2_{+ 12y + 9/9) = 32} 9x² - (4y² + 12y + 9) = 32.9 9x² - 4y² - 12y - 9 = 288 5x² - 12y - 297 = 0 Δ = (-12)2 - 4.5.(-297) Δ = 144 + 5940 Δ = 6084 x’ = (-(-12) + √6084)/2.5 x’’ = (-(-12) - √6084)/2.5 x’ = 90 / 10 x’’ = -66 / 10 x’ = 9 x’’ = -6,6

Como o exercício fala que os números são in-teiros, vamos considerar apenas x = 9.

3y= 2.9 + 3 y = 7

32) a) Da segunda equação temos que y = 2x - 3. Substituindo na primeira equação:

2x² + 3.(2x - 3)² = 11 2x² + 3.(4x² - 12x + 9) = 11 2x² + 12x² - 36x + 27 - 11 = 0 14x² - 36x + 16 = 0 (÷2) 7x² - 18x + 8 = 0 Δ = (-18)2 - 4.7.8 Δ = 324 - 224 Δ = 100 x’ = (-(-18) + √100)/2.7 x’’ = (-(-18) - √100)/2.7 x’ = 28 / 14 x’’ = 8 / 14 x’ = 2 x’’ = 4 / 7 y’ = 2.2 - 3 y’’ = 2.(4/7) - 3 y’ = 1 y’’ = 8/7 - 3 y’ = 1 y’’ = (8 - 3.7)/7 y’ = 1 y’’ = -13/7

b) Da segunda equação temos que b = 7 - c. Substituindo na primeira equação:

(7 - c)² + c² = 25 49 - 14c + c² + c² = 25 2c² - 14c - 24 = 0 c² - 7c + 12 = 0 Δ = (-7)2 - 4.1.12 Δ = 49 - 48 Δ = 1 c’ = (-(-7) + √1)/2.1 c’’ = (-(-7) - √1)/2.1 c’ = 8 / 2 c’’ = 6 / 2 c’ = 4 c’’ = 3 b’ = 7 - 4 = 3 b’’ = 7 - 3 = 4

c) Da segunda equação temos que b = 7 - c. Subs-tituindo na primeira equação:

(7 - c)² + (7 - c).c + c² = 37 49 - 14c + c² + 7c - c² + c² = 37 c² - 7c + 12 = 0 Δ = (-7)2 - 4.1.12 Δ = 49 - 48 Δ = 1 c’ = (-(-7) + √1)/2.1 c’’ = (-(-7) - √1)/2.1 c’ = 8 / 2 c’’ = 6 / 2 c’ = 4 c’’ = 3 b’ = 7 - 4 = 3 b’’ = 7 - 3 = 4

(38)

EF

2M

AT

9-11

16

d) Substituindo a segunda equação na primeira:

e) Da primeira equação temos que x = √(16+y²). Substituindo na segunda equação:

(√16+y2₎2_{-y²+(√16+y}2_).y=31

16+y2_{-y²+(√16+y}2_).y=31

(√16+y2_).y=15

Elevando ambos os lados ao quadrado: (16+y2_).y²=225

y4_+16y²-225=0

Vamos usar uma variável auxiliar z = y². Rees-crevendo a equação: z² + 16z - 225 = 0 Δ = 162 - 4.1.(-225) Δ = 256 + 900 Δ = 1156 z’ = (-16 + √1156)/2.1 z’’ = (-16 - √1156)/2.1 z’ = 18 / 2 z’’ = -50 / 2 z’ = 9 z’’ = -25 y² = 9 y² = -25 y = ±3 x = √(16+(±3)²) = √(16+9) = ±5

33) a) Somando as duas equações obtemos: 2x² = 6

x² = 3 x = ±√3

Substituindo na primeira equação: (±√3)² + y² = 5

3 + y² = 5 y² = 2 y = ±√2

b) Da segunda equação temos que x = 6/y. Subs-tituindo na primeira, teremos:

(6/y)² + y² = 13 36/y² + y² = 13 36 + y^4 = 13y² y^4 - 13y² + 36 = 0 Δ = (-13)2 - 4.1.36 Δ = 169 - 144 Δ = 25 y’ = (-(-13) + √25)/2.1 y’’ = (-(-13) - √25)/2.1 y’ = 18 / 2 y’’ = 8 / 2 y’ = 9 y’’ = 4 x’ = 6/9 = 2/3 x’’ = 6/4 = 3/2

34) Da segunda equação temos que x = -2/y. Substituindo na primeira, teremos:

(-2/y)² + y² = 5 4/y² + y² = 5 4 + y^4 = 5y² y^4 - 5y² + 4 = 0 Δ = (-5)2 - 4.1.4 Δ = 25 - 16 Δ = 9 y’ = (-(-5) + √9)/2.1 y’’ = (-(-5) - √9)/2.1 y’ = 8 / 2 y’’ = 2 / 2 y’ = 4 y’’ = 1 x’ = -2/4 = -1/2 x’’ = -2/1 = -2 (x’ + y’)² = (7/2)² = 49/4 (x’’ + y’’)² = (-1)² = 1 Letra B.

35) Da primeira equação tiramos que x = m - y. Substituindo na segunda equação:

(m - y)² + y² = 4 m² - 2my + y² + y² = 4 2y² - 2my + m² - 4 = 0 ∆ = (-2m)² - 4.2.(m² - 4) ∆ = 4m² - 8m² + 32 ∆ = -4m² + 32

(39)

EF

2M

AT

9-11

17

-4m² + 32 = 0 4m² = 32 m² = 8 m = ±2√2 2√2+(-2√2)=0 Letra C.

36) Da primeira equação tiramos que a = 4 + 2b. Substituindo na segunda equação:

2.(4 + 2b - 3) - 3.(b + 1) = -2 2 + 4b - 3b - 3 = -2 b - 1 = -2 b = -1 a = 4 + 2.(-1) a = 2 S = 1 e P = -2 x² - x - 2 = 0 Letra B. 37) a) x.n = 504 → x = 504/n (x - 8).(n + 4) = 504 (504/n - 8).(n + 4) = 504 (504 - 8n)/n).(n + 4) = 504 (504n + 2016 - 8n² - 32n)/n = 504 504n - 8n² - 32n + 2016 = 504n -8n² - 32n + 2016 = 0 ÷(-8) n² + 4n - 252 = 0 Δ = 42 - 4.1.(-252) Δ = 16 + 1008 Δ = 1024 n’ = (-4 + √1024)/2.1 n’’ = (-4 - √1024)/2.1 n’ = 28 / 2 n’’ = -36 / 2 n’ = 14 n’’ = -18 n + n + 4 = 14 + 14 + 4 = 32 dias b) x - 8 = 504/14 - 8 = 36 - 8 = 28km 38) x4_+8=9x² x4_-9x²+8=0

Usando uma variável auxiliar y = x² e reescre-vendo a equação: y² - 9y + 8 = 0 Δ = (-9)2 - 4.1.8 Δ = 81 - 32 Δ = 49 y’ = (-(-9) + √49)/2.1 y’’ = (-(-9) - √49)/2.1 y’ = 16 / 2 y’’ = 2 / 2 y’ = 8 y’’ = 1 x’² = 8 x’’² = 1 x’ = ±2√2 x’’ = ±1 39) x4_{- 5x² + 4 = 0}

Usando uma variável auxiliar y = x² e reescre-vendo a equação: y² - 5y + 4 = 0 Δ = (-5)2 - 4.1.4 Δ = 25 - 16 Δ = 9 y’ = (-(-5) + √9)/2.1 y’’ = (-(-5) - √9)/2.1 y’ = 8 / 2 y’’ = 2 / 2 y’ = 4 y’’ = 1 x’² = 4 x’’² = 1 x’ = ±2 x’’ = ±1 média aritmética: (2 - 2 + 1 - 1)/4 = 0 40) (x + 2).(x - 2).(x + 1).(x - 1) + 5x² = 20 (x² - 4).(x² - 1) + 5x² = 20 x4_{- x² - 4x² + 4 + 5x² = 20} x4_{= 16} x = ±2 S = {-2,2}

41) Questão com erro! 42) x4_{+ ax² + 4 = 0}

Usando uma variável auxiliar y = x² e reescre-vendo a equação:

y² + ay + 4 = 0

Para que a equação possua raízes, ∆ ≥ 0 ∆ = a² - 4.1.4 ∆ = a² - 16 a² - 16 ≥ 0 a² ≥ 16 a ≥ ±4 43) a) (x - √2).(x + √2).(x - 3).(x + 3) = 0 (x² - 2).(x² - 9) = 0 x4_{- 9x² - 2x² + 18 = 0} x4_{- 11x² + 18 = 0}

(40)

EF

2M

AT

9-11

18

b) (x - √5).(x + √5).(x - 0).(x + 0) = 0 (x² - 5).x² = 0 x^4 - 5x² = 0 44) a) (x - √3).(x + √3).(x - 2).(x + 2) = 0 (x² - 3).(x² - 4) = 0 x4_{- 4x² - 3x² + 12 = 0} x4_{7x² + 12 = 0}

b) (x - √2a).(x + √2a).(x - 1/2a).(x + 1/2a) = 0 (x² - 2a).(x² - 1/4a²) = 0

x^4 - x²/4a² - 2ax² - 2a/4a² = 0 x^4 - (1/4a² + 2a).x² - 1/2a = 0 c) (x - 2m).(x + 2m).(x - m).(x + m) = 0 (x² - 4m²).(x² - m²) = 0 x4_{- m²x² - 4m²x² + 4m^4 = 0} x4_{- 5m²x² + 4m^4= 0} d) (x - √(3+√5) ).(x + √(3+√5) ).(x - √5) ).(x + √(3-√5) ) = 0 [x² - (3 + √5)].[x² - (3 - √5)] = 0 (x² - 3 - √5).(x² - 3 + √5) = 0 x4_{- 3x² + √5.x² - 3x² + 9 - 3√5 - √5.x² + 3√5 - 5 = 0} x4_{- 6x² + 4 = 0} 45) (x/x+1)2_+(x/x-1)2 _{= 10/9} x²/(x+1²)+x²/(x-1²) = 10/9 x2_.(x-1)2_{+x².(x+1)²/(x+1)}2_{.(x-1)² = 10/9} x2_.(x2_{-2x+1)+x².(x}2_+2x+1)/(x2_+2x+1).(x2_{-2x+1) =} 10/9 x4_-2x³+x²+x4_{+2x³+x² / x}4 -2x³+x²+2x³-4x²+2x+x²-2x+1 = 10/9 2x4_+2x²/x4_-2x²+)=10/9 18x4_{+ 18x² = 10x}4_{- 20x² + 10} 8x4_{+ 38x² - 10 = 0} 4x4 _{+ 19x² - 5 = 0}

Usando uma variável auxiliar y = x² e reescre-vendo a equação: 4y² + 19y - 5 = 0 Δ = 192 - 4.4.(-5) Δ = 361 - 4. 4 . -5 Δ = 441 y’ = (-19 + √441)/2.4 y’’ = (-19 - √441)/2.4 y’ = 2 / 8 y’’ = -40 / 8 y’ = 1/4 y’’ = -5 x’² = 1/4 x’’² = -5 x’ = ±1/2 46) (x - √2).(x + √2).(x - 3).(x + 3) = 0 (x² - 2).(x² - 9) = 0 x4_{- 9x² - 2x² + 18 = 0} x4_{- 11x² + 18 = 0} Letra D. 47) (x - 2).(x + 2).(x - 0).(x + 0) = 0 (x² - 4).x² = 0 x4_{- 4x² = 0} 48) (x - 2).(x + 2).(x - 3).(x + 3) = 0 (x² - 4).(x² - 9)= 0 x4_{- 9x² - 4x² + 36 = 0} x4_{- 13x² + 36 = 0} 49) a) x-)/2+1/x=-3 x.(x-3)+1.2/2x=-3 x²-3x+2=-6x x² + 3x + 2 = 0 Δ = 32 - 4.1.2 Δ = 9 - 8 Δ = 1 x’ = (-3 + √1)/2.1 x’’ = (-3 - √1)/2.1 x’ = -2 / 2 x’’ = -4 / 2 x’ = -1 x’’ = -2 b) 8/x-10/x²=3/2 (8x-10)/x²=3/2 16x - 20 = 3x² 3x² - 16x + 20 = 0 Δ = (-16)2 - 4.3.20 Δ = 256 - 240 Δ = 16 x’ = (-(-16) + √16)/2.3 x’’ = (-(-16) - √16)/2.3 x’ = 20 / 6 x’’ = 12 / 6 x’ = 10 / 3 x’’ = 2 c) 1/3-x+6/x²-9=2/x 1/3-x.-1/-1+6/(x-3)(x+3)=2/x -1/x-3+6/(x-3)(x+3)=2/x -1.(x+3).x+6.x=2.(x-3)(x+3) -x² - 3x + 6x = 2x² - 18 -x² + 3x = 2x² - 18 x² - 3x - 18 = 0 Δ = (-3)2 - 4.1.(-18) Δ = 9 + 72 Δ = 81

(41)

EF

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19

x’ = (-(-3) + √81)/2.1 x’’ = (-(-3) - √81)/2.1 x’ = 12 / 2 x’’ = -6 / 2 x’ = 6 x’’ = -3 d) 2x²+2/x²-1-2/x-1 = x-2/x+1 2x²+2/(x-1)(x+1)-2/x-1 = (x-2)/(x+1) 1.(2x² + 2) - (x + 1).2 = (x - 1)(x - 2) 2x² + 2 - 2x - 2 = x² - 2x - x + 2 2x² = x² - x + 2 x² + x - 2 = 0 Δ = 12 - 4.1.(-2) Δ = 1 + 8 Δ = 9 x’ = (-1 + √9)/2.1 x’’ = (-1 - √9)/2.1 x’ = 2 / 2 x’’ = -4 / 2 x’ = 1 x’’ = -2 e) a/(x-b)-b/(x-a)=2 a.(x - a) - b.(x - b) = 2.(x - a)(x - b) ax - a² - bx + b² = 2.(x² - bx - ax + ab) ax - a² - bx + b² = 2x² - 2bx - 2ax + 2ab 2x² - bx - 3ax + a² - b² + 2ab = 0 2x² - (b + 3a).x + a² - b² + 2ab = 0 Δ = (-b - 3a)² - 4.2.(a² - b² + 2ab) Δ = b² + 6ab + 9a² - 8a² + 8b² - 16ab Δ = 9b² - 10ab - a²

x = -[-(a+b)±√(9b² - 10ab - a² x = (+b±√9b² - 10ab - a²/4

50) a) Substituindo a primeira equação na se-gunda: 3/2y+y = 1/3 3/3y = 1/3 1/y = 1/3 y = 3 x = 2.3 = 6

b) Trabalhando coma segunda equação: 2(x + y) = 10

x + y = 5 x = 5 - y

Substituindo na primeira equação: 5-y/5-y+y = 3/5

5-y/5 = 3/5 5 - y = 3 y = 2 x = 5 - 2 = 3

c) Trabalhando coma primeira equação: 9x - 3y = 21y - 7x

16x = 24y x = 24y/16 x = 3y/2

Substituindo na segunda equação: 9/4.3y/2-3 = 5/4y-3 9/6y-3 = 5/4y-3 30y - 15 = 36y - 27 6y = 12 y = 2 x = 3.2 / 2 = 3

d) Trabalhando com a primeira equação: 1/x-5/6 =1/y

Substituindo na segunda equação: 3/x+2.1/y=2 3/x+2.(1/x-5/6)=2 3/x+2.(6-5x/6x)=2 3/x+(6-5x)/3x=2 3.3 + (6 - 5x).1 = 2.3x 9 + 6 - 5x = 6x 11x = 15 x = 15/11 1/15/11 - 5/6 = 1/y 11/15 - 5/6 = 1/y 11.2-5.5/30 = 1/y -3/30 = 1/y -1/10 = 1/y -y = 10 y = -10 51) √3x-20-√2x-5=0 √3x-20=√2x-5

Elevando ambos os lados ao quadrao: 3x - 20 = 2x - 5 x = 15 Letra A. 52) a) √(2x²-1)=x 2x² - 1 = x² x² = 1 x = ±1 b) (3x-1)=1

(42)

EF

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20

3x - 1 = 1 3x = 2 x = 2/3 c) 1+√(3x-1)=1 √(3x-1)=0 3x - 1 = 0 3x = 1 x = 1/3 d) x - √x = 2 √x = 2 - x

Elevando ao quadrado dos dois lados: x = 4 - 4x + x² x² - 5x + 4 = 0 Δ = (-5)2 - 4.1.4 Δ = 25 - 16 Δ = 9 x’ = (-(-5) + √9)/2.1 x’’ = (-(-5) - √9)/2.1 x’ = 8 / 2 x’’ = 2 / 2 x’ = 4 x’’ = 1 e) √(x+7)+1=2x √(x+7)=2x-1 x + 7 = 4x² - 4x + 1 4x² - 5x - 6 = 0 Δ = (-5)2 - 4.4.(-6) Δ = 25 + 96 Δ = 121 x’ = (-(-5) + √121)/2.4 x’’ = (-(-5) - √121)/2.4 x’ = 16 / 8 x’’ = -6 / 8 x’ = 2 x’’ = -0,75 f) 1 + √(x²-1)=x √(x²-1)=x-1 x² - 1 = x² - 2x + 1 2x = 2 x = 1 g) 2x = 3 + √(x-1) √(x-1)=2x-3 x - 1 = 4x² - 12x + 9 4x² - 13x + 10 = 0 Δ = (-13)2 - 4.4.10 Δ = 169 - 160 Δ = 9 x’ = (-(-13) + √9)/2.4 x’’ = (-(-13) - √9)/2.4 x’ = 16 / 8 x’’ = 10 / 8 x’ = 2 x’’ = 5/4 h) √(4x+7)-√(2x+8)=0 √(4x+7)=√(2x+8) 4x + 7 = 2x + 8 2x = 1 x = 1/2 i) √(x+7)=5-√(x+2) √(x+7)+√(x+2)=5 x + 7 + 2√((x+7)(x+2))+x+2=5 2x + 9 + 2√(x²+2x+7x+14) = 5 2√(x²+9x+14)=2x-4 √(x²+9x+14)=x-2 x² + 9x + 14 = x² - 4x + 4 13x = -10 x = -10/13 j) √(6+x)+√(2x+10)=1 6 + x + 2√((6+x)(2x+10))+2x+10=1 3x + 16 + 2√(12x+60+2x²+10x)=1 2√(2x²+22x+60)=-3x-15 √(2x²+22x+60)=(-3x-15)/2 2x²+22x+60=(9x²+90x+225)/4 8x² + 88x + 240 = 9x² + 90x + 225 x² + 2x - 15 = 0 Δ = 22 - 4.1.(-15) Δ = 4 + 60 Δ = 64 x’ = (-2 + √64)/2.1 x’’ = (-2 - √64)/2.1 x’ = 6 / 2 x’’ = -10 / 2 x’ = 3 x’’ = -5 k)√(2+√(2x-2)) =2 2 + √(2x-2) = 4 √(2x-2) = 2 2x - 2 = 4 2x = 6 x = 3 l) Desconsiderar m) Desconsiderar 53) x - 3 = 2.√x x² - 6x + 9 = 4x x² - 10x + 9 = 0 Δ = (-10)2 - 4.1.9 Δ = 100 - 36 Δ = 64 x’ = (-(-10) + √64)/2.1 x’’ = (-(-10) - √64)/2.1