Sistemas de Controle 2

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Sistemas de Controle 2

Cap.9 – Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes

Pontifícia Universidade Católica de Goiás

Escola de Engenharia

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Sistemas de Controle 2

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Cap.9 – Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes

9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9.1 Introdução

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação em Cascata

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória 9.5 Compensação por Retroação

9.6 Realização Física da Compensação

Bibliografia principal:

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Aula anterior

9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9.1 Introdução

Compensadores  Mudança no local geométrico das raízes  Adição de pólos e zeros no sistema

 Circuitos eletrônicos ativos e passivos de compensação

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata  Compensação Integral Ideal (PI)

- Inserção de um pólo exatamente na origem - Inserção de um zero próximo do pólo na origem  Compensação por Atraso de Fase (passivo)

- Inserção de um pólo próximo da origem - Inserção de um zero próximo deste pólo

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Objetivo:

Projetar uma resposta que tenha uma ultrapassagem percentual desejada e um tempo de acomodação menor que o sistema sem compensação.

Técnicas:

Controlador proporcional e derivativo (PD)

 Compensação derivativa ideal (derivador puro)

 Um derivador puro é adicionado ao caminho à frente do sistema de controle com realimentação

 Acréscimo de um zero

Compensador de avanço de fase (passivo)

 Adiciona à função de transferência do caminho à frente um zero e um polo mais distante.

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Compensação Derivativa Ideal (Controlador PD)

• Projetar uma resposta que tenha uma ultrapassagem percentual desejada e um tempo de acomodação menor que o sistema sem compensação.

• Acelera a resposta do sistema

Realizado através da soma de um derivador e de um ganho puro. • Adição de um único zero

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Sistema sem compensação Adição de um zero movimenta o _{ponto de operação}

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Comparando 3 zeros em posições diferentes

Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4

Em todos os sistemas compensados os pólos dominantes estão mais distantes ao longo da reta de amortecimento do que o sistema sem compensação

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Comparando distâncias

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Comparando 3 zeros em posições diferentes: Mesma ultrapassagem percentual

Todos os sistemas, compensados ou não, operam sobre a mesma reta de amortecimento.  Portanto todos terão a mesma ultrapassagem percentual.

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Tempo de assentamento menor nos 3 sistemas compensados

Todos os sistemas compensados operam em pólos com parte real mais negativa do que do sistema não compensado.

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Tempo de pico menor nos 3 sistemas compensados

Todos os sistemas compensados operam em pólos com parte imaginária mais negativa do que do sistema não compensado.

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Tempo de pico menor nos 3 sistemas compensados

A medida que os zeros se distanciam dos pólos dominantes, o ponto de operação (pólos dominantes em malha fechada) se aproxima da origem.

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Tempo de acomodamento reduziu mais de 2x em todos os

sistemas compensados

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Tempo de pico reduziu mais de 2x em todos os sistemas

compensados

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Desvantagens do controlador PD

 Requer um circuito ativo para realizar a derivação  A derivação é um processo ruidoso

• O nível de ruído é baixo

• Frequência do ruído é alta comparada com o sinal • Pode gerar grandes sinais indesejados

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Compensação de Avanço de Fase (passivo)

• Estrutura passiva que se aproxima do controlador PD

• Como é passivo um único zero não pode ser gerado  gera-se um polo e um zero • Se o polo produzido estiver distante do eixo imaginário do que o zero

produzido sua ação ainda é positiva.

• A contribuição angular do polo compensador é subtraída da contribuição angular do zero, portanto é preciso haver um saldo positivo.

Vantagens em relação ao controlador PD

• Fontes de alimentação adicionais não são requeridas • O ruído produzido é menor

Desvantagens em relação ao controlador PD

• O polo adicional não reduz o número de ramos do lugar geométrico das raízes que cruzam o eixo imaginário para o semiplano da direita, enquanto que o controlador PD tende a reduzir esses ramos.

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Contribuição do polo e zero adicional

1) Para projetar esse controlador é preciso escolher a posição do polo desejado no plano s (em cima de uma determinada reta de amortecimento ou não).

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

1) Para projetar esse controlador é preciso escolher a posição do polo desejado no plano s (em cima de uma determinada reta de amortecimento ou não).

2) A soma dos ângulos a partir dos polos e zeros do sistema sem compensação até o ponto escolhido menos 180 graus fornece a contribuição angular do compensador Exemplo:

Polos possuem ângulos negativos Zeros possuem ângulos positivos

Contribuição angular do polo e zero adicionais:

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

𝜃_𝑐 : Contribuição angular  ângulo do feixe que parte do ponto de projeto e intercepta o eixo real nos valores do polo e do zero compensador.

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Como a contribuição angular é sempre o ângulo desse feixe, se ele deslocar, a contribuição angular matematicamente continua sendo a mesma.

Portanto o número de soluções é infinita. A diferença entre as soluções está:

- na constante de erro estático - no ganho

- na dificuldade de se justificar a aproximação de segunda ordem - na resposta transitória.

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Projeto

- Escolher arbitrariamente o polo ou zero do compensador de avanço de fase - Somar ângulos de todos os polos e zeros em relação ao ponto escolhido.

- A diferença entre 180 graus e essa soma será a contribuição angular necessária para compensar o sistema.

- Encontrar o segundo ponto (polo ou zero) de acordo com o ponto arbitrariamente escolhido.

- Verificar cada projeto através de simulação

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Exemplo

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Observar a posição do zero

arbitrário para verificar possíveis cancelamentos de polos e se a aproximação se segunda ordem esta OK Comparando sistemas: Nenhum zero Nenhum zero Zero em -5 Zero em -2

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Observar melhora no erro de regime permanente Comparando sistemas: Erro de regime permanente 0.38 0.145 0.173 0.312

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Observar ganho necessário Comparando sistemas: Ganho 63.21 1423 698.1 345.6

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

Realização física de um compensador por avanço de fase

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9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação

em Cascata

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9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta

Transitória

Combinação das técnicas anteriores para melhorar o erro de regime permanente e a resposta transitória de forma independente.

Método

1) Primeiro, melhorar a resposta transitória com as técnicas de - Controle PD

- Compensação por avanço de fase

2) Depois, melhorar erro de regime permanente com as técnicas de: - Controle PI

- Compensação por atraso de fase

Desvantagem

Pequena redução na velocidade da resposta quando o erro de regime permanente é melhorado

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9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta

Transitória

É possível seguir outra sequência de projeto, corrigindo primeiro o erro e depois a resposta transitória, as consequências podem ser:

- Correção da resposta transitória pode degradar a correção do erro.

- Melhoria na resposta transitória resulta em melhoria adicional na correção do erro provocando superdimensionamento do sistema de controle (projeto em excesso)

 Normalmente não é um problema para o funcionamento  Pode afetar o custo ou gerar outros problemas de projeto.

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9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta

Transitória

Projeto do Controlador PID

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9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta

Transitória

- Possui 2 zeros e um polo na origem

- 1 zero e 1 polo na origem  Podem ser projetados como controlador PI - Outro zero  Pode ser projetado como controlador PD

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9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta

Transitória

8 Passos da Técnica de Projeto

1. Avalie o desempenho do sistema sem compensação para determinar quanta melhoria na resposta transitória é requerida.

2. Projete o controlador PD para atender às especificações de resposta transitória. O projeto inclui a posição do zero e o ganho de malha.

3. Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos. 4. Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos. 5. Projete o controlador PI para resultar no erro em regime permanente desejado 6. Determine os ganhos K1, K2 e K3.

7. Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos. 8. Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos.

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Projeto do Controlador PID

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Projeto do Controlador PID

Passo 1 Avaliar o sistema sem

compensação operando com 20% de ultrapassagem.

• %UP=20%  𝜁 = 0.456

• Polos dominantes em −5.415 ± 𝑗10.57 com ganho de 121.5

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Projeto do Controlador PID

Passo 1 Avaliar o sistema sem compensação

operando com 20% de ultrapassagem.

Previsão de resultados

Curva simulada

Reduzir para zero OK

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Projeto do Controlador PID

Passo 2 Determinar a posição dos polos

dominantes para o sistema

compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação

Reduzir para 2/3 deste valor

Parte imaginária do polo dominante:

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Projeto do Controlador PID

compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação

Parte imaginária do polo dominante:

Parte real do polo dominante:

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Projeto do Controlador PID

compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação.

Projetar o compensador calculando a posição do zero de compensação.

x

j15,87 𝜃₁ 𝜃₂ 𝜃₃ 𝜃₄ 𝜃₃ − 𝜃₁ − 𝜃₂ − 𝜃₄ = −198.37° Contribuição requerida: 198.37° − 180° = 18.37°

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Projeto do Controlador PID

Passo 2 Projetar o compensador calculando a

posição do zero de compensação.

x

j15,87 Contribuição requerida: 198.37° − 180° = 18.37° 𝜃_𝑐 = 18.37° -8.13 Controlador PD:

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Projeto do Controlador PID

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Projeto do

Controlador PID

OK

Reduzir para 2/3 deste valor: OK

Simulamos o sistema compensado com PD e observamos a redução do instante de pico e a melhoria no erro em regime permanente em relação ao sistema sem compensação.

Passos 3 e 4

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Projeto do Controlador PID

Passos 5 Projetar o controlador PI para reduzir o erro em regime permanente para zero quando a entrada é um degrau.

Posicionar o zero próximo da origem:

- Esboçar o lugar geométrico das raízes para o sistema compensado com PID

- Procurar na reta de fator de amortecimento de 0.456 os polos dominantes e seu ganho associdado.

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Projeto do Controlador PID

Passos 5 Projetar o controlador PI para reduzir o erro em regime permanente para zero quando a entrada é um degrau.

Polos: 7,516 ± 𝑗14.67 Ganho: 4.6

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OK

Reduzir para 2/3 deste valor: degradou um pouco

Reduziu para zero Previsão de resultados, é preciso simular

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Projeto do Controlador PID

Passos 6 Agora determinamos os ganhos K1, K2 e K3

Controlador PD

Controlador PI

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Projeto do Controlador PID

Passos 7 e 8 Simulando a curva e verificando resultados no tempo • A compensação PD melhorou a resposta

transitória, reduzindo o tempo necessário para alcançar o primeiro pico e também resultou em alguma melhoria no erro em regime permanente.

• O controlador PID completo melhorou ainda mais o erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitória projetada com o controlador PD.

• Controlador PID apresenta uma resposta mais lenta.

Caso isso seja indesejável, a velocidade do sistema deve ser aumentada projetando-se novamente o compensador derivativo ideal ou movendo-se o zero do controlador PI para mais longe da origem.

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Projeto do Controlador PID

Passos 7 e 8 Simulando a curva e verificando resultados no tempo • A compensação PD melhorou a resposta

transitória, reduzindo o tempo necessário para alcançar o primeiro pico e também resultou em alguma melhoria no erro em regime permanente.

• O controlador PID completo melhorou ainda mais o erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitória projetada com o controlador PD.

• Controlador PID apresenta uma resposta mais lenta.

Caso isso seja indesejável, a velocidade do sistema deve ser aumentada projetando-se novamente o compensador derivativo ideal ou movendo-se o zero do controlador PI para mais longe da origem.

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9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta

Transitória

Função de transferência