ESCOAMENTOS EXTERNOS
Como vimos é difícil resolver as equações de conservação completas. Ao introduzirmos simplificações como a de escoamento hidrodinâmicamente e térmicamente desenvolvido em geometrias simples, a solução fica simplificada. No entanto, a condição de escoamento desenvolvido não existe para escoamentos externos. Precisamos fazer outro tipo de
simplificação.
Prandtl, em 1904, propôs dividir o escoamento em duas regiões: uma região afetada pela viscosidade próxima a superfície sólida e outra região onde os efeitos viscosos são desprezíveis e portanto a equação de Euler pode ser aplicada, derivando então o conceito da camada limite e as equações de conservação correspondentes.
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2
Camada Limite
• Analisando escoamentos externos, observa-se gradientes acentuados de velocidade, somente em uma região muito próxima as superfícies sólidas. Esta região é chamada de região da camada limite. Fora dessa região, pode-se aplicar a equação de Euler. Camada Limite
U
laminar transição turbulento
x y xc L
= espessura da camada limite, região próxima à superfície sólida, onde
a velocidade varia de zero a 0,99 U
T = espessura da camada limite térmica, região próxima à superfície
sólida, onde a temperatura varia de zero a 0,99 (Tw-T)
M= espessura da camada limite de difusão de massa, região
próxima à superfície sólida, onde a fração em massa varia de zero a 0,99 (ww-w)
3
Como o regime de escoamento varia
ao longo da superfície. define-se
então
número de Reynolds local:
Camada Limite
U
laminar transição turbulento
x y xc L
O número de Reynolds reinante na coordenada onde ocorre a transição de regime laminar para turbulento é chamado de número de Reynolds crítico:
Se Rex Rec regime laminar Se Rex> Rec regime turbulento
Como já visto, em geral, considera-se o número de Reynolds crítico como
Rec = 5 x 105
U x xRe
U
x
cc
Re
Angela Nieckele – PUC-Rio Angela Nieckele – PUC-Rio
EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE
Em 1904, Prandtl simplificou as equações de Navier-Stokes, através
de uma análise de ordem de grandeza, derivando as equações da
camada limite
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes e constantes
3. Regime laminar 4. Regime permanente / t=0 5. Bi-dimensional w=0 ; / z=0 6. < < L 4
Vamos fazer uma análise de ordem de grandeza. Para isso vamos
adimensionalisar as equações de conservação: Sabemos que a ordem
de grandeza de:
u é U
x é L
y é
Adimensionalização
50
div
(
u
)
t
0
cte
V
0
zeroz
w
y
v
x
u
U u u* U v v* L x X L y Y 2 U p P
Continuidade
0
Y
v
L
U
X
u
L
U
* *0
Y
v
X
u
*
*
0
1
1
)
/
(
)
(
)
(
)
(
*
L
v
(
v
*
)
V
(
/
L
)
U
L
V
adimensionalisando: logo v <<< uAngela Nieckele – PUC-Rio Angela Nieckele – PUC-Rio
6
Quantidade de Movimento Linear (Navier-Stokes)
u
p
g
t
D
u
D
2
) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 5 5 2 2 2 2 2 2 zero z u y u x u x zero z u y u x u zero t u x p g w v u
Direção x
g
p
u
u
u
I
t
D
u
D
T
div
]
)
grad
(
grad
[
div
grad
3
2
Propriedades constantes: adimensionalisando: 2 2 2 2 2 2 Y u X u x Y u X u L U X p L U g v u L U U
* * * * * * *
2 2 2 21
Y
u
X
u
x
Y
u
X
u
X
p
g
v
u
* * * *Re
*
*
*
*
Fr
*g
g
g
U
L
Re
L
g
U
2
Fr
7
grande L l desprezíveL
L
L
)
/
(
)
(
)
(
)
(
Re
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
(
2 21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 2 2 2 y x 0 x2 2 )
(
)
/
(
)
(
Re
1
1
1
2 2
L
)
/
(
Re
2 21
L
1 21
/Re
L
analisando a ordem de grandeza de cada termo da equação
Concluímos que
2 2 2 21
Y
u
X
u
x
Y
u
X
u
X
p
g
v
u
* * * *Re
*
*
*
*
Variação da espessura ao longo da superfície como esperado: x0,5Angela Nieckele – PUC-Rio Angela Nieckele – PUC-Rio
Quantidade de Movimento – direção y:
analisando a ordem de grandeza de cada termo da equação
] ) / ( ) / ( ) ( ) / ( [ Re ) / ( ) ( ) ( ) / ( ) / ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( * grande L l desprezíve L L L L p L L L L 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 y x x2 0 2 Analisando a equação acima, pode-se
concluir novamente que
8
2 2 2 21
Y v X v y Y v X vY
p
g
v
u
* * * *Re
* * * *Observa-se também que os termos convectivos e viscosos da equação y são muito menores do que estes termos da equação x, isto é,
[eq (vy)] [/ L ] [eq(vx)] isto é eq v < < eq u e * 0
* y g Y p
pressão só varia devido ao peso da coluna de fluido, pode-se então introduzir a seguinte aproximação
isto é max y C y g p g y p onde
)
(
p
zero y p L Y p
* ) / ( Re 2 2 1 L 9 Px Px+dx U Px Px+dx Camada limite Fora da camada limite, 0
CL fora CL dentro x p x p
Fora da camada limite, a equação de Bernoulli (para fluidos não viscosos) é válida
cte 2 U p 2 logo x d U d U x p
Esta conclusão é muito conveniente, pois se a pressão não varia com y, então para uma determinada coordenada x, a pressão dentro da camada limite é igual a pressão fora da camada limite.
Px
Px+dx
U
Px Px+dx
Camada limite Fora da camada limite, 0
CL fora CL dentro x p x p
Fora da camada limite, a equação de Bernoulli (para fluidos não viscosos) é válida
cte 2 U p 2 logo x d U d U x p
Angela Nieckele – PUC-Rio Angela Nieckele – PUC-Rio
Equações da Camada Limite
10
0
y
v
x
u
2
2
y
u
y
u
x
u
x
p
1
v
u
x
d
U
d
U
x
p
1
11
t
D
p
D
T
T
k
q
t
D
T
D
c
p
div
grad
)
(
)
)
(
(
)
(
) ( ) ( ) ( ) ( ) (
5 4 2 2 2 2 2 2 7 5 45
zero zero zero zero zero pz
p
w
y
p
v
x
p
u
t
p
T
zero
z
T
y
T
x
T
k
q
z
T
w
y
T
v
x
T
u
t
T
c
A mesma análise de ordem de grandeza deve ser aplicada a
equação da energia para a camada limite térmica.
•equação da energia
Aplicando as hipóteses apresentadas, temos
2 5 0 2 0 0 2 2 0 5 2 22
[
]
(
)
(
)
) ( ) ( zero w zero w zero v zero w zeroz
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
Angela Nieckele – PUC-Rio 12 ref ref
T
T
T
* * * * * * *
2 2 2 2 2 2 2 2L
U
v
u
U
U
T
L
T
k
v
u
T
L
U
c
Y p X p L Y X ref Y X ref p
*
Re
E
*
*
*
*
E
Pr
Re
*
*
Y
p
v
X
p
u
T
Y
X
Y
v
X
u
2
2
2
2
1
ref p T c U 2 E 2 2 22
X
v
Y
u
Y
v
X
u
* * * * *
Adimensionalisando a temperatura com
𝐏𝐫 = 𝜇 𝑐𝑝 𝑘 = 𝜇 /𝜌 𝑘/(𝜌 𝑐𝑝) = 𝜐 𝛼
)
/
(
Re
2
2
1
L
)
/
(
)
(
E
)
/
(
)
/
(
)
/
(
)
(
)
(
E
]
)
/
(
)
(
)
(
)
(
[
Pr
)
/
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
(
2 2 2 2 2 2 2 21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
L
L
L
L
T
L
L
L
L
L l desprezíve T L l desprezíve T T
Analisando a ordem de grandeza da
equação da energia, lembrando que
*
Re
E
*
*
*
*
E
Pr
Re
*
*
Y
p
v
X
p
u
T
Y
X
Y
v
X
u
2
2
2
2
1
Φ∗ = 2 𝜗 (1) 𝜗 (1) 2 + 𝜗 (𝛿/𝐿) 𝜗 (𝛿/𝐿) 2 + 𝜗 (1) 𝜗 (𝛿/𝐿) + 𝜗 (𝛿/𝐿) 𝜗 (1) 2 2 2 2 2 X v Y u Y v X u* * * * * Angela Nieckele – PUC-Rio
)
(
E
)]
(
)
(
[
E
Pr
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
2 2
cte U se zero T TT
L
L
• Podemos concluir que a dissipação viscosa será importante se E (1)
• Para uma placa plana, o trabalho compressível só será importante se T E 1/(2/L2)
• A difusão deve ser da mesma ordem que a convecção, que é (1) , logo
2
2
T
Pr
15
2
2
2
1
Y
u
X
p
u
T
Y
Y
v
X
u
*
Re
E
*
*
E
Pr
Re
*
*
*
*
*
*
*
*
Sc
Re
r
v
u
Y
Y
X
2
2
1
A equação de conservação de energia para a
camada limite toma então a seguinte forma
Procedendo da mesma forma com a equação de difusão de massa de
uma espécie, obtemos
Angela Nieckele – PUC-Rio
16
Equações da Camada Limite
0
y
v
x
u
2
2
1
y
u
y
u
x
u
x
p
v
u
x
d
U
d
U
x
p
1
x
p
u
T
y
u
v
u
c
y
T
y
T
x
T
p
2
2
2
a
y
ab
y
x
v
D
r
u
a
a
a
2
2
17 0 x d U d U x p
0
y
v
x
u
2 2y
u
y
u
x
u
v
u
u u x U=cte yEquações da Camada Limite para Placa Plana
(Solução de Blasius)
Solução de Similaridade – Distribuição de Velocidade
Apesar da grande simplificação obtida, ainda temos algumas dificuldades para resolver estas equações.
A solução das equações da camada limite pode ser obtida
através da integração das equações de conservação na região
da camada limite.
Condições de contorno:
1) y=0; u =0 para x 0 2) y=0; v =0 para x 0 3) y ∞; u U∞ para x 0 4) x =0; u =U∞ para y > 0
Angela Nieckele – PUC-Rio Angela Nieckele – PUC-Rio
18
Inicialmente a função corrente é introduzida para satisfazer
automaticamente a equação da continuidade
x v y u
;
Uma grande vantagem do uso da função corrente consiste em
simplificar a solução do problema, transformando o conjunto de 2
equações diferenciais parciais por uma única equação diferencial
parcial.
Função Corrente para
Escoamento Incompressível
Bi-dimensional
0
y
v
x
u
continuidade0
x
y
y
x
Substituindo, observa-se que pra funções continuamente
diferenciáveis, a equação estará sempre satisfeita.
19
A equação de quantidade de movimento pode ser rescrita como
3
3
2
2
2
y
y
x
y
x
y
Condições de contorno:1) y=0; u =/ y=0 para x 0 2) y=0; v =-/ x=0 para x 0 3) y ∞; u =/ y U∞ para x 0 4) x =0; u =/ y= U∞ para y > 0 2 2
y
u
y
u
x
u
v
u
Observa-se que o perfil de velocidade é similar, isto é, o perfil de velocidade
adimensional é o mesmo em qualquer coordenada x. y função U u x x Re
y x x y Re
U x y 2 1/ Vimos queAngela Nieckele – PUC-Rio Angela Nieckele – PUC-Rio
20
Uma vez que o perfil de velocidade é similar, i.e., a velocidade
adimensional, só depende da distância adimensional, pode-se buscar uma adimensionalização para a função de corrente de forma a transformar a equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária.
Adimensionalização a função de corrente
x U f
) (
U
x
y
x
y
x 1/2Re
f
Re
x
f
U
x
f
y
y
u
x x x
Re
Re
d f d f U d f d f x x x x v x x x Re Re 2 2Rescrevendo a equação em função de f e
f f
U v x ' Re / 2
1f
U
u
x U f x f U y y y y y u Rex Rex 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x U f x x U f y y y y y u y y u Rex Rex Rex 2 2 2 3 2 2 1 f x U U x y U f U f x x y y x y x x u x x / 2 2 y u y u x u
v
u
2 2 2 x U f x U f f f U f U f x U / Rex ' Rex Rex 0
2
1
f
f
f
As condições de contorno são
1. = 0 f = f ‘ = 0 (y=0 u = v = 0)
2. f ‘ 1 ( y = f ‘ 0,99 )
Angela Nieckele – PUC-Rio
22
As condições de contorno para a equação (*) são
1.
= 0
f = f
‘= 0
2. f ‘ 1 ( y = f ‘ 0,99 ) 0 2 1 2 2 3 3 d f d f d f dA equação pode ser resolvida por um método numérico de integração de
equações diferenciais ordinárias, como por exemplo, o método de
Runge-Kutta.
O método de Runge-Kutta é um método de integração de equações
diferenciais ordinárias de 1a. ordem, com condições iniciais.
No entanto, toda equação diferencial ordinária de ordem n pode ser
transformada em um sistema de n equações diferenciais ordinárias de 1a.
ordem.
23
As condições de contorno para a equação (*) são
1.
= 0
f = f
‘= 0
2. f ‘ 1 ( y = f ‘ 0,99 )
Solução da equação da camada limite hidrodinâmica pelo método de Runge-Kutta 0 2 1 2 2 3 3
d f d f d f dA equação de 3a. ordem pode ser substituída por um sistema de 3 equações de 1ª. ordem acoplado Definição: 2 2
;
d
f
d
d
z
d
w
d
f
d
z
0
2
1
f
w
d
dw
então Condições de contorno: = 0 f = z = 0 2) z 1;
;
w
d
z
d
z
d
f
d
d
f
w
dw
2
1
Angela Nieckele – PUC-Rio
24 h é o valor desejado w(0), F = z(∞) é o valor obtido no infinito após a
solução da equação da CL.
A variável deverá ser incrementada, e para cada nova coordenada, valores de f, f’ e f” serão obtidos.
w d z d z z w w k k k ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( 1 1 1 w d k dw w z k w z w d z d () () (0) ()[ (0) ] onde Condições de contorno: = 0 f = z = 0 2) z 1
É preciso, conhecer as condições iniciais de f, z e w.
Deve determinar w(0) tal que z(∞)=1.
Para isso pode usar o método de Newton Raphson
zero h d F d dh h d F d dh h d F d dh h h F Fk k k k ... ! ) ( 3 3 3 2 2 2 1 1 3 2 dF dh F F h h k desejada funcao k k k / 1 1
25
Programa no MatLab para sistema de equações de primeira ordem, juntamente com o método de Newton Raphson
% Solucao da Camada Limite Hidrodinamica clc; clear all; intervalo=[0 8]; dw=0.0001; f0=0; z0=0.; w01=0.3; zinf=1.; for k=1:20 inicio=[f0 z0 w01]; [eta,y]=ode45('eqCamLimite',intervalo,inicio); eta_fim=size(eta,1); zinf1=y(eta_fim,2); w02=w01+dw; inicio=[f0 z0 w02]; [eta,y]=ode45('eqCamLimite',intervalo,inicio); zinf2=y(eta_fim,2); dzinfdw=(zinf2-zinf1)/dw; w01=w01-((zinf2-zinf)/dzinfdw) end function yprime=EqCamLimite(eta,y) yprime=[y(2) y(3) -0.5*y(1)*y(3)]';
Angela Nieckele – PUC-Rio 26 Atrito=w01 y figure(1) plot(eta,y(:,2)); title('u/uinf '); xlabel('eta=y sqrt(Re_x)/x'); ylabel('u/uinf=f_{prime}'); for i=1:1:size(eta,1) v_adim(i)=0.5*(eta(i)*y(i,2)-y(i,1)); end figure(2) plot(eta,v_adim); title('v* sqrt(Re_x)/U_inf)'); xlabel('eta=y sqrt(Re_x)/x'); ylabel('v* sqrt(Re_x)/U_inf)=0.5*(eta*f-f_{prime})');
Angela Nieckele – PUC-Rio
28
Note que f’ corresponde a velocidade axial adimensional.
Observa-se excelente concordância com dados experimentais para uma grande faixa de número de Reynolds
Outros resultados importantes a serem obtidos da tabela, são: tensão cisalhante na parede e determinação da espessura da camada limite.
29
x
Espessura da Camada Limite
A espessura da camada limite é definida como a coordenada y onde u = 0,99 U .
Pela tabela vemos que f’= u/U=0,99 quando = 5 , logo sabendo que
x Re x y Rex x 5 x Re x 5 x0,5
U x xRe
29Angela Nieckele – PUC-Rio
30
A figura ilustra o perfil dos componentes u e v adimensionais em função de ' f U u f f U v x ' Re / 2 1 x x y Re
Note que existe fluxo de massa através da linha que delimita a região da camada limite, o componente vertical da velocidade em y = é
= 5,0 f’= 0,9915 e f = 3,2833 0,837 Re / x U v
31
Para água [=1000 kg/m3; =0.001 kg/(ms)] com velocidade Uo= 1 cm/s
x=0,1 m ; Rex=103 ; = 1,58 cm x=1 m ; Rex=104= 5 cm 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 u/Uo 0.0 0.5 1.0 1.5 y /d e lt a
1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1
v/Uo 0.0 0.5 1.0 1.5 y /d e lt a água, Uo=1cm/s x=0.1 m x=1.0 m 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 u/Uo 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 y 1 cm
1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1
v/Uo 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 y 1 cm
Angela Nieckele – PUC-Rio
32
x
Tensão Cisalhante ao Longo da Placa
A tensão cisalhante na superfície é definida como
0 y s y u ) x (
em termos nas novas coordenadas, podemos rescrever a tensão como
332 , 0 0 2 2 2 / 1 2 0 ' x s d f d x U U d f d Re / x U ) x ( x 2 s 664 0 2 U x Re , ) ( 1/ 2 x x
Tensão Cisalhante ao Longo da Placa
A tensão cisalhante na superfície é definida como
0 y s y u ) x (
em termos nas novas coordenadas, podemos rescrever a tensão como
332 , 0 0 2 2 2 / 1 2 0 ' x s d f d x U U d f d Re / x U ) x ( x 2 s 664 0 2 U x Re , ) ( x1/ 2
Coeficiente de Atrito Local: tensão cisalhante adimensional
2 s U 2 1 x x Cf ( ) ) (
Para placa plana no regime laminar (Rex Rec)
x Re 664 , 0 ) x ( Cf
Angela Nieckele – PUC-Rio
33
Força total na placa F s As
s(x) d AsA tensão média é
s ss
s (x) d A
A 1
podendo ser obtida a partir do
coeficiente local de atrito
2 ss s U d A 2 1 ) x ( Cf A 1 para U=constante
s s 2 s Cf(x)d A A 1 U 2 1
s s L s s 2 s Cf(x)d A A 1 Cf A d ) x ( Cf A 1 U 2 1 2 s L U 2 1 Cf é o Coeficiente de Atrito Médio
Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento
de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é
1 Cf(x) d A 1 L 0,664 b d x
Cf CfL 1,328
Força total na placa F s As
s(x) d As A tensão média é
s ss
s (x) d A
A 1
podendo ser obtida a partir do
coeficiente local de atrito
2 ss s U d A 2 1 ) x ( Cf A 1 para U=constante
s s 2 s Cf(x)d A A 1 U 2 1
s s L s s 2 s Cf(x)d A A 1 Cf A d ) x ( Cf A 1 U 2 1 2 s L U 2 1 Cf é o Coeficiente de Atrito Médio
Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento
de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é
L 0 x s s L b d x Re 664 , 0 L b 1 A d ) x ( Cf A 1 Cf L L Re 328 , 1 Cf Força total na placa F s As
s(x) d AsA tensão média é
s ss
s (x) d A
A 1
podendo ser obtida a partir do
coeficiente local de atrito
2 ss s U d A 2 1 ) x ( Cf A 1 para U=constante
s s 2 s Cf(x)d A A 1 U 2 1
s s L s s 2 s Cf(x)d A A 1 Cf A d ) x ( Cf A 1 U 2 1 2 s L U 2 1 Cf é o Coeficiente de Atrito Médio
Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento
de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é
L 0 x s s L b d x Re 664 , 0 L b 1 A d ) x ( Cf A 1 Cf L L Re 328 , 1 Cf Angela Nieckele – PUC-Rio 34
x
p
u
T
y
u
v
u
c
y
T
y
T
x
T
p
2
2
2
0
x
P
2
2
y
T
y
T
x
T
p
u
v
c
2
2
y
y
x
v
u
Pr
s
s
T
T
T
T
Distribuição de Temperatura
A equação da camada limite neste caso é
Com as seguintes condições de contorno:
1.
y=0 T = T
s3) y=
T=T
(y=
TT=T
)
2.
x = 0 T=T
desprezando a dissipação viscosa
Para placa plana
35 0
y sy
u
x
(
)
0
y sy
T
k
x
q
(
)
0
y sy
U
u
U
x
)
/
(
0 0
y y s s s sy
y
T
T
T
T
T
T
k
x
q
(
)
/(
)
)
(
)
(
Note que
• esta equação é análoga a equação que vimos de conservação de
quantidade de movimento linear para a camada limite para u/U
.
• as condições de contorno são as mesmas que para u/U
.
• a equação diferencial é idêntica se Pr = 1.
• Para Pr =1, espera-se que o arraste e a transferência de calor
também sejam diretamente relacionados.
U x s ( ) ) ( ) ( T T k x q s s
Se Pr =1, as duas derivadas
na parede são iguais
Angela Nieckele – PUC-Rio 36 ) ( ) ( / ) ( T T k T T h U x Cf U s s 2 2 / ) ( x U k x h x Cf 1 2 k x h x Nu x x
x
Cf
Re
Nu
)
(
2
ou
definindo o número de Nusselt local como
esta relação entre o coeficiente de atrito e o número de
Nusselt é a
analogia de Reynolds.
37
Se Pr 1 é necessário introduzir uma correção na analogia de Reynolds.
Vamos então analisar a equação da energia para camada limite em detalhes. Lembrando que ' f U u
f f
U v x ' Re / 2
1 x x y Re
x y y x Re
x x x 2 2 2 2 2 2 x y x y y y x x Re Re podemos rescrever a equação da energia
2 2 y y x v u
Pr Angela Nieckele – PUC-Rio 38
22 2 2 2 f f x x U x U f x x v x u Re Pr Re Re / ' 2 2 2 2 1 2 2 f U x x zero x U f x U f Rex Pr x x Re Pr 2 2 2 2 2 1 x U x x U f Pr 0 2 2 2
d d f d d Pr como multiplicando por obtemosC.C. 1)
e
2
1
2 2 y y x v u
Pr 39
pode ser rescrita, usando
0
2
f
d
d
Pr
f
d
0
2
0
)
exp
Pr
(
)
(
f
d
d
zero
0
0
2
0
0
)
(
)
exp
Pr
(
)
(
integrando novamente, obtemos e integrada resultando na seguinte solução 0 2 2 2
d d f d d Pr
d
f
d
2
Pr
Angela Nieckele – PUC-Rio 40
0
2
1
f
f
f
f
f
f
2
)
(
ln
0
2
0
0
f
f
d
f
f
d
f
f
d
f
d
0
0
0
332
0
332
0
0
Pr
,
)
(
)
,
ln(
Pr
exp
)
(
)
(
)
(0
1
)
(
A equação da camada limite hidrodinâmica é
substituindo, temos
Para determinar , podemos utilizar a condição de contorno que
41
d
f
00
332
1
0
Pr,
)
(
d f d f d d f d d f 0 0 0 0 0 0 332 0 332 0 Pr Pr , , Pr exp Pr exp d f d f d f 0 0 332 0 332 0 332 0 Pr Pr Pr , , , d f d f 0 0 332 332 0 1 Pr Pr , , substituindo tem-seAngela Nieckele – PUC-Rio
43
d f 0 0 332 0 1 0 Pr , ) (k
h
T
T
k
T
T
h
T
T
k
x
q
s s s s
(
)
)
(
)
(
)
(
x
U
k
h
0 depende de Pr, pois Temos queNote que na borda de ataque, o coeficiente de transferência de calor é infinito, da mesma forma que o arraste, o que é um resultado irreal. Na borda de ataque, as aproximações da camada limite perdem a validade.
)
(x
Angela Nieckele – PUC-Rio 44 k x h x Nu 0 x x Re Nu
O número de Nusselt local é
Temos então que
45
2
7
1
2 1)
(
,
Pr
Re
Nu
/x
Cf
x x
2
3
1
)
(
Pr
Re
Nu
/
x
Cf
x
x
2
021
1
3 1)
(
,
Pr
Re
Nu
/x
Cf
x x
x x Cf Re , ) ( 0 664A partir dos dados acima, pode-se obter a correção na analogia de Reynolds para Pr 1
Pr 0,05
0,6 Pr 10
Pr > 10
Angela Nieckele – PUC-Rio 46
h
L y s s b dx y T k T T b L h Q 0 0 ) ( x U k h 0 L h L U k h 2 2 0 2 1
/Freqüentemente é útil determinar o coeficiente de transferência de calor médio
o qual deve ser obtido a partir do fluxo de calor total na parede
onde b é a largura da parede. Rearranjando
0 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1
/ / / / L U L k dx x U L k h L x47 2 7 1 2 1 L L L Cf , Pr Re Nu / 2 3 1 L L L Cf / Pr Re Nu L L Cf Re ,328 1 2 021 1 3 1 L L L Cf , Pr Re Nu /
O coeficiente de transferência de calor médio entre a borda de ataque e um coordenada x é igual a duas vezes o coeficiente de transferência local, nesta coordenada, da mesma forma que o coeficiente de arraste médio é o dobro do coeficiente de atrito local, portanto temos relações análogas entre os coeficientes médios e locais
Pr 0,05
0,6 Pr 10
Angela Nieckele – PUC-Rio 48
k
L
h
L
Nu
)
(
T
T
q
h
s s s s sA
Q
q
22
1
U
Cf
L s
s sA
F
k
x
h
x
Nu
22
1
U
x
x
Cf
s
(
)
)
(
L x Ldx
L
01
Nu
Nu
L L L Cf x dx Cf 0 1 ) (49
As equações da camada limite para este caso são:
Efeitos de Dissipação Viscosa na Distribuição de Temperatura
Solução de Similaridade para o Escoamento sobre uma Placa Plana
Com as condições de contorno:
1) y=0 u=0, v= 0 3) y = 0 T = Ts ou T/y=0
2) y u =U 4) y T =T
