Pró-Reitoria de Graduação Curso de Licenciatura em Matemática Trabalho de Conclusão de Curso FRAÇÕES CONTÍNUAS E SUAS APLICAÇÕES

Pró-Reitoria de Graduação

Curso de Licenciatura em Matemática

Trabalho de Conclusão de Curso

FRAÇÕES CONTÍNUAS E SUAS APLICAÇÕES

Autor: Guilherme Ferrarezi Vilela de Souza

Orientador: Prof. Dr. Haendel Ferreira Lins

Brasília - DF

2012

GUILHERME FERRAREZI VILELA DE SOUZA

FRAÇÕES CONTÍNUAS E SUAS APLICAÇÕES

Artigo apresentado ao curso de graduação em Matemática da Universidade Católica de Brasília, como requisito parcial para obtenção do Título de Licenciado em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Haendel Ferreira Lins

Brasília 2012

Artigo de autoria de Guilherme Ferrarezi Vilela de Souza, intitulado “FRAÇÕES CONTÍNUAS E SUAS APLICAÇÕES”, apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática da Universidade Católica de Brasília, em (29 de novembro de 2012), defendido e aprovado pela banca examinadora abaixo assinada:

______________________________ Prof. Dr. Haendel Ferreira Lins

Orientador Matemática – UCB

__________________________________ Prof. Msc. Sinval Braga de Freitas

Matemática - UCB

____________________________ Prof. Msc. Vilmondes Rocha

Matemática – UCB

Brasília 2012

FRAÇÕES CONTÍNUAS E SUAS APLICAÇÕES

GUILHERME FERRAREZI VILELA DE SOUZA

Resumo:

Este artigo demonstra como representar Números Racionais em Frações Contínuas finitas e Números e Irracionais em Frações Contínuas infinitas que se aproximam do número irracional calculado quanto se queira. E, como essas Frações podem ter aplicações através de exemplos. Palavras-chave: Frações Contínuas. Teoria dos Números. Aplicações.

1. INTRODUÇÃO

Um número real pode ser representado de mais de uma maneira, como no exemplo a seguir: 4 37 25 , 9 =

A fração contínua é mais uma maneira de se representar um número real e será

demonstrado nesse artigo um método para se converter uma fração (número racional) em uma fração contínua utilizando o máximo divisor comum entre o numerador e o denominador:

0 e , onde , p q∈Ζ q≠ q p

Com isso temos as seguintes situações, em que será apresentada a maneira como representá-las em frações contínuas:

0 ) (i p>q> q p ii)0< < ( q p iii) <0< (

E a fração contínua desse número será expressa da seguinte maneira:

O 1 1 1 1 4 3 2 1 + + + + = a a a a q p A fração contínua q p é denotada por

[

a₁,a₂,a₃,...

]

. (2) (1) (3)

2. ASPECTOS HISTÓRICOS

A origem das Frações Contínuas é tradicionalmente atribuída ao desenvolvimento do algoritmo de Euclides, que é usado para encontrar o máximo divisor comum (mdc) entre dois números, mas se manipulado algebricamente, obtém-se uma fração contínua simples de um número racional da forma:

q p

Rafael Bombelli (1526-1572) e Pietro Cataldi (1548-1626) contribuíram para a este campo fornecendo mais exemplos de representações de frações contínuas. Bombelli expressou 13 como fração contínua:

5 18 6 4 6 4 3 13 = + + ≈

Cataldi expressou 18 como fração contínua:

O + + + + = 8 2 8 2 8 2 4 18

John Wallis (1616-1703), em seu livro “Arithmetica Infinitorium” (1655), fez com

que as frações contínuas se tornassem um campo de estudos, e ele desenvolveu e apresentou a identidade: K K 8 8 6 6 4 4 2 9 7 7 5 5 3 3 4 × × × × × × × × × × × × = π

Lord Brouncker (1620-1684) desenvolveu essa identidade e a transformou em:

O + + + + + + = 2 9 2 7 2 5 2 3 2 1 1 4 2 2 2 2 2

π

Wallis, dando continuidade ao que Brouncker desenvolveu, através de seu livro

“Opera mathematica” colocou alguns dos fundamentos básicos das frações contínuas.

Demonstrou como calcular o n-ésimo convergente (conceito a ser definido posteriormente) e descobriu algumas propriedades dos convergentes, sendo que em seu trabalho se utilizou pela primeira vez o termo frações contínuas.

O holandês Chistiaan Huygens (1629-1695) escreveu um artigo explicando como usar os convergentes de uma fração contínua para se encontrar as melhores aproximações racionais para as relações entre as engrenagens, objetivando encontrar o número correto de dentes da engrenagem.

Leonard Euler (1707-1783) em seu trabalho “De Fractionlous Continious” mostrou

que todo número racional pode ser escrito como uma fração contínua simples finita e também encontrou a fração contínua do número e.

O + + + + + + + = 1 1 4 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 e

Heinrich Lambert (1728-1777) mostrou em 1766 que

O + + + + = + − x x x x e e x x 14 1 10 1 6 1 2 1 1 1

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) utilizou frações contínuas para calcular o valor de raízes irracionais e demonstrou que os números quadráticos irracionais são dados por uma fração contínua periódica.

Podemos observar através do aspecto histórico que a construção desse assunto teve a contribuição de vários matemáticos e teve uma importância significativa em conectar os números racionais com os irracionais, uma vez que possibilitou escrever os números irracionais através de uma fração contínua infinita.

3. FRAÇÕES CONTÍNUAS FINITAS

Os números racionais podem ser escritos através de Frações Contínuas finitas como veremos a seguir:

3.1 FRAÇÕES COM O NUMERADOR MAIOR QUE O DENOMINADOR

Na fração

q p

, tem-se p>q>0. Tome-se como exemplo a fração:

24 83

Encontrando o máximo divisor comum de 83 e 24 por divisões sucessivas, tem-se: I. 83=(24×3)+11

II. 24=(11×2)+2 III. 11=(2×5)+1 IV. 2=(1×2)+0

Daí por frações contínuas pode-se representá-la da seguinte maneira:

2 1 5 1 2 1 3 2 11 1 2 1 3 11 2 2 1 3 11 24 1 3 24 11 3 24 83 + + + = + + = + + = + = + = A representação de 24 83

em fração contínua é dada por [3,2,5,2].

3.2 FRAÇÕES COM O DENOMINADOR MAIOR QUE O NUMERADOR.

Na fração

q p

, tem-se 0< p<q. Tome-se como exemplo a fração:

97 23

Por divisões sucessivas encontra-se o máximo divisor comum dessa fração: I. 23=(0×97)+23 II. 97=(4×23)+5 III. 23=(4×5)+3 IV. 5=(1×3)+2 V. 3=(1×2)+1 VI. 2=(2×1)+0

Com isso para se representar uma fração contínua onde o denominador é maior que o numerador o termo a₁ é igual à zero, e pelo exemplo

97 23 é da seguinte maneira: = + + + = + + + = + + = + = 3 5 1 4 1 4 1 0 5 3 4 1 4 1 0 23 5 4 1 0 23 97 1 0 97 23

2 1 1 1 1 1 4 1 4 1 0 2 3 1 1 1 4 1 4 1 0 3 2 1 1 4 1 4 1 0 + + + + + = + + + + = + + + + = A representação de 97 23

em fração contínua é dada por [0,4,4,1,1,2].

3.3 FRAÇÕES CONTÍNUAS NEGATIVAS

Na fração

q p

, tem-se p<0<q. Tome-se como exemplo a fração:

11 43

−

Por divisões sucessivas essa fração fica representada da seguinte forma: I. −43=[(−4)×11]+1

II. 11=(1×11)+0

Com isso para se representar a fração contínua desse número o termo a₁ é negativo e ela é representada da seguinte maneira:

11 1 4 11 43 _{=− +} − A representação de 11 43

− em fração contínua é dada por [-4,11].

4. FRAÇÕES CONTÍNUAS INFINITAS

Os números irracionais podem ser expressos por Frações Contínuas infinitas, por aproximações sucessivas o tanto quanto se queira calcular.

Definição:

 

x =nse n≤x<n+1 (n∈Ζ). Tome-se o seguinte exemplo:

Fórmulas:

 

α α = + 1 = 1 1 ,onde 1 a x a

 

1 2 2 2 1 ,onde 1 x a x a x = + =

 

2 3 3 3 2 ,onde 1 x a x a x = + =

 

n n n n n a x x a x = + ₊ = + + 1 1 1 ,onde 1

Decorre daí que

 

n n n n n x x a x x − = − = + + 1 1 1 1 4 4 3 2 1 1 1 1 1 x a a a a + + + + =

α

Obtém-se, a1 =

[ ]

15 =3; 3 1 = ∴a 6 3 15 ) 3 15 ( ) 3 15 ( 3 15 1 1 + = + + × − = x 1 6 3 15 2  =      ₊ = a 3 15 6 18 15 6 9 15 18 15 6 ) 3 15 ( ) 3 15 ( 3 15 6 1 6 3 15 1 2 = + + = − + = + + × − = − + = x

[

15 3

]

6 3 = + = ∴a 6 3 15 ) 3 15 ( ) 3 15 ( 3 15 1 6 3 15 1 3 + = + + × − = − + = x 1 6 3 15 4  =      ₊ = a (4) (5) (6)

3 15 6 18 15 6 9 15 18 15 6 ) 3 15 ( ) 3 15 ( 3 15 6 1 6 3 15 1 4 = + + = − + = + + × − = − + = x

[

15 3

]

6 5 = + = ∴a M

Pode-se observar que os [a1,a2,a3,...,an], se comportam de maneira periódica, da seguinte maneira [3,1,6,1,6,1,6...]=[3,1,6]. Daí representa-se 15 como fração contínua da seguinte forma:

[ ]

O + + + + + = 6 1 1 1 6 1 1 1 3 6 , 1 , 3 5. CONVERGENTES

Considere o número x racional representado pela seguinte fração contínuax=[a0,a1,a2,...,an]. São chamados de seus convergentes ou frações parciais a seguinte sequência c₁,c_2,c₃,...,c_n dada por:

1 1 1 a c = , 2 1 2 1 a a c = + , 3 2 1 3 1 1 a a a c + + = ,..., n n a a a c 1 1 1 2 1 + + + = O

Que são obtidos pela expansão das frações contínuas

[ ]

a₁ ,

[

a₁, a₂

]

,

[

a₁,a₂,a₃

]

,

[

a1,a2,a3,...,an

]

e são chamados de primeiro, segundo, ..., convergentes.

Se for considerado 1 1 1 1 1 q p a c = = ,

em que p₁ =a₁ e q₁ =1, tem-se o próximo convergente da seguinte maneira:

2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 q p a a a a a c = + = + = , em que p₂ =a₁a₂ +1 e q₂ =a₂.

Para os próximos convergentes obtêm-se respectivamente:

3 3 1 2 3 1 2 3 3 q p q q a p p a c = + + =

4 4 2 3 4 2 3 4 4 q p q q a p p a c = + + =

Pode-se concluir com esses resultados que:

2 1 − − + = i i i i a p p p 2 1 − − + = i i i i aq q q Teorema: Seja i i i q p

c = o i-ésimo convergente da fração contínua

[

a1,a2,...,an

]

. Então o numerador p_i e o denominador q_i de c_i satisfazem as seguintes relações:

2 1 − − + = i i i i a p p p 2 1 − − + = i i i i aq q q Para i=1,2,3...,n.

6. APLICAÇÕES DE FRAÇÕES CONTÍNUAS EM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Com esses conceitos a respeito das frações contínuas pode-se analisar alguns exemplos em que elas são aplicadas.

Exemplo 1: Um fabricante de relógios precisa produzir dois tipos de rodas dentadas na razão 13

:

1 . É impraticável que estas rodas tenham mais que 30 dentes. Encontre algumas possibilidades para os números de dentes que irão aproximar a razão desejada, utilizando as aproximações dadas pelos convergentes consecutivos de uma fração contínua simples. (Adaptado de Sanches, Salomão (2003)).

Figura 1: Engrenagens

Considere que x seja o número de dentes da coroa maior e y o número de dentes da coroa menor. Então obtém-se a seguinte relação:

* y x, com , 13 ∈Ζ ≅ y x

(1º convergente)

 

13 3 1 = = a 3 1 3 1 1 1 1 1 = = = = ∴ q p a c (2º convergente)

(

)

(

)

4 3 13 9 13 3 13 3 13 3 13 3 13 1 1 + = − + = + + × − = x 1 4 3 13 2 =      ₊ = ∴a 1 4 1 1 1 3 1 2 2 2 2 1 2 = + × = = + = q p a a a c (3º convergente)

(

)

(

)

3 1 13 12 ) 1 13 ( 4 1 13 1 13 1 13 4 1 4 3 13 1 2 + = + = + + × − = − + = x 1 3 1 13 3 =      ₊ = ∴a 2 7 2 7 1 1 1 3 4 1 3 3 3 1 2 3 1 2 3 3 = ∴ = + × + × = = + + = c q p q q a p p a c (4º convergente) 3 2 13 9 ) 2 13 ( 3 4 13 ) 2 13 ( 3 ) 2 13 ( ) 2 13 ( 2 13 3 1 3 1 13 1 3 + = + = − + = + + × − = − + = x 1 3 2 13 4 =      ₊ = ∴a 3 11 1 2 1 4 7 1 4 4 2 3 4 2 3 4 4 = + × + × = = + + = q p q q a p p a c 3 11 4 = ∴c

(5ºconvergente) 5 18 5 18 2 3 1 7 11 1 1 4 1 13 4 1 13 1 13 ) 1 13 ( 3 ) 1 13 ( ) 1 13 ( 1 13 3 1 3 2 13 1 5 5 5 3 4 5 3 4 5 5 5 4 = ∴ = + × + × = = + + = =       ₊ = ∴ + = − + = + + × − = − + = c q p q q a p p a c a x

Ou seja, a engrenagem grande terá 18 (dezoito) dentes e a engrenagem menor 5 (cinco) dentes.

Exemplo 2: Sabendo que um ano tem aproximadamente 365 dias 5 horas 48 min e 46 s, quantos anos bissextos existem em 400 anos?

Resolução:

Primeiramente, representa-se em uma fração o quanto que 5 horas 48 min e 46 s representam de um dia. s 2880 min 48 s 60 min 1 = → → x x s 18000 horas 5 3600 hora 1 = → → x x s

Portanto, em 5 horas 48 min e 46 s temos 20926 s.

s 20926 s 86400 dia 1 → → x 86400 20926 = x dias. 43200 10463 = x

Conclui-se que um ano possui

43200 10463 365 dias. A fração contínua de 43200 10463 365 é a seguinte: I. 43200=4×10463+1348 II. 10463=7×1348+1027

III. 1348=1×1027+321 IV. 1027=3×321+64 V. 321=5×64+1 VI. 64=64×1+0 = + + + = + + = + + = + = 1348 1027 7 1 4 1 365 1348 10463 1 4 1 365 10463 1348 4 1 365 10463 43200 1 365 43200 10463 365 = + + + + = + + + + = + + + = 321 1027 1 1 1 7 1 4 1 365 1027 321 1 1 7 1 4 1 365 1027 1348 1 7 1 4 1 365 64 1 5 1 3 1 1 1 7 1 4 1 365 64 321 1 3 1 1 1 7 1 4 1 365 321 64 3 1 1 1 7 1 4 1 365 + + + + + + = + + + + + = + + + + + =

E, a fração contínua correspondente a 1 ano = 365 dias 5 horas 48 min 46 s é [365, 4, 7 , 1, 3, 5, 64]. 1 ano = 64 1 5 1 3 1 1 1 7 1 4 1 365 + + + + + + (1º convergente) 365 1 365 1 ₁ 1 1 1 = = = = q p a c (2º convergente) 4 1 365 4 1 4 365 1 2 2 2 2 1 2 = + = = + = x q p a a a c

(3º convergente) 29 7 365 1 4 7 365 1461 7 3 3 1 2 3 1 2 3 3 ₊ = + = = + + = x x q p q q a p p a c

Com isso conclui-se que a cada 29 (vinte e nove) anos 07 (sete) são bissextos.

(4º convergente) 33 8 365 4 29 1 1461 10592 1 4 4 2 3 4 2 3 4 4 ₊ = + = = + + = x x q p q q a p p a c

Com isso conclui-se que a cada 33 (trinta e três) anos 08 (oito) são bissextos. 8 (anos bissextos)→33(anos)

x (anos bissextos)→400 (anos) x≈96,96 ≈97anos bissextos.

∴Em 400 anos existem 97 anos bissextos.

Exemplo 3: O número de ouro é a fração 2

5 1+

. Expresse-o como fração contínua e calcule seus convergentes comparando-os à sequência de Fibonacci.

Resolução: Parte 1: Sabe-se que: 1 2 5 1 2 5 1 1 =      ₊ = + = a

α

Por (4) tem-se que:

2 1 5 ) 1 5 ( ) 1 5 ( 1 5 2 2 1 5 1 1 2 5 1 1 1 1 2 5 1 1 1 1 1 1 + = ⇔ + + × − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ + = + x x x x x Obtém-se que:

 

1 2 5 1 1 2 =      ₊ = = x a

Por (6) tem-se que:

2 1 5 ) 1 5 ( ) 1 5 ( 1 5 2 2 1 5 1 1 2 5 1 1 1 1 2 5 1 2 2 2 2 2 + = ⇔ + + × − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ + = + x x x x x

Obtém-se que

 

1 2 5 1 2 3 =      ₊ = = x a

Por (6) tem-se que:

2 1 5 ) 1 5 ( ) 1 5 ( 1 5 2 2 1 5 1 1 2 5 1 1 1 1 2 5 1 3 3 3 3 3 + = ⇔ + + × − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ + = + x x x x x Obtém-se que

 

1 2 5 1 3 4 =      ₊ = = x a Como 2 5 1 2 1 + = = = =x xn

x K _{, pode-se concluir que} a₁ =a₂ =K=a_n =1_{. E,} portanto a fração contínua do número de ouro é:

O + + + + = + 1 1 1 1 1 1 1 2 5 1

E essa fração é denotada

[

_1,1,1,1K

]

_. Parte 2:

Calculando agora seus convergentes obtém-se: (1º convergente) 1 2 5 1 1 =      ₊ = a 1 1 1 1 1 1 = = = ∴c a (2º convergente) 2 1 1 1 1 2 1 2 = + = + = a a c (3º convergente) 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 = + = + + = + + = a a a c

(4º convergente) 3 5 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 4 = + × + × = + + = q q a p p a c (5º convergente) 5 8 2 3 1 3 5 1 3 4 5 3 4 5 5 = + × + × = + + = q q a p p a c (6º convergente) 8 13 3 5 1 5 8 1 4 5 6 4 5 6 6 = + × + × = + + = q q a p p a c

Pode-se observar que os valores dos convergentes são iguais às razões de dois termos consecutivos da Sequência de Fibonacci, que é a seguinte (1,1,2,3,5,8,13,21...).

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Através desse artigo pode-se perceber a articulação dos números racionais e os irracionais através das frações contínuas. Pode-se aproximar, o tanto quanto se deseje um irracional usando frações contínuas.

A construção das definições desse campo de conhecimento foi uma contribuição de vários matemáticos ao longo da história. E os conceitos de frações contínuas, principalmente os de convergentes, podem ser aplicados em problemas do cotidiano como o exemplo da engrenagem e dos anos bissextos.

E esse trabalho visa que o leitor possa não só conhecer os conceitos de frações contínuas, mas que ele também possa ver como esse conhecimento pode ser útil na resolução de problemas.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. 9. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

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Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”, São Paulo. 2009. Disponível em: <http://www.dcce.ibilce.unesp.br/pos/webfacil/publico/File /mdl_alunos_diss_524_ 0.pdf > Acesso em: 02 set 2012.

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SANCHES, Carolina Fernandez Molina; SALOMÃO, Luiz Alberto Duran. A Expansão Do Número e em Frações Contínuas. Uberlândia: FAMAT em Revista, n.1, dez. 2003. Disponível em: <http://www.portal.famat.ufu.br/sites/famat.ufu.br/files/ Anexos/Bookpage/Famat_Revista_01.pdf>. Acesso em: 20 out 2012.

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Federal. 2007. Disponível em:

<http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12007/JoseCarlosRamosdaSilva.pdf>. Acesso em: 02 set 2012.