DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA

Hueder Paulo Moisés de Oliveira

hueder.paulo@ufabc.edu.br

BC0102: ESTRUTURA DA MATÉRIA

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA

Calendário

Semana Aulas expositivas 1

07/06 • Introdução ao curso (Informações sobre provas, conceitos); • Macro ao micro; • Teoria atômica. 2 11/06 14/06

• Teoria atômica (continuação).

• Hipótese atômica;

• Equações químicas;

• Substâncias químicas.

3

Calendário

3

Semana Aulas expositivas 4 25/06 28/06 • Evidências do elétron. • Revisão de ondas; • Radioatividade; • Modelos atômicos. 5 05/07 • Dualidade onda-partícula; • Função de onda;

Calendário

Semana Aulas expositivas 6

09/07

12/07

• Orbitais atômicos;

• Spin do elétron, princípio da exclusão de Pauli e regras de seleção; • Prova 1 7 19/07 • Átomos multi-eletrônicos; • Distribuição eletrônica; • Tabela periódica. 8

Calendário

5

Semana Aulas expositivas 9

02/08 • Ligações Químicas (Parte II): TLV e TOM.

10 06/08 09/08 • Prova 2 • Prova Substitutiva 11 16/08 • REC

Revisão Espectro do Corpo Negro

Um corpo negro absorve toda a radiação incidente, então não pode ser visualizado (daí o nome). Eles emitem radiação permitindo determinar sua temperatura.

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887)

1861: Lei da emissão de radiação térmica

1. Um objeto sólido aquecido produz luz com espectro contínuo;

2. Um gás ténue produz luz com linhas espectrais em comprimentos de onda discretos que dependem da composição química do gás;

3. Um objeto sólido a alta temperatura rodeado de um gás ténue a temperaturas inferiores produz luz num espectro contínuo com vazios em comprimentos de onda discretos cujas posições dependem da composição química do gás.

7

Revisão Espectro do Corpo Negro

1899: Corpo negro e distribuição espectral

Todos os corpos negros emitem, a uma mesma temperatura, o mesmo espectro de radiação.

i. Como aumento da temperatura há um deslocamento para menores comprimentos de onda ou maiores frequências de radiação.

c





ii. A distribuição da radiação fica cada vez mais concentrada em radiação de alta potência, para cada vez menores

Revisão Espectro do Corpo Negro

1900-1905: Lei de Rayleigh

‐Jeans

A lei falha em descrever comprimentos de ondas

“menores” e para temperaturas altas,

frequentemente da região do UV.

Quanto mais experimentos são realizados, mas desvios são encontrados entre os dados observados e os previstos pelas Leis

9

Revisão Espectro do Corpo Negro

1900: Teoria Quântica

Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) Nobel (Física): 1918

A teoria clássica prevê que a energia média é independente da frequência da radiação.

Analisando os resultados experimentais relacionados à radiação do corpo negro, Planck chegou à conclusão que a energia média das ondas emitidas pela radiação era uma função da frequência desta radiação, ou do seu respectivo comprimento de onda

“Como e de emissão são dependentes de temperaturas específicas, a variação da energia (ΔE) deve ter comportamento discreto e não contínuo.” máximo





0,1,2,3,...

6,626 10

E

E

nh

n

h

J s





 











Mas e a natureza da

matéria e das

partículas?

Fatos que a Física Clássica não podia explicar

A.

A estrutura do átomo (por que o elétron não “cai” no

núcleo?);

B.

Observação de linhas nos espectros atômicos;

C.

Espectro do corpo negro;

1887: Efeito Fotoelétrico

Efeito Fotoelétrico

Superfície metálica emite elétrons devido à incidência de radiação eletromagnética.

Efeito Fotoelétrico

Resultados:

 Nenhum elétron é ejetado até que a radiação tenha uma frequência acima de radiação tenha uma frequência acima de um valor característico do metal;

 Elétrons são ejetados imediatamente, por mais baixa que seja a intensidade de radiação;

 A energia cinética dos elétrons ejetados varia linearmente com a frequência de radiação incidente.

13

Há três aspectos principais do efeito

fotoelétrico que

NÃO

podem ser

explicados em termos da teoria

ondulatória clássica da luz...

...Primeiro Aspecto:

Previsão da teoria clássica:

A energia cinética dos elétrons

emitidos deveria aumentar com a intensidade da luz (ou seja, em

função da amplitude do campo elétrico oscilante).

amplitude

Observação experimental:

A energia cinética máxima dos

elétrons emitidos não depende da intensidade da luz.

...Segundo Aspecto:

Efeito Fotoelétrico

15

Previsão da teoria clássica:

O efeito fotoelétrico deveria ocorrer

para qualquer frequência da luz, desde que ela fosse intensa o

suficiente para fornecer a energia necessária para ejetar elétrons.

Observação experimental:

Para cada material, existe uma

frequência mínima



abaixo da qual o efeito fotoelétrico não

acontece, independente da intensidade da luz.

e n e rg ia cin é tica má x im a do s elé tron s ej eta do s

...Terceiro Aspecto:

Efeito Fotoelétrico

Previsão da teoria clássica:

Se a intensidade da luz incidente é

baixa, deve haver um intervalo de tempo mensurável durante o

qual o elétron

“acumula” a energia recebida até atingir o valor da

energia necessária para ser ejetado.

Observação experimental:

Nenhum retardamento detectável

jamais foi medido, a emissão do elétron é praticamente

instantânea mediante incidência de radiação luminosa.

1905: Interpretação de Einstein: Primórdios da

Física Quântica

 A luz é formada por um conjunto de pequenas partículas chamadas “fótons”;

 Cada fóton carrega uma quantidade definida de energia que é diretamente proporcional à frequência da luz. A energia é transportada em “pacotes”, ou seja, em

quantidades discretas.

E = h (h é a constante de Planck)

 A energia transportada por um fóton individualmente não depende da intensidade e sim da frequência. A intensidade está relacionada apenas ao número total de fótons. 17

Efeito Fotoelétrico

Interpretação de Einstein

I.

A energia absorvida por um elétron individual no metal

provém da colisão com um fóton;

II.

O elétron será ejetado apenas se o

pacote de energia

transportado pelo fóton (h



)

for superior à

energia

necessária para ejetar o elétron, a chamada função

trabalho (

ϕ

)

;

III.

A diferença entre os dois valores é convertida em

energia cinética dos elétrons ejetados (K

).

K

_max

= h



-

ϕ

₀

h



=

ϕ

K

_max

= h



-

ϕ

₀



=



=

ϕ

/h



K

_max

h



₀

=

ϕ

₀

0

coeficiente angular

da reta: h

Efeito Fotoelétrico

Interpretação de Einstein

Função trabalho de alguns metais

Metal Função trabalho (eV) Sódio 2,36 Alumínio 4,06 - 4,26 Chumbo 4,25 Zinco 3,63 - 4,90 Ferro 4,67 - 4,81 Cobre 4,53 - 5,10 Prata 4,52 - 4,74 Níquel 5,04 - 5,35 Ouro 5,10 – 5,47

Efeito Fotoelétrico

 Dobrando a intensidade (I), o número de elétrons ejetados dobra, mas sua energia cinética não muda.

K

= h



-

ϕ



K



corr

ente elétrica

I

> I

> I

I

I

I

I

I

I

Efeito Fotoelétrico

Interpretação de Einstein

Considerações de Einstein (Nobel 1921)

h

elétrons

Analogia: bola em um buraco.

Energia Cinética da Bola = Energia do chute – mgh.

Quanto mais forte o chute, maior a probabilidade da bola sair. O chute deve ter uma energia mínima para que a bola saia!

Chutes sem

“energia suficiente” chute “bem-sucedido”

Equação de Einstein

Φ = função trabalho

(energia necessária para

“arrancar” o elétron)

característica do material























h

eV

mv

2

1

“chute”

Efeito Fotoelétrico

Considerações de Einstein (Nobel 1921)

23

No metal temos:

Dentro do

metal

En

ergi

a

Po

tentia

l

do el

étron

Função trabalho (



)

Elétrons - precisam do “empurrão” mínimo

Elétrons fortemente ligados,

precisam de muita energia

fora do metal

25

Efeito Fotoelétrico

Clinton Joseph Davisson (1881-1958)​ Nobel (Física): 1937 Lester Halbert Germer (1896-1971)​

Difração de Elétrons

1927: Experimentos de Davisson e Germer



A radiação eletromagnética consiste de fótons que se

comportam como

partículas

.

Ex.:

efeito fotoelétrico

;



A radiação eletromeganética é composta de

ondas

.

Ex.:

difração da luz

.

27

Como conciliar as duas visões?

Afinal, a luz é uma partícula ou uma

onda?

Dualidade Onda-Partícula



A propagação da luz entre dois pontos pode

ser descrita tratando-a como uma onda.



A interação da luz com a matéria pode ser

descrita tratando-a como partícula.

29 Louis V. P. R. de Broglie​ (1892-1987)​ Nobel (Física): 1929​ ​

Dualidade Onda-Partícula para o Elétron

“O elétron apresenta característica DUAL, ou seja, comporta-se como matéria e energia sendo uma partícula-onda.”

“Devido ao fato de o comportamento atômico ser tão diferente da experiência comum, é muito difícil se

acostumar a ele, e ele parece peculiar e misterioso para todos - tanto para o novato como para o físico experiente.” “Até mesmo os especialistas não o compreendem da forma como gostariam, e é perfeitamente razoável que não

devam, porque toda a experiência direta e intuição humanas se aplicam a objetos grandes.”

“Sabemos como objetos grandes atuarão, mas as coisas em pequena escala simplesmente não agem desta forma. Então temos que aprender sobre elas de um modo

abstrato ou imaginativo, e não pela conexão com a nossa experiência direta.”

Richard Feynman

Dualidade Onda-Partícula para o Elétron

Richard Philips Feynman​ (1918-1988)​ Nobel (Física): 1965​

Experimento da dupla fenda com projéteis

Um experimento imaginário…

Feynman, R. P. The Feynman Lectures on Physics: Quantum Mechanics, cap. 1

31

I. Os projéteis chegam ao detector em unidades (“pacotes”) iguais; II. As balas que atravessam as fendas 1 e 2 podem atingir o

anteparo em diferentes posições x. A probabilidade de que uma bala atravesse as fendas 1 ou 2 e se aloje numa posição x do anteparo é dada por P₁ ou P₂, respectivamente;

III. O resultado do experimento feito com ambas as fendas abertas (P₁₂) é igual à soma dos resultados experimentais obtidos quando cada uma das fendas isoladamente está aberta:

P

₁₂

= P

₁

+ P

₂

NÃO É UM FENÔMENO DE INTERFERÊNCIA

Dualidade Onda-Partícula para a Matéria

Experimento da dupla fenda com projéteis

Experimento da dupla fenda com ondas

FONTE DA ONDA

DETECTOR

BARREIRA ANTEPARO

Feynman, R. P. The Feynman Lectures on Physics: Quantum Mechanics, cap. 1

Um experimento imaginário…

33

I. A intensidade das ondas pode ter qualquer valor, ou seja, elas não chegam ao detector como “pacotes”;

II. Ondas sofrem difração nas fendas, produzindo no anteparo um padrão de franjas conhecido como padrão de difração;

III. A distribuição de intensidades com ambas as fendas abertas não coincide com a soma dos resultados obtidos com apenas uma fenda aberta devido à existência de regiões com interferência construtiva e outras com interferência destrutiva:

I

₁₂

≠ I

₁

+ I

₂

É UM FENÔMENO DE INTERFERÊNCIA

Dualidade Onda-Partícula para a Matéria

Experimento da dupla fenda com ondas

Experimento da dupla fenda com elétrons

FONTE DE ELÉTRONS

DETECTOR

BARREIRA ANTEPARO

Feynman, R. P. The Feynman Lectures on Physics: Quantum Mechanics, cap. 1

35 Um experimento imaginário…

Exemplo

Calcule o comprimento de onda da “partícula” nos seguintes casos:

(a) O serviço mais rápido no jogo de tênis é cerca de 68 m/s. Calcule o comprimento de onda associado a uma bola de tênis que pesa 6,0 x 10-2 _{kg movendo-se a essa velocidade.}

(b) Calcule o comprimento de onda de um elétron (9,1094 x 10-31 _kg) que se move à velocidade de 68 m/s.

mv

h





h = constante de Planck = 6,626 x 10-34 _{J.s (=m}2 _kg/s)

m

10

6

,

1

ms

68

)

kg

10

0

,

6

(

Js

10

63

,

6

34

1

2

34





















x

mv

h



Tamanho do átomo

(1 x 10

_m)

Dualidade Onda-Partícula para a Matéria

Resolução:

m

10

1

,

1

ms

68

)

kg

10

1094

,

9

(

Js

10

63

,

6

5

1

31

34























mv

h



Infra-vermelho

(mensurável)

Dualidade Onda-Partícula para a Matéria

Resolução:

Tamanho do átomo

(1 x 10

_m)

O padrão de interferência gerado por um corpo grande como uma bola ou um projétil teria franjas tão finas e próximas umas das outras, que não mais poderiam ser distinguidas pelo detector. O detector registraria uma curva „suave“ resultante da média entre diversas franjas.

39

Dualidade Onda-Partícula para a Matéria

Mas... a descoberta das propriedades ondulatórias da matéria levantou algumas questões novas e interessantes sobre a física clássica...

Caráter Determinístico da Física Clássica

Exemplo: bola descendo uma rampa:

Sabendo a posição e o momento iniciais, bem como as forças que atuam no sistema, podemos calcular (prever) com grande exatidão por meio das leis de Newton a posição e o momento em qualquer instante

t.

v (0)

v (t)

Não se pode definir a localização precisa de uma onda porque ela se estende no espaço.

Caráter Probabilístico da Física Quântica

Uma forma de “restringir” a onda a uma região do espaço e assim conhecer a sua posição com mais precisão é somar ondas de comprimentos de onda () diferentes. Se o número de ondas somadas for suficientemente grande, teremos um pacote de ondas.

Superposição de Ondas

comprimentos de onda ligeiramente

diferentes

Como  está relacionado ao momento (p = mv) e como somamos diversos valores de  diferentes, o valor do momento torna-se menos preciso.

43

1927: Princípio da Incerteza

Não podemos determinar exatamente a posição e a

quantidade de movimento simultaneamente. Ou seja, se quisermos estudar uma partícula desta natureza em movimento, teremos sempre uma incerteza associada à medida:​

4

x

h

x p



  

: incerteza na posição da partícula

: incerteza na quantidade de movimento (velocidade) da partícula

: constante de Planck

x

p

h





x

x p

h

  

1928: Princípio da Complementariedade

45 “Se um experimento prova o caráter corpuscular da

radiação ou matéria, não será possível, com as mesmas condições provar o caráter ondulatório da mesma.”

Niels Henrick David Bohr​ (1885-1962)​ Nobel (Física): 1922​

​

“There is no quantum world. There is only an abstract physical description. It is wrong to think that the task of physics is to find out how nature is. Physics concerns what we can say about nature...”

Niels Bohr

“Everything we call real is made of things that cannot be regarded as real. “

Niels Bohr

Caráter Probabilístico da Física Quântica

Conclusão, não é apropriado imaginar o elétron

movendo-se ao redor do núcleo em órbita bem definida.

34 9 31 4

.

4

(6,626 10

J s)

1 10 m

4

4 (9,11 10 kg)(5 10 m/s)

h

x mv

h

x

m v







  





 



 







Diâmetro médio de um átomo de hidrogênio (2 x 10-10 _m)

Cálculo da incerteza na posição de um elétron do átomo de

hidrogênio (m = 9,11 x 10

_{kg) movendo-se a 5 x 10}

_m/s

supondo , incerteza de 1% (Δv = 5 x 10

_m/s)

Caráter Probabilístico da Física Quântica

Exemplo:

Orbital

- zona em torno do núcleo onde é elevada a

probabilidade de se encontrar um elétron de uma

dada energia.

47

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger​ (1887-1961)​ Nobel (Física): 1933​

​

Estudo do comportamento e das leis do movimento para

partículas microscópicas.

ANTECEDENTES:

 Teoria da quantização da energia (Max Planck) e efeito fotoelétrico (Einstein): E = h

 Dualidade onda-partícula (L.de Broglie):  = h/p  Principio de incerteza (Heisenberg):

x

h

ΔxΔp

4





Mecânica Quântica

Modelo Mecânico-Quântico do Átomo



Bohr

contribuiu

significativamente

para

nossa

compreensão dos átomos, e sua proposta de que

energia de um elétron em um átomo é quantizada

permanece válida. Entretanto, não fornece uma

descrição completa do comportamento eletrônico nos

átomos;



Devido ao Princípio da Incerteza, não é apropriado

imaginar o elétron movendo-se ao redor do núcleo numa

órbita bem definida, do modo como propunha o modelo

de Bohr;



O trabalho de Schrödinger forneceu uma descrição mais

apropriada do átomo em termos da mecânica quântica.

É o modelo atômico atualmente aceito e que veremos a

Equação de Schrödinger

Schrödinger propõe uma equação que incorpora tanto o

comportamento

ondulatório

como o

corpuscular

para o

elétron. A equação de Schrödinger é a base da Mecânica

Quântica assim como as equações de Newton são a base da

Mecânica Clássica.





E

H

ˆ



ψ(x,y,z): função de onda:

representa a onda associada ao

elétron e descreve o estado do elétron.

E:

energia total do elétron.

Operador hamiltoniano

Leva em consideração a energia cinética (T) e a energia potencial (V) do elétron:

Equação de Schrödinger

51

µ : massa reduzida;

e : massa do elétron;

ε₀ : constante dielétrico do meio;

r : distância entre os elétrons.

1

2

12

1

2

m m

m

m









 

u

u

u

u

u

u

x

y

z







      











2

h





Operador hamiltoniano

A equação de Schrödinger é uma equação de conservação de energia. Ela leva em consideração o comportamento corpuscular, em termos de massa (m) e o comportamento ondulatório, em termo da função de onda (ψ).





E

H

ˆ



Equação de Schrödinger

Significado físico da função de onda

ψ não tem significado físico

ψ2 _{densidade de probabilidade de encontrar um} elétron em função da posição x

Equação de Schrödinger

Equação de Schrödinger

A seguir, mostraremos

qualitativamente algumas

previsões da Mecânica Quântica

para alguns casos simples

envolvendo partículas como o

elétron. As mesmas idéias serão

ampliadas para o átomo de

hidrogênio.

55



Uma onda estacionária é aquela em que a crista, ou a

posição de maior amplitude não se move. Da mesma

forma, pontos em que a amplitude é nula, conhecidos

como nós, não se movem;



Um exemplo de onde isso ocorre é numa corda de

violão. A corda está presa nas extremidades e, ao ser

tocada, vibra de acordo com um modo de vibração. Se

não houvesse atrito com o ar, ela vibraria

indefinidamente. Como há esse contato com o ar,

ouvimos um som de freqüência igual à da vibração.

Modos de Vibração numa Onda Unidimensional



n

L



para n = 1, 2, 3 …

2





L

2

2







L

2

3







L

2

4







L

primeiro harmônico

segundo harmônico

terceiro harmônico

quarto harmônico

O comprimento de onda de uma onda estacionária numa

corda depende do comprimento da corda e e do número

de ventres. A onda estacionária pode ter apenas alguns

valores específicos de



, que são dados por:

Modos de Vibração numa Onda Unidimensional

•

Vamos supor que um elétron esteja confinado em uma

caixa;

•

De acordo com a mecânica clássica, o elétron poderia

ter qualquer valor de energia (no caso, energia cinética);

•

Tratando o elétron como uma partícula-onda, veremos

que surge um resultado bem diferente...

Por que Estudar o Problema do “Elétron numa Caixa”???

A caixa significa que o movimento do elétron está restrito a uma

porção do espaço que chamamos de poço de potencial. No

átomo de hidrogênio, o potencial que “restringe” o movimento do

elétron e impede-o de escapar é o potencial coulombico. O

problema do hidrogênio é bem mais complexo que o do elétron

na caixa, mas os dois problemas têm algumas similaridades.

0

-∞

E

poço de potencial

potencial de Coulomb

Tratando o elétron como

onda,

temos

o

mesmo

problema da corda de violão.

Devido à impossibilidade da

partícula estar fora do poço,

afirmamos que a função de

onda é nula no exterior. No

interior do poço, formam-se

ondas estacionárias.

Elétron Confinado numa Caixa (Poço de Potencial)

2

2 2

2 2

2

2

2

2

Como

2

Como

2

8

8

h

h

v

mv

m

L

hn

v

n

m L

mv

mh n

h n

E

E

m L

mL









 



 



 



No confinamento unidimensional (onda numa

corda), a energia possível do estado estacionário

depende do

número quântico

n!



E = E

_nf

-E

_ni

= h



Energia do fóton emitido por

Orbital: densidade de probabilidade de se encontrar o elétron

O modelo da mecânica quântica

não se refere a órbitas porque o

movimento do elétron em um

átomo não pode ser medido ou

localizado

com

precisão

(princípio

da

incerteza

de

Heisenberg).

Órbita ou camada (modelo de Bohr) Orbital (modelo da mecânica

quântica)

=

63

Orbitais Atômicos

a.

Vamos

supor

um

sistema com um próton

e um elétron;

b.

O próton cria uma

armadilha

para

o

elétron,

mantendo-o

confinado;

c.

Qualquer

tipo

de

confinamento faz surgir

estados estacionários.

Orbitais Atômicos

65 Representam os estados estacionários dos elétrons

ligados ao átomo e definem a região no espaço (3D), na qual é distribuida a probabilidade de se encontrar estes elétrons após ser realizada uma medida.

Jalaladim Maomé Rumi​ (1207-1273)​​​

Look at me as many times as you wish, but you won’t get to know me! Since you have last seen me,

I’ve changed a hundred times!

n está associado a energia do elétron e define a sua

“proximidade” do núcleo

l está associado ao momento angular do elétron e

define o “tipo” de forma do orbital

m

está associado à projeção do momento angular

(número quântico magnético) do elétron e define a

“orientação” do orbital no espaço.

Orbitais Atômicos



Está relacionado à distância

média entre o elétron e o

núcleo,

ou

seja,

ao

“tamanho” do orbital;



Quanto maior for n, maior a

distância média entre o

elétron e o núcleo, portanto

menor será a força que

“prende” o elétron ao átomo;



Portanto, n indica o

NÍVEL

ELETRÔNICO

.

,...

3

,

2

,

1



n

Número quântico principal (n)

No caso do átomo de hidrogênio, n está diretamente relacionado aos níveis de energia do elétron:

,...

3

,

2

,

1







n

n

hcR

E

estados

excitados

estado

ionização

Número quântico principal (n)



Está relacionado ao formato do orbital;



l indica o

SUBNÍVEL ELETRÔNICO

;



O número de subníveis em cada nível é dado por:

1

,...,

2

,

1

,

0





n

l

0

1

2

3

s

p

d

f

l

nome do

subnível

Número quântico angular (l)

Orbitais s

Orbitais Atômicos

Orbitais p

71

Orbitais Atômicos

Orbitais d

Orbitais Atômicos

Orbitais f

73

http://falstad.com/qmatom/



Está relacionado à orientação espacial do orbital dentro de

um determinado subnível;



Os orbitais individuais que compõe um determinado

subnível são dados por:

l

l

l

l

m



,



1

,



2

,...,



Exemplo:

se l = 1 (subnível p),

há 3 valores de m (+1,-1,0) e

portanto 3 orbitais (p

, p

, p

).

Número quântico magnético (m

)

níveis

subníveis

orbitais

75

Orbitais Atômicos

Exercícios

1) Quantos orbitais há no nível n = 2?

2) Quantos orbitais há no nível n = 4?

3) Um elétron num átomo de hidrogênio está num estado em

que n = 4 e l = 2. Em qual tipo de orbital está o elétron?

Lembrando que...

1

,...,

2

,

1

,

0





n

l

l

l

l

l

m



,



1

,



2

,...,



Orbitais Atômicos



De acordo com a Mecânica

Quântica, o elétron possui dois

estados de spin diferentes;



O

spin

do

elétron

está

relacionado ao seu momento

angular (rotação em torno do

próprio eixo);



Cargas

em

rotação

geram

campo magnético, portanto os

elétrons responderão de forma

diferente à aplicação de um

campo magnético, dependendo

Número quântico do spin do elétron (m

)

79

Número quântico do spin do elétron (m

)

O conjunto de número quânticos associados a um elétron pode ser entedido como um “endereço”. Devido a característica dos elétrons, que são férmions, não existem dois eletrons no Universo que ocupem exatamente os mesmos números quânticos.



Por se tratar de um problema em 3

dimensões, teremos 3 números

quânticos associados aos estados

estacionários;



Os números quânticos do problema

da partícula na caixa estavam

associados

às

3

direções

cartesianas.

O

problema

do

hidrogênio possui uma simetria

diferente (simetria esférica), e o

tratamento matemático requer uma

transformação

de

coordenadas

cartesianas

para

coordenadas

esféricas. Isso faz com que cada

número

quântico

tenha

um

significado especial, como veremos

a seguir.

Coordenadas

Esféricas Polares

Átomo de Hidrogênio

83

Átomo de Hidrogênio

A equação de onda Schrödinger em três dimensões introduz três números que quantizam a energia:

A mesma energia pode ser obtida para diferentes conjuntos de números quânticos.

Um estado quântico é dito degenerado quando existe mais de uma função de onda para uma dada energia.

Degenerescência resulta de propriedades particulares da função de energia potencial que descreve o sistema. Uma perturbação na energia potencial pode remover esta degenerescência.

)

(

8

n

n

mL

h

E





E

= E

Átomo de Hidrogênio

Estados degenerados

Elétron numa caixa bidimensional

No confinamento 2D, os estados estacionários dependem de 2 números quânticos (n , l) em função de três coordenadas espaciais (p_x , p_y , p_z).

Exemplo: onda numa membrana (p. ex. na superfície de um tambor)

85

Átomo de Hidrogênio

No confinamento 3D, os estados estacionários dependem de 3 números quânticos (n , l , m_l) em função de três coordenadas espaciais (p_x , p_y , p_z).

Elétron numa caixa tridimensional

p : operador do momento.

Assim, a equação de onda de Schrödinger tridimensional fica:

Átomo de Hidrogênio

Elétron numa caixa tridimensional

87

Átomo de Hidrogênio

Se a caixa é um cubo:

Mais de uma função de onda podem ter a mesma energia (estados degenerados).

Elétron numa caixa tridimensional

A verificação experimental sobre a existência de estados estacionários no átomo de hidrogênio é através de experimentos de espectroscopia. Neles, átomos de hidrogênio absorvem ou emitem fótons cuja energia é igual a diferença entre os níveis.

Espectroscopia

Átomo de Hidrogênio

Espectroscopia

Estrutura do Átomo de Hidrogênio



Estado fundamental: n = 1 l = 0 m

= 0



Primeiro estado excitado: n = 2 l = 0 m

= 0

ou

n = 2 l = 1 m

= 0,

±1

(todos com a mesma energia)



Ionização: H

→ H

_{+ e}

+ energia

+ energia

+ energia

+ energia

 Elétrons em átomos multieletrônicos ocupam orbitais semelhantes aos do hidrogênio, porém suas energias são diferentes;

 O núcleo de um átomo multieletrônico possui carga mais alta que a de um núcleo de hidrogênio, portanto atrai os elétrons mais fortemente, diminuindo sua energia;

 Num átomo multieletrônico, os elétrons se repelem, o que aumenta sua energia.

Estrutura de Átomos Multieletrônicos

Energia cinetica dos elétrons Interações de Coulomb Interação – _{– e}– Interação – _{– núcleo} Interação núcleo – núcleo Energia cinética do núcleo Interações de Coulomb

Princípio da Construção

No

estado

fundamental

de

um

átomo

multieletrônico, os elétrons tendem a ocupar

preferencialmente os orbitais de menor energia. O

número máximo de elétrons que pode ocupar um

orbital é limitado de acordo com o

Princípio da

Exclusão de Pauli:

Energias relativas dos orbitais atômicos

93

Wolfgang Ernst Pauli​ (1900-1958) Nobel (Física): 1945

Estrutura de Átomos Multieletrônicos

“Dois elétrons de um mesmo átomo não

podem ter os quatros números quânticos

iguais.”

Princípio da exclusão de Pauli

i.

Cada

orbital

pode

ser

ocupado por no máximo dois

elétrons;

ii.

Quando dois elétrons ocupam

o mesmo orbital, seus spins

devem estar emparelhados.

emparelhados (



)

desemparelhados (



ou



)

m

= + ½

m

= - ½

Estrutura de Átomos Multieletrônicos

Distribuição eletrônica

95

Estrutura de Átomos Multieletrônicos

Princípio da Construção

Se diversos orbitais com a mesma energia estão disponíveis, a configuração eletrônica segue a Regra de Hund: “Se um subnível contém mais de um orbital, os elétrons ocuparão orbitais vazios antes de se emparelharem em um deles. Na ausência de campo magnético, as energias de orbitais pertencentes ao mesmo subnível são iguais.”

Friedrich Hermann Hund​ (1896-1997)

Estrutura de Átomos Multieletrônicos

Distribuição eletrônica

97

Estrutura de Átomos Multieletrônicos

Exercício: Distribuição eletrônica

Desenhe os diagramas e mostre a distribuição eletrônica

das seguintes espécies:

a)

Na

b)

Ca

c)

Na

d)

Cl