ACED ODEs2015

(1)

AN ´

ALISE COMPLEXA E EQUAC

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DIFERENCIAIS, aulas te´

oricas

PARTE II: EQUAC

¸ ˜

OES DIFERENCIAIS

(Equa¸

c˜

oes diferenciais ordin´

arias)

Lu´ıs Sanchez

Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciˆ

encias, 2015

1 Introdu¸

c˜

ao, revis˜

ao

Nesta seçcão recordamos exemplos simples de resolu¸cão de equa¸cões diferenciais e introduziremos algumas ideias que terão desenvolvimento ao longo do curso.

Sempre que falamos de uma “solu¸cão” de alguma equa¸cão diferencial subentendemos que se trata de uma fun¸c˜_{ao definida num intervalo de R que satisfaz a referida equa¸cão.}

Exemplo 1.1 O problema de valor inicial

y0= y2, y(0) = y0 (1.1)

tem a (´unica) solu¸c˜ao

y = y0 1 − xy0

como facilmente se vê usando “separa¸cão de variáveis”. Note-se que, se y0 6= 0, o dom´ınio da

solu¸c˜ao ´e um intervalo com um extremo finito (qual?).

Exemplo 1.2 O problema

y0=p|y|, y(0) = 0 (1.2) tem as solu¸c˜oes positivas

y =(x + c)

2

4 em (−c, +∞) e as solu¸c˜oes negativas

y = −(x + c)

2

(2)

em (−∞, c), onde c é um número real qualquer. Assim, por exemplo, também é solu¸cão a seguinte fun¸cão y(x) =      x2 4 x ≥ 0 0, x ∈ [−5, 0] −(x+5)₄ 2 x ≤ −5

Exemplo 1.3 O problema de valor inicial para uma equa¸cão geral de variáveis separáveis (onde f e g são cont´ınuas em intervalos dados)

y0= f (x)g(y), y(ξ) = η (1.3) tem solu¸c˜oes y(x) definidas implicitamente por

H(y) = F (x)

onde H e F são as primitivas de 1/g e f , respectivamente, que se anulam em η e ξ. Se g(η) = 0, há uma solu¸cão constante y ≡ η; e se g 6= 0 (digamos, g > 0 para fixar ideias) num intervalo do tipo [η − δ, η), então o problema

y0 = f (x)g(y), y( ¯ξ) = η − δ (1.4) tem a solu¸c˜ao definida implicitamente por

Z y(x) η−δ dy g(y) = Z x ¯ ξ f (t) dt

e esta solu¸cão não tomará o valor η desde que R_η−δη _g(y)dy = ∞.

Exemplo 1.4 Podemos resolver a equa¸cão y0 = y(1 − y) explicitamente, mas podemos antever o comportamento das solu¸cões. Mais geralmente, podemos fazê-lo para a equa¸cão y0 = f (y) onde f ´

e uma fun¸c˜ao real cont´ınua com dois zeros dados a < b.

Exemplo 1.5 A equa¸c˜ao y0 _{= f (x, y) diz-se homog´}_{enea se o 2}o _{membro pode ser expresso como}

fun¸cão unicamente de y_x. A substitui¸cão y = vx conduz então a outra equa¸cão diferencial para a fun¸cão incógnita v = v(x) que tem variáveis separáveis.

Exemplo 1.6 A equa¸cão de Bernoulli y0 = a(x) + b(x)yn com n 6= 0, 1 é transformável numa equa¸cão linear com a substitui¸cão v = y1−n_{. A nova fun¸}_c˜_{ao inc´}_{ognita ´}_{e v = v(x).}

Exemplo 1.7 Uma equa¸c˜ao diferencial de 1a ordem escrita simbolicamente na forma

g(x, y)dx + h(x, y)dy = 0 (ex) (onde g e h são cont´ınuas num dom´ınio dado do plano) diz-se exacta se há uma fun¸cão F de classe C1 _{tal que} ∂F

∂x = g e ∂F

∂y = h. As solu¸cões (y(x)) são então definidas implicitamente por

F (x, y) = 0. Uma equa¸cão escrita na forma (ex), não sendo exacta, por vezes pode transformar-se noutra equivalente, exacta, multiplicando g e h por uma certa fun¸cão não nula (”factor integrante”).

(3)

Exemplo 1.8 O sistema de 1a ordem (

x0 = h(x, y)

y0= −g(x, y) (1.5)

diz-se um sistema Hamiltoniano se há uma fun¸cão F de classe C1 tal que ∂F_∂x = g e ∂F_∂y = h. As suas solu¸cões (x(t), y(t)) verificam a ”lei de conserva¸cão” F (x, y) = const.

Exemplo 1.9 Um caso particular importante é o da equa¸cão autónoma de 2a _{ordem (que serve}

de modelo a muitos problemas de dinˆamica com um grau de liberdade)

u00+ v(u) = 0 (a)

onde V ´e de classe C1 _{num intervalo dado. A equa¸}_c˜_{ao reduz-se ao sistema equivalente}

( u0 = y

y0= −v(u) (1.6)

e portanto, com F (u, y) = V (u) +y₂2, onde V é uma primitiva de v, tem-se F (u(t), u0(t)) = const para qualquer solu¸cão u(t). também se chega rapidamente a esta conclusão multiplicando a equa¸cão por u0_{(t) e primitivando. `}_{A fun¸}_c˜_{ao F chamamos ”energia” e dizemos que o fen´}_{omeno a que (a)}

serve de modelo tem ”conserva¸c˜ao de energia”.

Exemplo 1.10 A determina¸cão das solu¸cões monótonas de y00= f (y, y0) pode fazer-se através da resolu¸cão de uma equa¸cão diferencial de 1a _{ordem, em que a inc´}_{ognita ´}_{e a nova fun¸}_c˜_{ao ϕ tal que}

y0= ϕ(y), o que nos conduz a

dϕ dy =

f (y, ϕ) ϕ .

(4)

2 Modelos matem´

aticos onde intervˆ

em equa¸

c˜

oes

diferenci-ais ordin´

arias de tipo simples

A. Velocidade de escape

Um proj´ectil de massa m ´e lan¸cado da Terra verticalmente com velocidade inicial v0; a sua velocidade

v(t) é fun¸cão do tempo e, de acordo com a lei de Newton, satisfaz a equa¸cão diferencial dv

dt = − gR2

r2

onde r (fun¸cão do tempo) é a distância do projéctil ao centro da Terra e R o raio da Terra, e g = GM/R2, sendo G a constante de gravita¸cão e M a massa da Terra. Como v = dr_dt obtemos a equa¸cão diferencial para v como fun¸cão de r

vdv dr = − gR2 r2 . Portanto, v2= 2gR 2 r + v 2 0− 2gR. (a)

A condi¸c˜ao para que v se mantenha sempre positiva ´e v2₀− 2gR ≥ 0. Como g = 9.81m/seg2 R = 6370km, tem-se v0≥ 11.18km/seg.

A equa¸cão (a) é válida para outro corpo esférico qualquer. Como, de acordo com a teoria da relatividade, qualquer velocidade não pode exceder a velocidade c da luz, deduzimos a estimativa para que um planeta de massa M admita velocidade de escape:

R > 2GM c2

Este minorante do raio chama-se n´umero de Schwarzschild (nome do f´ısico alem˜ao que primeiro estudou as propriedades dos buracos negros).

B. Fluxo de misturas

Um reservatório de grandes dimensões contém inicialmente 1000 L de água. No instante t = 0 come¸ca a receber uma solu¸cão de sal com a concentra¸cão de 1 kg/L e ao ritmo constante de 6 L/min. A solu¸cão está constantemente a ser homogeneizada e sai do reservatório à razão de 5 L/min.

Pretende-se determinar a concentra¸cão de sal no reservatório em fun¸cão do tempo.

Seja x(t) a massa de sal no reservatório em cada instante t ≥ 0. A razão à qual o sal sai do reservatório, atendendo a que o volume total de fluido no reservtório ao fim de t minutos é, em Litros, 1000 + (6 − 5)t = 1000 + t, é, em kg/min:

5 x(t) 1000 + t.

(5)

Assim, x(t) satisfar´a o problema de valor inicial dx

dt = 6 − 5 x(t)

1000 + t, x(0) = 0.

C. Modelos populacionais simples

Consideremos uma popula¸cão (de bactérias, por exemplo), que se reproduzem por divisão celular, de modo que a taxa de crescimento é proporcional ao número de indiv´ıduos presentes em cada instante; para simplificar supomos que há condi¸cões ambientais, no per´ıodo em causa, para garantir que a taxa de mortalidade é zero. O modelo para a evolu¸cão de uma tal popula¸cão p(t) é

dp

dt = kp, p(0) = p0

(modelo Malthusiano) onde k é uma constante positiva. Se houver a considerar taxa de mortalidade devida apenas a causas naturais, a equa¸cão é formalmente a mesma, onde k = k1− k2 corresponde à

diferen¸ca das duas taxas.

Um outro modelo considera outras causas de mortalidade devidas a falta de recursos ou competi¸cão. Como numa popula¸cão de dimensão p há p(p − 1)/2 interaçcões, assume-se então que a taxa de mortalidade é proporcional a este número, o que conduz à equa¸cão do modelo log´ıstico

dp

dt = ap − bp

2_, _{p(0) = p} 0.

D. Evolu¸c˜ao da temperatura em ambiente restrito, em fun¸c˜ao da temperatura exterior

De acordo com a lei de Newton do arrefecimento a temperatura num edif´ıcio tem uma taxa de varia¸cão proporcional à diferen¸ca entre as temperaturas exterior e a que se regista no próprio edif´ıcio, devendo contar-se ainda com efeitos adicionais devidos a actividades no interior e ao efeito de aque-cimento ou arrefeaque-cimento artificiais. Assim, se T (t) é a temperatura no edif´ıcio, E(t) a temperatura exterior, e H(t) a taxa resultante de haver a considerar efeitos adicionais, a equa¸cão que traduz a evolu¸cão da temperatura é

dT

dt = k(E(t) − T (t)) + H(t). Notemos que H pode tomar valores positivos ou negativos.

E. Dinˆamica de uma part´ıcula

A segunda lei de Newton estabelece que a posi¸c˜ao x(t) de uma part´ıcula em movimento satisfaz a equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem

mx00= F (t, x, x0) onde m ´e a massa da part´ıcula e F a for¸ca que lhe est´a aplicada.

(6)

Consideremos uma part´ıcula de massa m que se desloca numa dada direçcão por açcão de uma for¸ca exterior F (t) variável com o tempo e que está sujeita a uma mola elástica (Figura 1). Pelo menos para desloca¸cões de amplitude não muito grande, verifica-se experimentalmente que a for¸ca devida à energia da mola é proporcional à desloca¸cão x(t) da part´ıcula. Assim, para muitos sistemas deste tipo não é disparatado utilizar o modelo que corresponde à equa¸cão diferencial

mx00= −kx + F (t).

Aqui k > 0, porque a reaçcão da mola é contrária ao sentido da desloca¸cão. Pode haver necessidade de juntar outro termo se, por exemplo, houver amortecimento causado por atrito ou imersão do sistema num l´ıquido viscoso. Nessa altura, é comum admitir que a for¸ca correspondente actua de modo proporcional à velocidade; a equa¸cão que modeliza o fenómeno seria então

mx00+ cx0+ kx = F (t) com k > 0 e c > 0.

F. Pˆendulo simples.

Outro modelo particularmente importante é o do pêndulo simples, que é uma massa pontual m suspensa de um ponto fixado O por um cabo r´ıgido com massa desprezável e comprimento l (Fig. 2). Representaremos por ~e um vector unitário com a direçcão da for¸ca grav´ıtica que actua a massa pontual, por ~r = ~r(t) o vector de posi¸cão da massa, com origem em O, e por θ = θ(t) o ângulo, variável com o tempo, do cabo com a semi-recta definida por ~e.

O movimento ´e regido pela segunda lei de Newton, que escrevemos em forma vectorial,

~ F = md 2_~_r dt2 (∗) onde ~ F = mg~e − T ~r (∗∗) e T é uma outra incógnita do problema, que representa a tensão do cabo (dividida pelo factor l), também variável com o tempo, que mantém a massa sempre à distância l do ponto O.

Comecemos por mostrar que, se a velocidade inicial ~r0_{(0) ´}_{e complanar com ~}_{e e ~}_{r(0), ent˜}_{ao o}

movimento é plano. Para isso fixemos um vector unitário ~f ortogonal a ~e e ~r(0). A fun¸cão h(t) = ~r(t)· ~f satisfaz, em virtude de (*) e (**): h00(t) = ~r00(t) · ~f = g~e · ~f − T m~r · ~f isto é: h00(t) = −T mh(t) (A)

e, pelas nossas hip´oteses,

(7)

Como a equa¸cão (A) é linear, a sua única solu¸cão com estas condi¸cões iniciais é h ≡ 0. Portanto r(t) mantém-se sempre no plano perpendicular a ~f que passa por O.

Agora que sabemos que o movimento ´e plano, introduzamos nesse plano um referencial ortonormado com primeiro eixo ~e e escrevamos a decomposi¸c˜ao do vector ~r nesse referencial:

~r = l(cos θ, sin θ).

Derivando duas vezes em ordem ao tempo t obtemos

~r0= l(− sin θ, cos θ)θ0, ~r00= −θ02~r + lθ00(− sin θ, cos θ). Voltando `a equa¸c˜ao (*) vemos que se pode agora escrever:

−θ02_~_{r + lθ}00_{(− sin θ, cos θ) = g~}_{e −} T

m~r. Como ~e = cos θ(cos θ, sin θ) − sin θ(− sin θ, cos θ), resulta:

−lθ02(cos θ, sin θ) + lθ00(− sin θ, cos θ) = (g cos θ − T

ml)(cos θ, sin θ) − g sin θ(− sin θ, cos θ). Igualando as segundas componentes obtemos

θ00+g

l sin θ = 0

que é a equa¸cão diferencial de segunda ordem que descreve o movimento. (Se determinarmos θ(t) e igualarmos as primeiras componentes acabamos por determinar a tensão T .)

G. O modelo predador-presa de Lotka-Volterra.

Consideremos duas espécies, com popula¸cões: x(t) (presa) e y(t) (predador). Assumimos que, havendo recursos de alimenta¸cão dispon´ıveis e ausência de predadores, a espécie presa evolui com crescimento exponencial (taxa de crescimento, que é a diferen¸ca entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade, positiva), mas esta taxa é afectada pela presen¸ca de predadores podendo tornar-se negativa. A espécie predador, ao contrário, por depender da outra como recurso alimentar, tem taxa de crescimento negativa na ausência de presas, mas esta taxa aumenta na presen¸ca delas. Assim, um modelo para a evolu¸cão de x e y com o tempo é dado pelo sistema de primeira ordem

(

x0 = x(a − by)

y0= y(−c + dx) (2.1)

onde a, b, c, d são constantes positivas. Claro que apenas nos interessam solu¸cões com valores não negativos e é interessante observar (aplicando um argumento simples de unicidade) que qualquer solu¸cão (x(t), y(t)) com um valor inicial (x(t0), y(t0)) no 1oquadrante mantém-se no 1oquadrante ∀t ≥ t0.

(8)

Apesar de (7.1) não ser um sistema Hamiltoniano, tem uma lei de conserva¸cão que permite deter-minar as trajectórias das solu¸cões no plano (x, y). Efectivamente, as solu¸cões de (7.1) são obviamente solu¸cões de

y(c − dx)x0+ x(a − by)y0 = 0

e esta equa¸c˜ao tem, como imediatamente se reconhece, o factor integrante 1

xy. Logo, com

F (x, y) = c ln x + a ln y − dx − by

resulta, para qualquer solu¸c˜ao (x(t), y(t)) de (7.1) existe k ∈ R:

F (x(t), y(t)) = k.

Daqui concluimos imediatamente que as solu¸cões são limitadas (e têm dom´ınio R, por razões que explicitaremos mais tarde). Há uma solu¸cão positiva constante, x0 ≡ c_d, y0 ≡ a_b. As trajectórias

correspondentes às solu¸cões não constantes são curvas de Jordan que têm este ponto no seu interior. Trata-se, portanto, de solu¸cões periódicas, como também justificaremos.

(9)

3 Problemas de valor inicial: existˆ

encia e unicidade

Lemma 3.1 Se h é uma fun¸cão diferenciável em [a, b] e existe uma constante K ≥ 0 tal que h0(t) ≤ Kh(t) ∀t ∈ [a, b]

ent˜ao

h(t) ≤ h(a)eK(t−a) ∀t ∈ [a, b].

Demonstra¸c˜ao. Multiplicar por e−Kt. Obt´em-se _dtd(e−Kth(t)) ≤ 0 e portanto e−Kth(t) ≤ e−Kah(a) ∀t ∈ [a, b].

Corolário 3.1 (Desigualdade de Gronwall) Seja g uma fun¸cão cont´ınua e não negativa em [a, b] tal que existem c, d ≥ 0 verificando

g(t) ≤ c + d Z t a g(s) ds ∀t ∈ [a, b]. Ent˜ao g(t) ≤ ced(t−a) ∀t ∈ [a, b]. Demonstra¸c˜ao. Aplicar o lema com h(t) = c + dR_atg(s) ds.

Come¸camos por considerar o problema de valor inicial

y0 = f (x, y), y(x0) = y0 (P V I)

Suponhamos que f ´_{e cont´ınua numa faixa I × R, tem valores em R, x}0∈ I, y0∈ R, e ainda: existe

L ≥ 0 tal que

f (x, y) − f (x, ¯y) ≤ L(y − ¯y), ∀x ∈ I, ∀y ≥ ¯y (1) (condi¸c˜ao de Lipschitz unilateral).

Proposi¸cão 3.1 Sejam y(x) e z(x) duas solu¸cões de y0 = f (x, y) em I e suponha-se que f satisfaz a condi¸cão de Lipschitz unilateral (1). Então

|y(x) − z(x)| ≤ eL(x−x0)_|y(x

0) − z(x0)|, ∀x ≥ x0.

Demonstra¸cão. Considerar a fun¸cão h(x) = (y(x) − z(x))2 e aplicar o Lema: obtém-se h0(x) = 2(y(x) − z(x))(f (x, y(x)) − f (x, z(x)) ≤ 2Lh(x) (há que considerar separadamente os casos y(x) > z(x) e y(x) ≤ z(x)).

Proposi¸cão 3.2 Sejam y(x) e z(x) duas solu¸cões de y0= f (x, y) em I mas suponha-se agora que f é y-Lipschitziana, isto é:

|f (x, y) − f (x, ¯y)| ≤ L|y − ¯y|, ∀x ∈ I, ∀y, ¯_{y ∈ R.} (2) Ent˜ao

|y(x) − z(x)| ≤ eL|x−x0|_|y(x

(10)

Demonstra¸c˜ao. Como (2) implica (1), a desigualdade a demonstrar, para x ≥ x0, resulta da

proposi¸cão anterior. Por outro lado, a cada solu¸cão y(x) de y0 = f (x, y) corresponde a solu¸cão y1(x) := y(−x) de y01= −f (−x, y1) que está definida no intervalo −I formado pelos simétricos dos

elementos de I. Como (2) tamb´em implica (1) para a fun¸c˜ao −f (−x, y), conclui-se a desigualdade para x < x0.

Observa¸cão. Se a condi¸cão (2) é válida apenas num rectângulo finito, produto de dois intervalos, I × J , (i.e. substituindo R por J) a conclusão da Proposi¸cão 3.2 é válida para solu¸cões com valores em J .

Observemos que a proposi¸cão anterior pode ser reenunciada do modo seguinte, evidenciando que as solu¸cões dependem continuamente dos dados iniciais. Mais precisamente, a norma da solu¸cão em cada intervalo compacto depende de modo Lipschitziano do dado inicial:

Proposi¸cão 3.3 Sejam y(x) e z(x) duas solu¸cões de y0 = f (x, y) em I com f y-Lipschitziana, isto é: verificando (2). Então para cada intervalo compacto K ⊂ I existe uma constante M > 0 tal que

sup

x∈K

|y(x) − z(x)| ≤ M |y(x0) − z(x0)|.

Proposi¸cão 3.4 Sob a condi¸cão (1), o problema (PVI) tem no máximo uma solu¸cão em cada intervalo da forma [x0, x0+ δ] ∩ I.

Proposi¸cão 3.5 Sob a condi¸cão (2), o problema (PVI) tem no máximo uma solu¸cão em cada intervalo da forma [x0− δ, x0+ δ] ∩ I.

Constru¸cão local de uma solu¸cão: equa¸cão escalar numa faixa. A solu¸cão de (PVI), pelo menos num intervalo [a, b], com a ≤ x0≤ b, no caso em que se verifica a condi¸cão de Lipschitz

(2), pode ser determinada por aproxima¸cões sucessivas. Recordemos que y(x) é solu¸cão de (PVI) se e só se é solu¸cão da equa¸cão integral

y(x) = y0+

Z x x0

f (s, y(s)) ds.

Surge assim naturalmente a ideia de definir um operador T no espa¸co C[a, b] das fun¸c˜oes cont´ınuas em [a, b] pela express˜ao

T y(x) = y0+

Z x

x0

f (s, y(s)) ds (t)

e procurar um seu ponto fixo (isto é, uma fun¸cão y ∈ C[a, b] tal que y = T y). Um tal ponto pode ser determinado como limite do método iterativo

(11)

onde a escolha do termo inicial é arbitrária. O problema consiste em mostrar que esta sucessão definida por recorrência tem efectivamente limite em C[a, b]. O operador T aplica, obviamente, o espa¸co de Banach C[a, b] em si próprio e, definindo a norma (equivalente à norma usual do supremo)

kyk = sup

x∈[a,b]

e−L0|x−x0|_|y(x)| _(n)

(onde fixámos L0> L) resulta que T é uma contraçcão de C[a, b].

Demonstremos esta afirma¸c˜ao: Dadas duas fun¸c˜oes y, z ∈ C[a, b] tem-se

T y (x) − T z (x) = Z x

x0

[f (s, y(s)) − f (s, z(s))] ds

e, como |y(s) − z(s)| ≤ eL0|s−x0|_{ky − zk, obtemos}

|T y (x) − T z (x)| = | Z x x0 [f (s, y(s)) − f (s, z(s))] ds| ≤ L| Z x x0 eL0|s−x0|_{ky − zk ds| =} = Lky − zke L0|x−x0|_{− 1} L0 e por isso kT y − T zk = sup x∈[a,b] e−L0|x−x0|_{|T y (x) − T z (x)| ≤} L L0ky − zk.

T é, pois, uma contraçcão com constante L/L0< 1.

O teorema das contraçcões garante então a existência de um (único) ponto fixo que é limite do referido método iterativo.

Observa¸c˜ao. Seja f uma fun¸c˜ao das vari´_{aveis (x, y) definida num aberto D ⊂ R}2 _{e (x} 0, y0) ∈

D. Consideremos um rectˆangulo I × J ⊂ D que ´e vizinhan¸ca compacta de (x0, y0). Precisamente,

ponhamos J = [y0− β, y0+ β]. A restri¸c˜ao f |I×J pode ser estendida `a faixa infinita I × R de muitas

maneiras. Uma extensão que nos é útil é a seguinte: defina-se ˜_{f : I × R → R pondo}

˜ f (x, y) =      f (x, y0+ β), if y > y0+ β f (x, y), if y ∈ J f (x, y0− β), if y < y0− β. ´

E então um exerc´ıcio de rotina verificar que: se f é cont´ınua (respectivamente y-Lipschitziana com constante L) em I × J , então ˜_{f tem essas mesmas propriedades em I × R.}

Note-se que a defini¸c˜ao de ˜f pode ser expressa do seguinte modo: ˜

f (x, y) = f (x, ¯y), onde y¯ ´e o ponto de J mais pr´oximo de y (f )

Constru¸cão local de uma solu¸cão: equa¸cão escalar num aberto. Quando f está definida e ´_{e cont´ınua num aberto D ⊂ R}2 _{e ´}_{e apenas localmente Lipschitziana, isto ´}_{e, para cada rectˆ}_angulo

(12)

ainda produz uma solu¸c˜ao de (PVI) mas apenas numa vizinhan¸ca de x0 convenientemente pequena.

Vamos explicar esta afirma¸c˜ao:

Escolha-se a vizinhan¸ca compacta I × J de (x0, y0), (digamos que J = [y0− β, y0+ β]), estenda-se

f |I×J ao dom´ınio I × R de acordo com a observa¸c˜ao precedente, de modo que obtemos uma fun¸c˜ao

˜

f com a mesma constante de Lipschitz L, e limitada (porquˆe?). O m´etodo iterativo funciona para o novo PVI com ˜f ,

y0 = ˜f (x, y), y(x0) = y0 ( ]P V I)

e produz uma solu¸cão ˜y(x) de ( ˜P V I) em I. Com M := sup | ˜f |, e definindo α > 0 de modo que α < β/M , imediatamente se comprova que tal solu¸cão, restringida a [x0− α, x0+ α] é solu¸cão da

equa¸c˜ao original, visto que |˜y(x) − y0| ≤ |

Rx

x0

˜

f (s, ˜y(s)) ds| < M β/M se |x − x0| ≤ α.

Constru¸cão local de uma solu¸cão: equa¸cão vectorial. Agora olharemos para a equa¸cão que surge em (PVI) como sendo vectorial (sistema de primeira ordem), isto ´_{e, y ∈ R}n _{e f sup˜}_oe-se

definida e cont´ınua num dom´ınio D ⊂ Rn+1

e com valores em Rn_{. O problema de valor inicial envolve}

então n equa¸cões escalares onde figuram as componentes da fun¸cão vectorial f :        y₁0 = f1(x, y1, · · · , yn) .. . y0 n = fn(x, y1, · · · , yn), y(x0) = y0. (P V I)

Aqui, (x0, y0) ∈ D, de modo que x0∈ R e y0∈ Rn.

Os procedimentos anteriores mantˆem-se nesta situa¸c˜ao vectorial.

Caso 1: o dom´ınio de f ´_{e uma faixa I × R}n _{onde I ´}_{e intervalo real. Assumiremos que f ´}_e

y-Lipschitziana (a defini¸cão é a que está em (2), lendo normas em vez de módulos). Definimos então o operador (t) e aplicamos o teorema da contraçcão no espa¸co das fun¸cões cont´ınuas com valores vectoriais: C([a, b], Rn_{), (a ≤ x}

0≤ b) onde a norma ´e ainda definida por (n): apenas temos de ler no

s´ımbolo |y(x)| a (ou uma) norma usual de Rn_{. De acordo com a demonstra¸}_c˜_{ao feita anteriormente,}

que permanece v´alida com esta nova leitura dos s´ımbolos, concluimos:

Teorema 3.1 Se f : [a, b]×Rn→ Rn_´_{e cont´ınua e y-Lipschitziana e se (x}

0, y0) ∈ [a, b]×Rn, (PVI)

tem uma única solu¸cão definida em [a, b]. Essa solu¸cão é o limite da sucessão, uniformemente convergente em [a,b], de iteradas

yn+1(x) = y0+

Z x

x0

f (s, yn(s)) ds

onde o ponto de partida y1(x) é uma fun¸cão arbitrária de C([a, b], Rn) (que pode ser tomada como

a constante y0).

Caso 2: o dom´ınio de f ´_{e um aberto D de R}n+1e f ´e localmente y-Lipschitziana.1

1_{Em virtude do teorema do valor m´}_{edio, uma fun¸}_c˜_{ao com derivadas parciais cont´ınuas em ordem `}_{as vari´}_{aveis y}

´

(13)

Neste caso, a vizinhan¸ca compacta I × J de (x0, y0), ´e substitu´ıda por I × ¯B(y0, β), sendo ¯B(y0, β)

a bola fechada de Rn centrada em y0 e de raio β.

Usamos depois a extens˜ao ˜_{f de f a I × R}n definida por (f ). (Podemos dizer que, para cada y 6∈ ¯B(y0, β), ¯y ´e o ponto do segmento de recta [y0, y] tal que |¯y − y0| = β.)

Sem quaisquer altera¸cões essenciais (basta ler normas onde antes figuravam módulos) o resultado de existência e unicidade local mantém-se válido:

Teorema 3.2 (existˆ_{encia e unicidade local) Se f : D → R}n_´_{e cont´ınua e localmente y-Lipschitziana}

em D ⊂ Rn+1_{, e se (x}

0, y0) ∈ D, existe um número α > 0 tal que (PVI) tem uma única solu¸cão

definida em [x0− α, x0+ α].

Demonstra¸cão: O argumento anterior, a respeito de ( ]P V I), mostrou que existe uma solu¸cão y de (PVI) num intervalo [x0− α, x0+ α] com α suficientemente pequeno, de tal modo que o gráfico de y

est´a contido na vizinhan¸ca V = I × B(y0, β) ⊂ D de (x0, y0). (A escolha de α permite dizer que se

trata aqui da bola aberta!)

Para reconhecermos a unicidade, tomemos outra eventual solu¸c˜ao z de (PVI) em [x0− α, x0+ α].

Afirmamos que existe ε > 0 tal que z ≡ y em [x0− ε, x0+ ε]. De facto, pela continuidade de z, e

por ser z(x0) = y0, podemos escolher ε > 0 tal que z(x) ∈ B(y0, β) ∀x ∈ [x0− ε, x0+ ε]. Ent˜ao y e

z s˜ao solu¸c˜oes de um PVI na faixa infinita [x0− ε, x0+ ε] × Rn (porque podemos estender f |V a esta

faixa, como indicado atr´as). Pelo teorema 3.2, a afirma¸c˜ao fica provada.

Para terminar a demonstra¸cão, suponhamos que z não coincide com y em [x0− α, x0+ α]. Então,

pela afirma¸c˜ao precedente, existe (por exemplo) x0< x1< x0+ α tal que y ≡ z em [x0, x1] mas para

todo o δ > 0 as fun¸cões y e z não são iguais em [x1, x1+ δ]. Argumentando com o ponto (x1, y(x1)) tal

como com (x0, y0) podemos escolher δ tal que z(x) ∈ B(y0, β) ∀x ∈ [x1− δ, x1+ δ]. Ent˜ao, invocando

novamente o teorema 3.2 aplicado às condi¸cões iniciais (x1, y(x1)) e à faixa [x1− δ, x1+ δ] × Rn,

obtemos um absurdo.

Facilmente se conclui ent˜ao:

Teorema 3.3 (unicidade global) Com as mesmas hip´oteses do teorema anterior, sejam y1(x) e

y2(x) duas solu¸c˜oes de (PVI), definidas respectivamente nos intervalos abertos I1 e I2. Ent˜ao

y1(x) = y2(x) ∀x ∈ I1∩ I2.

Demonstra¸c˜ao. Seja w = sup{t| y1(x) = y2(x) ∀x ∈ [x0, t]}. Pelo teorema anterior, w > x0. Se

w < sup I1∩ I2, temos y1(w) = y2(w) e, pelo mesmo teorema, existe ε > 0 tal que y1(x) = y2(x)

∀x ∈ [w, w+ε], o que contradiz a defini¸c˜ao de w. Assim, as duas solu¸c˜oes coincidem em [x0, sup I1∩I2).

Analogamente se demonstra que coincidem em (inf I1∩ I2, x0].

Este teorema significa que as poss´ıveis solu¸cões de (PVI) concordam na parte comum dos respectivos dom´ınios e podem por isso ser utilizadas para definir uma solu¸cão cujo dom´ınio é um intervalo que não pode ser ampliado como dom´ınio de uma solu¸cão de (PVI). Essa solu¸cão, definida num “intervalo máximo”, diz-se não prolongável. Este conceito será estudado com algum detalhe mais adiante.

Uma equa¸c˜ao diferencial de ordem n na forma normal

(14)

onde f ´e uma fun¸c˜_{ao real cont´ınua num aberto D ⊂ R}n+1, ´e equivalente ao sistema            y01= y2 y02 = y3 .. . y0_n= f (x, y1, · · · , yn), (4)

no sentido em que u ´e uma solu¸c˜ao (de classe Cn_{) de (3) se, e s´}_{o se, o vector (u, u}0_{, · · · , u}(n−1)_{) ´}_e

solu¸c˜ao de (4). Assim, naturalmente, o problema de valor inicial para (3) consiste em: dado um ponto (x0, u0, u1, · · · , un−1) ∈ D, determinar uma solu¸c˜ao tal que

u(x0) = u0, u0(x0) = u1, · · · , u(n−1)(x0) = un−1 (5)

e em consequˆencia dos teoremas anteriores podemos afirmar:

Teorema 3.4 (existˆ_{encia e unicidade local) Se f : D → R ´e cont´ınua e localmente y-Lipschitziana} em D ⊂ Rn+1_{, e se (x}

0, u0, u1, · · · , un−1) ∈ D, existe um n´umero α > 0 tal que (3)-(5) tem uma

´

unica solu¸c˜ao definida em [x0− α, x0+ α].

Teorema 3.5 (unicidade global) Com as mesmas hipóteses do teorema anterior, sejam u(x) e v(x) duas solu¸cões de (3)-(5), definidas respectivamente nos intervalos abertos I1 e I2. Então

u1(x) = u2(x) ∀x ∈ I1∩ I2.

Podemos por isso falar também de solu¸cões não prolongáveis do problema (3)-(5).

Exemplos de argumentos que envolvem a unicidade. 1) Considere-se um problema de valor inicial para um sistema autónomo, isto é, em que f não depende de x

y0= f (y) (6)

sendo f localmente Lipschitziana. (Analogamente, poder´ıamos considerar uma equa¸cão de ordem n autónoma.) É então evidente que y(x) é solu¸cão de (6) em (a, b) se e só se, para cada constante real c, x 7→ y(x − c) é solu¸cão de (6) no intervalo (a + c, b + c).

Suponhamos agora que y(x) e z(x) são duas solu¸cões de (6) que tomam um valor comum, isto é: ∃t1, t2∈ R tais que y(t1) = z(t2).

Então as solu¸cões y(x) e z(x + t2− t1) cumprem a mesma condi¸cão inicial em x = t1 e por isso

coincidem necessariamente na interseçcão dos respectivos dom´ınios. Dito de outro modo, y e z são translaçcões uma da outra:

y(x) = z(x + t2− t1) para todo o x que dˆe sentido a ambos os membros.

Assim, y e z descrevem a mesma traject´oria (com um atraso no tempo) nos pontos em que ambas existem.

Em particular, se t1= t2,

(15)

2) Consideremos o PVI para a equa¸c˜ao diferencial de 2a ordem u00= x sin u, u(0) = 0, u0(0) = 0.

A solu¸cão deste problema determina-se facilmente sem cálculos: trata-se da fun¸cão idênticamente nula em R. Isto porque a fun¸cão 0 cumpre as condi¸cões iniciais; a conclusão resulta da unicidade de solu¸cão.

Teorema 3.6 Consideremos o sistema autónomo y0= f (y) onde f é localmente Lipschitziana em Rn. Representemos por y(x, ξ) o valor em x da solu¸cão que satisfaz a condi¸cão inicial y(0) = ξ. Suponhamos que qualquer destas solu¸cões tem dom´ınio (−∞, +∞). Então:

(i) ∀s, t ∈ R tem-se

y(t, y(s, ξ)) = y(t + s, ξ) (∗) .

(ii) Se y(t) é solu¸cão e existe T > 0 tal que y(0) = y(T ) e f (y(0)) 6= 0, então y é solu¸cão periódica (com per´ıodo T ) e não constante.

Demonstra¸cão. (i) Fixado s, olhemos para os membros de (*) como fun¸cões de t. Trata-se de solu¸cões de y0_{= f (y) (no caso do 2}o_{membro por causa do que dissemos no argumento 1 acima). Ora,}

estas solu¸cões tomam, para t = 0, o valor y(s, ξ). Logo são iguais para todo o t, pela unicidade. (ii) y(t+T ) (fun¸cão de t) é também solu¸cão e pela hipótese coincide com y(t) para t = 0. Conclui-se como no caso anterior.

(16)

4 Norma de matriz

Dada uma matriz A = [aij] (m × n), chama-se norma de A ao m´aximo das normas das imagens por

A de vectores da bola unit´_{aria de R}n_:

|A| = max

|u|≤1|Au| (1)

Proposi¸c˜ao 4.1 Tem-se

|Az| ≤ |A||z|, ∀z ∈ Rn_.

Demonstra¸cão. Para z 6= 0, tem-se, por defini¸cão de |A|, |A(z/|z|)| ≤ |A|, donde a desigualdade. Se z = 0 ambos os membros são nulos.

Proposi¸c˜ao 4.2 Tem-se (mn)−1/2( X 1≤i≤m, 1≤j≤n a2_ij)1/2≤ |A| ≤ ( X 1≤i≤m, 1≤j≤n a2_ij)1/2.

Demonstra¸c˜ao. Segunda desigualdade: _{Dado qualquer vector u ∈ R}n_{, a componente-i de Au ´}_{e o}

produto interno do vector li = (ai1, · · · , ain) com u. Assim, aplicando Cauchy-Schwarz no seguinte

c´alculo em que kuk ≤ 1,

|Au|2= m X i=1 (li· u)2≤ m X i=1 (|li|2|u|2) ≤ m X i=1 |li|2= m X i=1 n X j=1 a2ij.

Primeira desigualdade: Seja M = max1≤i≤m, 1≤j≤n|aij|. Obviamente

X

1≤i≤m, 1≤j≤n

a2ij ≤ mnM2. (2)

Por outro lado, escolhendo os ´ındices i, j tais que M = |aij|, e considerando o vector ej da base

can´onica, a componente i de Aej ´e precisamente aij. Logo, |Aej| ≥ M , e como |A| ≥ |Aej|, resulta,

utilizando (2), |A| ≥ M ≥ (mn)−1/2(P

1≤i≤m, 1≤j≤na 2

ij)1/2, como se pretendia.

Exemplo: c´alculo de uma norma de matriz. Seja A =

0 1 1 −1

Para cada vector u = (x, y) tem-se |Au|2_{= x}2_+2y2_{−2xy. Temos ent˜}_{aao de determinar o m´}_aximo

de x2+ y2− 2xy sob a condi¸cão x2+ y2≤ 1. Como o único ponto cr´ıtico de x2+ y2− 2xy no interior da bola unitária é (0, 0) e a´ı o valor da fun¸cão é 0, não é a´ı que o máximo é atingido. Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, vemos que o máximo será atingido num ponto (x, y) tal que x2+ y2= 1 e existe λ de modo que

x − y + λx = 0, 2y − x + λy = 0 (3) Multiplicando a primeira equa¸c˜ao por x, a segunda por y e adicionando, obtemos

(17)

pelo que o máximo procurado é −λ. Para que o sistema (3) tenha solu¸cões não triviais (as que procuramos) é necessário e suficiente que o seu determinante seja nulo: λ2+ 3λ + 1 = 0. Portanto o valor máximo procurado é (3 +√5)/2. A norma da matriz é

q

(3 +√5)/2.

Proposi¸cão 4.3 Se A e B são matrizes m × n, tem-se |A + B| ≤ |A| + |B|. A demonstra¸cão é imediata a partir da defini¸cão.

´

E também imediato que para todo o número real c se tem |cA| = |c||A|. Portanto, o conjunto das matrizes n × n provido desta norma é um espa¸co normado (na verdade, um espa¸co de Banach) isomorfo a Rmn).

A norma que acabamos de introduzir é, em virtude da proposi¸cão 4.2, equivalente à norma euclidiana usual para efeito de convergência. Isto é, uma sucessão de matrizes Ak = [a

(k)

ij ] converge para uma

matriz A = [aij] no sentido desta norma (limk→∞|Ak − A| = 0) se e s´o se para cada par i, j

limk→∞a (k) ij = aij.

Proposi¸c˜ao 4.4 Se A e B s˜ao matrizes n × n, tem-se |AB| ≤ |A| |B|.

Demonstra¸cão : Por defini¸cão, temos |Az| ≤ |A||z| para todo o vector z. Então |ABz| ≤ |A||Bz| ≤ |A| |B| |z| e concluimos novamente por defini¸cão.

5 Sistemas lineares

Consideramos nesta seçcão sistemas de equa¸cões diferenciais lineares de 1a _{ordem, isto ´}_{e, da forma}

y0= A(x)y + b(x) (5.1) onde A(x) ´e uma matriz n × n e b(x) uma fun¸c˜_{ao com valores em R}n_{, ambas cont´ınuas num intervalo}

I. (Dizer que x 7→ A(x) é cont´ınua equivale a dizer que as fun¸cões reais x 7→ aij(x) são cont´ınuas para

i, j = 1, · · · , n, ou equivalentemente, em virtude do que vimos na sec¸c˜ao anterior, limx→x0|A(x) −

A(x0)| = 0).

Como

|A(x)y − A(x)¯y| ≤ |A(x)||y − ¯y|

e |A(x)| tem m´aximo em qualquer compacto⊂ I, vemos que o segundo membro do sistema (5.1) ´

e Lipschitziano em qualquer faixa [a, b] × Rn_{, com a < b, a, b ∈ I. Os resultados de existˆ}_{encia e}

unicidade que estud´amos (ver p´ags 11-12) permitem-nos dizer:

Teorema 5.1 Dados α ∈ I e β ∈ Rn _{problema de valor inicial y}0 _{= A(x)y + b(x), y(α) = β tem}

uma e uma só solu¸cão definida em todo o intervalo I. Além disso, em qualquer intervalo compacto J ⊂ I a referida solu¸cão é o limite uniforme em J da sucessão de iteradas

yk+1(x) = β +

Z x

α

[A(t)yk(t) + b(t)] dt

(18)

A solu¸cão do problema de valor inicial y0= A(x)y+b(x), y(α) = β será representada por y(·, α, β). Seja S o conjunto das solu¸cões do sitema homogéneo

y0 = A(x)y (h)

em I. E um subconjunto do espa¸´ co vectorial das fun¸c˜_{oes (com valores em R}n_{) definidas em I.}

Imediatamente se reconhece que S é ele próprio espa¸co vectorial (verifica¸cões triviais) e, fixado α, a aplica¸cão

β 7→ y(·, α, β) : Rn→ S ´

e isomorfismo de espa¸cos vectoriais. Este facto é simples mas não banal: está envolvido o teorema de existência e unicidade que acabamos de enunciar. Observe-se em particular que

y(·, α, 0) ≡ 0

e que podemos afirmar:

Teorema 5.2 S ´e um espa¸co vectorial de dimens˜ao n.

A par de sistemas, podemos considerar equa¸c˜oes lineares de ordem n na forma normal:

u(n)+ an−1(x)u(n−1)+ · · · + a1(x)u0+ a0(x)u = f (x) (5.2)

(onde ai são fun¸cões cont´ınuas no intervalo I e a incógnita u tem valores reais) as quais se reduzem a

um sistema da forma (5.1), com a substitui¸c˜ao y1= u:

               y0₁= y2 y0₂= y3 · · · y0_n−1= yn y0

n= −a0(x)y1− · · · − an−1(x)yn+ f (x)

(5.3)

Os resultados obtidos para o sistema convertem-se imediatamente em resultados para a equa¸cão, uma vez que há uma correspondência bijectiva entre solu¸cões u desta e solu¸cões (u, u0, · · · , un−1) daquele. Naturalmente, o problema de valor inicial para (5.2) consiste em determinar uma solu¸cão u tal que u(α) = β0, u0(α) = β1, · · · u(n−1)(α) = βn−1. (5.4)

Aqui, α ∈ I e os βi s˜ao n´umeros reais dados.

´

E imediato, a partir da redu¸c˜ao da equa¸c˜ao ao sistema, que:

Teorema 5.3 Dados α ∈ I e βi ∈ R (i = 0, · · · , n − 1 ) o problema de valor inicial (5.2)-(5.4)

(19)

Dadas n solu¸c˜oes φ1, · · · , φnde (h), abreviamos as n equa¸c˜oes φ0i= A(t)φi introduzindo a matriz

Y (x) = [φ1(x), · · · φn(x)]

(que tem a fun¸c˜ao vectorial φi(x) na coluna-i): e podemos escrever, pela defini¸c˜ao de produto de

matrizes,

Y0= A(x)Y.

Diremos que Y ´e matriz fundamental de (h) se as suas colunas constituem uma base de S. Do teorema anterior resulta

Corolário 5.4 Y é matriz fundamental de S se, e só se, os vectores φi(α) constituem uma base

de Rn_.

Em particular, podemos fixar a matriz fundamental tal que φi(α) é a base canónica qi, isto é:

Y (α) = I. Dizemos ent˜ao que se trata da matriz especial de (h) relativa ao ponto α e representamo-la por

X(x, α)

para indicar a dependência de α. Assim, X(x, α) é a solu¸cão do problema matricial de valor inicial

X0= A(x)X, X(α, α) = I.

Se C é uma matriz constante, e Y (x) é fundamental, Y (t)C é ainda matriz de solu¸cões de (h): basta observar que a sua coluna-(i) é combina¸cão linear das de Y (t), com coeficientes iguais aos da coluna-(i) de C. Reciprocamente, se Z(x) é outra fundamental, existe uma matriz constante C tal que

Z(x) = Y (x)C.

Com efeito, verifica-se imediatamente que

(Y−1Z)0= Y−1Z0− Y−1Y0Y−1Z = Y−1AZ − Y−1AY Y−1Z = 0. Em particular temos, ∀x, α, ¯α ∈ I:

X(x, ¯α) = X(x, α)X(α, ¯α)

(porque ambos os membros representam matrizes-solu¸c˜ao e coincidem para x = α).

Proposi¸c˜ao 5.1 A solu¸c˜ao do problema de valor inicial

y0= A(x)y, y(α) = β ´

(20)

Sistemas lineares autónomos. Exponencial de matriz. Quando a matriz A(x) é uma matriz constante A, temos a considerar o sistema autónomo

y0 = Ay

e podemos fixar α = 0 sem perda de generalidade. As aproxima¸c˜oes sucessivas yk referidas no teorema

5.1 calculam-se facilmente. O operador T cujo ponto fixo se procura ´e dado neste caso por

T y(x) = β + Z x

0

Ay(t) dt.

Partindo de y0≡ β, obtemos, por indu¸c˜ao:

yk(x) = β + Axβ +

A2_x2

2! β + · · · + Ak_xk

k! β Podemos então concluir que a solu¸cão é

y(x) = lim k→∞[I + Ax + A2_x2 2! + · · · + Ak_xk k! ]β.

Na verdade a sucessão de matrizes dentro do parêntesis recto é ela própria convergente. Com efeito, ela é a sucessão de somas parciais da série de termo geral Ak_k!xk. Esta série converge porque a série das normas é convergente em virtude de uma compara¸cão:

|A k_xk k! | ≤ (|A||x|)k k! . A este limite lim k→∞[I + Ax + A2_x2 2! + · · · + Ak_xk k! ] chamamos exponencial de Ax e representamo-lo por eAx_:

eAx= I + Ax +A 2_x2 2! + · · · + Ak_xk k! + · · · = ∞ X k=0 Ak_xk k! .

Em particular, com x = 1 obtemos a exponencial de A:

eA= ∞ X k=0 Ak k! .

Os casos mais simples em que se pode calcular eA_{: 1) Seja D = diag(µ}

1, · · · , µn) uma

matriz diagonal com os elementos diagonais µi. O cálculo das potências de D é simples:

(21)

e por isso obtemos eD= ∞ X k=0 diag(µk₁, · · · , µk_n) k! .

Lendo o segundo membro entrada a entrada reconhecemos que o que obtivemos pode escrever-se eD= diag(eµ1_{, · · · , e}µn_).

2) Seja A uma matriz diagonalizável, isto é, que tem uma base de vectores próprios (os quais podem ter multiplicidade algébrica > 1). Como sabemos da Álgebra Linear, isto quer dizer que existem uma matriz invert´ıvel T e uma matriz diagonal D tais que

A = T−1DT. Ora, facilmente se verifica que

Ak = T−1DkT, _{k ∈ N.} Logo, obtemos eA= ∞ X k=0 T−1Dk_T k! = T −1 ∞ X k=0 Dk k! ! T ou, finalmente: eA= T−1eDT.

Observa¸cão. A rela¸cão A = T−1DT é equivalente a D = S−1AS com S = T−1. É fácil ver que podemos tomar para S a matriz que tem como colunas n vectores próprios ~vi de A linearmente

independentes. Com efeito, A~vi= λi~vi implica que AS ´e a matriz de colunas

[λ1v1, · · · , λnvn].

Ent˜ao S−1AS tem as colunas

[λ1S−1v1, · · · , λnS−1vn] = [λ1~e1, · · · , λn~en]

onde ~ei´e a base can´onica.

Proposi¸c˜ao 5.2 Para quaisquer n´_{umeros s, t ∈ R tem-se} eA(t+s)= eAteAs.

Demonstra¸c˜ao: Observemos que eAs_{β ´}_{e a solu¸}_c˜_{ao de y}0_{= Ay que satisfaz y(0) = β; portanto, com}

a nota¸c˜ao do teorema 3.6, eAs_{β = y(s, β). Desse teorema resulta ent˜}_{ao imediatamente e}A(t+s)_{β =}

eAt_(eAs

β) para todo o β ∈ Rn_{, que ´}_{e o que se pretende.}

NOTA: esta proposi¸c˜ao ´e caso particular de uma outra que estudaremos abaixo.

Dada uma matriz Y (x) cujas colunas são solu¸cões de (h), chamamos Wronskiano dessa matriz ao seu determinante W (x). Como fun¸cão de x, o Wronskiano tem uma propriedade importante:

(22)

Proposi¸c˜ao 5.3

W (x) = W (x0)e Rx

x0tr A(t) dt, ∀x, x0∈ I

onde tr designa o tra¸co de matriz.

Demonstra¸cão: Ponhamos Y (x) = [φ1(x), · · · , φn(x)] onde os φi são solu¸cões de (h), colocadas

em coluna. Pela regra de deriva¸c˜ao do produto, a derivada do determinante de Y (x) ´e soma de n determinantes W0(x) = det      φ0₁₁(x) · · · φ0_n1(x) φ12(x) · · · φn2(x) .. . ... ... φ1n(x) · · · φnn(x)      + · · · + det      φ11(x) · · · φn1(x) φ12(x) · · · φn2(x) .. . ... ... φ0 1n(x) · · · φ0nn(x)     

em que em cada parcela s´o uma das linhas foi diferenciada, restando as outras inalteradas. Como φ0_i(x) = A(x)φi(x), os elementos da primeira linha da primeira parcela s˜ao φ0i1(x) =

Pn

j=1a1j(x)φij(x):

a primeira linha ´e por isso combina¸c˜ao linear das linhas do determinante original, sendo a11(x) o

coe-ficiente que afecta a primeira linha original. Pelas propriedades básicas dos determinantes, a primeira parcela acima é então igual a

a11(x)W (x)

. Analogamente se calculam as restantes, de modo que

W0(x) = tr A(x)W (x).

Resolvendo esta equa¸c˜ao diferencial linear de primeira ordem obt´em-se imediatamente o resultado.

Proposi¸cão 5.4 (fórmula de varia¸cão das constantes) Sendo X(x) a matriz especial de (h) em α, a solu¸cão do problema y0 = A(x)y + b(x), y(α) = β ´ e ¯ y(x) = X(x)β + Z x α X(x)X(t)−1b(t) dt. (V C) Demonstra¸cão. Procuremos uma solu¸cão da forma ¯y(x) = X(x)c(x) onde c é uma fun¸cão vectorial de classe C1 _{a determinar. Introduzindo esta express˜}_{ao na equa¸}_c˜_{ao e atendendo a X}0 _{= AX temos}

X(x)c0(x) = b(x), ou c0(x) = X(x)−1b(x). Como se pretende que c(α) = β, o teorema fundamental do C´alculo d´a c(x) = β +Rx

αX(t)

−1_{b(t) dt.}

Observa¸c˜ao. No 2o_{membro de (V C) a fun¸}_c˜_ao

x 7→ Z x

α

X(x)X(t)−1b(t) dt

´

e solu¸cão do sistema completo y0 = A(x)y + b(x); é precisamente a solu¸cão que se anula em x = α. Por outro lado,

(23)

representa todas as poss´ıveis solu¸cões do sistema homog´_{eneo se fizermos β percorrer R}n. Por isso esta proposi¸cão contém a informa¸cão que traduzimos dizendo: a solu¸cão geral do sistema y0 = A(x)y + b(x) obtém-se somando a solu¸cão geral do sistema homogéneo associado y0 = A(x)y com uma solu¸cão particular. Para obter a “solu¸cão geral” podemos utilizar uma qualquer “solu¸cão particular”, obtida por qualquer outro processo.

Mais propriedades da exponencial de matriz. Quando introduzimos a exponencial de uma matriz constante A vimos que, pela sua pr´opria constru¸c˜ao,

d dxe

Ax_{β = Ae}Ax_β,

∀x ∈ R, ∀β ∈ Rn_.

Em particular, se tomarmos para β, sucessivamente, os vectores da base can´onica, verificamos coluna a coluna que:

d dxe

Ax_{= Ae}Ax_,

∀x ∈ R.

E como obviamente eAx_{= I para x = 0, resulta que:}

eAx_´_{e a matriz especial do sistema y}0_{= Ay (relativamente `}_{a tomada de valores iniciais em α = 0).}

Proposi¸c˜ao 5.5 Sejam A e B matrizes constantes que comutam: AB = BA. Ent˜ao

eA+B = eAeB.

Demonstra¸cão: Um cálculo simples, com aten¸cão ao modo como se fazem as deriva¸cões, dá suces-sivamente d dx(e Ax_eBx_{) =} d dx(e Ax_)eBx_{+ e}Ax d dx(e Bx_{) = Ae}Ax_eBx_{+ e}Ax_BeBx₌ = AeAxeBx+ BeAxeBx= (A + B)eAxeBx

onde na penúltima passagem usámos o facto, simples de verificar a partir da defini¸cão de exponencial, de que AB = BA implica eAx_{B = Be}Ax_.

Por outro lado, para x = 0 tem-se eAx_eBx_{= I. Assim, mostr´}_{amos que e}Ax_eBx_´_{e a matriz especial}

do sistema z0 = (A + B)z. Logo, eAx_eBx _{= e}(A+B)x _{para todo o x. Com x = 1 obt´}_{em-se o que se}

pretendia.

´

E fácil calcular pelo menos algumas solu¸cões do sistema homogéneo com matriz constante y0= Ay. Com efeito, um cálculo imediato mostra que, se λ é valor próprio de A com vector próprio associado ~

v, ent˜ao eλt_~_{v ´}_{e solu¸}_c˜_{ao: [e}λt_~_v]0_{= λe}λt_~_{v = e}λt_λ~_{v = e}λt_A~_{v = A[e}λt_~_{v]. No exemplo a seguir utilizamos}

esta observa¸c˜ao para resolver um sistema linear no plano. Exemplo: Para a matriz A = −5 2

1 −4

facilmente se calculam os valores p´oprios λ1 = −3,

(24)

~ v1= 1 1 e ~v2= 2 −1

. Portanto uma base de solu¸c˜oes do sistema (

x0 = −5x + 2y

y0= x − 4y é formada por: e−3t~v1, e−6t~v2. A solu¸cão geral deste sistema homogéneo é, pois, obtida considerando as combina¸cões

lineares desta base:

x = αe−3t+ 2βe−6t, y = αe−3t− βe−6t _(∗)

onde α e β são constantes reais arbitrárias. As expressões (*) mostram que lim

t→+∞x(t) = limt→+∞y(t) = 0,

e, se α e β n˜ao s˜ao ambos nulos, lim

t→−∞|x(t)| = limt→−∞|y(t)| = +∞.

Para obtermos alguma informa¸cão suplementar sobre as trajectórias das solu¸cões (isto é, as imagens da aplica¸cão

t 7→ (x(t), y(t)) de R em R2_{) ´}_{e ´}_{util estudar os limites do declive}

y(t) x(t)=

αe−3t− βe−6t

αe−3t_{+ 2βe}−6t

e facilmente confirmamos o seguinte:

lim

t→+∞

y(t) x(t)= 1 excepto se α = 0, caso em que o limite ´e −1₂;

lim t→−∞ y(t) x(t) = − 1 2

excepto se β = 0, caso em que o limite é 1. A interpreta¸cão geométrica destes factos é a seguinte. As diferentes trajectórias do sistema constituem curvas no plano que não se intersectam, em virtude do exemplo 1 no final da seçcão 3 (ver “exemplos de argumentos que envolvem a unicidade”). As trajectórias mais simples são a origem (solu¸cão nula, constante) e as semirectas das direçcões próprias, que contêm as imagens das solu¸cões (*) em que um dos coeficientes α ou β é zero. Quanto às restantes trajectórias, ocupam os ”quadrantes” determinados pelas direçcões próprias. Na aproxima¸cão à origem todas o fazem sendo tangentes à direçcão própria que corresponde ao valor próprio com menor módulo. Ao tenderem para infinito, todas o fazem de tal modo que o declive do vector (x(t), y(t)) tende para o declive da outra direçcão própria.

Observamos tamb´em que, tendo sido encontrada uma matriz de solu¸c˜oes (colunas) independentes do sistema,

X(t) =e

−3t _2e−6t

e−3t −e−6t

podemos utilizar as considera¸c˜oes que antecedem a Proposi¸c˜ao 5.1 para afirmar que eAt= X(t)X(0)−1.

(25)

Aproveitamos ainda este exemplo para observar que as direçcões próprias de um sistema linear no plano podem ser calculadas de outro modo. Basta atender a que as trajectórias são solu¸cões da equa¸cão de primeira ordem que resulta de dividir a segunda equa¸cão do sistema pela primeira:

dy dx =

x − 4y −5x + 2y

(cujas solu¸cões, recorde-se, podem ser determinadas com a substitui¸cão y = xu(x)). As direçcões próprias correspondem aos declives m tais que y = mx é solu¸cão desta equa¸cão, o que conduz a m = _−5+2m1−4m , de onde m = 1 ou m = −1₂.

No caso de coeficientes constantes, v´arias t´ecnicas para calcular eAx _{permitem obter a express˜}_ao

expl´ıcita das solu¸c˜oes de (h).

Vamos referir uma maneira de obter as solu¸cões que, em vez de usar a forma canónica de Jordan, utiliza em alternativa o seguinte resultado de Álgebra linear: se a matriz A tem os valores próprios dis-tintos λj, j = 1, · · · , k, com as respectivas multiplicidades algébricas nj, então o espa¸co n-dimensional

decompõe-se em soma directa de núcleos de potências das A − λj:

Rn(Cn) = N (A − λ1)p1⊕ · · · ⊕ N (A − λk)pk, pj≤ nj, dim N (A − λj)pj = nj.

Assim, mesmo que não exista uma base de vectores próprios de A, todo o vector do espa¸co, β, se decompõe numa soma de k “vectores próprios generalizados”:

β = β1+ · · · + βk, βj ∈ N (A − λj)pj.

Ent˜ao eAx_{β =}Pk

j=1e Ax_β

j e cada parcela tem o aspecto

eAxβj= eλjxe(A−λjI)xβj = eλjx[ pj−1 X i=0 xi(A − λjI)i i! ]βj.

Para a equa¸cão homogénea de ordem n pode fazer-se uma afirma¸cão mais expl´ıcita: considerando u(n)+ an−1u(n−1)+ · · · + a1u0+ a0u = 0 (eh)

se as raizes do seu polinómio caracter´ıstico, λj, j = 1, · · · , k, têm as multiplicidades algébricas nj,

então há uma base de solu¸cões de (eh) formada por fun¸cões da forma xieλjx_{, i = 0, · · · , n}

j− 1, j = 1, · · · , k.

A express˜ao encontrada acima permite-nos:

1) observar que o sistema tem uma base de solu¸c˜oes da forma

eλjx_(P

jl(x)), l = 1, · · · nj

(26)

2) obter uma estimativa para a norma da matriz eAx em termos dos valores p´oprios de A, para x ≥ 0.

Vamos ent˜ao estabelecer a estimativa.

Renumeremos os valores próprios: µ1, · · · , µn de modo que admitimos repeti¸cões. Então podemos

dizer que h´a uma base de solu¸c˜oes da forma

eµjx_(Q

j(x)), j = 1, · · · n (s)

onde os Qj são polinómios de grau < nj (multiplicidade de µj) e cujos coeficientes são vectores do

espa¸co n−dimensional. Se designarmos por X(x) a matriz com as colunas assim construidas, tem-se eAx_{= X(x)X(0)}−1_{. Ent˜}_ao

|X(x)|2_≤ X

1≤j,k≤n

|eµjx_|2_|Q

jk(x)|2

onde os escalares Qjk(x) s˜ao polin´omios em x. Por isso,

|X(x)|2_≤ X 1≤j,k≤n e2(Re µj)x_|Q jk(x)|2. Ponhamos agora: θ = max 1≤j≤nReµj.

Ent˜ao, para x ≥ 0,

|X(x)|2_{≤ e}2θx X

1≤j,k≤n

|Qjk(x)|2.

´

E um exerc´ıcio simples de An´alise I verificar que

∀ > 0∃C > 0 tal que ∀x ≥ 0 e2θx X

1≤j,k≤n

|Qjk(x)|2≤ C e2(θ+)x

de onde deduzimos, escrevendo ainda C em vez de√C,

|X(x)| ≤ Ce(θ+)x ∀x ≥ 0.

Finalmente, usando a proposi¸c˜ao 4.4, temos, mudando ainda o significado de C,

|eAx_{| ≤ Ce}(θ+)x _{∀x ≥ 0.} _(∗)

Prov´amos, portanto, o seguinte teorema

Teorema 5.5 Se A tem os valores pr´oprios µj e θ = max1≤j≤nReµj, ent˜ao para todo o > 0

(27)

Vejamos como a partir da mesma express˜ao se pode fazer o c´alculo da exponencial em alguns casos simples.

Exemplo: Seja A =−1 −4 9 11

. A tem um ´unico valor pr´oprio (λ = 5) de multiplicidade 2. Ent˜_{ao, como necessariamente R}2= N (A − 5)2_{, temos ∀β ∈ R}2

eAtβ = e5t[I + t(A − 5)]β, ou seja

eAt= e5t1 − 6t −4t 9t 1 + 6t

e a partir daqui podemos encontrar uma base de solu¸c˜oes do sistema y0 = Ay, por exemplo eAt_q i,

i = 1, 2: obtemos as fun¸c˜oes vectoriais e5t1 − 6t 9t , e5t −4t 1 + 6t .

Alternativamente, poder´ıamos ter procedido sem utilizar a exponencial. Depois de encontrado um vector pr´oprio ~v = 2

−3

, que como sabemos produz a solu¸c˜ao e5t_~_{v, ensaiamos uma segunda solu¸}_c˜_ao

independente2_{da forma}

e5t(t~v + ~w)

onde o vector w é desconhecido. Substituindo esta expressão na equa¸cão imediatamente obtemos

(A − 5)w = 2 −3 ; o que conduz a w = 0 −1/2

, pelo que se obt´em a base de solu¸c˜oes

e5t 2 −3 , e5t t 2 −3 + 0 −1/2 .

Assim, a solu¸cão geral do sistema homogéneo com a matriz A é (usando por exemplo esta última base)

x = 2ae5t+ 2bte5t, y = (−3a −1 2b)e

5t

− 3bte5t

onde a e b são constantes arbitrárias. Imediatamente se reconhece que para toda a solu¸cão não nula lim t→−∞x(t) = limt→−∞y(t) = 0, lim t→+∞|x(t)| = limt→+∞|y(t)| = +∞ e ainda lim t→±∞ y(t) x(t) = limt→±∞ y0(t) x0_(t) = − 3 2.

2_{Esta t´}_{ecnica ´}_{e semelhante `}_{a de encontrar uma segunda solu¸}_c˜_{ao para equa¸}_c˜_{oes diferenciais escalares de segunda}

(28)

Al´em disso, quando t → −∞, y(t)_x(t) tende para −3₂ por valores maiores, como se vˆe analisando o sinal de _x(t)y(t) +3

2 = −b

2(2a+2bt). Isto mostra que, no esquema das traject´orias de solu¸c˜oes no plano xy, as

trajectórias ficam tangentes à recta 3x + 2y = 0 na aproxima¸cão à origem, que o seu declive tende para o desta mesma recta quando consideramos pontos a tender para infinito, e de modo tal que no 2o

quadrante estão abaixo da recta e no 4oquadrante estão acima. Outra maneira de chegar às mesmas conclusões seria observar como as trajectórias atravessam os eixos coordenados. Esta informa¸cão é dada pela própria equa¸cão, que revela se a abcissa ou a ordenada cresem ou decrescem numa vizinhan¸ca de um tal ponto.

Outro elemento de análise é dado pela ordenada na origem da recta paralela à direçcão própria que passa por cada ponto de uma dada trajectória: essa ordenada calcula-se em fun¸cão de t por

y(t) +3 2x(t) = − 1 2be 5t .

As solu¸cões com trajectória acima da recta y + 3₂x = 0 são as dadas por alguma constante b < 0. Finalmente, é fácil ver que cada recta paralela à direçcão própria intersecta cada trajectória, que se encontra no mesmo semiplano relativamente a esta, num único ponto.

Indiquemos ainda um procedimento alternativo para os cálculos. O valor próprio 5 permite antever um factor e5t nas solu¸cões; vamos então efectuar a mudan¸ca de incógnitas x = e5tu, y = e5tv, passando-se do sistema ( x0= −x − 4y y0= 9x + 11y ao sistema ( u0 = −6u − 4v

v0 = 9u + 6v cuja matriz B tem 0 como ´

unico valor próprio, e com um só vector próprio associado, o mesmo ~v de há pouco. Então existe ~w tal que B ~w = ~v (ver a proposi¸cão 5.8 no Apêndice 1) e imediatamente se reconhece que este último sistema tem as solu¸cões independentes ~v e t~v + ~w. As solu¸cões do sistema inicial obtêm-se multiplicando por e5t.

Exemplo: A matriz A = 4 −1 14 −5

tem valores próprios 2 e −3, com direçcões próprias y = 2x e y = 7x, respectivamente. Em virtude das observa¸cões já feitas, resulta que a expressão da solu¸cão geral do sistema

(

x0= 4x − y y0 = 14x − 5y ´e

x = αe2t+ βe−3t, y = 2αe2t+ 7βe−3t

(α e β constantes). Em particular, as solu¸cões com trajectória nas direçcões próprias são as que se obtêm fazendo α = 0 ou β = 0. No primeiro caso obtém-se solu¸cões que descrevem uma semirecta, tendendo para a origem quando t → +∞; no segundo caso as solu¸cões são “repelidas” pela origem, isto é, tendem para a origem quando t → −∞. As restantes solu¸cões ocupam os “quadrantes” entre as rectas com aquelas direçcões. Como facilmente se verifica, tem-se

lim t→±∞|x(t)| = limt→±∞|y(t)| = +∞ e ainda lim t→−∞ y(t) x(t)= 7, t→+∞lim y(t) x(t)= 2.

(29)

O aspecto das solu¸c˜oes ´e o indicado na figura 5. A abcissa atinge um m´ınimo quando a recta y = 4x ´

e cruzada e a ordenada atinge um m´ınimo quando a recta y = (14/5)x é cruzada. Vemos, pois, que a presen¸ca de valores próprios com sinais contrários implica que as trajectórias situadas nos quadrantes não tendam para a origem quer em −∞ quer em +∞; têm, isso sim, os eixos próprios como ass´ıntotas.

Antes do pr´oximo exemplo observamos que um sistema linear com matriz A admite, naturalmente, solu¸c˜_{oes (definidas em R) com valores em C. Uma solu¸c˜ao complexa y(t) = u(t) + iv(t) de y}0 = Ay satisfaz u0+ iv0= Au + iAv. Daqui concluimos imediatamente:

Proposi¸cão 5.6 Se a matriz A é real, então y(t) = u(t) + iv(t) é solu¸cão de y0= Ay se, e só se, u(t) = Re y(t) e v(t) = Im y(t) são também solu¸cões.

Exemplo: Consideremos a matriz A = 1 1 −4 1

cujos vectores pr´oprios s˜ao 1 ± 2i, tendo o valor

pr´oprio 1 − 2ii/2 1

como vector pr´oprio. Ent˜ao

e(1−2i)ti/2 1 = 1 2e t_{sin 2t +} i 2e t_{cos 2t} etcos 2t − ietsin 2t ´

e solu¸c˜ao complexa do sistema (

x0= x + y

y0= −4x + y . Imediatamente obtemos duas solu¸c˜oes reais linear-mente independentes3_: 1 2e t_{sin 2t} et_{cos 2t} , 1 2e t_{cos 2t} −et_{sin 2t} .

A solu¸c˜ao geral do sistema ´e

x = α 2e

t_{sin 2t + βe}t_{cos 2t,} _{y = αe}t_{cos 2t − 2βe}t_{sin 2t.}

Trata-se de traject´orias obtidas a partir da elipse

x = α

2 sin 2t + β cos 2t, y = α cos 2t − 2β sin 2t

estando o vector posi¸c˜ao de cada ponto multiplicado pelo factor et_{. Assim, as traject´}_{orias tˆ}_{em o aspecto}

de uma espiral que tende para a origem quando t → −∞ e com norma a tender para infinito quando t → +∞. (Figura 6.)

Indiquemos outro modo de proceder: o valor pr´oprio 1 ± 2i indica a presen¸ca de um factor et _{nas solu¸}_c˜_{oes; ent˜}_{ao, com a mudan¸}_{ca de inc´}_{ognitas x = e}t_u, _{y = e}t_{v passa-se do sistema}

(

x0_{= x + y}

y0 = −4x + y ao sistema (

u0_{= v}

v0= −4u , cuja matriz tem valores próprios ±2i. Poder´ıamos agora continuar como acima para o resolver, calculando os vectores próprios, mas a situa¸cão aqui é mauito

3_{E f´}_´ _{acil constatar que uma solu¸}_c˜_{ao do tipo e}λt_~

v, com λ ∈ C \ R valor próprio e ~v vector próprio associado tem sempre partes real e imaginária R-linearmente independentes.

(30)

simples: o novo sistema é equivalente à equa¸cão u00+ 4u = 0, que tem as solu¸cões independentes cos 2t e sin 2t. A solu¸cão geral deste sistema é, pois, o conjunto das combina¸cões lineares das duas solu¸cões linearmente independentes sin 2t 2 cos 2t , cos 2t −2 sin 2t

e agora resulta imediato que as elipses h´a pouco referidas tˆem os eixos nos eixos coordenados.

Exemplo: Seja A uma matriz 3 × 3 com um único valor próprio real λ. Da representa¸cão acima resulta que

R3= N (A − λ)3

visto que o valor de p que corresponde a λ ´e ≤ `a multiplicidade (3). Logo, para todo o vector β

eAxβ = eλx[ 2 X i=0 xi_{(A − λI)}i i! ]β.

Exemplo: Para a matriz A =

0 1 −1 −2d

onde 0 < d < 1, que tem valores pr´oprios λ = −d + ip e o seu conjugado ¯λ (onde p =√1 − d2_{), temos a decomposi¸}_c˜_ao

C2= N (A − λ) ⊕ N (A − ¯λ).

Como N (A − λ) é formado pelos vectores (u, v) tais que (d − ip)u = v e N (A − ¯λ) é formado pelos vectores (u, v) tais que (d + ip)u = v, a decomposi¸cão de um vector qualquer (x, y) para esta soma directa é x y = u v + s t com u = (d + ip)x − y 2ip , v = (d2_{+ p}2_{)x − (d − ip)y} 2ip , s = y − (d − ip)x 2ip , t = (d + ip)y − (d2_{+ p}2_)x 2ip .

Assim, conclui-se que eAt₌ e

−dt_{(cos pt +}d psin pt) 1 pe −dt_{sin pt} −1 pe −dt_{sin pt} _e−dt_{(cos pt −}d psin pt) !

Comportamento assint´otico das solu¸c˜oes de sistemas lineares:

Consideremos o sistema linear homog´eneo (h), com a matriz A(x) definida e cont´ınua em I = [a, ∞).

Dizemos que a solu¸cão trivial (isto é, zero) é estável, assintoticamente estável, ou instável, se, respectivamente:

todas as solu¸cões são limitadas em I; todas as solu¸cões têm limite 0 quando x → +∞; existe pelo menos uma solu¸cão não limitada.

(31)

Se X(x) é uma matriz especial no ponto a, e se zero é estável, então claro que há uma constante K > 0 tal que |X(x)| ≤ K ∀x ≥ a; qualquer solu¸cão y(x) satisfaz então |y(x)| = |X(x)β| ≤ K|β|; assim, se zero é estável qualquer solu¸cão toma valores arbitrariamente pequenos (em norma) desde que a sua condi¸cão inicial β seja suficientemente pequena.

Quando a matriz A é constante, o que observámos acima a respeito da forma das solu¸cões do sistema e a estimativa (*) permitem reconhecer imediatamente:

dizer que a origem é assintoticamente estável é o mesmo que dizer que todos os valores próprios de A têm partes reais negativas;

dizer que a origem é estável é o mesmo que dizer que todos os valores próprios de A têm partes reais ≤ 0 e se algum deles, λj, é imaginário puro, então correspondem-lhe nj vectores próprios linearmente

independentes, isto é, pj= 1 (de modo que na expressão de eAxβj os polinómios em x são na realidade

apenas vectores constantes);

dizer que a origem é instável significa que não se verifica nenhuma das condi¸cões anteriores, por outras palavras, ou há um valor próprio com parte real positiva ou ou algum deles, λj, tem parte real

nula mas não possui nj vectores próprios linearmente independentes (o respectivo pj é > 1).

AP ÊNDICE 1: Redu¸cão de uma matriz real 2x2 à forma canónica real

Seja A uma matriz real 2 × 2. Se A tem valores próprios reais a e b, com a 6= b, os correspondentes vectores próprios ~u, ~v formam uma base do plano. A aplica¸cão linear representada por A tem, na base {~u, ~v} a nova matriz X =

a 0 0 b

e portanto há uma matriz invert´ıvel P (matriz de mudan¸ca de base) tal que P−1AP = X. Mesmo que os valores próprios se reduzam a um só (a = b) podem existir dois vectores próprios independentes (caso em que todos os vectores são próprios, já que estamos em dimensão 2) e nesse caso vale a mesma conclusão.

Vejamos agora o que se passa quando a = b e há apenas um subespa¸co unidimensional com vectores próprios, gerado, digamos, por ~u. Estamos no caso em que a equa¸cão det(A − λI) = 0 tem apenas a solu¸cão λ = a e por isso

det(A − λI) = (λ − a)2. (a) Proposi¸c˜ao 5.7 Seja B uma matriz 2 × 2 tal que det(B − λI) = λ2. Ent˜ao B2= 0.

Demonstra¸c˜ao. Simples exerc´ıcio de c´alculo.

Para a matriz B nas condi¸cões da proposi¸cão, existe ~u 6= 0 tal que B~u = 0. Suponhamos que B 6= 0, isto é que o núcleo de B é o subespa¸co unidimensional gerado por ~u. Vamos mostrar que:

Proposi¸c˜ao 5.8 Seja B uma matriz 2 × 2 tal que det(B − λI) = λ2_{e com n´}_{ucleo unidimensional}

(32)

Demonstra¸cão. Consideremos uma base do plano {~u, ~v} que inclui ~u. Existem números x e y tais que B~v = x~u + y~v e, aplicando B a ambos os membros, resulta 0 = yB~v. Como, pela nossa hipótese, B~v 6= 0, temos y = 0 e basta então tomar ~w = (1/x)~v.

Voltando a (a), concluimos (considerando B = A−aI) que existe um vector ~w tal que (A−aI) ~w = ~

u. Assim, na base {~u, ~w} a aplica¸c˜ao linear de matriz A ´e representada por

D = a 1 0 a . (∗)

Observa¸cão. Seja S a matriz de colunas [~u, ~w]. Então um cálculo semelhante ao que fizemos para as matrizes diagonalizáveis permite reconhecer imediatamente que S−1AS é a matriz de colunas [a~e1a~e2+ ~e1], isto é, (*). Esta matriz D pode escrever-se como soma

D = diag(a, a) + N com N = 0 1 0 0 .

N ´e nilpotente (N2= 0) e comuta com a identidade; assim

eA= SeDS−1, eD= ea(I + N ).

Finalmente, consideremos o caso em que A tem valores próprios não reais (complexos conjugados). Considerando a extensão natural de A (como aplica¸c˜_{ao linear) a C}2_{podemos ent˜}_{ao afirmar que existem}

um complexo x + iy e um vector ~u + i~v (~u, ~_{v ∈ R}2_{) tais que A(~}_{u, +i~}_{v) = (x + iy)(~}_{u + i~}_{v). ´}_{E um}

exerc´ıcio simples reconhecer que ~u, ~v s˜_{ao R-linearmente independentes. Ent˜ao, como}

A~u = x~u − y~v, A~v = y~u + x~v

concluimos que, na base {~u, ~v} a aplica¸c˜ao linear de matriz A tem a forma

a −b b a

.

C´alculo da exponencial da matriz A =

a −b b a

. Vimos na primeira parte do curso que,

para todo o vector

x y

, identificado com o n´_{umero z = x + iy ∈ C, temos A} x y = wz, onde w = a + ib. Resulta A2 x y

= w2z, etc. Utilizando esta equivalˆencia de c´alculo temos, pois:

eA x y = lim k→+∞[I + A + A2 2! + · · · + Ak k!] x y = lim k→+∞[z + wz + w2 2!z + · · · + wk k!z] = ewz =

ea_{cos b} _−ea_{sin b}

ea_{sin b} _ea_{cos b} x y e portanto eA=

eacos b −ea_{sin b}

easin b eacos b

(33)

Equa¸cões das trajectórias no caso de valores próprios imaginários puros. É fácil ver que a matriz a b c d

tem valores próprios imaginários puros se, e só se,

a + d = 0, a2+ bc < 0.

neste caso, o sistema linear aut´onomo associado (

u0 = au + bv

v0= cu − av ´e Hamiltoniano. Com efeito, as equa¸c˜oes

au + bv = ∂H

∂v, cu − av = − ∂H

∂u tˆem a solu¸c˜ao H(u, v) = −₂cu2_{+ auv +}b

2v

2_{. De acordo com o exemplo 1.8 na Introdu¸}_c˜_{ao, os pontos}

das traject´orias do sistema satisfazem uma equa¸c˜ao do tipo

−c 2u

2_{+ auv +} b

2v

2_{= C} _(†)

onde C é uma constante, determinada a partir de um dos pontos – isto é, de uma condi¸cão inicial. Trata-se da equa¸cão de uma elipse com centro na origem, uma vez que a matriz

−c a a b ´ e simétrica e definida positiva (ou negativa) e o primeiro membro de (†) é o polinómio quadrático associado a esta matriz. Os eixos da elipse têm as direçcões dos vectores próprios da mesma matriz. Se os valores próprios são ±iω, (ω =√−a2_{− bc) as componentes das solu¸c˜}_{oes s˜}_{ao combina¸}_c˜_{oes lineares de cos ωt}

e sin ωt; portanto, tˆem per´ıodo 2π/ω.

Cada traject´oria de um sistema 2 × 2 x0 y0 = A x y

cuja matriz A tem valores próprios complexos tem a forma de uma “espiral” cujos pontos se obtêm por alongamento ou contraçcão dos pontos de uma elipse. Com efeito, se os valores próprios são a ± ib, a mudan¸ca de variáveis independentes x = eatu, y = eatv conduz a um sistema em u e v cuja matriz, A − aI, tem valores próprios ±ib. As trajectórias deste são elipses, como acima vimos. Portanto as solu¸cões do sistema dado percorrem espirais que se afastam ou aproximam exponencialmente da origem, conforme a > 0 ou a < 0.

AP ÊNDICE 2: Triangula¸cão: um método alternativo para determinar a forma das solu¸cões do sistema y0 = Ay

Os dois seguintes lemas demonstram-se facilmente como exerc´ıcio sobre a equa¸c˜ao escalar y0 = ay + b(t).

Lemma 5.1 Sejam λ, µ dois números, λ 6= µ. Se p(t) é um polinómio de grau n, então a equa¸cão escalar z0 = λz + p(t)eµt_{tem uma solu¸}_c˜_{ao da forma q(t)e}µt_{, sendo q(t) outro polin´}_{omio de grau n.}