7 Sistemas n˜ ao lineares I: o modelo de predador-presa de Lotka-Volterra

Consideremos duas espécies, com popula¸cões: x(t) (presa) e y(t) (predador). Assumimos que, havendo recursos de alimenta¸cão dispon´ıveis e ausência de predadores, a espécie presa evolui com crescimento exponencial (taxa de crescimento, que é a diferen¸ca entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade, positiva), mas esta taxa é afectada pela presen¸ca de predadores podendo tornar-se negativa. A espécie predador, ao contrário, por depender da outra como recurso alimentar, tem taxa de crescimento negativa na ausência de presas, mas esta taxa aumenta na presen¸ca delas. Assim, um modelo para a evolu¸cão de x e y com o tempo é dado pelo sistema de primeira ordem

(

x0 = x(a − by)

y0= y(−c + dx) (7.1)

onde a, b, c, d são constantes positivas. Claro que apenas nos interessam solu¸cões com valores não negativos.

A primeira observa¸cão importante é que este sistema tem algumas solu¸cões evidentes: as triviais (constantes) (0, 0) e (x0, y0), com x0 = c/d e y0 = a/b); e solu¸cões com uma componente nula,

m´ultiplas respectivamente de

(0, e−ct) e (eat, 0).

As respectivas traject´orias no plano (x, y) s˜ao dois pontos (a origem e (x0, y0)) e os semieixos coorde-

nados. Logo, por unicidade, qualquer solu¸c˜ao (x(t), y(t)) com um valor inicial (x(t0), y(t0)) no interior

do 1o_{quadrante mant´}_{em-se no 1}o _{quadrante ∀t ≥ t} 0.

Apesar de (7.1) não ser um sistema Hamiltoniano, tem uma “lei de conserva¸cão” que permite deter- minar as trajectórias das solu¸cões no plano (x, y). Efectivamente, as solu¸cões de (7.1) são obviamente solu¸cões de

y(c − dx)x0+ x(a − by)y0 = 0

e esta equa¸c˜ao tem, como imediatamente se reconhece, o factor integrante _xy1 . Quer dizer: multiplicando por _xy1 reconhece-se imediatamente que para qualquer solu¸c˜ao (x(t), y(t)) de (7.1) existe k ∈ R tal que

F (x(t), y(t)) = k (∗)

onde

F (x, y) = c ln x + a ln y − dx − by.

Estudando a fun¸c˜ao F no 1o _{quadrante vemos que ela tem um m´}_{aximo absoluto no ponto (x} 0, y0) e

tende para −∞ quando |(x, y)| → ∞ ou quando a distˆancia de (x, y) a um dos eixos tende para 0. Em particular, as curvas de n´ıvel (*) s˜ao necessariamente limitadas!

Daqui concluimos imediatamente que as solu¸cões, consideradas já não prolongáveis, são limitadas e têm dom´ınio R. Isto é consequência do corolário 6.3.

Observemos seguidamente que o ponto (x0, y0) determina no plano quatro quadrantes onde as

solu¸cões (x, y) têm monotonia bem determinada, que se infere do próprio sistema (7.1). Portanto o sentido das trajectórias nesses quadrantes é o que está esquematizado na Figura 7.

Teorema 7.1 Toda a solu¸cão de (7.1) com uma condi¸cão inicial no 1o quadrante é periódica. .

Demonstra¸c˜ao. Consideremos a solu¸c˜ao tal que

x(0) = p, y(0) = a/b

onde, para fixar ideias, supomos p > c/d.

Esta solu¸c˜ao, para t > 0 numa vizinhan¸ca de 0, tem uma traject´oria que curva “para cima” e “para a esquerda”4

No que segue, quando nos referimos a quadrantes e eixos estamos a referir-nos aos quadrantes com origem em (x0, y0), sendo os eixos a horizontal e a vertical que passam por este ponto.

Afirmamos que existe T > 0 tal que (x(t), y(t) pertence ao 1o _{quadrante se t ∈ (0, T ),}

x(T ) = c/d e (necessariamente) y(t) > a/b).

Com efeito, se tal n˜ao fosse o caso, (x(t), y(t) pertenceria ao 1o_{quadrante ∀t ≥ 0 e, tratando-se}

então de fun¸cões monótonas limitadas, teriam limites:

x1= lim

t→+∞x(t) ≥ c/d, y1= limt→+∞y(t) > a/b.

Mas ent˜ao a primeira equa¸c˜ao de (7.1) implica que limt→+∞x0(t) = x1(a − by1) < 0, pelo que

obter´ıamos limt→+∞x(t) = −∞, contrariando o facto de x(t) ser limitada. A afirma¸c˜ao fica assim

provada.

Repetindo este argumento trˆes vezes, concluimos que a solu¸c˜ao atinge sucessivamente os outros semieixos; encontramos por fim um instante S tal que

x(S) > c/d, y(S) = a/b.

Mas como F (x(t), y(t)) é constante, temos F (x(0), a/b) = F (x(S), a/b). e como x 7→ F (x, a/b) é estritamente decrescente em [c/d, +∞), concluimos x(0) = x(S). Então (x(0), y(0)) = (x(S), y(S)). Pelo exerc´ıcio 7.4, concluimos que a solu¸cão é periódica com per´ıodo S.

Se tomássemos como condi¸cão inicial um ponto fora dos semieixos, o mesmo argumento mostraria que a trajectória acabaria por atingir, em certo instante, um semieixo, e pelo que já demonstrámos concluir´ıamos igualmente a periodicidade.

8 Sistemas n˜ao lineares II: equa¸c˜oes conservativas de 2

or-

dem: solu¸c˜oes limitadas e peri´odicas

Comecemos por apresentar dois resultados de carácter geral sobre prolongamento de certas solu¸cões de equa¸cões diferenciais.

Proposi¸cão 8.1 Seja g uma fun¸cão real cont´ınua e y(t) uma solu¸cão de y00 = g(y) definida em [0, β] tal que y0(β) = 0. Então y(t) prolonga-se a [0, 2β] como solu¸cão da mesma equa¸cão, simétrica a respeito da recta t = β.

Demonstra¸c˜ao: Basta definir z(t) = y(2β − t) se β ≤ t ≤ 2β; facilmente se verifica (exerc´ıcio) que a nova fun¸c˜ao (obviamente cont´ınua)

w(t) = (

u(t), 0 ≤ t ≤ β z(t), β ≤ t ≤ 2β

e de classe C2 _{e solu¸}_c˜_{ao de y}00_{= g(y) em [0, 2β] (Aten¸}_c˜_{ao ao comportamento de w no ponto t = β).}

Proposi¸c˜_{ao 8.2 Seja f : D → R}n _{uma fun¸}_c˜

ao cont´ınua no dom´ınio D ⊂ Rn _{e y(t) uma solu¸}_c˜_ao

do sistema y0 = f (y) em [0, β] tal que y(0) = y(β). Então y(t) tem extensão peri´_{odica a R com} per´ıodo β, que ainda é solu¸cão do sistema.

Demonstra¸cão: Que y(t) tem extensão periódica de per´ıodo β é trivial: para definir tal extensão a R come¸ca-se por definir em cada intervalo [nβ, (n + 1)β] (n ∈ Z) a fun¸cão

yn(t) = y(t − nβ), t ∈ [nβ, (n + 1)β];

em seguida toma-se a fun¸cão Y (t) cuja restri¸cão a cada intervalo [nβ, (n + 1)β] é precisamente yn.

Facilmente se conclui que Y está bem definida, é de classe C1 (isto é, tem derivadas também nos pontos da forma nβ) e satisfaz a equa¸cão diferencial.

Corolário 8.1 Seja g uma fun¸cão real cont´ınua e y(t) uma solu¸cão de y00 _{= g(y) definida em}

[0, β] tal que y0_{(0) = y}0_{(β) = 0. Ent˜}_{ao y(t) prolonga-se a R como solu¸c˜ao peri´odica, de per´ıodo 2β,}

da mesma equa¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao Aplicar as duas proposi¸c˜_{oes precedentes, utilizando o sistema em R}2

( y0 _{= z}

z0= g(y) (ou proceder directamente com a equa¸c˜ao de 2a _ordem).

OBSERVAÇ ÃO. Se, nos enunciados anteriores, g ou f são localmente Lipschitzianas, as extensões com as propriedades indicadas são únicas.

Vamos estudar um tipo importante de equa¸cões não lineares de 2aordem que se reduzem a equa¸cões de 1a _{ordem. Trata-se de equa¸}_c˜_{oes que, escritas na forma normal, s˜}_{ao aut´}_{onomas e n˜}_{ao fazem intervir}

explicitamente a primeira derivada da fun¸c˜ao inc´ognita. Tomemos como exemplo o problema de valor inicial:

u00+ u2− 1 = 0, u(0) = a, u0(0) = 0. (1) Passo 1. Redu¸c˜ao `a 1a _{ordem. Dada uma solu¸}_c˜_{ao qualquer u(t) da equa¸}_c˜_{ao diferencial, multiplicando}

a equa¸c˜ao por u0= u0(t) obtemos, em todo o dom´ınio da solu¸c˜ao u00u0+ (u2− 1)u0= 0

e, observando que agora o primeiro membro ´e reconhec´ıvel como uma derivada em ordem a t, podemos escrever tamb´em d dt u02 2 + u3 3 − u = 0.

Como o dom´ınio da solu¸c˜ao ´e um intervalo, inferimos daqui que existe uma constante K tal que u02 2 + u3 3 − u = K ou ainda, abreviando 2u3 3 − 2u =: V (u), e escrevendo K em vez de 2K: u02+ V (u) = K. (2)

A fun¸cão V tem um papel decisivo no estudo que segue. Trata-se de uma fun¸cão com um máximo local V (−1) = 4₃, um m´ınimo local V (1) = −4₃, e com limites no infinito V (−∞) = −∞, V (+∞) = +∞ (ver figura A).

Passo 2. C´alculo de K. A constante K calcula-se a partir dos valores iniciais. Para o problema (1) ser´a

K = u0(0)2+ V (u(0)) = V (a).

As propriedades da solu¸c˜ao dependem, assim, de K. Exemplificamos com o estudo de dois casos.

Caso 1. a > 1 e K = V (a) < 4₃. De (2) deduzimos, uma vez que um quadrado é não negativo, V (u(t)) ≤ V (a), ∀t pertencente ao dom´ınio de u. (3) Assim, pelas propriedades de V , u(t) só pode tomar valores no conjunto

{x| V (x) ≤ V (a)} = [b, a] ∪ (−∞, c]

onde c < b < a são as raizes da equa¸cão V (x) = V (a). Mas como a imagem de u(t) é um intervalo que contém a, deduzimos

b ≤ u(t) ≤ a ∀t. Em particular, resulta:

(i) o valor m´aximo de u ´e a = u(0).

E, como de (2) se deduz que também u0(t) é limitada, (ii) a solu¸cão não continu´_{avel de (1) tem dom´ınio R.}

Como u00(0) = 1 − a2 < 0, u0(t) toma valores positivos numa vizinhan¸ca esquerda de 0, e a equa¸cão (2) escreve-se, pelo menos para t nalgum “pequeno” intervalo do tipo [−δ, 0], como equa¸cão de variáveis separáveis,

u0=pV (a) − V (u) que podemos resolver explicitamente por primitiva¸c˜ao:

Z u

Note-se que o integral (impróprio no extremo a) que surge nesta equa¸cão tem sentido para b < u ≤ a porque é convergente. Na verdade, ele é da mesma natureza que o integral

Z a a−δ ds √ a − s, porque lim s→a− pV (a) − V (s) √ a − s = p V0_{(a) 6= 0.}

Mas o integral converge mesmo para u = b (onde ´e outra vez impr´oprio, porque V (b) = V (a)), pelo mesmo argumento! De facto

lim s→b+ pV (a) − V (s) √ s − b =p|V 0_{(b)| 6= 0.}

Assim, a solu¸c˜ao u(t) toma o valor b para t1= −

√

V (a)−V (s). Em particular,

(iii) b ´e o valor m´ınimo de u(t);

(iv) a solu¸cão não continuável de (1) é periódica de per´ıodo 2t1= 2R a b

√

V (a)−V (s).

O seguinte teorema interpreta a situa¸cão geral da qual o estudo precedente é um caso particular. (Ver uma ilustra¸cão esquemática deste teorema na Figura 6, no final do documento.)

Teorema 8.2 Consideremos a equa¸c˜ao

u00+ f (u) = 0 (4)

onde f ∈ C1

(R). Seja u(t) solu¸cão não continuável de (3) com dom´ınio I. Então, se V (u) representa uma primitiva de 2f (u), existe uma constante K tal que

u02(t) + V (u(t)) = K ∀t ∈ I. (5) Se, al´em disso,

- existe um intervalo [m, M ] tal que V (m) = V (M ) = K, V (u) < K ∀u ∈ (m, M ), e V0(m) 6= 0, V0(M ) 6= 0,

- existe t0 tal que u(t0) ∈ [m, M ],

ent˜_{ao u(t) tem dom´ınio R, valor m´ınimo m, valor máximo M e é periódica, de per´ıodo 2τ com} τ =RM

√

V (M )−V (s).

Nota 1: se forem dadas condi¸c˜oes iniciais u(0) = µ, u0(0) = ν, calculamos K a partir de (5): K = ν2+ V (µ).

Nota 2: Nas condi¸cões do teorema, é óbvio que V atinge um m´ınimo em algum ponto d ∈]b, a[. Então, f (d) = 0. Portanto existe um equil´ıbrio, isto é, uma solu¸cão constante de (4), em ]b, a[.

Demonstra¸cão. A primeira afirma¸cão é imediata porque, multiplicando a equa¸cão por u0, encontramos

d dt u

0_(t)2_{+ V (u(t)) = 0.}

Provemos a outra afirma¸cão. Comecemos por observar que a condi¸cão (5) implica que V (u(t)) ≤ K ∀t ∈ I; e como existe um valor u(t0) ∈ [m, M ], então, como u(t) é cont´ınua, em virtude do teorema

de Bolzano e de V tomar valores maiores que K fora do intervalo [m, M ], inferimos u(t) ∈ [m, M ] ∀t.

Nas condi¸cões da hipótese a solu¸cão u(t) não é constante; caso contrário u0≡ 0 daria V (u(t)) = K e então u(t) coincidiria com m ou com M , mas a hipótese diz que f (m) 6= 0 e f (M ) 6= 0.

Como a equa¸cão é autónoma, podemos então supôr que t0= 0 e u(0) ∈ (m, M ). Pelo menos numa

vizinhan¸ca de 0 vem então u0(t) = ±pK − V (u(t)). Suponhamos que u0(0) > 0 (a demonstra¸cão procede de modo análogo de u0(0) < 0). Então u é solu¸cão da equa¸cão de primeira ordem

u0(t) =pK − V (u(t))

que é do tipo considerado na Proposi¸cão 6.4, visto que o integral impróprio Z M

pK − V (s)ds

(note-se que K = V (m) = V (M )) ´e convergente (pelo argumento exposto no exemplo que precede o teorema). Resulta que u(t) est´a definida num intervalo [S, T ] onde S < 0 < T , u(S) = m, u(T ) = M , u0(S) = u0(T ) = 0 e T − S = R_mM √ 1

K−V (s)ds. Usando o teorema de existˆencia e unicidade e o

corolário 8.1, reconhece-se que u(t) é periódica de per´ıodo 2(T − S) e a demonstra¸cão fica conclu´ıda.

Caso 2. a = 3. Procedendo como no caso anterior encontramos a constante que corresponde a esta solu¸c˜ao: K = V (3) = 12. Por conseguinte, pela mesma linha de racioc´ınio,

V (u(t)) ≤ 12, ∀t pertencente ao dom´ınio de u. (6) Deduzimos que u(t) toma valores no intervalo (−∞, 3]: Mais uma vez,

(i0) o valor m´aximo de u ´e 3 = u(0).

Mas neste caso não temos minorante finito para u. Resolvendo a equa¸cão de variáveis separáveis para t ≤ 0 temos

Z u

pV (3) − V (s) = t, u ≤ 3.

Novamente, o integral tem sentido em u = 3 porque V0(3) 6= 0. Todos os valores u ≤ 3 s˜ao agora admiss´ıveis. Como Z −∞ 3 ds pV (3) − V (s) = − Z 3 −∞ ds pV (3) − V (s) ´

e convergente, a solu¸cão, não prolongável à esquerda, de (1) com a = 3 tem dom´ınio limitado: (−R_−∞3 √ ds

Refazendo este racioc´ınio para t ≥ 0 podemos verificar que o dom´ınio da solu¸cão não prolongável do mesmo problema é aproximadamente (−3.32831, 3.32831).

Exerc´ıcio: Estudar o comportamento da solu¸c˜ao de (1) para a = 2.

9 Sistemas n˜ao lineares III: o pˆendulo simples

Nota: esta seçcão foi escrita originalmente antes da precedente. Por isso encontrar-se-ão repeti¸cões relativamente ao que já foi dito nessa seçcão.

Consideremos a equa¸c˜ao do pˆendulo escrita na forma

u00+ a sin u = 0. (p) Multiplicando por u0 conclui-se que qualquer solu¸cão de (p) verifica a lei de conserva¸cão (“conserva¸cão da energia”)

u02

2 + a(1 − cos u) = K

onde K é uma constante adequada, que podemos identificar se conhecermos, por exemplo, condi¸cões iniciais u(t0), u0(t0) num instante t0. Se pusermos, para abreviar a nota¸cão

V (u) = 2a(1 − cos u)

ent˜ao a equa¸c˜ao anterior reescreve-se, com um novo significado de K:

u02+ V (u) = K. (1)

Observamos imediatamente que em (1) é necessariamente K ≥ 0 e que V (u) ≤ K. Dado que V tem máximo 4a e atendendo ao comportamento de V (fig. 9) concluimos também que, se 0 < K < 4a, então a solu¸cão correspondente, se tomar, por exemplo, o valor 0, só pode tomar valores no intervalo [−m, m] onde m ∈ (0, π) e V (m) = K.

O caso K = 0. Dá-nos em (1) as solu¸cões constantes u ≡ 0, e de um modo geral u ≡ 2nπ com n inteiro... (que representam a mesma solu¸cão “f´ısica”: o pêndulo imóvel na posi¸cão de repouso “mais baixa”).

O caso 0 < K < 4a. Vamos mostrar que as solu¸cões com tais valores de K são periódicas e daremos uma expressão para o respectivo per´ıodo. Procuremos condi¸cões iniciais que produzam a solu¸cão de (1): consideremos por exemplo a solu¸cão do PVI com condi¸cões iniciais

u(0) = 0, u0(0) = √

K. Ponhamos V (m) = K (com m ∈ (0, π)) como h´a pouco.

Facto 1: A solu¸c˜ao tem derivada positiva em (−α, α), onde

α = Z m

ds pV (m) − V (s).

Demonstra¸c˜ao: A solu¸c˜ao verifica (1) e por isso, pelo menos em alguma vizinhan¸ca de zero podemos resolver em ordem a u0 escolhendo a raiz positiva:

u0=pK − V (u) (2)

Observando que (2) tem variáveis separáveis, podemos proceder por primitiva¸cão, como recordámos no in´ıcio do curso:

Z u

pK − V (s) = t + c (3)

onde c ´e uma constante, e como u = 0 corresponde a t = 0 vˆe-se que c = 0. Temos, pois, Z u

pK − V (s)= t, −m < u < m (4)

Observemos em seguida que existe o n´umero real5 α =

Z m

pV (m) − V (s). (5)

Por conseguinte, a solu¸cão u(t), definida implicitamente por (4), está definida em (−α, α) mantendo- se válida neste intervalo a equa¸cão (2).

Derivando esta equa¸c˜ao em ordem a t imediatamente se reconhece que se trata efectivamente de uma solu¸c˜ao de (p).

Facto 2: A solu¸c˜ao prolonga-se, ainda como como solu¸c˜ao, ao intervalo [−α, α]; sendo u(±α) = ±m e u0(±α) = 0.

Demonstra¸c˜ao: Considerando a equa¸c˜ao como sistema plano u0= v, v0 = −a sin u

e notando que (4) e (2) mostram que se trata de uma solu¸cão limitada, resulta da proposi¸cão 6.1 que o referido prolongamento existe. Os valores u(±α), u0(±α) são os limites dados por aquelas fórmulas quando t → ±α e por isso são os indicados.6

Facto 3: u é prolongável ao intervalo [−α, 3α] de modo que o seu gráfico fique simétrico em rela¸cão `

a vertical t = α e u ´e ainda solu¸c˜ao de (p).

5_{De facto, o integral converge porque, em virtude de ser V}0_{(m) > 0, a integranda ´}_{e majorada, numa}

vizinhan¸ca esquerda de m, por uma fun¸c˜ao do tipo c/√m − u. De lims→mV (m)−V (s)_m−s = V0(m) deduz-se

lims→m √ V (m)−V (s) √ m−s =pV 0_{(m) e da´ı}_√ 1 V (m)−V (s)≤ 2 √

V0_(m)√_m−u em certo intervalo (m − δ, m).

6_{Como estamos em presen¸}_{ca de uma simetria (V ´}_{e par) obtivemos uma solu¸}_c˜_{ao u(t) ´ımpar; mas este facto n˜}_ao

tem um carácter essencial. Se estivéssemos a considerar uma equa¸cão análoga em que o gráfico de V é semelhante mas não simétrico, neste passo ter´ıamos uma solu¸cão definida em certo intervalo [β, α], com β < 0 < α. Ver a Nota 4 mais à frente.

Demonstra¸cão. Esta afirma¸cão resulta da Proposi¸cão 8.1. Basta definir a nova fun¸cão

y(t) = (

u(t), −α ≤ t ≤ α u(2α − t), α ≤ t ≤ 3α

A solu¸c˜ao assim estendida, que continuaremos a representar por u(t), tem agora a propriedade u(−α) = u(3α), u0(−α) = u0(3α).

Facto 4: u(t) é prolong´_{avel a R como fun¸cão de per´ıodo 4α que é solu¸cão de (p).}

Demonstra¸cão: Esta afirma¸cão resulta da proposi¸cão 8.2. Por exemplo, no intervalo [3α, 7α] a expresão anal´ıtica do prolongamento é u(t − 4α), etc.

Assim, o gr´afico de u tem o aspecto esquematizado na Figura 10.

Estimativas do per´ıodo: Retomemos uma traject´oria (1) com 0 < K < 4a. Como vimos, o per´ıodo ´ e dado por T = 4 Z m 0 du pV (m) − V (u).

Notemos que V (0) = V0(0) = 0 e V00(0) = 2a > 0. Ent˜ao, dado existe δ tal que 2a − ≤ V00(s) ≤ 2a + if 0 ≤ s ≤ δ, e como V (m − V (u) = Z m u dt Z t 0 V00(s) ds obtemos (a − 2)(m 2_{− u}2_{) ≤ V (m − V (u) ≤ (a +} 2)(m 2_{− u}2_{), 0 ≤ u < m ≤ δ.} Concluimos 4 Z m 0 du p(a + 2)(m2− u2) ≤ T ≤ 4 Z m 0 du p(a − 2)(m2− u2) e portanto lim m→0T = 2π/ √ a.

Nota 1. Como V (m) − V (u) = 4a(sin2 m₂ − sin2 x

2), o per´ıodo escreve-se T =√2 a Z m 0 du q sin2 m₂ − sin2 u₂ .

Fazendo a mudan¸ca de vari´avel

sin ϕ = sin

u 2

sinm₂ um c´alculo n˜ao muito complicado mostra que, finalmente,

T = √4 a Z π₂ 0 dϕ q 1 − sin2 m₂ sin2ϕ .

A fun¸c˜ao K(z) = Z π₂ 0 dϕ p 1 − z2_sin2_ϕ

chama-se integral el´ıptico completo de primeira esp´ecie. Portanto,

T = √4 aK(sin

m 2).

Nota 2. Os cálculos para demonstrar o Facto 1 podem ser feitos, alternativamente, de modo ligeiramente diferente: podemos resolver (2) resolvendo primeiro a equa¸cão diferencial para a fun¸cão inversa:

dt du =

pK − V (u), 0 ≤ u < m. (7) que se resolve por simples primitiva¸c˜ao:

t = t(u) = Z u 0 ds pK − V (s). (8) ´

E fácil verificar que a fun¸cão u(t), inversa da que é dada por (8), verifica efectivamente (1) em [−α, α], extremo direito inclu´ıdo! Em particular:

u(α) = m, u0(α) = 0. (9)

Nota 3. Os restante racioc´ınio poderia também ser constru´ıdo repetindo cálculos análogos ao do Facto 1. Com efeito, supondo provados os Factos 1 e 2, e como u00(α) = −a sin u(α) = −a sin m < 0, temos pelo menos numa vizinhan¸ca direita de α,

u0= −pK − V (u). (10) De (9) e do teorema de unicidade resulta

u(t) = u(2α − t), α ≤ t ≤ 2α.

Tem-se portanto

u(2α) = 0, u0(2α) = −√K. (11) Utilizando ainda (10) e o mesmo cálculo que conduziu a (8), concluimos que u(t) é prolongável pelo menos até t = 3α, com

u(3α) = −m, u0(3α) = 0 (12) porque o integral que surge no cálculo do intervalo de “tempo” necessário para que a solu¸cão passe dos valores (11) aos valores (12) é exactamente igual ao que já surgiu em (8).

Finalmente, partindo desta condi¸cão inicial, e porque pela unicidade se deve ter u(t) = u(4α − t), 3α ≤ t ≤ 4α, reconhecemos que a solu¸cão é na verdade prolongável até t = 4α e que

Conclu´ımos que

u(4α) = u(0), u0(4α) = u0(0),

ou seja, que a trajectória da curva t 7→ (u(t), u0(t)) volta ao ponto de partida após o tempo 4α. Nota 4. Estes argumentos aplicam-se, mais geralmente, a equa¸cões redut´ıveis à forma (1), em que V é uma fun¸cão C1que não precisa de ser par e tal que

{x| V (x) < K} = (n, m)

com n < 0 < m, V (n) = V (m) = K e V0(n) < 0), V0(m) > 0. Também neste caso se constrói uma solu¸cão periódica, não necessariamente ´ımpar.

O caso K > 4a. Vamos mostrar que neste caso a solu¸cão é ilimitada e tem derivada periódica.

Por (1), a derivada de u nunca se anula. Então é sempre positiva ou sempre negativa. Para fixar ideias, suponhamos que é sempre positiva (o tratamento do outro caso é análogo). Resulta que a equa¸cão pode escrever-se na forma equivalente (2) e em particular

0 < δ :=√K − 4a < u0(t) <√_{K, ∀t ∈ R.} Integrando obtemos

u(t) < δt, se t ≤ 0; u(t) > δt, se t ≥ 0. Em particular,

lim

t→−∞u(t) = −∞, t→+∞lim u(t) = +∞

e u ´e estritamente crescente e sobrejectiva. Em particular, existe um n´umero T (dependente de K, claro) tal que

u(T ) = 2π. Vamos ent˜ao mostrar que

u(t + T ) = u(t) + 2π ∀t ∈ R. (13) Na verdade, para t = 0 esta igualdade é verdadeira (porque u(0) = 0). E notando que ambos os membros representam solu¸cões de (2) (o primeiro porque a equa¸cão é autónoma; o segundo porque V tem per´ıodo 2π) conclu´ımos, invocando o teorema de existência e unicidade para o problema de valor inicial, que de facto (13) se verifica. E de (13) resulta logo que u0 tem per´ıodo T .

O caso K = 4a. Neste caso a solu¸cão ou é constante ou é estritamente crescente e tem-se

lim

t→−∞u(t) = −π, t→+∞lim u(t) = +π

ou ´e estritamente decrescente e tem-se lim

t→−∞u(t) = π, t→+∞lim u(t) = −π.

Sendo K = 4a podemos ter u ≡ 2(n + 1)π, com n ∈ Z e evidentemente u0 ≡ 0; ou ent˜ao u n˜ao ´

por (2) e portanto u é dada implicitamente por (4), onde agora m = π. Ora, usando um critério de compara¸cão como atrás, verificamos que

Z π

pV (π) − V (s) = +∞

pelo que a solu¸cão u(t) é efectivamente definida por (4) para todo o t real e a afirma¸cão sobre os limites é correcta.

Uma solu¸c˜ao deste tipo diz-se heterocl´ınica porque “liga” os equil´ıbrios ±π.

Nota. E ´´ util estudar as traject´orias das curvas t → (u(t), u0_{(t)) no plano (u, u}0_{) (plano de fases).}

As equa¸cões destas curvas são as da forma (1); por¸cões delas são gráficos da fun¸cão com expressão designatória (2) onde u é vista como variável independente e u0 como a variável dependente. As solu¸cões periódicas correspondem então a curvas fechadas; o caso K > 4a dá o gráfico de uma fun¸cão periódica; as heterocl´ınicas são curvas que ficam num dos semiplanos u0> 0 ou u0 < 0 e ligam (π, 0) a (−π, 0). O conjunto está esquematizado na Figura 11.

10 O pˆendulo simples com atrito e o comportamento assint´otico

de certas solu¸c˜oes de sistemas n˜ao lineares

Nesta seçcão estudamos a equa¸cão

u00+ cu0+ f (u) = 0 (∗∗) onde c ∈ R e f é cont´ınua em R. Equa¸cões deste tipo surgem em importantes modelos da Mecânica.

Teorema 10.1 Seja c > 0. Se u(t) é solu¸cão limitada de (**) em [0, ∞), então limt→+∞u(t) = l

existe e f (l) = 0. Al´em disso limt→+∞u0(t) = 0.

Para a demonstra¸c˜ao teremos em conta, sucessivamente, o seguinte.

Facto 1: u0(t) é também limitada. Efectivamente, pondo v = u0 basta resolver a equa¸cão linear v0+ cv = b(t) onde b(t) = −f (u(t)) é limitada.

Facto 2: R₀∞u0(s)2ds < ∞. Temos, multiplicando a equa¸c˜ao por u0 d

dt[ u02

2 + F (u)] + cu

02_{= 0}

de onde, para todo o T > 0

[u 02 2 + F (u)] T 0 + c Z T 0 u02= 0 e, em virtude da hip´otese e do Facto 1, os integraisRT

0 u

02 _s˜_{ao majorados independentemente de T .}

Facto 3: limt→+∞u0(t) = 0. Como a partir do Facto 1 se deduz que u00(t) ´e limitada em [0, ∞)

Facto 4: limt→+∞F (u(t)) existe. Com efeito, da demonstra¸c˜ao do Facto 2 resulta que u

2 + F (u)

e decrescente. Depois aplicar o Facto 3.

Para concluir a demonstra¸c˜ao, suponhamos que lim inft→+∞u(t) 6= lim supt→+∞u(t). Ent˜ao

existem a < b tal que, dado um n´umero qualquer r ∈ [a, b], existe t arbitrariamente grande tal que u(t) = r.

Em virtude do Facto 4, temos F =constante em [a, b] e ent˜ao f = 0 em [a, b]. Tomemos r = (a + b)/2, δ > 0 tal que 2δ/c < (b − a)/4, e em seguida T > 0 de modo que

u(T ) = r e |u0(t)| < δ ∀t ≥ T.

Para t ≥ T e pelo menos no intervalo [T, S) tal que t ∈ [T, S) ⇒ u(t) ∈ (a, b), temos

u00+ cu0= 0

o que implica u = A + Be−ct, A + Be−cT = r e |B|ce−ct< δ. Mas ent˜ao

|A + Be−ct− r| ≤ 1 c|cBe

−cT_{− cBe}−ct_{| ≤} 2δ

c < b − a)/4

o que significa que para todo o t ≥ T a solu¸cão é de facto A + Be−ct e toma valores apenas em [3a+b₄ ,a+3b₄ ], uma contradi¸cão.

Assim, limt→+∞u(t) = l existe. E agora a pr´opria equa¸c˜ao (**) mostra que limt→+∞u00(t) existe,

n˜ao podendo deixar de ser 0. Logo, f (l) = 0. A demonstra¸c˜ao fica concluida.

Nota. Pensando na equa¸c˜ao como o sistema de primeira ordem equivalente (

u0= v

v0_{= −c v − f (u)}

que tem a solu¸cão constante (l, 0), o que mostrámos é que a trajectória de (u, u0) no plano de fases tende para esta constante. As solu¸cões constantes chamam-se “equil´ıbrios” do sistema.

Com base neste resultado, vamos apresentar um método directo para o estudo do comportamento assintótico das solu¸cões da equa¸cão do pêndulo simples com atrito7

u00+ cu0+ a sin u = 0 (1) onde c e a s˜ao constantes positivas. Este exemplo serve de modelo para problemas an´alogos.

Usando a nota¸cão da seçcão 4, observamos que, dada uma solu¸cão arbitrária de (1), a fun¸cão (“energia”)

E(t) = u0(t)2+ V (u(t)) (2)

7_{A for¸}_{ca de atrito, que agora se sup˜}_{oe existir, e ser proporcional `}_{a velocidade, est´}_{a representada pelo novo termo}

e decrescente8, visto que

E0(t) = −2cu02 (3). Em particular,

E(t) ≤ E(0), ∀t ≥ 0 (4) (o “tempo inicial” pode ser fixado no valor t = 0, já que a equa¸cão é autónoma).

Proposi¸c˜ao 10.1 Se E(0) < 4a, a solu¸c˜ao ´_{e limitada em [0, +∞) e por isso existe n ∈ Z, par, tal} que

lim

t→+∞u(t) = nπ.

Demonstra¸cão. A solu¸cão fica limitada em virtude de (4) e de o máximo de V ser 4a, como nos argumentos da seçcão sobre o pêndulo simples. Em virtude do teorema anterior, a solu¸cão tende para um equil´ıbrio de (1) quando t → +∞. Como E(t) é decrescente, temos limt→+∞E(t) = V (l) < 4a,

e isso prova a ´ultima afirma¸c˜ao.

Asa solu¸cões com energia inicial 4a ou são os equil´ıbrios 2(n + 1)π ou perdem efectivamente energia logo nos instantes seguintes, em virtude de (3), e então caem no caso previsto na proposi¸cão anterior. Para termos uma ideia do comportamento das solu¸cões perto de um equil´ıbrio nπ podemos considerar a equa¸cão linearizada de (1) nesse equil´ıbrio:

z00+ cz0+ a(−1)nz = 0

onde z descreve aproximadamente o comportamento da diferen¸ca u − nπ. Vemos que esse comportamento depende de c, a e da paridade de n. Por exemplo, para pequenos valores de c, a aproxima¸cão ao equil´ıbrio é em espiral, já que a equa¸cão linearizada tem raizes caractetr´ısticas complexas.

Vejamos que há também solu¸cões que tendem para os equil´ıbrios nπ, com n ´ımpar, quando t → +∞. Para isso, vamos reduzir a procura de certas solu¸cões de (1) à das solu¸cões de uma equa¸cão de primeira ordem. Suponhamos, efectivamente, que temos em vista uma solu¸cão monótona crescente, para fixar ideias. O gráfico da sua trajectória no plano (u, u0) é o de uma fun¸cão ϕ tal que u0= ϕ(u) (significando u0(t) = ϕ(u(t)) para todo o t do intervalo onde está definida). Introduzindo em (1), vemos que ϕ verifica

ϕ0(u)ϕ(u) + cϕ(u) + a sin u = 0 ou seja

d 2 duϕ(u)

2_{+ cϕ(u) + a sin u = 0.}

Pondo ϕ2= ψ e como ϕ ≥ 0, vem finalmente a equa¸c˜ao de primeira ordem

ψ0(u) + 2cpψ(u) + 2a sin u = 0. (5)

Consideremos o equil´ıbrio (π, 0). A solu¸c˜ao de (5) tal que ψ(π) = 09 satisfaz ψ(0) > 4a

como se conclui imediatamente integrando (5) no intervalo [0, π]. Atendendo ao significado de ψ, isto quer dizer que no instante em que u = 0, a energia (ψ + V ) ´e > 4a. O valor da energia em u = 0,

No documento ACED ODEs2015 (páginas 43-65)