UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO
GRANDE DO SUL – UNIJUÍ
LEONARDO BORTOLON MARASCHIN
MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM ROBÔ GANTRY COM
ACIONAMENTO PNEUMÁTICO
Ijuí, RS – BRASIL.
2015
MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM ROBÔ GANTRY COM ACIONAMENTO PNEUMÁTICO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática.
Orientador: Dr. Antonio Carlos Valdiero Coorientador: Dr. Luiz Antonio Rasia
Ijuí, RS – BRASIL 2015
SUL
DCEEng – DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM ROBÔ GANTRY COM ACIONAMENTO PNEUMÁTICO
Elaborada por
LEONARDO BORTOLON MARASCHIN
Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática
Comissão Examinadora
Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero – UNIJUÍ (Orientador)
Prof. Dr. Jocarly Patrocínio de Souza- PPGPPF/UPF
Prof. Dr. Rafael Zancan Frantz- UNIJUÍ
Prof. Dr. Luiz Antonio Rasia – UNIJUÍ (Co-Orientador)
A minha família, aos professores e colegas, em especial ao orientador Dr. Antonio Carlos Valdiero.
A Deus por me dar saúde e a oportunidade de cursar o mestrado.
A minha família, pela ajuda e o incentivo aos estudos.
Ao meu orientador Doutor Antonio Carlos Valdiero pela orientação, a paciência e a amizade.
Ao meu co-orientador Doutor Luiz Antonio Rasia pela orientação, a amizade e principalmente a explicação da parte eletrônica do robô Gantry.
Aos meus colegas do Mestrado da turma de 2013 pela amizade e pelo trabalho em equipe.
A CAPES pelo apoio financeiro no curso de mestrado.
A UNIJUÍ pela infraestrutura disponível e aos docentes que ajudaram a construir o conhecimento necessário para construir este trabalho.
A secretária Geni pela ajuda e amizade durante o período do mestrado.
“Para os crentes, Deus está no princípio das coisas. Para os cientistas, no final de toda reflexão” Max Planck
Este trabalho apresenta a modelagem matemática e a estratégia de controle de posição de um robô pneumático para fins de aplicações industriais, incluindo-se os resultados de testes experimentais. Tal robô foi desenvolvido no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) da Unijuí Câmpus Panambi. Atuadores pneumáticos são sistemas muito atrativos para diversas aplicações, em especial na robótica, porque eles têm a vantagem de baixo custo, leveza, durabilidade e são limpos, também possuem facilidade de manutenção, têm boa relação força/tamanho e flexibilidade de instalação, e além disso o ar comprimido está disponível na maioria das instalações industriais. Entretanto, sistemas de posicionamento pneumático possuem algumas características indesejáveis as quais limitam o uso destes em aplicações que requerem uma resposta precisa. Estas características indesejáveis são causadas pela compressibilidade do ar e pelas não linearidades presentes em sistemas pneumáticos, tais como o comportamento não linear da vazão mássica nos orifícios da válvula e sua zona morta, além do atrito nas vedações do cilindro pneumático. Neste trabalho obtém-se um modelo matemático não linear de 10ª ordem (total) para os dois primeiros graus de liberdade do robô que tem a estrutura cinemática do tipo Gantry. Os parâmetros da zona morta e do atrito foram obtidos experimentalmente e o modelo proposto foi validado em malha aberta para a primeira junta. É implementada uma estratégia de controle clássico com compensação da não linearidade da zona morta em testes experimentais com malha fechada e planejamento da trajetória desejada senoidal e trapezoidal, sem e com a compensação da zona morta, cujos resultados ilustram as características do controlador utilizado e a importância da compensação da zona morta. Este trabalho de pesquisa contribui para o desenvolvimento e o controle de posição de robôs pneumáticos de baixo custo para aplicação industrial.
Palavras-chave: Robôs pneumáticos, Robô Gantry, Controle de posição, Validação
This work presents the mathematical modeling and the position control strategy of a pneumatic robot for the purpose of industrial applications, including the experimental results. This robot was developed at the Innovation Center in Automatic Machinery and Servo Systems (NIMASS) of Unijuí Câmpus Panambi. Pneumatic actuators are very attractive systems for various applications, particularly in robotics, because they have the advantage of low cost, light weight, durability and are clean, also have ease of maintenance, have good relationship power to size, installation flexibility, and more over compressed air is available in most industrial plants. However, pneumatic positioning systems have some undesirable characteristics which limit the use thereof in applications requiring precise response. These undesirable characteristics are caused by the compressibility of air and the nonlinearities present in pneumatic systems, such as the non-linear behavior of the mass flow in the holes of the valve and a dead zone, in addition to the friction of the pneumatic cylinder seals. In this work we obtain a non-linear mathematical model of 10th order (total) for the first two degrees of freedom robot having kinematic gantry type structure. The parameters of the dead zone and friction were obtained experimentally and the model proposed was validated in open loop to the first joint. Classic-control strategy with compensation of non linearity of the dead zone is implemented in experimental tests were performed with closed loop and planning sinusoidal and trapezoidal, desired trajectory with and without the compensation of the dead zone, whose results illustrate controller characteristics of the used and the importance of compensation of the dead zone. This research work contributes to the development and the position control of low cost pneumatic robots for industrial application.
Figura 1 – Desenho interno de uma válvula direcional proporcional ... 22
Figura 2 – Efeitos prejudiciais do atrito no seguinte de trajetória ... 23
.Figura 3 - Desenho esquemático de um robô pneumático Gantry para polimento de peças. . 24
Figura 4 – Fotografia do protótipo de um robô pneumático Gantry para polimento de peças. ... 24
Figura 5 – Bancada de Instrumentação com a placa eletrônica dSPACE para aquisição de sinais e controle ... 27
Figura 6 – Protótipo inicial do Robô Gantry sem as melhorias. ... 29
Figura 7 – Protótipo do Robô Gantry com a primeira melhoria... 30
Figura 8 – Protótipo do Robô Gantry com a segunda melhoria. ... 31
Figura 9 – Protótipo do Robô Gantry com a terceira melhoria. ... 31
Figura 10 – Protótipo do Robô Gantry com a quarta melhoria. ... 32
Figura 11 – Robô Gantry com indicação de algumas partes ... 33
Figura 12 – Robô Gantry com descrição de algumas partes ... 33
Figura 13 – Desenho da Guia Linear TRH ... 35
Figura 14 – Representação dos sistemas de coordenadas de referência em cada elo de acordo com a convenção de Denavit-Hartenberg (D-H) indicadas no robô Gantry com acionamento pneumático. ... 38
Figura 15 – Representação do atrito de estático ... 43
Figura 16 – Representação do atrito de Coulomb ... 44
Figura 17 – Representação do atrito viscoso ... 45
Figura 18 – Representação do atrito de arraste ... 45
Figura 19 – Representação do atrito de Stribeck ... 46
Figura 20 – Combinação das características do atrito em regime permanente ... 46
Figura 21 – Representação gráfica da zona morta presente nas servoválvulas ... 49
Figura 22 – Diagrama de blocos utilizados na identificação da zona morta presente na servoválvula ... 49
Figura 23 – Diagrama de blocos do acréscimo do offset no sinal de controle ... 50
Figura 24 – Representação gráfica da inversa da zona morta suavizada linearmente... 51
servoválvula ... 52
Figura 27 – Trecho do sinal de controle da servoválvula utilizada para determinação do zme ... 58
Figura 28 – Comportamento das pressões e a zona morta esquerda na servoválvula 1 ... 58
Figura 29 – Trecho do sinal de controle da servoválvula utilizada para determinação do zmd ... 59
Figura 30 – Comportamento das pressões e a zona morta direita na servoválvula 1 ... 60
Figura 31 – Comportamento das pressões e a zona morta esquerda na servoválvula 2 ... 60
Figura 32 – Comportamento das pressões e a zona morta direita na servoválvula 2 ... 61
Figura 33 – Zona morta baseada no centro da servoválvula 1 ... 61
Figura 34 – Zona morta baseada no centro da servoválvula 2 ... 62
Figura 35 – Zona morta na servoválvula 1 centrada ... 62
Figura 36 – Zona morta na servoválvula 2 centrada ... 63
Figura 37 – Zona morta residual na servoválvula 1 ... 64
Figura 38 – Trecho percorrido no 1º grau de liberdade com o sinal de controle em malha aberta de 4 volts ... 65
Figura 39 – Trecho com velocidade constante no atuador 1 no sinal de controle em malha aberta de 4 volts ... 66
Figura 40 – Força pneumática no atuador 1 no sinal de controle em malha aberta de 4 volts 66 Figura 41 – Mapa estático do atrito no 1º grau de liberdade do robô Gantry ... 69
Figura 42 – Curva experimental do mapa estático do atrito no 1º grau de liberdade do robô Gantry ... 70
Figura 43 – Validação do sinal de controle em malha aberta de 4 V. ... 72
Figura 44 – Validação da trajetória realizada na 1º junta com o sinal de controle em malha aberta de 4 V. ... 73
Figura 45 – Validação da força pneumática do sinal do controle 4 V em malha aberta. ... 73
Figura 46 – Diagrama do controle em malha aberta ... 75
Figura 47 – Diagrama do controle em malha fechada ... 75
Figura 48 – Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias senoidais ... 78
Figura 49 – Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias tipo trapeizodal... 78
Figura 50 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle proporcional com um ganho de kp = 5 ... 79
ganho de kp = 5 ... 80
Figura 52 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle proporcional com um ganho de
kp = 5 ... 80
Figura 53 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle proporcional com um
ganho de kp = 10 ... 81
Figura 54 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle proporcional com um
ganho de kp = 10 ... 82
Figura 55 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle proporcional com um ganho de
kp = 10 ... 82
Figura 56 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle proporcional com um
ganho de kp = 11 ... 83
Figura 57 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle proporcional com um
ganho de kp =11 ... 83
Figura 58 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle proporcional com um ganho de
kp = 11 ... 84
Figura 59 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle PI com ganhos em kp =
10 e ki = 1. ... 85
Figura 60 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle Pi com ganhos de kp = 10 e
ki = 1 ... 85
Figura 61 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle Pi com ganhos de kp = 10 e ki =
1 ... 86
Figura 62 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle PI com ganhos de kp =
10 e ki = 1.5 ... 86
Figura 63 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle PI com ganhos de kp = 10
e ki = 1.5 ... 87
Figura 64 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle PI com ganhos de kp = 10 e ki =
1.5 ... 87
Figura 65 - Trajetórias realizadas na junta 1 do robô Gantry em uma senoide com o período
de 25s ... 88
Figura 66 - Erros de seguimentos na junta 1 em uma senoide com o ciclo de 25s ... 89 Figura 67 - Sinais dos controles enviados para servoválvula 1 no período de 25s ... 90 Figura 68 - Trajetórias realizadas na junta 1 do robô Gantry em uma senoide com o período
Figura 70 - Sinais dos controles enviados para servoválvula 1 no período de 10 s ... 91 Figura 71 - Trajetórias realizadas na junta 2 do robô Gantry em uma senoide com o período
de 25 s ... 92
Figura 72 - Erros de seguimentos na junta 2 em uma senoide com o ciclo de 25s ... 93 Figura 73 - Sinais dos controles que foram transmitidos para servoválvula 2 no ciclo de 25s
... 93
Figura 74 - Trajetórias realizadas na junta 2 do robô Gantry em uma senoide com o período
de 10 s ... 94
Figura 75 - Erros de seguimentos na junta 2 em uma senoide com o ciclo de 10s ... 94 Figura 76 - Sinais dos controles que foram transmitidos para servoválvula 2 no ciclo de 10 s
... 95
Figura 77 - Trajetórias tipo trapezoidal realizadas na junta 1 do robô Gantry ... 96 Figura 78 - Erros de seguimentos na junta 1 na trajetória tipo trapezoidal ... 97 Figura 79 - Sinais que foram transmitidos para servoválvula 1 na trajetória tipo trapezoidal 97 Figura 80 - Trajetórias tipo trapezoidal realizadas na junta 2 do robô Gantry ... 98 Figura 81 - Erros de seguimentos na junta 2 na trajetória tipo trapezoidal ... 99 Figura 82 - Sinais que foram transmitidos para servoválvula 2 na trajetória tipo trapezoidal 99 Figura 83 – Certificado de Trabalho-Destaque no Salão do Conhecimento 2014 – XIX
Tabela 1 – Componentes do protótipo do robô Gantry ... 34
Tabela 2 – Parâmetros de Denavit-Hartenberg ... 37
Tabela 3 – Variação das juntas (di) do robô Gantry ... 38
Tabela 4 – Zona morta da válvula direcional proporcional 1 e 2 ... 63
Tabela 5 – Experimentos realizados para sinais de controle positivos em malha aberta ... 67
Tabela 6 – Experimentos realizados para sinais de controle negativos em malha aberta ... 68
Tabela 7 – Parâmetros do mapa estático do atrito na 1º junta do robô Gantry ... 69
Tabela 8 – Parâmetros da vazão máxima da servoválvula utilizados na simulação computacional ... 71
Tabela 9 – Parâmetros das propriedades do ar comprimido ... 71
Tabela 10 – Parâmetros do cilindro pneumático do 1º grau do robô Gantry ... 72
Alfabeto Latino
𝐴1 Área da Câmara A do cilindro [𝑚2]
𝐴2 Área da Câmara B do cilindro descontada a haste [𝑚2]
A Câmara A do cilindro
B Câmara B do cilindro
𝐵 Coeficiente de amortecimento viscoso [𝑁𝑠/𝑚]
𝐶𝑑 Coeficiente de arraste [𝑁𝑠2/𝑚²]
𝐶𝑝 Calor específico do ar a pressão constante [𝑐𝑎𝑙/𝑔. º𝐶]
𝐶𝑣 Calor específico do ar a volume constante [𝑐𝑎𝑙/𝑔. º𝐶]
𝐷 Diâmetro do êmbolo do cilindro [𝑚]
𝐷ℎ Diâmetro da haste do cilindro [𝑚]
𝑒(𝑡) Erro de seguimento [𝑚]
𝐹𝑎𝑡𝑟 Força de atrito [𝑁]
𝐹𝑎𝑡𝑟,𝑠𝑠 Força de atrito em regime permanente [𝑁]
𝐹𝑐 Força de atrito Coulomb [𝑁]
𝐹𝑠 Força de atrito estático [𝑁]
𝑓1(𝑦) Função não linear dependente da posição
𝑓2(𝑦) Função não linear dependente da posição
𝐹𝑝 Força pneumática gerada no atuador [𝑁]
𝑔𝑠𝑠(𝑦̇) Função que descreve parte das características do atrito em
regime permanente
𝑔1(𝑝𝑎, 𝑠𝑔𝑛(𝑈𝑇)) Função não linear dos componentes dependentes do sinal de
controle
𝑔2(𝑝𝑎, 𝑠𝑔𝑛(𝑈𝑇)) Função não linear dos componentes dependentes do sinal de
controle
𝑘𝑑 Ganho derivativo
𝑘𝑖 Ganho integral
𝑘𝑝 Ganho do controlador proporcional
𝐿 Comprimento do curso total do cilindro [𝑚]
𝑙𝑐 Largura de suavização utilizada na compensação [𝑉]
𝑚𝑒 Inclinação esquerda da zona morta
𝑝𝑎𝑡𝑚 Pressão atmosférica [𝑃𝑎]
𝑝𝑎, 𝑦3 Pressão na câmara A do cilindro [𝑃𝑎]
𝑝𝑏, 𝑦4 Pressão na câmara B do cilindro [𝑃𝑎]
𝑝𝑠 Pressão de suprimento [𝑃𝑎]
𝑞𝑚𝑎 Vazão mássica na câmara A do cilindro [𝑘𝑔/𝑠]
𝑞𝑚𝑏 Vazão mássica na câmara B do cilindro [𝑘𝑔/𝑠]
𝑅 Constante universal dos gases [𝐽𝑘𝑔/𝐾]
𝑇 Temperatura do ar [𝐾]
𝑈𝑇 Sinal de controle (volts) [𝑉]
𝑈𝑧𝑚 Sinal de controle com a zona morta [𝑉]
𝑈𝑐𝑧𝑚 Sinal de controle da zona morta compensada [𝑉]
𝑉𝑎0 Volume na câmara A do cilindro quando o êmbolo está na
posição inicial (𝑦 = 0)
[𝑚3]
𝑉𝑏0 Volume na câmara B do cilindro quando o êmbolo está na
posição inicial (𝑦 = 0)
[𝑚3]
𝑤 Componente plástica do deslocamento [𝑚]
𝑥𝑣 Posição do carretel da servoválvula [𝑚]
𝑦𝑑 Posição desejada do êmbolo do atuador [𝑚]
𝑦, 𝑦1 Posição do êmbolo do atuador [𝑚]
𝑦̇, 𝑦2 Velocidade do atuador [𝑚/𝑠]
𝑦𝑠̇ Velocidade de Stribeck [𝑚/𝑠]
𝑦̈ Aceleração do atuador [𝑚/𝑠²]
𝑦5, 𝑧 Microdeformações médias das rugosidades entre as superfícies
elásticas de contato (pré-deslizamento)
[𝑚]
𝑦𝑚𝑖𝑛 Posição mínima do atuador [𝑚]
𝑦𝑚𝑎𝑥 Posição máxima do atuador [𝑚]
𝑦𝑓 Posição final do atuador [𝑚]
𝑧𝑏𝑎 Deslocamento de força de quebra [𝑚]
𝑧𝑒𝑟𝑜 Posição central da servoválvula [𝑉]
𝑧𝑚𝑎𝑥 Valor máximo das microdeformações [𝑚]
𝑧𝑚𝑑 Limite direito da zona morta [𝑉]
𝑧𝑚𝑒 Limite esquerdo da zona morta [𝑉]
𝛼 Coeficiente constante da função exponencial 𝛽𝑒𝑛𝑐ℎ Coeficiente de vazão para a câmara enchendo
𝛽𝑒𝑠𝑣 Coeficiente de vazão para câmara esvaziando
𝛾 Relação entre os calores específicos do ar
𝜎0 Coeficiente de rigidez das microdeformações [𝑁/𝑚]
𝜎1 Coeficiente de amortecimento das microdeformações [𝑁𝑠/𝑚]
𝜎2 Coeficiente de amortecimento viscoso [𝑁𝑠/𝑚]
Símbolos
∆ Variação
(. ) Derivada primeira (. . ) Derivada segunda (. . . ) Derivada segunda
1 INTRODUÇÃO ... 19 1.1 Contextualização ... 19 1.2 Revisão bibliográfica ... 21 1.3 Justificativa ... 25 1.4 Objetivos ... 25 1.5 Metodologia ... 26 1.6 Organização do trabalho ... 27
2 DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL ... 29
2.1 Melhorias realizadas no protótipo do robô pneumático Gantry ... 30
2.2 Descrição do protótipo do robô pneumático Gantry ... 32
2.3 Discussões ... 36
3 MODELAGEM MATEMÁTICA ... 37
3.1 Modelagem cinemática ... 37
3.2 Modelagem do atuador pneumático ... 41
3.3 Modelagem do atrito ... 43
3.4 Modelagem da zona morta ... 48
3.5 Modelagem dinâmica ... 52
3.6 Discussões ... 55
4 RESULTADOS DE TESTES EM MALHA ABERTA ... 57
4.1 Identificação dos parâmetros da não linearidade de zona morta e sua compensação ... 57
4.2 Identificação dos parâmetros do atrito ... 64
4.3 Validação experimental do modelo para a primeira junta ... 71
4.4 Discussões ... 74
5 RESULTADOS DE TESTES DE CONTROLE DE POSIÇÃO EM MALHA FECHADA ... 75
5.1 Descrição dos controladores clássicos... 76
5.2 Implementação dos controladores P, PI e da compensação da zona morta... 77
5.3 Procedimento de ajuste dos ganhos dos controles de posição ... 78
5.4 Resultados do controle com trajetória senoidal ... 88
5.5 Resultados do controle com trajetória tipo trapezoidal ... 95
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 102
APÊNDICE A – Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias senoidais ... 109
APÊNDICE B – Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias tipo trapezoidal.. ...110
APÊNDICE C – Resumo expandido publicado (MARASCHIN et al., 2014c) ... 111
APÊNDICE D – Artigo publicado (MARASCHIN et al, 2014b) ... 113
ANEXO A – Catálogo da Guia Linear TRH ... 122
ANEXO B – Catálogo do Cilindro Pneumático DNC-100-500-PPV ... 123
ANEXO C – Catálogo do Sistema Transdutor Linear MLO-POT-1000-TLF ... 124
ANEXO D – Catálogo do Cilindro sem Haste... 125
ANEXO E – Catálogo da Unidade de Conservação ... 126
ANEXO F – Catálogo do Sensor de Pressão ... 127
ANEXO G – Catálogo do Cilindro Pneumático DNC-40-160-PPV ... 128
ANEXO H – Catálogo da Esmerilhadeira Angular ... 129
ANEXO I – Catálogo da Válvula Direcional Proporcional ... 130
1 INTRODUÇÃO
1.1 Contextualização
Este trabalho apresenta a modelagem matemática e o controle de posição de um manipulador robótico pneumático de cadeia cinemática do tipo Gantry para aplicação industrial de manuseio e acabamento de peças. Esta pesquisa científica é um dos resultados obtidos no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) do Departamento de Ciências Exatas e Engenharias (DCEEng) no Câmpus Panambi da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ).
De acordo com Valdiero (2012), robô industrial é um dispositivo mecânico que pode ser programado para desempenhar uma variedade de tarefas de manipulação e locomoção sob o comando de um controle automático (CERONI e NOF, 1999). Robôs são considerados como representantes típicos de sistemas mecatrônicos, os quais integram aspectos de manipulação, sensoriamento, controle e comunicação. Um conceito moderno para o termo mecatrônica é apresentado em Stecki (2000) e refere-se ao projeto e uso de sistemas eletrônicos e computacionais na engenharia mecânica, os quais possibilitam a “máquina” comportar-se de forma inteligente diante de tarefas não repetitivas e não padronizadas. Tais sistemas mecatrônicos têm como características principais a separação explícita entre controle e potência (interconectados através das informações dos sinais dos sensores); o aumento da complexidade do sistema; a segurança inerente dependente da confiabilidade de hardware e da análise de estabilidade; e o enfoque no desenvolvimento de estratégias de controle, visando a compensação das características não lineares dos componentes mecânicos que prejudicam o desempenho.
A pneumática deriva do termo grego pneumatikos, que significa “fôlego”, utiliza o gás pressurizado ou ar comprimido na ciência e tecnologia. Nos últimos anos a pneumática vem ganhando espaço e se tornou uma das principais tecnologias de automação da indústria e sua aplicação tem potencial em diversos setores (BAVARESCO, 2008).
Atuadores pneumáticos são sistemas muito atrativos para diversas aplicações, em especial na robótica, porque eles têm a vantagem de baixo custo, leveza, durabilidade e são
manutenção, têm boa relação força/tamanho e flexibilidade de instalação, e, além disso, o ar comprimido está disponível na maioria das instalações industriais (GUENTHER et al., 2006; BOBROW et al., 1998; WEICKGENANNT et al., 2010; QIONG et al., 2011; WANG et al., 2011). Os servoposicionadores pneumáticos também apresentam menor risco de contaminação ambiental e de operação em relação aos sistemas hidráulicos, visto que, se ocorrer no sistema hidráulico um vazamento de óleo, isso poderá gerar sérios danos ambientais, ainda maiores se este óleo for inflamável, destaca Suzuki (2010).
Na última década estão sendo estudadas com grande ênfase as características não lineares de atuadores pneumáticos por vários pesquisadores (PERONDI, 2002; ANDRIGHETTO et al., 2006; ENDLER, 2009; RITTER, 2010, VALDIERO et al., 2011; PÖRSCH, 2012; ZAMBERLAN, 2013; RICHTER, 2013; VIECELLI, 2014; SANTOS, 2014; RICHTER et al., 2014; SCHOENMEIER et al., 2014).
Uma contribuição apresentada por Perondi (2002) em sua tese de doutorado tratou das deficiências dos controladores tradicionais, verificadas e superadas através do projeto adequado de algoritmos não lineares de controle. Também equacionou o atrito baseando-se no modelo Lugre, com o qual se pode observar e trabalhar com as principais características não lineares do atrito para fins de compensação em tempo real.
Andrighetto et al. (2006) enfatiza que um sistema servo pneumático tem muitas desvantagens que podem ser superadas pelo sistema de controle. As principais não linearidades em sistemas servopneumático são a equação da vazão de ar através do orifício da válvula, a compressibilidade do ar e os efeitos do atrito entre as superfícies em contato nas vedações do atuador.
Valdiero (2011) expressa o quão importante é o estudo das não linearidades presentes nos sistemas mecânicos, as quais causam limitações no desempenho do controle preciso, portanto destacando-se uma das necessidades é de identificação e compensação da zona morta a partir da observação da dinâmica do comportamento das pressões nos orifícios das válvulas. Este trabalho abrange a modelagem matemática dos dois primeiros graus de liberdade de um robô cartesiano (tipo Gantry) acionado por atuadores pneumáticos e mostra a importância da compensação da não linearidade da zona morta. A inclusão da modelagem matemática da dinâmica do atuador pneumático fundamenta-se no modelo matemático não linear de 5ª ordem apresentado por Richter (2013). A seção seguinte apresenta uma breve revisão bibliográfica sobre robôs pneumáticos disponíveis na literatura recente.
A modelagem matemática tem como objetivo a visualização e a compreensão do comportamento dinâmico do robô, com isso pode-se prever os movimentos do efetuador final (garra robótica ou ferramenta) segundo Ferruzzi (2003). Através do uso da modelagem a humanidade teve um grande avanço tecnológico, pois com ela foi possível diminuir os gastos e obter respostas com mais rapidez na produção em série de produtos, tais como microcomputadores, veículos e diversos outros bens de consumo.
Conforme Alfaro (2006), um robô é um dispositivo autônomo ou semi-autônomo que realiza trabalhos de acordo com um controle humano, controle parcial com supervisão, ou de forma autônoma. Ele foi inicialmente criado para desempenhar funções perigosas e danosas para as pessoas, mas com o avanço da ciência atualmente realiza atividades mais complexas com maior precisão e rapidez. Os robôs podem ser classificados em: móveis, manipuladores e a combinação destes últimos dois. Sendo que um robô industrial é um manipulador, com propósito geral, constituído estruturalmente de vários segmentos mecânicos rígidos ligados em série por juntas e tendo na extremidade uma garra ou ferramenta, conforme Valdiero (2012). Com ele as indústrias puderam automatizar algumas linhas de produção e assim aumentaram a produção e a qualidade dos produtos. Os cinco tipos principais de braços em robótica de manipulação são: cartesiano (onde se caracteriza o tipo especial chamado Gantry), cilíndrico, polar, revolução e SCARA (SILVA, 1999).
Existem várias vantagens de utilizar o robô com braço cartesiano, entre elas estão o aumento da produtividade, a maior qualidade do produto final, a segurança das pessoas, além de serem facilmente adaptáveis para grandes dimensões. Este tipo de robô é muito empregado em diversas áreas da indústria, sendo bastante usado na manipulação de cargas, nas máquinas de corte a laser e na usinagem CNC (Computer Numeric Control).
Conforme Bavaresco (2007), os atuadores ou acionadores podem ser distribuídos em: pneumáticos, óleo-hidráulicos, hidro-hidráulicos, elétricos rotativos (DC e DA), elétricos lineares. Onde os atuadores pneumáticos são dispositivos que convertem a energia de ar comprimido em energia mecânica (MEHMOOD et al., 2010; BOLLMANN, 1997; ANDRIGHETTO, 1999).
As vantagens do sistema pneumático são facilidade para transporte em tubulações, facilidade de armazenamento por serem compressíveis em reservatórios, além de matéria prima não poluente, observando Vale (2011).
indesejáveis as quais limitam o uso destes em aplicações que requerem uma resposta precisa (GUENTHER et al., 2006; ALLGAYER, 2011). Estas características indesejáveis derivam da alta compressibilidade do ar (WEICKGENANNT et al., 2010) e das não linearidades presentes em sistemas pneumáticos, tais como o comportamento não linear da vazão mássica nos orifícios da válvula e sua zona morta (VALDIERO et al., 2011), além do atrito nas vedações do cilindro linear (ANDRIGHETTO et al., 2006).
A zona morta é causada pela sobreposição do ressalto do carretel da servoválvula no do orifício da passagem do ar comprimido, conforme Figura 1, porque a largura do carretel é maior que a abertura da servoválvula.
Figura 1 – Desenho interno de uma válvula direcional proporcional
Fonte: Bavaresco (2007).
Em sistemas de posicionamento pneumático as forças de atrito na superfície de deslizamento do pistão são bastante dependentes das características físicas das superfícies em contato, tal como das propriedades e da geometria dos materiais, e das condições de lubrificação (GUENTHER et al., 2006), sendo a controlabilidade da posição do sistema pneumático inferior ao sistema elétrico (LI et al., 2011).
Segundo Armstrong e Canudas de Wit (2000) o atrito prejudica o seguimento de trajetória através de alguns efeitos, sendo que os principais são o stick-slip, o hunting, o standstill e o quadrature glitch.
entre o movimento de deslizamento e o repouso, o efeito hunting é a oscilação do movimento que acontecem em torno de uma posição constante, a perda de movimento chamada standstill sucede quando o sistema é mantido parado por um intervalo de tempo ao passar pela velocidade nula e o erro de seguimento num movimento de vários eixos é o quadrature glitch.
.
Figura 2 – Efeitos prejudiciais do atrito no seguinte de trajetória
Fonte: Valdiero (2005)
A seguir apresenta-se um breve levantamento dos robôs acionados pneumaticamente e a importância de suas aplicações industriais. As informações foram obtidas a partir de artigos científicos publicados em revistas e eventos internacionais (RAOUFI e SURGENOR, 2005; SAMHOURI et al., 2005; DEHGHAN e SURGENOR, 2013; LISHA et al., 2013; GUANGYUE et a., 2013; WAIT e GOLDFARB, 2014; MEHMOOD et al., 2014).
Raoufi e Surgenor (2005) avaliaram experimentalmente a habilidade de um robô Gantry pneumático para esmerilhar as arestas de peças de aço, cujo desenho esquemático do robô é
(a) stick-slip (b) hunting
juntas acionadas por atuadores pneumáticos, pois os eixos Y e Z estão na mesma direção
.Figura 3 - Desenho esquemático de um robô pneumático Gantry para polimento de peças.
Fonte: Adaptado de Raoufi e Surgenor (2005)
Um sistema de inferência neuro-fuzzy adaptativo foi usado por Samhouri et al. (2005) para sintonizar on-line um controlador PID para este robô pneumático usado para o polimento de bordas de peças de aço, cuja fotografia do protótipo é mostrada na Figura 4.
Figura 4 – Fotografia do protótipo de um robô pneumático Gantry para polimento de peças.
Em aplicações de robótica com interação com o meio, tem-se o desafio do controle de posição e força. No controle de força com realimentação, muitas vezes necessita-se do sinal de medição de força e/ou torque e o uso de sensores de força e torque podem se tornar oneroso. Conforme Valdiero (2012), a força de carga e/ou interação nos sistemas pneumáticos pode ser estimada por meio da força pneumática determinada com a utilização sensores de pressão de mais baixo custo, sendo que possíveis força de gravidade e de atrito podem serem estimadas através de testes experimentais ou determinação das condições da tarefa. Nos robôs com acionamento elétrico, a medição da força e/ou torque só é possível através de sensores de força e de torque que possuem um alto custo e dificuldade de instalação, dessa forma o controle de força se torna bem mais caro do que nos robôs pneumáticos.
Na realização de atividades onde há risco de ocorrer uma explosão, segundo Li et al. (2011) o robô com acionamento pneumático apresentam vantagens significantes em relação ao robô com acionamento elétrico, como a baixa geração calor e a não produção do campo magnético, dessa forma a possibilidade surgir uma faísca é praticamente nula.
Além disso, para executar as funções de polimento, lixamento e de pintura, os manipuladores pneumáticos são mais seguros do que os elétricos, pois o ar é compressível e funciona como uma mola. Enquanto os manipuladores elétricos para realizar as tarefas citadas precisam de um controle preciso de posição, para evitar o que danifique o meio de interação.
Entretanto, conformeRitter et al. (2010) e Maraschin et al. (2014c) existem várias não linearidades presentes no atuador pneumático que prejudica o seu desempenho, por isso há um grande campo de pesquisa na modelagem e nas formas de compensação das características não lineares presentes, ampliando o potencial de aplicações da robótica.
1.4 Objetivos
Este trabalho tem como objetivo principal desenvolver e validar a modelagem matemática do comportamento dinâmico de um robô Gantry com três graus de liberdade acionado por atuadores pneumáticos para ser utilizado em processos de lixamento.
específicos:
• Realizar melhorias construtivas no robô Gantry com acionamento pneumático; • Apresentar os principais componentes da bancada experimental;
• Modelar e identificar os parâmetros do atrito;
• Modelar, identificar e compensar a zona morta presente nas servoválvulas do acionamento;
• Desenvolver um modelo matemático que descreva o comportamento dinâmico do protótipo;
• Realizar simulações computacionais usando software Matlab;
• Validar o modelo matemático desenvolvido e realizar testes na bancada experimental do robô pneumático Gantry;
• Socializar os resultados obtidos na forma de publicações na comunidade cientifica.
1.5 Metodologia
A metodologia utilizada é composta de revisão bibliográfica, de melhorias no protótipo do robô pneumático, do desenvolvimento da formulação do modelo matemático, da realização de simulações computacionais do modelo e da implementação do controle clássico com a obtenção de resultados experimentais.
A revisão bibliográfica foi baseada na literatura científica recente e nos antecedentes do grupo de pesquisa. As principais pesquisas antecedentes do grupo estão sistematizadas em várias dissertações de mestrado (BAVARESCO, 2007; MIOTTO, 2008; ENDLER, 2009; RITTER, 2010; PÖRSCH, 2011; RICHTER, 2013).
Para realizar os testes experimentais no protótipo foi usado a Bancada de instrumentação, mostrado na Figura 5, composta de uma placa alemã dSPACE DS 1104, configurada para taxas de amostragem e de aquisição de 1 ms, que está integrada a um microcomputador. Sendo que os movimentos horizontais e verticais desse robô foram capturados pelos sistemas transdutores lineares e enviados em forma de sinais analógicos para a placa citada, após ocorrer o processamento no computador do sinal recebido, a placa dSPACE envia os sinais analógicos para as válvulas direcionais proporcionais que liberam a
e a posição final da ferramenta.
Figura 5 – Bancada de Instrumentação com a placa eletrônica dSPACE para aquisição de sinais e controle
Fonte: próprio autor
Para a construção dos diagramas de blocos e a simulação computacional foi utilizado o software Matlab/Simulink, sendo que o método numérico utilizado foi o Runge-Kutta de 4ª ordem com o passo de integração de 1ms.
Os testes experimentais necessários a esta dissertação foram desenvolvidos na infraestrutura disponível na UNIJUÍ no Câmpus Panambi, em especial no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS), em uma bancada de testes experimentais composta por um robô Gantry com acionamento pneumático.
1.6 Organização do trabalho
O presente trabalho está organizado em seis capítulos. O capítulo 2 descreve a bancada experimental do robô, o capítulo 3 desenvolve a modelagem matemática do robô pneumático
servoválvulas, incluindo-se a não linearidade de zona morta e do atrito.
No capítulo 4 têm-se os resultados obtidos em malha aberta na bancada de testes, tais como a identificação da zona morta na servoválvula, a identificação dos parâmetros do atrito e a validação do modelo matemático na 1º junta do robô.
O controle do robô pneumático é apresentado no capítulo 5, onde tem-se os resultados em malha fechada para um controlador clássico com e sem um esquema não linear para compensação da zona morta.
No capítulo 5 também tem o planejamento de trajetórias, a compensação de zona morta e os resultados do planejamento de trajetória com e sem zona morta compensada no controle proporcional-integral.
O capítulo 6 apresenta as conclusões e perspectivas futuras. E por fim, têm-se as referências bibliográficas e os anexos.
2 DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL
A bancada experimental estudada é composta por uma estrutura cinemática tipo cartesiana com três graus de liberdade e possui acionamento pneumático. Sendo que os deslocamentos das juntas prismáticas do robô são capturados por uma placa eletrônica dSPACE de aquisição de sinais e controle, montada em um microcomputador, que está integrado ao software Matlab.
Segundo Gilat (2012) o nome do programa citado originou da fusão das palavras Matrix Laboratory (Laboratório de Matrix), pois na sua base operacional é utilizado matrizes. O Matlab possui uma linguagem de alto nível, sendo bastante usado em cálculos matemáticos, modelagens e simulações.
O Robô Gantry usado nesta dissertação teve como base o protótipo anterior (LOCATELI, 2008), conforme Figura 6, onde foi modificado com a inclusão de melhorias construtivas, conforme mostrado na seção seguinte.
Figura 6 – Protótipo inicial do Robô Gantry sem as melhorias.
2.1 Melhorias realizadas no protótipo do robô pneumático Gantry
Primeiramente foram desmontados os três graus de liberdade da bancada experimental, após isso foi trocado no primeiro e segundo grau de liberdade as guias formadas por buchas de nylon e tubo industrial por guias lineares com patins com abas, mostrados na
Figura 7, com isso foi melhorado a precisão do robô.
Figura 7 – Protótipo do Robô Gantry com a primeira melhoria.
Fonte: próprio autor
Logo após foi colocado o terceiro grau de liberdade, que foi usado por Bavaresco em 2007 na sua dissertação, no protótipo do robô Gantry. Mas foi fixada uma lixadeira elétrica no terceiro elo, segundo Figura 8, desta da bancada experimental.
Na terceira melhoria foi trocado o cilindro pneumático que movimentava o primeiro elo do protótipo por outro, conforme Figura 9, com maior curso e diâmetro, dessa forma foi aumentado o volume de trabalho e a força pneumática do robô.
Depois foi trocado o terceiro grau de liberdade do protótipo por outro, mostrado
Figura 10, que foi construído pelo Lopes (2015), onde foi fixada uma lixadeira pneumática.
Também foi colocado um regulador de pressão proporcional para controlar a força do cilindro pneumático instalado no terceiro elo da bancada experimental.
Figura 8 – Protótipo do Robô Gantry com a segunda melhoria.
Fonte: próprio autor
Figura 9 – Protótipo do Robô Gantry com a terceira melhoria.
Figura 10 – Protótipo do Robô Gantry com a quarta melhoria.
Fonte: próprio autor
Por último foi colocado uma articulação esférica na ponta do cilindro pneumático instalado no elo zero do robô Gantry, após isso foi observado que o movimento do primeiro elo ficou mais suave na primeira junta do protótipo.
O robô Gantry utilizado nesta dissertação serve como plataforma de testes para verificação dos modelos matemáticos e das estratégias de controle de posição, encontra-se no NIMASS na Unijuí Câmpus Pânambi e está descrito mais detalhadamente na seção seguinte que já o apresenta após o reprojeto e a implementação de melhorias no protótipo realizadas nesta dissertação de mestrado.
2.2 Descrição do protótipo do robô pneumático Gantry
O robô cartesiano, ilustrado nas Figura 11 e Figura 12, foi construído em uma estrutura fixa do tipo pórtico, com três graus de liberdade, sendo que as juntas são prismáticas e ainda possui uma servoválvula de controle direcional para cada cilindro pneumático de dupla ação. Para manter o ar comprimido limpo e lubrificado na bancada experimental é utilizada uma unidade de conservação.
Figura 11 – Robô Gantry com indicação de algumas partes
Fonte: próprio autor
Figura 12 – Robô Gantry com descrição de algumas partes
Os componentes indicados anteriormente no robô Gantry com acionamento pneumático têm as suas especificações descritas na Tabela 1. Nos anexos serão mostrados os catálogos dos principais componentes do protótipo.
Tabela 1 – Componentes do protótipo do robô Gantry
Item Componente Fabricante Código
Catálogo Especificações
1 Guia Kalatec TR15
Espessura: 13 mm Largura: 15 mm
Comprimento: 1200 mm
Capacidade carga dinâmica: 897 kgf Capacidade de carga estática: 1863 kgf
2 Cilindro pneumático com haste Festo DNC-100-500-PPV (163490) Diâmetro da haste: 25 mm Diâmetro do cilindro: 100 mm Curso: 500 mm
Força teórica avanço (6 bar): 4712 N
3 Transdutor de deslocamento linear Festo MLO- POT-1000-TLF (152632) Resolução do trajeto: 0,01 mm Curso: 1000 mm 4 Cilindro pneumático sem haste Rexroth 52060204 00 Diâmetro: 25 mm Curso: 1000 mm Força teórica: 500 N 5 Unidade de conservação Festo 162773 Grau de filtração: 5 μm
Vazão nominal padrão: 1.700 l/min
6 Reservatório de ar comprimido Proar RA 080.500.1 Volume: 2,51.10 -3 m3 7 Sensor de pressão Festo SDE1- D10-G2- R18-C-PU-M8 (529958)
Faixa de medição de pressão: 0 – 10 bar
8 Transmissor
de pressão Gefran
TKG E
1M 1DM Faixa de medição de pressão: 0 – 10 bar
9 Patins Kalatec TRH15FL
Espessura: 21 mm Largura: 47 mm
Comprimento: 1200 mm
Capacidade carga dinâmica: 897 kgf Capacidade de carga estática: 1863 kgf
10 Cilindro pneumático com haste Festo DNC-40-160-PPV (163357) Diâmetro da haste: 16 mm Diâmetro do cilindro: 40 mm Curso: 160 mm
Força teórica avanço (6 bar): 754 N
11 Esmerilhadei ra angular Chiaperini Pneumática s CH E-10A Disco: 5’’ RPM: 10000
12 Válvula direcional proporcional Festo MPYE-5- 1/8-HF-010-B (151693)
Função de válvula: 5/3 vias, fechada Vazão nominal padrão: 700 l/min
13 Regulador de pressão Werk-Schott Pneumática 221-R21C2
Vazão (7bar): 1280 l/min
Pressão de trabalho: 0 até 10 bar
14 Regulador de pressão proporcional SMC ITV3050- 33F4N3-X15 Vazão: 4000 l/min
Pressão de trabalho: 0,05 até 10 bar
15 Suporte para
eixo Samick SK25
Espessura: 24 mm Base: 70 mm
16 Eixo Samick NI-WV Diâmetro: 25 mm
Comprimento: 300 mm 17 Rolamento fechado com flange cilíndrica Samick LMEF25 UU
Capacidade carga dinâmica: 980 N Capacidade de carga estática: 1560 N
18 Articulação
esférica Festo
SGS-M20x1,5 (9264)
Movimento máximo da rótula: 15° Fonte: próprio autor
As partes chamadas de guia (1) e patins (9) mostrado na Figura 13 formam juntas a Guia Linear TRH, que servem para aplicações de exigem precisão e têm baixíssima manutenção (KALATEC, 2015).
Figura 13 – Desenho da Guia Linear TRH
2.3 Discussões
Neste Capitulo foram descritas as melhorias realizadas no protótipo do robô pneumático do tipo Gantry, inclusive a realizada pelo Cristiano Rafael Lopes em 2015 no terceiro grau de liberdade.
Também foram mostradas as especificações dos principais componentes da bancada experimental. Os resultados do desenvolvimento deste protótipo estão descritos em MARASCHIN et al. (2014a).
Como futuras melhorias, recomenda-se a colocação de uma tela ao redor do elo zero do robô, para evitar acidentes com os operadores do protótipo.
3 MODELAGEM MATEMÁTICA
Neste capítulo apresenta-se a modelagem matemática do robô pneumático tipo Gantry, composto de juntas prismáticas acionadas por atuadores pneumáticos, cada um composto por uma servoválvula direcional e um cilindro de dupla ação, considerando as não linearidades presentes no sistema.
Na seção 3.1 é mostrada a modelagem cinemática e a determinação dos parâmetros do protótipo do robô utilizando-se a convenção de Denavit-Hartenberg (D-H). Na seção 3.2 tem-se o modelo matemático de 5º ordem não linear do atuador pneumático. A tem-seção 3.3 é apresentada a modelagem do atrito presente na bancada experimental. A modelagem da não linearidade da zona morta presente na servoválvula está na seção 3.4. A penúltima seção apresenta modelagem dinâmica do robô. Por fim, na última seção tem as discussões referentes a modelagem do robô Gantry.
3.1 Modelagem cinemática
Para realizar a modelagem cinemática direta e inversa do robô utilizou-se a convenção de Denavit–Hartenberg (SCIAVICCO, 1996). Na Figura 14 podem ser visualizados os sistemas de coordenadas (Xi, Yi, Zi) de referência em cada elo e os eixos das juntas do robô.
O cálculo da posição e orientação das coordenadas ligadas com a ponta de atuação em relação às coordenadas ligadas à base é cinemática direta (VALDIERO, 2005).
Sendo que ai éa distância entre Zi-1 e Zi, θi é o ângulo entre Xi-1 e Xi em torno de Zi-1, αi
é o ângulo entre Zi-1 e Zi medido em Xi, di é a ordenada medida ao longo de Zi-1 que localiza o
eixo Xi em relação ao Xi-1 e neste robô cartesiano o parâmetro 𝑑𝑖 é variável. Os parâmetros
D-H do protótipo estão descritos na Tabela 2.
Tabela 2 – Parâmetros de Denavit-Hartenberg
𝒆𝒍𝒐𝒊 𝒂𝒊 (m) 𝜽𝒊 (rad) 𝜶𝒊 (rad) 𝒅𝒊 (m)
𝒆𝒍𝒐𝟏 0 0 −𝜋 2⁄ 𝑑1
𝒆𝒍𝒐𝟐 0 −𝜋 2⁄ 𝜋 2⁄ 𝑑2
𝒆𝒍𝒐𝟑 0 0 0 𝑑3
A variação de d1, d2 e d3 nas juntas, conforme Tabela 3,mostram o volume de trabalho
do robô Gantry.
Tabela 3 – Variação das juntas (di) do robô Gantry
d1 d2 d3
Variação (m) 0 a 0,495 0 a 0,83 0 a 0,16
Fonte: próprio autor
Figura 14 – Representação dos sistemas de coordenadas de referência em cada elo de acordo com a convenção
de Denavit-Hartenberg (D-H) indicadas no robô Gantry com acionamento pneumático.
Fonte: próprio autor
Para construir as matrizes de transformação homogênea que relaciona o movimento de um eloi em relação ao eloi-1, usa-se a Equação 1.
Ai−1i = � cosθi senθi 0 0 −senθicosαi cosθicosαi senαi 0 senθisenαi −cosθisenαi cosαi 0 aicosθi aisenθdi i 1 � (1)
Substituindo os valores da Tabela 2 nas Equações anterior, obtêm-se as Equações 2, 3 e 4 que estão logo abaixo:
A01 = � 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 d1 1 � (2) A12 = � 0 −1 00 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 d2 1 � (3) A23 = � 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 d3 1 � (4)
Para determinar a matriz de transformação homogênea que relaciona sistema de referência do efetuador final com o da base fixa, usa-se seguinte Equação 5.
𝑇𝑛0 = 𝐴10 ∙ 𝐴21 ∙ … ∙ 𝐴𝑛𝑛−1 (5)
Substituindo os valores das Equações 2, 3 e 4 na Equação 5, obtemos a Equação 6.
T30 = � 0 0 1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 −d3 d2 d1 1 � (6)
As relações de posição e orientação final do robô nas Equações 7, 8, 9 e 10.
X30 = �
0 0
Y30 = � 0 1 0 � (8) Z30 = � −1 0 0 � (9) P30 = � Px Py Pz � = �−dd23 d1 � (10)
Na cinemática inversa usam-se os dados e a orientação do efetuador final, para calcular as variáveis de junta. Nesse robô Gantry calcula-se as ordenadas (di) do efetuador
final, medidas ao longo de z0, conforme está na Equação 11, 12 e 13.
d3 = −Px (11)
d2 = Py (12)
d1 = Pz (13)
A cinemática diferencial do robô relaciona as velocidades de junta com as velocidades lineares e angulares do efetuador final, conforme a equação 14.
v�⃗ = � P��⃗̇ W ���⃗� = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ P���⃗̇x Py ���⃗̇ Pz ���⃗̇ Wx �����⃗ Wy �����⃗ Wz �����⃗⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = Jrq̇ = �JJpi oi� q̇i (14)
Onde Jr é a matriz jacobiana do robô rígido e q̇ o vetor das velocidades no espaço das
juntas. Sendo que para determinar os elementos da matriz jacobiana da junta i prismática, utiliza-se se a equação 15 e 16.
Jpi= Zi−0 (15)
Joi= 0�⃗ (16)
Para obter os valores das equações 15 e 16 observa-se a equação 17.
Ai−1i = �Xi Yi Zi
0 0 0 P1�i (17)
A matriz jacobiana do robô rígido e o vetor das velocidades das juntas deste robô Gantry, podem ser escritos segundo a equação 18.
. Jrq̇ = �JJp1 Jp2 Jp3 o1 Jo2 Jo3� . � d1̇ d2̇ d3̇ � (18)
Então a velocidade da junta pode ser mostrada pela equação 19.
v�⃗ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡−d3̇ d2̇ d1̇ 0 0 0 ⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (19)
3.2 Modelagem do atuador pneumático
O modelo não linear de 5ª ordem, conforme Richter (2013), a seguir é descrito pelas Equações 20 a 24, na forma de variáveis de estado, considerando y1 = y, y2 = ẏ, y3 = pa, y4 = pb e y5 = z.
𝑦̇1 = 𝑦2 (20)
𝑦̇3 = −𝑉 𝛾𝐴1 𝑎0+ 𝐴1𝑦1𝑦2𝑦3+ 𝛾𝑅𝑇 𝑉𝑎0+ 𝐴1𝑦1𝑞𝑚𝑎(𝑈𝑇, 𝑦3) (22) 𝑦̇4 = 𝑉 𝛾𝐴2 𝑏0− 𝐴2𝑦1𝑦2𝑦4− 𝛾𝑅𝑇 𝑉𝑏0− 𝐴2𝑦1𝑞𝑚𝑏(𝑈𝑇, 𝑦4) (23) 𝑦̇5 = 𝑦2− 𝛼(𝑦5, 𝑦2)𝑔 𝜎0 𝑠𝑠(𝑦2) 𝑠𝑔𝑛(𝑦2)𝑦5 (24)
Sendo que y1 é a posição do êmbolo, y2 é a velocidade, y3 e y4 são as pressões nas
câmaras A e B do cilindro, y5é a dinâmica das microdeformações, qma e qmb são as vazões
mássicas nas câmaras A e B do cilindro, Va0 e Vb0 os volumes das câmaras A e B, T é a temperatura do ar de suprimento, R é a constante universal dos gases e γ é a relação entre os calores específicos do ar.
Endler (2009) propôs as Equações 25 e 26 para determinar as vazões qma e qmb, através de testes experimentais.
qma(UT, pa) = g1�pa, sgn(UT)�arctg(2UT) (25)
qmb(UT, pb) = g2�pb, sgn(UT)�arctg(2UT) (26)
Onde g1 e g2 são funções sinal dadas pelas Equações 27 e 28.
g1�pa, sgn(UT)� = β∆pa= � (ps− pa)β ench se U T≥ 0 (pa− patm)βesv se UT< 0 (27) g2�pb, sgn(UT)� = β∆pb = � (ps− pb)β ench se U T< 0 (pb− patm)βesv se UT≥ 0 (28)
Sendo que ps é a pressão de suprimento, patm a pressão atmosférica, βench e βenv são coeficientes constantes característicos respectivamente do enchimento e do esvaziamento das câmaras do cilindro.
3.3 Modelagem do atrito
A dinâmica não linear do atrito está presente em todos os sistemas mecânicos que possuem movimento, causa atrasados na trajetória desejada e pode instabilizar o sistema.
Segundo Valdiero (2012), o modelo do atrito possui diversas características clássicas compostas pelo atrito estático, de Coulomb, viscoso e de arraste. Também é formado por fenômenos mais complexos, como o atrito de Stribeck, atrito estático crescente, memória de atrito e deslocamento de predeslizamento.
O atrito estático ocorre quando a velocidade é zero e impede o movimento com a mesma magnitude de força (ou torque) aplicada u(t) até um valor máximo de força de atrito estático Fs, conforme Equação 29.
Festático(t) = �u(t), se |u(t)| < FF s
sδ�ẏ(t)�sgn�u(t)�, se |u(t)| ≥ Fs (29)
Onde 𝑦̇(𝑡) é a velocidade e 𝛿(𝑦̇(𝑡)) é a função impulso descrita pela Equação 30.
δ�ẏ(t)� = �1,0, se ẏ(t) = 0se ẏ(t) ≠ 0 (30)
A função impulso é usada para mostrar que o atrito estático ocorre apenas em repouso, sendo que a força de atrito estático é aproximadamente proporcional ao deslocamento de predeslizamento, segundo Figura 15.
Figura 15 – Representação do atrito de estático
O atrito de Coulomb foi desenvolvido pelo francês Coulomb no final do século XVIII, sendo que é independente da área de contato, produz uma força oposta ao movimento relativo e é proporcional à força normal de contato, segundo Equação 31.
FCoulomb(t) = Fcsgn�ẏ(t)� quando ẏ(t) ≠ 0 (31)
Sendo que 𝐹𝑐 é a magnitude do atrito de Coulomb e não depende da intensidade da velocidade relativa 𝑦̇(𝑡), mostrado na Figura 16.
Figura 16 – Representação do atrito de Coulomb
Fonte: Valdiero (2011)
O atrito viscoso foi pesquisado pelo britânico Reynolds no inicio século XIX, ocorre numa situação com boa lubrificação e é linearmente proporcional à velocidade, conforme Equação 32.
Fviscoso(t) = Bẏ(t) (32)
Figura 17 – Representação do atrito viscoso
Fonte: Valdiero (2005)
O atrito de arraste proporciona resistência no movimento de um corpo através de um fluido, sendo proporcional ao quadrado da velocidade e geralmente acontece em um escoamento turbulento, descrito na Equação 33.
Farraste(t) = FD�ẏ(t)�2sgn(ẏ(t)) (33)
Sendo que 𝐹𝐷 é o coeficiente de arraste. Na Figura 18 nota-se que em baixas velocidades o valor do atrito de arraste torna-se pequeno e assim pode ser desprezado.
Figura 18 – Representação do atrito de arraste
Fonte: Valdiero (2012)
O atrito de Stribeck foi descoberto pelo alemão Richard Hermann Stribeck no inicio do século XX, é um fenômeno não linear que ocorre em baixas velocidades e tem a inclinação
negativa, conforme pode ser observado na Figura 19. No trecho onde ocorre esse atrito citado geralmente acontece o efeito stick-slip no seguimento da trajetória desejada.
Figura 19 – Representação do atrito de Stribeck
Fonte: Valdiero (2005)
Na Figura 20 pode ser visto a combinação das características do modelo do atrito apresentadas anteriormente, que resultam numa função não linear.
Figura 20 – Combinação das características do atrito em regime permanente
Fonte: Valdiero (2012)
A modelagem do atrito foi estudada por vários pesquisadores, mas o modelo dinâmico LuGre proposto por Canudas de Wit et al. (1995) foi escolhido, pois é baseado nas microdeformação das rugosidades das superfícies de contato, segundo Equação 34.
Fatr = σ0z + σ1ż + σ2ẏ (34)
Onde Fatr é a força de atrito dinâmico, σ0 é coeficiente de rigidez das deformações
microscópicas, σ1 Coeficiente de amortecimento associado à taxa de variação de z, σ2 é o
coeficiente de amortecimento viscoso (B), z é deformação média que ocorre entre as superfícies e 𝑦̇ representa a velocidade relativa entre as superfícies. A taxa de variação de 𝑧 segundo Dupont, Armstrong e Hayward (2000) está na Equação 35.
dz
dt = ẏ �1 − α(z, ẏ) σ0
gss(ẏ) sign(ẏ)z� (35)
Onde gss(ẏ) descreve parte das características do atrito em regime permanente e representada pela Equação 36.
gss(ẏ) = Fc+ (Fs− Fc)e−� ẏ
ẏs�
2
(36)
Sendo Fc é o atrito de Coulomb, Fs é o atrito estático e ẏs é a velocidade de Stribeck. A função 𝛼(𝑧, 𝑦̇) foi incorporada ao modelo LuGre e é utilizada para obter a representação do atrito estático (stiction), conforme as Equações 37 e 38.
α(z, ẏ) = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧0, se |z| ≤ zba 0 <12 sen �πz − � zmax(ẏ)+zba 2 � zmax(ẏ) − zba � + 1 2 < 1, 𝑠𝑒 zba< |z| < zmax(ẏ) 1, se |z| ≥ zmax(ẏ)⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ sgn(ẏ) = sgn(z) 0, se sgn(ẏ) ≠ sgn(z) (37)
0 < zba < zmax(ẏ) = gssσ(ẏ)
0 para ∀ẏ ∈ ℜ
(38)
Onde zba é o deslocamento de força de quebra, de modo que para z ≤ zba todo movimento na interface de atrito é composto apenas de comportamentos elásticos, e 𝑧𝑚𝑎𝑥 é o valor máximo das microdeformações e depende da velocidade.
Em regime permanente, a velocidade 𝑦̇ é constante, α(z, ẏ) = 1 e tem-se ż = 0. No entanto, o estado interno 𝑧 de atrito aproxima-se da Equação 39:
zss =|ẏ|ẏ gssσ(ẏ) 0 = sgn(ẏ) �Fc+ (Fs− Fc)e−� ẏ ẏs� 2 � σ0 (39)
Realizando a substituição da Equação 39 na Equação 34, obtêm-se a Equação 40, que representa a força de atrito em regime permanente.
Fatr,s= σ0zs+ σ1∙ 0 + σ2ẏ = sgn(ẏ) �Fc+ (Fs− Fc)e−� ẏ
ẏs�
2
� + σ2ẏ (40)
3.4 Modelagem da zona morta
Esta seção aborda a modelagem matemática e a metodologia proposta por Valdiero (2012) para identificação e compensação da zona morta em válvulas proporcionais direcionais, baseada na dinâmica das pressões das câmaras do cilindro pneumático.
A zona morta prejudica o desempenho dos controladores de posição, causa atrasos na resposta do sistema, por isso é necessário à identificação e compensação dessa não linearidade para obter bons resultados no controle dos robôs.
Sendo que esta não linearidade citada é uma relação estática entre valores de entrada e saída, que tem uma faixa de sinais de entrada com saída nula. O modelo genérico para esta não linearidade baseado em Tao e Kokotovic (1996) pode ser visto na Equação 41.
𝑢𝑧𝑚(𝑡) = �
𝑚𝑑(𝑢(𝑡) − 𝑧𝑚𝑑) 𝑠𝑒 𝑢(𝑡) ≥ 𝑧𝑚𝑑 0 𝑠𝑒 𝑧𝑚𝑒 < 𝑢(𝑡) < 𝑧𝑚𝑑 𝑚𝑒(𝑢(𝑡) − 𝑧𝑚𝑒) 𝑠𝑒 𝑢(𝑡) ≤ 𝑧𝑚𝑒
(41)
Onde o sinal de entrada é u, o sinal de saída é uzm, o limite direito da zona morta é
zmd, o limite esquerdo da zona morta é zme, as inclinações da zona morta são md e me. A representação gráfica da não linearidade zona morta presente nas servoválvulas pode ser visto na Figura 21.
Para os controladores de posição dos atuadores pneumáticos terem um bom desempenho é importante que a abertura do orifício da servoválvula seja proporcional ao sinal do controle enviando para válvula direcional proporcional, por isso a zona morta tem que ser identificada através de teste experimentais e depois compensada no sistema.
Figura 21 – Representação gráfica da zona morta presente nas servoválvulas
Fonte: Valdiero (2005).
Os experimentos para identificar a zona morta são feitos com um sinal de controle senoidal lento em malha aberta, com um período de 100 s, mostrado na Equação 42. A amplitude utilizada foi de 10 V, pois a faixa de funcionamento da válvula proporcional direcional é de -10 até 10 volts.
𝑢(𝑡) = 10𝑠𝑒𝑛 �2𝜋
100� 𝑡 (42)
Para realizar a identificação da zona morta presente na servoválvula foi utilizando o diagrama de blocos que está na Figura 22.
Figura 22 – Diagrama de blocos utilizados na identificação da zona morta presente na servoválvula
Fonte: próprio autor
y2 y1 1 seno2 1 seno1 ps pb pa dyy2 dy1 0 degrau2 0 degrau1 chave2 chave1 Si ne Wave Sinal de Controle u1 Sinal de Controle u2 Fp1 ps pa1 pb1 y 1 dy 1 y 2 dy 2 Robô Gantry Pneum áti co 0 Ini ci oatua2 0 Ini ci oatua1 Fp1
Após isso o carretel da servoválvula deve ser centrado se for necessário, através do acréscimo do offset no sinal de controle, conforme pode ser observado na Figura 23. A função do offset é dividir a sobreposição do ressalto do carretel da servoválvula no do orifício da passagem do ar comprimido e assim manter a pressão do sistema pneumático.
Figura 23 – Diagrama de blocos do acréscimo do offset no sinal de controle
Fonte: próprio autor
Para compensar a zona morta deve-se construir a sua inversa fixa, mas tem que ser suavizada linearmente próxima a origem para evitar ruídos no sinal de controle. Sendo que a Equação 43 mostra o modelo matemático da compensação da zona morta.
𝑢𝑐𝑧𝑚(𝑡) = ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 𝑢𝑑(𝑡) 𝑚𝑑 + 𝑧𝑚𝑑 𝑠𝑒 𝑢𝑑(𝑡) ≥ 𝑙𝑐 𝑢𝑑(𝑡) 𝑚𝑒 −|𝑧𝑚𝑒| 𝑠𝑒 𝑢𝑑(𝑡) ≤ −|𝑙𝑐| �𝑧𝑚𝑑 + 𝑙𝑐 𝑚𝑑𝑙𝑐 � � 𝑢𝑑(𝑡) 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑢𝑑(𝑡) < 𝑙𝑐 ⎝ ⎜ ⎛|𝑧𝑚𝑒| + |𝑙𝑐| 𝑚𝑒� |𝑙𝑐| ⎠ ⎟ ⎞ 𝑢𝑑(𝑡) 𝑠𝑒 − |𝑙𝑐| ≤ 𝑢𝑑(𝑡) < 0 (43)
Onde uczm é a saída do sinal de controle compensado, ud é a entrada do sinal de
controle desejável sem a zona morta, lc é a largura da suavização linear usada na compensação.
O valor do lc será definido experimentalmente observando a intensidade do ruído no sinal de controle compensado, com a intenção de manter o sistema estável e não danificar a válvula direcional proporcional. Quando a amplitude do ruído no sinal compensado for grande, deve-se aumentar a região da suavização linear na inversa da zona morta.
1 u 0.1 saída 5 b 0.5 au Uv SomaOffSet1 0.14 Offset1 Bad Link DS1104DAC_C1 1 Sinal de Controle u1
Na Figura 24 pode ser observada a representação gráfica da inversa da zona morta suavizada linearmente nas proximidades da origem.
Figura 24 – Representação gráfica da inversa da zona morta suavizada linearmente
Fonte: Bavaresco (2007).
Para programar a Equação 43 no software Matlab/Simulink no formato de diagrama de blocos foi definido que as inclinações md e me são iguais a 1, conforme Figura 25.
Figura 25 – Diagrama de blocos da compensação da zona morta suavizada linearmente
Fonte: próprio autor
1 U_Czm1 zme1
Zona Morta Esquerda zmd1 Zona Morta Direita
Testa se é positivo ou negativo
Testa se está na região de suavização (lc+zme1)/lc Suavização1 (lc+zmd1)/lc Suavização |u| Abs >=0 1 Ud1
Para compensar a zona morta presente na servoválvula foi usado o diagrama de blocos que está na Figura 26.
Figura 26 – Diagrama de blocos utilizados na compensação da zona morta presente na servoválvula
Fonte: próprio autor
Na seção 4.1 serão mostrados os resultados da identificação e compensação das zonas mortas presentes nas duas válvulas direcionais proporcionais presentes no robô Gantry com acionamento pneumático.
3.5 Modelagem dinâmica
Utiliza-se o modelo dinâmico de um robô de elos rígidos sem a dinâmica do atuador (Valdiero, 2012). Neste modelo serão utilizadas as equações que relacionam as forças geradas pelos atuadores nas juntas e o movimento da estrutura.
Analisando um robô de n graus de liberdade com ausência de forças externas no efetuador final e desconsiderando o atrito na estrutura, podemos obter assim o modelo dinâmico no espaço das juntas através da formulação de Lagrange e escrevê-lo numa forma matricial compacta, conforme apresentado pela Equação 44.
y2 y1 1 seno2 1 seno1 ps pb pa dyy2 dy1 0 degrau2 0 degrau1 chave2 chave1 Sine Wave Sinal de Controle u1 Sinal de Controle u2 Fp1 ps pa1 pb1 y 1 dy 1 y 2 dy 2 Robô Gantry Pneumático 0 Inicioatua2 0 Inicioatua1 Fp1 Ud2 U_Czm2
Compensação da Zona Morta1
Ud1 U_Czm1
H(d)d̈ + C(d, d)̇ḋ + G(d) = τ (44)
Onde d é o vetor de coordenadas das juntas; H(d) é a matriz de inércia simétrica, definida positiva; C(d, ḋ) é a matriz que representa os efeitos centrífugos e de Coriolis; G(d) é o vetor que representa o momento gerado em cada eixo de junta do manipulador devido à presença da gravidade e τ é o vetor das forças do movimento das juntas.
Combinando a dinâmica dos elos do robô, descrita pela Equação 44 com a dinâmica dos atuadores têm-se a Equação 45.
H(d)d̈ + C(d, d)̇ḋ + G(d) = J̅Tf
L (45)
Sendo que J̅ é definida como a matriz Jacobiana do atuador e fL é o vetor de força de carga nos atuadores lineares medida em N. Onde J̅ mapeia as velocidades dos atuadores com as velocidades no espaço das juntas, segundo a Equação 46 que no caso particular do robô Gantry é igual à matriz identidade.
= = 1 0 0 1 0 0 1 n J J J (46)
O vetor fL pode ser escrito na seguinte forma matricial, conforme Equação 47.
fL = −Mÿ − fatr− fG+ fP (47)
Onde M é uma matriz diagonal que representa a massa deslocada pelos atuadores em kg; fatr é o vetor que corresponde à força de atrito nos atuadores em N; ÿ é o vetor de aceleração dos atuadores em m/s2; f𝐺 é o vetor das componentes gravitacionais que atuam no sentido do movimento do atuador em N e fP é a força pneumática nos atuadores em N. O vetor ÿ pode ser descrito pela Equação 48.
d J d J
