Estimativas do laplaciano fracionário e aplicações às equações SQG e Boussinesq dissipativas

Texto

(1)UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. RICARDO MARTINS MENDES GUIMARÃES. Estimativas do Laplaciano Fracionário e aplicações às equações SQG e Boussinesq dissipativas. Campinas 2019.

(2) Ricardo Martins Mendes Guimarães. Estimativas do Laplaciano Fracionário e aplicações às equações SQG e Boussinesq dissipativas. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática.. Orientadora: Anne Caroline Bronzi. Este exemplar corresponde à versão final da Dissertação defendida pelo aluno Ricardo Martins Mendes Guimarães e orientada pela Profa. Dra. Anne Caroline Bronzi.. Campinas 2019.

(3) Ficha catalográfica Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467. G947e. Guimarães, Ricardo Martins Mendes, 1992GuiEstimativas do laplaciano fracionário e aplicações às equações SQG e Boussinesq dissipativas / Ricardo Martins Mendes Guimarães. – Campinas, SP : [s.n.], 2019. GuiOrientador: Anne Caroline Bronzi. GuiDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. Gui1. Laplaciano fracionário. 2. Equação quase-geostrófica. 3. Boussinesq invíscidas, Equações de. 4. Dinâmica dos fluidos. 5. Equações diferenciais parciais. I. Bronzi, Anne Caroline, 1984-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.. Informações para Biblioteca Digital Título em outro idioma: Fractional laplacian estimates and application to SQG and Boussinesq dissipative equations Palavras-chave em inglês: Fractional laplacian Quasi-geostrophic equation Inviscid Boussinesq equations Fluid dynamics Partial differential equations Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora: Anne Caroline Bronzi [Orientador] Cecilia Freire Mondaini César Javier Niche Mazzeo Data de defesa: 28-02-2019 Programa de Pós-Graduação: Matemática. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org).

(4) Dissertação de Mestrado defendida em 28 de fevereiro de 2019 e aprovada pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.. Prof(a). Dr(a). ANNE CAROLINE BRONZI. Prof(a). Dr(a). CECILIA FREIRE MONDAINI. Prof(a). Dr(a). CÉSAR JAVIER NICHE MAZZEO. A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica..

(5) Para minha família, em especial para meu sobrinho Murilo e minha namorada Daniela..

(6) Agradecimentos Agradeço a todas as pessoas que contribuíram de alguma forma para a realização deste sonho, em especial a minha família, amigos e minha namorada Daniela. Também agradeço a minha orientadora Anne Bronzi, pela paciência, dedicação e pelos conhecimentos transmitidos. E por fim, sou imensamente grato ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico-CNPq, pelo financiamento do projeto 131560/2017-4 (Mestrado em Matemática), na Universidade Estadual de Campinas -UNICAMP..

(7) Resumo Estimativas envolvendo operadores dissipativos não-locais tornaram-se muito úteis no estudo de problemas da dinâmica dos fluidos. No presente trabalho, estudaremos uma classe de estimativas para o Laplaciano Fracionário, introduzidas em [CONSTANTIN, Peter; VICOL, Vlad. Nonlinear maximum principles for dissipative linear nonlocal operators and applications. Geometric And Functional Analysis, v. 22, n. 5, p. 1289-1321, 2012.], chamadas de princípio do máximo não-linear. Os autores utilizam estas estimativas na demonstração da regularidade da solução da equacão quase-geostrófica superficial dissipativa (SQG) no caso crítico e também na demonstração da regularidade das soluções da equação Boussinesq dissipativa. Palavras-chave: Laplaciano Fracionário - Equação SQG - Equação Boussinesq..

(8) Abstract Estimates involving nonlocal dissipative operators have become very useful in the study of fluid dynamics problems. In the present work, we will study a class of estimates for the Fractional Laplacian, introduced in [CONSTANTIN, Peter; VICOL, Vlad. Nonlinear maximum principles for dissipative linear nonlocal operators and applications. Geometric And Functional Analysis, v. 22, n. 5, p. 1289-1321, 2012.], called nonlinear maximum principle. The authors use these estimates to prove global regularity for the dissipative surface quasi-geostrophic equation (SQG) in the critical case, and also in the proof of the regularity of solutions to the dissipative Boussinesq equation.

(9) Sumário 1. INTRODUÇÃO. 2. ESTIMATIVAS DO LAPLACIANO FRACIONÁRIO . . . . . . . . . . . . 13. 3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.2 3.3. UM ESTUDO DA EQUAÇÃO SQG DISSIPATIVA . . . . . . Um estudo da SQG- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de Galerkin para equação SQG- . . . . . . . . . . . . . . Estimativas para a aproximação de Galerkin . . . . . . . . . . . . . Passagem ao limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desigualdade de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mais Regularidade para a solução fraca da SQG- . . . . . . . . . . Convergência das soluções SQG- . . . . . . . . . . . . . . . . Voltando ao estudo da Equação SQG . . . . . . . . . . . . . .. 4. A EQUAÇÃO DE BOUSSINESQ DISSIPATIVA . . . . . . . . . . . . . . 66 REFERÊNCIAS. A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 23 24 25 27 32 36 38 42 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. APÊNDICE A - CONCEITOS PRELIMINARES Espaços de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados de Análise . . . . . . . . . . . . . . . Teoremas de Compacidade . . . . . . . . . . . . Laplaciano Fracionário . . . . . . . . . . . . . . . Transformada de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 80 80 82 84 85 88 89.

(10) 10. 1 Introdução A equação quase-geostrófica superficial dissipativa (SQG) é usada para modelar mudança de temperatura em um fluido estratificado, em alta rotação e com vorticidade potencial uniforme. A equação SQG é dada pelo seguinte sistema de equações. #. Bt θ u. . u ∇θ RK θ,. kΛα θ. 0,. (1.1). em que RK pR2 , R1 q e cada Rj é a transformada de Riesz (veja seção A.5) e Λα é o Laplaciano Fracionário (veja seção A.4) e k ¡ 0. A função escalar θ θpx, tq, x P R2 e t P r0, 8q, representa a mudança de temperatura no fluido na posição x e no tempo t, para dedução física da SQG veja [26]. O interesse matemático pela equacão SQG foi motivado principalmente pela sua semelhança, no caso α 0, com a equação de vorticidade de escoamentos incompressíveis em dimensão três. O trabalho pioneiro neste estudo matemático é devido a Constantin, Majda e Tabak [8]. Nele os autores investigam numericamente a formação de singularidades em tempo finito. Poucos anos depois, Córdoba demonstrou em [13] que não há formacão de singularidade no cenário proposto em [8]. Desde então vários autores trabalharam com problemas de regularidade e formação de singularidade para a equação 2D SQG e sua versão inviscida. A boa-colocação global da SQG no caso crítico α 1 foi demonstrada em diversos trabalhos, por exemplo [3], [7], [23]. Mais recentemente, em [9], Constantin e Vicol obtiveram uma nova demonstração da boa-colocação global no caso crítico utilizando estimativas não lineares do Laplaciano fracionário em um ponto de máximo do gradiente da função. Os autores chamam este tipo de estimativa de princípio do máximo não-linear. Esse tipo de estimativa mostrou-se muito útil para tratar de problemas de boa-colocação de equações que envolvem diferentes tipos de operadores dissipativos não-locais, tendo sido explorado por diversos autores. No caso subcrítico, α P p1, 2q, a boa-colocação global foi demonstrada em [7]. O problema continua em aberto no caso supercrítico, ou seja, para α P p0, 1q. Existem vários resultados de existência e unicidade global de solução clássica neste caso com hipóteses de pequenez do dado inicial θp0q θ0 . Mais recentemente, em [35], Coti Zelati e Vicol utilizaram o princípio do máximo não-linear para demonstrar o seguinte resultado: para cada γ P p0; 1q e θ0 suave existe γ1 P p0; 1q, que depende de γ e θ0 , tal que para todo α ¥ γ1 a solução suave da equação QGS com termo dissipativo Λα existe globalmente no tempo, ou seja, não há formação de singularidade em tempo finito. Inicialmente estudaremos o Laplaciano Fracionário. Este operador não local está presente em vários modelos da dinâmica dos fluidos, a saber: quase-geostrófica superficial.

(11) Capítulo 1. Introdução. 11. dissipativa [9], Reação-Difusão [34], Cahn-Hilliard [1], Meios-Porosos [1] e Ultra-Som [31]. O Laplaciano Fracionário é um operador dissipativo que tem grande utilidade na modelagem do movimento dos fluidos. Para valores apropriados de α a presença desse operador auxilia na boa-colocação da equação, pois, quando estudamos equações de evolução não-linear, muitas vezes encontramos situações em que a equação tem energia conservada, mas essa conservação não é suficiente para garantir a existência global de soluções suaves, ou seja, há formação de singularidade em tempo finito. O exemplo básico é a equação de Burgers θt. θθx. 0,. (1.2). onde as normas ||θ||Lp da solução são conservadas mas a solução não é suave para todo tempo (veja [25] seção 3.4). Tomando a derivada da equação (1.2) em relação a x e considerando g θx , obtemos a equação gt. θgx. g2. 0,. (1.3). que possui formação de singularidade em tempo finito. Mas, se adicionarmos o Laplaciano Fracionário em (1.2), ficamos com θt. Λα θ. θθx. 0,. (1.4). e então g satisfaz gt. Λα g. θgx. g2. 0,. (1.5). que possui singularidade para α 1 mas não possui singularidade para α ¥ 1 (veja [23]). Após adicionarmos o termo dissipativo Λα , α ¥ 1, obtemos uma boa colocação da solução. Veremos no Capítulo 3 que a presença do Laplaciano Fracionário implicará na regularidade da solução fraca da equação SQG no caso α 1. Nesse sentido, observando a importância do Laplaciano Fracionário nas equações da Dinâmica dos Fluido, faremos no Capítulo 2 algumas estimativas não lineares para o Laplaciano Fracionário em um ponto de máximo do gradiente (ou das derivadas parciais) de uma função. Essas estimativas inferiores foram introduzidas em [9] e são chamadas de Principio do Máximo Não Linear e serão feitas em termos da norma da função nos espaços Lp para 1 ¤ p ¤ 8 e também em espaços de Hölder. Essas estimativas serão de grande importância no Capítulo 3, principalmente para demonstrarmos o Teorema 3.2.2 que dará um limitação uniforme no espaço W 1,8 da solução fraca da SQG. A seguir, iniciaremos o estudo da equação SQG em T2 : pR{2πZq2 para o caso α 1, onde garantiremos a existência de solução fraca e posteriormente estudaremos sua regularidade. Para garantirmos a existência de solução fraca para a SQG, provaremos que a solução fraca da SQG pode ser vista como um limite de soluções fracas de uma nova equação.

(12) Capítulo 1. Introdução. 12. SQG-, que é dada pela equação SQG acrescentada do termo dissipativo ∆θ. Para provarmos a convergência precisaremos que o dado inicial θ0 P W 1,8 pT2 q e satisfaça a propriedade OSSδ que será definida em (3.75). Para provarmos esta convergência vamos utilizar uma limitação uniforme do gradiente das soluções fracas θ em L8 pp0, T q, L8 q (veja 3.2.2). Mas antes de provarmos esta convergência, precisaremos fazer um breve estudo da equação SQG-. Para garantirmos existência de solução fraca para a SQG-, utilizaremos o Metódo de Galerkin, que consiste em projetar a equação em subespaços de dimensão finita e resolver sistemas de EDO’S. Após aplicarmos o método de Galerkin e fizermos algumas estimativas, obteremos a convergência fraca desta aproximação em determinados espaços para uma função θ e como veremos no Teorema 3.1.6 a função θ será solução fraca da SQG- em T2 . Posteriormente, na seção 3.1.5, mostraremos que se θ0 P H m , então θ P L8 pp0, T q, H m q X L2 pp0, T q, H m q e por fim, usando o principio do máximo não-linear, que são as estimativas feitas no Laplaciano Fracionário no capítulo 2, demonstraremos o Teorema 3.2.2. Como consequência provaremos na Seção 3.2 que a sequência de soluções fracas da SQG- converge para a solução fraca θ da SQG nos espaços L2 pp0, T q, L2 pT2 qq e L8 pp0, T q, W 1,8 pT2 qq. Além disso, concluiremos via o Teorema 3.3.2 que a equação SQG no caso α 1 possui única solução e que toda solução fraca da SQG pode ser vista como limite de soluções fracas θ da SQG-. E para finalizarmos o trabalho, faremos um breve estudo da equação Boussinesq bidimensional com dissipação fracionária mista, que denotaremos por pBα,β q, dada por. $ ' & Btu u ∇u ∇p ' % Btθ u ∇θ. Λα u ∇u Λβ θ. . θe2 0 0,. em que e2 p0, 1q, e α, β P r0, 2s. Esta equação é muito utilizada na modelagem de escoamento geofísicos incompressíveis como frentes atmosféricas e circulações oceânicas. Sua aproximação com a Equação de Euler e a Equação de Navier-Stokes e o fato que a equação pB0.0 q é um problema em aberto chamou atenção de vários matemáticos para estudá-la. A boa colocação nos casos pB0,2 q e pB2,0 q foram obtidas em [6] e [21] e os casos pB1,0 q e pB0,1 q foram solucionados em [20] e [19]. Nosso principal objetivo no estudo da equação Boussinesq é provar o Teorema 4.0.1 que fornecerá, sob certas condições em α,β e up0q u0 , a suavidade da solução para a equação pBα,β q. Para provarmos este teorema, demonstraremos inicialmente o Lema 4.0.2 que fornecerá uma limitação do termo ||∇u||L8 em termos de ||ω ||L8 , onde ω ∇ u. Este lema será consequência da desigualdade de Beale-Kato-Majda que foi provada em [24]. Posteriormente combinando o lema com a desigualdade de Gagliardo–Nirenberg e Teoremas de compacidade obteremos a demonstração do Teorema 4.0.1..

(13) 13. 2 Estimativas do Laplaciano Fracionário Definimos o Laplaciano Fracionário de ordem α (denotado por Λα ) em Rd de uma função g P S pRd q (Espaço de Schwartz) via a transformada de Fourier como uma generalização natural do Laplaciano. pΛαgq p pξ q p2π|ξ |qαgppξ q,. ξ. P Rd ,. 0 α 2,. (2.1). O Laplaciano Fracionário também pode ser definido com um operador integral em Rd como1. pΛ gqpxq cd,αP.V. α. ». Rd. g pxq g py q |x y|d α dy. cd,αP.V.. ». Rd. g pxq g px y q |y|d α dy. (2.2). onde cd,α é uma constante positiva dependendo de d e α. Se considerarmos agora f P S pTd q2 , podemos definir o Laplaciano Fracionário no conjunto Td pR{2πZqd para 0 α 2, através do coeficiente de Fourier (veja [12] pg. 514) como. pΛαf q p pkq p2π|k|qαfppkq, k P Td. E utilizando os coeficiente de Fourier podemos definir a forma integral do Laplaciano Fracionário em Td , como Λ f pxq cα,d α. ¸ P. ». P.V. j Zd. Td. f pxq f py q |x y j |d α dy,. (2.3). em que cd,α é uma constante positiva dependendo de d e α. Agora observe que, se estendermos a função f periodicamente a Rd , podemos definir de modo análogo a (3) o Laplaciano fracionário como » f¯pxq f¯px yq » f¯pxq f¯pyq α¯ pΛ f qpxq cd,αP.V. d |x y|d α dy cd,αP.V. d |y|d α dy, R R onde f¯ é extensão periódica de f em Rd . Este operador singular tem grande importância na área de Análise em Matemática, pois o mesmo pode ser utilizado para descrever a Transformada de Riesz Rf. ∇pΛ1f q,. e também pode ser utilizado para descrever os espaços de Sobolev H s pRd q tu P S 1 pRd q : Λs u P L2 pRd qu.. 1 2. Nessa definição o P.V. é calculado quando y x está próximo de 0. Dizer que uma função θ está definida em Td pR{2πZqd , significa que θpx x P Rd .. 2πk q θpxq, para todo k. P Zd e.

(14) Capítulo 2. Estimativas do Laplaciano Fracionário. 14. Na Física Matemática o Laplaciano Fracionário pode ser visto como um mapa de Dirichlet-para-Neumann (veja [26]) na dedução física da equação SQG que será estudada no Capítulo 3. Também está presente no limite de um passeio aleatório, que é um modelo matemático que descreve um caminho que consiste de uma sucessão de passos aleatórios, como o caminho traçado por uma molécula conforme ela se desloca em um líquido ou um gás (veja [32]). Além disso, o Laplaciano Fracionário também é utilizado na descrição de vários outros fenômenos físicos (veja [9], [34], [1] e [31]). Para mais informações sobre o Laplaciano Fracionário veja A.4, [12] e [14]. A seguir demonstraremos uma sequência de Teoremas sobre principio do máximo não-linear. Tais Teoremas fornecem estimativas inferiores em espaços Lp para 1 ¤ p ¤ 8 e Hölder. Teorema 2.0.1. (Limitação inferior em L8 ) Seja f P S pRd q. Para um k fixo, k P t1, 2, ..., du r P Rd tal que gpxrq max considere g pxq Bk f pxq e assuma que existe x g pxq ¡ 0. Então, existe xPRd uma constante positiva c dependendo somente de d e α tal que Λα g px rq ¥ em que α P p0, 2q.. rq1 α , g px c||f ||αL8. Demonstração. Seja R ¡ 0 a ser escolhido posteriormente. Considere χ : R radial, não decrescente, suave com |∇χ| ¤ 4, tal que χ Note que ||χ||L8. #. 0, se 1, se. Ñ R uma função. |x| ¤ 1, |x| ¥ 2.. (2.4). ¤ 1. Utilizando a definição da função χ e suas propriedades, obtemos » gpxrq gpxr yq » gpxrq gpxr yq y. α Λ g px rq cd,αP.V. dy ¥ cd,α P.V. χ dy | y |α d | y |d α R R R . » » gpxr yq y. g px r q y ¥ cd,α χ dy cd,α |y|d α χ R dy |y|¥2R |y |d α R R » » B f pxr yq y 1 k ¥ cd,αgpxrq dy cd,α χ dy d α | y |d α R |y|¥2R |y | R » » r 1 B f p x y q y k dy cd,α χ ¥ cd,αgpxrq dy d α d α |y | R |y|¥2R |y | R pIq pIIq. d. d. d. d. d. (2.5). Vamos analisar (I) e (II) separadamente. Primeiramente vamos analisar (I). Aplicando a integração via cascas cilíndricas. pIq cd,αgpxrq. ». 1. |y|¥2R |y |. d α. dy. cd,αgpxrq alim Ñ8. »a » 2R. S d1. 1 rd α. rd1 dσw dr. c1Rgpαxrq ,. (2.6).

(15) Capítulo 2. Estimativas do Laplaciano Fracionário. 15. em que c1 |S d1 |cd,α 2α α1 , onde |S d1 | é o volume da esfera (d-1)-dimensional. Para analisarmos o item (II), vamos escrever. pIIq . ». χp Ry q r B f p x y q k |y|d α dy Rd. rlim Ñ8. » Br. y Bk f pxr yq |χy|pdR qα dy,. (2.7). e aplicando integração por partes, podemos reescrever a igualdade acima como. ». χp Ry q lim Bk f pxryq |y|d α dy rÑ8 Br. rlim Ñ8. ». χp Ry q f px r yq |y|d α νdS Srd. ». χp y q f px r yqBy |y|dR α dy .. (2.8). k. Br. Vamos provar que o primeiro termo depois da igualdade acima é identicamente nulo, note que. » » » y q χ p x r y q 1 f p y R f pxr yq d α νdS Ñ8 rd α S |f pxr y q|dS |y | |y|d» α χ R νdS ¤ rlim S S c ¤ rlim |f pxr yq|dS 0 Ñ8 rd α d r. d r. d r. Srd. pois f. P S pRdq e portanto é limitada. Portando, utilizando (2.8) podemos reescrever (2.7) como. χp y q. χp y q. » B f pxr yq y. » » k R r yqBy |y|d α dy f pxr yqBy |y|dR α dy, χ rlim f px d α Ñ8 | y | R R B R k. d. k. d. r. (2.9). substituindo (2.6) e (2.9) em (2.5) ficamos com. rq Λ g px α. ¥ ¥ ¥. rq c1 g p x α R rq c1 g p x α R rq c1 g p x Rα. » χp y q cd,αP.V. f pxr yqBy |y|dR α dy y »R cd,αP.V. |f pxr yq|By |χy|pdR qα dy R » χp y q cd,α||f ||L8 P.V. By |y|dR α dy. R k. d. k. d. k. d. Aplicando a regra da derivada do quociente no segundo fator do lado direito, podemos reescrever a desigualdade acima como. rq ¥ Λ g px α. c1 g px rq α R. » |B χp y q| || f ||L8 k R cd,α R P.V. dy cd,α ||f ||L8 pd d α | y | R d. » |χp y qy | R k αqP.V. dy. (2.10) d α 2 R |y | d. Vamos analisar separadamente as duas integrais que aparecem do lado direito de (2.10). Para a primeira integral, como χpy q 0 se |y | 1 e |∇χ| ¤ 4, podemos reescrever. » |Bχp y q| » |B χp y q| » τ » |B χp y q| k k R R R P.V. dy dy τlim rd1 dSdr d α d α d α Ñ8 | y | | y | | r | R |y|¡R R S »τ 4|S d1 |α1 d1 1α ¤ 4|S | τlim dSdr . Ñ8 r Rα d. d 1. R. (2.11).

(16) Capítulo 2. Estimativas do Laplaciano Fracionário. 16. Para a segunda integral utilizaremos novamente as propriedades da função χ.. » |χp y qy | » |χp y qy | »τ 1 R n R k P.V. dy ¤ dy lim dy d α 2 d α 1 τ Ñ8 R |y | R |y | |y|¥R |y |d α 1 »τ» |S d1| . rα2 dSdr α 1 τlim Ñ8 R pα 1q d. Sd. R. (2.12). 1. Substituindo (2.11) e (2.12) em (2.10), ficamos com. rq Λα g px. c1 g px rq α R rq c1 g px α R rq c1 g px Rα. ¥ ¥. em que c2 cd,α |S . d 1. |. . cd,α ||fR||L8 4|S Rα|α cd,α||f ||L8 pd . d α cd,α ||f ||L8 |S d1 | 1 4α . 1. d 1. Rα. 1. 4α1. α. |S d1| Rα 1 pα 1q. 1. α. c2 ||Rfα||L18 ,. d α. αq. (2.13). , então se considerarmos. 1. R. 2c2 ||f ||L8 rq , c1 g p x. e substituindo o valor de R em (2.13), obtemos Λα g px rq ¥ em que c1. rqα 1 cα1 1 g px 2α 1 cα2 ||f ||αL8. gc||pxrfq||α8 , α 1 L. α 1. 2αc1 1cα . Portanto, obtemos o desejado. 2. No Teorema anterior provamos a limitação inferior do Laplaciano Fracionário de uma função g em termos da norma L8 da função f ao qual g Bk f . Provaremos agora a limitação inferior em termos das normas Lp e Hölder. Teorema 2.0.2. (Limitação inferior em C δ e Lp ) Seja f P S pRd q, considere g r P Rd tal que gpxrq maxd pBk f qpxq. Então vale algum k t1, ..., du e x. Bk f para. P. x R. rq ¥ Λ g px α. g px rq1 1δ α. c||f ||C1δ δ α. , δ. P p0, 1q.. (2.14). em que c cpd, α, δ q é uma constante positiva. Também temos. rq ¥ Λα g p x. g px rq1. αp d p. c||f ||Ld p p. em que c cpd, α, δ q é uma constante positiva.. αp. , 1 ¤ p 8.. (2.15).

(17) Capítulo 2. Estimativas do Laplaciano Fracionário. 17. Demonstração. Esta demonstração é bem semelhante a demonstração do teorema anterior, então omitiremos a demonstração de alguns fatos. Então, de forma análoga considere R ¡ 0, em que R será escolhido posteriormente e seja χ a mesma função do teorema anterior definida em (2.4). Então. rq Λ g px α. ¥. ». rq 0 e que g utilizando o fato que Byk f px desigualdade acima como rq Λ g px α. . ». rq gpxr yq dy ¥ rq gpxr yq χ y dy g px g px cd,α P.V. |y |d α |y|d α. R d |y|¥2R »R » r yq χ y dy, 1 g px rq cd,α g px dy cd,α d α R |y|¡2R |y | |y|¡R |y |d α. Bk f e o cálculo feito em (2.6), podemos reescrever a ». y pBy f pxrq gpxr yqq |χy|pdR qα dy |y|¡R » y c1 gRpxrαq cd,α By pf pxrq f pxr yqq |χy|pdR qα dy, |y|¡R. ¥. rq g px c1 α R. cd,α. k. k. (2.16). em que c1 |S d1 |2α α1 . Para estimar o segundo termo a direita utilizamos a mesma ideia feita no teorema anteriormente. Assim, como f é Hölder contínua podemos utilizar o cálculo feito em (2.10) para reescrever (2.16). rq Λ g px α. ¥ ¥ ¥ ¥ ¥. χp y q. cd,α pf pxrq f pxr yqqBy |y|dR α dy |y|¡R y » χp R q g px r q r r c1 α cd,α | f px q f px y q|By dy R | y |d α |y|¡R y » χp R q g px r q δ c1 α cd,α ||f ||C | y | By dy α R |y|¡R |y |d. » » y y g px r q δ By χp R q δ |χp R qyn | c1 α cd,α ||f ||C | y| dy c p d α q|| f || | y | d,α C R R |y |d α |y|d α 2 dy |y|¡R |y|¡R » » r g px q || f ||C δ dα c1 α 4cd,α | y| dy cd,α pd αq||f ||C | y |δdα1 dy R R g px rq c1 α R. ». k. k. δ. k. k. δ. δ. δ. δ. |y|¡R. |y|¡R. Fazendo a integração via cascas esféricas, concluímos que Λα g p x rq. ¥. em que. rq g px Rα g px rq c1 α R. c1. c21. d1 cd,α||f ||C R|S1 α|δ p4 ||f ||C , δ. δ. c2. . Rα 1 δ. cd,α|S d1|p4. d. α q,. d. αq (2.17).

(18) Capítulo 2. Estimativas do Laplaciano Fracionário. escolhendo. R1δ. 18. 2cc2||gfpxr||qC. δ. ,. 1. substituindo R em (2.17), obtemos 1 rq1 1αδ c1 1 δ g p x α. rq Λ g px α. Definindo. 2c21δ ||f ||C1δ δ α. α. .. 1 α c1 1 δ 1 , c α. 2c21δ. concluímos que. rq ¥ Λ g px α. rq1 1δ g px α. c||f ||C1δ δ α. .. Portanto, provamos (2.14). Para provarmos a segunda desigualdade (2.15) do teorema, iremos proceder como inicialmente no teorema, omitindo os primeiros passos iniciais (mas análogo a demonstração do primeiro caso). Podemos escrever a desigualdade para o Laplaciano Fracionário Λ. α. y rq ¥ g px cd,α |f pxr yq|By |χy|pdR qα dy |y|¡R » y ¥ c1 gRpxrαq cd,α |f pxr yq| BRy|yχ|pd Rαq dy cd,αpd |y|¡R » |f pxr yq| » r 4cd,α g px q ¥ c1 R α R |y|d α dy cd,αpd αq rq g px c1 α R. ». k. ». y |f pxr yq| ||χy|pdR qαyk2| dy |y|¡R |f pxr yq| dy. (2.18) |y|¡R |y |d α 1. k. |y|¡R. αq. Vamos analisar separadamente as duas integrais acima. Para a primeira integral, aplicando a desigualdade de Hölder, obtemos. |f pxr yq| dy ¤ ||f || » 1 L p d α |y|¡R |y | |y|¡R |y | . . ». p. p 1 p. p d α p 1. q dy. ¤ ||f ||L. c1. p. d. Rp. α. (2.19). ,. em que c1 é uma constante que vem da integração via cascas cilíndricas. Refazendo o mesmo procedimento para a outra integral, obtemos. |f pxr yq| dy ¤ ||f || » 1 L p d α 1 |y|¡R |y | |y|¡R |y | . . ». p. p d α 1 p 1. p 1 p. q dy. ||f ||L. c2. p. R. 1. d p. α. .. (2.20).

(19) Capítulo 2. Estimativas do Laplaciano Fracionário. 19. substituindo (2.19) e (2.20) em (2.18), ficamos com. rq Λ g px α. ¥ ¥ ¥ ¥ . em que c3. rq g px c1 α R rq g px c1 α R rq g px c1 α R rq g px c1 α R g px rq c1 α R rq g px c1 α R. ». ». |f pxr yq| dy c pd αq |f pxr yq| dy 4cRd,α d,α d α |y|¡R |y | |y|¡R |y |d α 1 4cRd,α ||f ||Lp cpd1 α cd,αpd αq||f ||Lp 1 c2dp α R R 4cd,α||f ||Lp 1 c1dp α cd,αpd αq||f ||Lp 1 c2dp α R R 4cd,α||f ||Lp 1 c1dp α cd,αpd αq||f ||Lp 1 c2dp α R R cd,α ||f ||Lp 1 pd α p4c1 pd αqc2q R c3 ||f ||Lp . cd,αp4c1 pd. d p. R1. α. αqc2 q. Tomando R1. obtêm-se. rq ¥ Λ g px α. 1. 2. Definindo c 1. . c3. 1. c1. rq ¥ Λ g px. 2c3 ||f ||Lp rq e substituindo em (2.21) c1 g p x. pα p d. ||f ||. 1 Lp. pα p d. .. pα p d. pα p d. 21. ficamos com α. pα p d. pα p d. . rq1 g px. pα p d. 1. c1. d p. (2.21). pα d. ,. c3p. g px rq1. c||f ||. 1 Lp. pα p d pα p d. .. Portanto, provamos a desigualdade (2.15) e concluímos a prova do Teorema. O próximo Teorema é a versão do Teorema 2.0.1 para o Toro Td .. r P Td tal que gpxrq max Teorema 2.0.3. Sejam f P C 8 pTd q e g Bk f . Considere x g pxq, então xPTd existe uma constante positiva cd,α tal que rq ¤ c||f ||L8 , g px ou. rq ¥ Λα g px. (2.22). g px rq1 α . c||f ||αL8. (2.23). Demonstração. Utilizando a expressão do Laplaciano fracionário em Td , podemos escrever. rq cd,α Λ g px α. ¸ P. j Zd. ». P.V. Td. rq gpxr g px |y j |d. yq α. dy..

(20) Capítulo 2. Estimativas do Laplaciano Fracionário. 20. r é ponto de máximo da função g, estamos somando sempre elementos positivos na Como x rq ¥ gpxr yq. Logo expressão do Laplaciano fracionário acima, pois g px rq Λ g px α. ». . ». rq gpxr yq dy ¥ c rq gpxr yq χ y dy g px g px cd,α d,α d α |y |d α R Td Td » |y1| y. » y rq d |y|d α χ R dy cd,α d Byk f pxr yq |χy|pdR qα dy. cd,α g px T T. ¥ . (2.24). Note que depois de aplicarmos a integração por partes na última integral acima, ficamos com uma expressão análoga a expressão da igualdade (2.7). Então podemos reescrever (2.24) como. rq ¥ cd,αgpxrq Λα g px. » Td. Por outro lado, observe que. ». Td. 1. |y |. d. . y χ dy α R. ¥. ». 2R. 1. ¤|y|¤π |y |. d. . 1. |y |. d α. ||f ||L8 y dy c2 1 α , R R. χ. . y χ dy α R. Substituindo (2.26) em (2.25), obtemos. rq ¥ cd,αgpxrq Λ g px α. . . 1 p2Rqα. . ». 1 πα. 1. 2R. ¤|y|¤π |y |. d α. c2 ||Rf1||Lα8 .. dy. (2.25). p2R1 qα π1α .. (2.26). (2.27). Considerando R . π 1. 2. 1 α. (2.28). ,. obtemos. π1α ¡ 12 p2R1 qα ñ p2R1 qα π1α ¡ 12 p2R1 qα ,. (2.29). Então substituindo (2.29) em (2.27), concluímos. rq ¥ Λα g px. rq c1 g px 21 α Rα. c2 ||Rf1||Lα8 .. (2.30). Definindo R. c2 22 α ||f ||L8 rq , c1 g px. (2.31). e substituindo R em (2.30) concluímos que Λ g px rq ¥ α. rq1 α , em que c g px 3 c3 ||f ||αL8. 21. c11. α. 3α α2 cα 2. .. (2.32).

(21) Capítulo 2. Estimativas do Laplaciano Fracionário. 21. Por outro lado, se considerarmos as condições para R dadas em (2.28) e (2.31) concluímos que c2 22 α ||f ||L8 rq c1 g px. . π. ,. 1. 1 α. . c2 23 α c1 π. 2. daí conclui-se. rq ¡ c4||f ||L8 , em que c4 g px. 1 α. .. Agora vamos considerar as seguintes situações, seja c c3 1. Se. c4 .. rq c||f ||L8 , g px. então vale (2.22). 2. Se. rq ¡ c||f ||L8 g px. rq ¥ c3||f ||L8 . então g px. Por outro lado, de (2.32), temos. rq ¥ Λα g px. rq1 α g px c3 ||f ||L8. ¥ gc||pxrfq||. 1 α L8. .. Portanto, obtemos a demonstração de (2.23). E por fim, no Teorema a seguir provaremos uma estimativa inferior para a função ∇f pxq Λ ∇f pxq. Esta estimativa será fundamental na demonstração do Teorema 3.2.2 que implicará na convergência das soluções fracas da SQG- para a solução fraca da SQG, também será fundamental para provarmos o Teorema 4.0.1 que provará a regularidade das soluções da equação de Boussinesq. α. Teorema 2.0.4. Seja f. P SpRdq. Então vale a seguinte desigualdade 1 |f pxq|2 α , ∇f pxq Λα ∇f pxq ¥ Λα |∇f pxq|2 2 c||f ||αL8. em que c cpd, αq é uma constante positiva universal. Demonstração. Sabemos do Corolário A.4.4 que vale. 1 ∇f pxqΛα ∇f pxq Λα p|∇f |2 qpxq 2 em que. 1 D, 2. » r∇f pyq ∇f pxqs2 D cd,α P.V. |x y|d α dy. R d. (2.33). (2.34).

(22) Capítulo 2. Estimativas do Laplaciano Fracionário. 22. Considerando χ definida em (2.4), temos. » p∇f pyq ∇f pxqq2 y. D ¥ cd,α P.V. |x y|d α χ R dy, R utilizando a desigualdade |a b|2 ¥ |a|2 2 a, b ¡, @ a, b P Rn , concluímos que. (2.35). n. |∇f pxq ∇f px. y q|2. ¥ |∇f pxq|2 2Bj f pxqBj f px. y q,. (2.36). onde a soma convencional de índice repetidos foi utilizada. Aplicando (2.36) em (2.35), segue que D. » p∇f pyq ∇f pxqq2 y. dy cd,α P.V. χ | x y |d α R R » |∇f pxq|2 2B f pxqB f px yq y. j j cd,α P.V. χ dy d α | y | R R » » χp y q y q χ p 2 R R cd,α |∇f pxq| P.V. dy cd,α |Bj f pxq|P.V. Bj f px yq |y|d α dy d α R |y | R » χp y q » 1 2 By |y|dR α dy. (2.37) cd,α |∇f pxq| dy cd,α |Bj f pxq|||f ||L8 P.V. |y|¡2R |y |d α R. ¥. d. ¥. d. ¥. d. ¥. d. j. d. Note que a primeira integral acima é análoga a (2.6) e a segunda integral análoga a (2.7), então podemos reescrever (2.37), como f ||L8 ¥ c1 |∇fRpαxq| c2 |∇f pRxq||| . 1 α 2. D Considerando. R. (2.38). 2c2 ||f ||L8 , c1 |∇f pxq|. e substituindo em (2.38) obtemos. pxq| ¥ c12α |1∇f α c ||f ||α8 α 1. D. α 2. 2. (2.39). .. L. Substituindo (2.39) em (2.33), obtemos ∇f pxqΛ ∇f pxq α. concluindo. em que c . 1 α Λ p|∇f |2 qpxq 2. 1 D 2. ¥. 1 α Λ p|∇f |2 qpxq 2. 1 ∇f pxqΛα ∇f pxq ¥ Λα p|∇f |2 qpxq 2 cα1. 1 cα1 1 |∇f pxq|α 2 , 2 2α 1 cα2 ||f ||αL8. |∇f pxq|α 2 , c||f ||αL8. 1. 2α 2 cα2. . Portanto, concluímos a demonstração do Teorema..

(23) 23. 3 Um estudo da Equação SQG dissipativa Estudaremos neste Capítulo a equação quase-geostrófica superficial dissipativa (2D SQG) em T2 : pR{2πZq2 . Esta equação tem grande importância na dinâmica de fluidos devido a mesma modelar a mudança de temperatura em fluido estratificado, em alta rotação e com vorticidade potencial uniforme, A SQG é dada pelo sistema. $ ' & Bt θ u ' % θp, 0q . onde k. u ∇θ kΛα θ 0, px, tq P T2 p0, 8q, RK θ, px, tq P T2 p0, 8q, θ0 , x P T2 ,. (3.1). ¡ 0. Consideraremos para frente k 1.. Inicialmente vamos estudar soluções fracas desse sistema. Definição 3.0.1. Seja T problema (3.1) se. ». ¡ 0. Uma função θ P L8pr0, T s; L2pT2qq é uma solução fraca para o ». ». @ v P Cc8pT2, Rq, no sentido das distribuições, ou seja, se para toda φ P Cc8 pp0, 8q, Rq tem-se »8» »8» »8» 1 θpΛv qφdxdt 0. θppu ∇qv qφdxdt θvφ dxdt d dt. 0. T2. θvdx . T2. T2. θpu ∇qvdx. 0. T2. T2. θΛα vdx 0,. 0. (3.2). (3.3). T2. O principal objetivo deste Capítulo é demonstrar a existência e unicidade de solução fraca para a SQG no caso α 1, ou seja, no caso crítico e posteriormente estudaremos a sua regularidade. Para estudarmos a equação SQG consideraremos o seguinte problema auxiliar. $ ' & Btθ u ' % θp, 0q . u ∇θ Λθ ∆θ 0 px, tq P T2 p0, 8q, RK θ, px, tq P T2 r0, 8q, θ 0 , x P T2 ,. (3.4). que denotaremos por SQG-. Devido ao termo dissipativo ∆θ espera-se que a solução fraca do problema (3.4) (veja definição em (3.6)) possua mais regularidade que a solução fraca da SQG. Para garantirmos a existência de solução fraca da SQG, demonstraremos que a sequência de soluções fracas da SQG- converge para a solução fraca da SQG, sob certas condições no dado inicial (veja Seção 3.2). Esta convergência em alguns casos não é trivial, podendo ser até um problema em aberto, como acontece nas equações de Navier-Stokes e Euler em domínios Ω R2 limitado. Para mais informações sobre esta convergência veja [33] e [27]. No entanto, para provarmos que a solução fraca da equação SQG- converge para a solução fraca da SQG necessitaremos de regularidade das soluções fracas da SQG-. Por isso, nosso objetivo inicialmente será o estudo das soluções fracas da SQG-..

(24) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 24. 3.1 Um estudo da SQG- Como mencionado anteriormente, nosso objetivo nessa Seção é o estudo da solução fraca da equação SQG- em T2 . Note que, para cada ¡ 0 temos uma nova equação SQG- e consequentemente uma nova solução fraca θ , ou seja, obteremos uma família de soluções fraca tθu. Por questões notacionais consideraremos θ : θ e no momento que estivermos tratando da solução fraca da SQG estará explicito no texto. Estudaremos então a equação SQG- dada pelo. $ ' & Bt θ u ' % θp, 0q . u ∇θ Λα θ ∆θ 0 px, tq P T2 p0, 8q, RK θ, px, tq P T2 p0, 8q, θ0 , x P T2 .. (3.5). Observe que, se utilizarmos o Teorema da Divergência e o fato que. ». T2. xθp0q p2π|0|qθˆp0q 0, Λθdx Λ. concluímos que d dt. » T2. θdx 0.. Assim, podemos concluir que se o dado inicial θ0 possui a propriedade da média zero então θ também possuirá tal propriedade. Logo, consideraremos os espaços L9 2 pT2 q sendo o espaços de todas as funções f P L2 pT2 q 1 tais que2. » T2. com a norma. f pxqdx 0,. ||θ|| 2 L9 2. » T2. |θpxq|2dx,. e de modo análogo definimos o espaço H s homogêneo H9 s pTq H s pTq X L9 2 , s ¥ 0, munido da norma. ||f ||H : p2πq2 9. s. ¸ P. p1 |k|2sq|fˆk |2.. k Z2. 1. 2. Dizer que uma função θ está definida em T pR{2πZq2 , significa que θpx 2πk q θpxq, para todo k P Z2 e x P R2 . O espaço L9 2 pode ser visto como a coleção de todas as funções reais com expansão em Fourier satisfazendo fˆ0 0, ou seja, são funções da forma 2. ¸ fˆ e k. kPZ2. ikx. com. ¸ |fˆ | k. kPZ2. 2. 8..

(25) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 25. Também definimos nesses espaços, os produtos internos. ». ppf, gqqL 2. e. ppf, gqqH 9. T2. ». 1. T2. f pxqg pxqdx,. ∇f pxq∇g pxqdx.. E por fim, observe que no espaço H9 s vale a desigualdade de Hölder (veja [25] pg. 275) e também vale ¸ ¸ ||f ||2H 1 p2πq2 |k|2|fˆk |2 p2πq2 |kfˆk |2 ||∇f ||2L2 , 9. P. e. ||f ||2H p2πq2 9. 2. ¸. k Z2. ¸. |k|4|fˆk |2 p2πq2. P. 9. P. k Z2. P. k Z2. ||k|2fˆk |2 ||∆f ||2L . 9. 2. k Z2. Para mais informações sobre espaços de Sobolev homogêneo veja [29] [16] e [25]. Inicialmente precisamos garantir a existência de solução fraca para a equação SQG-. Para tal fim, utilizaremos o método de Galerkin, como veremos a seguir. Feita essas considerações iniciais, definamos a solução fraca para a SQG-. Definição 3.1.1. Seja T para o problema (3.4) se d dt. ». T2. θvdx . ». T2. ¡ 0, uma função θ P L8pr0, T s; L2pT2qq satisfaz a formulação fraca 9. θpu ∇qvdx. ». » θΛvdx. . T2. T2. ∇θ ∇vdx 0,. @ v P Cc8pT2, Rq,. (3.6). no sentido das distribuições, ou seja, se para toda φ P Cc8 pp0, 8q, Rq tem-se. »8» 0. T2. θvφ1 dxdt. »8» 0. T2. θppu ∇qv qφdxdt . »8» 0. T2. θpΛv qφdxdt. »8» 0. T2. ∇θ ∇vφdxdt 0. (3.7). 3.1.1 Método de Galerkin para equação SQG- Como H9 1 é um espaço vetorial denso em L9 2 , podemos considerar uma base ortonormal tvj ujPN de L9 2 formada por elementos de H9 1. Para cada m P N considere o subespaço vetorial V0m. spantv1, , vmu,. e considere o sistema de equações diferenciais ordinárias no espaço V0m , que consiste de encontrar uma função t ÝÑ θm ptq P V0m ,.

(26) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 26. 1, , m, a igualdade » m m θ pu ∇qvj dx θm Λvj dx. satisfazendo para todo j d dt. ». T2. θ vj dx m. ». T2. » . T2. T2. ∇θm ∇vj dx 0,. @. vj. P V0m, (3.8). com condição inicial dada por θm p0q θ0m ,. @ j 1, , m,. onde pθ0m q é uma sequência tal que θ0m. Ñ θ0 em L2, 9. (3.9). É claro que a sequência pθ0m qmPN é limitada em L9 2 . Utilizando a definição do produto interno de L9 2 e H9 1 podemos reescrever (3.8) na forma d pp θm , vj qqL2 dt 9. em que. bpum, vj , θmq ppθm, Λvj qqL. bpu , vj , θ m. ppθm , vj qqH 1. 2. m. q. » T2. θm pum ∇qvj dx,. 0,. 9. (3.10). @ j 1, , m.. Note que, via a desigualdade de Hölder obtemos a limitação. |bpum, vj , θmq| ¤ ||θm||L ||um||L ||vj ||H . Como H 1 L4 , vemos que bpq está bem definido em H 1 H 1 H 1 . Como θm P spantv1 , , vm u, podemos escrevê-la como m ¸ m θ ptq αkm ptqvk , 4. 4. 9. 9. 9. 1. 9. 9. (3.11) V0m. . . k 1. e substituindo em (3.10) obtemos m ¸. . m ¸ d m α p t q αkm ptqppvk , vj qqH 1 2 k dt k 1. ppvk , vj qqL. k 1. 9. 9. . m ¸. . αkm ptqppvk , Λvj qqqL2 9. bpum , vj .θm q. k 1. (3.12) Como tvj u é uma base ortonormal, podemos reescrever a desigualdade acima m ¸ d m αj ptq αkm ptqppvk , vj qqH 1 dt k 1. . 9. m ¸. . αkm ptqppvk , Λvj qqqL2. Rj θ. pxq . ». cd P.V.. ¸ m. . l 1 m. ¸ . l 1. T2. αlm ptqP.V.. T2. (3.13). pR2θm, R1θmq. Pela definição da. θ py, tqR py qdy cd P.V. m. ». bpum , vj , θm q.. k 1. Vamos analisar o termo b, lembrando que um RK θm transformada de Riesz (veja Seção A.5), vemos que m. 9. vl R py qdy. αlm ptqRj vl pxq.. » ¸ m . T2 k 1. αlm ptqvl R py qdy.

(27) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 27. Logo, podemos escrever um. RKθm pR2θm, R1θmq . m ¸. . αlm ptqpR2 vl , R1 vl q . l 1. m ¸. . αlm ptquvl ,. (3.14). l 1. em que um vl pR2 vl , R1 vl q. Substituindo (3.14) em (3.13) obtemos o sistema de equações diferenciais ordinárias para αkm ptq dado por m ¸ d m αj ptq dt k 1. . . αkm. ptqppvk , vj qqH ptqppvk , Λvj qqqL 9. 1. αkm. 1. m ¸. . αlm. ptq ptqbp αkm. um vl , vj , vk. q. ,. l 1. (3.15) com condição inicial αjm p0q ppθ0 , vj qqL2 , 9. @ j 1, , m.. (3.16). Escrevendo (3.15) como um sistema linear. m α1 ptq d F, dt m αk ptq. em que F : T2 Ñ T2 é uma polinômio de grau 2 em αkm ptq. Logo, F é localmente Lipschitz. Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias da forma αt F pαq e então utilizando o Teorema de Picard em espaço de Banach garantimos a existência e unicidade de soluções suaves locais, ou seja dado m P N e θ0m P V0m , existe T T pm, θ0m q e θm P C 1 pr0, T s, V0m q satisfazendo a aproximação de Galerkin.. 3.1.2 Estimativas para a aproximação de Galerkin Na Seção anterior garantimos a existência de uma solução θm P C 1 pr0, T s, V0m q da equação (3.8). Nosso objetivo nesta Seção é fazermos algumas estimativas para θm em espaços apropriados para que possamos garantir a existência de uma função θ limite de θm em determinados espaços tal que θ seja uma solução fraca da SQG-. Primeiramente, consideraremos v θm em (3.10), ficando com d pp θm , θm qqL2 dt 9. bpum, θm, θmq ppθm, ΛθmqqL 9. 2. ppθm , θm qqH 1 9. 0.. Inicialmente vamos analisar o termo bpum , θm , θm q. Como um RK θm pR2 θm , R1 θm q e θm P V0m H9 1 tem-se Rj θm P H9 1 (veja Seção A.5 ) com j 1, 2. Além disso, temos div pum q B1 R2 θm. B2R1θm..

(28) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 28. Aplicando a transformada de Fourier. { div pumq. m B{ 1 R2 θ 0,. . . iξ iξ1 x 2 m m mξ m {m ξ2R { B{ θx 2 R1 θ cpξ1 R2 θ 1 θ q c ξ1 2 |ξ | |ξ | θ ,. concluímos então que div pum q 0. Aplicando a integração por partes e usando que div pum q 0, concluímos que bpu , θ , θ m. m. m. q . ». ¸2 ». pu ∇θ qdx T i1 T . » » ¸2 m m m θ ui Bi θ dx T T i1 m m m bpu , θ , θ q, θ. m. m. m. 2. 2. 2. ou seja. 2. pBiθ qdx . ¸2 ». pBiθmuiθm θmBiuiθmqdx i1 T ¸2 » m m m m m m θ div pu qθ dx θ ui Bi θ dx. θ m um i. m. 2. . 2 i 1 T. bpum , θm , θm q 0.. Portanto, podemos reescrever (3.17) da forma d ppθm, θmqqL2 dt. ppθm, ΛθmqqL. 9. 9. Observe que como vale a igualdade. . d m m θ ,θ dt. ppθm , θm qqH 1 9. 2. 0.. (3.17). 12 dtd ||θm||2L , 9. 2. podemos rescrever (3.17) como 1d m 2 ||θ ||L2 2 dt. ppθm, ΛθmqqL 9. 9. 2. ppθm , θm qqH 1 9. 0.. (3.18). Usando o lema da Positividade A.4.2 e a desigualdade de Poincaré d m 2 ||θ ||L2 dt 9. 2λ1 ppθm , θm qqL2. ¤ 0,. (3.19). e finalmente usando a desigualdade de Gronwall A.6.4, concluímos. ||θmptq||2L ¤ ||θ0mptq||L e2λ t, @ t P r0, T pm, θ0mqs. 9. 9. 2. Como tθ0m u é limitada em L9 2 , existe C0. 2. 1. ¡ 0 tal que. ||θmptq||2L ¤ C0e2t, @ t P r0, T pm, θ0mqs. 9. (3.20). 2. Logo, cada θm existe para todo t ¥ 0. Concluindo então que. tθmumPN é uniformemente limitada em L8pp0, T q, L2q 9. 0¤T. ¤ 8.. (3.21).

(29) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 29. Além disso, integrando (3.19) em relação ao tempo podemos concluir a desigualdade. ||θ ptq||L ||θ p0q|| m. m. 9. »t. e, consequentemente 2. 2. ||θm||2H dt ¤ 0,. 2. 9. 0. 1. ||θm||2H dt ¤ ||θmp0q||2L , @ t ¥ 0. 9. 0. »t. 2 L9 2. 9. 1. 2. e utilizando novamente que tθ0m u é limitada em L9 2 , concluímos que. tθmumPN é uniformemente limitada em L2pp0, T q, H 1q,. 0¤T. 9. ¤ 8.. (3.22). Faremos a seguir estimativas no tempo para a equação de Galerkin d ppθm, vqqL2 dt. bpum, v, θmq ppθm, ΛvqqL 9. ppθm , v qqH 1 9. 2. 0,. v. P Cc8pT2, Rq.. (3.23). Integrando de t a t h e utilizando a definição de H9 1 via Laplaciano Fracionário e a desigualdade de Hölder, Ladyzhenskaya, a Proposição A.5.1 e as limitações (3.21) e (3.22) obtemos a desigualdade. |ppθmpt. hq, v qqL2 9. ¤ ¤ ¤ ¤. pp θmptq, vqqL |. » t h m m m m bpu , v, θ q ppθ , ΛvqqL ppθ , vqqH ds t. »t h m m m m |bpu , v, θ q| ||θ ||L ||Λv||L ||θ ||H ||v||H ds t. »t h m m m ||u||L ||θ ||L ||v||H ||θ ||L ||v||H ||θ ||H ||v||H ds t. »t h m m m 2 ||θ ||L ||v||H ||θ ||H ||v||H ds c0 ||θ ||L ||v ||H t. »t h m m m ||θ ||L ||v||H ds c1 ||θ ||L ||θ ||H ||v ||H t »t h ||θm ||H ||v ||H ds 9. 2. 2. 9. 4. 9. 9. 9. 4. 9. 2. 9. 4. 9. 9. 1. 9. 1. 9. 1. 9. 9. 2. 9. 1. 9. 9. 2. 9. 2. 9. 2. 9. 1. 9. 1. 9. 1. 9. 1. 1. 9. 2. 1. 9. 1. 9. 1. 1. 1. 1. 1. t. (3.24). ¤. » t. h. c1. θm 2H9 1 ds 1 2. 9. ¤. 1 2. || || || || h t. » t h m 2 ||θ ||H ds h ||v||H θm 2L9 2. t. cT h 2 ||v ||H 1 , 1. 9. 1. 1 2. 9. 1 2. » t. h. t. || ||. θm 2L9 2 ds. 1 2. 1. @ v P V0m,. P V0m, vemos que hq θm ptq||pH q1 ¤ cT h. 1. h2. (3.25). Tomando o supremo em v. ||θmpt. 9. 1. 1 2. ,. @ t P r0, T hs. e. @ m P N.. (3.26).

(30) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 30. Mostrando que θm é equicontínua em C pr0, T s, pH9 1 q1 s para qualquer T v θm pt hq θm ptq em (3.24) tem-se v P V0m e concluímos que. ||θmpt. ¤ cT h ||θmpt. hq θm ptq||2L2. 0. Considerando. hq θm ptq||H 1 ,. 1 2. 9. ¡. 9. integrando em t e usando a estimativa uniforme dada em (3.22) para tθm umPN em L2 pp0, T q, H9 1 q, obtemos. » T h 0. ||θmpt. hq θm ptq||2L2 dt. ¤ ¤. 9. e, consequentemente, obtemos. » T h. lim sup sup. Ñ0. h. P. m N 0. » T h. cT h 0. ||θmpt. hq θm ptq||2H 1 dt 9. c˜T h,. ||θmpt. 1 2. (3.27). hq θm ptq||2L2 dt 0.. (3.28). 9. Também podemos concluir via o Teorema A.3.3 que sequência tθm umPN é pré-compacta em L2 pp0, T q, L9 2 q e portanto, a menos de subsequência existe θ P L2 pp0, T q, L9 2 q tal que θm. Ñ θ,. em L2 pp0, T q, L9 2 q.. Nosso próximo objetivo é provarmos que θm á θ em L2 pp0, T q, H9 2 q. Para isto, analisaremos novamente a formulação de Galerkin, mas agora em um espaço mais apropriado, consideraremos os espaços V0m tendo como base os autovetores do operador Laplaciano ∆. Pelo Teorema A.2.10, L9 2 possui uma base ortonormal formada pelos autovetores w1 , w2 , , wn , ... do operador ∆. Além disso, os autovetores associados λ1 , λ2 , , λn , formam uma sequência não decrescente 0 λ1 ¤ λ2 ¤ ¤ λk Ñ 8. Consideraremos então V0m. spantw1, , wmu,. P V0m que satisfaça a condição inicial e a formulação de Galerkin dada por . d m ppθm , v qqH 0. (3.29) θ ,v bpum , θm , v q ppθm , Λv qqL dt. e vamos procurar θm. 9. 9. 2. 1. L9 2. Como V0m tem como base os autovetores do operador ∆, concluímos que V0m é invariante por ∆. Assim podemos considerar v ∆θm e reescrever (3.29) como. pp dtd θm, ∆θmqqL 9. 2. bpum , θm , ∆θm q. utilizando o fato que. . d m θ , ∆θm dt. L9 2. . . ppθm, Λ∆θmqqL. 2. d m m θ ,θ dt. ppθm , ∆θm qqH 1 9. 12 dtd ||θm||H , 9. H9 1. 1. 0,. (3.30).

(31) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 31. e. ppθm, ∆θmqqH ||∆θm||L , 9. 9. 1. 2. então podemos reescrever (3.30) 1d m 2 ||θ ||H 1 2 dt. ppθm, Λ∆θmqqL 9. 9. Como θm. P V0m, podemos escrever θm. m ¸. . . ||∆θm ||2L2. 2. 9. ñ ∆θm . λk w k. k 1. bpum, θm, ∆θmq.. m ¸. (3.31). λ2k wk ,. . k 1. utilizando a definição do Laplaciano fracionário, obtemos. ppθm, Λ∆θmqqL pp∇θm, Λ∇θmqqL ppΛ 9. 9. 2. 2. 1 2. ∇θm , Λ 2 ∇θm qqL2 1. 9. ¥ 0,. então podemos reescrever (3.31) como 1d m 2 ||θ ||H 1 2 dt. ||∆θm ||2L2. 9. 9. ¤ bpum, θm, ∆θmq.. (3.32). Vamos estimar o termo trilinear utilizando as desigualdades de Ladyzhenskaya A.6.5, Hölder e Young, obtemos. |bpum, θm, ∆θmq| ¤ c||um||L ||∇θm||L ||∆θm||L ¤ c||um||L ||um||H ||∇θm||H ||∇θm||L ||∆θm||L ¤ ||θm||L ||θm||H ||∆θm||L ¤ c||θm||2L ||θm||4H 2 ||∆θm||2L . 4. 4. 1 2 9. 9. 2. 9. 1 2. 9. 2. 1 2 9. 2. 1 2. 1 2 9. 1. 2. 9. 2. 3 2. 1. 9. 9. 2. 9. 1. 2. 2. 1. (3.33). Substituindo (3.33) em (3.32), concluímos 1d m 2 ||θ ||H 1 2 dt. || ∆θm ||2L2 2. 9. 9. ¤ c||θm||2L ||θm||4H . 9. 9. 2. (3.34). 1. Definindo y ptq ||θm ||2H 1 , ficamos com 9. d y ptq ¤ c ||θm ||2L2 ||θm ||2H y ptq. dt Aplicando a desigualdade de Gronwall (A.6.4), concluímos. " »t. y ptq ¤ y p0q exp c. 0. || || || || θm 2L9 2. *. θm 2H9 1 ds. ,. que pode ser reescrita como. ||θm||2H ¤ ||θmp0q||H 9. 1. 9. 1. exptc ||θm ||L8 pp0,tq,L2 q ||θm ||2L2 pp0,tq,H 1 qu. 9. 9. (3.35).

(32) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 32. Como tθm umPN é uniformemente limitada nos L8 pp0, T q, L9 2 q e L2 pp0, T q, H9 1 q para t ¥ 0, concluímos então que. tθmumPN. é uniformemente limitada em L8 pp0, T q, H9 1 q, T. ¥ 0.. (3.36). Voltando a desigualdade (3.34) e integrando de 0 a T e posteriormente utilizando a limitação uniformente dada acima, concluímos. »T. ||∆θm||2L ¤ C, 9. 0. (3.37). 2. ou seja. tθmumPN é uniformemente limitada em L2pp0, T q, H 2q. 9. (3.38). 3.1.3 Passagem ao limite Primeiramente observe que pelas estimativas (3.22), 3.34 e (3.38) feitas anteriormente, concluímos que existe uma função θ. P L8pp0, T q, H 1q X L2pp0, T q, H 2q, 9. 9. tal que a aproximação de Galerkin. á θ, em L8pp0, T q, H 1q, θm á θ, em L2 pp0, T q, H 2 q.. θm. 9. 9. e θm. á θ,. em L2 pp0, T q, H9 1 q.. Nosso objetivo agora é provar que a sequência θt Ñ θ em L2 pp0, T q, H9 1 q. Para isto, primeiramente provaremos que tθtm umPN é uniformemente limitada em P L2 pp0, T q, L9 2 q e posteriormente aplicaremos o teorema de compacidade A.3.5. Integrando (3.29) no tempo, obtemos. ppθ ptq θ pt0, vqqL m. m. 9. »t. pbpum, θm, vq ppθm, ΛvqqL 9. 2. t0. ppθm , v qqH 1 qds 0. 9. 2. Note que 1. Se θ, v. P H 1, então 9. ppθ, ΛvqqL ppΛθ, vqqL , 9. 2. 2. (3.39).

(33) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 2. Se u P H9 1 e θ. 33. P H 2, então 9. B pu, θq : L9 2. ÝÑ R ÞÝÑ bpu, θ, vq,. v. (3.40). é um funcional linear limitado. De fato, usando a estimativa para o termo trilinear dada em (A.6.7) e a desigualdade de Poincaré, obtemos. ||B pu, θq||pL q1 9. |bpu, θ, vq| ¤ ||u||L ||u||H ||θ||H ||θ||H ||v||L 1 2. sup. 2. ||v||L2 1. 9. 1 2. 9. 2. 1 2. 1 2. 9. 1. 9. 1. 1 2 9. 2. 2. 9. ¤ ||u||H ||θ||H ||θ||H . 9. Como pL9 2 q1. 1 2. 1. 1 2. 9. 9. 1. 2. L2, temos que 9. B pu, θq P L9 2 ,. @ u P H 1 e θ P H 2. 9. 9. Utilizando estes fatos acima podemos reescrever (3.39) como. . θ. m. »t. ptq θ pt0q m. t0. pB pu. m. ,θ. m. Como a desigualdade acima vale para todo v. pθ ptq θ pt0q m. m. »t. t0. q. Λθ. m. qds, v. L9 2. 0.. P L2, concluímos que 9. pB pum, θmq Λθm. Como F : pB pum , θm q Λθm. ∆θ. m. ∆θm qds,. @ 0 ¤ t0 ¤ t ¤ T.. ∆θm q P L2 ppt0 , tq, L9 2 q, temos que θtm. F,. (3.41). q.t.p e. ||θtm||L pp0,T q,L q ¤ ||B pum, θmq||L pp0,T q,L q ||Λθm||L pp0,T q,L q ||∆θm||L pp0,T q,L q » T. m m m ¤ ||u ||H ||θ ||H ||θ ||H ds ||θm||L pp0,T q,H q ||θm||L pp0,T q,H q. 0 m m m m ¤ c ||θ ||L8pp0,T q,H q||θ ||L pp0,T q,H q ||θ ||L pp0,T q,H q ||θ ||L pp0,T q,H q . 9. 2. 2. 9. 2. 2. 9. 2. 2. 2. 9. 2. 1 2. 9. 9. 1. 9. 2. 1. 1. 2. 9. 2. 9. 2. 9. 2. 1. 9. 2. 1. 2. 9. 2. 2. (3.42) Da limitação uniforme de tθm u em L8 pp0, T q, H9 1 q e L2 pp0, T q, H9 2 q, segue a limitação uniforme de tθtm u em L2 pp0, T q, L2 q. Logo, pelo Teorema A.3.5 segue que existe θ P L2 pp0, T q, L9 2 q, tal que θm. ÝÑ θ,. em L2 pp0, T q, H9 1 q.. (3.43). Portanto, concluímos o desejado. Além disso, podemos concluir de (3.41) que. ||θ pt m. hq θ. m. ptq||L ¤ 9. »t. h. ¤. ||pB pum, θmq||L 9. 2. t. 2. ||Λθm||L 9. 2. ||∆θm ||L2 qds 9. h 4 ||θm ||L2 8 ppt,t hq,H 1 q ||θm ||L2 2 ppt,t hq,H 2 q 1 h||θm ||L8 ppt,t hq,H 1 q h 2 ||θm ||L2 ppt,t hq,H 2 q 3. 3. 1. 9. ¤. 1 2. ch ,. (3.44).

(34) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 34. ou seja, θm é equicontínua em L2 , concluindo então que. P C pr0, T s, L2q.. θm. Além disso, também concluímos via o teorema de Arzelà-Ascoli que existe θ que, a menos de subsequência θm. ÝÑ θ,. em C pr0, T s, L9 2 q para todo T. P C pr0, T s, L2q tal. ¡ 0.. 9. (3.45). Assim, podemos passar o limite na aproximação de Galerkin (3.10) e concluir que a função θ satisfaz d ppθ, vj qqL2 dt 9. bpu, vj , θq ppθ, Λvj qqL. 1. ppθ, vj qqH 1 9. 0,. vj. P H 1. 9. (3.46). Multiplicando a equação acima por uma função teste escalar φ P Cc8 pp0, 8q, Rq e integrando no tempo, ficamos com. »8 d » dt. 0. θvj φdxdt. T2. »8». . »8». T2. 0. . θppu ∇qvj qφdxdt. 0. T2. θpΛvj qφdxdt . θp∆vj qφdxdt 0,. T2. 0. »8». (3.47). integrando por partes o primeiro termo e utilizando o fato que o espaço gerado por tvj uj PN é denso em H9 1 , segue das estimativas para θ feitas anteriormente que podemos estender a equação fraca (3.47) para todo v P H9 1 , obtendo então. . »8» 0. θvφ1 dxdt. T2. »8» »8» θvφdx θppu ∇qv qφdxdt θpΛv qφdxdt T 0 T 0 T t0 »8» ∇θ∇vφdxdt 0, (3.48) ». 2. 0. 2. 2. T2. ou seja, θ satisfaz a formulação fraca no sentido das distribuições (3.7). Relembremos que, nosso objetivo é mostrarmos que a sequência de soluções fracas θ : θ da SQG- converge para θ solução fraca da SQG quando Ñ 0. Nesse sentido, fazermos estimativas apropriadas que não se degeneram quando Ñ 0 é de grande importância. Assim, considere tvk ukPN H9 1 uma base ortonormal em L9 2 , podemos escrever . ||θmptq||2L 9. m ¸. 2. . ppθm, vk qq2L , 9. 2. (3.49). k 1. então podemos reescrever a estimativa (3.20) como. ||θ ptq|| m. 2 L9 2. m ¸. . k 1. ppθm, vk qq2L ¤ C0e2t, @ t P p0, T q. 9. 2. (3.50).

(35) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 35. Como θm converge forte para θ em C pr0, T s, pL2 q para todo T m ¸. . ppθmptq, vk qq2L ÝÑ 9. 2. k 1. m ¸. . ¡ 0 e para cada vk P H 1, obtemos 9. ppθptq, vk qq2L , @ t ¥ 0, 9. (3.51). 2. k 1. e via (3.50) concluímos m ¸. . ppθptq, vk qq2L ¤ C0e2t, @ t ¥ 0, 9. (3.52). 2. k 1. como a desigualdade acima não depende de m, podemos fazer m Ñ 8 e concluir. 8 ¸ . ppθptq, vk qq2L ¤ C0e2t, @ t ¥ 0, 9. (3.53). 2. k 1. e via (3.50) e (3.51), concluímos. ||θptq||2L ¤ C0e2t, @ t ¥ 0, 9. (3.54). 2. mostrando que θptq é uniformemente limitada em L9 2 . Além disso, temos que θ P C pr0, T s, H9 1 q. De fato, primeiramente observe que, se utilizarmos o Teorema A.3.5, podemos escrever 1d || θ||2H 1 2 dt 9. ppθt, θqqH ppθt, ∆θqqL , 9. 9. 1. (3.55). 2. para quase todo t P r0, T s. Assim, considere tn Ñ t (sem perda de generalidade suponha tn decrescente) e integrando a igualdade (3.55) de tn a t e usando ∆θ P L2 pp0, T q, L9 2 q e θt P L2 pp0, T q, L9 2 q, ficamos com. »t ||θptnq||H ||θptq||H ¤ |ppθt, ∆θqqL | ¤ ptn tq||θt||L pp0,T q,L q||∆θ||L pp0,T q,L q t ¤ M ptn tq (3.56) n. 9. fazendo tn. 1. 9. 9. 1. 9. 2. 2. 9. 2. 9. 2. 9. 2. Ñ t, concluímos que ||θptnq||H Ñ ||θptq||H . 9. 9. 1. 1. Além disso, podemos concluir também que θptn q Ñ θptq, em H9 1 , ou seja θ. P C pr0, T s, H 1q. 9. Em suma provamos com os resultados obtidos nas seções anteriores os Lemas..

(36) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 36. Lema 3.1.2. A sequência de funções θ é uniformemente limitada em L8 pp0, T q, L9 2 q, mais precisamente, existe C0 ¡ 0 tal que. ||θptq||2L ¤ C0e2t, @ t ¥ 0. 9. 2. Demonstração. Esse Lema foi provado na desigualdade (3.54) Lema 3.1.3. Sejam θ0 P H9 1 e θm a aproximação de Galerkin definida na Seção 3.1.1 com condição inicial satisfazendo (3.9). Então existe uma função θ. P L8pp0, T q, H 1q X L2pp0, T q, H 2q X C pr0, T s, H 1q, 9. 9. 9. tal que a menos de subsequência. á θ, em L8pp0, T q, H 1q, á θ, em L2pp0, T q, H 2q.. θm. 9. θm. 9. e θm. 9. ÝÑ θ em L2pp0, T q, H 1q, 9. em que θ satisfaz a formulação fraca da equação SQG- (3.5) em p0, T q, para T. ¥ 0.. 3.1.4 Desigualdade de Energia Vamos provar que a solução fraca θ da SQG- dada pelo Lema 3.1.3 satisfaz a desigualdade de energia em r0, 8q. Sabemos pela desigualdade (3.19) que a aproximação de Galerkin satisfaz 1d m 2 || θ ||L2 ||θm ||2H 1 ¤ 0. 2 dt Multiplicando a desigualdade acima por ϕ P Cc pr0, 8q, Rq, ϕ ¥ 0 e posteriormente integrando em no tempo t, obtemos 9. 1 2. »8. 9. »8. d m 2 ||θ ||L2 ϕptqdt dt. . 9. 0. ||θm||2H ϕptqdt ¤ 0, 9. 0. 1. e posteriormente aplicando a integração por partes no primeiro termo, obtemos. 12 ϕp0q||θmp0q||2L2 9. . 1 2. »8 0. || ||. 1 ptqdt. θm 2L9 2 ϕ. »8 . ||θm||2H ϕptqdt ¤ 0. 9. 0. 1. (3.57).

(37) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 37. Passando para uma subsequência se necessário, podemos utilizar a convergência da aproximação de Galerkin para uma função θ P L8 pp0, 8q, L9 2 q X L2 pp0, T q, H9 1 q, @T ¡ 0, para escrevermos. »8 0. ||θ||. ptqdt . »8. »8. ppθptq, θptqqqH ϕptqdt mlim ppθptq, θmptqqqH ϕptqdt Ñ8 0 0 »8 ¤ lim inf ||θptq||H ||θmptq||H ϕptqdt mÑ8 0. . » 8 »8 m 2 2 ||θ ptq||H ϕptqdt , ¤ lim inf ||θptq||H ϕptqdt mÑ8. 2 ϕ H9 1. 9. 9. 1. 9. 9. 1. 1. 1 2. 1 2. 9. 9. 1. »8 0. ||θptq||. 2 ϕ H9 1. ptqdt ¤ lim inf. »8. ||θmptq||2H ϕptqdt. 9. 0. (3.58). 1. Ñ θ em L2pp0, T q, L2q. Passando o limite inferior em (3.57) e utilizando a convergências forte de θm e θ0m Ñ θ0 em L9 2 e (3.58) concluímos. 12. »8 0. ||θ||. 2 ϕ L9 2. »8. 1 ptqdt. 1. 0. 0. concluindo então. 1. . ||θ||2H ϕptqdt ¤ 12 ϕp0q||θ0p0q||2L . 9. 0. 9. 9. 1. (3.59). 2. Assim, podemos definir a desigualdade de Energia Definição 3.1.4. Dizemos que θ satisfaz a Desigualdade de Energia 1d m 2 ||θ ||L2 2 dt no sentido das distribuições em r0, 8q se 9. 21. »8 0. ||θ||. 1 ptqdt. 2 ϕ L9 2. para toda ϕ P Cc pr0, 8q, Rq, com ϕ ¥ 0.. »8. . ||θm ||2H 1 9. ||θ||2H ϕptqdt ¤ 12 ϕp0q||θ0p0q||2L , 9. 0. ¤ 0, 9. 1. 2. Feita esta definição podemos reescrever o Lema 3.1.3 como Lema 3.1.5. Sejam θ0 P L9 2 e θm a aproximação de Galerkin definida na Seção 3.1.1 com condição inicial satisfazendo (3.9). Então existe uma função θ. P L8pp0, T q, H 1q X L2pp0, T q, H 2q X C pr0, T s, H 1q, 9. 9. 9. tal que θm θm. á θ, em L8pp0, T q, H 1q, á θ, em L2pp0, T q, H 2q. 9. 9. e. ÝÑ θ em L2pp0, T q, H 1q, em que θ satisfaz a formulação fraca da SQG- em p0, T q. Além disso, θ satisfaz a Desigualdade de Energia 3.1.4 no sentido das distribuições em r0, 8q. θm. 9.

(38) Capítulo 3. Um estudo da Equação SQG dissipativa. 38. Utilizando o Lema 3.1.5 podemos anunciar o teorema de existência de solução forte para a SQG-. Teorema 3.1.6. (Existência de solução forte da SQG- em T2 ) Seja θ0 uma única solução forte θ com θ para T. θ0 P H 1, existe 9. P L8pp0, T q, H 1q X L2pp0, T q, H 2q X C pr0, T s, H 1q, 9. 9. 9. ¡ 0.. 3.1.5 Mais Regularidade para a solução fraca da SQG- Nas seções anteriores mostramos que se o dado inicial θ0 P H9 1 então a solução forte θ da SQG- pertence a L2 pp0, T q, H9 2 q. A posteriori provaremos que se o dado inicial θ0 P H m , então θ P L8 pp0, T q, H m q X L2 pp0, T q, H m 1 q. Vejamos a seguir: Teorema 3.1.7. Seja θ uma solução fraca da SQG- dada pelo Teorema 3.1.6 no intervalo de tempo r0, T s. Se θ0 P H m , então θ. P L8pp0, T q, H mq X L2pp0, T q, H m 1q.. Demonstração. Por questão notacional considere θ : θ. Vamos provar este Teorema por indução, primeiramente note que as soluções fortes da SQG- dadas pelo Teorema 3.1.6, foram obtidas nas seções anteriores como limite de aproximações de Galerkin, ou seja, existe θm Ñ θ em espaços apropriados. Então, podemos demonstrar este teorema para a sequência de funções θm . Sabemos via as desigualdade (3.22) e (3.38), que se o dado inicial θ0 P H9 1 , temos que a sequência. tθnunPN é uniformemente limitada em L8pp0, T q, H 1q. 9. e. tθnunPN é limitada em L2pp0, T q, H 2q. 9. Então, existe C1. ¡ 0 tal que sup. ¤¤. ||θ psq|| n. 0 s T. 2 H9 1. »T . ||θnpsq||2H ds ¤ C1. 9. 0. (3.60). Vamos provar que para 1 ¤ k sup. ¤¤. 0 s T. ¤ m, existe Ck tal que »T n 2 ||θ psq||H ||θnpsq||2H. 2. k. 0. k 1. ds ¤ Ck .. (3.61).