Os mecanismos de otimização tratam da
questão de determinar a “melhor solução” de problemas abstratos.
Abordagem Escalar = mono-objetivo.
O mecanismo de otimização deve ser capaz de
Um problema de otimização combinado com
um problema de factibilidade.
Problema com m objetivos distintos:
Este problema conduzira a m soluções distintas, cada qual
Não há uma técnica de otimização que seja
“universal”.
Depende da natureza das funções.
Questões de o quê são as soluções do
Mínimo Global
Mínimo Local
O que seriam:
O vetor de variáveis de otimização? A função objetivo?
A solução ótima? As restrições?
Tratamento da função objetivo e restrições
Adaptando problemas de maximização para
minimização.
▪ Função Objetivo:
Para facilitar a visualizações, trabalharemos
Imaginemos um ser matemático, o Otimizador O Otimizador é lançado de pára-quedas em um
Ele deverá caminhar sobre essa superfície, em
busca do ponto mais baixo da mesma. (o ponto de mínimo)
Entretanto o Otimizador deverá caminhar com
A única informação que ele pode utilizar será:
A altura do ponto no qual ele está “pisando”.
Ele pode “lembrar” das alturas dos pontos em que
ele tenha já “pisou”.
Objetivo:
Chegar no ponto de mínima altura sobre a superfície Fazer isso utilizando o menos número possível de
As características da função objetivo definem
que tipos de estratégias seriam efetivas para a otimização.
Ser diferenciável:
▪ Possibilidade de cálculo aproximado do gradiente.
Ser unimodal as estratégias seriam bem diferentes
Vamos usar o Otimizador!
A função é bem simples, mas o Otimizador
não sabe disto!
O Otimizador deve descobrir o ponto de
mínimo utilizando apenas “amostras”.
Para estes métodos funcionarem, os
requisitos que encontram-se implicitos são:
A função ser unimodal.
A função ser diferenciável.
Alguns problemas podem ocorrer…
Considere a função unimodal e diferenciável a
Estratégias de Exclusão de Regiões.
Considre agora uma f(x):
▪ Unimodal
Problemas com os métodos de direção de
busca:
Não é devido não ser possível calcular o gradiente
em pontos não diferenciáveis.
▪ Possibilidade de se deslocar a pontos vizinhos.
Cálculo da direção de busca:
Estratégias de Exclusão de Regiões.
Podemos então desconsiderar a premissa de
diferenciabilidade.
Introduzir a premissa de convexidade. Então temos a nova estratégia!
Grande parte das funções objetivo que
queremos otimizar na pratica, infelizmente não é unimodal.
Estratégias de direção de busca e estratégias de exclusão de regiões irão falhar.
Como a função possui diversas bacias de
atração diferentes.
Temos diferentes mínimos locais.
O que acontece se utilizarmos algoritmos
com mecanismo de direção de busca?
Qual seria uma possível estratégia a ser
Método de Populações:
Não mais um Otimizador sozinho.
Um grupo de Otimizadores cooperando entre si
para tentar descobrir a localização do ponto de mínimo da função.
Função Objetivo e suas restrições são funções
Faz sentido um problema de Otimização
Faz sentido um problema de Otimização
Critérios de parada:
Estabilização do valor da função-objetivo.
Possibilidade:
▪ Variação nas últimas 5 iterações entre fmax e fmin de 0,1%.
Estabilização do vetor de variáveis de
otimização.
Não-Diferenciabilidade.
Problemas:
▪ Cálculo do gradiente.
▪ Descontinuidade da função gradiente.
▪ “atratoras”. Não-Convexidade Garantindo: ▪ Unimodalidade e a diferenciabilidade Converge. Multimodalidade?
Os métodos de direções de buca trabalham
sempre com:
apenas uma estimativa corrente da solução;
informações obtidas apenas localmente, sobre a estimativa corrente, para definir a próxima
Os métodos de “otimização por populações”
poderão trabalhar com:
informação a respeito de mais de um ponto, que e
tratada como “informação corrente"; e/ou
informações obtidas em mais de um ponto do
espaço de soluções que é utilizada para definir a transição do estado corrente para o próximo
O novo algoritmo, no PANA, deve ser
comparado apenas com os algoritmos pertencentes ao conjunto de Pareto.
Vamos considerar o problema de achar o
Um conjunto de operadores é definido. Podemos formar então 864 diferentes AG’s.
Cada versão do AG é testada com todas as
funções do conjunto representativo, com duas figuras de mérito:
O número médio de avaliações da função objetivo
necessárias para se atingir o mínimo global; e
A fração das execuções do algoritmo que termina por encontrar o mínimo global.
Então temos 25 algoritmos que são
“não-dominados”.
Estes 25 algoritmos são suficientes para a
comparação com qualquer novo algoritmo sobre a mesma função de teste.
Ao gerar um novo AG como deve ser o
Poderiamos testá-los apenas com os
melhores algoritmos já encontrados, introduzindo o novo operador?
Isto significaria que os operadores seriam “independetes”
Seria necessário testarmos com todas as
variantes?
Ao gerar um novo AG como deve ser o
procedimento?
Se criarmos um novo operador de
Infelizmente, a resposta à questão de serem
os operadores independentes entre si é: NÃO!
Dos 10 novos algoritmos que utilizam o
operador de cruzamento real-polarizado e compõe o conjunto0 Pareto atualizado,
Métodos de busca por população podem lidar
de duas formas básicas:
Através de “penalidades”; ou
Impedindo a incorporação à população de indivíduos que violam restrições.
Através de “penalidades”:
O problema de otimização pode envolver a busca
de regiões factíveis em seu início. (problema de factibilidade)
Impedindo a incorporação à população de indivíduos
que violam restrições:
Parte da premissa que a factibilidade pode ser
Descontinuidades de não-diferenciabilidade:
Esta família de métodos não faz uso de
informação nem de gradiente nem de subgradiente.
Multimodalidade:
É a principal justificativa para o desenvolvimento
dos métodos de “populações”.
É a família de métodos que mais se aproxima do
conceito de “algoritmo de otimização para problemas genéricos”
Os algoritmos tendem a convergir para ótimos
que são “globais”na região em que foi distribuída a população inicial de pontos. É só?
O POV se define a partir da análise do
ordenamento das soluções, levando em conta os diversos objetivos.
As soluções multiobjetivo, ou soluções de
Pareto, são as melhores soluções entre as quais não existe um ordenamento.
Não há como definir, a partir da avaliação dos
funcionais objetivos, que uma solução é melhor que a outra.
