Texto de Apoio_04_ESZS012-17 - Aplicações de Elementos Finitos para Engenharia

SOCIAIS APLICADAS

ENGENHARIA AEROESPACIAL

ESZS012-17 – APLICAÇÕES DE ELEMENTOS FINITOS PARA ENGENHARIA

NOTAS DE AULA – aula 04

Prof. Dr. Wesley Góis

5 Soluções aproximadas dos problemas de barra sob força

normal e flexão

5.1 A formulação fraca e as soluções aproximativas

Conforme visto em capítulo anterior, tanto o Método da Energia (aplicação do primeiro princípio variacional no Funcional da Energia Potencial Total) quanto Princípio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.) proporcionam maneiras de se obter a forma variacional fraca de um problema de valor de contorno.

Por conveniência reescrevem-se as formas fracas dos problemas da barra sob carregamento axial e da viga em flexão estudados até o momento:

L L

0 EAu δu dx¢ ¢ - 0 pδudx= "0 δu

ò

ò

(5.1)

L L

0 EIv δv dx¢¢ ¢¢ - 0 pδvdx= "0 δν

ò

ò

(5.2) É importante novamente observar que de acordo com o P.T.V. a função que descreve o campo de deslocamentos reais ( u ou v ) na situação equilibrada deve obedecer às condições de contorno essenciais, sendo que o campo de deslocamentos virtuais (δu ou δv ) deve ser homogêneo nessas mesmas

condições. Já as condições de contorno naturais estão contempladas no P.T.V. nas parcelas relativas ao trabalho das forças externas.

Voltando, por um momento, às expressões (5.1) e (5.2), nota-se que ambas incluem uma forma bilinear e outra linear e, portanto, a mesma característica é apresentada pelo P.T.V.

Uma transformação L v , que associa um escalar à função v , é dita forma

( )

linear se apresenta a seguinte propriedade:

(

)

( )

( )

tes

1 2 1 2

L αν + βv =αL v + βL v com α , β c (5.3)

Uma transformação B u,v , que associa um escalar às funções u e v , é

( )

dita forma bilinear (linear em u e linear em v ) se apresenta as seguintes propriedades:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2 1 2 tes 1 2 1 2 B αu βu ,v αB u ,v βB u ,v

B u,αv βv αB u,v βB u,v com α , β c

+ = +

+ = + (5.4)

No caso da (5.1), por exemplo, as formas bilinear e linear são identificadas

em cada uma das integrais por:

( )

(

)

L

0

B u,v =B u ,δu¢ ¢ =

ò

EAu δu dx¢ ¢ e

( )

( )

L 0

L v =L δu =

ò

pδudx.

Assim sendo, ao P.T.V. pode-se dar a seguinte representação geral:

( )

( )

B u,v -L v = "0 v (5.5)

onde u representa um campo de funções com condições de continuidade compatíveis com o que exige a particular forma bilinear de cada problema e que verificam as condições de contorno essenciais. Por sua vez, v representa um campo de deslocamentos virtuais também com regularidade compatível com as formas bilinear e linear e que homogêneo nas condições de contorno essenciais.

No sentido de se obter soluções aproximadas para os problemas de valor de contorno expressos segundo a (5.5), pode-se representar u e v como combinações lineares do tipo: u x

( )

=α φ x_{i i}

( )

e v x

( )

= β ψ x_{j j}

( )

, com i , j=1, ...,n. Nessas aproximações os coeficientes α e _i β são parâmetros incógnitos e as _j

funções φ x_i

( )

e ψ x_j

( )

são ditas funções de forma. Em coerência com as restrições que as funções reais e virtuais devem obedecer, as funções φ x_i

( )

devem verificar as condições de contorno essenciais, enquanto que as funções

( )

j

ψ x devem ser homogêneas nas condições de contorno essenciais.

Um procedimento normalmente empregado ao se trabalhar com as aproximações consiste em exprimir a (5.5) segundo uma aproximação ‘à lá’ Galerkin, isto é, na qual se tomam para v as mesmas funções de forma usadas para aproximar u .

Nessas condições, as funções φ x_i

( )

também passam a ser homogêneas nas condições de contorno essenciais. O desenvolvimento para a obtenção do sistema resolvente nas constantes α consiste em partir da (5.5) substituindo-se, _i

em primeiro lugar, a aproximação para o campo de deslocamentos virtuais, obtendo-se sucessivamente:

(

) (

)

(

)

(

) ( )

(

) ( )

(

)

j j j j j j j j j j B u, β φ L β φ 0 β j 1, ...,n β B u,φ L φ 0 B u,φ L φ j 1, ...,n - = " = é _- ù_{= Þ = =} ë û (5.6)

A última relação representa, portanto, um conjunto de n equações. Introduzindo-se na (5.6) a aproximação para o campo de deslocamentos reais, obtém-se:

(

) ( )

(

)

i i j j

α B φ ,φ =L φ c / i , j=1, ...,n (5.7)

Denotando-se: K_ij =B φ ,φ

(

_{i j}

)

e L_j = L φ

( )

_j , e interpretando-se os K como _ij

componentes de uma matriz posicionados nas linhas i e colunas j , e também os j

L como componentes de um vetor-coluna posicionados nas linhas j , resulta que

o sistema resolvente pode ser colocado na forma:

Kα=L (5.8)

onde reuniram-se os coeficientes α o vetor α . _i

Uma propriedade importante da matriz K é a sua simetria. Em Mecânica dos Sólidos essa matriz é denominada por Matriz de Rigidez e o vetor L por Vetor das Forças Equivalentes.

Exemplo I: considere-se o mesmo problema da barra sob carga axial ilustrado na Figura 5.1 (note-se que as duas extremidades são fixas).

Neste caso a forma fraca obtida pela aplicação do P.T.V. tem a mesma redação da (5.1), aqui repetida por conveniência:

L L

0 EAu δv dx¢ ¢ - 0 pδvdx=0

Figura 5.1 – Barra sob força normal

Portanto:

( )

L

0

B u,v =

ò

EAu δv dx¢ ¢ e

( )

L 0

L v =

ò

pδvdx. Assim sendo, para fins de obtenção de uma solução aproximada ‘à lá’ Galerkin, as componentes da matriz K e do vetor L , podem ser obtidas de:

L

ij ₀ i j

K =

ò

EAφ φ dx¢ ¢ e _j L _j 0

L =

ò

pφ dx

Considerando-se as características da forma forte, uma função candidata à aproximação deve ter segunda derivada contínua e respeitar as duas condições de contorno essenciais explicitadas. Um polinômio cúbico possui segunda derivada continua e pode ser tomado como candidato para a aproximação de

( )

u x :

( )

( )

3 2

1 2 3 4

u x =u x% =α x +α x +α x α+

Impondo-se as condições de contorno essenciais, tem-se:

( )

(

3 2

)

(

2

)

1 2 u x% = x -L x α + x -Lx α e, portanto:

( )

(

3 2

)

1 φ x = x -L x e

( )

(

2

)

2 φ x = x -Lx .

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

5 2 L _{2 2} 11 ₀ 4 L _{2 2} 12 ₀ 3 2 L 22 ₀ 4 L 3 2 1 ₀ 3 L ₂ 2 ₀ 4 EAL K EA 3 x L dx 5 EAL K EA 3 x L 2 x L dx 2 EAL K EA 2 x L dx 3 pL L p x L x dx 4 pL L p x Lx dx 6 = - = = - - = = - = = - = -= - =

-ò

ò

ò

ò

ò

Montando-se o sistema indicado pela (5.8) e resolvendo-o, obtém-se a solução: 1 2 p α 0 ; α 2 EA = =

-Segue daí a resposta para o campo de deslocamentos:

( )

i i

( )

2 2 pL x x u x α φ x 2 EA L L é_{æ ö æ ö} ù = = ê_{ç ÷ ç ÷}- ú è ø è ø ê ú ë û %

Como exercício proposto, recomenda-se repetir o desenvolvimento anterior utilizando um polinômio completo do segundo grau ( 2

1 2 3

α x +α x α+ ) como candidato a aproximação de u x

( )

.

Exemplo II: determine uma solução aproximada para a elástica da viga indicada na Figura 5.2.

Neste caso a forma fraca obtida pela aplicação do P.T.V. tem a seguinte redação:

( )

L

0 EIv δv dx¢¢ ¢¢ =Pδv L

ò

Uma aproximação para a solução mediante um polinômio de terceiro grau (já se considerando as condições de contorno essenciais) resulta expressa na forma:

( ) ( )

3 2

1 2

Então, segue que: 3 2

1 2 1

φ = x ,φ = x ,φ¢¢=6 x e φ₂¢¢ = . Por conseguinte a 2

forma bilinear fica dada, neste caso, por:

(

_{i j}

)

L _{i j} 0

B φ ,φ =

ò

EIφ φ dx¢¢ ¢¢ e a forma linear por: L φ

( )

_i =Pφ L_i

( )

.

Figura 5.2 – Viga em balanço

Nessas condições, as componentes do sistema indicado na (5.8) resultam:

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

L 3 1 1 11 ₀ 1 1 L 2 1 2 2 1 12 21 ₀ 1 2 L 2 2 22 ₀ 2 2 3 1 1 1 2 2 2 2 B φ ,φ K EIφ φ dx 12 EIL B φ ,φ B φ ,φ K K EIφ φ dx 6 EIL B φ ,φ K EIφ φ dx 4 EIL L L φ Pφ L PL L L φ Pφ L PL ¢¢ ¢¢ = = = ¢¢ ¢¢ = = = = = ¢¢ ¢¢ = = = = = = = = =

ò

ò

ò

Finalmente, o sistema de equações assume a forma:

11 12 1 1 21 22 2 2 K K α L K K α L é ù ì ü ì ü = í ý í ý ê ú ë û î þ î þ

3 2 3 1 2 2 2 α 12 EIL 6 EIL PL α 6 EIL 4 EIL PL é ùì ü ì ü = í ý í ý ê ú î þ ë û î þ

Da solução do sistema de equações resultam: α₁ P ; α₂ PL 6 EI 2 EI

= - = e a

aproximação para o campo de deslocamento v x%

( )

passa a ser escrita como:

( )

P 3 PL 2

v x x x

6 EI 2 EI

= - +

%

Lembrando que: -EIv¢¢

( )

x =M x

( )

, a solução aproximada obtida leva um momento fletor dado por: M x%

( )

= P x

(

-L

)

, que coincide com a solução exata!

Uma observação complementar é que ao se tentar adotar um polinômio de grau ainda maior para determinar uma nova aproximação, os coeficientes correspondentes aos termos de grau superior a três acabam resultando nulos.