Leonardo Soriani Alves
Geometria complexa generalizada e tópicos
relacionados
CAMPINAS 2015
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Alves, Leonardo Soriani,
AL87g AlvGeometria complexa generalizada e tópicos relacionados / Leonardo Soriani Alves. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
AlvOrientador: Luiz Antonio Barrera San Martin. AlvCoorientador: Lino Anderson da Silva Grama.
AlvDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Alv1. Geometria diferencial. 2. Variedades complexas. 3. Geometria simplética. 4. Lie, Teoria de. I. San Martin, Luiz Antonio Barrera,1955-. II. Grama, Lino Anderson da Silva,1981-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Generalized complex geometry and related topics Palavras-chave em inglês:
Differential geometry Complex manifolds Symplectic geometry Lie theory
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Lino Anderson da Silva Grama [Coorientador] Diego Sebastian Ledesma
Henrique Bursztyn
Data de defesa: 27-03-2015
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Abstract
We study generalized complex geometry, which encompasses complex and symplectic geometry as particular cases. We begin with the algebraic basics on a vector space and then we transport these concepts to manifolds. We study the Courant bracket on the direct sum of tangent and cotangent bundles of a manifold, which is essential to define the integrability of the generalized complex structures. We check that on every 6 dimensional nilmanifolds there is a left invariant generalized complex structure, even though some of them do not admit complex or symplectic structure. We study two notions of T-dualidade and its relations to generalized complex geometry. We recall mirror symmetry for elliptic curves and derive a manifestation of mirror symmetry from generalized complex geometry.
Resumo
Estudamos geometria complexa generalizada, que tem como casos particulares as geometrias complexa e simplética. Começamos com os seus fundamentos algébricos num espaço vetorial e transportamos essas noções para variedades. Estudamos o colchete de Courant na soma direta dos fibrados tangente e cotangente de uma variedade, que é essencial para definir a integrabilidade das estruturas complexas generalizadas. Verificamos que em nilvariedades de dimensão 6 sempre existe estrutura complexa generalizada invariante à esquerda, ainda que algumas delas não admitam estrutura complexa ou simplética. Estudamos duas noções de T-dualidade e suas relações com geometria complexa generalizada. Por fim recapitulamos a simetria do espelho para curvas elípticas e obtemos uma manifestação de simetria do espelho através de geometria complexa generalizada.
Sumário
Agradecimentos xi
1 Álgebra linear complexa generalizada 3
1.1 Subespaços isotrópicos maximais . . . 3
1.2 Spinors . . . 7
1.3 Estruturas complexas generalizadas em 𝑉 . . . 11
2 Geometria Complexa generalizada 17 2.1 O colchete de Courant . . . 18
2.2 Estruturas complexas generalizadas em 𝑀 . . . 24
3 Exemplos: nilvariedades 27 3.1 Nilvariedades . . . 27
3.2 Estruturas complexas generalizadas em nilvariedades . . . 29
3.3 Estruturas complexas generalizadas em nilvariedades de dimensão 6 . . . 33
3.3.1 Estruturas complexas generalizadas de tipo 1 . . . 33
3.3.2 Estruturas complexas generalizadas de tipo 2 . . . 34
4 Geometria complexa generalizada e T-dualidade 38 4.1 T-dualidade em fibrados de toros . . . 38
4.2 T-dualidade esférica . . . 43
5 O espelho de curvas elípticas 46 5.1 Curvas elípticas . . . 46
5.2 Simetria do espelho segundo SYZ . . . 47
5.3 Simetria do espelho homológica . . . 48
5.4 Simetria do espelho através de geometria complexa generalizada . . . 49
Agradecimentos
Agradeço a Deus, à minha família, aos meus colegas e a todos que de alguma maneira me ajudaram. Em especial agradeço aos professores Luiz Antonio Barrera San Martin, Lino Anderson da Silva Grama e Gil Cavalcanti. Agradeço também à CAPES e à FAPESP pelo apoio financeiro durante o mestrado.
Introdução
Geometria complexa generalizada foi definida por Hitchin em [16] e desenvolvida por Gualtieri primeiramente em [13] e depois em [14]. Estruturas complexas generalizadas são definidas não no fibrado tangente de uma variedade, mas sim na soma direta dos fibrados tangente e cotangente
𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀. Desse modo é possível enxergar estruturas complexas e simpléticas como casos
extremos de estruturas complexas generalizadas.
O fibrado 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 possui uma forma bilinear não-degenerada, definindo uma noção de
ortogonalidade que deve ser respeitada pelas estruturas complexas generalizadas. Além disso, há
uma extensão do colchete de Lie de campos de vetores para seções de 𝑇 𝑀 ⊕𝑇*𝑀, chamado colchete
de Courant, que define uma condição de integrabilidade para estruturas complexas generalizadas. Tal condição, quando analisada em estruturas complexas e simpléticas vistas como estruturas complexas generalizadas, se reduz as condições de integrabilidade usuais dessas geometrias.
Essa capacidade da geometria complexa generalizada de unificar as geometrias complexas e simplética logo se mostrou útil para entender matematicamente algumas questões recentes como a simetria do espelho. Essencialmente, simetria do espelho funciona como uma espécie de dicionário que traduz informações relacionadas a geometria complexa de uma variedade 𝑀 em informações
relacionadas a geometria simplética da variedade espelho 𝑀∨ e vice-versa. O bom entendimento
dessa relação permite usar técnicas da geometria algébrica/complexa (que atualmente são mais desenvolvidos) para obter resultados em geometria simplética.
No capítulo 1 nós estudamos a forma bilinear natural de 𝑉 ⊕𝑉*, onde 𝑉 é um espaço vetorial real
de dimensão finita. Caracterizamos seus subespaços isotrópicos maximais e vemos como determiná-los usando spinors, conforme [14]. Por fim definimos estruturas complexas generalizadas em 𝑉 e usamos as ferramentas descritas acima para obter descrições equivalentes para uma estrutura complexa generalizada.
No capítulo 2 passamos para o estudo de estruturas complexas generalizadas em variedades.
Definimos o colchete de Courant em seções de 𝑇 𝑀 ⊕𝑇*𝑀, onde 𝑀 é uma variedade, cuja
pode ser torcido por uma 3-forma e obtemos o grupo de automorfismos de 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 que pre-servam esse colchete. Usamos o colchete de Courant para definir a condição de integrabilidade de estruturas complexas generalizadas e a traduzimos na linguagem de spinors.
No capítulo 3 nós seguimos [7] e vemos como usar a estrutura da álgebra de Lie de uma nilvari-edade para obter resultados sobre existência de estruturas complexas generalizadas (dadas por sua descrição spinorial) em nilvariedades. Com esses resultados mostra-se que qualquer nilvariedade de dimensão 6 admite estrutura complexa generalizada invariante à esquerda, mesmo aquelas que não admitem estruturas complexas ou simpléticas. Esses foram uns dos primeiros exemplos não triviais de estruturas complexas generalizadas.
No capítulo 4 nós revisamos o conceito de T-dualidade para fibrados de toros segundo
Bouwk-negt, Hannabuss e Mathai [4]. Se 𝑀 e ˜𝑀 são fibrados T-duais, Cavalcanti e Gualtieri mostram em
[6] como construir um isomorfismo 𝜙 : Γ𝑇𝑘(𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀) → Γ𝑇𝑘(𝑇 ˜𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀˜) de seções invariantes
que preserva o colchete de Courant. Tal isomorfismo possibilita o transporte de estruturas
com-plexas generalizadas de 𝑀 para ˜𝑀 e vice-versa. Vemos também a T-dualidade esférica segundo
Bouwknegt, Evslin e Mathai [3] e quanto da construção acima pode ser adaptada para o caso esférico.
Por fim, no capítulo 5 revemos simetria do espelho para curvas elípticas em suas formas clássicas [19, 26] e vemos como o isomorfismo 𝜙 do capítulo anterior reconstroi a aplicação espelho para curvas elípticas no contexto de geometria complexa generalizada.
Capítulo 1
Álgebra linear complexa generalizada
Seja 𝑉 um espaço vetorial real de dimensão finita 𝑚 e 𝑉* seu dual. Uma estrutura complexa
generalizada em 𝑉 é um endomorfismo linear em 𝑉 ⊕𝑉*. Para definir e estudar tal endomorfismo,
precisamos trabalhar um pouco com 𝑉 ⊕ 𝑉* e suas peculiaridades. Com frequência escreveremos
endomorfismos 𝑇 : 𝑉 ⊕ 𝑉* → 𝑉 ⊕ 𝑉* matricialmente: ⎛ ⎝ 𝑇1 𝑇2 𝑇3 𝑇4 ⎞ ⎠
onde 𝑇1 : 𝑉 → 𝑉 , 𝑇2 : 𝑉* → 𝑉, 𝑇3 : 𝑉 → 𝑉* e 𝑇4 : 𝑉* → 𝑉*. A referência principal para esta
seção é [14].
1.1
Subespaços isotrópicos maximais
𝑉 ⊕ 𝑉* é munido de uma forma bilinear simétrica natural:
⟨𝑋+ 𝜉, 𝑌 + 𝜂⟩ = 1
2(𝜉(𝑌 ) + 𝜂(𝑋)) onde 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑉 e 𝜉, 𝜂 ∈ 𝑉
*
.
Seja {𝑋1, . . . , 𝑋𝑚} uma base de 𝑉 e {𝜉1, . . . , 𝜉𝑚} a base dual. Então a forma bilinear acima é
positiva definida no subespaço gerado por {𝑋1+𝜉1, . . . , 𝑋𝑚+𝜉𝑚}e negativa definida no subespaço
gerado por {𝑋1 − 𝜉1, . . . , 𝑋𝑚− 𝜉𝑚}. Logo essa forma bilinear é não-degenerada e tem assinatura
(𝑚, 𝑚).
Dado 𝐵 ∈ ∧2𝑉*, podemos enxerga-lo como a transformação 𝑉 → 𝑉* dada por 𝑋 ↦→ 𝑖
𝑋𝐵.
símbolo 𝐵. Se 𝐵 ∈ ∧2𝑉*, definimos o operador 𝑒𝑥𝑝(𝐵) : 𝑉 ⊕ 𝑉* → 𝑉 ⊕ 𝑉* por 𝑒𝑥𝑝(𝐵) := ⎛ ⎝ 1 0 𝐵 1 ⎞ ⎠ (1.1.1)
𝑒𝑥𝑝(𝐵) é ortogonal em relação a forma bilinear simétrica:
⟨𝑒𝑥𝑝(𝐵)(𝑋 + 𝜉), 𝑒𝑥𝑝(𝐵)(𝑌 + 𝜂)⟩ = ⟨𝑋 + 𝐵(𝑋) + 𝜉, 𝑌 + 𝐵(𝑌 ) + 𝜂⟩
= 12(𝐵(𝑋, 𝑌 ) + 𝜉(𝑌 ) + 𝐵(𝑌, 𝑋) + 𝜂(𝑋))
= 12(𝜉(𝑌 ) + 𝜂(𝑋))
= ⟨𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂⟩ Operadores dessa forma são chamados 𝐵-transform.
Note que 𝐵-transforms preservam projeção em 𝑉 , isto é, se 𝜋 : 𝑉 ⊕𝑉* → 𝑉 é projeção, 𝑒𝑥𝑝(𝐵)
satisfaz 𝜋 ∘ 𝑒𝑥𝑝(𝐵) = 𝜋 . Na verdade, eles são os únicos operadores ortogonais em 𝑉 ⊕ 𝑉* com
essa propriedade:
Proposição 1.1.1. Se 𝑇 : 𝑉 ⊕ 𝑉* → 𝑉 ⊕ 𝑉* é ortogonal e preserva projeção em 𝑉 , então
𝑇 = 𝑒𝑥𝑝(𝐵) para algum 𝐵 ∈ ∧2𝑉*.
Demonstração. Seja 𝑇 : 𝑉 ⊕ 𝑉* → 𝑉 como no enunciado e considere sua representação matricial
𝑇 := ⎛ ⎝ 𝑇1 𝑇2 𝑇3 𝑇4 ⎞ ⎠
Preservar projeção em 𝑉 significa que 𝑇1 = 1 e 𝑇2 = 0.
Seja {𝑋1, . . . , 𝑋𝑚} uma base de 𝑉 e {𝜉1, . . . , 𝜉𝑚} a base dual. Ortogonalidade implica que
⟨𝑇(𝑋 + 𝜉), 𝑇 (𝑌 + 𝜂)⟩ = ⟨𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂⟩
para todo 𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂 ∈ 𝑉 ⊕ 𝑉*. Em particular temos que
⟨𝑇(𝑋𝑖+ 0), 𝑇 (0 + 𝜉𝑗)⟩ = ⟨𝑋𝑖+ 0, 0 + 𝜉𝑗⟩ ⇒ 𝑇4(𝜉𝑗)(𝑋𝑖) = 𝛿𝑖𝑗 ⇒ 𝑇4 = 𝐼𝑑
e
⟨𝑇(𝑋𝑖+ 0), 𝑇 (𝑋𝑗+ 0)⟩ = ⟨𝑋𝑖+ 0, 𝑋𝑗+ 0⟩ ⇒ 𝑇3(𝑋𝑖)(𝑋𝑗) + 𝑇3(𝑋𝑗)(𝑋𝑖) = 0,
Analogamente, se 𝛽 ∈ ∧2𝑉, o identificamos com a transformação 𝑉* → 𝑉 e definimos 𝑒𝑥𝑝(𝛽) := ⎛ ⎝ 1 𝛽 0 1 ⎞ ⎠
que também é ortogonal e neste caso chamado 𝛽-transform.
Definição 1.1.2. Um subespaço 𝐿 ⊂ 𝑉 ⊕ 𝑉* é dito isotrópico se ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿. Ou,
equivalentemente, se 𝐿 ⊂ 𝐿⊥ (onde 𝐿⊥ é o subespaço ortogonal a 𝐿 em relação a froma bilinear
simétrica natural de 𝑉 ⊕ 𝑉*).
Proposição 1.1.3. Se 𝐿 ⊂ 𝑉 ⊕ 𝑉* é isotrópico, a dimensão de 𝐿 é menor ou igual a 𝑚.
Demonstração. Segue diretamente de
𝑑𝑖𝑚𝑉 ⊕ 𝑉* = 𝑑𝑖𝑚𝐿 + 𝑑𝑖𝑚𝐿⊥ ≥2𝑑𝑖𝑚𝐿 .
Definição 1.1.4. Quando um subespaço isotrópico tem dimensão 𝑚, dizemos que ele é isotrópico maximal.
Exemplo 1.1.5. 𝑉 e 𝑉* são claramente isotrópicos maximais.
Exemplo 1.1.6. Seja 𝑊 ⊂ 𝑉 um subespaço e 𝐴𝑛𝑛(𝑊 ) = {𝜉 ∈ 𝑉*; 𝜉(𝑋) = 0 ∀𝑋 ∈ 𝑊 } seu
anulador. Então 𝑊 ⊕ 𝐴𝑛𝑛(𝑊 ) ⊂ 𝑉 ⊕ 𝑉* é isotrópico maximal.
Exemplo 1.1.7. Seja 𝑊 ⊂ 𝑉 subespaço, 𝑗 : 𝑊 → 𝑉 a inclusão e 𝜀 ∈ ∧2𝑊*. Considere o subespaço
𝐿(𝑊, 𝜀) = {𝑋 + 𝜉 ∈ 𝑊 ⊕ 𝑉*; 𝑗*𝜉 = 𝑖𝑋𝜀} ⊂ 𝑉 ⊕ 𝑉*.
Então se 𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂 ∈ 𝐿(𝑊, 𝜀) temos que
⟨𝑋+ 𝜉, 𝑌 + 𝜂⟩ = 1
2(𝜉(𝑌 ) + 𝜂(𝑋)) =
1
2(𝜀(𝑌, 𝑋) + 𝜀(𝑋, 𝑌 )) = 0.
Note que 𝐿(𝑊, 𝜀) consiste de elementos da forma 𝑋 + 𝑖𝑋𝜀 com 𝑋 ∈ 𝑊 além dos elementos de
𝐴𝑛𝑛(𝑊 ). Logo 𝐿(𝑊, 𝜀) é isotrópico maximal.
Lema 1.1.8. Seja 𝜋𝑉 : 𝑉 ⊕ 𝑉* → 𝑉 a projeção, 𝐿 um isotrópico maximal e 𝑊 = 𝜋𝑉(𝐿). Então
𝐿 ∩ 𝑉* = 𝐴𝑛𝑛(𝑊 ).
Demonstração. Se 𝜉 ∈ 𝐿 ∩ 𝑉* e 𝑋 ∈ 𝑊 , existe 𝜂 ∈ 𝑉* tal que 𝑋 + 𝜂 ∈ 𝐿 e
0 = ⟨0 + 𝜉, 𝑋 + 𝜂⟩ = 1
2(𝜉(𝑋) + 𝜂(0)) =
1
2𝜉(𝑋) ⇒ 𝜉(𝑋) = 0 ⇒ 𝜉 ∈ 𝐴𝑛𝑛(𝐸);
por outro lado, se 𝜉 ∈ 𝐴𝑛𝑛(𝑊 ) e 𝑋 + 𝜂 ∈ 𝐿
⟨0 + 𝜉, 𝑋 + 𝜂⟩ = 1
2(𝜉(𝑋) + 𝜂(0)) =
1
2𝜉(𝑋) = 0
pela maximalidade de 𝐿 temos que 𝜉 ∈ 𝐿.
Proposição 1.1.9. Todo subespaço isotrópico maximal de 𝑉 ⊕ 𝑉* é da forma 𝐿(𝑊, 𝜀).
Demonstração. Dado um isotrópico maximal 𝐿, seja 𝑊 = 𝜋𝑉(𝐿). Pelo lema anterior temos que
𝑊* = 𝑉*/𝐴𝑛𝑛(𝑊 ) = 𝑉*/(𝐿 ∩ 𝑉*). Assim defina 𝜀 : 𝑊 → 𝑊* por
𝜀 : 𝑤 ↦→ 𝜋𝑉*(𝜋−1
𝑉 (𝑤) ∩ 𝐿)
e 𝐿 = 𝐿(𝑊, 𝜀).
Definição 1.1.10. O tipo de um subespaço isotrópico maximal 𝐿 ⊂ 𝑉 ⊕ 𝑉* é a codimensão de sua projeção em 𝑉 .
A imagem de um isotrópico maximal por um operador ortogonal é ainda um isotrópico maximal. Em particular temos o seguinte:
Proposição 1.1.11. Sejam 𝑊 ⊂ 𝑉 subespaço, 𝜀 ∈ ∧2𝑊* e 𝐵 ∈ ∧2𝑉*. Então
𝑒𝑥𝑝(𝐵)(𝐿(𝑊, 𝜀)) = 𝐿(𝑊, 𝜀 + 𝑗*𝐵)
onde 𝑗 : 𝑊 → 𝑉 é a inclusão.
Demonstração. Dado 𝑋 + 𝜉 ∈ 𝐿(𝑊, 𝜀), temos que exp(𝐵)(𝑋 + 𝜉) = 𝑋 + 𝑖𝑋𝐵+ 𝜉 e
Logo exp(𝐵)(𝑋 + 𝜉) ∈ 𝐿(𝑊, 𝜀 + 𝑗*𝐵).
Essa proposição mostra que 𝐵-transforms preservam a projeção em 𝑉 e portanto quando calculadas num subespaço isotrópico maximal o tipo é preservado. Além disso, dado um isotrópico
maximal 𝐿(𝑊, 𝜀), tome 𝐵 ∈ ∧2𝑉* tal que 𝑗*𝐵 = 𝜀 e temos que
(1.1.2)
𝐿(𝑊, 𝜀) = exp(−𝐵)(𝐿(𝑊, 0))
Noutras palavras, todo isotrópico maximal pode ser visto como um 𝐵-transform de 𝐿(𝑊, 0).
1.2
Spinors
Considere em 𝑉 ⊕𝑉* a forma quadrática 𝑄(𝑋+𝜉) = ⟨𝑋+𝜉, 𝑋+𝜉⟩ = 𝜉(𝑋). Seja Cliff(𝑉 ⊕𝑉*) a
álgebra de Clifford de 𝑉 ⊕𝑉*, isto é, o quociente da álgebra tensorial de 𝑉 ⊕𝑉* pelo ideal bilateral
gerado pelos elementos da forma 𝑥 ⊗ 𝑥 − 𝑄(𝑥) para 𝑥 ∈ 𝑉 ⊕ 𝑉*.
Note que se 𝐿 ⊂ 𝑉 ⊕ 𝑉* é isotrópico, a subálgebra de Cliff(𝑉 ⊕ 𝑉*) gerada por 𝐿 é isomorfa
a ∧∙𝐿. Em particular, temos que ∧∙𝑉* está contido naturalmente em Cliff(𝑉 ⊕ 𝑉*). 𝑆 = ∧∙𝑉* é
chamado de espaço de spinors.
Existe uma representação de Cliff(𝑉 ⊕ 𝑉*) em 𝑆 definida nos geradores (𝑉 ⊕ 𝑉*) por
(𝑋 + 𝜉) · 𝜙 = 𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝜙, onde 𝑋 + 𝜉 ∈ 𝑉 ⊕ 𝑉*, 𝜙 ∈ 𝑆. (1.2.1)
Precisamos verificar que (𝑋 + 𝜉)2· 𝜙= (𝑋 + 𝜉) · (𝑋 + 𝜉) · 𝜙 = 𝑄(𝑋 + 𝜉)𝜙 para que a representação
se estenda para toda a álgebra Cliff(𝑉 ⊕ 𝑉*):
(𝑋 + 𝜉)2· 𝜙= (𝑋 + 𝜉)(𝑖 𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝜙) = 𝑖𝑋(𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝜙) + 𝜉 ∧ (𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝜙) = 𝑖𝑋𝑖𝑋𝜙+ 𝑖𝑋(𝜉 ∧ 𝜙) + 𝜉 ∧ 𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝜉 ∧ 𝜙 = 𝜉(𝑋)𝜙 − 𝜉 ∧ 𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝑖𝑋𝜙 = 𝜉(𝑋)𝜙 = 𝑄(𝑋 + 𝜉)𝜙
O objetivo dessa seção é associar a cada isotrópico maximal um spinor (a menos de múltiplo por escalar não nulo).
Definição 1.2.1. Seja 𝜙 ∈ 𝑆 − {0}. O anulador de 𝜙 é o subespaço
𝐿𝜙 := {𝑥 ∈ 𝑉 ⊕ 𝑉*; 𝑥 · 𝜙 = 0}.
Proposição 1.2.3. Seja 𝜙 ∈ 𝑆 − {0}. O anuludor 𝐿𝜙 de 𝜙 é isotrópico.
Demonstração. Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿𝜙. Em Cliff(𝑉 ⊕ 𝑉*) temos que
(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 + 𝑦2 = ⟨𝑥, 𝑥⟩ + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 + ⟨𝑦, 𝑦⟩
Por outro lado
(𝑥 + 𝑦)2 = ⟨𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑥⟩ + 2⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑦, 𝑦⟩
Logo ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 1
2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑥) e
⟨𝑥, 𝑦⟩𝜙= 1
2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑥) · 𝜙 = 0 ⇒ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 0
Não é verdade que 𝐿𝜙 é sempre isotrópico maximal. Quando for, 𝜙 recebe um nome especial.
Definição 1.2.4. Uma spinor 𝜙 é dito puro se seu anulador é isotrópico maximal.
Exemplo 1.2.5. Seja 𝑊 ⊂ 𝑉 um subespaço e considere 𝜙 ∈ ∧𝑘𝐴𝑛𝑛(𝑊 ) − {0} onde 𝑘 é a
codimensão de 𝑊 . Então
𝑋+ 𝜉 ∈ 𝐿𝜙 ⇐⇒ (𝑋 + 𝜉) · 𝜙 = 0 ⇐⇒ 𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝜙 = 0
⇐⇒ 𝑖𝑋𝜙= 0 e 𝜉 ∧ 𝜙 = 0 ⇐⇒ 𝑋 ∈ 𝑊 e 𝜉 ∈ 𝐴𝑛𝑛(𝑊 )
Ou seja, 𝜙 é spinor puro e seu anulador é 𝑊 + Ann(𝑊 ).
É natural se perguntar se todo isotrópico maximal é anulador de algum spinor. O próximo lema é o último passo que precisamos para mostrar que isso ocorre:
Lema 1.2.6. Dados 𝜙 ∈ ∧∙𝑉* e 𝐵 ∈ ∧2𝑉* temos que
𝑒𝑥𝑝(−𝐵)(𝐿𝜙) = 𝐿𝑒𝐵∧𝜙 onde 𝑒𝐵 =∑︁ 𝑛 𝐵𝑛 𝑛! ∈ ∧ ∙
Demonstração. Dado 𝑋 + 𝜉 ∈ 𝐿𝜙, temos que (𝑋 + 𝜉 − 𝑖𝑋𝐵) · (𝑒𝐵∧ 𝜙) = 𝑖𝑋(𝑒𝐵∧ 𝜙) + (𝜉 − 𝑖𝑋𝐵) ∧ 𝑒𝐵∧ 𝜙 = 𝑖𝑋𝑒𝐵∧ 𝜙+ 𝑒𝐵∧ 𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝑒𝐵∧ 𝜙 − 𝑖𝑋𝐵 ∧ 𝑒𝐵∧ 𝜙 = 𝑖𝑋𝐵 ∧ 𝑒𝐵∧ 𝜙+ 𝑒𝐵∧(𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝜙) − 𝑖𝑋𝐵 ∧ 𝑒𝐵∧ 𝜙 = 0 pois 𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝜙 = 0 e 𝑖𝑋𝑒𝐵 = 𝑖𝑋 (︃ ∑︁ 𝑛 𝐵𝑛 𝑛! )︃ =∑︁ 𝑛 𝑖𝑋𝐵𝑛 𝑛! = ∑︁ 𝑛 𝑛 · 𝑖𝑋𝐵 ∧ 𝐵𝑛−1 𝑛! = 𝑖𝑋𝐵 ∧ (︃ ∑︁ 𝑛 𝐵𝑛−1 (𝑛 − 1)! )︃ = 𝑖𝑋𝐵 ∧ 𝑒𝐵 Logo exp(−𝐵)(𝐿𝜙) ⊂ 𝐿𝑒𝐵∧𝜙.
Agora se 𝑋 + 𝜉 ∈ 𝐿𝑒𝐵∧𝜙 temos que
0 = (𝑋 + 𝜉) · (𝑒𝐵∧ 𝜙) = 𝑖𝑋(𝑒𝐵∧ 𝜙) + 𝜉 ∧ 𝑒𝐵∧ 𝜙 = 𝑖𝑋𝑒𝐵∧ 𝜙+ 𝑒𝐵∧ 𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝑒𝐵∧ 𝜙 = 𝑖𝑋𝐵 ∧ 𝑒𝐵∧ 𝜙+ 𝑒𝐵∧ 𝑖𝑋𝜙+ 𝜉 ∧ 𝑒𝐵∧ 𝜙 = 𝑒𝐵∧(𝑖 𝑋𝜙+ (𝑖𝑋𝐵 + 𝜉) ∧ 𝜙)
o que implica que
𝑒𝑥𝑝(𝐵)(𝑋 + 𝜉) · 𝜙 = (𝑋 + 𝜉 + 𝑖𝑋𝐵) · 𝜙 = 𝑖𝑋𝜙+ (𝑖𝑋𝐵+ 𝜉) ∧ 𝜙 = 0
e 𝐿𝑒𝐵∧𝜙⊂ exp(−𝐵)(𝐿𝜙).
Teorema 1.2.7. Seja 𝐿(𝑊, 𝜀) ⊂ 𝑉 ⊕ 𝑉* um subespaço isotrópico maximal, (𝜃1, . . . , 𝜃𝑘) uma base
de Ann(𝑊 ) e 𝐵 ∈ ∧2𝑉* tal que 𝑗*𝐵 = 𝜀 (onde 𝑗 : 𝑊 → 𝑉 é a inclusão). Então 𝐿(𝑊, 𝜀) = 𝐿
𝜙
com
𝜙= 𝑒𝐵∧Ω
onde Ω = 𝜃1∧ . . . ∧ 𝜃𝑘.
Demonstração. A demonstração é apenas uma combinação de resultados anteriores. Já vimos
na equação 1.1.2 que 𝐿(𝑊, 𝜀) = exp(−𝐵)(𝐿(𝑊, 0)). No Exemplo 1.2.5 vimos que 𝐿(𝑊, 0) =
𝑊+ 𝐴𝑛𝑛(𝑊 ) = 𝐿𝜃1∧...∧𝜃𝑘, logo 𝐿(𝑊, 𝜀) = exp(−𝐵)(𝐿𝜃1∧...∧𝜃𝑘). Finalmente, pelo Lema 1.2.6 segue
que 𝐿(𝑊, 𝜀) = 𝐿𝑒𝐵∧𝜃
1∧...∧𝜃𝑘
Observação 1.2.8. Como o tipo de uma isotrópico maximal 𝐿(𝑊, 𝜀) é a dimensão de 𝐴𝑛𝑛(𝑊 ),
essa informação fica evidente no seu spinor puro 𝑒𝐵 ∧Ω: o tipo de 𝐿(𝑊, 𝜀) é o grau o grau da
Corolário 1.2.9. Existe uma bijeção entre os subespaços isotrópicos maximais de 𝑉 ⊕ 𝑉* e linhas
de spinors puros em 𝑆.
Demonstração. O Teorema 1.2.7 dá uma spinor puro para cada isotrópico maximal e pela
Obser-vação 1.2.2 temos que esse spinor é único a menos de múltiplo não nulo.
Seja 𝐾 ⊂ ∧∙𝑉* uma linha de spinors puros e considere a filtração de Cliff(𝑉 ⊕ 𝑉*) dada por
R = 𝐶𝐿0 ⊂ 𝐶𝐿1 ⊂ · · · ⊂ 𝐶𝐿2𝑚−1 ⊂ 𝐶𝐿2𝑚= Cliff(𝑉 ⊕ 𝑉*)
onde 𝐶𝐿𝑘 é o subespaço gerado por produtos de 𝑘 ou menos geradores. Definindo 𝐹
𝑘 = 𝐶𝐿𝑘· 𝐾
temos a filtração
𝐾 = 𝐹0 ⊂ 𝐹1 ⊂ · · · ⊂ 𝐹𝑚 = ∧∙𝑉* (1.2.2)
que será usada no próximo capítulo.
Existe uma forma bilinear nos spinors que quando calculada em spinors puros representando
isotrópicos maximais diferentes, nos dá relações entre esses isotrópicos maximais. Seja 𝑥 ↦→ 𝑥𝑇 a
aplicação na álgebra tensorial de 𝑉 ⊕ 𝑉* dada por
𝑣1⊗ . . . ⊗ 𝑣𝑘 ↦→ 𝑣𝑘⊗ . . . ⊗ 𝑣1
nos geradores, chamado de antiautomorfismo principal. Como o ideal que define a álgebra de Clifford é invariante pelo antiautomorfismo principal, a álgebra de Clifford herda esse
antiauto-morfismo. Lembrando que ∧∙𝑉* está contido naturalmente como subálgebra em Cliff(𝑉 ⊕ 𝑉*),
temos:
Definição 1.2.10. O emparelhamento de Mukai é a forma bilinear (·, ·) : ∧∙𝑉*⊗ ∧∙𝑉* → ∧𝑚𝑉* dada por
(𝑠, 𝑡) = [𝑠𝑇 ∧ 𝑡]
𝑚
onde [·]𝑚 indica tomar a componente de grau 𝑚 = dim 𝑉 .
A próxima proposição traduz uma condição de interseção de isotrópicos maximais no empa-relhamento de Mukai de seus spinors puros representantes e sua demonstração se encontra em [8]
Proposição 1.2.11. Isotrópicos maximais 𝐿 e 𝐿′ satisfazem 𝐿 ∩ 𝐿′ = {0} se e só se seus spinors
A forma bilinear ⟨, ⟩ e os resultados sobre isotrópicos maximais e spinors se estendem
natu-ralmente para a complexificação (𝑉 ⊕ 𝑉*) ⊗ C. A próxima proposição resume esses resultados
complexificados [13]:
Proposição 1.2.12. Seja 𝑉 espaço vetorial real de dimensão 𝑀. Um subespaço isotrópico maximal
𝐿 ⊂(𝑉 ⊕ 𝑉*) ⊗ C de tipo 𝑘 é especificado por um dos seguintes conjuntos de dados:
• Um subespaço complexo 𝐿 ⊂ (𝑉 ⊕ 𝑉*) ⊗ C isotrópico maximal tal que a projeção em 𝑉 ⊗ C
tenha dimensão complexa 𝑚 − 𝑘.
• Um subespaço complexo 𝑊 ⊂ 𝑉 ⊗ C com dimensão complexa 𝑚 − 𝑘 e uma 2-forma complexa 𝜀 ∈ ∧2𝑊*.
• Um subespaço unidimensional 𝑈𝐿 ⊂ ∧∙(𝑉*⊗ C) gerado por
𝜙𝐿 = 𝑒𝐵+𝑖𝜔 ∧ 𝜃1∧ . . . ∧ 𝜃𝑘,
onde {𝜃1, . . . , 𝜃𝑘} são 1-formas linearmente independentes e 𝐵 e 𝜔 são partes real e
imagi-nária de uma 2-forma complexa em ∧2(𝑉* ⊗ C).
Observação 1.2.13. Note que no caso complexo, 𝐿(𝑊, 𝜀) = 𝐿(𝑊 , 𝜀). Logo se 𝜙 é o spinor puro que representa 𝐿, 𝜙 é spinor puro e representa 𝐿.
1.3
Estruturas complexas generalizadas em 𝑉
Primeiramente, vamos definir estruturas complexas e simpléticas em 𝑉 , já que elas serão exem-plos que nos acompanharão ao longo do texto.
Definição 1.3.1. Uma estrutura complexa em 𝑉 é um endomorfismo 𝐽 : 𝑉 → 𝑉 que satisfaz
𝐽2 = −1.
Definição 1.3.2. Uma estrutura simplética em 𝑉 é uma 2-forma 𝜔 ∈ ∧2𝑉* não-degenerada.
Agora vamos finalmente definir estruturas complexa generalizadas em 𝑉 e ver como estruturas simpléticas e complexas podem ser interpretadas como estruturas complexas generalizadas. Definição 1.3.3. Uma estrutura complexa generalizada em 𝑉 é um endomorfismo
𝒥 : 𝑉 ⊕ 𝑉* → 𝑉 ⊕ 𝑉*
Exemplo 1.3.4. Seja 𝐽 : 𝑉 → 𝑉 uma estrutura complexa em 𝑉 e defina 𝒥𝐽 := ⎛ ⎝ −𝐽 0 0 𝐽* ⎞ ⎠ : 𝑉 ⊕ 𝑉 * → 𝑉 ⊕ 𝑉* . Então 𝒥2 𝐽 = ⎛ ⎝ −𝐽 0 0 𝐽* ⎞ ⎠· ⎛ ⎝ −𝐽 0 0 𝐽* ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 𝐽2 0 0 (𝐽*)2 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ −1 0 0 −1 ⎞ ⎠= −1 e ⟨𝒥𝐽(𝑋 + 𝜉), 𝒥𝐽(𝑌 + 𝜂)⟩ = ⟨−𝐽(𝑋) + 𝐽*(𝜉), −𝐽(𝑌 ) + 𝐽*(𝜂)⟩ = 12(−𝐽*(𝜉)(𝐽(𝑌 )) − 𝐽*(𝜂)(𝐽(𝑋))) = 12(𝜉(−𝐽2(𝑌 ) + 𝜂(−𝐽2(𝑋))) = 12(𝜉(𝑌 ) + 𝜂(𝑋)) = ⟨𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂⟩
Logo 𝒥𝐽 é estrutura complexa generalizada.
Exemplo 1.3.5. Seja 𝜔 ∈ ∧2𝑉* uma estrutura simplética em 𝑉 e defina
𝒥𝜔 := ⎛ ⎝ 0 −𝜔−1 𝜔 0 ⎞ ⎠: 𝑉 ⊕ 𝑉* → 𝑉 ⊕ 𝑉* Então 𝒥2 𝜔 = ⎛ ⎝ 0 −𝜔−1 𝜔 0 ⎞ ⎠· ⎛ ⎝ 0 −𝜔−1 𝜔 0 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ −𝜔−1𝜔 0 0 −𝜔𝜔−1 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ −1 0 0 −1 ⎞ ⎠= −1 e ⟨𝒥𝜔(𝑋 + 𝜉), 𝒥𝜔(𝑌 + 𝜂)⟩ = ⟨−𝜔−1(𝜉) + 𝜔(𝑋), −𝜔−1(𝜂) + 𝜔(𝑌 )⟩ = 12(𝜔(𝑌 )(−𝜔−1(𝜉)) + 𝜔(𝑋)(−𝜔−1(𝜂))) = 1 2(𝜔(𝜔 −1(𝜉))(𝑌 ) + 𝜔(𝜔−1(𝜂))(𝑋)) = 12(𝜉(𝑌 ) + 𝜂(𝑋)) = ⟨𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂⟩
Exemplo 1.3.6. Se 𝒥 é um estrutura complexa generalizada em 𝑉 e 𝑇 : 𝑉 ⊕ 𝑉* → 𝑉 ⊕ 𝑉* é
ortogonal, 𝑇 ∘ 𝒥 ∘ 𝑇−1 também é estrutura complexa generalizada. Em particular, se 𝐵 ∈ ∧2𝑉*,
exp(𝐵) ∘ 𝒥 ∘ exp(−𝐵) é estrutura complexa generalizada.
Assim como as estruturas complexas e simpléticas, estruturas complexas generalizadas só exis-tem em espaços vetoriais de dimensão par:
Proposição 1.3.7. 𝑉 admite estrutura complexa generalizada se e só se sua dimensão é par.
Demonstração. Seja 𝒥 estrutura complexa generalizada em 𝑉 e tome 𝑥 ∈ 𝑉 ⊕ 𝑉* com ⟨𝑥, 𝑥⟩ = 0. Logo o subespaço gerado por {𝑥, 𝒥 (𝑥)} é bidimensional e isotrópico. Podemos aumentar esse subespaço adicionando pares 𝑦, 𝒥 (𝑦) com 𝑦 tal que ⟨𝑦, 𝑦⟩ = 0 até obter um isotrópico maximal 𝑁. Por construção, temos que a dimensão de 𝑁 é par. Como dim𝑉 = dim𝑁, segue o resultado.
Se 𝑉 tem dimensão par, sabemos que 𝑉 admite estruturas complexas e simpléticas. E os exemplos acima mostram como construir estruturas complexas generalizadas em 𝑉 a partir de estruturas complexas ou simpléticas.
A próxima proposição justifica todo o desenvolvimento da teoria de isotrópicos maximais nas seções anteriores.
Proposição 1.3.8. Uma estrutura complexa generalizada em 𝑉 é equivalente a escolha de um
subespaço 𝐿 ⊂ (𝑉 ⊕ 𝑉*) ⊗ C isotrópico maximal com 𝐿 ∩ 𝐿 = {0}.
Demonstração. Se 𝒥 é uma estrutura complexa generalizada em 𝑉 , seja 𝐿 o autoespaço associado
ao autovalor 𝑖. Dados 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿, temos que
⟨𝑥, 𝑦⟩= ⟨𝒥 (𝑥), 𝒥 (𝑦)⟩ = ⟨𝑖𝑥, 𝑖𝑦⟩ = −⟨𝑥, 𝑦⟩,
o que mostra que 𝐿 é isotrópico. Além disso dim𝐿 = dim𝑉 , donde temos que 𝐿 é isotrópico maximal. Note que 𝐿 é exatamente o autoespaço associado ao autovalor −𝑖, logo 𝐿 ∩ 𝐿 = {0}.
Agora se 𝐿 é como no enunciado da proposição, defina 𝒥 como multiplicação por 𝑖 em 𝐿 e
multiplicação por −𝑖 em 𝐿. Claramente esse endomorfismo satisfaz 𝒥2 = −1 e a ortogonalidade
segue pois se 𝑥 ∈ 𝐿 e 𝑦 ∈ 𝐿
⟨𝒥(𝑥), 𝒥 (𝑦)⟩ = ⟨𝑖𝑥, −𝑖𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩.
Isso define um endomorfismo em (𝑉 ⊕𝑉*)⊗C que comuta com a conjugação complexa, logo ele é a
Uma vez que estruturas complexas generalizadas podem ser dadas por isotrópicos maximais, temos a seguinte definição:
Definição 1.3.9. O tipo de um estrutura complexa generalizada 𝒥 em 𝑉 é o tipo de seu 𝑖-autoespaço (conforme a Definição 1.1.10).
Exemplo 1.3.10.
• Se 𝐽 : 𝑉 → 𝑉 é estrutura complexa, construimos 𝒥𝐽 conforme o Exemplo 1.3.4. Seu
𝑖-autoespaço é 𝐿𝐽 = 𝑉0,1⊕ 𝑉1,0* , onde 𝑉0,1 é −𝑖-autoespaço de 𝐽 e 𝑉
*
1,0 é o 𝑖-autoespaço de 𝐽
*.
Como 𝐿𝐽 é da forma 𝑉0,1 ⊕ 𝐴𝑛𝑛(𝑉0,1), o spinor puro que o representa é 𝜃1∧ . . . ∧ 𝜃𝑛 onde
{𝜃1, . . . , 𝜃𝑛} é uma base de 𝑉1,0. O spinor evidencia que o tipo da estrutura é 𝑛.*
• Se 𝜔 ∈ ∧2𝑉* é estrutura simplética, construimos 𝒥
𝜔 conforme o Exemplo 1.3.5. Seu
𝑖-autoespaço é 𝐿𝜔 = {𝑋 − 𝑖𝜔(𝑋); 𝑋 ∈ 𝑉 ⊗ C}. Note que
𝑋+ 𝜉 ∈ 𝐿𝜔 ⇐⇒ 𝜉= −𝑖𝜔(𝑋) ⇐⇒ 𝑖𝑋𝑒−𝑖𝜔+ 𝜉 ∧ 𝑒−𝑖𝜔 = 0 ⇐⇒ (𝑋 + 𝜉) · 𝑒−𝑖𝜔 = 0
Então o spinor puro que representa essa estrutura é 𝑒−𝑖𝜔. O tipo nesse caso é 0.
Na seção anterior vimos como isotrópicos maximais são caracterizados pelos spinors puros que o anulam. Vejamos como a condição extra sobre um isotrópico maximal para que ele defina uma
estrutura complexa generalizada se traduz nos seu spinor puro. Se 𝜙 = 𝑒𝐵+𝑖𝜔∧Ω é o spinor puro
que representa o isotrópico maximal 𝐿 = 𝐿(𝑊, 𝜀) que satisfaz 𝐿 ∩ 𝐿 = {0}, pela Proposição 1.2.11 temos que (𝜙, 𝜙) ̸= 0. Como
(𝜙, 𝜙) = (𝑒𝐵+𝑖𝜔 ∧Ω, 𝑒𝐵−𝑖𝜔 ∧Ω) = [(𝑒𝐵+𝑖𝜔 ∧Ω)𝑇 ∧ 𝑒𝐵−𝑖𝜔 ∧Ω] 𝑚 = [Ω𝑇 ∧(𝑒𝐵+𝑖𝜔)𝑇 ∧ 𝑒𝐵+𝑖𝜔 ∧Ω] 𝑚 = [Ω𝑇 ∧ 𝑒−𝐵−𝑖𝜔∧ 𝑒𝐵−𝑖𝜔 ∧Ω] 𝑚 = [(−1)𝑘Ω ∧ 𝑒−2𝑖𝜔 ∧Ω] 𝑚 = (−1)𝑘(−2𝑖)𝑚−𝑘 (𝑚 − 𝑘)! 𝜔𝑚−𝑘∧Ω ∧ Ω, segue que 𝜔𝑚−𝑘∧Ω ∧ Ω ̸= 0.
Como vimos até agora, uma estrutura complexa generalizada em um espaço vetorial pode ser determinada de algumas maneiras diferentes. Dependendo da situação, uma delas pode ser mais adequada que a outra. A seguir listamos as 3 maneiras equivalentes de se obter uma estrutura complexa generalizada:
Proposição 1.3.11. Uma estrutura complexa generalizada em 𝑉 é determinada por um dos
se-guintes conjuntos de dados equivalentes:
• Um automorfismo ortogonal 𝒥 : 𝑉 ⊕ 𝑉* → 𝑉 ⊕ 𝑉* com 𝒥2 = −1;
• Um subespaço 𝐿 ⊂ (𝑉 ⊕ 𝑉*) ⊗ C isotrópico maximal com 𝐿 ∩ 𝐿 = {0};
• Um spinor puro 𝜙 = 𝑒𝐵+𝑖𝜔∧Ω com Ω = 𝜃1∧ . . . ∧ 𝜃
𝑘 e 𝜔𝑚−𝑘∧Ω ∧ Ω ̸= 0.
Essas três caracterizações são importantes e, dependendo da situação, uma delas pode ser mais útil que a outra.
Capítulo 2
Geometria Complexa generalizada
O objetivo desse capítulo é transportar as estruturas definidas no capítulo anterior para vari-edades. Estruturas complexas e simpléticas em variedades consistem de uma estrutura algébrica no fibrado tangente junto com uma condição de integrabilidade. No caso complexo generalizado, a estrutura algébrica será definida na soma direta dos fibrados tangente e cotangente:
Definição 2.0.12. Seja 𝑀 uma variedade real de classe 𝐶∞. Uma estrutura quase complexa
generalizada em 𝑀 é uma automorfismo de fibrados 𝒥 : 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 → 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 ortogonal em
relação a forma bilinear natural de 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 e que satisfaz 𝒥2 = −1.
Em vista da Proposição 1.3.11, uma estrutura quase complexa generalizada em 𝑀 é equivalente
a um subfibrado 𝐿 ⊂ (𝑇 𝑀⊕𝑇*𝑀)⊗C isotrópico maximal com 𝐿∩𝐿 = {0}. E estruturas complexas
e simpléticas em 𝑀 dão origem a estruturas quase complexas generalizadas em 𝑀 aplicando em cada espaço tangente a construção dos Exemplos 1.3.4 e 1.3.5.
Seja 𝒥 uma estrutura quase complexa generalizada em 𝑀. Pela Proposição 1.3.11, temos que em cada ponto de 𝑀 o 𝑖-autofibrado de 𝒥 pode ser representado pelo seu spinor puro. Assim temos a seguinte definição:
Definição 2.0.13. O fibrado canônico de uma estrutura quase complexa generalizada 𝒥 em 𝑀 é
a linha de spinors puros complexos 𝐾 ⊂ ∧∙(𝑇*
𝑀 ⊗ C) anulada pelo 𝑖-autofibrado de 𝒥 .
A condição de integrabilidade para estruturas complexas generalizadas envolve um colchete no
2.1
O colchete de Courant
Dada uma variedade 𝑀 e 𝑋 uma campo de vetores em 𝑀, 𝑋 age em Ω∙(𝑀) através de
multiplicação interior 𝑋 ↦→ 𝑖𝑋, que é uma derivação de grau −1. Considerando o comutador
graduado dado por
[𝑥, 𝑦] = 𝑥𝑦 − (−1)𝑔𝑟(𝑥)𝑔𝑟(𝑦)𝑦𝑥
na álgebra das derivações de Ω∙(𝑀) e a fórmula mágica de Cartan, temos que a derivada de Lie
de campos de vetores se escreve como
ℒ𝑋 = 𝑑 ∘ 𝑖𝑋 + 𝑖𝑋 ∘ 𝑑= [𝑑, 𝑖𝑋]. (2.1.1)
Além disso, temos o seguinte lema:
Lema 2.1.1. Se 𝑋, 𝑌 são campos de vetores em 𝑀,
[ℒ𝑋, 𝑖𝑌] = ℒ𝑋 ∘ 𝑖𝑌 − 𝑖𝑌 ∘ ℒ𝑋 = 𝑖[𝑋,𝑌 ].
Demonstração. Lembremos da fórmula
(ℒ𝑋𝛼)(𝑉1, . . . , 𝑉𝑘) = 𝑋(𝛼(𝑉1, . . . , 𝑉𝑘)) − 𝑘 ∑︁ 𝑖=1 𝛼(𝑉1, . . . , 𝑉𝑖−1,[𝑋, 𝑉𝑖], 𝑉𝑖+1, . . . , 𝑉𝑘). Então (ℒ𝑋𝑖𝑌𝛼)(𝑉1, . . . , 𝑉𝑘) = (ℒ𝑋(𝑖𝑌𝛼))(𝑉1, . . . , 𝑉𝑘) = 𝑋((𝑖𝑌𝛼)(𝑉1, . . . , 𝑉𝑘)) − 𝑘 ∑︁ 𝑖=1 (𝑖𝑌𝛼)(𝑉1, . . . , 𝑉𝑖−1,[𝑋, 𝑉𝑖], 𝑉𝑖+1, . . . , 𝑉𝑘) = 𝑋(𝛼(𝑌, 𝑉1, . . . , 𝑉𝑘)) − 𝑘 ∑︁ 𝑖=1 𝛼(𝑌, 𝑉1, . . . , 𝑉𝑖−1,[𝑋, 𝑉𝑖], 𝑉𝑖+1, . . . , 𝑉𝑘). e segue que (𝑖𝑌ℒ𝑋𝛼)(𝑉1, . . . , 𝑉𝑘) = (𝑖𝑌(ℒ𝑋𝛼))(𝑉1, . . . , 𝑉𝑘) = (ℒ𝑋𝛼)(𝑌, 𝑉1, . . . , 𝑉𝑘) = 𝑋(𝛼(𝑌, 𝑉1, . . . , 𝑉𝑘)) − 𝛼([𝑋, 𝑌 ], 𝑉1, . . . , 𝑉𝑘) − 𝑘 ∑︁ 𝑖=1 𝛼(𝑌, 𝑉1, . . . , 𝑉𝑖−1,[𝑋, 𝑉𝑖], 𝑉𝑖+1, . . . , 𝑉𝑘) = (ℒ𝑋𝑖𝑌𝛼)(𝑉1, . . . , 𝑉𝑘) − 𝛼([𝑋, 𝑌 ], 𝑉1, . . . , 𝑉𝑘) = (ℒ𝑋𝑖𝑌𝛼)(𝑉1, . . . , 𝑉𝑘) − (𝑖[𝑋,𝑌 ]𝛼)(𝑉1, . . . , 𝑉𝑘).
Corolário 2.1.2. Se 𝑋, 𝑌 são campos de vetores em 𝑀, temos que
𝑖[𝑋,𝑌 ] = [[𝑑, 𝑖𝑋], 𝑖𝑌]
onde o colchete do lado esquerdo é o colchete de Lie de campos de vetores. Demonstração. Basta combinar a fórmula mágica de Cartan e o Lema anterior.
Repare que a fórmula do Corolário 2.1.2 serve como definição para o colchete de Lie: se 𝑋, 𝑌 são campos de vetores, [𝑋, 𝑌 ] é o campo de vetores que age em formas diferencias da seguinte
maneira, 𝑖[𝑋,𝑌 ]𝜙= [[𝑑, 𝑖𝑋], 𝑖𝑌]𝜙 para todo 𝜙 ∈ Ω∙(𝑀).
Observação 2.1.3. O símbolo [·, ·] será usado várias vezes para indicar colchetes diferentes: o
comutador graduado de derivações de Ω∙(𝑀), colchete de Lie de campos de vetores ou ainda o
colchete de seções de 𝑇 𝑀 ⊕𝑇*𝑀 que definiremos a seguir. Tal abuso de notação será usado sempre
que não houver confusão.
Seções de 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 também agem em Ω∙(𝑀), basta considerar em cada fibra a ação dada
pela Equação 1.2.1. Assim podemos definir um colchete em 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 da mesma forma que o
colchete de Lie é definido em 𝑇 𝑀, conforme discutido acima:
Definição 2.1.4. O colchete de Courant de seções de 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 é definido através da sua ação
em formas diferenciais:
[𝑢, 𝑣] · 𝜙 = [[𝑑, 𝑢·], 𝑣·]𝜙
para todo 𝜙 ∈ Ω∙(𝑀) e 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶∞(𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*
𝑀)
Vamos calcular o colchete de Courant explicitamente para 𝑢 = 𝑋 + 𝜉 e 𝑣 = 𝑌 + 𝜂 [𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂] · 𝜙 = [[𝑑, 𝑋 + 𝜉], 𝑌 + 𝜂] · 𝜙
= (𝑑(𝑋 + 𝜉)(𝑌 + 𝜂) + (𝑋 + 𝜉)𝑑(𝑌 + 𝜂) − (𝑌 + 𝜂)𝑑(𝑋 + 𝜉) − (𝑌 + 𝜂)(𝑋 + 𝜉)𝑑) · 𝜙 Agindo cada parcela individualmente temos
𝑑(𝑋 + 𝜉)(𝑌 + 𝜂) · 𝜙 = 𝑑𝑖𝑋𝑖𝑌𝜙+ 𝑑𝑖𝑋(𝜂 ∧ 𝜙) + 𝑑(𝜉 ∧ 𝑖𝑌𝜙) + 𝑑(𝜉 ∧ 𝜂 ∧ 𝜙) (2.1.2)
(𝑋 + 𝜉)𝑑(𝑌 + 𝜂) · 𝜙 = 𝑖𝑋𝑑𝑖𝑌𝜙+ 𝑖𝑋𝑑(𝜂 ∧ 𝜙) + 𝜉 ∧ 𝑑𝑖𝑌𝜙+ 𝜉 ∧ 𝑑(𝜂 ∧ 𝜙) (2.1.3)
−(𝑌 + 𝜂)(𝑋 + 𝜉)𝑑 · 𝜙 = −𝑖𝑌𝑖𝑋𝑑𝜙 − 𝑖𝑌(𝜉 ∧ 𝑑𝜙) − 𝜂 ∧ 𝑖𝑋𝑑𝜙 − 𝜂 ∧ 𝜉 ∧ 𝑑𝜙 (2.1.5)
Somando as primeiras parcela de cada equação temos
𝑑𝑖𝑋𝑖𝑌𝜙+ 𝑖𝑋𝑑𝑖𝑌𝜙 − 𝑖𝑌𝑑𝑖𝑋𝜙 − 𝑖𝑌𝑖𝑋𝑑𝜙= [[𝑑, 𝑖𝑋], 𝑖𝑌] · 𝜙 = 𝑖[𝑋,𝑌 ]𝜙.
Somando as segundas parcelas de 2.1.2 e 2.1.3 e as terceiras parcelas de 2.1.4 e 2.1.5 temos
𝑑𝑖𝑋(𝜂 ∧ 𝜙) + 𝑖𝑋𝑑(𝜂 ∧ 𝜙) − 𝜂 ∧ 𝑑𝑖𝑋𝜙 − 𝜂 ∧ 𝑖𝑋𝑑𝜙
= (𝑑𝑖𝑋 + 𝑖𝑋𝑑)(𝜂 ∧ 𝜙) − 𝜂 ∧ (𝑑𝑖𝑋 + 𝑖𝑋𝑑)𝜙
= ℒ𝑋(𝜂 ∧ 𝜙) − 𝜂 ∧ ℒ𝑋𝜙
= ℒ𝑋𝜂 ∧ 𝜙+ 𝜂 ∧ ℒ𝑋𝜙 − 𝜂 ∧ ℒ𝑋𝜙
= ℒ𝑋𝜂 ∧ 𝜙
Somando as terceiras parcelas de 2.1.2 e 2.1.3 e as segundas parcelas de 2.1.4 e 2.1.5 temos
𝑑(𝜉 ∧ 𝑖𝑌𝜙) + 𝜉 ∧ 𝑑𝑖𝑌𝜙 − 𝑖𝑌𝑑(𝜉 ∧ 𝜙) − 𝑖𝑌(𝜉 ∧ 𝑑𝜙)
= 𝑑𝜉 ∧ 𝑖𝑌𝜙 − 𝜉 ∧ 𝑑𝑖𝑌𝜙+ 𝜉 ∧ 𝑑𝑖𝑌𝜙 − 𝑖𝑌(𝑑𝜉 ∧ 𝜙) + 𝑖𝑌𝑑(𝜉 ∧ 𝜙) − 𝑖𝑌(𝜉 ∧ 𝑑𝜙)
= 𝑑𝜉 ∧ 𝑖𝑌𝜙 − 𝑖𝑌𝑑𝜉 ∧ 𝜙 − 𝑑𝜉 ∧ 𝑖𝑌𝜙
= −𝑖𝑌𝑑𝜉 ∧ 𝜙
E somando as últimas parcelas de cada equação temos
𝑑(𝜉 ∧ 𝜂 ∧ 𝜙) + 𝜉 ∧ 𝑑(𝜂 ∧ 𝜙) − 𝜂 ∧ 𝑑(𝜉 ∧ 𝜙) − 𝜂 ∧ 𝜉 ∧ 𝑑𝜙 = 𝑑𝜉 ∧ 𝜂 ∧ 𝜙 − 𝜉 ∧ 𝑑(𝜂 ∧ 𝜙) + 𝜉 ∧ 𝑑(𝜂 ∧ 𝜙) − 𝜂 ∧ 𝑑𝜉 ∧ 𝜙 + 𝜂 ∧ 𝜉 ∧ 𝑑𝜙 − 𝜂 ∧ 𝜉 ∧ 𝑑𝜙 = 𝑑𝜉 ∧ 𝜂 ∧ 𝜙 − 𝜂 ∧ 𝑑𝜉 ∧ 𝜙 = 0 Finalmente, obtemos [[𝑑, 𝑋 + 𝜉], 𝑌 + 𝜂] · 𝜙 = 𝑖[𝑋,𝑌 ]𝜙+ ℒ𝑋𝜂 ∧ 𝜙 − 𝑖𝑌𝑑𝜉 ∧ 𝜙= ([𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉) · 𝜙 e portanto [𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂] = [𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉.
Uma particularidade interessante do colchete de Courant é que ele pode ser torcido por uma
3-forma, como veremos: Se 𝐻 ∈ Ω∙(𝑀) for uma 3-forma fechada, a diferencial 𝑑
𝐻 := 𝑑 + 𝐻 ∧ · ainda satisfaz 𝑑2 𝐻 = 0: 𝑑2𝐻𝜙= 𝑑𝐻(𝑑𝜙 + 𝐻 ∧ 𝜙) = 𝑑2 𝜙+ 𝑑(𝐻 ∧ 𝜙) + 𝐻 ∧ 𝑑𝜙 + 𝐻 ∧ 𝐻 ∧ 𝜙 = 𝑑𝐻 ∧ 𝜙 − 𝐻 ∧ 𝑑𝜙 + 𝐻 ∧ 𝑑𝜙 = 0
Definição 2.1.5. O colchete de Courant torcido pela 3-forma fechada 𝐻 ∈ Ω∙(𝑀) é definido por
[𝑢, 𝑣]𝐻 · 𝜙= [[𝑑𝐻, 𝑢·], 𝑣·]𝜙
para todo 𝜙 ∈ Ω∙(𝑀) e 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶∞(𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀)
Nesse caso a expressão explícita do colchete é
[𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂]𝐻 = [𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉+ 𝑖𝑋𝑖𝑌𝐻.
Observação 2.1.6. Os primeiros trabalhos em geometria complexa generalizada ([13],[16]) usam o colchete de Courant como foi definido pelo próprio Courant em [9]:
[𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂] = [𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋𝜂 − ℒ𝑌𝜉 −
1
2𝑑(𝑖𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝜉).
O colchete da definição 2.1.4 se deve a Dorfman, em [10]. Conforme [20], esses colchetes são equivalentes no sentido de que eles definem a mesma condição de integrabilidade sobre uma varie-dade quase complexa generalizada. Nesta dissertação, sempre que dissermos colchete de Courant, estamos nos referindo a definição 2.1.4.
Não é difícil mostrar que automorfismos de 𝑇 𝑀 que preservam o colchete de Lie são derivadas de difeomorfismos de 𝑀:
Proposição 2.1.7. Se 𝐹 : 𝑇 𝑀 → 𝑇 𝑀 é automorfismo cobrindo o difeomorfismo 𝜙 : 𝑀 → 𝑀 e
𝐹 preserva o colchete de Lie, então 𝐹 = 𝜙*, a derivada de 𝜙.
Demonstração. Seja 𝐺 = 𝜙−1
* ∘ 𝐹, que é automorfismo cobrindo a identidade e que preserva o
colchete de Lie. Então dados 𝑋, 𝑌 ∈ X(𝑀) e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) temos que
𝐺([𝑓𝑋, 𝑌 ]) = [𝐺(𝑓𝑋), 𝐺(𝑌 )]
⇐⇒ 𝐺(𝑓[𝑋, 𝑌 ]) − 𝐺(𝑌 (𝑓)𝑋) = 𝑓[𝐺(𝑋), 𝐺(𝑌 )] − 𝐺(𝑌 )(𝑓)𝐺(𝑋)
⇐⇒ 𝑌(𝑓)𝐺(𝑋) = 𝐺(𝑌 )(𝑓)𝐺(𝑋)
Essa última igualdade implica que 𝐺(𝑌 ) = 𝑌 para todo 𝑌 . Logo 𝐺 é identidade e 𝐹 = 𝜙*.
Já em 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀, não é bem isso que acontece. Enquanto “derivadas” de difeomorfismos de
𝑀 são automorfismos de 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 que preservam a forma bilinear simétrica e o colchete de
Exemplo 2.1.8. Se 𝜙 : 𝑀 → 𝑀 é um difeomorfismo, considere o automorfismo de 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 dado por ˜𝜙* := ⎛ ⎝ 𝜙* 0 0 𝜙*−1 ⎞ ⎠. ˜𝜙* é ortogonal pois ⟨˜𝜙*(𝑋 + 𝜉), ˜𝜙*(𝑌 + 𝜂)⟩ = ⟨𝜙*(𝑋) + 𝜙*−1(𝜉), 𝜙*(𝑌 ) + 𝜙*−1(𝜂)⟩ = 12( 𝜙*−1(𝜉)(𝜙*(𝑌 )) + 𝜙*−1(𝜂)(𝜙*(𝑋)) ) = 1 2( 𝜉(𝜙 −1 * 𝜙*(𝑌 )) + 𝜂(𝜙−1* 𝜙*(𝑋)) ) = ⟨𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂⟩ E ˜𝜙* satisfaz ˜𝜙*[·, ·]𝜙*−1𝐻 = [ ˜𝜙*·, ˜𝜙*·]𝐻 : [ ˜𝜙*(𝑋 + 𝜉), ˜𝜙*(𝑌 + 𝜂)]𝜙*−1𝐻 = [𝜙*(𝑋) + 𝜙*−1(𝜉), 𝜙*(𝑌 ) + 𝜙*−1(𝜂)]𝜙*−1𝐻 = [𝜙*(𝑋), 𝜙*(𝑌 )]+ℒ𝜙*(𝑋)𝜙 *−1(𝜂)−𝑖 𝜙*(𝑌 )𝑑𝜙 *−1(𝜉)+𝑖 𝜙*(𝑋)𝑖𝜙*(𝑌 )𝜙 *−1 𝐻 = 𝜙*[𝑋, 𝑌 ] + 𝜙*−1(ℒ 𝑋𝜂) − 𝜙*−1(𝑖𝑌𝑑𝜉) + 𝜙*−1(𝑖𝑋𝑖𝑌𝐻) = ˜𝜙*[𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂]𝐻
pois pull-back comuta com a diferencial exterior e 𝑖𝜙*(𝑋)𝜙
*−1= 𝜙*−1𝑖
𝑋
Exemplo 2.1.9. Se 𝐵 ∈ Ω2(𝑀) é uma 2-forma em 𝑀, temos o automorfismo 𝑒𝑥𝑝(𝐵) : 𝑇 𝑀 ⊕
𝑇*𝑀 → 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 que cobre a identidade e em cada fibra é dado pela fórmula 1.1.1. Já vimos
que 𝑒𝑥𝑝(𝐵) é ortogonal. Além disso ele satisfaz [𝑒𝑥𝑝(𝐵)·, exp(𝐵)·]𝐻 = 𝑒𝑥𝑝(𝐵)[·, ·]𝐻−𝑑𝐵:
[𝑒𝑥𝑝(𝐵)(𝑋 + 𝜉), 𝑒𝑥𝑝(𝐵)(𝑌 + 𝜂)]𝐻 = [𝑋 + 𝜉 + 𝑖𝑋𝐵, 𝑌 + 𝜂 + 𝑖𝑌𝐵]𝐻 = [𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋(𝜂 + 𝑖𝑌𝐵) − 𝑖𝑌𝑑(𝜉 + 𝑖𝑋𝐵) + 𝑖𝑋𝑖𝑌𝐻 = [𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉+ 𝑖𝑋𝑖𝑌𝐻+ ℒ𝑋𝑖𝑌𝐵 − 𝑖𝑌𝑑𝑖𝑋𝐵 = [𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉+ 𝑖𝑋𝑖𝑌𝐻+ 𝑖[𝑋,𝑌 ]𝐵 + 𝑖𝑌ℒ𝑋𝐵 − 𝑖𝑌𝑑𝑖𝑋𝐵 = [𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉+ 𝑖𝑋𝑖𝑌𝐻 + 𝑖[𝑋,𝑌 ]𝐵 + 𝑖𝑌𝑑𝑖𝑋 + 𝑖𝑌𝑖𝑋𝑑𝐵 − 𝑖𝑌𝑑𝑖𝑋𝐵 = [𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉+ 𝑖𝑥𝑖𝑌(𝐻 − 𝑑𝐵) + 𝑖[𝑋,𝑌 ]𝐵 = 𝑒𝑥𝑝(𝐵)([𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉+ 𝑖𝑥𝑖𝑌(𝐻 − 𝑑𝐵)) = 𝑒𝑥𝑝(𝐵)([𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂]𝐻−𝑑𝐵)
Logo se 𝐵 for fechada, 𝑒𝑥𝑝(𝐵) preserva o colchete de Courant torcido.
Queremos mostrar que os automorfismos ortogonais de 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 que preservam o colchete
de Courant torcido são essencialmente combinações desses dois exemplos anteriores. No caso do fibrado tangente (Proposição 2.1.7) a “regra do produto” para o colchete de Lie foi essencial. O colchete de Courant também tem sua versão da regra do produto:
Lema 2.1.10. Para todo 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀) vale
[𝑢, 𝑓𝑣]𝐻 = 𝑓[𝑢, 𝑣]𝐻 + (𝜋(𝑢)𝑓)𝑣
onde 𝜋 : 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 → 𝑇 𝑀 é a projeção.
Demonstração. Sejam 𝑢 = 𝑋 + 𝜉 e 𝑣 = 𝑌 + 𝜂. Então
[𝑢, 𝑓𝑣]𝐻 = [𝑋 + 𝜉, 𝑓(𝑌 + 𝜂)]𝐻 = [𝑋, 𝑓𝑌 ] + ℒ𝑋(𝑓𝜂) − 𝑖𝑓 𝑌𝑑𝜉+ 𝑖𝑋𝑖𝑓 𝑌𝐻 = 𝑓[𝑋, 𝑌 ] + 𝑋(𝑓)𝑌 + 𝑓ℒ𝑋𝜂+ 𝑋(𝑓)𝜂 − 𝑓𝑖𝑌𝑑𝜉+ 𝑓𝑖𝑋𝑖𝑌𝐻 = 𝑓([𝑋, 𝑌 ] + ℒ𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉+ 𝑖𝑋𝑖𝑌𝐻) + 𝑋(𝑓)(𝑌 + 𝜂) = 𝑓[𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂]𝐻 + (𝜋(𝑋 + 𝜉)(𝑓))(𝑌 + 𝜂) = 𝑓[𝑢, 𝑣]𝐻 + (𝜋(𝑢)𝑓)𝑣
Teorema 2.1.11. Seja 𝐹 : 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 → 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 automorfismo ortogonal que cobre o difeomorfismo 𝜙 : 𝑀 → 𝑀 e satistaz 𝐹 [·, ·]𝜙*−1𝐻 = [𝐹 ·, 𝐹 ·]𝐻. Então 𝐹 = ˜𝜙* ∘ 𝑒𝑥𝑝(𝐵) para algum
𝐵 ∈Ω2(𝑀) satisfazendo 𝜙*−1𝐻 = 𝐻 − 𝑑𝐵.
Demonstração. Seja 𝐺 = ˜𝜙−1
* ∘ 𝐹. Então 𝐺 é automorfismo ortogonal que cobre a identidade
e satisfaz 𝐺[·, ·]𝐻 = [𝐺·, 𝐺·]𝐻. Logo se 𝑢, 𝑣 são seções de 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 e 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝑀), temos
𝐺[𝑢, 𝑓𝑣]𝐻 = [𝐺(𝑢), 𝐺(𝑓𝑣)]𝐻. Pelo Lema 2.1.10 segue que
[𝑢, 𝑓𝑣]𝐻 = [𝐺(𝑢), 𝐺(𝑓𝑣)]𝐻
⇐⇒ 𝐺(𝑓[𝑢, 𝑣]𝐻 + (𝜋(𝑢)𝑓)𝑣) = 𝑓[𝐺(𝑢), 𝐺(𝑣)]𝐻 + (𝜋(𝐺(𝑢))𝑓)𝐺(𝑣)
⇐⇒ (𝜋(𝑢)𝑓)𝐺(𝑣) = (𝜋(𝐺(𝑢))𝑓)𝐺(𝑣) ⇐⇒ 𝜋 = 𝜋 ∘ 𝐺.
Logo 𝐺 é automorfismo ortogonal que preserva projeção em 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀. Pela Proposição 1.1.1,
𝐺 = 𝑒𝑥𝑝(𝐵) para algum 𝐵 ∈ Ω2(𝑀), como queríamos. A condição 𝜙*−1𝐻 = 𝐻 − 𝑑𝐵 segue do
Exemplo 2.1.9.
Se 𝑊 ⊂ 𝑇 𝑀 ⊗ C é um subfibrado, 𝑗 : 𝑊 → 𝑇 𝑀 ⊗ C é inclusão e 𝜀 ∈ ∧2𝑊*, formamos o
subfibrado isotrópico maximal
𝐿(𝑊, 𝜀) = {𝑋 + 𝜉; 𝑋 ∈ 𝑊 e 𝑗*𝜉= 𝑖𝑋𝜀} ⊂(𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀) ⊗ C.
A próxima proposição caracteriza os 𝐿(𝑊, 𝜀) que são involutivos em relação ao colchete de Courant (torcido) e será útil na próxima seção:
Proposição 2.1.12. 𝐿(𝑊, 𝜀) é involutivo em relação ao colchete de Courant torcido pela 3-forma
𝐻 se e somente se 𝑊 é involutivo em relação ao colchete de Lie e 𝑑𝑊𝜀 = 𝑗*𝐻 (onde 𝑑𝑊 é a
derivada exterior na folha).
Demonstração. A derivada exterior na folha 𝑑𝑊 : 𝐶∞(∧𝑘𝑊*) → 𝐶∞(∧𝑘+1𝑊*) é definida por
𝑗*∘ 𝑑= 𝑑𝑊∘ 𝑗*. Suponha que 𝐿(𝑊, 𝜀) é involutivo em relação ao colchete de Courant torcido pela
3-forma 𝐻 e sejam 𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂 ∈ 𝐶∞(𝐿(𝑊, 𝜀)). Então 𝑍 + 𝜁 = [𝑋 + 𝜉, 𝑌 + 𝜂]
𝐻 ∈ 𝐶∞(𝐿(𝑊, 𝜀)).
Se 𝜋 : 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 → 𝑇 𝑀 é a projeção, segue que 𝑍 = [𝑋, 𝑌 ] ∈ 𝐶∞(𝜋(𝐿(𝑊, 𝜀))) = 𝐶∞(𝑊 ) e
𝑊 é involutivo em relação ao colchete de Lie. Além disso 𝑗*𝜁 = 𝑖𝑍𝜀, donde temos que
0 = 𝑗* 𝜁 − 𝑖𝑍𝜀 = 𝑗*(ℒ 𝑋𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉+ 𝑖𝑋𝑖𝑌𝐻) − 𝑖[𝑋,𝑌 ]𝜀 = 𝑗*(𝑑𝑖 𝑋𝜂+ 𝑖𝑋𝑑𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝜉+ 𝑖𝑋𝑖𝑌𝐻) − [[𝑑𝑊, 𝑖𝑋], 𝑖𝑌] · 𝜀 = 𝑑𝑊𝑖𝑋𝑗*𝜂+ 𝑖𝑋𝑑𝑊𝑗*𝜂 − 𝑖𝑌𝑑𝑊𝑗*𝜉+ 𝑖𝑋𝑖𝑌𝑗*𝐻 −[[𝑑𝑊, 𝑖𝑋], 𝑖𝑌] · 𝜀 = 𝑑𝑊𝑖𝑋𝑖𝑌𝜀+ 𝑖𝑋𝑑𝑊𝑖𝑌𝜀 − 𝑖𝑌𝑑𝑊𝑖𝑋𝜀+ 𝑖𝑋𝑖𝑌𝑗*𝐻 −[[𝑑𝑊, 𝑖𝑋], 𝑖𝑌] · 𝜀 = 𝑖𝑌𝑖𝑋(𝑑𝑊𝜀 − 𝑗*𝐻)
implicando que 𝑑𝑊 = 𝑗*𝐻. O argumento reverso segue analogamente.
2.2
Estruturas complexas generalizadas em 𝑀
Assim como uma estrutura complexa em 𝑀 é um automorfismo 𝐽 : 𝑇 𝑀 → 𝑇 𝑀 com 𝐽2 = −1
e 𝑖-autofibrado involutivo em relação ao colchete de Lie, temos a seguinte definição:
Definição 2.2.1. Seja 𝑀 uma variedade real e 𝐻 ∈ Ω3(𝑀) uma 3-forma fechada. Uma estrutura complexa generalizada em 𝑀 é uma estrutura quase complexa generalizada 𝒥 tal que seu
𝑖-autofibrado 𝐿 ⊂ (𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀) ⊗ C é involutivo em relação ao colchete de Courant torcido por
𝐻.
Veremos agora como a involutividade do colchete de Courant generaliza as condições de inte-grabilidade das estruturas complexa e simplética.
Exemplo 2.2.2. Seja 𝐽 uma estrutura complexa em 𝑀 e 𝒥𝐽 a estrutura quase complexa
genera-lizada em 𝑀 obtida de 𝐽. Seu 𝑖-autofibrado é
𝐿𝐽 = 𝑇0,1⊕ 𝑇1,0* = 𝐿(𝑇0,1,0)
Como 𝑇0,1 é involutivo em relação ao colchete de Lie, segue da Proposição 2.1.12 que 𝐿𝐽 é involutivo
em relação ao colchete de Courant torcido se e só se 𝑗*𝐻 = 0, ou seja, 𝐻 é de tipo (1, 2) + (2, 1).
Exemplo 2.2.3. Seja 𝜔 uma estrutura simplética em 𝑀 e 𝒥𝜔 a estrutura quase complexa
gene-ralizada em 𝑀 obtida de 𝜔. Seu 𝑖-autofibrado é
𝐿𝜔 = {𝑋 − 𝑖𝜔(𝑋); 𝑋 ∈ 𝑇 𝑀 ⊗ C}.
Note que 𝐿𝜔 = 𝐿(𝑇 𝑀 ⊗ C, −𝑖𝜔). Como 𝑇 𝑀 é trivialmente involutivo pelo colchete de Lie e
𝑑𝜔 = 0, a Proposição 2.1.12 nos diz que 𝒥𝜔 é estrutura complexa generalizada se 𝐻 = 0.
Observação 2.2.4. Embora os exemplos recorrentes sejam os casos complexo e simplético, existem estruturas complexas generalizadas que não são complexas nem simpléticas.
Um exemplo é considerar ˜𝒥 = 𝑒𝑥𝑝(𝐵) ∘ 𝒥 ∘ 𝑒𝑥𝑝(−𝐵) onde 𝒥 é qualquer estrutura complexa
generalizada em 𝑀 e 𝐵 ∈ ∧2𝑉* é 2-forma fechada. Segue dos Exemplos 1.3.6 e 2.1.9 que ˜𝒥 é
estrutura complexa generalizada. O próximo capítulo traz exemplos mais sofisticados de estruturas complexas generalizadas que não são complexas nem simpléticas.
Como era de se esperar, a condição de integrabilidade também se interpreta no fibrado canônico uma estrutura complexa generalizada:
Proposição 2.2.5. Seja 𝒥 uma estrutura quase complexa generalizada em 𝑀. O 𝑖-autofibrado
de 𝒥 é involutivo (em relação ao colchete de Courant torcido por uma 3-forma 𝐻) se e só se para qualquer trivialização local 𝜙 do fibrado canônico 𝐾 existir uma seção 𝑋 + 𝜉 de (𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀) ⊗ C
tal que 𝑑𝐻𝜙= (𝑋 + 𝜉) · 𝜙.
Demonstração. Seja 𝜙 um gerador local de 𝐾 e 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶∞(𝐿) onde 𝐿 é o 𝑖-autifibrado de 𝒥 . Então
[𝑢, 𝑣]𝐻 · 𝜙 = [[𝑑𝐻, 𝑢], 𝑣]𝜙 = 𝑢 · 𝑣 · 𝜙.
Segue que 𝐿 é involutivo se e só se 𝑑𝐻𝜙é anulado por todos os produtos 𝑢𝑣 com 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶∞(𝐿).
Retomemos a filtração 1.2.2. 𝐹𝑘 é o subfibrado de ∧∙(𝑇*𝑀 ⊗ C) anulado por 𝑘 + 1 seções
de 𝐿, donde segue que 𝐿 é involutivo se e só se 𝑑𝐻𝜙 ∈ 𝐹1. Repare que 𝐹1 = 𝐶𝐿1 · 𝐾 e 𝐶𝐿1 =
C ⊕ (𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀) ⊗ C. Logo 𝐹1 = 𝐾 ⊕ ((𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀) ⊗ C) · 𝐾.
O fato de 𝜙 ser da forma 𝑒𝐵+𝑖𝜔∧Ω e a exponencial de uma 2-forma só conter parcelas de grau
par, implica que 𝜙 só contém parcelas de grau par ou apenas parcelas de grau par. Como 𝑑𝐻 é
derivação de grau −1, as parcelas de 𝑑𝐻𝜙 tem paridade oposta a de 𝜙, o que implica que 𝑑𝐻𝜙 ∈
((𝑇 𝑀 ⊕𝑇*𝑀)⊗C)·𝐾. Portanto 𝑑
𝐻𝜙= (𝑋 +𝜉)·𝜙 para algum 𝑋 +𝜉 ∈ 𝐶∞((𝑇 𝑀 ⊕𝑇*𝑀)⊗C).
Além disso, a condição 𝜔𝑚−𝑘∧Ω ∧ Ω ̸= 0 (Proposição 1.3.11) significa que 𝜔 é uma forma
Na seção anterior nós definimos o tipo de uma estrutura complexa generalizada num espaço
vetorial. No caso de uma estrutura complexa generalizada 𝒥 numa variedade 𝑀2𝑛 a situação é
um pouco mais complicada. Naturalmente podemos considerar a função tipo 𝑀 → N que em cada ponto 𝑥 ∈ 𝑀 associa o tipo da estrutura complexa generalizada
𝒥𝑥 : 𝑇𝑥𝑀 ⊕ 𝑇𝑥*𝑀 → 𝑇𝑥𝑀 ⊕ 𝑇𝑥*𝑀.
Mas essa função não precisa ser constante (ela é semi contínua superiormente [cap.3, 14]). Nos pontos 𝑥 que possuem uma vizinhança onde a função tipo é constante 𝑘 (chamados pontos regula-res), há uma certa rigidez: existe uma vizinhança de 𝑥 onde 𝒥 é equivalente a soma direta de uma estrutura complexa de dimensão complexa 𝑘 e uma estrutura simplética de dimensão real 2𝑛 − 2𝑘. É o que [cap.4, 14] chama de Teorema de Darboux Generalizado.
Capítulo 3
Exemplos: nilvariedades
Nesse capítulo estudaremos exemplos de estruturas complexas generalizadas invariantes à es-querda em nilvariedades (conforme definiremos à seguir). O interesse principal está no caso de dimensão 6, onde existem 34 classes de isomorfismos de grupos de Lie nilpotentes, conexos e simplesmente conexos.
Sabe-se também quais desses grupos admitem estruturas simpléticas e complexas invariantes à esquerda: de acordo com Goze e Khakimdjanov em [12], 26 dessas classes admitem estruturas simpléticas e em [23] Salamon mostra que 18 delas admitem estruturas complexas. Mas 5 dessas classes não admitem estruturas complexas ou simpléticas invariantes.
No entanto, Cavalcanti e Gualtieri mostraram em [7] que todas elas admitem estruturas com-plexas generalizadas invariantes à esquerda, como veremos.
3.1
Nilvariedades
Definição 3.1.1. Uma nilvariedade é um quociente Γ∖𝐺 onde 𝐺 é um grupo de Lie real, nilpotente, conexo e simplesmente conexo e Γ é um subgrupo compacto discreto agindo em 𝐺 à esquerda. Definição 3.1.2. Uma estrutura complexa generalizada em Γ∖𝐺 é dita invariante à esquerda se ela descende de uma estrutura complexa generalizada invariante à esquerda em 𝐺.
Da teoria de grupos de Lie sabemos que dada uma álgebra de Lie g , existe um único grupo de Lie 𝐺 conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. E um grupo de Lie é nilpotente se sua álgebra de Lie é nilpotente. Nilpotência de uma álgebra de Lie g quer dizer que a série central
g𝑠 = 0 é chamado índice de nilpotência de g e denotado por 𝑛𝑖𝑙(g). Através dos anuladores
𝑉𝑖 = {𝜉 ∈ g*; 𝜉(𝑋) = 0 ∀𝑋 ∈ g𝑖}
obtemos uma filtração para g*. Note que, equivalentemente temos
𝑉𝑖 = {𝜉 ∈ g*; 𝑑𝜉 ∈ ∧2𝑉𝑖−1}
com 𝑉0 = {0}.
Definição 3.1.3. Uma base de g* obtida através de uma base de 𝑉1 e extensões sucessivas para
cada 𝑉𝑘 até obter uma base para g* é chamada base de Malcev.
Note que uma base de Malcev {𝑒1, . . . , 𝑒𝑛}satisfaz 𝑑𝑒𝑖 ∈ ∧2⟨𝑒1, . . . , 𝑒𝑖−1⟩.
Definição 3.1.4. O grau de nilpotência de uma 𝑝-forma 𝛼 é o menor 𝑖 tal que 𝛼 ∈ ∧𝑝𝑉 𝑖.
Observação 3.1.5. Note que se 𝛼 é 1-forma com 𝑛𝑖𝑙(𝛼) = 𝑖, temos que 𝑛𝑖𝑙(𝑑𝛼) = 𝑖 − 1.
Para especificar uma álgebra de Lie nilpotente g listaremos as derivadas exteriores dos elementos
de uma base de Malcev de g* como uma 𝑛-upla de 2-formas (𝑑𝑒
𝑘 = ∑︀𝑐 𝑖𝑗
𝑘𝑒𝑖 ∧ 𝑒𝑗)𝑘=1,...,𝑛. Para
dimensões baixas usaremos a notação abreviada 𝑖𝑗 para 𝑒𝑖∧ 𝑒𝑗. Assim a 6-upla
(0, 0, 12, 13, 14, 23 + 15)
representa a álgebra de Lie g tal que g* é gerada pelas 1-formas 𝑒1, . . . , 𝑒
6 com 𝑑𝑒1 = 𝑑𝑒2 = 0,
𝑑𝑒3 = 𝑒1∧ 𝑒2, 𝑑𝑒4 = 𝑒1∧ 𝑒3, 𝑑𝑒5 = 𝑒1∧ 𝑒4 e 𝑑𝑒6 = 𝑒2∧ 𝑒3+ 𝑒1∧ 𝑒5. Vejamos como que, com essas
informações, é possível recuperar as constantes de estrutura da álgebra de Lie na base dual: Em geral, se 𝑋, 𝑌 são campos de vetores numa variedade 𝑀 e 𝜔 é uma 1-forma, temos que
𝑑𝜔(𝑋, 𝑌 ) = 𝑋(𝜔(𝑌 )) − 𝑌 (𝜔(𝑋)) − 𝜔([𝑋, 𝑌 ]).
Em particular, se 𝑀 é um grupo de Lie 𝑋, 𝑌 são campos de vetores invariantes e 𝜔 é 1-forma invariante, temos
𝑑𝜔(𝑋, 𝑌 ) = −𝜔([𝑋, 𝑌 ]).
Se {𝑒1, . . . 𝑒𝑛} é uma base de Malcev de g*, considere {𝐸1, . . . 𝐸𝑛} a base dual. As constantes de
estruturas 𝐶𝑘
𝑖𝑗 na base {𝐸1, . . . , 𝐸𝑛} são definidas por [𝐸𝑖, 𝐸𝑗] =
∑︁
𝑘
Portanto 𝑑𝑒𝑖(𝐸𝑗, 𝐸𝑘) = −𝑒1([𝐸𝑗, 𝐸𝑘]) = −𝑒𝑖( ∑︁ 𝑙 𝐶𝑗𝑘𝑙 𝐸𝑙) = − ∑︁ 𝑙 𝐶𝑗𝑘𝑙 𝑒𝑖(𝐸𝑙) = −𝐶𝑗𝑘𝑖
donde segue que 𝑑𝑒𝑖 = −
∑︁
𝑗,𝑘
𝐶𝑗𝑘𝑖 . No exemplo (0, 0, 12, 13, 14, 23 + 15) que vimos antes temos que
𝐶123 = 𝐶134 = 𝐶145 = 𝐶236 = 𝐶156 = −1
e as demais constantes são nulas.
3.2
Estruturas complexas generalizadas em nilvariedades
Esta seção traz resultados sobre estruturas complexas generalizadas invariantes à esquerda em nilvariedades independente da dimensão. O primeiro deles diz que se uma nilvariedade admite estrutura complexa generalizada invariante à esquerda, então seu fibrado canônico tem trivialização fechada. O outro resultado gera um limitante para o tipo de uma estrutura complexa generalizada numa nilvariedade em função de informações sobre sua álgebra de Lie.
Observação 3.2.1. Na seção anterior definimos estruturas complexas generalizadas usando o colchete de Courant torcido por uma 3-forma 𝐻. No entanto, neste capítulo, todas as estruturas complexas generalizadas consideradas serão sem torção, isto é, com 𝐻 = 0.
Lema 3.2.2. Considere uma estrutura complexa generalizada numa nilvariedade dada por um
spinor puro 𝑒𝐵+𝑖𝜔 ∧Ω. Então é possível escolher uma decomposição invariante à esquerda Ω =
𝜃1∧ . . . ∧ 𝜃𝑘 tal que 𝑛𝑖𝑙(𝜃𝑖) ≤ 𝑛𝑖𝑙(𝜃𝑗) se 𝑖 < 𝑗 e {𝜃𝑗; 𝑛𝑖𝑙(𝜃𝑗) > 𝑖} é linearmente independente módulo
𝑉𝑖 para todo 𝑖.
Demonstração. Ordene os 𝜃𝑖 de maneira que 𝑛𝑖𝑙(𝜃𝑖) ≤ 𝑛𝑖𝑙(𝜃𝑗) se 𝑖 < 𝑗. Trivialmente {𝜃1, . . . , 𝜃𝑘}
é linearmente independente módulo 𝑉0 = {0}. Seja 𝜋𝑖 : g* → g*/𝑉𝑖 a projeção e suponha por
indução que {𝜋𝑖(𝜃𝑗); 𝑛𝑖𝑙(𝜃𝑗) > 𝑖} é linearmente independente para todo 𝑖 < 𝑚. Seja
𝑋 = {𝜋𝑚(𝜃𝑗); 𝑛𝑖𝑙(𝜃𝑗) > 𝑚}.
Se houver alguma relação linear 𝜋𝑚(𝜃𝑝) =
∑︁
𝑙̸=𝑝
𝛼𝑙𝜃𝑙 entre os elementos de 𝑋, substitua 𝜃𝑝 por
˜𝜃𝑝 = 𝜃𝑝−
∑︁
𝑙̸=𝑝
𝛼𝑙𝜃𝑙, que não altera Ω nem afeta a independência linear módulo 𝑉𝑖 para 𝑖 < 𝑚. Mas
𝜋𝑚(˜𝜃𝑝) = 0 ⇒ ˜𝜃𝑝 ∈ ∧1𝑉𝑚, ou seja, 𝑛𝑖𝑙(˜𝜃𝑝) ≤ 𝑚. Logo ˜𝜃𝑝 ∈ 𝑋/ . Assim removemos as relações
