A equação da corda vibrante

A Equação da Corda Vibrante

Centro de Ciên ias Físi as e Matemáti as

Departamento de Matemáti a

A Equação da Corda Vibrante

João Carlos Bez Batti

Orientador: Gustavo Adolfo Torres da Costa

DE CURSO no Curso de Matemáti a - Habilitação Li en iatura, e aprovada em sua

formanal pelaBan aExaminadora designada pela Portaria n o

01/CCM/08.

Prof a

Carmem Suzane Comitre Gimenez

Professora da Dis iplina

Ban aExaminadora:

Prof. Gustavo Adolfo Torres da Costa

Orientador

Prof. Eliezer Batista

Introdução 3

1 Equações Diferen iais 5

1.1 Terminologiae DeniçõesBási as . . . 5

2 EDO's de 1 a e 2 a Ordem 8 2.1 EDO Linear de 1 a Ordem . . . 9 2.2 EDO Linear de 2 a Ordem . . . 11

2.3 Casos Espe iais daEquação (2.6) . . . 18

3 Convergên ia Uniforme e Série de Fourier 20 3.1 Convergên ia Uniforme . . . 20

3.2 Sériesde Fourier . . . 26

3.3 Funções Periódi as de Período2L . . . 32

3.4 Extensão Par eÍmpar de UmaFunção . . . 33

4 A Equação da Onda 36 4.1 Equação Diferen ial Para Pequenas Os ilaçõesde UmaCorda . . . 36

4.3 Uni idadede Solução . . . 56

4.4 Harmni os, Freqüên iae Amplitude . . . 58

5 Solução de D'Alambert 60

5.1 Soluçãoda Equaçãoda Onda porD'Alambert . . . 60

5.2 Problemade Cau hy . . . 63

As Equações Diferen iais possuem uma apli ação muito ampla naárea da

Mode-lagemMatemáti a. Umexemploquejusti aessa armaçãoéaEquaçãodaOnda,queé

usada para modelar fenmenosondulatórios omo, porexemplo: as ondas noo eano, as

vibraçõesde uma orda,et .

Estetrabalhoé onstituídopor in o apítulos. Oprimeiro apítulopossuialgumas

denições bási as a respeito das equações diferen iais,assim omo suas lassi ações de

a ordo om tipo,ordem elinearidade.

O segundo apítuloestá dividido em três seções. As duasprimeirasseções tratam

das soluções gerais de EDO`s lineares de primeira e segunda ordem, respe tivamente.

Além disso, apresenta-se na segunda seção dois teoremas. O primeiro teorema é um

ritériopara analisar seduas funções são linearmentedependentes, fatoimportantepara

a ara terização das soluções das EDO`s lineares, homogêneas de segunda ordem, que é

oresultado dosegundo teorema. Ater eira seçãoé destinadapara alguns asosespe iais

dasolução de EDO`s lineares,homogêneas de segunda ordem.

No ter eiro apítulo serão enun iados alguns teoremas, sem prova, e denições

sobre onvergên ia de funções: pontual e uniforme, que serão úteis no desenrolar dos

apítulos seguintes. Além disso, será introduzida a denição de séries de Fourier para

funções periódi as de período 2

π

e 2L, juntamente om a denição de extensão par e ímpar de funções.

uma orda, usandopara tal aSegunda Leide Newton. Depoisdisso, en ontrar-se-áuma

solução para a equação da onda, no aso de uma orda de omprimento nito, usando

para tal a té ni a de separação de variáveis e através da demonstração de um teorema

mostrar-se-á que de fato essa solução é geral. Para nalizar será provada a uni idade

dessa solução.

A solução da equação da onda, numa orda innita, através do método de

D`Alambert será o assunto prin ipal do apítulo in o, porém, também será resolvido

o problema de Cau hy.

O estudo da equação da onda em dimensões maiores do que um (equação da

membrana retangular, ir ular,...) mere ia uma atenção maior, que devido ao pou o

tempoque se tinha disponível não foi possível in orporá-lo nesse trabalho,  ando omo

Equações Diferen iais

1.1 Terminologia e Denições Bási as

Denição 1.1 Uma igualdade que in lui uma função e as suas derivadas em relação a

uma ou mais variáveis independentes, é hamada de equação diferen ial (ED). A função

é ain ógnitana equação.

As equações diferen iaissão lassi adasde a ordo om o seutipo,ordeme

linea-ridade.

Classi ação Pelo Tipo

Emrelaçãoaoseutipo,umaequaçãodiferen ialpodeser lassi adaem: ordinária

oupar ial.

Equação Diferen ial Ordinária (EDO): éumaequaçãoque ontémapenasderivadas

ordinárias totais de uma função de uma variável om relação a esta úni a variável

independente.

a)

du

dx

− 5u = 1

b)

(u − x) + 4x

du

dx

= 0

)

d

2

_u

dx

2

−

du

dx

= x

d)

d

2

_u

dx

2

− 2

2u

dx

+ 6u = 0

Equação Diferen ial Par ial (EDP): éuma equação que envolve as derivadas

par i-aisde uma função de várias variáveisem relação aestas variáveis independentes.

São exemplos de EDP:

a)

∂u

∂y

= −

∂u

∂x

b)

x

∂u

∂x

+ y

∂u

∂y

= u

)

∂

2

_u

∂x

2

=

∂

2

_u

∂y

2

− 2

∂u

∂y

Nos exemplos a ima,

u

é a função in ógnita ou variáveldependente e

x

,

y

são as variáveisindependentes.

Classi ação Pela Ordem

Chama-seordemde umaequaçãodiferen ial,aordemdaderivadade maiorordem

daequação.

Considere os seguintes exemplos:

a)

d

2

_y

dx

2

+ 3

dy

dx

!

3

+ 2y = e

x

a

b)

a

2

∂

4

u

∂x

4

+

∂

2

_u

∂y

2

= 0

Essa equação é uma equaçãodiferen ial par ialde 4 a

ordem.

Neste trabalho, vamos onsiderar apenas equações diferen iais de 1 a

e 2 a

ordem,

no aso das EDO esomentede 2 a

ordem, no aso das EDP.

Classi ação Como Linear ou Não-Linear

Uma equaçãodiferen ial é hamadade linear se pode ser olo ada naforma

∂

n

_u

∂x

n

+

∂

n−1

_u

∂x

n−1

+ . . . +

∂u

∂x

+ u = 0.

Uma equaçãoque não é linear é hamada não-linear

Exemplos de equações não lineares:

a)

d

2

_y

dx

2

+ cos

 dy

dx



+ y = 0

b)

dy

dx

+ x cos y = y

2

)

∂

2

_y

∂x

2

+ y

2

∂y

∂t

= sen y

Exemplos de equações lineares:

a)

cos x ·

d

2

_y

dx

2

+

dy

dx

+ x

2

_{y = 0}

b)

y

′′

_{− 2y}

′

_{+ y = 0}

)

x

2

d

2

y

dx

2

+ 3x

dy

dx

+ 5y = e

x

d)

∂

2

_u

∂x

2

= 2

∂

2

_u

∂y

2

+ u cos x

e)

∂

2

_u

∂x

2

+

∂

2

_u

∂y

2

= 0

EDO's de 1 a

e 2

a

Ordem

Denição 2.1 (Solução de Uma Equação Diferen ial) Chama-se solução de uma

equação diferen ial num determinado intervalo aberto

I

, qualquer função denida em

I

, que satisfaz àequação.

Exemplo 2.1 A função

y = xe

x

,

x ∈ (−∞, +∞)

é uma solução para aequação linear:

d

2

_y

dx

2

− 2

dy

dx

+ y = 0

pois

d

2

dx

2

(xe

x

) + (−2)

_dx

d

(xe

x

_{) + xe}

x

_{= (xe}

x

_{+ 2e}

x

) − 2(xe

x

_{+ e}

x

_{) + xe}

x

_{= 0}

para todo

x ∈ (−∞, +∞)

. Logo

y = xe

x

é soluçãodessa equação diferen ial.

Vejaqueafunção

y(x) = 0

,

x ∈ R

,também satisfazamesmaequaçãoe,portanto, é outrasolução.

Uma função identi amente nula que é solução de uma equação diferen ial num

determinadointervalo

I

édita solução trivial.

Uma equação diferen ial, em geral, pode possuir uma innidade de soluções. Por

exemplo,poruma simplessubstituição veri a-se que para adavalorde

c ∈ R

, afunção

é uma soluçãoparti ular da equação

dy

dx

− 2xy = 0.

Da mesma forma, veri a-se quepara ada valorde

c ∈ R

,a função

y = cxe

x

é uma soluçãoparti ular da equação

d

2

_y

dx

2

− 2

dy

dx

+ y = 0.

2.1 EDO Linear de 1 a Ordem

Denição 2.2 Umaequação diferen iallinear,de 1 a

ordem, om oe ientes onstantes

é uma equação daforma:

du

dx

+ au = f (x),

x ∈ I

(2.1)

onde supomos que

f

é uma função denida e ontínua num intervaloaberto

I

e

a ∈ R

.

Solução Geral

Aomultipli arambosos membros daequação (2.1) por

e

ax

obtém-se:

e

ax

du

dx

+ aue

ax

_{= e}

ax

_{f (x)}

ou

d

dx

(ue

ax

_{) = e}

ax

_{f (x)}

(2.2) Como

f

é ontínuaem

I

,

e

ax

_{f (x)}

admiteprimitivaem

I

,entãode(2.2),integrando ambos osmembros, tem-se:

ue

ax

_{= k +}

Z

e

as

_{f (s)ds.}

Multipli ando ambos osmembros por

e

−ax

, obtém-se:

u(x) = ke

−ax

_{+ e}

−ax

Z

e

as

_{f (s)ds}

(2.3)

om

k

uma onstante. Para adavalorde

k ∈ R

,

u(x)

éumasoluçãoparti ulardaequação (2.3). Portanto,aequação (2.3) admiteuma innidade de soluções. Vamos hamar(2.3)

de solução geral daequação (2.1).

Exemplo 2.2 Considereaequação

du

dx

−3u = e

x

,

x ∈ (−∞, +∞)

. Vamosobterasolução geral e asolução parti ular quesatisfaz

u(0) = 1

.

a) Como foi vistoa solução geral é daforma daequação (2.3) om

a = −3

e

f (x) = e

x

, então tem-se:

u(x) = ke

3x

+ e

3x

Z

e

−3x

_{· e}

x

dx

u(x) = ke

3x

+ e

3x

Z

e

−2x

_dx

mas,

Z

e

−2x

_{dx =}

−e

−2x

2

,

logo

u(x) = ke

3x

+ e

3x

_·

 −e

−2x

2



u(x) = ke

3x

₋

e

x

2

b) Agora pre isa-se determinar

k

para se ter

u(0) = 1

.

1 = ke

3·0

₋

e

0

2

1 = k · 1 −

1

2

k =

3

2

Com issoa soluçãoque satisfaz a ondição

u(0) = 1

é dada por:

u(x) =

3

2

e

3x

−

e

x

2

u(x) =

3e

3x

_{− e}

x

2

2.2 EDO Linear de 2 a

Ordem

Denição 2.3 (Dependên ia Linear) Diz-se que as funções

f

1

(x)

e

f

2

(x)

são linear-mentedependentes (LD)numintervalo

I

seexistem onstantes

c

1

, c

2

nãosimultaneamente nulas tais que

c

1

f

1

(x) + c

2

f

2

(x) = 0

(2.4)

para todo

x

no intervalo

I

.

Denição 2.4 (Independên ia Linear) Diz-sequeasfunções

f

1

(x)

e

f

2

(x)

são linear-mente independentes (LI)num intervalo

I

seaequação (2.4) ésatisfeita para todo

x ∈ I

apenas para

c

1

= c

2

= 0

.

Teorema 2.1 Suponha que

f

1

(x)

e

f

2

(x)

,

x ∈ I

, sejam deriváveis no intervalo

I

. Se o determinante:













f

1

(x) f

2

(x)

f

′

1

(x) f

2

′

(x)













6= 0,

emtodopontodointervalo

I

,entãoasfunções

f

1

(x)

e

f

2

(x)

sãolinearmenteindependentes nesse intervalo. O determinante a ima é denotado por

W (f

1

(x), f

2

(x))

e é hamado de wronskiano das funções

f

1

e

f

2

.

Exemplo 2.3 As funções

f

1

(x) = cos βx

e

f

2

(x) = sen βx

, om

β 6= 0

,

x ∈ I

,

I ⊆ R

são LI.

De fato,

f

1

e

f

2

são deriváveis e

f

′

1

(x) = −β sen βx

,

f

′

2

(x) = β cos βx

. Com isso temosque:

W =













f

1

(x) f

2

(x)

f

′

1

(x) f

2

′

(x)













=













cos βx

sen βx

−β sen βx β cos βx













= β cos

2

βx + β sen

2

βx = β(sen

2

βx + cos

2

_{βx) = β · 1}

Portanto,

W(f

1

, f

2

) = β

.

Teorema 2.2 Sejam

f

1

e

f

2

, duas soluções LI de uma EDO linear, homogênea de 2 a

ordem num intervalo

I

. Então toda solução dessa equação é uma ombinação linear de

f

1

e

f

2

. Com issoa soluçãogeral para essa EDO é

u(x) = c

1

f

1

(x) + c

2

f

2

(x), x ∈ I.

Denição 2.5 UmaEDOlinearde2 a

ordem, om oe ientes onstantes, éumaequação

daforma:

d

2

_u

dx

2

+ b

du

dx

+ cu = f (x),

x ∈ I ⊆ R

(2.5)

om

b, c ∈ R

,

I

um intervaloaberto e

f

é uma função ontínuadenida em

I

.

Quando

f (x) = 0

em todo

I

, aequação

d

2

_u

dx

2

+ b

du

dx

+ cu = 0

(2.6)

é hamadahomogênea, do ontrário,é hamada não-homogênea.

Solução Geral da Equação Homogênea

Suponha quepara um erto

λ

,

u = e

λx

é solução de (2.6). Então,

d

2

dx

2

(e

λx

_{) + b}

d

dx

(e

λx

_{) + ce}

λx

_{= 0,}

o quedá

λ

2

_e

λx

_{+ bλe}

λx

_{+ ce}

λx

_{= 0}

e

λx

(λ

2

+ bλ + c) = 0,

que sóé válida se

λ

2

+ bλ + c = 0

(2.7)

Podemos on luirque,

u = e

λx

Teorema 2.3 Suponha que(2.7) tenha raízes reais

λ

1

e

λ

2

. Então:

i) Se

λ

1

6= λ

2

a equação (2.6)tem soluçãogeral

u(x) = Ae

λ

1

x

_{+ Be}

λ

2

x

_,

(2.8)

om

A, B ∈ R

.

ii) Se

λ

1

= λ

2

a equação (2.6)tem soluçãogeral

u(x) = Ae

λ

1

x

_{+ Bxe}

λ

1

x

_,

(2.9)

om

A, B ∈ R

.

iii) Se asraízes forem omplexas,istoé,

λ = α ± βi

,nesse aso,

u(x) = e

αx

[A cos βx + B sen βx],

(2.10)

om

A, B ∈ R

.

Demonstração: Sejam

λ

1

e

λ

2

as raízes reais daequação

λ

2

+ bλ + c = 0

Nesse aso,

λ

1

+ λ

2

= −b

λ

1

· λ

2

= c

Substituindo em (2.6):

d

2

_u

dx

2

− (λ

1

+ λ

2

)

du

dx

+ λ

1

λ

2

= 0

ouainda,

d

dx

"

du

dx

− λ

1

u

#

− λ

2

"

du

dx

− λ

1

u

#

= 0

Dena

g(x) =

du

dx

− λ

1

u

(2.11)

temos:

d

dx

g(x) − λ

2

g(x) = 0

(2.12)

Vamos provar que

u(x)

é solução daequação (2.6) se e somente se

g(x)

é solução daequação (2.12).

Comparando (2.12) om (2.1), uja soluçãogeral é dada por(2.3),segue que:

g(x) = ke

λ

2

x

(2.13)

Então

u(x)

é soluçãodaequação (2.6), se esomentese, satisfaz

du

dx

− λ

1

u = ke

λ

2

x

(2.14)

Comparando esta últimaequação om as equações (2.1) e(2.3), obtemos que

u(x) = Ce

λ

1

x

_{+ ke}

λ

1

x

Z

e

(λ

2

−λ

1

)x

_dx

(2.15)

Analisemosa solução (2.15)nos asos:

1 o

Caso:

Para

λ

1

6= λ

2

segue que

u(x) = Ce

λ

1

x

+ ke

λ

1

x

·

e

(λ

2

−λ

1

)x

λ

2

− λ

1

= Ce

λ

1

x

+

k

2

λ

2

− λ

1

!

e

λ

2

x

Denindo

A = C

e

B =

k

2

λ

2

− λ

1

tem-se

u(x) = Ae

λ

1

x

_{+ Be}

λ

2

x

(2.16) 2 o Caso: Para

λ

1

= λ

2

:

u(x) = Ce

λ

1

x

_{+ ke}

λ

1

x

Z

dx

u(x) = Ce

λ

1

x

_{+ ke}

λ

1

x

_{[x + D]}

u(x) = Ce

λ

1

x

+ ke

λ

1

x

x + kDe

λ

1

x

u(x) = (C + kD)e

λ

1

x

+ ke

λ

1

x

x

Fazendo

A

′

_{= C + kD}

e

B

′

_{= k}

,segue que

u(x) = A

′

_e

λ

1

x

+ B

′

_e

λ

1

x

x

u(x) = e

λ

1

x

_(A

′

_{+ B}

′

_x)

(2.17) 3 o Caso:

Sejam

u

e

g

taisque

u(x) = e

−

b

2

x

· g(x)

(2.18)

Armamos que a função

u(x)

é solução da equação (2.6) se, e somente se,

g

é solução daequação

d

2

dx

2

g +

−∆

4

!

g = 0

(2.19)

onde

∆

é o dis riminante daequação

λ

2

_{− bλ + c = 0}

(2.20)

ouseja,

∆ = b

2

_{− 4c}

(2.21)

Nesse aso,

∆ < 0

e

λ = α ± βi

. De fato, temos que

d

2

dx

2

u + b

d

dx

u + c

=

d

2

dx

2



e

−

b

2

x

g



+ b

d

dx



e

−

2

b

x

g



+ c

(2.22) Como

d

dx



e

−

b

2

x

g



= −

b

2

e

−

b

2

x

g + e

−

b

2

x

d

dx

g

e

d

2

dx

2



e

−

b

2

x

g



=

d

dx



−

b

2

e

−

2

b

x

g + e

−

b

2

x

d

dx

g



= −

b

₂



−

b

₂

e

−

b

2

x

g + e

−

b

2

x

d

dx

g



−

b

₂

e

−

b

2

x

d

dx

g + e

−

2

b

x

d

2

dx

2

g

=

b

2

4

e

−

b

2

x

g −

b

2

e

−

2

b

x

d

dx

g −

b

2

e

−

2

b

x

d

dx

g + e

−

b

2

x

d

2

dx

2

g

=

b

2

4

e

−

b

2

x

g − be

−

b

2

x

d

dx

g + e

−

b

2

x

d

2

dx

2

g.

substituindo esses resultados em (2.22) obtém-se:

b

2

4

e

−

2

b

x

g − be

−

b

2

x

d

dx

g + e

−

b

2

x

d

2

dx

2

g + b



−

₂

b

e

−

b

2

x

g + e

−

b

2

x

d

dx

g



+ c

= e

−

b

2

x

d

2

dx

2

g −

b

2

4

e

−

b

2

x

g + c

= e

−

b

2

x

 d

2

dx

2

g +



c −

b

2

4



g



(2.23) Mas,

∆ = b

2

_{− 4c ⇒ −}

∆

4

= c −

b

2

4

Então,

d

2

_u

dx

2

+ b

du

dx

+ c = e

−

b

2

x

 d

2

dx

2

g +



−

∆

₄



g



= 0

se, e somente se,

d

2

dx

2

g −

∆

4

g = 0

provando a armação.

Vamos noque segue, obtera solução geral daequação (2.19). Observe que:

d

dx

(cos βx) = −β sen βx

e

d

2

dx

2

(cos βx) = −β

2

_{cos βx}

de modoquea função

cos βx

é soluçãoda equação (2.19)para

−β

2

=

∆

4

⇒ β

2

= −

∆

4

Como

∆ < 0 ⇒ −∆ = |∆|

, então

β = ±

p

|∆|

2

. Logo,

cos

 p|∆|

2

x



é solução da

d

2

dx

2

g −

∆

4

g = 0

.

Analogamente, a função

sen

 p|∆|

2

x



também ésolução da

d

2

dx

2

g −

∆

4

g = 0.

Sejam então

u

1

(x) = cos

 p|∆|

2

x



e

u

2

(x) = sen

 p|∆|

2

x



duas soluçõespara a

equação(2.19) (EDOlinear,homogêneade 2 a

ordem)num intervalo

I

. Do exemplo(2.2) tem-se que

u

1

(x)

e

u

2

(x)

são linearmente independentes.

Usando o teorema2.2 pode-se obter a solução geral para a equação (2.6) no aso

omplexo. Como

g(x) = A cos

 p|∆|

2

x



+ B sen

 p|∆|

2

x



deduz-se que

u(x) = e

−

b

2

x

"

A cos

 p|∆|

2

x



+ B sen

 p|∆|

2

x

#

.

Mas de (2.7) temos que:

λ =

−b ±

√

b

2

_{− 4c}

2

, b

2

− 4c = ∆ < 0

∴

_{λ = −}

b

2

|{z}

α

±i

p

|∆|

2

| {z }

β

⇒ α = −

b

₂

e

β =

p

|∆

2

.

Com isso, es reve-se a solução geralda equação (2.6):

u(x) = e

αx

[A cos βx + B sen βx]

Isso on luia prova doTeorema 2.3

Observação 2.1 No Teorema 2.3, item i), as funções

f

1

= e

λ

1

x

e

f

2

= e

λ

2

x

LI. De fato,

W(f

1

, f

2

) =













f

1

f

2

f

′

1

f

2

′













=













e

λ

1

x

_e

λ

2

x

λ

1

e

λ

1

x

λ

2

e

λ

2

x













= λ

2

e

x(λ

1

+λ

2

)

− λ

1

e

x(λ

1

+λ

2

)

= (λ

2

− λ

1

)e

x(λ

1

+λ

2

)

6= 0,

∀x ∈ R

pois

λ

2

6= λ

1

, porhipótese.

Para oitem item ii) temos que

f

1

= e

λ

1

x

e

f

2

= xe

λ

1

x

também são LI, pois

W(f

1

, f

2

) =













f

1

f

2

f

′

1

f

2

′













=













e

λ

1

x

xe

λ

1

x

λ

1

e

λ

1

x

(1 + xλ

1

)e

λ

1

x













= (1 + xλ

1

)e

2λ

1

x

− xλ

1

e

2λ

1

x

= e

2λ

1

x

_{+ xλ}

1

e

2λ

1

x

− xλ

1

e

2λ

1

x

= e

2λ

1

x

6= 0,

∀x ∈ R

Analogamente, para o item iii),temos

f

1

= e

αx

_{cos βx}

e

f

2

= e

αx

_{sen βx}

, portanto

W(f

1

, f

2

) =













f

1

f

2

f

′

1

f

2

′













=













e

αx

_{cos βx}

_e

αx

_{sen βx}

e

αx

_{(α cos βx − sen βx) e}

αx

_{(α sen βx + cos βx)}













= e

2αx

_{cos βx(α sen βx + cos βx) − e}

2αx

_{sen βx(α cos βx − sen βx)}

= e

2αx

[α cos βx sen βx + cos

2

_{βx − α cos βx sen βx + sen}

2

βx]

= e

2αx

[cos

2

βx + sen

2

βx]

= e

2αx

_{6= 0,}

_{∀x ∈ R}

logo,

f

1

e

f

2

são LI.

2.3 Casos Espe iais da Equação (2.6)

Na equação (2.6) onsideremosos seguintes asos espe iais:

a)

b = c = 0

. Com isso sua equação ara terísti aé

aqual tem úni a solução:

λ = 0

.

Pelo Teorema2.3, a soluçãogeral da equação (2.6)é

u(x) = A + Bx

(2.24)

b)

b = 0

e

c > 0

. Nesse aso, a equação ara terísti aé

λ

2

+ c = 0

ujasraízes são omplexas edistintas:

λ

1

= i

√

c

e

λ

2

= −i

√

c

Portanto, a soluçãogeral daequação, pelo Teorema2.3, item iii),édada por

u(x) = A cos(

√

cx) + B sen(

√

cx)

(2.25)

) Para

b = 0

e

c < 0

,a equação ara terísti aé

λ

2

+ c = 0

ujasraízes são reais e distintas pois

−c > 0

:

λ

1

=

√

−c

e

λ

2

= −

√

−c

Nesse aso, peloTeorema2.3, asolução geral daequação é

u(x) = Ae

√

−c x

_{+ Be}

−

√

−c x

Convergên ia Uniforme e Série de

Fourier

3.1 Convergên ia Uniforme

Denição 3.1 (Convergên ia Pontual) Uma seqüên ia de funções

(f

n

(x))

onverge para a função

f (x)

no ponto

x ∈ B

,

B ⊆ R

, se para todo

ε > 0

, existe

n

0

(ε, x) ∈ N

tal que

n > n

0

⇒ |f

n

(x) − f(x)| < ε.

(3.1)

Observação 3.1 Ovalorde

n

0

,depende,emgeral, doponto

x

(daíonome onvergên ia pontual) e de

ε

para garantir que aseqüên ia

f

n

onvirja no ponto

x

. Agora, quando

n

0

sódepende de

ε

,diz-se que

f

n

onverge uniformemente,poisnesse aso, para um dado

ε

,

n

0

é o mesmopara todo

x

dointervalo.

Denição 3.2 (Convergên ia Uniforme) Diz-sequeaseqüên iadefunções

(f

n

)

on-verge uniformemente para

f

num intervalo

B

se, para todo

ε > 0

, existir um número natural

n

0

(que só depende de

ε

) talque, para todo

x ∈ B

,

Em ambosos asos de onvergên ia, indi a-se:

f (x) = lim

n→+∞

f

n

(x),

x ∈ B.

Interpretação Grá a

Dadeniçãode onvergên iauniformenumintervalo

B

tem-sequeparatodo

x ∈ B

existe

n

0

= n

0

(ε)

talque

n > n

0

⇒ f(x) − ε < f

n

(x) < f (x) + ε.

Com isso, para que

f

n

onvirja uniformemente em

B

, o grá o de

f

n

(x)

quando tomamos

n > n

0

(ε)

, deve permane er dentro da faixa determinada pelos grá os das funções:

y = f (x) − ε

e

y = f (x) + ε

, om

x ∈ B

.

ε

ε

B

y = f (x) − ε

y = f (x) + ε

f (x)

f

n

(x)

Exemplo 3.1 Considere a seqüên ia de funções

f

n

(x) = x

n

,

n > 1

e seja

f (x) = 0

para

x ∈ [

−1

2

,

1

2

]

. Mostrar que aseqüên ia

(f

n

)

onverge uniformementepara

f

em

[

−1

2

,

1

2

]

. Objetivo: Queremos mostrar quedado

ε > 0

existe

n

0

= n

0

(ε)

tal que

n > n

0

⇒ |x

n

− 0| < ε.

Como

|x| 6

1

2

, então

|x|

n

₆

 1

2



n

,para todo

x ∈ [

−1

2

,

1

2

]

.

Assim,paraque

|x

n

_{| < ε}

,

∀x ∈ [

−1

2

,

1

2

]

,bastatomar

 1

2



n

< ε

,ouseja,

n >

− ln ε

ln 2

. Es olhendo-se

n

0

∈ N

de tal formaque

n

0

>

− ln ε

ln 2

resulta que

n > n

0

⇒ |x

n

| < ε

∴

n > n

0

⇒ |x

n

− 0| < ε.

Observe que a es olhade

n

0

depende apenas de

ε

e não depende de

x

. Portanto, a seqüên ia

f

n

(x) = x

n

onverge uniformemente para

f (x) = 0

em

[

−1

2

,

1

2

]

.

Noque segue,enun iamos, sem prova,vários resultados importantes sobre

onver-gên ia uniformeque serão utilizadosposteriormente.

Teorema 3.1 Seja

f

n

uma seqüên ia onvergente de funções e seja

f : B −→ R

dada por

f (x) = lim

n→+∞

f

n

(x)

Se

f

n

onverge uniformemente a

f

em

B

e se ada

f

n

for ontínua em

x

0

∈ B

então

f

também será ontínua em

x

0

.

Teorema 3.2 Seja

f : [a, b] −→ R

dada por

f (x) = lim

n→+∞

f

n

(x)

onde ada

f

n

ésuposta ontínuaem

[a, b]

. Nesta ondições,se

f

n

onvergiruniformemente a

f

em

[a, b]

,então

Z

b

a

f (x)dx = lim

n→+∞

Z

b

a

f

n

(x)dx

ouseja,

Z

b

a



lim

n→+∞

f

n

(x)



dx = lim

n→+∞

Z

b

a

f

n

(x)dx.

Teorema 3.3 Seja

f

n

uma seqüên ia de funções de lasse

C

1

nointervalo

I

e sejam

f

e

g

funçõesde

I

em

R

dadas por:

f (x) = lim

n→+∞

f

n

(x)

e

g(x) = lim

n→+∞

f

′

n

(x).

Nessas ondições, se a seqüên ia de funções

f

′

n

onvergir uniformementea

g

em

I

então, para todo

x ∈ I

,

f

′

_{(x) = g(x)}

ouseja,



lim

n→+∞

f

n

(x)



′

= lim

n→+∞

f

′

n

(x).

Note que o Teorema 3.3 exige que

f

′

n

onvirja uniformemente para

g

em

I

, mas não exige que

f

n

onvirja uniformementepara

f

.

Teorema 3.4 (Critério

M

de Weierstrass) Seja

+∞

X

k=0

f

k

uma sériede funçõese

supo-nhamos que exista uma série numéri a

+∞

X

k=0

M

k

tal que, para todo

x ∈ B

e para todo natural

k

,

|f

k

(x)| 6 M

k

.

Nestas ondições, se a série

+∞

X

k=0

M

k

for onvergente, então a série

+∞

X

k=0

f

k

onvirgirá uni-formemente, em

B

, àfunção

s(x) =

+∞

X

k=0

f

k

(x)

. Apli andoo Teorema 3.4: Exemplo 3.2

Verique quea série

+∞

X

k=1

1

x

2

_{+ k}

2

onverge uniformemente, em

R

,à função

s(x) =

+∞

X

k=1

1

x

2

_{+ k}

2

.

Note quepara qualquer

x ∈ R

−1

k

2

6

1

x

2

_{+ k}

2

6

1

k

2

Então,









1

x

2

_{+ k}

2









6

1

k

2

. Como,

+∞

X

k=1

1

k

2

é onvergente, peloTeorema3.4, segue que asérie

+∞

X

k=1

1

x

2

_{+ k}

2

on-verge uniformemente, em

R

, para afunção

s(x) =

+∞

X

k=1

1

x

2

_{+ k}

2

.

Teorema 3.5 Seja

s : B −→ R

dada por

s(x) =

+∞

X

k=0

f

k

(x).

Se a série de funções

+∞

X

k=0

f

k

onvergir uniformemente para

s

, em

B

, e se ada

f

k

for ontínuaem

x

0

∈ B

,então

s

também será ontínua em

x

0

.

Teorema 3.6 (Integração Termo a Termo) Seja

s = s(x)

,

x ∈ [a, b]

, dada por:

s(x) =

+∞

X

k=0

f

k

(x).

Se ada

f

k

for ontínuaem

[a, b]

ese a série onvergir uniformementea

s

em

[a, b]

, então

Z

b

a

s(x)dx =

+∞

X

k=0

Z

b

a

f

k

(x)dx,

ouseja,

Z

b

a

"

_+∞

X

k=0

f

k

(x)

#

dx =

+∞

X

k=0

Z

b

a

f

k

(x)dx.

Teorema 3.7 (Derivação Termo a Termo) Seja

s : I −→ R

,

I

intervalo,dada por

s(x) =

+∞

X

k=0

Se ada

f

k

for de lasse

C

1

em

I

e sea série

+∞

X

k=0

f

′

k

onvergir uniformementeem

I

, então,

s

′

_{(x) =}

+∞

X

k=0

f

′

k

(x)

,para todo

x ∈ I

, ouainda,

+∞

X

k=0

f

k

(x)

!

′

=

+∞

X

k=0

f

′

k

(x).

Exemplo 3.3 Seja

s(x) =

+∞

X

k=1

sen kx

k

3

, a) Qual odomínio de

s(x)

? b) Justique:

s

′

_{(x) =}

+∞

X

k=1

cos kx

k

2

,

para todo

x ∈ R

. Solução: a) Tem-se que

−1 6 sen kx 6 1 ⇒

−1

k

3

6

sen kx

k

3

6

1

k

3

,

para todo

k > 1

. Logo,









sen kx

k

3









6

1

k

3

.

Portanto, pelo Teorema 3.4,

s(x)

onverge uniformemente. Então, temos que sua onvergên ia independe dos valoresde

x

, ouseja, odomíniode

s(x)

é

R

.

b) Noteque

sen kx

k

3

é de lasse

C

1

e que

+∞

X

k=1

 sen kx

k

3



′

=

+∞

X

k=1

cos kx

k

2

.

Contudo, para todo

x ∈ R

e

k > 1









cos kx

k

2









6

1

k

2

Agora, pelo Teorema 3.4 (Critério

M

de Weierstrass), segue que a série

+∞

X

k=1

cos kx

k

2

Termo),tem-se

+∞

X

k=1

sen kx

k

3

!

′

=

+∞

X

k=1

 sen kx

k

3



′

,

ouseja,

s

′

_{(x) =}

+∞

X

k=1

cos kx

k

2

.

3.2 Séries de Fourier

Denição 3.3 (Série Trigonométri a) Chama-se Série Trigonométri a,uma série de

funçõesda forma:

α +

∞

X

k=1

(a

k

cos kx + b

k

sen kx)

(3.3) sendo

α

,

a

k

,

b

k

,

k = 1, 2, . . .

onstantes.

Denição 3.4 (Série de Fourier) Seja

u : [−π, π] −→ R

integrávelem

[−π, π]

. Asérie de Fourier de

u

é a série (2.1) onde,

α =

a

0

2

,

(3.4)

a

k

=

1

π

Z

π

−π

u(x) cos kxdx,

k = 0, 1, 2, . . .

(3.5) e

b

k

=

1

π

Z

π

−π

u(x) sen kxdx,

k = 1, 2, . . .

(3.6)

Exemplo 3.4 En ontrar asérie de Fourierda função

u(x) = |x|

,

x ∈ [−π, π]

. Solução: Determinando

a

k

:

a

k

=

1

π

Z

π

−π

|x| cos(kx)dx

=

1

π

Z

0

−π

|x| cos(kx)dx +

Z

π

0

|x| cos(kx)dx



=

1

π



−

Z

0

−π

x cos(kx)dx +

Z

π

0

x cos(kx)dx



=

1

π

Z

π

0

x cos(kx)dx +

Z

π

0

x cos(kx)dx



=

2

π

Z

π

0

x cos(kx)dx

Mas,para

k 6= 0

,

Z

x cos(kx)dx = x

sen(kx)

k

−

Z sen(kx)

k

dx

=

x sen(kx)

k

−

1

k

 − cos(kx)

k



=

x sen(kx)

k

+

cos(kx)

k

2

Com isso,

Z

π

0

x cos(kx)dx =

 x sen(kx)

k

−

cos(kx)

k

2

 







π

0

=

π sen(kπ)

k

+

cos(kπ)

k

2

−

 0 · sen(k · 0)

k

+

cos(k · 0)

k

2



=

cos(kπ)

k

2

−

1

k

2

,

k 6= 0

Logo,

a

k

=

2

π

 cos(kπ)

k

2

−

1

k

2



a

k

=

2

k

2

_π

(cos(kπ) − 1)

para

k = 1, 2, 3, . . .

Para

k = 0

, tem-se:

a

0

=

1

π

Z

π

−π

|x| cos(0x)dx

a

0

=

1

π

Z

π

−π

|x|dx

a

0

= π

Determinando

b

k

:

b

k

=

1

π

Z

π

−π

|x| sen(kx)dx

=

1

π

Z

0

−π

(−x) sen(kx)dx +

Z

π

0

x sen(kx)dx



=

1

π



−

Z

0

−π

x sen(kx) +

Z

π

0

x sen(kx)dx



Fazendo

x = −t

na 1 a integral:

=

1

π



−

Z

0

π

(−t) sen(−kt)(−dt) +

Z

π

0

x sen(kx)dx



=

1

π



−

Z

π

0

t sen(kt)dt +

Z

π

0

x sen(kx)dx



= 0.

Então, a série

π

2

−

4

π



cos x +

1

3

2

cos 3x +

1

5

2

cos 5x + · · ·



é asérie de Fourierde

u(x) = |x|

.

Teorema 3.8 (Riemann) Seja

u

periódi a em

R

, om período

2π

, ontínua porpartes em

[−π, π]

. Então, em todoponto

x ∈ R

onde

u

tem derivadas lateraisnitas, aSérie de Fourier de

u

onverge para

1

2

[u(x + 0) + u(x − 0)] ,

(3.7) onde

u(x ± 0) = lim

h→0

u(x ± h).

(3.8)

Exemplo 3.5 Seja

f

uma função periódi a, om período

2π

e, em

[−π, π]

,

f

é ontínua por partese denida omo:

f (x) =















−1

se

− π < x < 0

1

se

0 6 x 6 π

Cal ulara série de Fourierde

f (x)

. Grá o de

f (x)

em

[−π, π]

:

1

−1

π

−π

Vamos al ularos oe ientes

a

k

: Para

k = 0

:

a

0

=

1

π

Z

π

−π

f (x)dx

=

1

π

Z

0

−π

(−1)dx +

Z

π

0

(1)dx



=

1

π

[−(π) + π]

= 0.

Para

k 6= 0

:

a

k

=

1

π

Z

0

−π

(−1) cos(kx)dx +

Z

π

0

cos(kx)dx



=

1

π



−

Z

0

−π

cos(kx)dx +

Z

π

0

cos(kx)dx



=

1

π



−

Z

0

π

cos(kt)(−dt) +

Z

π

0

cos(kx)dx



=

1

π

[0]

= 0

Cal ulando os oe ientes

b

k

:

b

k

=

1

π

Z

0

−π

(−1) sen(kx)dx +

Z

π

0

+1 sen(kx)dx



=

1

π



−

Z

0

π

− sen(kt)(−dt) +

Z

π

0

sen(kx)dx



=

1

π



2

Z

π

0

sen(kx)dx



=

2

π

 − cos(kx)

k

 







π

0

=

−2

kπ

[cos(kπ) − 1]

=

−2

kπ



(−1)

k

− 1



Então, a série de Fourierde

f (x)

é

∞

X

k=1

 2

kπ

1 − (−1)

k

sen(kx)



=

2

π

∞

X

n=0

2

2n + 1

sen [(2n + 1)x]

=

4

π

∞

X

n=0

sen[(2n + 1)x]

2n + 1

Vejamos agora para que função esta série onverge. Em

x = 0

os limites laterais são:

lim

h→0

f (0 + h) = +1

lim

h→0

f (0 − h) = −1

Logo, pelo Teorema3.8,no ponto

x = 0

asérie de Fourier onverge para

1

2

[+1 − 1] = 0

Analogamente, nos pontos

x

k

= kπ.

Nos demais pontos

x

onde

f

é ontínua, a série onverge para

f (x)

. Grá o dafunção

f (x)

˜

para a qual onverge a série de Fourier de

f

.

1

−1

b

b

b

b

Corolário 3.1 Se no Teorema de Riemann, a hipótese de que

u

é ontínua por partes em

[−π, π]

for substituída pela hipótese de que

u

é derivável em ada parte de

(−π, π)

, então

u

é ontínuaem

(−π, π)

. Nesse aso,asérie deFourier onvergepara

u(x)

em ada ponto de

(−π, π)

.

Exemplo 3.6 Seja

f (x) = x

,

x ∈ (−π, π)

e periódi a de período

2π

. Cal ulara série de Fourier de

f

.

π

2π

3π

−π

−2π

−3π

b

b

π

−π

Os oe ientes

a

k

e

b

k

são dados por (3.4),(3.5) e (3.6). No entanto,

a

k

= 0

,

k = 0, 1, 2, 3 . . .

, pois

f (x) cos(kx)

é uma função ímpar.

Para

b

k

tem-se

b

k

=

1

π

Z

π

−π

x sen(kx)dx

=

1

π



x



−

cos(kx)

k



−

Z

−

cos(kx)

k

dx



π

pi

=

1

π



−2π

cos(kπ)

k



= −

2

_k

(−1)

k

.

Logo, a Sériede Fourier dafunção

f (x)

é

∞

X

k=1

2

k

(−1)

k+1

_sen(kx),

_{k = 1, 2, 3, . . .}

Para todo

x ∈ (−π, π)

,

f (x)

éderivável,e om isso ontínua, então peloCorolário 3.1, doTeorema de Riemann, a Série de Fourier da função

f (x)

onverge para

f (x) = x

em ada ponto de

(−π, π)

. Nos pontos

x

n

= (2n + 1)π

,

n ∈ Z

,a série onverge para zero omoseguedoTeorema(3.8),relações(3.7)e(3.8),pois

f (x

n

− 0) = π

e

f (x

n

+ 0) = −π

.

π

2π

3π

−π

−2π

−3π

b

b

b

b

b

π

−π

3.3 Funções Periódi as de Período 2L

Denição 3.5 No aso de uma função

f

de período

2L

,

L > 0

, tem-se que sua série de Fourier édada por:

a

0

2

+

∞

X

k=1

a

k

cos

kπx

_L

+ b

k

sen

kπx

_L

(3.9) om

a

k

=

1

L

Z

L

−L

f (x) cos

kπx

L

dx,

k = 0, 1, 2, . . .

(3.10) e

b

k

=

1

L

Z

L

−L

f (x) sen

kπx

L

dx,

k = 0, 1, 2, . . .

(3.11)

Importante: Ao onsiderar-se funções periódi as de período

2L

ao invés de período

2π

, não se perde nenhuma das propriedades, teoremas e oroláriosanteriores,poisessa

extensão de funções de período

2π

para período

2L

édada pela função

s =

πx

L

o qualtransformao intervalo

−L < x < +L

em

−π < s < +π

.

Exemplo 3.7 Seja

f

uma função periódi a de período

2L

. Mostre que

a

k

= 0

se

f

é ímpar e

b

k

= 0

se

f

épar. Cal ulando

a

k

:

a

k

=

1

L

Z

L

−L

f (x) cos

kπx

L

dx

a

k

=

1

L

Z

0

−L

f (x) cos

kπx

_L

dx +

Z

L

0

f (x) cos

kπx

_L

dx



Fazendo

x = −t

e sendo

f

uma função ímpar,tem-se:

Z

0

−L

f (x) cos

kπx

L

dx =

Z

0

L

f (−t) cos

kπ

_(−t)

L

(−dt)

= −

Z

L

0

f (t) cos

kπt

L

dt

Substituindo esse resultado naexpressão de

a

k

obtêm-se

a

k

= 0

. Para

b

k

tem-se:

b

k

=

1

L

Z

L

−L

f (x) sen

kπx

L

dx

b

k

=

1

L

Z

0

−L

f (x) sen

kπx

L

dx +

Z

L

0

f (x) sen

kπx

L

dx



Fazendo

x = −t

e sendo agora

f

uma função par, tem-se:

Z

0

−L

f (x) sen

kπx

L

dx =

Z

0

L

f (−t) sen

kπ

(−t)

L

(−dt)

= −

Z

L

0

f (t) sen

kπt

L

dt

Substituindo esse resultado naexpressão de

b

k

,obtêm-se que

b

k

= 0

.

3.4 Extensão Par e Ímpar de Uma Função

É omumem ertas apli açõesser ne essário representar em Sériede Fourieruma

função ontínua por partes num intervalo da forma

(0, L)

. Tal problema  a resolvido quando obtêm-se uma representação em Séries de Fourier de uma função

f

˜

periódi a de período

2L

, ujarestriçãoaointervalo

(0, L)

éiguala

f

. Afunção

f

˜

denomina-seextensão periódi a de

f

.

Quando sedeseja obteruma representação de Fourierde

f

é onvenientefazersua extensão par ou ímpar, tendo-se em vista a simpli ação da Série de Fourier para essas

Denição 3.6 (Extensão Par) A extensão par de

f (x)

é a função par

f

˜

P

(x)

denida por:

˜

f

P

(x) =











































































f (x),

0 < x < L

f (−x),

−L < x < 0

f (0 + 0),

para

x = 0

f (L − 0),

para

x = L

ou

x = −L

f (x − 2L),

para

x > L

f (x + 2L),

para

x < −L

Denição 3.7 (Extensão Ímpar) A extensão ímpar de

f (x)

é a função

f

˜

I

(x)

denida daseguinteforma:

˜

f

I

(x) =



























































































f (x),

0 < x < L

−f(−x),

−L < x < 0

−f(0 + 0),

para

x = 0

f (L − 0),

para

x = L

−f(L − 0),

para

x = −L

f (x − 2L),

para

x > L

f (x + 2L),

para

x < −L

Exemplo 3.8 Seja

f (x) = x

,

x ∈ [0, L]

. En ontre umaextensão par paraa função

f (x)

. Considere a extensão par de

f (x)

dada pela função

f

˜

p

(x) = |x|

,

x ∈ [−L, L]

e periódi a de período

2L

.

L

L

−L

Usando as fórmulas (3.10) e(3.11) obtemos:

a

k

=

2L

k

2

_π

2

(cos(kπ) − 1)

e

a

0

= L.

e

b

k

= 0

Agora, omo

f (x)

˜

é ontínua, tem-se pelo Corolário 3.1 que a série de Fourier onverge para

f

˜

p

(x)

, em ada

x

. Portanto,

˜

f

p

(x) =

L

2

+

∞

X

k=1

2L

k

2

_π

2

(cos(kπ) − 1)

Restringindo odomínio dasérie para

x ∈ [0, L]

, e omo

˜

f

p

(x) = f (x),

x ∈ [0, L]

A Equação da Onda

4.1 Equação Diferen ial Para Pequenas Os ilações de

Uma Corda

Chama-se de ordaum ono e exível.

Adotandoumsistemade oordenadas artesianas,supomosque,emestadode

equi-líbrio,a orda oin ida omoeixodos

x

,tendosuasextremidadesxadasnaorigem

(0, 0)

e no ponto

(0, L)

,

L > 0

. Consideraremos aqui apenas o estudo de pequenas os ilações transversaisda orda,ouseja, adapontoda ordasedeslo aapenasperpendi ularmente

ao eixo

x

, no plano

xy

. No instante

t

, seja

u(x, t)

a ordenada do ponto da orda uja abs issa é

x

. Portanto, a função

u(x, t)

representa o deslo amentoou amplitude de ada ponto da orda noinstante

t

, a partir de sua posiçãode equilíbrio.

Para a realizaçãodas onsideraçõesposteriores vamos admitirasseguintes

hipóte-ses.

1) A função

u(x, t)

,

x ∈ [0, L]

,

t > 0

, é ontinua e tem derivadas primeiras e segundas ontínuas.

2) As amplitudes

u(x, t)

das os ilações e suas derivadas são supostas pequenas. Seus produtos e seus quadrados não serão onsiderados nos ál ulos omparados om a

unidade.

Noquesegue,oobjetivoseráodeobterumaequaçãosatisfeitapelafunção

u(x, t)

. Para um determinado instante

t

xo, suponhamos que o perl da orda seja o representado naFigura 4.1 abaixo,

x

u

x

1

b

x

2

b

A

1

A

2

T

1

T

2

0

L

Figura 4.1:

Do urso de ál ulosabemos que o omprimento

s

do ar o

A

1

A

2

⌢

, no instante xo

t

, é dado pelaseguinteintegral:

s =

Z

x

2

x

1

q

1 +

du

dx

2

dx

Mas, omo onsideramos a hipótese (2), temos que

du

dx

2

é muito pequeno, logo o

om-primento doar o pode ser es rito daseguinteforma:

s =

Z

x

2

x

1

√

1dx =

Z

x

2

x

1

dx = x

2

− x

1

.

Pode-semostrar,também,queatensão

T

~

na ordapode sertomadaindependente de

x

, ou seja, pode ser onsiderada igual a

T

0

. Com isso, temos que asforças que atuam noar o

A

1

A

2

⌢

i) astensões nos pontos

A

1

e

A

2

que são tangen iais à orda. ii) forças externas,se existirem.

iii) forças de inér ia.

Devido a onsideração feita no iní io, a qual diz respeito ao movimento de ada

pontoda ordaserrealizadonadireçãoverti al,istoé,perpendi ularaoeixodos

x

, junta-mente om ofatodasforças externasede inér iateremdireçõestambémperpendi ulares

aomesmo eixo, on lui-se quearesultantedas forças, nadireção

x

,no ar o

A

1

A

2

⌢

é nula,

ouseja, o ar o não tem a eleração nadireção

x

.

Mostrar-se-á agoraque

T

~

nãodependede

x

,ouseja,

T

~

poderáser identi adapor

~

T

0

para todo

x

e

t

. Para isso, sejam

α

e

β

os ângulos agudos que as direções de

T

~

1

e

T

~

2

formam om oeixo dos

x

respe tivamente, noinstante

t

:

x

u

x

1

x

2

T

1

T

2

T

1

x

T

1

u

T

2

x

T

2

u

b

b

β

β

α

α

0

L

Figura 4.2: Sendo

T

~

1

u

e

T

~

2

u

as omponentes na direção perpendi ular ao eixo

x

das tensões

~

T

1

e

T

~

2

respe tivamente, e

T

~

1

x

e

T

~

2

x

as omponentes na direção

x

das tensões

T

~

1

e

T

~

2

respe tivamente, temos:

Sóque, pelo fatode onsiderarmos pequenas os ilações, temos que:

sen

2

α + cos

2

_{α = 1 ⇒}

sen

2

_α

cos

2

_α

+

cos

2

_α

cos

2

_α

=

1

cos

2

_α

(α 6=

π

2

+ kπ, k ∈ Z)

⇒ tan

2

α + 1 =

1

cos

2

_α

⇒ cos

2

α =

1

tan

2

_{α + 1}

⇒ cos α =

√

1

tan

2

_{α + 1}

,

(0 < α <

π

2

).

Mas,

tan α =

du

dx

, então:

cos α =

q

1

du

dx

2

+ 1

,

pela hipótese(2),

du

dx

2

≈ 0

, logo:

cos α ≈

√

1

0 + 1

≈ 1.

Com ra io ínio análogopara oângulo

β

, tem-seque:

T

1

cos α − T

2

cos β ∼

= 0

T

1

− T

2

∼

= 0

T

1

∼

= T

2

Pelo fato dos pontos

A

1

e

A

2

serem genéri os, temos que

T

não depende de

x

e o identi aremos por

T

0

paratodo

x

e

t

.

Deduziremos a equação diferen ial de pequenas os ilações de uma orda om a

apli açãoda2 a

LeideNewton,segundo aqual,amassadosistemavezes asuaa eleração

éigualàresultantedetodasasforçasneleapli adas. Devidoàs ondiçõesimpostas,temos

que as forças responsáveis pelo movimento são, as omponentes das tensões na direção

dos deslo amentos

u

, as forças externas e as forças de inér ia. Cal ulando essas forças, obtemos:

a) Resultante das tensões na direção

u

:

sendo

sen α = tan α cos α =

tan α

₁

cos α

=

_√

tan α

sec

2

_α

=

tan α

√

1 + tan

2

_α

,

omo

tan α =

∂u

∂x

, temos:

sen α =

∂u

∂α

q

1 +

∂u

∂α

2

,

epelahipótese (2):

sen α ≈

∂x

∂α

.

Usando ra io ínio análogo para oângulo

β

,tem-se:

sen α =

 ∂u

∂x



x=x

1

e

sen β =

 ∂u

∂x



x=x

2

.

Então:

F

r

u

= T

0

"

∂u

∂x



x=x

2

−

 ∂u

_∂x



x=x

1

#

T.F.C

= T

0

Z

x

2

x

1

∂

2

_u

∂x

2

dx

b) Forças externas: representando-se por

p(x, t)

adistribuição das forças externaspor unidade de omprimentoatuando sobre a orda na direção

u

. Daí, temosque a força

F

ext

que atua sobre oar o

A

1

A

2

⌢

édado por:

F

ext

=

Z

x

2

x

1

p(x, t)dx

) Forças de inér ia: seja

ρ(x)

a densidade de massa da orda. A massa da orda no ar o

A

1

A

2

⌢

_{≈ x}

1

x

2

é

ρ(x)∆x

. Com isso a força de inér ia

F

I

sobre ada ponto desse segmentoé dada por:

F

I

= ρ(x)∆x

∂

2

_u

∂t

2

.

Logo, aforça resultantede inér iasobre o ar o

A

1

A

2

⌢

será:

F

r

I

=

Z

x

2

x

1

ρ(x)

∂

2

_u

∂t

2

dx