Caracterização de Circuitos Planares de Microondas pelo Método Iterativo das Ondas

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO

Caracterização de Circuitos Planares de

Micro-ondas pelo Método Iterativo das Ondas

Valdemir Praxedes da Silva Neto

Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção Co-orientadora: Profª. Dra. Nathalie Raveu

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Computação da UFRN (área de concentração: Engenharia Elétrica) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica e Computação.

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UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede Catalogação da Publicação na Fonte

Silva Neto, Valdemir Praxedes da.

Caracterização de circuitos planares de micro-ondas pelo método iterativo das ondas. / Valdemir Praxedes da Silva Neto. – Natal, RN, 2013.

85 f.: il.

Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção. Co-orientadora: Profa. Dra. Nathalie Raveu.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação Engenharia Elétrica e da Computação.

1. Ondas eletromagnéticas - Dissertação. 2. WCIP - Dissertação. 3. Antenas de microfita - Dissertação. 4. Filtros planares – Dissertação. 5. Superfícies seletivas de frequência – Dissertação. 6. FSS – Dissertação. 7. Circuitos de micro-ondas – Dissertação. I. D’Assunção, Adaildo Gomes. II. Raveu, Nathalie. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título.

RN/UF/BCZM CDU 621.372

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“Não nos perguntamos qual o propósito útil dos pássaros cantarem, pois o canto é o seu prazer, uma vez que foram criados para cantar. Similarmente, não devemos perguntar por que a mente humana se inquieta com a extensão dos segredos dos céus… A diversidade do fenômeno da Natureza é tão vasta e os tesouros escondidos nos céus tão ricos, precisamente para que a mente humana nunca tenha falta de alimento."

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À minha família que sempre foi o pilar e alicerce de toda minha vida e acima de tudo a Deus, que me deu vida, sabedoria, saúde e a esta família que foram os agentes que proporcionaram alcançar mais esse objetivo.

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Agradecimentos

Agradeço a Deus, que me deu sabedoria e saúde, força nos momentos de fraqueza, coragem nos momentos difíceis e determinação nos momentos incertos, para alcançar este objetivo tão esperado por mim e todos ao meu redor.

Aos meus pais, José Valdemir e Francisca Helena, e à minha irmã, Fabíola, meus agradecimentos pelo amor, confiança depositada, incentivo em nunca desistir. Vocês são os principais motivos de ter persistido até o fim.

Aos meus tios, Otacílio e Amélia, que me acolheram durante todos esses anos aqui em Natal, meus sinceros agradecimentos.

A todos que contribuíram para a realização deste sonho, em especial, meus avós e tios;

Ao orientador, amigo e professor, Adaildo Gomes D’Assunção, pela dedicação, compreensão e amizade comprovada no transcorrer deste trabalho, sempre me apoiando e incentivando. Foi um modelo seguido durante toda minha jornada acadêmica e os ensinamentos com ele obtidos serão levados por toda vida.

À co-orientadora, Nathalie Raveu, por todo apoio, incentivo e ensinamentos que foram indispensáveis para a consolidação desse trabalho.

Às professoras Cristhianne de Fátima Linhas de Vasconcelos e Maria Rosa Medeiros Lins de Albuquerque, pelos ensinamentos, otimismo, disposição, solidariedade, incentivo e confiança depositados.

Aos demais mestres, colegas e funcionários da UFRN.

Ao CNPq e à CAPES, pelo suporte financeiro concedido para a realização deste trabalho.

(7)

Resumo

Os circuitos planares são estruturas que atraem cada vez mais a atenção dos pesquisadores, pelo bom desempenho e pela capacidade de integração com outros dispositivos, na prototipagem de sistemas de transmissão e recepção de sinais na faixa de micro-ondas. Neste contexto, o estudo e o desenvolvimento de novas técnicas de análise desses dispositivos têm contribuído de forma significativa na concepção de estruturas com desempenhos excelentes e alto grau de confiabilidade. Neste trabalho, o método de onda completa baseado no conceito de ondas eletromagnéticas e no princípio da reflexão e transmissão de ondas em uma interface, Wave Concept Iterative Procedure (WCIP), ou método iterativo das ondas é descrito como uma ferramenta com alto grau de precisão no estudo de circuitos planares de micro-ondas. O método proposto é aplicado na caracterização de filtros planares, antenas de microfita e superfícies seletivas de frequência. Protótipos dos dispositivos foram construídos e os resultados experimentais comprovaram o modelo matemático proposto. Os resultados obtidos também foram comparados com os resultados simulados pelo Ansoft HFSS, tendo sido observada uma boa concordância entre eles.

Palavras-chave: Ondas eletromagnéticas, WCIP, antenas de microfita, filtros planares,

superfícies seletivas de frequência, FSS, circuitos de micro-ondas.

(8)

Abstract

The planar circuits are structures that increasingly attracting the attention of researchers, due the good performance and capacity to integrate with other devices, in the prototyping of systems for transmitting and receiving signals in the microwave range. In this context, the study and development of new techniques for analysis of these devices have significantly contributed in the design of structures with excellent performance and high reliability. In this work, the full-wave method based on the concept of electromagnetic waves and the principle of reflection and transmission of waves at an interface, Wave

Concept Iterative Procedure (WCIP), or iterative method of waves is described as a tool

with high precision study microwave planar circuits. The proposed method is applied to the characterization of planar filters, microstrip antennas and frequency selective surfaces. Prototype devices were built and the experimental results confirmed the proposed mathematical model. The results were also compared with simulated results by Ansoft HFSS, observing a good agreement between them.

Keywords: Electromagnetic waves, WCIP, microstrip antennas, planar filters, frequency

(9)

Sumário

i

Lista de Figuras

v

Lista de Tabelas

ix

Lista de Símbolos e Abreviaturas

x

Capítulo 1 Introdução

1

Capítulo 2 Técnicas de Análise de Circuitos Planares de

Microfita

5

2.1 Introdução 5

2.2 Método do Circuito Equivalente 7

2.3 Método da Imitância 7

2.4 Método dos Momentos e Método de Garlekin 8

2.5 Método dos Elementos Finitos 9

2.6 Método FDTD 10

2.7 Método Iterativo das Ondas (WCIP) 11

2.8 Conclusão 12

(10)

(WCIP)

3.1 Introdução 13

3.2 Princípios do Método Iterativo

14 3.3 Os Diferentes Operadores

16 3.4 Determinação do Operador de Espalhamento no Domínio

Espacial

3.4.1 Caso de Interface com Condutor Perfeito

3.4.2 Caso de Interface com Dielétricos de Permissividades Diferentes

3.4.3 Caso de Interface com Dielétricos de Mesma Permissividade

3.4.4 Caso com Fontes: Fonte Unilateral no Meio 2 3.4.5 Caso com Fontes: Fonte Unilateral no Meio 1 3.4.6 Caso com Fontes: Fonte Bilateral

3.4.7 Caso de Pixel em Região de Carga

17 19 19 20 21 22 22 24 3.5 Determinação do Operador de Reflexão no Domínio Modal 25

3.6 O Processo Iterativo 27

3.7 Relação entre os Domínios Espacial, Espectral e Modal 29

3.8 Conclusão 30

Capítulo 4 Análise de Antenas de Microfita pelo Método WCIP

32

4.1 Introdução 32

4.2 Resultados Numéricos

4.2.1 Antena de Microfita com Patch Retangular Impresso em Substrato Cerâmico

4.2.2 Antena de Microfita com Patch Circular impresso em

33 36

(11)

Substrato de Duas Camadas Dielétricas

4.2.3 Antena de Microfita com Patch em Anel Impresso em Substrato Anisotrópico

40

4.3 Conclusão 43

Capítulo 5 Análise de Filtros de Micro-ondas pelo Método

WCIP

44

5.1 Introdução 44

5.2 Aproximações para Respostas em Frequências dos Filtros 5.2.1 Resposta do Tipo Butterworth

5.2.2 Resposta do Tipo Tchebychev 5.2.3 Resposta do Tipo Elíptica

46 47 47 48 5.3 Tecnologias para Filtros de Micro-ondas

5.3.1 Tecnologia Volumétrica 5.3.2 Tecnologia Planar

49 49 50 5.4 Principais Topologias de Filtros de Microfita

5.4.1 Filtro com Seções de Linhas de Transmissão em Cascata

5.4.2 Filtro com Stubs 5.4.3 Filtro em Anel 52 52 53 54 5.5 Resultados Numéricos 5.5.1 Filtro Passa-Baixa

5.5.2 Filtro Passa-Faixa em Anel

56 56 58

5.6 Conclusão 61

(12)

Capítulo 6

Análise de Superfícies Seletivas de Frequência

pelo Método WCIP

62

6.1 Introdução 62

6.2 Técnicas de Análise e de Medição de FSS 63

6.3 Aplicações de FSS 65

6.4 Resultados Numéricos

6.4.1 FSS com Estrutura Reconfigurável

6.4.2 FSS Circular com Fendas Radiais: Geometria Quase-Fractal 66 66 70 6.5 Conclusão 74

Capítulo 7

Conclusões

76

Referências Bibliográficas

79

(13)

Lista de Figuras

2.1 Circuito equivalente para uma antena patch retangular: (a) pacth retangular e (b) circuito equivalente.

7

2.2 Aplicação do método da imitância: (a) linha de microfita sobre duas camadas dielétricas, (b) circuito equivalente para modos TM e (c) circuito equivalente para modos TE.

8

2.3 Aplicação do método dos elementos finitos: (a) filtros passa-baixa e (b) malha (mesh) de solução por elementos finitos.

10

3.1 Formulação do problema pelo conceito de ondas

14 3.2 Discretização da superfície de incidência de ondas. 17

3.3 Superfície discretizada. 17

3.4 Circuito equivalente para a fonte bilateral. 24

3.5 Circuito equivalente para pixel em região de carga. 25 3.6 Caracterização dos meios externos: (a) estrutura a ser modelada e (b)

caracterização pelos operadores de admitância.

25

3.7 Processo iterativo WCIP para a primeira iteração. 27

3.8 Fluxograma do método WCIP. 29

3.9 Relação entre os domínios espacial, espectral e modal: (a) transformada modal de Fourier e (b) transformada modal de Fourier inversa.

30

4.1 Antena de microfita com patch retangular. 32

4.2 Antena de microfita com patch retangular impressa em substrato cerâmico 34 4.3 Perda de retorno para antena com patch retangular. 34

(14)

4.4 Perda de retorno para diferentes malhas de discretização. 35 4.5 Antena de microfita com patch circular sobre duas camadas dielétricas. 36 4.6 Perda de retorno para antena em patch circular sobre duas camadas

dielétricas.

37

4.7 Perda de retorno para antena em pacth circular impressa em substrato FR4 (εr1=4,4) suspenso.

38

4.8 Perda de retorno para antena em pacth circular impressa em substrato cerâmico (εr1=20) suspenso.

39

4.9 Antena de microfita com patch em anel circular impressa em substrato anisotrópico.

40

4.10 Perda de retorno para antena com patch em anel impressa em um substrato anisotrópico de Safira (εxx= εyy= 9,4 e εzz =11,6).

41

4.11 Perda de retorno para antena com patch em anel impressa em um substrato anisotrópico de Epsilam-10 (εxx= εyy= 13 e εzz =10,3).

42

5.1 Resposta em frequência de filtros ideais: (a) passa-baixa, (b) passa-alta, (c) passa-faixa (passa-banda) e (d) rejeita-faixa (rejeita-banda).

44

5.2 Transformações em frequência: (a) passa-alta, (b) passa-faixa. (c) rejeita- faixa.

45

5.3 Arquitetura resumida de um sistema de transmissão/recepção sem fio. 46 5.4 Filtros de micro-ondas em tecnologia volumétrica: (a) filtro de ressoador

dielétrico de ordem 4, (b) filtro em guias de onda circular e (c) filtro em cavidade ressonante

49

5.5 Linha de microfita: (a) estrutura física e (b) linhas de campo. 50 5.6 Linha coplanar: (a) estrutura física, (b) linhas de campo elétrico e

magnético com parede elétrica no plano de simetria (modo par) e (c) linhas de campo elétrico e magnético com parede magnética no plano de simetria (modo ímpar).

51

5.7 Transformação do filtro para o equivalente em linhas de transmissão. 52 5.8 Filtro passa baixa em linhas de transmissão: (a) rede LC e (b) equivalente

em linhas de transmissão.

(15)

5.9 Topologia de filtro com stubs com inversores de quarto de onda. 53 5.10 Topologia de filtro em anel: (a) ressoador em anel e (b) resposta em

frequência.

54

5.11 Filtro passa baixa em linha de trasmissão (L1 = 8mm, L2 = 7,8 mm,

W1=7,8mm, W2 = 3 mm).

56

5.12 Perda de retorno para o filtro passa baixa. 57

5.13 Perda por inserção par ao filtro passa baixa. 57

5.14 Filtro passa faixa em anel: (a) vista superior e (b) vista lateral. 59

5.15 Resposta em frequência para o filtro em anel. 59

6.1 Esquema básico de uma FSS. 62

6.2 Geometrias mais utilizadas de elementos para FSS. 63

6.3 Esquema de medição de FSS em câmara anecóica. 64

6.4 (a) Geometria do Elemento de FSS reconfigurável : (b) aproximação para os diodos no estado ON e (c) aproximação para os diodos no estado OFF.

66

6.5 Coeficiente de transmissão para a FSS da Fig.6.4(b). 67 6.6 Coeficiente de transmissão para a FSS da Fig.6.4(c). 67 6.7 Coeficiente de transmissão em função do número de iterações: (a) diodos

conduzindo e (b) diodos cortados.

68

6.8 Coeficiente de transmissão para diferentes malhas de discretização para a FSS da Fig.6.4(b).

69

6.9 Coeficiente de transmissão para diferentes malhas de discretização para a FSS da Fig.6.4(c).

69

6.10 Elementos de FSS circular quase fractal: (a) k=0, (b) k=1 e (c) k=2. 70 6.11 Coeficiente de transmissão para a FSS em geometria circular quase fractal

(k=0, k=1 e k=2).

71

6.12 Coeficiente de transmissão para a FFS circular em geometria quase fractal k=0.

(16)

6.13 Coeficiente de transmissão para a FFS em geometria circular quase fractal k=1.

73

6.14 Coeficiente de transmissão para a FFS em geometria circular quase fractal k=2.

(17)

Lista de Tabelas

4.1 Resposta em frequência para antena com patch retangular. 35 4.2 Resposta em frequência para antena com pacth circular em

substrato de FR4 suspenso.

38

4.3 Resposta em frequência para antena com pacth circular em substrato cerâmico suspenso.

40

5.1 Especificações do filtro passa faixa em anel. 58

5.2 Performance do filtro passa faixa em anel. 60

(18)

Lista de Símbolos e Abreviaturas

A Onda plana incidente numa superfície. B Onda plana refletida numa superfície.

0

A Onda plana gerada por uma fonte e incidente numa superfície. E Vetor campo elétrico.

t

E Vetor campo elétrico (componente tangencial). H Vetor campo magnético.

t

H Vetor campo magnético (componente tangencial).  Superfície de descontinuidade.

J 

Vetor densidade de corrente superficial. n



Vetor normal unitário.

Sˆ Operador de espalhamento (domínio espacial).

ˆ Operador de espalhamento (domínio modal). Z0 Impedância característica.



mn

f Base modal para os modos TE ou TM. Yˆ Operador admitância.



mn

Y Admitância de modos TE ou TM.



_mn Constante de propagação para os modos TE ou TM. ε Permissividade elétrica.

(19)

εr Permissividade elétrica relativa.

µr Permeabilidade magnética relativa.

ε0 Permissividade elétrica do vácuo.

µ0 Permeabilidade magnética do vácuo.

km,n Número de onda do modo de propagação (m,n).

λ Comprimento de onda. h Altura do substrato.

TE Modo Transversal Elétrico. TM Modo Transversal Magnético. TEM Modo Transversal Eletromagnético. WCIP Wave Concept Iterative Procedure.

MoM Method of Moments (Método dos Momentos).

FDTD Finite Diference Time Domain (Diferenças Finitas no Domínio do Tempo).

(20)

C

APÍTULO

1

Introdução

Nos últimos anos, a sociedade tem vivido um processo de avanço tecnológico que atinge diversas áreas de conhecimento, sendo as telecomunicações um domínio que tem atraído a atenção de muitos pesquisadores e indústrias de desenvolvimento tecnológico. A expectativa por sistemas de telecomunicações eficientes, de fácil uso e com estabelecimento rápido da interação entre usuários, e a diversidade da comunicação são fatores que impulsionam estudos para buscar novas tecnologias que possibilitem a concepção de sistemas que atendam tais requisitos.

A maioria dos novos serviços e produtos de telecomunicações permite a troca de informações entre si, favorecendo assim a convergência de voz, dados e imagens entre os diversos sistemas, exigindo taxas de transmissão elevadas. Em outras palavras, espera-se uma grande flexibilidade para acessar e processar informações em quaisquer que sejam as situações, em qualquer ponto do planeta.

Em consequência, o atendimento às necessidades atuais dos serviços oferecidos pelas telecomunicações requer o desenvolvimento de novos componentes para integrar os novos sistemas de comunicações.

O estudo de configurações para circuitos planares, como os de microfita [1]-[3], e prototipagem de novos dispositivos é essencial para o desenvolvimento de novos sistemas de comunicações que requerem de seu hardware baixo peso, dimensões reduzidas, baixo custo, facilidade de construção e capacidade de integração com outras tecnologias, além de operação em múltiplas bandas de frequência, com bandas de transmissão mais largas.

(21)

Diversos foram os fatores que atraíram o desenvolvimento e pesquisas em torno da prototipagem de circuitos de microfita. Dentre eles, podem ser destacados a melhoria incessante e crescente das características elétricas dos substratos dielétricos (como constante dielétrica, fator de dissipação, coeficiente de dilatação térmica e condutividade térmica) e o avanço das tecnologias utilizadas na concepção de circuitos impressos.

Dentre os circuitos planares, uma grande atenção tem sido dedicada ao estudo de antenas, filtros e Superfícies Seletivas de Frequência (Frequency Selective Surfaces - FSS), pelo fato de que com esses três componentes é possível ser obtido toda os componentes passivos de um front-end e back-end de transceptores sem fio.

A primeira idéia de antena de microfita foi proposta em 1953. Ela consiste em um

patch condutor impresso sobre um substrato dielétrico que é apoiado sobre um plano de

terra [1]. Essa estrutura destaca-se das demais configurações de antenas por apresentar características de baixo peso e tamanho, facilidade de construção e capacidade de integração com outros dispositivos. Estas características são típicas de circuitos planares. O projeto de antenas de microfita concentra-se em torno dos seus elementos básicos: patch condutor e tipo de substrato. Com relação ao patch condutor, diferentes geometrias podem ser especificadas a fim de atender às características do sistema ao qual serão empregadas. A escolha dos materiais utilizados como substratos é de extrema importância, podendo ser dielétricos isotrópicos, dielétricos anisotrópicos, materiais nanoestruturados, materiais ferrimagnéticos e metamateriais.

Filtros planares são componentes de grande importância para o front-end e back-end de transmissores e receptores de sistemas de comunicação sem fio. Os filtros são circuitos que apresentam um comportamento típico em função da frequência do sinal a eles aplicado, permitindo a passagem de sinais com certas frequências, enquanto suprime sinais com outras frequências [4]-[8]. Na tecnologia de microfita, os filtros são compostos por ressoadores planares, obtidos a partir de diferentes métodos de concepção, sendo o mais comum o uso da teoria de linhas de transmissão.

As superfícies seletivas de frequência são arranjos periódicos de patches condutores ou de aberturas que exercem a função de filtros de ondas, empregados em sistemas de comunicações sem fio, com o objetivo principal de filtrar sinais de frequências indesejadas

(22)

[9]-[11]. Diversas são as configurações de patches e de aberturas utilizadas para nas superfícies seletivas de frequência.

O objetivo principal deste trabalho é efetuar a análise de estruturas planares tais como antenas, filtros e superfícies seletivas de frequência por meio do Método Iterativo das Ondas (Wave Concept Iterative Procedure- WCIP), para aplicações em sistemas de comunicações sem fio [12]-[17]. A proposição do WCIP, como método de análise de circuitos planares, é justificada pela relevância do tema para as pesquisas atuais, o que tem atraído a atenção de diversos pesquisadores.

Através do método WCIP serão determinados, neste trabalho, a frequência de ressonância, a perda de retorno e largura de banda de antenas de microfita com diversas configurações de patch condutor e diferentes tipos de substratos; a resposta em frequência de filtros com diferentes configurações e gabaritos, bem como os coeficientes de transmissão e reflexão de superfícies seletivas de frequência.

Os resultados obtidos pelo método WCIP serão validados a partir da comparação com outros métodos de onda completa como o método dos momentos, o método dos elementos finitos e com resultados experimentais para diversos casos. Os resultados simulados são obtidos através de softwares comerciais tais como Ansoft HFSSTM,

ADS/Momentum e Ansoft Designer. A apresentação deste trabalho está organizada em sete

capítulos que são descritos a seguir.

O Capítulo 2 apresenta uma visão geral sobre as técnicas e os métodos de análise de circuitos planares, destacando suas características mais relevantes, aplicações e vantagens.

O Capítulo 3 apresenta o Método Iterativo das Ondas – WCIP, e suas aplicações em circuitos planares. Inicialmente, é realizada uma breve introdução sobre o conceito de ondas eletromagnéticas e, em seguida, é apresentado um detalhamento da formulação do método. Uma apresentação dos operadores utilizados para descrever o circuito, pelo método das ondas, no domínio espacial e espectral, é realizada e a relação de passagem entre os domínios é focalizada por meio da Transformada Modal de Fourier.

O Capítulo 4 apresenta os resultados da aplicação do método WCIP para caracterização de antenas de microfita com diferentes configurações de patch e diversos tipos de substratos. Dentre os patches condutores são considerados o patch retangular e o

(23)

circular, além do patch em anel. São considerados, neste trabalho, substratos dielétricos isotrópicos convencionais, dielétricos anisotrópicos e substratos cerâmicos nanoestruturados.

O Capítulo 5 apresenta os resultados da aplicação do método WCIP no estudo de filtros planares para aplicações em sistemas de comunicações sem fio. São apresentados filtros com gabaritos passa-baixa e passa-banda, sintetizados por diferentes metodologias tais como: filtro com associações em cascata de seções de linhas com impedâncias características diferentes e ressoadores em anel (geometria em espira quadrada).

O Capítulo 6 apresenta os resultados da aplicação do método WCIP para caracterização de superfícies seletivas de frequência em formato espiral e a proposição de uma nova geometria quase fractal circular é analisada. Os resultados são validados comparando o modelo WCIP com outros métodos de onda completa e resultados experimentais.

O Capítulo 7 apresenta as conclusões destacando as contribuições mais relevantes deste trabalho. São destacadas a eficiência do método WCIP e a precisão nos resultados. Além disso, são apresentadas perspectivas futuras para a realização de novos trabalhos.

(24)

C

APÍTULO

2

Técnicas de Análise de Circuitos Planares de

Microfita

2.1 Introdução

Com o advento dos sistemas de comunicações modernos e a necessidade de desenvolver dispositivos de dimensões pequenas e com alto grau de integração, muita atenção tem sido dada aos dispositivos de microfita. Durante muito tempo, grande parte destas pesquisas concentrou-se no estudo de filtros e antenas, porém, nos últimos anos, uma atenção especial tem sido dedicada ao estudo das superfícies seletivas de freqüência (FSS –

Frequency Selective Surfaces). Essas três estruturas constituem, hoje, componentes de

grande relevância para o funcionamento de vários sistemas de comunicação.

Grande parte destes dispositivos são projetados para trabalharem nas frequências de micro-ondas, que são ondas eletromagnéticas com comprimento de onda variando de 1m a 1 cm, correspondendo à faixa de frequências de 300 MHz a 30 GHz, respectivamente. Esta faixa do espectro eletromagnético concentra a maioria das aplicações dos sistemas de comunicações sem fio.

Os sistemas de micro-ondas continuam sendo amplamente desenvolvidos e utilizados em links de comunicação que usam dispositivos de microfita, pelas inúmeras vantagens que podem proporcionar em comparação aos dispositivos e circuitos com guias de ondas e cavidades.

A análise de estruturas de transmissão planares, em suas diversas configurações, tem sido necessária para a consolidação da tecnologia de circuitos integrados de

(25)

micro-ondas e micro-ondas milimétricas. A variedade e a versatilidade destas estruturas têm permitido escolhas adequadas, visando a aplicações específicas, para circuitos que operam na faixa de freqüências de 1 GHz a 300GHz.

As técnicas de análise de circuitos planares estão relacionadas com as características estruturais do circuito (como dimensões físicas, geometrias e tipos de substratos) e o tipo de dispositivo considerado (antena, filtro e FSS). Os métodos de análise de circuitos planares são agrupados em duas grandes classes, denominadas de métodos aproximados e métodos de onda completa.

Os métodos aproximados são, em sua maioria, satisfatoriamente precisos até determinados valores de frequência, reduzindo a precisão na predição do desempenho da estrutura, à medida que a freqüência aumenta [18]-[22]. Um dos métodos aproximados mais usados é o método do circuito equivalente.

Os métodos de onda completa são caracterizados por apresentarem uma rigorosa formulação matemática e por necessitarem de um esforço computacional e analítico maior, quando comparados aos métodos aproximados [23]. Contudo, esses métodos fornecem resultados mais precisos. Dentre eles podem ser destacados o método da imitância, o método dos momentos, o método dos elementos finitos, o método das diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD) e métodos iterativos como o WCIP, que será utilizado nas análises efetuadas neste trabalho.

Diversos são os softwares comerciais que podem ser utilizados na análise dos circuitos planares. Esses softwares implementam alguns dos métodos de análise anteriormente citados. Como exemplos podem ser citados o Ansfot HFSS (que implementa o método dos elementos finitos), o Ansoft Design e ADS/Momentum (que implementam o método dos momentos) e o CST (que implementa o método das diferenças finitas no domínio do tempo).

A seguir, alguns métodos de análise de circuitos planares são apresentados de forma resumida e generalizada.

(26)

2.2 Método do Circuito Equivalente

O método do circuito equivalente, também conhecido como método da linha de transmissão é uma técnica aproximada de análise de circuitos planares eficiente e produz resultados satisfatórios. Neste método, cada elemento condutor é modelado por seu circuito equivalente por meio de componentes localizados indutivos e capacitivos [18],[19]. Uma antena patch retangular Fig. 2.1(a), por exemplo, pode ser representada por um circuito equivalente formado por duas admitâncias em paralelo separadas por uma linha de transmissão, como pode ser visto na Fig. 2.1(b).

Fig. 2.1 – Circuito equivalente para uma antena patch retangular: (a) patch retangular e (b) circuito equivalente.

A partir da resolução do circuito equivalente são determinadas as características do circuito de microfita em estudo. Esta técnica usa uma aproximação estática para o cálculo das componentes do circuito, permitindo assim uma análise rápida e que requer pouco esforço computacional. Embora apresente boa eficiência computacional, é um método de precisão limitada.

2.3 Método da Imitância

O método da imitância consiste em substituir a estrutura planar por circuitos equivalentes constituídos de linhas de transmissão [23]-[25]. São obtidos dois circuitos, denominados, respectivamente, de circuitos para modos TE (tipo h) e circuitos para modos

(27)

TM (tipo e). Essa técnica permite o desacoplamento dos modos TE e TM, simplificando a equação matricial que será utilizada para a solução do circuito. A Fig. 2.2 exemplifica a aplicação do método da imitância para uma linha de microfita básica, sobre duas camadas dielétricas.

Fig. 2.2 – Aplicação do método da imitância: (a) linha de microfita sobre duas camadas dielétricas, (b) circuito equivalente para modos TM e (c) circuito equivalente para

modos TE.

A análise pelo método da imitância no domínio espectral requer a solução do problema de contorno. A imposição das condições de contorno adequadas à estrutura conduz a equações algébricas que relacionam as componentes de campo tangenciais, com as densidades de corrente tangenciais, através de uma matriz de impedância, determinada, aplicando a teoria de linhas de transmissão aos circuitos das Figs. 2.2(b) e (c).

2.4 Método dos Momentos e Método de Garlekin

O método dos momentos tem sido largamente utilizado na análise de circuitos planares [26]-[29]. Este método é usado para a discretização de equações integrais, obtida na tentativa de determinar a corrente induzida sobre o circuito, que é desconhecida e no

(28)

caso é o integrando da equação integral [26]. A análise pelo método dos momentos pode ser realizada tanto no domínio modal como no domínio espectral.

Em geral, expande-se a distribuição de corrente em uma combinação linear de um conjunto de funções de base com coeficientes desconhecidos [27]. Este método permite discretizar uma equação integral convertendo-a em uma equação matricial.

A corrente superficial do circuito é então determinada por meio da resolução da equação matricial. Embora o método dos momentos possa ser aplicado com eficiência na análise de circuitos planares, em alguns casos necessita de um processamento pesado para a construção das funções de Green, pois a mesma depende da geometria. A determinação dessas funções e a escolha das funções de base são as etapas mais importantes para a aplicação do método dos momentos.

A escolha das funções de base e de teste pode ser facilitada, quando utilizado um caso particular do método dos momentos denominado de método de Garlekin. Neste caso, as funções de base e de testes são idênticas e as soluções resultantes são da forma variacional [29].

2.5 Método dos Elementos Finitos

O método dos elementos finitos é uma ferramenta poderosa para a resolução de equações diferenciais parciais. O principio básico deste método consiste em discretizar o domínio de integração da estrutura planar (ou volumétrica) a ser avaliada em um conjunto de regiões infinitesimais (elementos finitos), convertendo agora o domínio de resolução em um domínio discreto [30]-[31].

Estas unidades discretizadas podem apresentar qualquer forma geométrica bem definida como elementos triangulares para configurações planares ou tetraédricas e elementos prismáticos para configurações tridimensionais, satisfatórios para geometrias curvadas. A Fig. 2.3(b), exemplifica uma malha discretizada sobre um filtro planar analisado pelo método dos elementos finitos.

(29)

Fig. 2.3 – Aplicação do método dos elementos finitos: (a) filtro passa-baixa e (b) malha (mesh) de solução por elementos finitos.

O método envolve integração de funções de base sobre o domínio de definição que é dividido em várias subseções. A dificuldade de resolver equações de onda com condições de limite não-homogêneas pode ser contornada decompondo estas equações em dois problemas de valor de limite, um através da equação de Laplace com um limite não-homogêneo e o outro através de uma equação de onda não-homogênea com uma condição de limite homogênea. O método resolve a equação de Laplace em cada subdivisão do domínio de definição [31]-[32].

Um extensão do método dos elementos finitos conhecida é o método dos elementos finitos na fronteira. Este método consiste na aplicação do método dos elementos finitos a uma região de fronteira. A equação diferencial parcial que relaciona os campos (ou correntes induzidas) na região de fronteira é convertida em uma equação integral por meio da aplicação das identidades de Green. A integral de superfície, no caso das equações de onda, é discretizada em N elementos e desenvolvida para cada elemento individualmente. Esse método apresenta um menor esforço computacional que o método dos elementos finitos tradicional.

2.6 O Método FDTD

O método das diferenças finitas no domínio do tempo é um método de onda completa, baseado na discretização das equações de Maxwell no domínio do tempo e do espaço. Essa técnica permite analisar estruturas não-homogêneas, circuitos com quaisquer geometrias [33].

(30)

Em cada elemento da discretização, as informações relacionadas com o material são levantadas de forma que a equação diferencial possa ser discretizada e convertida em uma equação de diferenças. Quanto maior o refinamento da malha de discretização, maior será a precisão dos resultados. Entretanto, o esforço computacional será maior. Em cada célula da malha, os campos são inicialmente nulos e, em seguida, as fontes são aplicadas com uma distribuição de corrente com amplitudes compensadas. À medida que a fonte se desloca ao longo da estrutura discretizada, o método FDTD atualiza as amplitudes nas células em torno da vizinhança.

2.7 Método Iterativo Baseado no Conceito de Ondas Transversais

O Wave Concept Iterative Procedure (WCIP) é um método de análise de onda completa, baseado no conceito de ondas. É um método extremamente simples, que foi desenvolvido em meados dos anos 90 e pode ser utilizado para diversas aplicações.

A modelagem realizada emprega a relação entre onda refletida e incidente sobre o circuito para descrever o comportamento das estruturas. O método considera uma modelagem em dois domínios de definição: o domínio espacial e o domínio modal. A relação de tranformação entre esses dois domínios é definida por meio da aplicação da transformada modal de Fourier (FMT) e da transformada modal de Fourier inversa (IFMT ou FMT-1).

Por tratar-se de um método iterativo, o WCIP requer menor esforço computacional, com um tempo de execução extremamente pequeno. Além disso, o método WCIP apresenta-se bastante flexível para aplicações em diversos circuitos, tornando-se bastante atrativo como uma ferramenta de análise.

Neste trabalho, o método WCIP será empregado na análise de circuitos planares. No Capítulo 3, será apresentada uma formulação teórica do método WCIP e nos capítulos seguintes, serão apresentados resultados do modelamento de diferentes circuitos planares (antenas, filtros e FSS, por exemplo) por meio deste método, comprovando sua eficiência e flexibilidade de aplicações.

(31)

2.8 Conclusão

Neste capítulo, foram apresentados os principais métodos de análise de estruturas planares de microfita. As técnicas de análise foram descritas e discutidas suas principais aplicações. Para cada método foram apresentadas suas vantagens e limitações, merecendo destaque o método utilizado neste trabalho, o WCIP, que se trata de um método de onda completa, bastante flexível para diversas aplicações, com alta eficiência computacional e um alto grau de precisão.

(32)

C

APÍTULO

3

Formulação do Método Iterativo das Ondas

(WCIP)

3.1 Introdução

Os métodos integrais clássicos utilizam uma formulação baseada em campos elétrico e magnético para estabelecer relações impostas pelas condições de contorno. A utilização desses campos implica no uso de operadores de impedância e admitância, no entanto, outras formulações são possíveis como, por exemplo, uma formulação baseada no conceito de ondas. O Wave Concept Iterative Procedure (WCIP) é um método iterativo baseado no conceito de ondas, também definido como método iterativo das ondas utilizado na resolução de problemas eletromagnéticos e análise de circuitos planares [34]-[46]. Neste método, a formulação utiliza uma combinação linear dos campos tangenciais para descrever e formular o problema.

Esse método baseia-se na formulação do problema em termos de ondas transversais e se apoia, principalmente, em duas equações, uma no domínio espacial e a outra no domínio modal. Ao contrário dos métodos integrais, como o método dos momentos e o método de Galerkin, dentre outros, dos métodos diferenciais, como FDTD e elementos finitos, o WCIP não faz uso de inversão matricial em sua resolução. Esse método foi introduzido para resolver problemas eletromagnéticos independentemente das características geométricas da interface do circuito.

Neste capítulo, serão apresentados os princípios fundamentais deste método iterativo para o modelamento de circuitos planares de micro-ondas. Essa formulação será confirmada com a obtenção dos resultados da análise de estruturas planares com substratos com uma e múltiplas camadas dielétricas, apresentadas ao longo desta dissertação.

(33)

3.2 Princípios do Método Iterativo

Considere uma superfície arbitrária Ω, de espessura desprezível, imersa em uma região em que existe uma onda eletromagnética se propagando. Denomina-se



n_{o vetor} normal unitário em cada ponto da superfície ou ainda eixo de propagação da onda e denomina-se Ai

 e Bi



, respectivamente, as ondas incidentes e refletidas na interface Ω, entre os meios 1 e 2, como mostra a Fig. 3.1.

Fig. 3.1 – Formulação do problema pelo conceito de ondas.

O princípio do método WCIP baseia-se no processo de reflexão de ondas. Considere agora dois meios em uma dada região do espaço, separados por uma interface Ω. Uma onda A0 incide perpendicularmente, na direção do vetor normal, a partir do

meio 1. Ao incidir sobre a interface Ω, ocorrem dois processos: uma parte da onda é transmitida para o meio 2 (B₂), e outra parte é refletida de volta par ao meio 1, B₁. Em função das condições de contorno e de propagação dos meios, as ondas B₁e B₂sofrerão processos de reflexão, gerando novas ondas incidentes na interface Ω, representadas por

1

A e A₂, respectivamente.

Após a k-ésima repetição do processo, a onda resultante sobre a interface é obtida pela soma de todas as ondas incidentes e refletidas. Parte da potência é absorvida a cada iteração, pelas características da interface e pelas condições de propagação nos meios. Nesse sentido, o processo converge e as ondas incidentes e refletidas podem ser determinandas.

0

(34)

A utilização do conceito de ondas permite expressar as ondas incidentes e refletidas em termos das densidades das componentes tangenciais do campo elétrico e magnético, como mostrado nas equações (3.1) e (3.2), para o meio i (i=1,2), na Fig. 3.1. Assim, torna-se desnecessário o cálculo dos campos elétricos e das densidades de corrente [34].



E Z



H n





Z 2 1 A i 0i i 0i i        _(3.1)



E Z



H n





Z 2 1 B i 0i i 0i i        _(3.2)

Em (3.1) e (3.2), Z0i representa a impedância do meio, dada por [34]:

i i 0i _ε μ Z  _(3.3)

onde µi e εi representam, respectivamente, a permeabilidade magnética e a

permissividade elétrica do meio i (i = 1,2), na Fig. 3.1.

Considerare ainda um vetor J_i, para (i = 1,2) na Fig. 3.1, denominado densidade de corrente superficial, que possui a mesma natureza do vetor H _{e da densidade} superficial de corrente. Pode-se definir a densidade superficial de corrente pela seguinte relação: Ji Hi n      (3.4) Em estruturas em que os modos TE e TM se propagam, os vetoresE_i e J_i são paralelos (colineares). Substituindo-se a equação (3.4) nas equações (3.1) e (3.2), obtêm-se:



i 0i i

0i i A B Z 1 J      _(3.8)

As equações (3.5) a (3.8) são as equações básicas do método WCIP e serão citadas e utilizadas nas seções seguintes. Analisando-se essas equações, pode-se notar que a formulação aqui apresentada não é apenas uma função dos campos e/ou das correntes, mas de grandezas descritas como uma combinação linear destes. Observando-se as equações (3.7) e (3.8), pode-Observando-se verificar que a partir dos valores determinados para

i

E e Ji



, na superfície do circuito, pode-se caracterizar o mesmo por alguns parâmetros tais como impedância característica e frequência de ressonância, obtidos a partir das grandezas determinadas. Com a utilização do método WCIP, esta caracterização pode ser feita em diferentes domínios tais como espacial, espectral e modal.

3.3 Os Diferentes Operadores

A primeira etapa da formulação em ondas (WCIP) consiste em modelar a estrutura que se deseja analisar, sendo efetuada por operadores de espalhamento. Os operadores de espalhamento dependem da interface da estrutura. Ao contrário dos métodos clássicos, a resolução das equações Maxwell e a aplicação das condições de contorno na interface serão realizadas em duas etapas, por meio de dois tipos de operadores que serão apresentados a seguir.

Para definirmos os operadores de espalhamento, a primeira etapa a ser realizada é a discretização das diferentes superfícies construtivas da estrutura em pixels, de dimensões dx e dy, como mostra a Fig. 3.2. Para cada pixel um operador diferente está relacionado, e este operador levará em consideração as condições de contorno sobre esta superfície em função dos diferentes materiais que a constituem, tais como, interface dielétrico/dielétrico, condutor perfeito, isolante perfeito. Além disso, existem pixels que delimitam regiões de fontes e de cargas.

(36)

Fig. 3.1 – Discretização da superfície de incidência de ondas.









             perfeitos condutores para , J J J s dielétrico para 0, J J 0 J J s dielétrico para , E perfeitos condutores para 0, E E 2 1 2 1 2 1 2 1           (3.18)

As relações que irão definir o operador serão apresentadas a seguir, para diferentes tipos de materiais.

3.4.1. Caso de Interface com Condutor Perfeito

Tratando-se de uma interface em que o material é um condutor perfeito, as componentes tangenciais do campo elétrico sobre essa superfície são nulas, ou seja,

0 E

E₁  ₂  . Reescrevendo as equações (3.5) e (3.6), pode-se concluir que para a região i (i =1, 2, na Fig. 3.1), tem-se:

i i 0i i J B 2 Z A    (3.19) Neste caso, a relação entre as ondas incidentes e refletidas na superfície é dada pela equação:

_







































2 1 2 1

B

1

0

1 -A

A



(3.20) As ondas são completamente refletidas de cada lado da interface, Fig. 3.3, e os dois meios são distintos.

3.4.2 Caso de Interface com Dielétricos de Permissividades Diferentes

Tratando-se de isolantes (dielétricos), o somatório das densidades superficiais de corrente é nulo J₁J₂ 0 e o campo elétrico tangencial é contínuo, ou seja, E1 E2

 

 .

Aplicando-se essas condições às equações (3.7) e (3.8), obtemos as seguintes expressões: Z01



A1 B1



Z02



A2 B2



       (3.21)

(39)







2 2



02 1 1 01 B A Z 1 B A Z 1  _  _   _ (3.22) Resolvendo-se o sistema de equações anteriormente proposto, obtemos a seguintes relações entre as ondas incidentes e refletidas nos meios 1 e 2 (Fig. 3.1):

                   2 1 1 2 2 1 2 1 B B η η η η A A     (3.23) onde definiremos os termos η1 e η2 são definidos por:

η 1 2η η 1 η 1 η η 2 2 2 2 1      (3.24) com 01 02 Z Z η .

Neste caso, parte da onda é transmitida ao meio vizinho e outra parte é parcialmente refletida, o que corresponde às condições de contorno entre os dois meios dielétricos distintos em linhas de transmissão ou em guias de ondas.

3.4.3 Caso de Interface Preenchida com Dielétricos de Mesma

Permissividade

Este caso é um caso particular daquele desenvolvido anteriormente. Observando-se as equações descritas em (3.24), para o caso em que temos o mesmo meio dielétrico, verifica-se que η = 1, portanto, η1 = 0 e η2 = 1. Sendo assim, a relação

entre as ondas na interface em que os meios apresentam mesma permissividade são descritas por: _                   2 1 2 1 B B 0 1 1 0 A A     (3.25)

Assim, todas as ondas são transmitidas, de um meio ao outro sem ocorrência de reflexão.

(40)

3.4.4 Caso com Fonte Unilateral no Meio 2

Considere agora fontes de campo e de corrente no modelamento dos circuitos planares. Essas grandezas estão relacionadas segundo a equação (3.26), onde Z0

representa a impedância característica do meio.

0 0 0 E Z 1 J    _(3.26)

As equações, a seguir, descrevem as condições impostas pela fonte. No meio 1, existe um contato metálico, enquanto que no meio 2 a fonte é levada em consideração.

2 0 0 2 1 J Z E E 0 E        (3.27) Impondo essas condições nas equações que definem os campos e densidade de corrente em função das ondas, obtemos o seguinte:

                   02 0 02 0 22 21 12 11 1 1 0 1 Z Z Z Z     (3.31)

A fonte de onda incidente terá suas componentes definidas pela equação:

0 02 0 02 02 01 E Z Z 1 Z 1 A 0 A             (3.32)

(41)

Neste caso, o meio 2 é modelado por um fonte de campo não ideal, de intensidade E0 e impedância interna Z0, enquanto que o meio 1 não apresentará nenhum

valor inicial para o campo e, consequentemente, para a onda incidente.

3.4.5 Caso com Fonte: Fonte Unilateral no Meio 1

No caso da fonte unilateral está inserida no meio 1, a formulação é feita seguindo o mesmo procedimento apresentado anteriormente. Sendo assim, a relação entre as ondas refletidas e incidentes na superfície da estrutura modelada é dada por (3.30). No entanto, os elementos da matriz são definidos por:

1 0 1 1 22 21 12 01 0 01 0 11                        Z Z Z Z (3.33) Neste caso, a fonte de onda incidente terá suas componentes definidas pela equação: 0 A E Z Z 1 Z 1 A 02 0 01 0 01 01              (3.34)

Neste caso, o meio 1 é modelado por um fonte de campo não ideal, de intensidade E0 e impedância interna Z0, enquanto que o meio 2 não apresentará nenhum

valor inicial para o campo e, consequentemente, para a onda incidente.

3.4.6 Caso com Fonte: Fonte Bilateral

Considere uma fonte bilateral de campo elétrico (tensão) ou campo magnético (corrente), definida nos dois meios 1 e 2, tal que satisfaça à relação seguinte:

E1 E2 E0 Z0



J1 J2



         (3.35)

(42)

Substituindo as condições expressas pela equação (3.35) nas equações de definição de ondas, obtêm-se:







_             ₂ ₂ 02 1 1 01 0 0 2 2 02 A B Z 1 B A Z 1 B A Z   E Z     (3.37)

A resolução do sistema de equações formado pelas equações (3.36) e (3.37) permite determinar a relação entre as ondas incidentes e refletidas. Da equação (3.30), obtêm-se:                                             02 0 01 0 01 0 02 0 22 02 0 01 0 02 01 0 21 12 02 0 01 0 02 0 01 0 11 1 1 1 2 1 1 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z     (3.38)

A fonte de onda deve apresentar as duas componentes não nulas, visto que os campos nas interfaces são contínuos e diferentes de zero. Portanto, essa fonte é descrita por: 0 02 0 01 0 02 02 0 02 0 01 0 01 01 E Z Z Z Z 1 Z 1 A E Z Z Z Z 1 Z 1 A                       (3.39)

Neste caso, os dois meios serão representados por uma mesma fonte de campo, que geram a primeira onda incidente em cada lado, iniciando o processo iterativo proposto pelo método WCIP. O circuito equivalente para esse tipo de fonte é mostrado em Fig. 3.4.

(43)

Fig. 3.4 – Circuito equivalente para a fonte bilateral.

A alimentação de FSS é descrita por meio de fontes distribuídas, e essas são levadas em consideração pelo método WCIP no domínio espectral não ocorrendo nenhuma alteração no operador de espalhamento no domínio espacial.

3.4.7 Caso de Interface em Região de Carga:

Considerando-se um pixel em uma região definida por uma carga de impedância Zc, conforme o circuito equivalente mostrada na Fig. 3.5. As condições de contorno definidas em (3.40) são tais que as componentes do campo elétrico deve ser igual ao produto da carga pelo somatório das densidades de correntes superficiais.

E₁E₂ Z_c



J₁J₂



(3.40)

Aplicando-se (3.40), nas equações de definição das ondas incidentes e refletidas em uma interface, tem-se que:



Fig. 3.5 – Circuito equivalente para pixel em região de carga.

3.5 Determinação do Operador de Reflexão no Domínio Modal

Para determinar o operador de espalhamento no domínio modal, que representa o ambiente exterior à interface e considerando o meio homogêneo, é necessário que as equações de Maxwell sejam resolvidas. Cada meio será representado por um operador admitância definido no domínio modal, conforme está ilustrado na Fig. 3.6.

(45)

Fig. 3.6 – Caracterização dos meios externos: (a) seção transversal da estrutura a ser modelada e (b) caracterização pelos operadores admitância.

Cada meio será caracterizado por um operador admitância definido no domínio modal e a partir deste operador admitância, é possível definir o operador espalhamento ou reflexão no domínio modal. As interfaces serão caracterizadas por quadripolos obtidos pela aplicação das condições de contorno, conforme foram apresentadas na determinação do operador de espalhamento no domínio espacial.

O operador admitância depende das características do meio, da altura em relação à interface e das admitâncias dos modos TE e TM, podendo ser definido como:





  m n α mn i mn α mn α mn i f Y coth(γ h ) f Yˆ  (3.47)

onde α = TE ou α = TM, fmnα representa uma base modal ortonormal para os modos TE

ou TM e corresponde às soluções das equações de propagação determinadas em um sistema de coordenadas que dependerá da forma e estrutura da interface. Ymnα

representa a admitância de modo TE ou TM e _mn _{representa a constante de} propagação. O operador de reflexão que representa cada meio está diretamente relacionado ao operador admitância pela relação (3.48),

Γˆi



II Z0Yˆi

 

X II Z0Yˆi



1



 

 (3.48) com i designando o meio e II representando o operador identidade.

O operado ˆ_i_{traduz a relação que o meio externo impõe às ondas incidentes e} refletidas. Tais relações podem ser resumidas segundo a equação:

_                                    2 1 2 1 2 1 2 1 A A ˆ A A ˆ 0 0 ˆ B B       (3.49)

Na formulação das ondas, toda estrutura pode ser modelada utilizando dois operadores de espelhamento: um operador definido no domínio espacial, levando em consideração as condições de contorno nas interfaces e um operador definido no domínio modal levando em consideração a relação dos meios homogêneos em torno dessas interfaces. Este é denominado operador de reflexão visto que o fenômeno de

(46)

interesse para o modelo, no domínio espectral, é a reflexão das ondas em função das condições de propagação impostas pelos meios.

3.6 O Processo Iterativo

O princípio de funcionamento do método WCIP pode ser ilustrado pela Fig. 3.7, que consiste em dois meios dielétricos de permissividades distintas separadas por uma interface Ω. Inicialmente, uma onda (1)

0

A , gerada por uma fonte conhecida (tensão ou corrente), incide sobre a interface Ω, vindo do meio 2 (εr2) em direção ao meio 1 (εr1),

como pode ser visto na Fig. 3.7(a). Ao incidir sobre a interface, a onda A(1)₀ 

sofre espalhamento por meio de dois processos: reflexão e refração.

Parte do sinal é transmitido para o meio 1, gerando o sinal B₁(1) com mesma direção e sentido que o vetor normal à interface na região 1. A parte do sinal refletida gerará B(1)₂ o sinal que se propaga no meio 2, na mesma direção do vetor normal a Ω, como está ilustrado na Fig. 3.7(b).

Fig. 3.7 – Processo iterativo WCIP para primeira iteração.

Em função das características geométricas da estrutura e das condições de contorno, as ondas B₁(1)e B(1)₂ sofrem reflexões nos meios 1 e 2, retornando em direção à interface Ω, gerando as ondas (1)

1

A e A(1)₂ , respectivamente, conforme mostra a Fig. 3.7(c). Na segunda iteração, a onda gerada pela fonte incidirá sobre a interface com

(47)

atribuição das duas ondas A₁(1)e A(1)₂ , que sofreram um processo de reflexão gerando as ondas B₁(2)e B(2)₂ ,como é indicado em Fig. 3.7(c) que receberam a influência do meio externo sofrendo reflexão e, desta maneira, dando continuidade ao processo. A continuidade do processo é ilustrado na Fig. 3.7(d).

Após a n-ésima iteração, a onda resultante sobre a interface será obtida pela combinação de todas as ondas incidentes e refletidas. A cada iteração, parte da potência é absorvida devido às características da interface, pelas condições de contorno nos meios 1 e 2, levando o processo à convergência. Nesse sentido, as equações (3.50) e (3.51) descrevem o processo iterativo do método WCIP.

B_i(n) SˆA_i(n)A₀(n) (3.50) A(n)_i ΓˆB(n)_i (3.51) onde Sˆdescreve o comportamento da onda ao incidir na superfície considerada no domínio espacial, ˆ representa a reação dos meios 1 e 2 e são consideradas no domínio espectral, i representa o meio e n representa o número de iterações.

A formulação do WCIP apresenta dois domínios distintos, onde a análise dos campos é realizada, considerando os fenômenos eletromagnéticos sobre ondas: a reflexão e a refração na interface Ω (domínio espacial) e a propagação e reflexão de uma onda sobre um meio (domínio espectral). A Fig. 3.8 descreve o algoritmo básico do método WCIP.

A cada iteração, a passagem do domínio espacial para o domínio espectral é obtida pela transformada modal do Fourier (FMT). A utilização da FMT permite realizar a decomposição das ondas em modos TEmn e TMmn. Para cada modo é

calculado o respectivo operador de espalhamento no domínio espectral que leva em conta as características do meio.

A aplicação da transformada modal de Fourier consiste em passar os operadores de espalhamento de domínio espacial para o domínio da frequência e em seguida projetar esse operadores para o domínio de modos de propagação, por meio do produto escalar do operador com as funções de base modal para os modos TE e TM.

(48)

Fig. 3.8 – Fluxograma do método WCIP.

O número de iterações que permite a convergência do método é determinado em função do cálculo dos parâmetros do circuito, tais como admitância vista pela fonte, em função das interações, uma vez que se este valor torna-se constante, pode-se concluir que o processo atinge a convergência. O número de iterações para atingir a convergência depende da geometria da estrutura e de suas dimensões.

3.7 Relação entre os Domínios Espacial, Espectral e Modal

A utilização do método WCIP como ferramenta de análise de circuitos planares de micro-ondas, implica na passagem por três domínios distintos durante a resolução. São eles o domínio espacial, espectral e modal. As equações (3.50) e (3.51) descrevem o princípio de operação do método WCIP. A equação (3.50) descreve a relação entre as ondas incidentes e refletidas em uma superfície no domínio espacial, enquanto que (3.51) descreve as ondas refletidas em função dos meios em torno da interface.

Inicialmente, uma fonte conhecida gerará a primeira onda a incidir na superfície do circuito. Ao incidir nessa interface, por meio de (3.50), está irá gerar as ondas B₁e

2

(49)

A análise de propagação será feita no domínio modal. Inicialmente, as ondas B₁ e B₂ serão passadas para o domínio espectral por meio da transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform - FFT). Em seguida, essas ondas são passadas para o domínio modal por meio da decomposição das expressões dessas ondas (B₁e B₂) em modos TEmn e TMmn. A operação que consiste na aplicação da FFT e, em seguida, a

decomposição em termos dos modos denomina-se transformada modal rápida de Fourier (Fourier Modal Transform - FMT).

Para cada modo, um operador de reflexão é calculado por meio da expressão (3.48) e este aplicado a equação (3.51), permitindo obter as ondas A₁e A₂ no domínio modal. Por sua vez, essas ondas (A₁e A₂) são submetidas à transformada modal rápida de Fourier inversa, sendo novamente descritas no domínio espacial. A Fig. 3.9 descreve as relações de transformações entre os três domínios presentes na resolução pelo método WCIP.

(a) (b)

Fig. 3.9 – Relação entre os domínios espacial, espectral e modal: (a) transformada modal de Fourier e (b) transformada modal de Fourier inversa.

3.8 Conclusão

Neste capítulo, foram descritos os princípios fundamentais do método WCIP. As equações obtidas serão usadas em aplicações na caracterização de circuitos de micro-ondas como será mostrado nos capítulos seguintes.

(50)

Especificamente, foram determinados os operadores de espalhamento no domínio espacial e o operador de reflexão no domínio modal, além de obtidas as suas expressões para casos particulares. Também foi descrito o processo iterativo adotado.