Plano de Aulas. Matemática. Módulo 11 Funções trigonométricas

(1)

Matemática

Módulo 11

Funções trigonométricas

Plano de Aulas

(2)

Resolução dos exercícios propostos

Retomada dos conceitos

3

5 2

2 1 10

u.c.

A medida do segmento _{wAD equivale ao valor} de sen BA: AD 5 sen 17 sen 4 4 2 2 π π 5 5 A medida do segmento wAB equivale à soma de cos BA com o valor absoluto de cos BB:

AB cos cos

cos cos 17 4 19 4 4 3 π π π π 44 2 2 2 2 2 A medida do segmento wBC equivale à soma de sen BB, e o valor absoluto de sen BC é: BC sen sen sen sen 19 4 1 4 3 4 5 π π π 2 ππ 4 2 2 2 2 2 O segmento _{wCD é hipotenusa do CDE;} CE 5 2 2 e o cateto wDE  wAB. De acordo com a relação de Pitágoras: ( ) CD C 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2       ⇒ ⇒ [ ] 4 D D 5 2 10 2 Portanto, o perímetro do trapézio ABCD é igual a 2 2 2 2 10 2 1 1 1 .      

CAPÍTULO 1

1

a) 4 ? 1 2 0 1 0 5 4 b)  1 3 2 3 2 1 3 2 3 2             3 1

2

a)_sen 31 7 sen 31 7 sen 2 π π         88 7 3 7 sen 4 3 7 π π _π π         ssen 3 7 0 π cos 25 8 cos 24 8 8 π π π         cos 3 cos 8 8 0 π π π     _{sen 63} 15 sen 60 15 3 15 π π π         sen 4 5 sen 5 0 π π π     Portanto, o valor da expressão tem sinal po sitivo. b) tg tg tg 13 5 10 5 3 5 2 3 π π π π π     55 5 0     tg 3π tg tg 2 tg tg 20 0 0 2 0 π π ⇒ π tg tg 27 tg 32 9 9 5 9 3 5 π π π π π     99 9 0     tg 5π Portanto, o valor da expressão tem sinal po sitivo.

(3)

4

3 2 u.a. y A x B C Pelas simetrias dos pontos A, B e C na figura aci ma, de fato ABC é retângulo em B. A medida do segmento wAB equivale à soma de sen BA com o valor absoluto de sen BB:

AB sen sen

sen sen 13 3 17 3 3 5 π π π π 33 3 2 2 3 3 A medida do segmento wBC equivale à soma de cos BB com o valor absoluto de cos BC: BC  cos cos cos 17 3 16 3 5 3 4 π π π cos ππ 3 1 2 1 2 1 Portanto, a área do ABC corresponde a 1 ? 3 . 2

5

π 1 2 2 u.a. A área da parte sombreada equivale à diferença entre a área do círculo e a área do ABC. • Área do círculo Ac: Ac 5 π ? r2 5 π ? 12 5 π u.a.

• Área do ABC: A medida do segmento wAB equivale à soma de sen BA com o valor absoluto de sen BB: AB  sen sen sen 15 4 9 4 π π         ππ π 4 7 4 2 2 2 2 2 sen

A medida da altura _{wCD equivale à soma de} cos BA com o valor absoluto de cos BC: CD  cos cos cos 12 15 4 4 π π         ππ _π 4 2 2 1 cos

Com esses dados, a área At do ABC corres

ponde a: At 5 2 2 2 1 2 1 2 2 ?      

Logo, a área da parte sombreada As corres

ponde a: As 5 Ac 2 At 5 π 1 2 2

6

2 3 2 1 u.a. y A B C D E F x A medida da base menor wAB equivale à soma de cos BA com o valor absoluto de cos BB: AB  cos cos cos 5 3 4 3 π π π         33 2 3 1 2 1 2 1 cos π A medida da base maior _{wCD equivale à soma de} cos BD com o valor absoluto de cos BC : CD  cos cos cos π π 6 5 6 11         ππ π 6 7 6 3 2 3 2 3 cos Se E e F, respectivamente, são os pontos de en contro dos segmentos _{wCD e wAB com o eixo y, a} medida da altura _{wEF equivale à soma de sen BA} com o valor absoluto de sen BD:

(4)

EF  sen s n sen 5 3 6 3 π π π         e sen11 6 3 2 1 2 3 1 2 π Assim, a área At (do trapézio) corresponde a: A_t ( ) AB CD EF+ ? ? 2 1 3 1 3 2 2 12 [ ] 2 3 3 4 4 2 3 4 2 3 2 2 [ ]

7

b Se x 5 8π, 3 senx 5sen 5 2 3 3 2 π e cos x 5 cos 2 . 3 1 2 π Portanto, o cálculo do valor da expressão corresponde a: sen sen x x x x cos cos 3 2 1 2 3 2     1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 1 2     3 1 2 3 1 3 1 3 1 3 1 ?      3 2 3 1 3 1 4 2 3 2 2 3 2 ₂ 2 ₂ 33 73, Esse resultado pertence ao intervalo [3; 4].

8

b n sen (22.850°) 5 sen (22.850° 1 8 ? 360°) 5 5 sen 30° 5 1 2

n cos 38 cos cos 3 36 3 2 3 2 π π π π         33 1 2 Portanto, o cálculo do valor da expressão cor responde a: sen (22.850°) 1 cos 38 3 π     5 1 2 1 2 0    

9

e 1 30 540 120 1 3 2 0 cos ( ) sen 0° tg ° ° 1 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 1 ?    2 3

10

b

cos 37 cos cos 5 30 5 7 5 7 5 π π π π     cos π 2π cos π 5 2 5    

11

cos (2535°) 5 cos (2535° 1 2 ? 360°) 5 cos (185°) 185º e 190º são medidas de ângulos que per tencem ao QIII, onde os valores de cos x cres cem se os de x crescem. Portanto, cos 185° 5 5 cos 2535° , cos 190°.

CAPÍTULO 2

1

S {m | ® 1 m } 4 3 4 sen 1 2 sen π 6 1 2 ⇒ x 2m 1 sen x 1 ⇒ ⇒ ⇒ 1 2 1 2 1 1 2 m 22 3 2 1 4 3 4 m ⇒ m

2

m 5 2 Na primeira volta, cos x , 0 para π π 2 3 2 , x, . x m m m 5 7 2 5 7 3 2 1 2 5 7 3 2 π _⇒ π π π _⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 7 2 5 21 2 7 10 21 10 m m

(5)

Os possíveis valores naturais de m são 1 e 2. Logo, o maior número natural que torna essa desigualdade verdadeira é 2.

3

_{a) S} m ® | 8 m 3 2       1 1 1 3 7 1 8 3 cos x m m ⇒ + ⇒ ⇒ 6 8 3 2 ⇒ m b) S m | ® 0m 4 5       1 1 1 5 2 2 1 2 5 cos x ⇒ m ⇒ ⇒ mm m m 2 2 0 5 4 0 4 5 ⇒ ⇒ ⇒ c) S m | ® 2 5 m 5 2 5 5         1 cos 5 x 1 1 m 2 2 1 2 2 ⇒ ⇒ ⇒ 55_m22 2_⇒ 05_m2 4_⇒ _⇒ _⇒ _⇒ ⇒ | | 0 4 5 4 5 2 5 5 2 5 5 2 m m m

4

850 cabeças a) Em janeiro de 2000, t 5 0, portanto: Z(0) 5 850 1 400 ? sen π0 4 ⇒ ⇒ Z(0) 5 850 1 400 ? sen 0 ⇒ ⇒ Z(0) 5 850 1 400 ? 0 ⇒ Z(0) 5 850 Logo, em janeiro de 2000, a população de

zebras era de 850 cabeças. b) Em 2002. A população máxima ocorreu quando sen πt 4 foi máximo. Para isso, na primeira volta: πt π 4 5 2 ⇒ t52

Logo, a população de zebras alcançou seu valor máximo dois anos depois de janeiro de 2000, em janeiro de 2002.

5

O valor da expressão é zero.

x π x x x

4 ⇒ cos 2 cos 4 cos 6

coss 78x cos 80x cos cos

cos π _π π 2 3 2 cos cos 2π 20π 0 1 0 1 Valorees de uma volta 0 1 0 1 0 1 0 1 = 0

Observe: a cada volta, a soma dos valores de cos x é nula, razão pela qual a soma dos valores de cos x depois de 10 voltas completas tam bém será nula.

6

O valor da expressão é zero.

x x x x

π

2 ⇒ sen sen2 sen3 …

sen sen sen sen3

sen 100 2 2 5 x π _π π 00π 1 0 ( 1) 0 Valores de uma volta … 1 0 ( 1) 0 0

7

A cada 1h12min. O valor mínimo será alcançado de período em período, portanto: v(t) é mínimo quando cos 5 6 πt é máximo e, portanto, quando cos 5 . 6 1 πt Para isso basta que 5 6 πt_,_k_π 5 com k  n. 5 6 5 1 2 πt _π k t k k 5 ⇒ 5 6 ,5

Logo, a contagem de vírus alcança seu valor mínimo a cada 1,2 horas.

8

1.050 toneladas

Se o período considerado é de 1990 a 2005, t 5 15 anos. A A ( ) ( ) 15 850 200 15 6 15 ?sen π? ⇒ ⇒ = 8850 200 2 15 1 050 + ?sen π ( ) .⇒ A = Portanto, em janeiro de 2005 havia 1.050 tone ladas de algas nessa baía.

(6)

9

e

O número máximo de clientes ocorre quando sen x ? π .

12 1

O número mínimo de clientes ocorre quando sen x ? π . 12 51 f(x)máx 2 f(x)mín 5 5

[

900 2 800 ? (21)

]

2 (900 2 800 ? 1) 5 5 1.700 2 100 5 1.600

10

f x( ) t 3 2 6 5 3 2 sen sen π π ⇒ ⇒ tt t t k t 6 6 1 6 2 2 6 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ sen π π π _π 11 2 2 3 12 3 15 27 3 { , , , k t k t ⇒ ⇒ ⇒ 99, }… Na prática, a concentração de espuma alcança 5 m3_{às 3h e às 15h.}

11

a 19 4 16 3 4 4 3 4 3 4 π π π _π π π  portanto, a extremidade do arco que determi na um ângulo de medida 19

4 rad, π coincide com o de medida 3π r d. 4 a Por isso: f 19 4 3 4 3 π π π π         f sen cos 4 3 44 2 2 2 2 0 _ _

12

Falsa

Considere a relação fundamental da trigono metria e o sistema: sen sen 2 2 2 2 1 1 x x x x cos cos     Somando os membros de cada equação desse sistema obtemos:

2 cos2_{x 5 0 ⇒ cos}2_{x 5 0 ⇒ cos x 5 0}

No intervalo 0 < x < 2π, as soluções são {π₂, 3₂π}. Portanto, a afirmação é falsa.

CAPÍTULO 3

1

a) D {x ®| πx kπ, 8 4 k  Ω} 4x  π 2 1 kπ ⇒ x  π 8 1 kπ 4 b) D = _{x _® | x π kπ, 12 2 k  Ω} 2x 1 π 3  π 2 1 kπ ⇒ 2x  π 6 1 kπ ⇒ ⇒ x  π 12 1 kπ 2

2

cos 29 tg cos tg 4 16 3 5 4 2 3 π π π π     2 2 3 2 2 3 [ ]

3

E tg tg tg tg π π π π 4 3 1 4 3 1 3 1 ? 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 ? ? [ ] [ ] [[ ] [ ] [ 1 3 1 3 4 2 3 1 3 2 2 3 ? ]] −2 −2 3

4

D f( ) {x ®|x 5 k , 12 2 π π k  _Ω} 2 3 2 2 2 3 x k x k π π _π π π ? ? ⇒ ⇒ ππ π _π π π ⇒ ⇒2 5 ⇒ 6 5 12 2 x k? x k

5

De acordo com a relação tg sen cos : ■ tg sen cos 1 2 π π π 6 6 6 1 2 3 2 2 3 1 3 3 3

(7)

■ tg sen cos π π π 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ■ tg sen cos π π π 3 3 3 3 2 1 2 3 2 2 1 3 1 3

6

cossec sen sen x x x 58 15 5 15 1 8 15 15 ⇒ ⇒ ⇒ 55 15 5 8 15 15 8 ⇒ sen x Uma vez que sen2_x 1 cos2_x 5 1: 15 8 1 1 15 2 2 2       ⇒ ⇒ − cos cos x x 64 cos 49 64 7 8 ⇒ x x x x x cos Q ⇒cos 7 ⇒ 8 tg sen x  155 8 7 8 15 8 8 7 15 7 I

7

a) cossec tg sen

sen x x x x x x cos cos c ? ? 5 1 oos cos

cos cos cos cos x x x x x x 5 5 5 5 1 1 1 1 2 ? 55 sec2x

b) cos tg sen cossec

cos x x x x x ? ? ? ssen sen sen sen x x x x x cos ? 1 1

8

9

c Uma vez que não existe tg π 2, o gráfico da fun ção f(x) deve possuir uma assíntota vertical em

x .5 π 2 Isso já elimina as alternativas incor retas.

10

d Por definição: n tgx senx cos 0 x x x k cos ⇒ ⇒ π 2 ππ; n cotg sen sen x x x x x k cos ⇒ ,0⇒ π com k  Ω.

Partindo do zero e em intervalos de π 2, ou sen x 5 0 ou cos x 5 0. Portanto, x não pode ser múltiplo de π 2, ou seja, x k  π, 2 sendo k  Ω.

CAPÍTULO 4

1

a) O gráfico de f (x) é resultado da translada ção de três unidades para baixo da função g(x) 5 2sen x. y x 0 2π —π 2 π –—3π 2 f g 1 1 2 3 4 b) O gráfico de f (x) é resultado da translada ção de duas unidades para cima da função g(x) 5 2cos x. y x 1 1 2π —π 2 π –— 3π 2 f g 2 3 0

(8)

c) O gráfico de f (x) é resultado da transladação de π 2 unidades para a esquerda da função g(x) 5 2cos x. y x 0 2π —π 2 π –—3π 2 f g —π 2 –—5π 2 1 1 d) O gráfico de f (x) é resultado da translada ção de π 4 unidades para a direita da função g(x) 5 2tg x. _y x 1 1 –—3π 4 0 —π 4 —π2 π 2π –—5π 4 –— 3π 2 –—7π 4 —π 4 f g f g f —π 2 –— 9π 4 g f

2

a) O gráfico de f (x) é resultado de uma opera ção sobre o período da função g(x) 5 cos x, alterado para p 52 5 . 1 2 4 π _π _y x 2π —π 2 π –—3π 2 —π 2 f g função g período 2π função f período 4π 3π –—5π 2 1 1 π b) O gráfico de f (x) é resultado de uma opera ção sobre o período da função g(x) 5 sen x, alterado para p 52 .5 4 2 π π y x 0 2π —π₂ π –—3π2 —π₂ função f p —π 2 função g p 2π f g 1 1 c) O gráfico de f (x) é resultado de uma opera ção sobre o período e a amplitude da fun ção g(x) 5 sen x, alterados para p 5 2 5 2 π _π e para 2, respectivamente. y x 0 2π —π 4 π –—3π2 –—5π 4 função f p = π função g p = 2π 1 2 2 1 —π 2 –—3π 4 –— 7π 4 f g d) Uma vez que 22 ? cos x 5 2 ? (2cos x), parti

mos da função g(x) 5 2cos x e alteramos sua amplitude para 2. y x 0 2π π _–—3π 2 1 2 2 1 —π2 f g

3

a) y(t) 5 3 ? cos 2 4 3 2 2 π π t cos t           ? _ _ Amplitude A 5 3; Período p 5 2 .5 2 π _π; Deslocamento horizontal 5 π 2 para a esquerda b) O gráfico é obtido por uma transladação da função g(x) 5 cos x de π 2 unidades para a esquerda. Sua amplitude é 3 e seu período é p 5 2 .5 2 π _π

(9)

y t 0 —π2 π 2π –—3π 2 –—5π 4 y (t) g —π 4 –—3π 4 –—7π4 1 1 2 3 2 3 f

4

a) f (2x) 5 2x ? cos (22x) ⇒ ⇒ f (2x) 5 2x ? cos (2x) ⇒ ⇒ f (2x) 5 2f (x) Portanto, a função f é ímpar. b) f (2x) 5 (2x)2_{? sen (2x) ⇒} ⇒ f (2x) 5 x2_{? (2sen x) ⇒} ⇒ f (2x) 5 2x2_? sen x ⇒ ⇒ f (2x) 5 2f (x) Portanto, a função f é ímpar.

5

Com duas incógnitas, precisamos de duas equa ções. De acordo com o gráfico, sabemos que f (0) 5 4 e f (π) 5 0. n f (0) 5 a 1 b ? cos 0 ⇒ 4 5 a 1 b ? 1 ⇒ ⇒ a 1 b 5 4 (I) n f (π) 5 a 1 b ? cos π ⇒ 0 5 a 1 b ? (21) ⇒ ⇒ a 5 b (II) Se o resultado da equação (II) for substituído na equação (I), resulta: a 1 b 5 4 ⇒ b 1 b 5 4 ⇒ 2b 5 4 ⇒ ⇒ b 5 2 e a 5 2

6

a 5 22, b 5 3 e c 5 1 2 Com três incógnitas, precisamos de três equa ções. De acordo com o gráfico, sabemos que f (0) 5 22, f (π) 5 1 e f (2π) 5 22. n f (0) 5 a 1 b ? sen (c ? 0) ⇒ ⇒ 22 5 a 1 b ? sen 0 ⇒ a 5 22 n f (π) 5 a 1 b ? sen (c ? π) ⇒ ⇒ 1 5 22 1 b ? sen (c ? π) ⇒ ⇒ b ? sen (c ? π) 5 3 (I) n f (2π) 5 a 1 b ? sen (c ? 2π) ⇒ ⇒ 22 5 22 1 b ? sen (c ? 2π) ⇒ ⇒ b ? sen (c ? 2π) 5 0 (II) De acordo com a equação (II), temos: b ? sen (c ? 2π) 5 0 ⇒ ⇒_  ⇒ ⇒ b c c 5 5 5 0 2 0 2 (não convém) sen π π 0 0 2 2 1 ⇒ ⇒ c c c 5 5 5 (não convém) (n π π ãão convém) 2 1 2 πc 5π⇒c5        Substituindo na equação (I), obtemos: b ? sen (c ? π) 5 3 ⇒ b ?sen 1 2π     5 3 ⇒ ⇒ b ?sen π 2     5 3 ⇒ b ⋅ 1 5 3 ⇒ b 5 3

7

a 5 1, b 5 ₂1 Com duas incógnitas, precisamos de duas equa ções. De acordo com o gráfico, sabemos que f (0) 5 1, f π 2     5 2 e f 2 π2     5 0. n f (0) 5 a 1 tg (b ? 0) ⇒ 1 5 a 1 tg 0 ⇒ a 5 1 n f π 2     5 a 1 tg b ? π 2     ⇒ 2 5 1 1 tg b ? π2     ⇒ ⇒ tg b ? π 2     5 1 ⇒ ⇒ b ?π 2 5 π 4 ⇒ b 5 1 2

8

A amplitude (b) pode ser calculada por b 5 38 2 2 2 5 18. De janeiro a agosto temos a metade do período, uma vez que o período completo tem 14 meses. Portanto, p c c c | | | | . 5 2 1452 5 7 π _⇒ π _⇒ π T 5 a 1 b · cos ct De 18 °C para 38 °C há uma translação vertical de 20 °C, portanto, a 5 20. Por isso, a equação da temperatura será T t( ) cos20 18 .t 7 ? π ?   

(10)

9

a 5 2 e b 5 23

Observe: ambas as funções têm o mesmo perío do, por isso a 5 2. Observe também que, em módulo, ambas têm a mesma amplitude, e são simétricas em relação ao eixo x. Por isso, b 5 23.

10

d n a n a 1 5 2 5 1 6 3 1 3 ⇒ + ⇒ sen π 15 3 2 15 1 14 5 ₅ sen π n ⇒a 225 5 2 25 1 26 39 ₃₉ sen π  n ⇒ a 1195 39 2 195 1 194 sen π

Somados todos os termos a1, a3, ..., a37, a39 (20

termos), de fato somamos os 20 primeiros ter mos da PA (5, 15, 25, ..., 185, 195, ...) e os 20 pri meiros termos da PG (1, 21, 1, 21, ..., 1, 21).

A soma dos 20 primeiros termos da PA é 2.000, e a soma dos 20 primeiros termos da PG é 0; portanto, a soma procurada é 2.000.

11

e

O gráfico representa uma função periódica de período 2π e ainda:

f (2π) 5 f (0) 5 f (π) 5 f (2π) 5 0

Essas são características da função seno. De fato, o gráfico representa uma função seno com uma modificação na amplitude e sem transla dações, o que é visto apenas na alternativa e.

12

b

O gráfico representa o trecho de uma função semelhante a uma senoide de período 4π, am plitude 2. Além disso: 4 2 1 2 π π | | 5 5 c ⇒ c Portanto, f x( ) 5 2 sen ? x. 2

1

a) 25 3 3 24 3 3 8 3 π π π π _π π  ⇒ ⇒ π π 3 12k k  , Ω b) 123π π π π π 7 11 7 112 7 11 7 16  11 7 11 7 2 π π _π ⇒ 1 k k  , Ω

2

_a 1 b 1 2 e O período da função é 4π, portanto: p b | | 5 2π 54π ⇒ | | b 5 1 2 ⇒ b 5 1 2. De acordo com o gráfico, sabemos que f (0) 5 21, portanto: 21 5 a ? cos (b ? 0) ⇒ a ? cos 0 5 21 ⇒ a 5 21

3

f (x) é máximo, se cos x  2 3 1 π     ⇒ ⇒ x 2 3 π _{π ⇒ x} . π 2π 5π 3 3

4

_{O período de f (x) é}π 2. De 0 a 2π o gráfico de f completa quatro ciclos e g é estritamente cres cente e positiva interceptando o gráfico de f onde ela é positiva. Por isso, no intervalo consi derado e acima do eixo x, f tem que crescer e decrescer oito vezes cruzando obrigatoriamen te com o gráfico de g. y x 0 _—π 2 π g 1 1 f —π 4 2π —–7π 4 —–3π 2 —–5π 4 —–3π 4 A partir dos gráficos, observamos que há oito pontos comuns.

5

d Como 2x 1 y 5 π, os ângulos de medida y e 2x são suplementares. Portanto, cos y 5 2cos 2x.

Exercícios de integração

(11)

6

d O sinal de sen (b 1 nπ) se comporta de acordo com a paridade de n. n Se n é ímpar, sen (b 1 nπ) 5 2sen b. n Se n é par, sen (b 1 nπ) 5 sen b. Portanto, sen (b 1 nπ) 5 (21)n sen b.

7

e Multiplicando por K a variável independente da função sen x, o período da função resultante será inversamente proporcional a K, porque é dado por 2π | |k .

8

a) De acordo com a função, temos que p 5 2 6 6 12 π π 52π ? π .5 Portanto, seu período é 12. b) O valor da função é máximo quando: _{sen π}t π πt π π k 6 2 1 6 2 2     ⇒ ππ π _π ⇒ ⇒ t k⇒ k 6 2 t 12 Como o período considerado é de 24 meses, k 5 1 ou k 5 2. O valor mínimo da função ocorre se sen πt π 6 1 2     5 21: sen πt π πt π π 6 2 1 6 2 2     ⇒ k t ⇒ ⇒ π 6 5 π 1 2kπ ⇒ t 5 6 1 12k 3π 2 2

Como o período considerado é de 24 meses, K 5 0 ou K 5 1.

Portanto, Q(t) é máximo para t 5 12 ou t 5 24 e Q(t) é mínimo para t 5 6 ou t 5 18.

9

_a

O gráfico G1 tem configuração de uma expo

nencial, portanto associase a f1. O gráfico G2 tem configuração de uma trigono métrica, portanto associase a f4. O gráfico G3 tem configuração de uma logarít mica, portanto associase a f2. Por fim, o gráfico G4 tem configuração de uma quadrática, portanto associase a f3.

10

c

Do gráfico da função g obtêmse os pontos (0, 1) e 21 2, .0     Por isso podem ser calculados os coeficientes a e b: g(0) 5 1 ⇒ a ? 0 1 b 5 1 ⇒ b 5 1 g 1 a a 2 1 2 1 0 2         ⇒ ? 11 0 2 1 2 1 2 ⇒ ⇒ a ⇒ a ⇒a g(x) 5 2x 1 1 ⇒ x 5 2 ? g21(x) 1 1 ⇒ ⇒ g x−1 x 1 2 ( )  ⇒ g−12 1 2 ( ) 5 ⇒ ⇒ f g

(

−( )

)

f            1₂ 1 2 1 2 2 5 5 sen π ? 5 5 sen π 4 2 2 5 f g

(

−( )

)

f            1₂ 1 2 1 2 2 5 5 sen π ? 5 5 sen π 4 2 2

(12)

CAPÍTULO 1

1

a) 4 b) 3 21

2

a)_{O valor da expressão tem sinal positivo.} b) O valor da expressão tem sinal positivo.

3

5 2 10 2 1 u.c.

4

3 2 u.a.

5

π 1 2 2 u.a.

6

2 3 2 1 u.a.

7

b

8

b

9

e

10

b

11

Cosseno de 190° é maior que cosseno de 2535°.

CAPÍTULO 2

1

S m | ® 1 m 4 3 4      

2

3

a) S m | ® 8 m 3 2       b) S m | ® 0m 4 5       c) S m | ® 2 5 m 5 2 5 5        

4

a) 850 cabeças

b) Alcançou seu valor máximo em janeiro

de 2002.

5

0

6

0

7

1 hora e 12 minutos

8

_{1.050 toneladas}

9

e

10

3 h e 15 h

11

a

12

Falsa

CAPÍTULO 3

1

a) D {x | ,® x π k π 8 4 k  Ω} b) D= | {x ® x π ,k π 12 2 k  Ω}

2

2 2 3

2

3

2 22 3

4

D f( ) | {x® x5 k , 12 2 π _{π k  Ω}}

5

tg π 6 3 3 5 ; tg π 4 5 e tg1 π 3 5 3

6

tg x 5 15 7

7

a) sec 2_{x b) sen x 1 1}

8

d

9

c

10

d

CAPÍTULO 4

1

a) y x 0 2π —π 2 π –—3π 2 f g 1 1 2 3 4 b) y x 1 1 2π —π 2 π –— 3π 2 f g 2 3 0 c) y x 0 2π —π 2 π –—3π 2 f g —π 2 –—5π 2 1 1

Gabarito

(13)

d) y x 1 1 –—3π 4 0 —π 4 —π2 π 2π –—5π 4 –— 3π 2 –—7π 4 —π 4 f g f g f —π 2 –— 9π 4 g f

2

a) y x 2π —π 2 π –— 3π 2 —π 2 f g função g período 2π função f período 4π 3π –—5π 2 1 1 π b) y x 0 2π —π₂ π –—3π2 —π 2 função f p —π 2 _{função g p 2π} f g 1 1 c) y x 0 2π —π 4 π –—3π2 –—5π 4 função f p = π função g p = 2π 1 2 2 1 —π 2 –—3π 4 –— 7π 4 f g d) y x 0 2π π _–—3π 2 1 2 2 1 —π2 f g

3

_{a) A 5 3; p 5 π. Deslocamento horizontal 5}π 2; para a esquerda. b) A amplitude é 3 e o período é π. y t 0 —π2 π 2π –—3π 2 –—5π 4 y (t) g —π 4 –—3π 4 –—7π₄ 1 1 2 3 2 3 f

4

a) A função f é ímpar. b) A função f é ímpar.

5

a 5 2; b 5 2

6

a 5 22; b 5 3; c 5 1 2

7

a 5 1; b 5 1 2

8

T t( ) cos 20 18 t 7 ?  π ?   

9

a 5 2; b 5 23

10

d

11

e

12

b

1

a) π π 3 ,1k ?2 k 

Ω

b) 11 7 2 π _π ,1k ? k 

Ω

2

a 5 21; b 5 1 2

Exercícios de integração

3

x 55 3 π

₄

_{Oito pontos comuns}

5

d

6

d

7

e

8

a) 12 b) Máxima: t 5 12 ou t 5 24 Mínima: t 5 6 ou t 5 18

9

a

10

c