Geometria - 10º Ano

Considera num plano munido de um referencial o.n. Oxy os pontos

(

1 2 3

)

A − k , −k , k∈ ℝ e B

(

−1 3,

)

. Determina todos os valores de k de modo que:

1.1. o ponto A pertença ao 2.° quadrante;

1.2. _{os pontos A e B pertençam à mesma paralela a Oy .}

No plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , considera o seguinte conjunto

(

)

{

}

= : 1− ≤ ≤ ∧ + ≥2 2 0

A P x , y x y .

2.1. _{Dá exemplo das coordenadas de um ponto que não pertença ao conjunto A .} 2.2. _{Representa geometricamente o conjunto A .}

No espaço, em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera o ponto P

(

−2 3 , , −5

)

. Indica as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P sobre:

3.1. _{o plano yOz ;} 3.2. _{o eixo Ox ;} 3.3. _{o plano z}= . ₁

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um cubo. Sabe-se que:

a face [OPUV] está contida no plano xOy ; a face [OPQR] está contida no plano xOz ;

o centro do cubo é o ponto de coordenadas

(

−2 , −2 2,

)

.

4.1. Indica as coordenadas dos vértices do cubo.

4.2. _{Indica um sistema de equações que defina a reta ST .} 4.3. _{Define por uma condição a face [PQTU] .}

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1

2

3

1.1. _{Um ponto P (x , y) pertence ao 2.° quadrante quando x}< ∧ >_{0 y 0 .} 1 2− k< ∧ − >0 3 k 0 § −2k < ∧ − > −1 k 3 § > − ∧ <1 3 2 k k Então, ∈ −_ _   1 3 2 k , .

1.2. _{A e B devem ter a mesma abcissa para pertencerem à mesma reta paralela a Oy .}

− = −

1 2k 1 § −2k = −2 § = 1k

2.1. Por exemplo, (3 , 4) .

2.2. − ≤ ≤ ∧ + ≥_{1 x 2 y 2 0 §} ≥ − ∧ ≤ ∧ ≥ −_{x 1 x 2 y 2}

3.1. _{A projeção ortogonal de P ( 2 3 − , , −5) sobre o plano yOz é (0 3 , , −5) .} 3.2. A projeção ortogonal de P ( 2 3 − , , −5) sobre o eixo Ox é ( 2 0 0)− , , .

3.3. _{A projeção ortogonal de P ( 2 3} − _{, ,} −_{5) sobre o plano z= 1 é P ( 2 3 1)}− _{, , .}

4.1. _{As coordenadas dos vértices do cubo são O(0 0 0), , ; P( 4 0 0)}− _{, , ; U( 4} − _, −_{4 0), ;}

−

(0 4 0)

V , , ; R(0 0 4), , ; Q( 4 0 4)− , , ; T( 4 − , −4 4), ; S(0 , −4 4), .

4.2. _{A reta ST é definida por y} = − ∧ =_{4 z 4 .} 4.3. _{A face [PQTU] é definida por:}

= − ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤4 4 0 0 4

x y z

2

3

No plano, em relação a um referencial o.n., considera os pontos A( 1 2)− , , B( 3 4)− , e (3 2)

C , .

1.1. _{Determina o comprimento da mediana do triângulo [ABC] em que uma das}

extremidades é A .

1.2. _{Determina as coordenadas de um ponto P da reta AC , não pertencente a [AC] , tal}

que BP= 8 .

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um prisma triangular reto mas não regular.

Sabe-se que:

AB=AC e DE =DF ;

a base [ABC] está contida no plano xOy ; a face [BEFC] está contida no plano yOz ; O é o ponto médio de [BC] ;

o ponto D tem de coordenadas (4 0 10), , ; 5

AB= .

2.1. _{Determina as coordenadas dos vértices B e F .}

2.2. _{Representa por uma equação o plano que passa pelo ponto médio de [DE] e é}

paralelo ao plano y = 3 .

2.3. _{Determina o volume do prisma.}

2.4. _{Determina k de modo que o plano definido pela equação z}= divida o prisma em _k

dois, em que o volume do prisma cujos pontos têm cota não superior a k é 40% do volume do prisma dado.

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1

1.1. _{Se A é uma das extremidades da mediana, a outra é o ponto médio do lado oposto a}

A , isto é ,

[ ]

BC . Seja M esse ponto. _− + + _

  3 3 4 2 2 2 M₁ , , isto é, M₁

(

0 3,

)

.

(

) (

2

)

2 0 1 3 2 AM= + + − = 2 . O comprimento da mediana é 2 .

1.2. _{Repara que os pontos A e C têm a mesma ordenada. Então, a reta AC é definida}

pela equação y = 2 .

Os pontos cuja distância a B é 8 são os pontos ( 2)x , tais que:

(

)

2 2 2 2 3 BP = + x+

( )

2 = + 2+ + 8 4 x 6x 9 § 2 6 5 0 x + x+ = § § =− ±6 16 2 x § x = − ∨1 x= −5

Os pontos da reta AC tais que BP= 8 são −

( 1 2), e ( 5 2)− , .

O ponto que não pertence a [AC] é ( 5 2)− , .

2.1. _{Como o prisma é reto, a projeção ortogonal de D sobre o plano xOy é A .}

Então, as coordenadas de A são (4 0 0), , .

O triângulo [OAB] é retângulo. Como AB= , pelo Teorema de Pitágoras, tem-se: 5

2 2 2

OB +OA =AB §OB2+42 =52 §OB2= . Logo, 9 OB= e 3 OC= também. 3 O ponto B tem coordenadas (0 3 0), , e o ponto F tem coordenadas (0 , −3 10), .

2.2. Sabe-se que D(4 0 10), , e D(0 3 10), , .

Sendo S o ponto médio de [DE] , tem-se _ _

 

3 4 10

2

S , , . O plano que passa pelo ponto médio de [DE] e é paralelo ao plano y = 3 é o plano de equação ₌3

2 y .

2.3. _{Seja V o volume do prisma .} = ×

base altura V A = 2 BC OA AD × × Então, =6 4× ×10=120 2 V .

2.4. O prisma constituído pelos pontos de cota não superior a k tem base igual à do prisma e altura igual a k , sendo k > 0 .

Seja V o volume do prisma de altura k . ₁

= × 1 0,4 V V § 6 4× × =0,4 120× 2 k § 12k=48 § = 48 12 k § = 4_k 2

No plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , considera o triângulo [ABC] , sendo

(

1 −2

)

A , , B

(

3 2,

)

e C

(

−4 3,

)

.

1.1. _{Determina o comprimento do menor lado do triângulo [ABC] .}

1.2. _{Mostra que o triângulo [AMC], sendo M o ponto médio de [AB], é retângulo em M.} 1.3. _{Determina uma equação cartesiana, na forma reduzida, da mediatriz de [AC] .}

No plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , considera a circunferência definida pela equação

(

₊

) (

2 _{+ −}

)

2 ₌

1 3 4

x y e o semiplano definido pela inequação y ≤ + 4x . 2.1. _{Mostra que o centro da circunferência pertence à fronteira do semiplano.}

2.2. _{Sejam A e B os pontos de interseção da circunferência dada com o eixo Oy .} Representa através de uma equação na forma reduzida a circunferência em que [AB] é um dos diâmetros.

Na figura, em referencial o.n. Oxy , está representada a elipse de centro na origem do referencial e vértices nos pontos de coordenadas

(

4 0,

)

,

(

−4 0,

)

,

(

0 2,

)

e

(

0,−2

)

.

O ponto F representa o foco da elipse que tem abcissa positiva.

3.1. Representa a elipse por uma equação na forma reduzida.

3.2. _{Determina as coordenadas do ponto F .}

3.3. _{Mostra que PQ}= , sendo P e Q os pontos de interseção da elipse com a reta que ₂

passa em F e é paralela a Oy .

No espaço, em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera a esfera definida pela inequação _x2 _−2x+y2 _+z2_{+4z≤4 .}

4.1. _{Determina as coordenadas do centro da esfera e o raio.}

4.2. _{Representa, através de equações cartesianas, todos os planos tangentes à esfera e}

que sejam paralelos a um dos planos coordenados.

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1

2

3

1.1. _AB=

(

_{3 1−}

) (

2 _{+ 2+2}

)

2 _{= 20 ; BC=}

(

_{− −4 3}

) (

2 _{+ 3−2}

)

2 _{= 50 ; AC=}

(

_{− −4 1}

) (

2_{+ 3+2}

)

2 = 50 . O menor lado é AB= 20 . 1.2. _ + − + _=

(

)

  1 3 2 2 2 0 2 2

M , , . Pelo Teorema de Pitágoras,

2 2 2 AM +MC =AC §

(

+

)

+_ + −

( )

_ =   2 2 2 2 2 2 1 2 6 3 50 § 5 45 50+ = . O triângulo [AMC] é retângulo em M .

1.3. Seja P (x , y) um ponto da mediatriz de [AC] .

AP =CP §

(

_x−1

) (

2 _{+ y +2}

)

2 ₌

(

_x+4

) (

2 _{+ y −3}

)

2 § − + + + + = + + + − + 2 2 2 2 2 1 4 4 8 16 6 9 x x y y x x y y § −10x+10y =20 § y = + 2x Mediatriz de [AC] : y = + 2x

2.1. O centro C da circunferência de equação

(

x+1

) (

2+ y−3

)

2 =4 é o ponto C

(

−1 3,

)

. A fronteira do semiplano é a reta definida por y = + 4x . Verifica-se que _{3= − +1 4 ,} ou seja, o ponto C pertence à reta.

2.2. Sejam A e B os pontos de interseção da circunferência dada com o eixo Oy .

(

) (

)

 + + − =  =  2 2 1 3 4 0 x y x §  −_

(

)

= =  2 3 3 0 y x §  − =_ =  3 3 0 y x ›  − =_ =  3 3 0 y x § §  = +_ =  3 3 0 y x ›  = −_ =  3 3 0 y x . Seja A

(

0 3, + 3

)

e B

(

0 3, − 3

)

e M o ponto médio de [AB] , isto é, M

(

0 3,

)

. Como A , B e M pertencem ao eixo Oy , a distância entre M e A é a diferença entre as suas ordenadas. MA= 3 . A circunferência de diâmetro [AB] é definida por x2+

(

y−3

)

2=3.

3.1. Sabe-se que _{a= 4} e _{b= 2} . Então, a elipse é representada pela equação

2 2

1

16 4

x y

+ = .

3.2. _{Seja F c ,}

(

₀

)

_{, com c> 0 . Considere-se} 2 ₊ 2 ₌ 2

c b a § c2 + =4 16 § 2 ₌ 12

c .

Então _{c= 12}. O ponto F é

(

12 0,

)

.

3.3. _{A reta que passa em F e é paralela a Oy é a reta de equação x= 12 .}

 + =    =  2 2 1 16 4 12 x y x §  + =    =  2 12 1 16 4 12 y x §  + = =  2 12 4 16 12 y x §  =   =  2 1 12 y x Seja P

(

12 1,

)

e Q

(

12 1, −

)

. Então, _PQ=

(

_{1 1}+

)

2 = . ₂ 4.1. 2 _{− +} 2 ₊ 2 _{+ ≤} 2 4 4 x x y z z §

(

−

)

2 − + 2 +

(

+

)

2 − ≤ 1 1 2 4 4 x y z § §

(

_x−₁

)

2+_y2+

(

_z+₂

)

2≤₉ Centro:

(

1 0 , , −2

)

; raio: 3 4.2. _{x= −2 ; x= 4 ; y} = −3 _{; y} = 3 _{; z= −5 ; z= 1} 1 2 3 4

Na figura, sobre uma base quadriculada estão representados dois vetores u e v e um ponto P .

Copia a figura e assinala os pontos A , B e C de modo que:

1.1. = −3 2 PA u 1.2. PB= +u v 1.3. =1 − 2 PC u v

Na figura, em referencial o.n. Oxy , está representada a circunferência de centro no ponto C

(

2 3,

)

e que passa pelo ponto A

(

0 1,

)

.

2.1. Representa a circunferência através de uma equação na forma reduzida.

2.2. Representa a reta AC através de equações paramétricas.

2.3. Representa por uma inequação o conjunto de pontos do plano que pertencem ao semiplano superior fechado definido pela reta AC .

No espaço, em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera o vetor u

(

2,−1 3,

)

e os pontos A

(

2,−3 1,

)

e B

(

6,−5 0,

)

.

3.1. Os vetores u e AB são colineares? Justifica.

3.2. Seja r a reta que passa em A e tem a direção de u .

a) Representa a reta r através de uma equação vetorial.

b) Determina as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano xOz .

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1

2

1.1. = −3 2 PA u § =3 2 AP u 1.2. _{PB= +u v §} B−P= +u v § B=P+ +u v 1.3. =1 − 2 PC u v § − = 1 − 2 C P u v § = + 1 − 2 C P u v 2.1. Raio: AC= 8

(

) (

2

)

2 2 3 8 x− + y − = 2.2. AC=C−A= 2 2

(

,

)

; equação vetorial:

(

x , y

) (

= 0 1,

)

+k

(

2 2,

)

_{, k}∈ ℝ 2 1 2 x k y k , k =   _{= + ∈}  ℝ

2.3. Seja y =mx+b a equação reduzida da reta AC . Como AC= 2 2

(

,

)

, tem-se 1

m= . A ordenada na origem é 1 , uma vez que a reta passa por A .

O conjunto de pontos

(

x , y do plano que pertencem ao semiplano superior

)

fechado definido pela reta AC são tais que y≥ + 1x .

3.1. _AB→ _{= −B A=}

(

_{4 , −2 1, −}

)

.

Os vetores u e AB são colineares se ∃ ∈k R : AB=k u .

(

4 , −2 , −1

)

=k

(

2,−1 3,

)

§

(

4 , −2 , −1

) (

= 2k , −k , 3k §

)

§ =  _{− = −}   _{= −}  2 4 2 3 1 k k k §   =  =    = −  2 2 1 3 k k k

, impossível. Então, os vetores u e AB não são colineares.

3.2. a)

(

x , y , z

) (

= 2 , −3 1,

)

+k

(

2 , −1 3,

)

, _k∈R b) O plano xOz é definido pela equação y = 0 .

Os pontos da reta r são tais que:

(

x , y , z

) (

= 2+2k , − −3 k , 1 3+ k ,

)

k∈R Para pertencer ao plano verifica-se: − − =3 k 0 , isto é, k = −3.

O ponto da reta que pertence ao plano xOz é

(

−4 0 , , −8

)

. 2

No plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , considera os semiplanos fechados definidos pelas inequações:

≥ −2

x e y ≤ 3

Seja P um ponto do plano que pertence a um e a um só dos dois semiplanos. As coordenadas do ponto P podem ser:

(A) _− _   5 1 2 , (B) 7 2 2 ,       (C) ₋      3 7 2 , 2 (D) ₋      5 7 2 , 2

No plano, munido de um referencial o.n. Oxy , a região colorida corresponde a um conjunto de pontos P x , y .

(

)

O conjunto representado na figura pode ser definido pela condição:

(A) ∼

(

x2 ≤ ∨1 y >3

)

(B)

(

− ≤ ≤ ∨ ≤1 x 1 y 3

)

(C) (x≥ − ∧ ≤1 y 3

)

(D) ∼

(

x2 > ∨1 y >3

)

Em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera os pontos ₊ 2 ( 5 )

A k , k , k , k∈ ℝ e B( 1 4 9)− , , .

Os pontos A e B definem uma reta paralela ao eixo Oz se k é igual a:

(A) −1 (B) 3 (C) 4 (D) 0

Em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera o ponto P

(

−2 3 , , −5

)

e o plano α que passa em P e é paralelo a yOz .

As coordenadas do ponto de interseção do plano α com o eixo Ox são:

(A)

(

0 0 , , −5

)

(B)

(

−2 0 0, ,

)

(C)

(

−2 3 0, ,

)

(D)

(

0 3 0, ,

)

No espaço, em relação a um referencial o.n. Oxyz , seja P um ponto do 3.° octante. O simétrico de P em relação ao eixo Ox pode ser:

(A)

(

−3 , − 2 , − π

)

(C)

(

−π 3 , , − 5

)

(B)

(

3 , − π , − 5

)

(D)

(

−3 , − π 5,

)

Aluno N.º Turma Data - -

1

2

3

4

Na figura, em referencial o.n. Oxy , está representado um quadrado [ABCD] .

Sabe-se que:

o centro do quadrado coincide com o ponto O ; a reta AB é paralela a Ox ;

6 BD=

6.1. Determina as coordenadas dos vértices do quadrado.

6.2. Dá exemplo das coordenadas de um ponto do 2.° quadrante que pertença a [BD] .

6.3. Determina para que valores de k o ponto P de coordenadas

(

2k , k2 −1

)

pertence a [BD] e ao 4.° quadrante.

No espaço, em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera o ponto P

(

2 1 3, − ,

)

.

7.1. Indica as coordenadas da projeção ortogonal de P sobre Oz .

7.2. Determina k de modo que − 2−

( 1 k , , k 7) sejam as coordenadas do simétrico de P em relação Oy .

Na figura, em referencial o.n. Oxyz , está representado um prisma quadrangular reto em que as bases são trapézios.

Sabe-se que:

a face [OEFG] está contida no plano xOy ; a base [OGDA] está contida no plano yOz ; a face [ABCD] é um quadrado de área 9 e está contida no plano definido pela equação z= 3; as coordenadas do vértice F são (3 5 0), , .

8.1. Determina as coordenadas do vértice C .

8.2. Define por um sistema de equações a reta BC .

8.3. Determina as coordenadas do ponto de interseção do plano definido pela equação 2

z= com a reta CF .

7

Das quatro opções apresentadas, o ponto _− _

 

3 7

2 , 2 pertence a um e um só dos semiplanos dados. Basta notar que −3 ≥ −2

2 mas 7 3 2 > . Opção: (C)

(

)

∼ 2 > ∨ > 1 3 x y § 2 ≤ ∧ ≤ 1 3 x y § ≤ ∧ ≥ − ∧ ≤x 1 x 1 y 3 Opção: (D)

Uma reta paralela a Oz e que passa por B é definida por x= − ∧ =1 y 4 sendo _z∈ ℝ. Então, k = − ∧ + =1 k 5 4 § _{= −1k} .

Opção: (A)

O plano a que passa em P e é paralelo a yOz tem por equação x = −2 . Então, o eixo Ox interseta a no ponto ( 2 0 0)− , , .

Opção: (B)

Um ponto P x , y , z pertencente ao 3.° octante é tal que

(

)

x< ∧ < ∧ >0 y 0 z 0 . O seu simétrico é um ponto P ' x', y ', z' pertencente ao 6.° octante tal que

(

)

< ∧0 > ∧0 <0

x' y ' z' .

Das opções dadas, apenas

(

−π 3 , , − 5

)

satisfaz essas condições. Opção: (C) 6.1. Seja AB=AD= . Então, a a2 +a2 =62 § 2 2a =36 § 2 18 a = . Então, a= 18=3 2 . Assim AB=AD=3 2 .   − −       3 2 3 2 2 2 A , , _ − _   3 2 3 2 2 2 B , , 3 2 3 2 2 2 C_ , _   ,   −       3 2 3 2 2 2 D , 1 2 3 4 5 6

6.2. A reta BD é a bissetriz dos quadrantes pares, definida por y = −x .

Para pertencer ao 2.° quadrante, o ponto deve ter abcissa negativa e ordenada positiva.

Por exemplo, o ponto _− _

 

3 2 3 2

2 2

D , satisfaz as condições.

6.3. Para pertencer ao 4.° quadrante, o ponto deve ter abcissa positiva e ordenada negativa. BD : y = −x − = − 2 1 2 k k ‹ 2k2 >0 ‹ k− <1 0 § _2k2 + − =_{k 1 0 ‹ k ≠ 0 ‹ k< 1 §} § ₌ − ±1 1 8+ 4 k ‹ k ≠ 0 ‹ _{k < 1} § _ = − ∨ = _   1 1 2 k k ‹ k≠ 0 ‹ _{k< 1} Conclui-se que ∈ −_ _   1 1 2 k , .

7.1. A projeção ortogonal de P (2 , −1 3), sobre Oz é o ponto (0 0 3), , .

7.2. O simétrico de P (2 , −1 3), em relação a Oy é o ponto (2 , −1 , −3) . Então, _{= − ∧} 2 _{− = −} 2 7 3 k k § = − ∧ 2 ₌ 2 4 k k § § _{k= − ∧2}

(

_{k = ∨ = −2 k 2}

)

_{§ = −2k .}

8.1. Determina as coordenadas do vértice C . =

2 ₉

BC , ou seja, BC= . Também 3 AB= . 3

Como a face [ABCD] está contida no plano _{z= 3} , tem-se BE= . 3 Assim, C (3 3 3), , .

8.2. x= ∧ =3 z 3

8.3. CF =

(

3 5 0, ,

) (

− 3 3 3, ,

) (

= 0 2 , , −3

)

Uma equação vetorial de CF é

(

x , y , z

) (

= 3 5 0, ,

)

+k

(

0 2 , , −3

)

, k∈R , isto é,

(

x , y , z

) (

= 3 5, +2 k , −3k ,

)

k∈R .

Para pertencer ao plano z= 2 , tem-se _{−3k =2} § _{= −}2 3 k . Então,

(

)

3 11 2 3 x , y , z =  , , _   . 7 8

N

o plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , são dados dois vetores não nulos tais que u e v .

Sabe-se que u+v = u + v . Podes concluir que:

(A) A soma dos vetores é o vetor nulo.

(B) Os vetores são não colineares.

(C) Os vetores são colineares e têm o mesmo sentido.

(D) Os vetores são colineares e têm sentidos opostos.

Na figura, em referencial o.n. Oxy , está representada uma circunferência de raio r e centro no ponto C . Sabe-se que a circunferência interseta o eixo Ox nos pontos A e B , sendo AB= . 4

Qual dos seguintes valores pode corresponder ao raio da circunferência? (A) 2 (C) 2 (B) 5 (D) 3

No plano, em referencial o.n. Oxy , uma reta r é definida pela equação y= −2x+3 . Uma equação vetorial da reta r pode ser:

(A)

(

x , y

) (

= 1 2,

)

+k

(

1 , −2

)

, k∈R

(C)

(

x , y

) (

= −1 5,

)

+k

(

2,-1

)

, k∈R

(B)

(

x , y

) (

= 1 1,

)

+k

(

−2 1 ,

)

, k∈R

(D)

(

x , y

) (

= -1 5,

)

+k

(

-1 2 ,

)

, k∈R Em relação a um referencial o.n. Oxy uma elipse é definida por uma equação do tipo

2 2

2 1 2

4

x y

, a

a + = > . Sabe-se que a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos é 4 3 . Podes concluir que o valor de a é:

(A) _{2 3} (B) ₁₂ (C) _{4 3} (D) ₄₈

No espaço, em referencial cartesiano Oxyz , uma superfície esférica, em que A e B são extremos de um dos diâmetros, é definida pela equação x2 +y2 +4y+z2 = . 0

Uma equação do plano mediador de [AB] pode ser:

(A) − + − = 1x y z

(C) x−3y+ =z 6

(B) 2x− + =y z 0

(D) 2x+ + =y z 1

Aluno N.º Turma Data - -

1

2

3

4

No plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , considera os pontos A

(

1 , −2

)

e B

(

−2 0,

)

.

6.1. Determina uma equação na forma reduzida da: a) mediatriz de [AB] ;

b) circunferência de diâmetro [AB] ;

6.2. Determina as coordenadas do ponto P , sabendo que 1 2

OP= − BA .

Na figura está representado um triângulo [ABC] , sendo [CD] uma mediana do triângulo.

Mostra que CA CB+ = 2CD .

Na figura, em referencial o.n. Oxy , estão representadas uma elipse e duas circunferências com centros em O (origem do referencial).

Sabe-se que:

o eixo maior da elipse é diâmetro da circunferência C1 ;

e o eixo menor é diâmetro da circunferência C2 ;

os pontos A e B são vértices da elipse; a elipse é definida pela equação

2 2

1

25 9

x y

+ = .

8.1. Determina as coordenadas dos focos da elipse.

8.2. Representa a circunferência C2 por uma equação

na forma reduzida.

8.3. Define por uma condição o conjunto de pontos da região colorida, incluindo a fronteira.

Na figura, em referencial o.n. Oxyz , está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que:

a base está contida no plano xOy ;

os vértices A e V têm coordenadas, respetivamente,

(

4 0 0, ,

)

e

(

0 0 9, ,

)

;

o plano EFG é definido pela equação z= . 6

9.1. Escreve uma equação vetorial da reta AV e determina as coordenadas do ponto E .

9.2. Define por uma inequação a esfera de centro V e tangente ao plano EFG .

9.3. Determina o volume da pirâmide [EFGHV] . 6

7

8

Se os vetores fossem não colineares ter-se-ia u+v < u + v .

Se os vetores são colineares com sentidos opostos ocorre uma das seguintes situações: =

u v e, neste caso, u = −v e u+v = 0 +0 ; ≠

u v e, neste caso, u+v = u − v < u + v .

Se os vetores são colineares com o mesmo sentido, tem-se u+v = u + v . Opção: (A)

Em qualquer circunferência o raio é sempre maior ou igual a metade do comprimento de qualquer corda. O raio é igual a metade da corda no caso de a corda ser um diâmetro, não sendo esse o caso.

Como AB= 4 e [AB] não é um diâmetro conclui-se que o raio é maior do que 2 . Opção: (B)

A reta de equação y= −2x+3 tem declive - 2 .

Na opção (A), o declive da reta é - 2 mas o ponto (1 , 2) não pertence à reta dada. Na opção (B), o declive da reta é −1

2 .

Na opção (C), o declive da reta é −1 2 .

Na opção (D), o declive da reta é - 2 e o ponto (- 1 , 5) pertence à reta dada. Opção: (D)

Sabe-se que o eixo maior é igual à soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos.

Então, 2a=4 3 § a=2 3. Opção: (A)

Sendo [AB] um diâmetro, o ponto médio é o centro da superfície esférica que terá de pertencer ao plano mediador de [AB] .

+ + + = 2 2 2 4 0 x y y z § x2+

(

y2+4y+4

)

+z2 =4 § _{2 +}

(

₊

)

2_{+ 2 =} 2 4 x y z

Centro da superfície esférica:

(

0 , −2 0,

)

O centro pertence apenas ao plano dado na opção (C). Opção: (C) 1 2 3 4 5

6.1. a) Seja P x , y um ponto qualquer da mediatriz de [AB] .

(

)

_PA=PB §

(

) (

2

) (

2

)

2 2 1 2 2 x− + y + = x+ +y § _x2−_2x+ +_{1 y}2+_4y+ =_{4 x}2+_4x+ +_{4 y}2 § −6x+4y+ =1 0 _§ 3 1 2 4 y = x+

b) Centro da circunferência: ponto médio de [AB] .

_ − − +  _{ }= − − _     1 2 2 0 1 1 2 , 2 2, Raio: ₌

(

+

) (

+ − −

)

₌ 2 2 1 2 2 0 ₁₃ 2 2 2 AB Equação da circunferência:

(

)

2 2 1 13 1 2 4 x y  ₊  _{+ + =}    

6.2. Sejam

(

x , y as coordenadas do ponto P .

)

BA=B−A= −

(

2 0,

) (

− 1 , −2

) (

= −3 2,

)

= −1 2 OP BA §

(

)

= −1

(

−3 2

)

2 x , y , § §

(

)

=_ − _   3 1 2 x , y ,

As coordenadas do ponto P são: _ − _

  3 1 2, Mostra que CA CB+ = 2CD . = + CD CA AD Como _{AD=DB , tem-se CD=CA+DB . (1)}

Repara que DB=DC+CB . Substituindo em (1), tem-se: CD=CA+DC+CB . Daqui resulta que CD−DC=CA CB , ou seja, + CD+CD=CA CB , +

concluindo-se que CA CB+ = 2CD . 7

8.1. Seja 2c a distância focal.

Então, as coordenadas dos focos são do tipo

(

c , 0

)

e

(

− 0c ,

)

. Sabe-se que 2 2 2

b +c =a .

Neste caso, _9+c2 _{=25 § c}2 _{=16 . Então, c=4 .} Coordenadas dos focos:

(

4 0,

)

e

(

−4 0,

)

8.2. Em relação à circunferência C2 sabe-se que o centro é o ponto de coordenadas

(0 , 0) e o raio é igual ao semieixo menor da elipse, ou seja, o raio é 3 . Equação da circunferência: x2+y2=9

8.3. Em relação à circunferência C1 sabe-se que:

o centro tem de coordenadas (0 , 0) ;

o raio é igual ao semieixo maior da elipse, ou seja, 5 . Equação da circunferência C1: x2+y2 =25

Em relação à reta AB sabe-se que: coordenadas do ponto A :

(

5 0,

)

coordenadas do ponto B :

(

0 3,

)

um vetor diretor da reta é AB=B−A=

(

0 3,

) (

− 5 0,

) (

= −5 3,

)

.

Declive da reta AB : −3 5

Ordenada na origem da reta AB é 3 .

Equação na forma reduzida da reta AB : = −3 +3 5

y x

O conjunto de pontos da região colorida da figura é definido pela condição:

2 + 2 ≤25∧ ≥ −3 +3 5

x y y x

9.1. Um vetor diretor da reta AV é AV =V −A=

(

0 0 9, ,

) (

− 4 0 0, ,

) (

= −4 0 9, ,

)

. Uma equação vetorial:

(

_{x , y , z}

)

_{=A+k AV , k ∈ ℝ}

(

x , y , z

) (

= 4 0 0, ,

)

+k

(

−4 0 9, ,

)

, k∈ ℝ

Em relação ao ponto E sabe-se que a cota é 6 e pertence à reta AV .

(

_{x , y , 6}

) (

_{= 4 0 0, ,}

)

_+k

(

_{−4 0 9, ,}

)

§

(

_{x , y , 6}

) (

_{= 4−4k , 0 9, k}

)

= −   ₌   =  4 4 0 6 9 x k y k §  _{= −}   =    =  8 4 3 0 2 3 x y k §  ₌   =    =  4 3 0 2 3 x y k

As coordenadas do ponto E são: _ _

 

4 0 6 3, ,

9.2. Centro da esfera V

(

0 0 9, ,

)

e raio 3 (diferença entre a cota de V e a cota de qualquer ponto do plano z = 9):

2 2

(

)

2 2 9 3 x +y + z− ≤ § 2 2

(

)

2 9 9 x +y + z− ≤ 9.3. 2 2 2 AB +BC =AC § 2 2AB =64 § 2 32 AB =

Volume da pirâmide [ABCDV] : 1 2 9 1 32 9 96 3 AB × = ×3 × =

Altura da pirâmide “grande” 9 e a altura da pirâmide “pequena” é 3 . Se a altura da pirâmide “pequena” é 1

3 da altura da pirâmide “grande”, então o volume da pirâmide “pequena” é

3 1 1 3 27   =  

  do volume da pirâmide “grande”. Assim, tem-se: 1 96 32

27× = 9 O volume da pirâmide [EFGHV] é 32