Cotas Superiores para o Número de Pontos Racionais e Aplicações às Torres de Corpos de Funções. Thiago Filipe da Silva

(1)

Cotas Superiores para o N´

umero de

Pontos Racionais e Aplica¸c˜

oes `

as

Torres de Corpos de Fun¸c˜

oes

Thiago Filipe da Silva

19 de agosto de 2010

(2)

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

(3)

Thiago Filipe da Silva

Disserta¸c˜

ao de Mestrado em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

Universidade Federal do Esp´ırito Santo

(4)

Cotas Superiores para o N´

umero de

Pontos Racionais e Aplica¸c˜

oes `

as

Torres de Corpos de Fun¸c˜

oes

Thiago Filipe da Silva

Disserta¸cão submetida ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal do Esp´ırito Santo como requisito parcial para a obten¸cão do grau de Mestre em Matemática.

Aprovada em 19/08/2010 por:

Prof. Dr. Francesco Noseda, UFRJ

Prof. Dr. Jos´e Gilvan de Oliveira, UFES - Orientador

Prof. Dra Luciane Quoos Conte, UFRJ

Universidade Federal do Esp´ırito Santo

Vit´

oria, Agosto de 2010

(5)

(6)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 9

2 Semigrupos 11

2.1 Semigrupos Num´ericos . . . 11

2.2 Semigrupos Telesc´opicos e Sim´etricos . . . 13

2.3 O gˆenero de um Semigrupo Telesc´opico . . . 17

3 Corpos de Fun¸cões Algébricas 21 3.1 Anéis de Valoriza¸cão Discreta e Lugares . . . 21

3.2 Valoriza¸c˜oes em Corpos de Fun¸c˜oes . . . 24

3.3 Divisores e o Teorema de Riemann-Roch . . . 27

3.4 O Teorema das Lacunas de Weierstrass . . . 30

4 Cotas Superiores para o N´umero de Pontos Racionais 31 4.1 O Teorema Principal . . . 31

4.2 Comparando Cotas Superiores . . . 33

5 Torres de Corpos de Fun¸c˜oes 37 5.1 Torres com Semigrupos Telesc´opicos . . . 37

(7)

Resumo

O estudo sobre o número de pontos racionais de uma curva algébrica n˜ ao-singular encontra diversas aplica¸cões em Geometria Algébrica, teoria de códigos corretores de erros e criptografia. O objetivo dessa disserta¸cão é obter co-tas superiores para o número desses pontos a partir do trabalho Olav Geil e Ryutaroh Matsumoto [7]. Mostramos como são obtidas essas cotas, que elas dependem dos geradores do semigrupo de Weierstrass de algum ponto racional e que, em alguns casos, essas novas cotas melhoram a cota obtida anteriormente por Lewittes. Apresentamos algumas aplica¸cões desses resul-tados no estudo de torres de corpos de fun¸cões e, finalmente, apresentamos um exemplo de uma torre assintoticamente ótima em caracter´ıstica 3, calcu-lamos os gêneros e alguns semigrupos de Weierstrass nos primeiros n´ıveis da torre.

(8)

Abstract

The study on the number of rational points of an nonsingular algebraic curve finds many applications in Algebraic Geometry, Algebraic Geometry Codes and Encryption. The aim of this paper is to obtain upper bounds for the number these points from the paper of Olav Geil and Ryutaroh Matsumoto [7]. We show how these bounds are obtained, depending of the generators of the Weierstrass semigroup of a rational point and that in some cases, the new bound improves the Lewittes’s bound. We present some applications of these results in the study of towers of functions fields and, finally, we present an example of an asymptotically optimal tower in characteristic 3, we calculate the genus and some Weierstrass semigroups in the first levels of the tower.

(9)

(10)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Desde o in´ıcio do século XX, um objeto de estudo de grande interesse dos matemáticos tem sido o de determinar o número de pontos racionais de uma curva algébrica sobre um corpo finito. Tal interesse tornou-se mais acentuado nas últimas décadas a partir do entendimento de que o conhecimento do número de pontos racionais de uma curva algébrica tem profundas aplica¸cões na teoria dos códigos corretores de erros e na criptografia.

O primeiro resultado geral sobre a quantidade desses pontos foi obtido, em 1930, por Hasse para curvas el´ıpticas. Ele provou o seguinte resultado que havia sido conjecturado por E. Artin em sua tese: Se E é uma curva el´ıptica definida sobre um corpo K com q elementos então a quantidade |E(K)| de pontos racionais da curva satisfaz a desigualdade ||E(K)| − (q + 1)| ≤ 2√q. Em 1949, Weil fez uma série de conjecturas com alto n´ıvel de generalidade a respeito do número de pontos em variedades definidas sobre corpos finitos. Dentre elas destacamos a racionalidade da fun¸cão Zeta, Equa¸cões Funcionais e a Hipótese de Riemann para curvas algébricas. Estas foram provadas por ele mesmo para variedades abelianas e curvas de gênero g qualquer mostrando que, o número N de pontos racionais de uma curva algébrica não-singular de gênero g, definida sobre um corpo finito com q elementos, obedece a desigualdade |N − (q + 1)| ≤ 2g√q. Esse resultado ficou conhecido como o Teorema de Hasse-Weil [5, p.120]. Mais tarde, Serre provou que |N −(q+1)| ≤ g2√q

[5, p.180]. Finalmente, em 1973, Deligne provou a Hip´otese de Riemann.

Em [6], Lewittes exibiu uma cota superior para N usando apenas a mul-tiplicidade do semigrupo de Weierstrass em um ´unico ponto racional, o que serviu de motiva¸c˜ao para o nosso trabalho.

O objetivo desta disserta¸cão é obter cotas superiores para o número de pontos racionais de curvas algébricas seguindo [7]. O principal resultado

(11)

consiste em obter uma cota que depende de todos os geradores do semigrupo de Weierstrass de um ´unico ponto racional. A partir disso, em alguns casos, ser´a poss´ıvel melhorar as cotas obtidas por Serre e Lewittes.

Uma outra questão a ser estudada é a seguinte: dado um corpo de con-stantes Fq com q elementos e um inteiro não-negativo g, encontrar uma cota

superior para o maior n´umero Nq(g) para o qual existe um corpo de fun¸c˜oes

F/Fq de gênero g tal que N (F ) = Nq(g), onde N (F ) é o número de lugares

racionais de F/Fq.

A organiza¸cão deste trabalho é a seguinte. Come¸camos o Cap´ıtulo 2 com uma introdu¸cão à Teoria dos Semigrupos Numéricos apresentando alguns re-sultados e depois estudando algumas propriedades dos chamados semigrupos simétricos e semigrupos telescópicos. No Cap´ıtulo 3 fazemos uma introdu¸cão `

a Teoria dos Corpos de Fun¸cões Algébricas com o fim de introduzirmos a nota¸cão e alguns resultados necessários para a compreensão da linguagem usada nos cap´ıtulos seguintes. No Cap´ıtulo 4 provamos o teorema principal. A partir de um semigrupo numérico Λ, obtemos uma cota superior para o número de lugares racionais, de um corpo de fun¸cões com algum lugar com semigrupo de Weierstrass igual a Λ, dependendo de todos os geradores de Λ e que generaliza um resultado de Lewittes. Finalmente, no Cap´ıtulo 5 fazemos algumas aplica¸cões de resultados obtidos anteriormente em torres de corpos de fun¸cões. Mostramos que é imposs´ıvel construir uma torre

assintoticamente boa com uma infinidade de corpos de fun¸cões que pos-suem lugares racionais com semigrupos de Weierstrass telescópicos. Fi-nalizamos o trabalho mostrando que a torre definida recursivamente pela equa¸cão x2_n+1 = 1+x´2n

2xn ´e assintoticamente ´otima quando q = 9 = 3

2 _e

(12)

Cap´ıtulo 2

Semigrupos

Neste cap´ıtulo vamos desenvolver alguns resultados da Teoria de Semi-grupos Numéricos que serão necessários para a compreensão dos próximos cap´ıtulos. Os conceitos de semigrupos simétricos e semigrupos telescópicos serão introduzidos na última se¸cão vamos obter uma fórmula para o gênero de um semigrupo telescópico a partir de uma sequência geradora do semigrupo.

Os resultados obtidos neste cap´ıtulo podem ser encontrados em [4]. Seja N0 o conjunto dos n´umeros inteiros n˜ao-negativos e seja

N := N0− {0}.

2.1 Semigrupos Num´

ericos

Defini¸c˜_{ao: Um subconjunto Λ de N}0 ´e chamado um semigrupo quando

0 ∈ Λ e para todos a, b ∈ Λ tem-se a + b ∈ Λ. O semigrupo Λ ´e chamado num´_{erico quando N}0 − Λ for finito. Neste caso o n´umero g = |N0 − Λ|

chama-se o gˆ_{enero de Λ e N}0− Λ ´e chamado o conjunto das lacunas de Λ.

No caso em que Λ ´e um semigrupo num´erico, existe um elemento m´ınimo c ∈ Λ com a propriedade que para todo x ∈ N0 com x ≥ c tem-se x ∈ Λ. Tal

elemento c ´e chamado de condutor de Λ.

(13)

Proposi¸cão 2.1: Sejam Λ um semigrupo numérico e λ ∈ Λ. Então |Λ − (λ + Λ)| = λ.

Demonstra¸c˜_{ao: Visto que N}0 − Λ ´e finito ent˜ao existe c condutor de

Λ. Seja g = |N0 − Λ| e considere os conjuntos U = {t ∈ Λ/ t < λ + c} e

V = {v ∈ λ + Λ/ λ ≤ v < λ + c}. Logo |U | = λ + c − g e |V| = c − g. Obviamente V ⊂ U . Vamos mostrar que U − V =Λ − (λ + Λ). Com efeito, dado t ∈ U − V qualquer, segue que t ∈ Λ com t < λ ou t /∈ λ + Λ. Em qualquer dos casos t /∈ λ + Λ. Reciprocamente, dado t ∈ Λ − (λ + Λ) qualquer segue imediatamente que t /∈ V. Como t /∈ λ + Λ e c ´e o condutor de Λ ent˜ao t < λ + c e assim t ∈ U .

Portanto, U − V =Λ − (λ + Λ) e consequentemente |Λ − (λ + Λ)| = |U − V| = |U | − |V| = (λ + c − g) − (c − g) = λ.

Defini¸c˜ao: Dado H subconjunto n˜_{ao-vazio de N}0 define-se o conjunto

hHi = {a1x1 + ... + amxm/ x1, ..., xm ∈ H, a1, ..., am ∈ N0 e m ∈ N} que

claramente ´_{e um semigrupo de N}0 e ´e chamado o semigrupo gerado por H.

Quando H é finito e é escrito por H = {λ1, ..., λm} então usamos a nota¸cão

hλ1, ..., λmi para simbolizar hHi.

Um semigrupo Λ de N0´e dito f initamente gerado quando existem m ∈ N

e λ1, ..., λm ∈ Λ tais que Λ = hλ1, ..., λmi.

Observa¸c˜ao 2.2: Se Λ ´_{e um semigrupo de N}0 e H ´e um subconjunto

não-vazio de Λ então hHi ⊂ Λ. Isso segue imediatamente do fato de que Λ é fechado para a opera¸cão de adi¸cão.

Proposi¸cão 2.3: Se Λ é um semigrupo num´_{erico de N}0 então Λ é

fini-tamente gerado.

Demonstra¸c˜_{ao: Como N}0− Λ ´e finito existe c condutor de Λ. Considere

os conjuntos H = {t ∈ Λ/ t < c} e J = {c, c+1, ..., c+(c−1)} que são finitos. Segue que H ∪ J ⊂ Λ e, pela observa¸cão anterior, segue que hH ∪ J i ⊂ Λ. Vamos mostrar que Λ ⊂ hH ∪ J i. De fato, seja λ ∈ Λ qualquer. Se λ < c então λ ∈ H. Se λ = c então λ ∈ J . Suponha λ > c. Do algoritmo da divis˜_{ao de Euclides existem l, r ∈ N}0 tais que λ = l.c + r, com 0 ≤ r < c.

Visto que λ > c ent˜_{ao l ≥ 1, ou seja, l − 1 ∈ N}0. Assim λ = (l − 1).c + (c + r)

e da´ı λ ∈ hJ i ⊂ hH ∪ J i.

(14)

Proposi¸c˜_{ao 2.4: Sejam a, b ∈ N com mdc(a, b) = 1 e Λ = ha, bi. Ent˜ao} para cada m ∈ Λ existem ´_{unicos x, y ∈ N}0 tais que m = xb + ya com

0 ≤ x < a.

Demonstra¸c˜ao: Dado m ∈ Λ existem x0, y0 ∈ N0 tais que m = x0b + y0a.

Do algoritmo da divis˜_{ao de Euclides existem q, x ∈ N}0 tais que x0 = qa + x

com 0 ≤ x < a. Definindo y = qb + y0 tem-se que m = xb + ya. Suponha

que existam x1, y1 ∈ N0 tais que m = x1b + y1a com 0 ≤ x1 < a. Logo

(x − x1)b = (y1− y)a. Da´ı a divide |x − x1|.b e como mdc(a, b) = 1 ent˜ao

a divide |x − x1|. Mas, |x − x1| < a e assim |x − x1| = 0, ou seja, x = x1 e

portanto y1 = y.

2.2 Semigrupos Telesc´

opicos e Sim´

etricos

Defini¸cão: Seja (a1, ..., ak) uma sequência de números inteiros positivos.

Para cada i ∈ {1, ..., k} seja di = mdc(a1, ..., ai). A sequˆencia (a1, ..., ak) ´e

chamada telesc´opica quando dk = 1 e a_di_i ∈

D a1 di−1, ..., ai−1 di−1 E , ∀i ∈ {2, ..., k}. Um semigrupo Λ de N0 é chamado telescópico quando é gerado por uma

sequˆencia telesc´opica.

Exemplos de semigrupos telesc´opicos:

(1) Seja Λ = h4, 6, 5i. Chame a1 = 4, a2 = 6 e a3 = 5. Sendo di =

mdc(a1, ..., ai), ∀i ∈ {1, 2, 3}, segue que d1 = 4, d2 = 2 e d3 = 1. Observe

que a3 d3 = 5, a1 d2 = 2 e a2 d2 = 3 e 5 = 1.2 + 1.3. Portanto Λ ´e um semigrupo telesc´opico.

(2) Seja Γ = h34, 4, 62, 97i. Chame a1 = 34, a2 = 4, a3 = 62 e a4 = 97 e

di = mdc(a1, ..., ai), ∀i ∈ {1, 2, 3, 4}. Logo, d1 = 34, d2 = 2, d3 = 2 e d4 = 1.

Observe que a4 d4 = 97, a1 d3 = 17, a2 d3 = 2, a3 d3 = 31 e 97 = 1.17 + 9.2 + 2.31.

Temos tamb´em que a3

d3 = 31 ,

a1

d2 = 17,

a2

d2 = 2 e 31 = 1.17 + 7.2. Portanto Γ

´e um semigrupo telesc´opico.

Observa¸cão 2.5: É imediato verificar que se (a1, ..., ak) é uma sequência

telescópica com di = mdc(a1, ..., ai), ∀i ∈ {1, ..., k}, então (a_d1_i, ...,a_di_i) é uma

(15)

Proposi¸cão 2.6: Sejam (a1, ..., ak) uma sequência telescópica e Λ =

ha1, ..., aki com di = mdc(a1, ..., ai), ∀i ∈ {1, ..., k}. Ent˜ao para cada λ ∈ Λ

existem ´unicos x1, ..., xk∈ N0 tais que λ = x1a1+ ... + xkak e 0 ≤ xi < di−1

di ,

∀i ∈ {2, ..., k}.

Demonstra¸cão: Por indu¸cão sobre k. Para k = 1 o resultado é claramente verdadeiro e para k = 2 é imediato da Proposi¸cão 2.4. Suponha k ≥ 3 e que o resultado seja válido para k − 1. Seja Γ = D a1

dk−1, ...,

ak−1

dk−1

E

que pela Observa¸cão 2.5 é telescópico. Como λ ∈ Λ existem β1, ..., βk ∈ N0 tais que

λ = β1a1+ ... + βkak. Tomando σ = β1_da1

k−1 + ... + βk−1

ak−1

dk−1 segue que σ ∈ Γ

e λ = βkak+ dk−1σ. Do algoritmo da divis˜ao existem w, xk ∈ N0 tais que

βk = wdk−1+ xk com 0 ≤ xk < dk−1. Logo, λ = xkak+ (wak + σ)dk−1 e

como wak+ σ ∈ Γ então por hipótese de indu¸cão existem x1, ..., xk−1 ∈ N0

tais que wak+ σ = x1_da1 k−1+ ... + xk−1 ak−1 dk−1 e 0 ≤ xj < Dj−1 Dj , ∀j ∈ {2, ..., k − 1} onde Dj = mdc(_d_k−1a1 , ..., aj dk−1), ∀j ∈ {1, ..., k − 1}. ´E claro que Dj−1 Dj = dj−1 dj

para todo j ∈ {2, ..., k − 1} e assim λ = x1a1+ ... + xkak com 0 ≤ xi < di−1

di ,

∀i ∈ {2, ..., k}.

Agora suponha que existam y1, ..., yk ∈ N0 tais que λ = y1a1+ ... + ykak

e 0 ≤ yi < di−1_d_i , ∀i ∈ {2, ..., k}. Seja C = {j ∈ {1, ..., k}/ xj 6= yj} e suponha

por absurdo que C 6= ∅. Tome l = max C. Logo l > 1 e (xl − yl)al =

(y1 − x1)a1 + ... + (yl−1− xl−1)al−1 donde segue que dl−1 dl divide (xl− yl) al dl. Como mdc(al dl, dl−1 dl ) = 1 ent˜ao dl−1

dl divide xl− yl e visto que xl− yl 6= 0 segue

que dl−1

dl ≤ |xl− yl|, absurdo pois 0 ≤ xl, yl <

dl−1

dl .

Portanto C = ∅.

Defini¸c˜ao: Seja Λ um semigrupo num´_{erico de N}0 de gˆenero g e condutor

c. Dizemos que Λ ´e um semigrupo sim´etrico quando c = 2g.

A seguir provaremos um resultado que caracteriza os semigrupos sim´etricos e que de certa forma justifica sua terminologia.

Proposi¸c˜ao 2.7: Seja Λ um semigrupo num´_{erico de N}0 de gˆenero g > 0

e condutor c. Então c ≤ 2g. Além disso, Λ é simétrico se, e somente se, para todo s ∈ N0− Λ tem-se que c − 1 − s ∈ Λ.

Demonstra¸c˜ao: Considere os conjuntos S = {0, 1, ..., c − 1}, J = {(t, c − 1 − t)/ t ∈ S}, H = {(s, c − 1 − s)/ s ∈ N0 − Λ} e L = {(c − 1 − s, s)/

s ∈ N0 − Λ}. Segue que |J| = c e que |H| = |L| = g. Como c ´e o condutor

de Λ ent˜ao H ⊂ J e L ⊂ J , ou seja, H ∪ L ⊂ J . Afirmamos que J ⊂ H ∪ L. De fato, seja x ∈ J qualquer. Assim existe t ∈ S tal que x = (t, c − 1 − t).

(16)

Como c − 1 /_{∈ Λ e Λ ´e um semigrupo de N}0 ent˜ao t /∈ Λ ou c − 1 − t /∈ Λ. Se

t /∈ Λ ent˜_{ao t ∈ N}0− Λ =⇒ x ∈ H. Suponha que c − 1 − t /∈ Λ. Tomando

s0 = c − 1 − t segue que x = (c − 1 − s0, s0) ∈ L. Logo J ⊂ H ∪ L e portanto

J = H ∪ L.

A primeira conclus˜ao a partir disso ´e que c = |J | = |H| + |L| − |H ∩ L| = 2g − |H ∩ L|. Em particular c ≤ 2g.

Considere o conjunto Z = {(s, c − 1 − s)/ s ∈ N0− Λ e c − 1 − s ∈ N0− Λ}.

´

E f´acil ver que Z = H ∩ L e assim:

Λ ´e sim´_{etrico ⇐⇒ c = 2g ⇐⇒ Z = ∅ ⇐⇒ para todo s ∈ N}0− Λ tem-se

que c − 1 − s ∈ Λ.

A seguir enunciamos uma proposi¸cão cuja demonstra¸cão é análoga à demonstra¸cão da Proposi¸cão 2.4.

Proposi¸c˜_{ao 2.8: Sejam a, b ∈ N com mdc(a, b) = 1. Ent˜ao para cada} m ∈ Z existem ´unicos x, y ∈ Z tais que m = xb + ya com 0 ≤ y < b.

O próximo resultado vai nos garantir que um semigrupo gerado por dois inteiros positivos primos entre si é um semigrupo numérico. Mais adiante vamos mostrar que esse semigrupo é também simétrico.

Proposi¸c˜_{ao 2.9: Sejam a, b ∈ N com mdc(a, b) = 1 e Λ = ha, bi. Ent˜ao:} a) Para cada m ∈ N0− Λ existem ´unicos x, y ∈ Z tais que m = xb + ya

com x < 0 e 0 < y < b;

b) O conjunto N0− Λ é finito, ou seja, Λ é um semigrupo numérico.

Demonstra¸cão: (a) Isso é consequência imediata da Proposi¸cão 2.8. (b) Dado m ∈ N0 − Λ qualquer, do ´ıtem anterior existem x, y ∈ Z tais

que m = xb + ya com x < 0 e 0 ≤ y < b. Se x < −a ent˜ao m = xb + ya < (−a)b + ya ≤ −ab + (b − 1)a = −a < 0, contradi¸c˜ao j´_{a que m ∈ N}0. Logo,

−a ≤ x < 0 e portanto N0− Λ ´e finito.

Proposi¸c˜_{ao 2.10: Sejam a, b ∈ N, com mdc(a, b) = 1, Λ = ha, bi, c} o condutor de Λ (cuja existência está garantida pela proposi¸cão anterior) e g = |N0− Λ|. Então:

a) Se a, b ≥ 2 ent˜_{ao max(N}0 − Λ) = ab − a − b. Em particular, c =

(a − 1)(b − 1);

(17)

Demonstra¸cão: (a) Como a, b ≥ 2 então (b−1)a−b ≥ 0, ou seja, (b−1)a− b ∈ N0. Suponha por absurdo que (b−1)a−b ∈ Λ. Da Proposi¸cão 2.4 existem

x0, y0 ∈ N0 tais que −b+(b−1)a = x0b+y0a com 0 ≤ y0 < b. Pela Proposi¸c˜ao

2.8 segue −1 = x0 e b − 1 = y0, contradi¸c˜ao. Logo (b − 1)a − b ∈ N0− Λ. O

fato de (b − 1)a − b ser o maior elemento em N0− Λ decorre imediatamente

do ´ıtem (a) da Proposi¸c˜ao 2.9.

(b) Vamos mostrar que c−1−s ∈ Λ, ∀s ∈ N0−Λ. De fato, seja s ∈ N0−Λ

qualquer e suponha por absurdo que c − 1 − s ∈ N0− Λ. Pela Proposi¸c˜ao 2.9

podemos escrever s = x1b + y1a e c − 1 − s = x2b + y2a com x1, x2 ≤ −1 e

0 ≤ y1, y2 ≤ b − 1. Logo, c − 1 = ab − a − b = (x1 + x2)b + (y1 + y2)a e da´ı

(−x1−x2−1)b = (y1+y2−b+1)a. Sendo q := (−x1−x2−1)b positivo temos

q = (y1+ y2− b + 1)a ≤ (b − 1 + b − 1 − b + 1)a = (b − 1)a < ab. Por outro

lado, visto que mdc(a, b) = 1 ent˜ao b divide (y1+ y2− b + 1) donde segue que

q ≥ ab, absurdo. Portanto c − 1 − s ∈ Λ e da Proposi¸cão 2.7 conclu´ımos que Λ é um semigrupo simétrico. Assim g = (a−1)(b−1)₂ _.

A próxima proposi¸cão generaliza o resultado obtido no ´ıtem (b) da Proposi¸cão 2.9.

Proposi¸c˜_{ao 2.11: Sejam k ∈ N, k ≥ 2, a}1, ..., ak ∈ N tais que

mdc(a1, ..., ak) = 1 e Λ = ha1, ..., aki. Ent˜ao N0− Λ ´e finito.

Demonstra¸cão: Para k = 2 já foi demonstrado na Proposi¸cão 2.9. Suponha por indu¸cão que k ≥ 3 e que o resultado seja válido para k − 1. Para cada i ∈ {1, ..., k} seja di = mdc(a1, ..., ai) e considere o semigrupo Γ =

D a1 dk−1, ..., ak−1 dk−1 E . Visto que mdc( a1 dk−1, ..., ak−1

dk−1) = 1, por hip´otese de indu¸c˜ao

segue que N0 − Γ ´e finito. Considere os conjuntos H = {xdk−1 + yak/

x ∈ N0−Γ e 0 ≤ y < dk−1} e J = {zdk−1+yak/ −ak ≤ z < 0 e 0 ≤ y < dk−1}

que s˜_{ao finitos. Afirmamos que N}0− Λ ⊂ H ∪ J. Com efeito, seja t ∈ N0− Λ

qualquer. Como mdc(ak, dk−1) = 1 ent˜ao da Proposi¸c˜ao 2.8 existem x, y ∈ Z

tais que t = xdk−1+ yak com 0 ≤ y < dk−1. Como t ≥ 0 ent˜ao −ak ≤ x. Se

x < 0 ent˜ao t ∈ J . Suponha x ≥ 0. Se x ∈ Γ ent˜ao existem y1, ..., yk−1 ∈ N0

tais que x = y1_da1

k−1 + ... + yk−1

ak−1

dk−1. Da´ı xdk−1 ∈ Λ e assim t ∈ Λ, absurdo.

(18)

2.3 O gˆ

enero de um Semigrupo Telesc´

opico

Daqui em diante vamos explorar algumas propriedades de um semigrupo telescópico encontrando uma equa¸cão que expressa o condutor em fun¸cão apenas dos geradores do semigrupo. Mais adiante, provaremos que tais semigrupos são simétricos. Isso possibilita também uma equa¸cão para o gênero dependendo apenas dos geradores do semigrupo. Isto será usado no Cap´ıtulo 5 quando for provado que não é poss´ıvel construir torres de corpos de fun¸cões assintoticamente boas com lugares racionais que tenham semigru-pos de Weierstrass telescópicos.

Proposi¸c˜_{ao 2.12: Sejam k ∈ N, k ≥ 2, (a}1, ..., ak) uma sequˆencia

telesc´opica, Λ = ha1, ..., aki, c o condutor de Λ e di = mdc(a1, ..., ai), ∀i ∈

{1, ..., k}. a) Se Γ =D a1 dk−1, ..., ak−1 dk−1 E e d ´e o condutor de Γ ent˜ao c − 1 = dk−1(d − 1) + (dk−1− 1)ak. b) c − 1 = k X i=1 (di−1 di − 1)ai, onde d0 = 0.

Demonstra¸c˜ao: (a) Seja h = (d − 1)dk−1+ (dk−1− 1)ak. Como

mdc(ak, dk−1) = 1 então, da Proposi¸cão 2.8, existem únicos x0, y0 ∈ Z tais

que h = x0dk−1+ y0ak com 0 ≤ y0 < dk−1. Visto que d ´e o condutor de Γ

ent˜ao d − 1 /∈ Γ. ´_{E claro que h ∈ N}0. Suponha por absurdo que h ∈ Λ.

Pela Proposi¸c˜ao 2.6 existem x1, ..., xk ∈ N0 tais que h = x1a1 + ... + xkak

com xi < di−1_d

i , ∀i ∈ {2, ..., k}. Assim 0 ≤ xk < dk−1 e h = (x1

a1

dk−1 + ... +

xk−1a_dk−1

k−1)dk−1+ xkak donde segue que x

0 _{= x} 1_da1 k−1 + ... + xk−1 ak−1 dk−1 e y 0 _{= x} k.

Em particular x0 ∈ Γ. Por outro lado, visto que h = (d−1)dk−1+(dk−1−1)ak

e 0 ≤ dk−1 − 1 < dk−1 ent˜ao d − 1 = x0 e dk−1− 1 = y0 e assim d − 1 ∈ Γ,

contradi¸c˜_{ao. Logo, h ∈ N}0 − Λ. Afirmamos que h = max(N0 − Λ). Com

efeito, seja t ∈ N0 − Λ qualquer. Pela Proposi¸c˜ao 2.8 existem x, y ∈ Z tais

que t = xdk−1+ yak com 0 ≤ y ≤ dk−1− 1. Se x < 0 ent˜ao t = xdk−1+ yak <

(d−1)dk−1+yak ≤ (d−1)dk−1+(dk−1−1)ak= h. Suponha que x ≥ 0. Como

t = xdk−1+yake t ∈ N0−Λ ent˜ao x ∈ N0−Γ e da´ı x ≤ d−1. Novamente segue

que t ≤ h. Portanto, c − 1 = max(N0− Λ) = h = (d − 1)dk−1+ (dk−1− 1)ak.

(b) Pela Proposi¸cão 2.10 o resultado é verdadeiro para k = 2. Suponha por indu¸cão que k ≥ 3 e que o resultado seja válido para k − 1. Temos que o semigrupo Γ = D a1 dk−1, ..., ak−1 dk−1 E ´

e telesc´opico. Sendo ej = mdc(_da1

k−1, ...,

aj

(19)

∀j ∈ {1, ..., k − 1}, segue que dk−1ej = dj, ∀j ∈ {1, ..., k − 1}. Como d ´e o

condutor de Γ então por hipótese de indu¸cão temos que d − 1 =

k−1 X j=1 (ej−1 ej − 1) aj dk−1. Portanto c − 1 = dk−1(d − 1) + (dk−1− 1)ak = dk−1( k−1 X j=1 (ej−1 ej − 1) aj dk−1) + (dk−1− 1)ak = k X i=1 (di−1 di − 1)ai.

Teorema 2.13: Sejam k ∈ N, k ≥ 2, (a1, ..., ak) uma sequˆencia

telesc´opica, Λ = ha1, ..., aki, di = mdc(a1, ..., ai), ∀i ∈ {1, ..., k} e

g = |N0− Λ|. a) Se Γ =D a1 dk−1, ..., ak−1 dk−1 E e g0 _{= |N}0−Γ| ent˜ao g = dk−1g0+ (dk−1−1)(ak−1) 2 ;

b) O semigrupo Λ ´e sim´etrico. Em particular g = 1 2(1 + k X i=1 (di−1 di − 1)ai) onde d0 = 0.

Demonstra¸c˜ao: (a) Seja S = {0, 1, ..., dk−1 − 1}. Para cada v ∈ S seja

A(v) = {vak + dk−1w/ w ∈ N0 − Γ}. Logo |A(v)| = g0, ∀v ∈ S. Visto

que mdc(ak, dk−1) = 1, a Proposi¸c˜ao 2.8 nos diz que {A(v)/ v ∈ S} ´e uma

cole¸c˜ao de conjuntos dois a dois disjuntos e portanto [ v∈S A(v) = dk−1g0.

Pelas Proposi¸c˜_{oes 2.6 e 2.8 segue que A(v) ⊂ N}0 − Λ, ∀v ∈ S. Sejam

L = hak, dk−1i e U = {αak+ βdk−1/ α ∈ S e β ∈ Z com β < 0}. Assim

U ⊂ N0−Λ e das Proposi¸c˜oes 2.4 e 2.8 conclu´ımos que U =N0−L e U ∩A(v) =

∅, ∀v ∈ S. Pela Proposi¸c˜ao 2.10 temos que |U | = (dk−1−1)(a2 k−1). Disto

segue que |U ∪ ([ v∈S A(v))| = |[ v∈S A(v)| + |U | = dk−1g0 + (dk−1−1)(ak−1) 2 e por

observa¸c˜oes anteriores j´a sabemos que U ∪ ([

v∈S

A(v)) ⊂ N0− Λ. Afirmamos

que N0−Λ = U ∪(

[

v∈S

A(v)). De fato, seja t ∈ N0−Λ qualquer. Da Proposi¸c˜ao

2.8 existem x, y ∈ Z tais que t = yak+ xdk−1 com 0 ≤ y < dk−1, logo y ∈ S.

Se x < 0 ent˜ao t ∈ U . Suponha x ≥ 0. Suponha por absurdo que x ∈ Γ. Ent˜ao existem x1, ..., xk−1 ∈ N0 tais que x = x1_d_k−1a1 + ... + xk−1

ak−1

dk−1, ou seja,

(20)

e disto t ∈ A(y) ⊂ [

v∈S

A(v). Portanto, N0− Λ = U ∪ (

[

v∈S

A(v)) e isso implica que g = |N0− Λ| = dk−1g0+ (dk−1

−1)(ak−1)

2 .

(b) Para k = 2 é resultado imediato da Proposi¸cão 2.10. Suponha por indu¸cão que o resultado seja válido para k − 1. Assim Γ =

D a1 dk−1, ..., ak−1 dk−1 E é simétrico, ou seja, sendo d o condutor de Γ temos que d = 2g0. Pela Proposi¸cão 2.12 segue que c − 1 = dk−1(d − 1) + (dk−1− 1)ak e assim, pelo

que provamos anteriormente conclu´ımos que: g = dk−1g0 + (dk−1−1)(ak−1) 2 = dk−1(d−1)+(dk−1−1)ak+1 2 = c 2 e portanto Λ ´e sim´etrico.

Em particular, da Proposi¸c˜ao 2.12 temos g = 1₂(1 +

k

X

i=1

(di−1

di − 1)ai).

Desse modo, os semigrupos telescópicos h4, 6, 5i e h34, 4, 62, 97i consider-ados no in´ıcio da se¸cão 2.2 têm gênero 4 e 64, respectivamente.

(21)

(22)

Cap´ıtulo 3

Corpos de Fun¸

c˜

oes Alg´

ebricas

Neste cap´ıtulo vamos enunciar alguns resultados que serão utilizados no decorrer deste trabalho e introduzir a linguagem básica para a teoria dos corpos de fun¸cões algébricas: valoriza¸cões, lugares, divisores, gênero e semi-grupos de Weierstrass.

Todas as demonstra¸c˜oes dos resultados aqui enunciados podem ser en-contradas em [5].

Em todo este cap´ıtulo K ´e um corpo arbitr´ario.

3.1 An´

eis de Valoriza¸

c˜

ao Discreta e Lugares

Defini¸cão: Seja F/K uma extensão de corpos. Dizemos que F/K é um corpo de fun¸cões algébricas ou simplesmente corpo de fun¸cões quando existir x ∈ F transcendente sobre K tal que a extensão F/K(x) é finita.

O conjunto eK := {z ∈ F/ z é algébrico sobre K} é um subcorpo de F que contém K e é chamado o corpo das constantes de F/K. Dizemos que K é algebricamente fechado em F quando eK = K.

Observa¸cão: Os elementos de F que são transcendentes sobre K podem ser caracterizados da seguinte forma: z ∈ F é transcendente sobre K se, e somente se, a extensão F/K(z) é finita.

Um exemplo simples de um corpo de fun¸cões é o corpo de fun¸cões racional : F/K é chamado racional se F = K(x) para algum x ∈ F transcendente sobre K.

(23)

Defini¸cão: Um anel de valoriza¸cão de um corpo de fun¸cões F/K é um anel O ⊂ F com as seguintes propriedades:

(1) K ( O ( F ;

(2) Para todo z ∈ F − {0} tem-se z ∈ O ou z−1 ∈ O.

Exemplo: Dado um polinômio mônico e irredut´ıvel p(x) ∈ K[x], o con-junto Op(x) = {f (x)_g(x)/f (x), g(x) ∈ K[x] e p(x) - g(x)} é um anel de valoriza¸cão

de K(x)/K. E ainda, se q(x) ∈ K[x] é outro polinômio mônico e irredut´ıvel, então Oq(x)6= Op(x).

A seguir enunciamos alguns resultados que nos dão maiores informa¸cões sobre um anel de valoriza¸cão e que vão permitir inserir o conceito de um lugar de um corpo de fun¸cões.

Proposi¸cão 3.1: Seja O um anel de valoriza¸cão de um corpo de fun¸cões F/K. Então:

a) O ´e um anel local, ou seja, O possui um ´unico ideal maximal P = O − O∗ _{onde O}∗ _´_{e o grupo das unidades de O;}

b) Seja x ∈ F − {0}. Ent˜ao: x ∈ P ⇐⇒ x−1 ∈ O;/

c) Para o corpo eK das constantes de F/K temos que eK ⊂ O e eK ∩ P = {0}.

Proposi¸cão 3.2: Seja O um anel de valoriza¸cão de um corpo de fun¸cões F/K e seja P o único ideal maximal de O. Então:

a) P ´e um ideal principal;

b) Se P = tO então cada z ∈ F − {0} possui uma única representa¸cão na forma z = tn_{u para n ∈ Z e u ∈ O}∗_;

c) O é um dom´ınio de ideais principais. Mais precisamente, se P = tO e I é um ideal não-nulo de O então I = tn_{O para algum n ∈ N}0.

Um anel que possui as propriedades da Proposi¸cão 3.2 é chamado um anel de valoriza¸cão discreta.

(24)

Defini¸cão: Um lugar P de um corpo de fun¸cões F/K é o único ideal maximal de algum anel de valoriza¸cão O de F/K. Cada elemento t ∈ P tal que P = tO é chamado uniformizante local de P (ou elemento primo de P ). O conjunto PF := {P/P é um lugar de F/K} é o conjunto dos lugares de

F/K.

Se O é um anel de valoriza¸cão de F/K e P é o ideal maximal de O então O é unicamente determinado por P , a saber O = {z ∈ F − {0}/z−1 ∈/ P } conforme a Proposi¸cão 3.1(b). Assim, OP := O é chamado o anel de

valoriza¸c˜ao associado ao lugar P .

Exemplo: Considere novamente o corpo de fun¸cões racionais K(x)/K. Seja p(x) ∈ K[x] um polinômio mônico e irredut´ıvel. Os conjuntos

Op(x) = { f (x)

g(x)/f (x), g(x) ∈ K[x] e p(x) - g(x)} e

O∞ = {f (x)_g(x)/f (x), g(x) ∈ K[x], gr(f (x)) ≤ gr(g(x))}

são anéis de valoriza¸cão de K(x)/K cujos ideais maximais são, respecti-vamente:

Pp(x) = {f (x)_g(x)/f (x), g(x) ∈ K[x], p(x)|f (x) e p(x) - g(x)} e

(25)

3.2 Valoriza¸

c˜

oes em Corpos de Fun¸

c˜

oes

Uma outra descri¸cão de lugares pode ser dada em termos de valoriza¸cões. Defini¸cão: Uma valoriza¸cão discreta, ou simplesmente valoriza¸cão, de um corpo de fun¸cões F/K é uma fun¸c˜_{ao v : F −→ Z ∪ {∞} que satisfaz as} seguintes propriedades:

(1) v(x) = ∞ ⇐⇒ x = 0;

(2) v(x.y) = v(x) + v(y), ∀x, y ∈ F ; (3) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}, ∀x, y ∈ F ; (4) Existe z ∈ F tal que v(z) = 1;

(5) v(a) = 0, ∀a ∈ K − {0}.

Nesse contexto o s´ımbolo ∞ é apenas um elemento que não pertence a Z tal que ∞ + ∞ = ∞ + n = n + ∞ = ∞ e ∞ > m, ∀m, n ∈ Z. Pelas condi¸c˜_{oes (2) e (4) segue imediatamente que v : F −→ Z∪{∞} é sobrejetiva.} A propriedade (3) é chamada desigualdade triangular.

O seguinte resultado é rico em aplica¸cões e é comumente chamado De-sigualdade Triangular Estrita.

Proposi¸c˜_{ao 3.3: Seja v : F −→ Z ∪ {∞} uma valoriza¸cão discreta} em um corpo de fun¸cões F/K e sejam x, y ∈ F com v(x) 6= v(y). Então v(x + y) = min{v(x), v(y)}.

Defini¸cão: Seja P um lugar de um corpo de fun¸cões F/K. Define-se uma fun¸cão vP : F −→ Z ∪ {∞} da seguinte forma: Tome t ∈ P um

uniformizante local de P . Então cada z ∈ F − {0} possui uma única repre-senta¸cão na forma z = tn_{u com u ∈ O}∗

P e n ∈ Z. Definimos ent˜ao vP(z) = n

e vP(0) = ∞.

Vale ressaltar que a defini¸cão acima não depende da escolha do uni-formizante local t. Com efeito, se s ∈ P é outro uniformizante local então existe um invert´ıvel w em OP tal que t = w.s. Assim, z = tnu = sn(wnu),

onde wn_{u ´}_{e um invert´ıvel em O} P.

(26)

O teorema a seguir mostra que vP ´e uma valoriza¸c˜ao discreta e expressa

uma maneira de obter anéis de valoriza¸cão e lugares em termos de valoriza¸cões e vice-versa.

Teorema 3.4: Seja F/K um corpo de fun¸c˜oes.

a) Para um lugar P a fun¸cão vP definida acima é uma valoriza¸cão

disc-reta de F/K e mais:

OP = {z ∈ F/vP(z) ≥ 0};

O∗

P = {z ∈ F/vP(z) = 0};

P = {z ∈ F/vP(z) > 0}.

Dessa forma, vP ´e chamada a valoriza¸c˜ao correspondente (ou associada)

ao lugar P .

b) Um elemento x ∈ F ´e um uniformizante local de P se, e somente se, vP(x) = 1.

c) Reciprocamente, suponha que v : F −→ Z ∪ {∞} seja uma valoriza¸cão discreta. Então o conjunto P := {z ∈ F/ v(z) > 0} é um lugar de F/K com anel de valoriza¸cão correspondente igual a OP = {z ∈ F/v(z) ≥ 0} .

d) Todo anel de valoriza¸cão O de F/K é um subanel maximal próprio de F .

O último resultado nos diz que em um corpo de fun¸cões, os conceitos de lugares, anéis de valoriza¸cão e valoriza¸cões discretas essencialmente são iguais.

Seja P um lugar de F/K e OP o anel de valoriza¸c˜ao correspondente a

P . Como P é um ideal maximal de OP então o anel quociente FP = O_PP é

um corpo. Para x ∈ OP define-se x(P ) ∈ FP como sendo a classe residual

de x m´odulo P e para x ∈ F − OP define-se x(P ) = ∞ (novamente ∞

denota um elemento que n˜ao pertence a FP). Pela Proposi¸c˜ao 3.1 temos

que K ⊂ OP e K ∩ P = {0} donde segue que a aplica¸c˜ao ϕP : K −→ FP,

dada por ϕP(x) = x(P ), ´e um homomorfismo injetivo. Assim, o corpo K

est´a mergulhado em FP e de maneira natural temos que FP ´e um K-espa¸co

(27)

A proposi¸c˜ao seguinte mostra que a dimens˜ao de FP como K−espa¸co

vetorial ´e finita.

Proposi¸cão 3.5: Sejam P um lugar de um corpo de fun¸cões F/K e x ∈ P − {0}. Então dimK FP ≤ [F : K(x)].

Seja P um lugar de um corpo de fun¸cões F/K. O inteiro positivo deg P := dimK FP é chamado o grau de P . Um lugar de grau 1 é dito lugar racional

de F/K.

Defini¸c˜ao: Um lugar P ´e um zero de um elemento z ∈ F se vP(z) > 0,

e P ´e um polo de z se vP(z) < 0. Se vP(z) = m > 0 ent˜ao dizemos que P

é um zero de z com ordem m. Se vP(z) = −m < 0 então dizemos que P é

um p´olo de z com ordem m.

O próximo teorema é uma aplica¸cão do Lema de Zorn e é útil para re-sponder sobre a existência de lugares de F/K.

Teorema 3.6: Seja F/K um corpo de fun¸cões e R um subanel de F com K ⊆ R ⊆ F . Suponha que I seja um ideal não-nulo próprio de R. Então existe um lugar P tal que I ⊆ P e R ⊆ OP.

Corolário 3.7: Sejam F/K um corpo de fun¸cões e z ∈ F transcendente sobre K. Então z possui pelo menos um zero e um pólo. Em particular, o conjunto dos lugares de F/K não é vazio.

O próximo teorema é um resultado muito forte dentro da teoria de corpos de fun¸cões e nos informa sobre a independência de valoriza¸cões no seguinte sentido: Se v1, ..., vnsão valoriza¸cões discretas duas a duas distintas em F/K,

z ∈ F e se j´a conhecemos v1(z), ..., vn−1(z) ent˜ao nada podemos concluir a

respeito de vn(z). Esse teorema ´e muitas vezes chamado de Teorema da

Aproxima¸c˜ao Fraca.

Teorema 3.8: Sejam F/K um corpo de fun¸c˜oes, P1, ..., Pn lugares dois

a dois distintos, x1, ..., xn ∈ F e r1, ..., rn ∈ Z. Ent˜ao existe x ∈ F tal que

vPi(x − xi) = ri, ∀i ∈ {1, ..., n}.

Corolário 3.9: Todo corpo de fun¸cões possui uma infinidade de lugares. O Teorema da Aproxima¸cão Fraca tem um importante papel na demon-stra¸cão do seguinte resultado, que é comumente conhecido como Desigual-dade Fundamental.

(28)

Teorema 3.10: Sejam F/K um corpo de fun¸c˜oes, x ∈ F e P1, ..., Pr zeros de x. Ent˜ao r X i=1 vPi(x). deg Pi ≤ [F : K(x)].

Corolário 3.11: Em um corpo de fun¸cões F/K, todo elemento x ∈ F − {0} possui uma quantidade finita de zeros e pólos.

3.3 Divisores e o Teorema de Riemann-Roch

No que segue neste cap´ıtulo vamos considerar que F/K ´e um corpo de fun¸c˜oes com corpo de constantes igual a K.

Defini¸cão: O grupo dos divisores de um corpo de fun¸cões F/K é definido (escrito aditivamente) como o grupo abeliano livre gerado pelos lugares de F/K e é denotado por Div(F ). Os elementos de Div(F ) são chamados de divisores de F/K. Em outras palavras, um divisor é uma soma formal D = X

P ∈PF

nPP com nP ∈ Z, ∀P ∈ PF e nP = 0 para quase todo P ∈ PF.

Dados D = X P ∈PF nPP e D0 = X P ∈PF n0_PP divisores ent˜ao D+D0 = X P ∈PF (nP+

n0_P)P . O elemento neutro de Div(F ) ´e o divisor 0 := X

P ∈PF rPP com rP = 0, ∀P ∈ PF. Dados Q ∈ PF e D = X P ∈PF nPP definimos vQ(D) := nQ.

Uma ordem parcial em Div(F ) ´e definida por: D1 ≤ D2 ⇐⇒ vP(D1) ≤

vP(D2), ∀P ∈ PF. Se D, D0 ∈ Div(F ) com D ≤ D0e D 6= D0 ent˜ao

escreve-mos D < D0.

Um divisor D ≥ 0 ´e chamado positivo (ou efetivo). O grau de um divisor de D ´e definido como deg D := X

P ∈PF

vP(D) deg P e a fun¸c˜ao deg : Div(F ) −→

Z ´e um homomorfismo de grupos.

O Corolário 3.11 diz que um elemento não-nulo em F possui uma quan-tidade finita de zeros e pólos. Assim, a seguinte defini¸cão faz sentido.

(29)

Defini¸c˜ao: Seja x ∈ F − {0}. Sendo Z o conjunto dos zeros de x e N o conjunto dos p´olos de x definimos:

(x)0 :=

X

P ∈Z

vP(x)P como sendo o divisor dos zeros de x,

(x)∞:=

X

P ∈N

(−vP(x))P como sendo o divisor dos p´olos de x e

(x) := (x)0− (x)∞ como sendo o divisor principal de x.

Dessa forma, (x)0 e (x)∞ s˜ao divisores efetivos e (x) =

X

P ∈PF

vP(x)P .

Os elementos constantes n˜ao-nulos em F s˜ao caracterizados por: x ∈ K ⇐⇒ (x) = 0.

Proposi¸c˜ao 3.12: Todo divisor principal de F/K possui grau zero. Mais precisamente: Seja x ∈ F − K. Ent˜ao deg(x)0 = deg(x)∞= [F : K(x)].

Defini¸cão: O conjunto P(F ) := {(x)/x ∈ F − {0}} é chamado o grupo dos divisores principais de F/K. É claro que P(F ) é um subgrupo de Div(F ) pois para x, y ∈ F − {0} temos (x) + (y) = (x.y) e −(x) = (x−1).

Para um divisor A ∈ Div(F ) definimos o espa¸co de Riemann-Roch asso-ciado a A por L(A) := {x ∈ F − {0}/ (x) ≥ −A} ∪ {0}.

A próxima proposi¸cão é uma reunião de alguns dos principais resultados a respeito do espa¸co de Riemann-Roch associado a um divisor de F/K.

Proposi¸cão 3.13: Seja F/K um corpo de fun¸cões. a) L(A) é um espa¸co vetorial sobre K, ∀A ∈ Div(F ); b) L(0) = K;

c) Para cada divisor A ∈ Div(F ) o espa¸co L(A) possui dimens˜ao finita como K−espa¸co vetorial, representada por l(A).

Um dos problemas mais importantes na teoria de corpos de fun¸cões algébricas é calcular a dimensão l(A). A resposta para essa questão é dada em um dos resultados mais importantes dessa teoria, a saber, o Teorema de Riemann-Roch.

(30)

O próximo resultado vai nos permitir definir o que vem a ser o gênero de um corpo de fun¸cões.

Proposi¸c˜_{ao 3.14: Existe uma constante γ ∈ Z tal que deg A−l(A) ≤ γ,} ∀A ∈ Div(F ).

Defini¸cão: O gênero g de um corpo de fun¸cões F/K é definido por g := max{deg A − l(A) + 1/A ∈ Div(F )}.

Visto que L(0) = K, o gênero de um corpo de fun¸cões sempre é um inteiro não-negativo.

Defini¸cão: Um divisor W de um corpo de fun¸cões F/K é dito canônico quando deg W = 2g − 2 e l(W ) ≥ g.

A defini¸cão de divisor canônico dada acima é equivalente à defini¸cão feita em [5] (confira a Proposi¸cão 1.6.2 em [5]). Com isso podemos enunciar o Teorema de Riemann-Roch.

Teorema 3.15 (Riemann-Roch): Seja W um divisor canônico de F/K. Então, para todo A ∈ Div(F ) vale que l(A) = deg A+1−g +l(W −A). O próximo resultado é comumente chamado de Teorema da Aproxima¸cão Forte e é uma consequência do Teorema de Riemann-Roch.

Teorema 3.16: Sejam S ( PF e P1, ..., Pr ∈ S, com r ∈ N. Sejam

x1, ..., xr ∈ F e n1, ..., nr ∈ Z. Ent˜ao existe um elemento x ∈ F tal que

vPi(x − xi) = ni, ∀i ∈ {1, ..., r} com vP(x) ≥ 0, ∀P ∈ S − {P1, ..., Pr}.

Sejam F/K um corpo de fun¸cões e F0/F uma extensão de corpos. Seja v0 : F0 _{−→ Z ∪ {∞} uma valoriza¸cão discreta. Como v}0(F − {0}) é um subgrupo de Z então existe um inteiro positivo e tal que v0(F − {0}) = eZ. Desse modo, a fun¸c˜_{ao v : F −→ Z ∪ {∞} definida por v(z) =} 1_ev0(z) é uma valoriza¸c˜_{ao discreta em F/K. Sendo P ∈ P}F e P0 ∈ PF0 os correspondentes

lugares de v e v0, respectivamente, o inteiro positivo e(P0|P ) := e ´e chamado indice de ramifica¸c˜ao de P0 sobre P .

Teorema 3.17 (Riemann-Hurwitz): Sejam F/K um corpo de fun¸cões de gênero g e F0/F uma extensão finita separável. Sejam K0 o corpo das constantes de F0 e g0 o gênero de F0/K0. Se e(P0|P ) não é divis´ıvel por car(K) para todos P ∈ PF e P0 ∈ PF0 com P0|P então

2g0− 2 = _[K[F00:F ]_:K](2g − 2) +

X

(31)

3.4 O Teorema das Lacunas de Weierstrass

Defini¸c˜_{ao: Seja P ∈ P}F. O conjunto N (P ) := {n ∈ N0/ existe

x ∈ F − {0} tal que (x)∞ = nP } ´e chamado o semigrupo de Weierstrass de

P . ´

E claro que, de fato N (P ) ´_{e um semigrupo de N}0 pois se x1, x2 ∈ F − {0}

e (x1)∞= n1P , (x2)∞ = n2P ent˜ao (x1.x2)∞ = (x1)∞+ (x2)∞ = (n1+ n2)P .

O conjunto N (P ) também é chamado conjunto das não-lacunas de P e o conjunto N0 − N (P ) é chamado conjunto das lacunas de P . Uma outra

maneira de descrever o conjunto das não-lacunas de um lugar P é observar que um inteiro não-negativo n pertence N (P ) se, e somente se,

L((n − 1)P ) ( L(nP ).

O próximo resultado nos diz que o semigrupo de Weierstrass de um lugar é um semigrupo numérico, ou seja, o conjunto das lacunas de P é finito.

Proposi¸c˜_{ao 3.18: Sejam P ∈ P}F e g o gˆenero de F/K. Ent˜ao para

todo n ≥ 2g existe um elemento x ∈ F tal que (x)∞= nP .

Finalizamos o cap´ıtulo enunciando um teorema que ser´a fundamental nos cap´ıtulos seguintes.

Teorema 3.19 (Teorema das Lacunas de Weierstrass): Sejam F/K um corpo de fun¸cões com gênero g > 0 e P um lugar racional. Então P possui exatamente g lacunas.

(32)

Cap´ıtulo 4

Cotas Superiores para o

N´

umero de Pontos Racionais

Anteriormente estudamos algumas propriedades de semigrupos numéricos e revisamos alguns resultados básicos da teoria de corpos de fun¸cões algébricas. O leitor assim terá maior familiaridade com certos conceitos que serão apre-sentados a seguir.

Nosso objetivo neste cap´ıtulo consiste em obter cotas superiores para o número de lugares racionais de um corpo de fun¸cões sobre um corpo finito. Isto será feito a partir de um tipo especial de semigrupo numérico, que são os semigrupos de Weierstrass.

4.1 O Teorema Principal

Seja F/Fq um corpo de fun¸c˜oes sobre um corpo finito Fqcom q elementos.

Por questões técnicas vamos sempre assumir que o corpo das constantes de F/Fq é o corpo Fq. Denotamos por N (F ) o número de lugares racionais de

F/Fq.

Para cada inteiro g n˜ao-negativo define-se Nq(g) como sendo o maior

n´umero para o qual existe um corpo de fun¸c˜_{oes F/F}q de gˆenero g tal que

Nq(g) = N (F ).

Neste cap´ıtulo Λ ´e um semigrupo num´_{erico de N}0 com um n´umero finito

g de lacunas e ´e finitamente gerado por λ1, ..., λm, com 0 < λ1 < ... < λm. O

(33)

Se existe um corpo de fun¸c˜_{oes sobre F}q possuindo um lugar racional tal

que seu semigrupo de Weierstrass ´e exatamente Λ ent˜ao define-se

Nq(Λ) = max{N (F )/ F ´e um corpo de fun¸c˜oes sobre Fq com semigrupo de

Weierstrass igual a Λ em algum lugar racional}. Se tal corpo de fun¸cões não existe então define-se Nq(Λ) = 0.

Lewittes mostrou em [6] que se λ1 ´e a multiplicidade de um semigrupo

de Weierstrass de algum lugar racional de F/Fq ent˜ao N (F ) ≤ qλ1+ 1.

O principal teorema nesse cap´ıtulo consiste em obter uma cota superior para N (F ) dependendo n˜ao apenas da multiplicidade λ1 mas tamb´em de

todos os demais geradores de Λ. Veremos também que o resultado de Lewittes será uma consequência direta desse teorema.

Teorema 4.1: Se F/Fq ´e um corpo de fun¸c˜oes tal que existe P ∈ PF

racional com semigrupo de Weierstrass igual a Λ ent˜ao N (F ) ≤ Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) + 1. Em particular tem-se Nq(Λ) ≤ Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) + 1 ≤ qλ1+ 1.

Demonstra¸c˜ao: Sejam N = N (F ) e P1, ..., PN −1, P todos os lugares

racionais de F/Fq. Defina Lt = L(tP ) o espa¸co de Riemann-Roch

associ-ado ao divisor tP para todo t ∈ N0 ∪ {−1} e L = ∞

[

t=0

Lt. Em particular

L−1 = {0}. Como Λ ´e o semigrupo de Weierstrass de P ent˜ao Lt = Lt−1 se

t ∈ N0− Λ e dim Lt= dim Lt−1+ 1, se t ∈ Λ. Aqui, dim V denota a dimens˜ao

do espa¸co vetorial V sobre Fq. Considere a fun¸c˜ao linear

ϕ : L −→ FN −1

q dada por ϕ(f ) = (f (P1), ..., f (PN −1)) e defina Et = ϕ(Lt),

para todo t ∈ N0∪ {−1}.

Segue que E−1 = {0} e dim Et = dim Et−1, para todo t ∈ N0− Λ. Para

t ∈ Λ temos que Et= Et−1 ou dim Et= dim Et−1+ 1.

Vamos mostrar que ϕ ´_{e sobrejetiva. Com efeito, seja u ∈ F}N −1

q qualquer.

Ent˜ao podemos escrever u = (z1(P1), ..., zN −1(PN −1)) com zj ∈ OPj, ∀j ∈

{1, ..., N − 1}. Seja S = PF − {P }. Como P1, ..., PN −1 ∈ S, pelo Teorema

(34)

∀j ∈ {1, ..., N − 1} e vQ(z) ≥ 0, ∀Q ∈ S − {P1, ..., PN −1}. Da´ı z ∈ L e

z(Pj) = zj(Pj), ∀j ∈ {1, ..., N − 1} e consequentemente

u = ϕ(z). Portanto, ϕ ´e sobrejetiva e para t suficientemente grande temos que dim Et= N − 1.

Considere o conjunto J = {t ∈ Λ/ dim Et = dim Et−1 + 1}. Como

dim Et = N − 1 para t suficientemente grande ent˜ao |J | = N − 1.

Vamos mostrar que (

m

[

i=1

(qλi+ Λ)) ⊂ Λ − J. De fato, se i ∈ {1, ..., m} e

t ∈ qλi+ Λ ent˜ao existe λ ∈ Λ tal que t = qλi+ λ. Considere xi ∈ L tal que

vP(xi) = −λi. Temos que Et ⊂ Et−1. Com efeito, seja f ∈ Lt qualquer. Se

f ∈ Lt−1 nada a provar. Suponha que f /∈ Lt−1. Tomando g = x −q

i .f , temos

que g ∈ Lλ− Lλ−1 e assim f = xqi.g ∈ Lt− Lt−1. Como (xig)∞= (λi+ λ)P

ent˜ao xig ∈ Lt−1. Logo ϕ(f ) = ϕ(xqi.g) = ϕ(xi.g) ∈ Et−1 donde segue que

Et ⊂ Et−1. Visto que Et−1 ⊂ Et ent˜ao Et = Et−1, ou seja, t ∈ Λ − J .

Portanto ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) ⊂ Λ − J e consequentemente J ⊂ Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)). Como |J | = N (F ) − 1 então N (F ) ≤ Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) + 1. Mas também Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) ≤ |Λ − (qλ1+ Λ)| e pela Proposi¸cão 2.1

temos |Λ − (qλ1+ Λ)| = qλ1 donde segue a outra desigualdade.

4.2 Comparando Cotas Superiores

A cota de Serre implica que se Λ tem gˆenero g ent˜ao Nq(Λ) ≤ g2

√ q + q + 1. Observe que a cota de Lewittes ´e melhor do que a cota de Serre se e somente se λ1−1

g <

b2√qc

q . Esta ´ultima desigualdade ocorre sempre que o

corpo Fq tem 2, 3 ou 4 elementos. De fato, como a multiplicidade de um

semigrupo numérico não pode exceder g + 1 então λ1−1

g ≤ g g = 1. Mas, b2√2c 2 = 3 2 > 1, b2√3c 3 = 4 3 > 1 e b2√4c 4 = 5 4 > 1.

Exemplo: Seja q = 2 e considere o semigrupo num´erico Λ = h8, 9, 20i. Assim, λ1 = 8, λ2 = 9, λ3 = 20 e Λ = {0, 8, 9, 16, 17, 18, 20, 24, 25, 26,

27, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41, ...}.

Logo, 2λ1+ Λ = {16, 24, 25, 32, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 48,

49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, ...}. Disto segue que S := Λ − (2λ1+ Λ) = {0, 8, 9,

(35)

Observe que 2λ2 + Λ = {18, 26, 27, 34, 35, 36, 38, 42, 43, 44, 45, 46, 47,

50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 58, ...} e da´ı T := S − (2λ2+ Λ) = {0, 8, 9, 17, 20,

28, 29, 37}.

Como todos os elementos de T s˜ao menores do que 40 ent˜ao T −(2λ3+Λ) =

T − (40 + Λ) = T .

Mas, Λ − ((2λ1+ Λ) ∪ (2λ2+ Λ) ∪ (2λ3+ Λ)) = T − (2λ3+ Λ) = T e desse

modo |Λ − ((2λ1 + Λ) ∪ (2λ2+ Λ) ∪ (2λ3+ Λ))| = 8. Portanto, a nova cota

obtida nesse caso ´e 8 + 1 = 9 enquanto que a cota de Lewittes ´e 2λ1+ 1 = 17.

Nas tabelas abaixo constam outros exemplos comparando a cota de Le-wittes com a nova cota obtida no Teorema 4.1, onde x ´e a cota de Lewittes e y ´e a nova cota obtida.

Λ = h8, 9, 20i Λ = h13, 14, 20i Λ = h10, 11, 20, 22i

g = 20 g = 42 g = 45 q x/y 2 17/9 3 25/16 4 33/25 8 65/65 9 73/73 16 129/129 q x/y 2 27/9 3 40/17 4 53/33 8 105/95 9 118/102 16 209/195 q x/y 2 21/5 3 31/10 4 41/17 8 81/65 9 91/82 16 161/141

A seguinte proposi¸cão nos dá mais informa¸cões sobre o quanto pode ser boa a cota obtida no Teorema 4.1 e mostra que sua diferen¸ca com a cota de Lewittes não excede o gênero g.

Proposi¸cão 4.1: Se Λ = hλ1, ..., λmi é um semigrupo numérico então

qλ1+ 1 − g ≤ Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) + 1 ≤ min{qλ1 + 1, qm+ 1}.

Demonstra¸cão: A primeira desigualdade decorre do fato que existem no máximo qλ1 − g elementos em Λ que são menores do que qλ1 e que esses

elementos pertencem a Λ − (

m

[

i=1

(qλi + Λ)). Para a ´ultima desigualdade, do

Teorema 4.1, j´a temos que Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) + 1 ≤ qλ1 + 1. Considere o

conjunto L = {b1λ1+...+bmλm/ 0 ≤ bi < q, ∀i ∈ {1, ..., m}}. Afirmamos que

Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) ⊂ L. De fato, seja t ∈ Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) qualquer. Como

(36)

t ∈ Λ, ent˜ao existem a1, ..., am ∈ N0 tais que t = a1λ1+ ... + amλm. Suponha

por absurdo que exista j ∈ {1, ..., m} tal que aj ≥ q. Consequentemente

existe d ∈ N0de maneira que aj = q+d e t = ajλj+w onde w =

X

k6=j

akλk∈ Λ.

Sendo u = dλj+ w conclu´ımos que u ∈ Λ e t = ajλj+ w = (q + d)λj+ w =

qλj + (dλj + w) = qλj + u ∈ qλj + Λ, contradi¸c˜ao. Logo, 0 ≤ ai < q,

∀i ∈ {1, ..., m} donde segue que t ∈ L. Portanto, Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ))

≤ qm _{o que conclui a prova da proposi¸c˜}_ao.

A seguir apresentamos um corol´ario do Teorema 4.1 que, sob certas condi¸c˜oes, consegue melhorar efetivamente a cota de Lewittes.

Corol´ario 4.1: Seja B = {λ ∈ Λ / λ ∈ [λ1 + 1, λ1 +

l λ1 q m − 1]}. Se t = |B| ent˜ao Nq(Λ) ≤ qλ1− t + 1.

Demonstra¸c˜_{ao: Se B = ∅ ent˜ao t = 0 e a desigualdade ´e verdadeira pelo} Teorema 4.1. Suponha B 6= ∅. Para cada λ ∈ B temos que qλ 6= qλ1+η para

qualquer η ∈ Λ já que não existe um elemento não-nulo η ∈ Λ com η < λ1.

Logo, qλ /∈ (qλ1+ Λ) e visto que λ ≥ λ1+ 1 ent˜ao qλ ∈ qλj+ Λ, para algum

j ∈ {1, ..., m}. Da´ı qλ ∈ (

m

[

i=1

(qλi+ Λ)) − (qλ1+ Λ). Assim, se J ´e o conjunto

dos elementos qλ com λ ∈ B ent˜ao J ⊂ (

m

[

i=1

(qλi + Λ) ∩ (Λ − (qλ1 + Λ)) e

|J| = t. Desse modo, a uni˜ao disjunta (Λ − (

m [ i=1 (qλi+ Λ))) ∪ J est´a contida em Λ − (qλ1 + Λ) e da´ı Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) ≤ qλ1 − t. Pelo Teorema 4.1 conclu´ımos que Nq(Λ) ≤ qλ1− t + 1.

No caso em que λ1 = g + 1 temos Λ = {0, g + 1, g + 2, ...} e o n´umero t do

Corol´ario 4.1 ´e exatamente lg+1_q m− 1. Logo, Nq(Λ) ≤ q(g + 1) + 2 −

l

g+1 q

m . Observa¸c˜ao: Seja c o condutor de Λ. ´E claro que a nova cota coincide com a cota de Lewittes sempre que qλ1+ c ≤ qλ2. Isso ocorre quando qλ1+

2g ≤ qλ2 j´a que c ≤ 2g.

Como a multiplicidade de um semigrupo Λ não pode exceder g + 1 então pela cota de Lewittes temos Nq(g) ≤ q(g + 1) + 1. No próximo resultado

(37)

vamos explorar uma implica¸c˜ao do Teorema 4.1 para obter uma nova cota para o n´umero Nq(g).

Proposi¸c˜_{ao 4.2: Se q ∈ N é potência de um primo e g é um inteiro} não-negativo então Nq(g) ≤ (q − 1_q)g + q + 2 − 1_q.

Demonstra¸c˜_{ao: Sejam F/F}q um corpo de fun¸c˜oes de gˆenero de g e P ∈ PF

racional. Seja Λ o semigrupo de Weierstrass de P . Pelo Teorema das Lacunas de Weierstrass temos que |N0 − Λ| = g e assim Λ ´e finitamente gerado.

Tome λ1, ..., λm ∈ Λ geradores de Λ com 0 < λ1 < ... < λm. Temos que

λ1 ≤ g + 1. Seja B = {λ ∈ Λ / λ ∈ [λ1 + 1, λ1 + l λ1 q m − 1]} e t = |B|. Do Corol´ario 4.1 segue que N (F ) ≤ qλ1 − t + 1. Considere o conjunto

J = {h ∈ N0 / h ∈ [λ1 + 1, λ1 + l λ1 q m − 1]} que possui |J| = lλ1 q m − 1 elementos. Sendo M = {l ∈ N0− Λ / l > λ1}, como n˜ao existem elementos

não-nulos de Λ menores do que λ1 então |M | = g − (λ1− 1). Visto que J está

contido na uni˜ao disjunta B ∪ M ent˜aolλ1

q

m

− 1 ≤ t + g − (λ1− 1) e assim

−t ≤ −(λ1

q + λ1− g − 2) donde conclu´ımos que N (F ) ≤ (q − 1

q)g + q + 2 − 1 q.

Portanto, Nq(g) ≤ (q −1_q)g + q + 2 − 1_q.

Uma aplica¸cão direta da Proposi¸cão 4.2 é que N2(g) ≤ 3₂g + 7₂, N3(g) ≤ 8 3g + 14 3 e N4(g) ≤ 15 4g + 23

4 que s˜ao cotas muito melhores do que a cota de

Serre para esses casos e, para gˆenero pequeno, competem at´e mesmo com a cota de Ihara.

(38)

Cap´ıtulo 5

Torres de Corpos de Fun¸

c˜

oes

Neste cap´ıtulo vamos estudar um novo conceito que é muito utilizado na Teoria de Códigos Corretores de Erros que são as torres de corpos de fun¸cões.

5.1 Torres com Semigrupos Telesc´

opicos

Uma sequˆencia (F(1)_/F

q, F(2)/Fq, ...) de corpos de fun¸c˜oes ´e chamada

torre se F(i) ⊂ F(i+1)

, ∀i ∈ N. Escrevemos N(i) = N (F(i)) e g(i) = g(F(i)) (gênero de F(i)_{/F). Dizemos que uma torre de corpos de fun¸cões é}

assintoti-camente boa quando lim

i→∞ g

(i) _{= ∞ e lim} i→∞inf

N(i)

g(i) = κ > 0 .

A seguir apresentamos um resultado que é uma consequência do Teorema 4.1 e da Proposi¸cão 4.1.

Proposi¸c˜ao 5.1: Seja (F(1)_/Fq, F(2)/Fq, ...) uma torre assintoticamente

boa. Seja (P(1)_{, P}(2)_{, ...) uma sequˆ}_{encia tal que P}(i) _´_{e um lugar racional}

de F(i)_/F

q para cada i ∈ N. Seja λ (i)

1 a multiplicidade do semigrupo de

Weierstrass Λ(i) _{de P}(i) _{e m}

i o n´umero de geradores em alguma descri¸c˜ao

de Λ(i)_{. Ent˜}_{ao lim} i→∞inf

λ(i)₁ g(i) ≥

κ

q e lim_i→∞ mi = ∞, onde lim_i→∞inf N(i)

g(i) = κ.

Demonstra¸c˜ao: Como lim

i→∞ g

(i) _{= ∞ ent˜}_{ao lim} i→∞

1

qg(i) = 0. Do Teorema 4.1

temos que N(i) _{≤ qλ}(i)

1 + 1, ∀i ∈ N, e assim N (i) qg(i) ≤ λ(i)₁ g(i) + 1

qg(i), ∀i ∈ N. Logo,

lim i→∞inf N(i) qg(i) ≤ lim i→∞inf( λ(i)₁ g(i) + 1

qg(i)), ou seja, lim

i→∞inf λ(i)₁ g(i) ≥

κ q.

Para a segunda parte, visto que κ > 0, ent˜_{ao podemos tomar ε ∈ R com} 0 < ε < κ. Como κ = lim

i→∞inf N(i)

g(i) ent˜ao existe i0 ∈ N tal que κ − ε <

N(i)

g(i),

(39)

para cada i ∈ N com i > i0 tem-se κ − ε < N

(i)

g(i) ≤

qmi+1

g(i) donde segue que

qmi _{> (κ − ε)g}(i)_{− 1. Assim, lim}

i→∞ q mi _{= ∞ j´}_{a que κ − ε > 0 e lim} i→∞g (i) _{= ∞.} Portanto, lim i→∞mi = ∞.

Para a constru¸cão de códigos geométricos de Goppa com bons parâmetros, além de encontrar uma base {f1, f2, ...} do espa¸co vetorial L(iP ) tal que

vp(fi) > vP(fi+1), também é necessário calcular fi(Pj), o que geralmente é

dif´ıcil mesmo quando se tem um conjunto de equa¸cões explicitamente dado. S. Miura em [1] e R. Pellikaan em [2], independentemente e simultaneamente, propuseram uma forma padrão de definir equa¸cões para curvas algébricas afins para que fi(Pj) pudesse ser calculado de maneira simples. Porém, J.

Suzuki em [3] mostrou que o número de equa¸cões na forma padrão proposta por Miura e Pellikaan é m´ınimo se, e somente se, o semigrupo de Weierstrass de P é telescópico. Com isso, seria desejável encontrar torres de corpos de fun¸cões assintoticamente boas com semigrupos de Weierstrass telescópicos. O que vamos mostrar a seguir é que não existe tal torre.

Proposi¸c˜ao 5.2: Seja (F(1)_/F

q, F(2)/Fq, ...) uma torre de corpos de

fun¸c˜oes tal que para uma infinidade de ´ındices i tem-se que F(i) _{possui um}

lugar racional P(i) com semigrupo de Weierstrass telesc´opico igual a Λ(i). Ent˜ao a torre (F(1)_/F

q, F(2)/Fq, ...) n˜ao ´e assintoticamente boa.

Demonstra¸cão: Seja (γ₁(i), ..., γm(i)i) uma sequência telescópica que gera Λ

(i)

com mimenor poss´ıvel com essa propriedade. Por [1] temos que {γ1(i), ..., γ (i) mi}

´e um conjunto minimal gerador de Λ(i). Sendo d(i)_j = mdc(γ₁(i), ..., γ_j(i)) para todo j ∈ {1, ..., mi} segue da Proposi¸c˜ao 2.6 que

d(i)_j−1

d(i)_j ≥ 2, ∀j ∈ {2, ..., mi}.

Suponha por absurdo que a torre (F(1)_/F

q, F(2)/Fq, ...) seja

assintotica-mente boa. Para cada i seja λ(i)₁ = min{γ₁(i), ..., γm(i)i}. Pela Proposi¸c˜ao 5.1

existe κ > 0 tal que lim

i→∞inf λ(i)₁ g(i) ≥

κ

q e lim_i→∞mi = ∞. A partir da express˜ao

obtida no Teorema 2.13 para g(i) _{conclu´ımos que m} i < 2g (i) λ(i)₁ + 2. Seja d = lim i→∞inf λ(i)₁

g(i). Visto que d ≥

κ

q > 0 ent˜ao se pode tomar ε > 0

com ε < d. Da´ı existe i0 ∈ N tal que λ(i)₁

g(i) ≥ d − ε para todo i > i0. Como

d − ε > 0 ent˜ao g(i)

λ(i)₁ ≤ 1

d−ε para todo i > i0. Portanto mi < 2

d−ε + 2 , para

(40)

5.2 Uma Torre Assintoticamente ´

Otima

Vamos estudar nesta se¸c˜ao um exemplo de uma torre de corpos de fun¸c˜oes sobre o corpo Fq, definida de maneira recursiva, que provaremos ser

assintoticamente ´otima no caso q = 9.

Uma torre F sobre o corpo finito Fq ´e assintoticamente ´otima se

λ(F ) = lim

n−→∞ N (F(n)₎

g(n) atinge a chamada constante de Ihara A(q) = lim sup

g→∞ Nq(g)

g .

O pr´oximo teorema pode ser encontrado em [5, Teorema 7.1.3].

Teorema (A cota de Drinfeld-Vladut): A constante de Ihara satisfaz A(q) ≤√q − 1.

Sejam q = l2, onde l ´e uma potˆencia de um primo ´ımpar, (xn) uma

sequˆencia tal que x2 n+1 = 1+x2 n 2xn e F (n) _{= F} q(x0, ..., xn), ∀n ∈ N0, com x0 transcendente sobre Fq.

Considere a torre F = (F(0)_/Fq, F(1)/Fq, ...) e seja g(n) o gˆenero de

F(n)_/F

q, ∀n ∈ N0.

Dado λ ∈ Fq∪ {∞}, considere a valoriza¸c˜ao vλ : F(0) −→ Z∪{∞} tal que

v∞(x0) = −1 e vλ(x0− λ) = 1 se λ 6= ∞, e seja Pλ o correspondente lugar de

vλ em F(0). Se v (1) λ : F

(1)

−→ Z ∪ {∞} ´e uma valoriza¸c˜ao acima de vλ, com

´ındice de ramifica¸c˜ao e(1)_λ e correspondente lugar P_λ(1) em F(1)_/F

q, ent˜ao v(1)_λ (x1) = e(1)_λ 2 (vλ(1 + x 2 0) − vλ(x0)).

Vamos mostrar que s˜ao verdadeiras as seguintes afirma¸c˜oes:

(a) F(n+1)_/F(n)_´_{e uma extens˜}_{ao separ´}_{avel de grau 2 para todo n ∈ N} 0;

(b) Fq ´e o corpo das constantes de F(n)/Fq, ∀n ∈ N0.

Com efeito, pela equa¸c˜ao x2 n+1 =

1+x2 n

2xn e do fato da caracter´ıstica do corpo

de base ser ´ımpar, temos que [F(n+1) _{: F}(n)_{] ≤ 2 e F}(n+1)_/F(n) _´_{e separ´}_avel

para todo n ∈ N0. Seja P∞ o polo de x0. Tome P (1)

∞ ∈ P_F(1) tal que

P∞(1)|P∞ e seja e(1)∞ o ´ındice de ramifica¸c˜ao de P∞(1) sobre P∞. Observe que

v∞(1)(x1) = e (1) ∞ 2 v∞( 1+x2 0 2x0 ) = − e(1)∞ 2 . Logo, e (1) ∞ = 2 e v(1)∞(x1) = −1.

(41)

Prosseguindo indutivamente constru´ımos uma sequˆencia de lugares P∞(n) ∈ P_F(n) tal que P

(n+1)

∞ |P∞(n)e o ´ındice de ramifica¸c˜ao de P∞(n+1)sobre P∞(n)

´e e(n+1)∞ = 2, ∀n ∈ N0. Por [5, Teorema 3.1.11] temos que [F(n+1) : F(n)] ≥

e(n+1)∞ = 2 donde segue que [F(n+1): F(n)] = 2, ∀n ∈ N0. Portanto, (a) e (b)

decorrem de [5, Proposi¸c˜ao 7.2.15]. Visto que q = l2 _ent˜_{ao existe i ∈ F}

q tal que i2 = −1.

O que faremos agora ´e explicitar alguns semigrupos de Weierstrass de F(1)_/Fq, F(2)/Fq e F(3)/Fq calculando os correspondentes gˆeneros.

Vamos mostrar inicialmente que o semigrupo de Weierstrass de P∞(1) ´e

Λ(1) _{= h2, 3i e que g}(1) _{= 1.}

Com efeito, analogamente ao que fizemos anteriormente temos que e(1)₀ = 2 e v(1)₀ (x1) = −1. Logo v

(1)

0 (x0) = 2 e v (1)

∞(x0) = −2. Pela desigualdade

triangular estrita temos vi(x0) = min{vi(x0 − i), vi(i)} = 0 e vi(x0 + i) =

min{vi(x0 − i), vi(2i)} = 0. De maneira an´aloga v−i(x0) = v−i(x0 − i) = 0.

Desse modo, v_i(1)(x1) = e(1)_i 2 (vi(x0− i) + vi(x0+ i)) = e(1)_i 2 e portanto e (1) i = 2 e v(1)_i (x1) = 1. Analogamente e (1) −i = 2, v (1) −i(x1) = 1 e v (1) λ (x1) ≥ 0 para

λ ∈ {0, ∞, i, −i}. Ent˜ao podemos concluir que os divisores das fun¸c˜oes x0 e

x1 em F(1) s˜ao: (x0)(1) = 2P (1) 0 − 2P (1) ∞ (x1)(1) = P (1) i + P (1) −i − P (1) 0 − P (1) ∞ . Dessa forma, (x0x1)(1) = P (1) i + P (1) −i + P (1) 0 − 3P (1) ∞ e assim 2, 3 ∈ Λ(1).

Da´ı g(1) ≤ 1. Pela f´ormula do gˆenero de Riemann-Hurwitz temos 2g(1)− 2 ≥ 2(−2) + 4 = 0 o que implica g(1) _{≥ 1. Portanto, g}(1) _{= 1 e Λ}(1) _{= h2, 3i.}

Além disso, os únicos lugares ramificados na extensão F(1)_/F(0) _s˜_{ao P} ∞, P0,

P−i e Pi. Neste caso, a cota obtida no Teorema 4.1 para o n´umero de lugares

racionais de F(1)_/F

q ´e 2q + 1.

Vamos mostrar que o gˆenero de F(2)_/F

q ´e g(2) = 3 e que o semigrupo de

Weierstrass do lugar P∞(2) em F(2) acima de P∞(1) ´e Λ(2) = h3, 4i.

De fato, para cada λ ∈ Fq ∪ {∞}, seja v (2)

λ : F(2) −→ Z ∪ {∞} uma

valoriza¸c˜ao acima de vλ com ´ındice de ramifica¸c˜ao e(2)_λ e correspondente lugar

(42)

que e(2)_λ = 2 se λ ∈ {∞, 0, −i, i}, v(2)₋₁(x2) = e (2) −1 e v (2) λ (x2) ≥ 0 se λ /∈ {∞, 0, −i, i, −1}.

Ent˜ao podemos concluir que os divisores das fun¸c˜oes x0, x1 e x2 em F(2)

s˜ao: (x0)(2)= 4P0(2)− 4P (2) ∞ , (x1)(2) = 2P (2) −i + 2P (2) i − 2P (2) 0 − 2P (2) ∞ e (x2)(2) = X P−1(2)|P−1 P₋₁(2)− P₀(2)− P∞(2)− P_i(2)− P_−i(2).

Desse modo, 4 ∈ Λ(2)_{. Visto que x}2 n+1 = 1+xn 2xn ent˜ao ( 1+x0 x2 ) 2 _{= 4x} 0x1. Assim, 2(1+x0 x2 ) (2) _{= (x} 0x1)(2) = 2P (2) −i + 2P (2) i + 2P (2) 0 − 6P (2) ∞ . Logo, (1+x0 x2 ) (2) _{= P}(2) −i + P (2) i + P (2) 0 − 3P (2)

∞ e da´ı 3 ∈ Λ(2). Disto segue que

g(2) _{≤ 3. Pela f´}_{ormula do gˆ}_{enero de Riemann-Hurwitz temos que 2g}(2)_{− 2 ≥}

2(2.1 − 2) + 4 o que implica que g(2) ≥ 3. Portanto, g(2) _{= 3 e Λ}(2) _{= h3, 4i.}

Além disso os únicos lugares ramificados na extensão F(2)_/F(1) _s˜_{ao P}(1) ∞ ,

P₀(1), P_−i(1) e P_i(1). Neste caso, a cota obtida no Teorema 4.1 para o n´umero de lugares racionais de F(2)_/Fq ´e 3q + 1.

Agora vamos motrar que g(3) = 9 e que o semigrupo de Weierstrass do lugar P∞(3) em F(3) acima de P∞(2) ´e Λ(3) = h6, 8, 11, 15i.

Para isso, para cada λ ∈ Fq ∪ {∞}, seja v (3) λ : F

(3)

−→ Z ∪ {∞} uma valoriza¸c˜ao acima de vλ com ´ındice de ramifica¸c˜ao e

(3)

λ e correspondente lugar

P_λ(3)em F(3)_/F(2)_{. Ent˜}_{ao de maneira an´}_{aloga aos casos anteriores conclu´ımos}

que e(3)_λ = 2 se λ ∈ {∞, 0, −i, i, −1} e v(3)_λ (x3) ≥ 0 se λ /∈ {∞, 0, −i, i, −1}.

Desse modo, (x0)(3) = 8P (3) 0 − 8P (3) ∞ . Observe que v∞(3)(1+x_x 0 2 ) = −6 e, como v_λ(3)(1+x0 x2 ) ≥ 0 se λ 6= ∞, ent˜ao ( 1+x0 x2 ) (3) ∞ = 6P∞(3). Temos que v(3)∞(x0(x_x1+1) 3 ) = v (3) ∞(x0) + 4v (1) ∞(x1 + 1) − v (3) ∞(x3) = −8 − 4 − (−1) = −11 e, como v(3)_λ (x0(x1+1) x3 ) ≥ 0 se λ 6= ∞, ent˜ao ( x0(x1+1) x3 ) (3) ∞ = 11P∞(3).

Vemos tamb´em que v∞(3)((x0−1)

2 x3 ) = 16v∞(x0−1)−v (3) ∞(x3) = −16−(−1) = −15 e, como v_λ(3)((x0−1)2 x3 ) ≥ 0 se λ 6= ∞, ent˜ao ( (x0−1)2 x3 ) (3) ∞ = 15P∞(3). Assim,

(43)

6, 8, 11, 15 ∈ Λ(3) _{e dessa forma g}(3) _{≤ 9. Mas, pela f´}_{ormula do gˆ}_{enero de}

Riemann-Hurwitz temos que 2g(3) _{− 2 ≥ 2(2.3 − 2) + 8 = 16 donde segue}

que g(3) ≥ 9. Portanto, g(3) _{= 9 e Λ}(3) _{= h6, 8, 11, 15i.} _Al´_{em disso os}

´

unicos lugares ramificados na extens˜ao F(3)_/F(2) _s˜_{ao P}(2)

∞ , P₀(2), P_−i(2), P_i(2) e

os quatro lugares acima de P−1. Neste caso, a cota obtida pelo Teorema 4.1

para o n´umero de lugares racionais de F(3)_/F

q ´e 6q + 1.

Agora vamos analisar o caso q = 32 _{e mostrar que neste caso a torre F ´}_e

assintoticamente ´otima.

Visto que g(2) _{> 2 ent˜}_{ao tamb´}_{em da f´}_{ormula do gˆ}_{enero de}

Riemann-Hurwitz segue que g(n)−→ ∞ quando n −→ ∞.

O corpo F9 pode ser representado por F9 = F3(i) e assim

F9 = {0, ±1, ±i, ±(i + 1), ±(i − 1)}. Neste caso o conjunto

Σ = {±(i + 1), ±(i − 1)} satisfaz as condi¸cões de [5, Corolário 7.2.21] e portanto a taxa de decomposi¸cão ν(F /F(0)_{) = lim}

n→∞

N (F(n)₎

[F(n)_:F(0)_] de F sobre F

(0)

satisfaz ν(F /F(0)) ≥ |Σ| = 4.

O conjunto Λ0 de [5, Proposi¸c˜ao 7.2.23] ´e dado por Λ0 = {∞, 0, ±i} como

uma consequˆencia direta de [5, Proposi¸c˜ao 3.7.3]. Considere agora o conjunto Λ = {0, ∞, ±1, ±i} ⊂ F9 ∪ {∞}. Observe que para todo β ∈ Λ, todas as

solu¸c˜_{oes α ∈ F}9 ∪ {∞} da equa¸c˜ao 1+α

2

2α = β

2 _est˜_{ao em Λ. Isso se verifica}

facilmente como segue:

Se β = ∞ ent˜ao α = 0 ou α = ∞; Se β = 0 ent˜ao α = ±i;

Se β = ±1 ent˜ao α = 1; Se β = ±i ent˜ao α = −1.

Al´em disso, por [5, Teorema 7.2.10(b)], o gˆenero da torre γ(F /F(0)_{) = lim} n→∞ g(n) [F(n)_:F(0)_] satisfaz γ(F /F (0)_{) ≤ −1 +} |Λ| 2 = −1 + 3 = 2.

Portanto, por [5, Proposi¸c˜ao 7.2.23] temos que λ(F ) = ν(F /F_{γ(F /F}(0)(0))₎ ≥

4 2 =

2 =√9 − 1 atinge a cota de Drinfeld-Vladut e consequentemente a torre F ´e assintoticamente ´otima.

Em [8], Garcia e Stichtenoth mostraram que a torre F ´e assintoticamente ´

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Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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