A cota de Serre implica que se Λ tem gˆenero g ent˜ao Nq(Λ) ≤ g2
√ q + q + 1. Observe que a cota de Lewittes ´e melhor do que a cota de Serre se e somente se λ1−1
g <
b2√qc
q . Esta ´ultima desigualdade ocorre sempre que o
corpo Fq tem 2, 3 ou 4 elementos. De fato, como a multiplicidade de um
semigrupo num´erico n˜ao pode exceder g + 1 ent˜ao λ1−1
g ≤ g g = 1. Mas, b2√2c 2 = 3 2 > 1, b2√3c 3 = 4 3 > 1 e b2√4c 4 = 5 4 > 1.
Exemplo: Seja q = 2 e considere o semigrupo num´erico Λ = h8, 9, 20i. Assim, λ1 = 8, λ2 = 9, λ3 = 20 e Λ = {0, 8, 9, 16, 17, 18, 20, 24, 25, 26,
27, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41, ...}.
Logo, 2λ1+ Λ = {16, 24, 25, 32, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 48,
49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, ...}. Disto segue que S := Λ − (2λ1+ Λ) = {0, 8, 9,
Observe que 2λ2 + Λ = {18, 26, 27, 34, 35, 36, 38, 42, 43, 44, 45, 46, 47,
50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 58, ...} e da´ı T := S − (2λ2+ Λ) = {0, 8, 9, 17, 20,
28, 29, 37}.
Como todos os elementos de T s˜ao menores do que 40 ent˜ao T −(2λ3+Λ) =
T − (40 + Λ) = T .
Mas, Λ − ((2λ1+ Λ) ∪ (2λ2+ Λ) ∪ (2λ3+ Λ)) = T − (2λ3+ Λ) = T e desse
modo |Λ − ((2λ1 + Λ) ∪ (2λ2+ Λ) ∪ (2λ3+ Λ))| = 8. Portanto, a nova cota
obtida nesse caso ´e 8 + 1 = 9 enquanto que a cota de Lewittes ´e 2λ1+ 1 = 17.
Nas tabelas abaixo constam outros exemplos comparando a cota de Le- wittes com a nova cota obtida no Teorema 4.1, onde x ´e a cota de Lewittes e y ´e a nova cota obtida.
Λ = h8, 9, 20i Λ = h13, 14, 20i Λ = h10, 11, 20, 22i
g = 20 g = 42 g = 45 q x/y 2 17/9 3 25/16 4 33/25 8 65/65 9 73/73 16 129/129 q x/y 2 27/9 3 40/17 4 53/33 8 105/95 9 118/102 16 209/195 q x/y 2 21/5 3 31/10 4 41/17 8 81/65 9 91/82 16 161/141
A seguinte proposi¸c˜ao nos d´a mais informa¸c˜oes sobre o quanto pode ser boa a cota obtida no Teorema 4.1 e mostra que sua diferen¸ca com a cota de Lewittes n˜ao excede o gˆenero g.
Proposi¸c˜ao 4.1: Se Λ = hλ1, ..., λmi ´e um semigrupo num´erico ent˜ao
qλ1+ 1 − g ≤ Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) + 1 ≤ min{qλ1 + 1, qm+ 1}.
Demonstra¸c˜ao: A primeira desigualdade decorre do fato que existem no m´aximo qλ1 − g elementos em Λ que s˜ao menores do que qλ1 e que esses
elementos pertencem a Λ − (
m
[
i=1
(qλi + Λ)). Para a ´ultima desigualdade, do
Teorema 4.1, j´a temos que Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) + 1 ≤ qλ1 + 1. Considere o
conjunto L = {b1λ1+...+bmλm/ 0 ≤ bi < q, ∀i ∈ {1, ..., m}}. Afirmamos que
Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) ⊂ L. De fato, seja t ∈ Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) qualquer. Como
t ∈ Λ, ent˜ao existem a1, ..., am ∈ N0 tais que t = a1λ1+ ... + amλm. Suponha
por absurdo que exista j ∈ {1, ..., m} tal que aj ≥ q. Consequentemente
existe d ∈ N0de maneira que aj = q+d e t = ajλj+w onde w =
X
k6=j
akλk∈ Λ.
Sendo u = dλj+ w conclu´ımos que u ∈ Λ e t = ajλj+ w = (q + d)λj+ w =
qλj + (dλj + w) = qλj + u ∈ qλj + Λ, contradi¸c˜ao. Logo, 0 ≤ ai < q,
∀i ∈ {1, ..., m} donde segue que t ∈ L. Portanto, Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ))
≤ qm o que conclui a prova da proposi¸c˜ao.
A seguir apresentamos um corol´ario do Teorema 4.1 que, sob certas condi¸c˜oes, consegue melhorar efetivamente a cota de Lewittes.
Corol´ario 4.1: Seja B = {λ ∈ Λ / λ ∈ [λ1 + 1, λ1 +
l λ1 q m − 1]}. Se t = |B| ent˜ao Nq(Λ) ≤ qλ1− t + 1.
Demonstra¸c˜ao: Se B = ∅ ent˜ao t = 0 e a desigualdade ´e verdadeira pelo Teorema 4.1. Suponha B 6= ∅. Para cada λ ∈ B temos que qλ 6= qλ1+η para
qualquer η ∈ Λ j´a que n˜ao existe um elemento n˜ao-nulo η ∈ Λ com η < λ1.
Logo, qλ /∈ (qλ1+ Λ) e visto que λ ≥ λ1+ 1 ent˜ao qλ ∈ qλj+ Λ, para algum
j ∈ {1, ..., m}. Da´ı qλ ∈ (
m
[
i=1
(qλi+ Λ)) − (qλ1+ Λ). Assim, se J ´e o conjunto
dos elementos qλ com λ ∈ B ent˜ao J ⊂ (
m
[
i=1
(qλi + Λ) ∩ (Λ − (qλ1 + Λ)) e
|J| = t. Desse modo, a uni˜ao disjunta (Λ − (
m [ i=1 (qλi+ Λ))) ∪ J est´a contida em Λ − (qλ1 + Λ) e da´ı Λ − ( m [ i=1 (qλi+ Λ)) ≤ qλ1 − t. Pelo Teorema 4.1 conclu´ımos que Nq(Λ) ≤ qλ1− t + 1.
No caso em que λ1 = g + 1 temos Λ = {0, g + 1, g + 2, ...} e o n´umero t do
Corol´ario 4.1 ´e exatamente lg+1q m− 1. Logo, Nq(Λ) ≤ q(g + 1) + 2 −
l
g+1 q
m . Observa¸c˜ao: Seja c o condutor de Λ. ´E claro que a nova cota coincide com a cota de Lewittes sempre que qλ1+ c ≤ qλ2. Isso ocorre quando qλ1+
2g ≤ qλ2 j´a que c ≤ 2g.
Como a multiplicidade de um semigrupo Λ n˜ao pode exceder g + 1 ent˜ao pela cota de Lewittes temos Nq(g) ≤ q(g + 1) + 1. No pr´oximo resultado
vamos explorar uma implica¸c˜ao do Teorema 4.1 para obter uma nova cota para o n´umero Nq(g).
Proposi¸c˜ao 4.2: Se q ∈ N ´e potˆencia de um primo e g ´e um inteiro n˜ao-negativo ent˜ao Nq(g) ≤ (q − 1q)g + q + 2 − 1q.
Demonstra¸c˜ao: Sejam F/Fq um corpo de fun¸c˜oes de gˆenero de g e P ∈ PF
racional. Seja Λ o semigrupo de Weierstrass de P . Pelo Teorema das Lacunas de Weierstrass temos que |N0 − Λ| = g e assim Λ ´e finitamente gerado.
Tome λ1, ..., λm ∈ Λ geradores de Λ com 0 < λ1 < ... < λm. Temos que
λ1 ≤ g + 1. Seja B = {λ ∈ Λ / λ ∈ [λ1 + 1, λ1 + l λ1 q m − 1]} e t = |B|. Do Corol´ario 4.1 segue que N (F ) ≤ qλ1 − t + 1. Considere o conjunto
J = {h ∈ N0 / h ∈ [λ1 + 1, λ1 + l λ1 q m − 1]} que possui |J| = lλ1 q m − 1 elementos. Sendo M = {l ∈ N0− Λ / l > λ1}, como n˜ao existem elementos
n˜ao-nulos de Λ menores do que λ1 ent˜ao |M | = g − (λ1− 1). Visto que J est´a
contido na uni˜ao disjunta B ∪ M ent˜aolλ1
q
m
− 1 ≤ t + g − (λ1− 1) e assim
−t ≤ −(λ1
q + λ1− g − 2) donde conclu´ımos que N (F ) ≤ (q − 1
q)g + q + 2 − 1 q.
Portanto, Nq(g) ≤ (q −1q)g + q + 2 − 1q.
Uma aplica¸c˜ao direta da Proposi¸c˜ao 4.2 ´e que N2(g) ≤ 32g + 72, N3(g) ≤ 8 3g + 14 3 e N4(g) ≤ 15 4g + 23
4 que s˜ao cotas muito melhores do que a cota de
Serre para esses casos e, para gˆenero pequeno, competem at´e mesmo com a cota de Ihara.
Cap´ıtulo 5
Torres de Corpos de Fun¸c˜oes
Neste cap´ıtulo vamos estudar um novo conceito que ´e muito utilizado na Teoria de C´odigos Corretores de Erros que s˜ao as torres de corpos de fun¸c˜oes.
5.1
Torres com Semigrupos Telesc´opicos
Uma sequˆencia (F(1)/F
q, F(2)/Fq, ...) de corpos de fun¸c˜oes ´e chamada
torre se F(i) ⊂ F(i+1)
, ∀i ∈ N. Escrevemos N(i) = N (F(i)) e g(i) = g(F(i)) (gˆenero de F(i)/F). Dizemos que uma torre de corpos de fun¸c˜oes ´e assintoti-
camente boa quando lim
i→∞ g
(i) = ∞ e lim i→∞inf
N(i)
g(i) = κ > 0 .
A seguir apresentamos um resultado que ´e uma consequˆencia do Teorema 4.1 e da Proposi¸c˜ao 4.1.
Proposi¸c˜ao 5.1: Seja (F(1)/Fq, F(2)/Fq, ...) uma torre assintoticamente
boa. Seja (P(1), P(2), ...) uma sequˆencia tal que P(i) ´e um lugar racional
de F(i)/F
q para cada i ∈ N. Seja λ (i)
1 a multiplicidade do semigrupo de
Weierstrass Λ(i) de P(i) e m
i o n´umero de geradores em alguma descri¸c˜ao
de Λ(i). Ent˜ao lim i→∞inf
λ(i)1 g(i) ≥
κ
q e limi→∞ mi = ∞, onde limi→∞inf N(i)
g(i) = κ.
Demonstra¸c˜ao: Como lim
i→∞ g
(i) = ∞ ent˜ao lim i→∞
1
qg(i) = 0. Do Teorema 4.1
temos que N(i) ≤ qλ(i)
1 + 1, ∀i ∈ N, e assim N (i) qg(i) ≤ λ(i)1 g(i) + 1
qg(i), ∀i ∈ N. Logo,
lim i→∞inf N(i) qg(i) ≤ lim i→∞inf( λ(i)1 g(i) + 1
qg(i)), ou seja, lim
i→∞inf λ(i)1 g(i) ≥
κ q.
Para a segunda parte, visto que κ > 0, ent˜ao podemos tomar ε ∈ R com 0 < ε < κ. Como κ = lim
i→∞inf N(i)
g(i) ent˜ao existe i0 ∈ N tal que κ − ε <
N(i)
g(i),
para cada i ∈ N com i > i0 tem-se κ − ε < N
(i)
g(i) ≤
qmi+1
g(i) donde segue que
qmi > (κ − ε)g(i)− 1. Assim, lim
i→∞ q mi = ∞ j´a que κ − ε > 0 e lim i→∞g (i) = ∞. Portanto, lim i→∞mi = ∞.
Para a constru¸c˜ao de c´odigos geom´etricos de Goppa com bons parˆametros, al´em de encontrar uma base {f1, f2, ...} do espa¸co vetorial L(iP ) tal que
vp(fi) > vP(fi+1), tamb´em ´e necess´ario calcular fi(Pj), o que geralmente ´e
dif´ıcil mesmo quando se tem um conjunto de equa¸c˜oes explicitamente dado. S. Miura em [1] e R. Pellikaan em [2], independentemente e simultaneamente, propuseram uma forma padr˜ao de definir equa¸c˜oes para curvas alg´ebricas afins para que fi(Pj) pudesse ser calculado de maneira simples. Por´em, J.
Suzuki em [3] mostrou que o n´umero de equa¸c˜oes na forma padr˜ao proposta por Miura e Pellikaan ´e m´ınimo se, e somente se, o semigrupo de Weierstrass de P ´e telesc´opico. Com isso, seria desej´avel encontrar torres de corpos de fun¸c˜oes assintoticamente boas com semigrupos de Weierstrass telesc´opicos. O que vamos mostrar a seguir ´e que n˜ao existe tal torre.
Proposi¸c˜ao 5.2: Seja (F(1)/F
q, F(2)/Fq, ...) uma torre de corpos de
fun¸c˜oes tal que para uma infinidade de ´ındices i tem-se que F(i) possui um
lugar racional P(i) com semigrupo de Weierstrass telesc´opico igual a Λ(i). Ent˜ao a torre (F(1)/F
q, F(2)/Fq, ...) n˜ao ´e assintoticamente boa.
Demonstra¸c˜ao: Seja (γ1(i), ..., γm(i)i) uma sequˆencia telesc´opica que gera Λ
(i)
com mimenor poss´ıvel com essa propriedade. Por [1] temos que {γ1(i), ..., γ (i) mi}
´e um conjunto minimal gerador de Λ(i). Sendo d(i)j = mdc(γ1(i), ..., γj(i)) para todo j ∈ {1, ..., mi} segue da Proposi¸c˜ao 2.6 que
d(i)j−1
d(i)j ≥ 2, ∀j ∈ {2, ..., mi}.
Suponha por absurdo que a torre (F(1)/F
q, F(2)/Fq, ...) seja assintotica-
mente boa. Para cada i seja λ(i)1 = min{γ1(i), ..., γm(i)i}. Pela Proposi¸c˜ao 5.1
existe κ > 0 tal que lim
i→∞inf λ(i)1 g(i) ≥
κ
q e limi→∞mi = ∞. A partir da express˜ao
obtida no Teorema 2.13 para g(i) conclu´ımos que m i < 2g (i) λ(i)1 + 2. Seja d = lim i→∞inf λ(i)1
g(i). Visto que d ≥
κ
q > 0 ent˜ao se pode tomar ε > 0
com ε < d. Da´ı existe i0 ∈ N tal que λ(i)1
g(i) ≥ d − ε para todo i > i0. Como
d − ε > 0 ent˜ao g(i)
λ(i)1 ≤ 1
d−ε para todo i > i0. Portanto mi < 2
d−ε + 2 , para