MATEMÁTICA PROFESSOR 3 a SÉRIE VOLUME III

Direção Executiva:

Fabio Benites

Gestão Editorial:

Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração

de capa e Projeto Gráfico:

Alan Gilles Mendes

Camila Oliveira

Dominique Coutinho

Erlon Pedro Pereira

Estagiários:

Carolina Barros

Thalles Arariba

Irium Editora Ltda

Rua Desembargador Izidro,

n

o

_{114 – Tijuca – RJ}

CEP: 20521-160

Fone: (21) 2560-1349

www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por

qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às

caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos

autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e

Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e

apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia:

Filosofia:

Física:

Geografia:

História:

Leitura e Produção:

Língua Espanhola:

Língua Inglesa:

Língua Portuguesa:

Literatura:

Matemática:

Química:

Sociologia:

Biologia:

Língua Espanhola:

Língua Inglesa:

Química:

Autores:

Atualizações:

Leandro Maia

Gustavo Bertoche

Wilmington Collyer

Duarte Vieira

Montgomery Miranda /

Bernardo Padula

Leila Noronha /

Marcelo Beauclair

Mizael Souza

Jaqueline Halack

Leila Noronha /

Marcelo Beauclair

Leila Noronha /

Marcelo Beauclair

João Luiz / Gláucio Pitanga

Wendel Medeiros

Anne Nunes

Cid Medeiros

Maria Izadora Zarro

Maria Izadora Zarro

Beattriz Guedes

O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com uma proposta de educação exigente e plural.

Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes hoje em dia, e muitos exercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros.

Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro?

Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos.

Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contextualização. Ela funcio-na para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações rele-vantes e que “conversam” com portais da Irium Educação. É o caso do box Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os exercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem.

com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo.

Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa se-ção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na ínte-gra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no box.

Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os exercícios, que primam pela quan-tidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, existem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube.

Além dos exercícios tradicionais, de concursos, propomos uma atividade mais experimental no final de cada capítulo. Na seção Pesquisando, você encontrará uma proposta de reflexão e/ou pesquisa com o intuito de tornar o aprendizado teórico mais prático e concreto. Essa atividade poderá ser usada para seminários e apresentações, de acordo com a agenda pedagógica da escola.

Além dos exercícios tradicionais, propomos uma atividade de revisão importante, que chamamos de Resumindo. No final de cada aula, convidamos os alunos a relembrar os pontos mais importantes e resumi-los com as suas próprias palavras. Essa atividade é essencial para a consolidação da apren-dizagem, pois, ao criar um resumo próprio, o aluno deixa a postura passiva e assume o protagonismo do processo e, ao escolher as próprias palavras que sintetizam o conteúdo, torna mais acessível essas informações em seu cérebro.

A equipe da Irium Educação acredita em uma formação exigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você.

#vamboraaprender

“A Educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo.”

(Nelson Mandela)

Fabio Benites

2.1 Medidas de tendência central

2.2 Medidas de dispersão

3.1 Porcentagem

3.2 Juros

4.1 Introdução / Relações

4.2 Classificação, função composta e inversa

6.1 Equações e Inequações do 1o grau

6.2 Funções do 1o grau

6.1 Equações do 2o grau

6.2 Problemas de máximo e mínimo / Inequações

Funções Exponenciais e 7.1 Funções Exponenciais

Logaritmicas 7.2 Log / Funções logarítmicas

8.1 Princípio Multiplicativo e Permutações

8.2 Arranjos e Combinações 9.1 Casos básicos 9.2 Probabilidade condicional 10.1 PA 10.2 PG 11.1 Matrizes e determinantes 11.2 Sistemas lineares

Problemas de raciocínio 12.1 Problemas de raciocínio I

12.2 Problemas de raciocínio II

MATEMÁTICA II 3a SÉRIE

CAPITULO TOPICO AULAS TÍTULO

Números e 13.1 Múltiplos e divisores

Grandezas 13.2 Grandezas e medidas

Razões e 14.1 Razões e Escalas

proporções 14.2 Proporções e Regra de três

Geometria plana: 15.1 Plano cartesiano e simetria

conceitos, ângulos e polígonos 15.2 Ângulos e polígonos

Geometria plana: 16.1 Triângulos

triângulos 16.2 Relações métricas nos triângulos

Geometria plana: 17.1 Quadrilateros

quadriláteros e circunferências 17.2 Circunferências

Geometria plana: 18.1 Relações métricas nas circunferências

relações métricas nas circunferências 18.2 Polígonos regulares e circunferências

Geometria plana: 19.1 Áreas de polígonos

áreas 19.2 Áreas circulares

Geometria espacial: 20.1 Conceitos e projeções

conceitos e poliedros 20.2 Poliedros

Geometria espacial: 21.1 Prismas e Cubos

prismas e cilindros 21.2 Cilindros

Geometria espacial: 22.1 Pirâmides e Cones

pirâmides, cones e esferas 22.2 Esferas

Trigonometria: 21.1 Triângulo retângulo

conceitos 21.2 Círculo trigonométrico

Trigonometria: 24.1 Equações trigonométricas

funções 24.2 Funções trigonométricas

Analise Combinatoria Probabilidade Sequências Matrizes Estatística Matemática Financeira Funções Equações e Funções 1º grau Equações e Funções 2º grau

24 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

EM 3M AT 05

1

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Equações e funções

do 1

o

grau

Objetivos de aprendizagem:

• Compreender a equação do 1o _{grau e os}

mé-todos de adição, substituição e comparação para resolução de sistemas de equação do 1o _grau;

• Compreender os aspectos pertinentes da função do 1o _{grau, como os coeficientes, zero da}

função e a construção do gráfico dessa função. • Estudar o sinal dessa função para resolver inequações e sistema de inequações;

• Resolver problemas envolvendo equação, inequação, função e sistemas de equações ou de inequações do 1o _{grau e exercícios de construção}

e interpretação de gráficos dessa função.

Praticando:

1) 9 2) a) 2310 m b) 660 m c) 1050 m 3) a) 160 gramas b) 295 gramas 4) E – 7 5) 25 candidatos 6) 40 bombons

7) Maria foi beneficiada, dois comprou 15 dúzias com Vera e 15 dúzias com Paulo, totalizando 30 dúzias.

Habilidades do ENEM: 8) E

Praticando:

9) D

Para não ter prejuízo, faturamento e custo de-vem ser iguais.

FT(q) = CT(q) 5q = 2q + 12 5q – 2q = 12 3q = 12 Q = 12/3 Q = 4 10) B Gasolina: 6000 km / 10km = 600L x 2,20 = 1320 Gás: 6000 km / 12km = 500m³ x 1,10 = 550 Economia: 1320 – 550 = 770 por mês 3000 /770 = 3,9 meses = 4 meses 11) D Janeiro = 880 605 – 4 300= 876.305 Fevereiro = 880 605

Y = Produção de Janeiro + incrementox Y = 876.305 + 4300x

12) C

Pagamento com atraso = pagamento original + multa = 500 + 10 = 510

40 centavos por dia de atraso = 0,40 x M(x) = 510 + 0,40x

13) Deveria ser a questão 22, pois tem conceitos básicos de função. a) f(1) = – 4.1+ 8 = – 4 + 8 = 4 f(1) = 4 b) (0,b) = (0,8) y x 2 8 ( – b_a , 0) = ( – 8_{– 4} ) = ( _{–x + 2}2, 0 ) = (2, 0)

EM

3M

AT

05

EQUAÇÕES E FUNÇÕES DO 1o _GRAU

2

14) B 15) B 16) C 17) D Habilidades do ENEM: 18) A

Aprofundando:

19) Resposta: A pessoa A possui R$302,00; B pos-sui R$ 1208,00; C pospos-sui R$594,00 e a pessoa D, R$614,00.

20) Resposta: a) O preço de uma corrida de 11 km é R$12,90. b) A distância percorrida pelo pas-sageiro que pagou R$21,50 pela corrida foi de 21 km.

21)

f(x) = 2x + 12

Interseção com o eixo y: (0, b) = (0, 12) Interseção com o eixo x:

( – b_a , 0) = ( – 12₂ , 0) = (–6,0) 12 x y – 6 22) 5 y x

23) Interseção com o eixo y: (0, b) = (0, 2) – b = 2 Interseção com o eixo x: (–2 / a, 0)= (–6, 0) –2 / a = –6 –2 = –6a A= –2 / –6 A = 1 / 3 Y = ax + b Y = 1/3 x + 2

24) Interseção com o eixo y: (0, b) = (0,8) – b = 8 Interseção com o eixo x: (–8 / a, 0) = (4, 0) –8 /a = 4 –8 = 4a A = –8 / 4 A = –2 Y = ax + b Y = –2x + 8

25) Interseção com o eixo y: (0, b) = (0, –5) – b= –5 Interseção com o eixo x: (–(–5)) / a, 0) = (–10, 0) 5 / a = –10 5 = –10a A = –5/10 A = –1/2 Y = ax + b Y = –1 / 2 x – 5

26) Interseção com o eixo y: (0,b) = (0,8) – b = 8 Interseção com o eixo x: (–(8) / a, 0) = (–2, 0) –8 / a = – 2 –8 = –2a A= –8 / –2 A = 4 Y = ax + b Y = 4x + 8

27) Parcela fixa = coeficiente linear = 50 Parcela variável = coeficiente angular = 15 50 + 15 . 8 = 170 reais 140 – 50 = 90 / 15 = 6 horas C(h) = 50 + 15h 28) B QO = – 20 + 4P QD = 46 – 2P QO =QD – 20 + 4P = 46 – 2P 4P + 2P = 46 + 20 6P = 66 P = 11

EM 3M AT 05

3

29) V = Y + 5 = 65 reais 30) C 31) B 32) C 33) Vamos considerar: Julho 2000 – 0 – (0,35,6) – b = 35,6 Y = ax + b Y = ax + 35,6 Julho 2001 – (12,22) 22 = 12a + 35,6 22 – 35,6 = 12a –13,6 = 12a A = –13,6 / 12 A = –1,13 Maio 2001 – (10,y) Y = –1,13x + 35,6 Y = 1,13.10 + 35,6 Y = –11,3 + 35,6 Y = 24,3 bilhões de dólares 34) D S = A + Bt + Ct2

Precisamos que c = 0, pois como o gráfico é uma reta, será uma função do primeiro grau.

S = A + Bt

O A é o coeficiente linear, então A = 12, pois o ponto é (0,12) = (0,coeficiente linar).

S = 12 + Bt Escolhemos o ponto (3,0): 0 = 12 + B . 3 –12 = 3b B = –12/3 B = –4 A = 12 B = – 4 C = 0 35) D

Como é dito que a variação da temperatura seja, aproximadamente, linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade, e 400 m está entre 100m e 500m, então:

100m – 21 – (21,100) 400m – x – (x,400) 500m – 7 – (7,500) Y = ax + b 100 = 21a + b B = 100 – 21a 400 = ax + b 500 = 7a + b B = 500 – 7a B = B 100 – 21a = 500 – 7a –21a + 7a = 500 – 100 –14a = 400 A = 400 / –14 A = –28,6 B = 100 – 21 (–28,6) B = 100 + 600,6 B = 700,6 400 = – 28,6x + 700,6 400 – 700,6 = –28,6x –300,6 = –28,6x X = 300,6 / 28,6 X = 10,5 36) D Plano K: 29,90 + 0,20 (x – 200) Plano Z: 49,90 + 0,10 (x – 300)

Só montando as equações podemos eliminar as opções A, B e E.

Vamos igualar os planos para saber qual a op-ção correta: K: 29,90 + 0,20 (x – 200) = 29,90 + 0,20x – 40 Z: 49,90 + 0,10 (x – 300) = 49,90 + 0,10x – 30 29,90 + 0,20x – 40 = 49,90 + 0,10x – 30 0,20x – 0,10x = 49,90 + 40 – 30 – 29,90 0,10x = 20+10 0,10x = 30 X = 30 / 0,10

X = 300 (momento em que os dois planos cus-tam a mesma coisa).

400 minutos K: 29,90 + 0,20x – 40 = 29,90 + 0,20 . 400 – 40 = 29,90 + 80 – 40 = 29,90 + 40 = 69,90 Z: 49,90 + 0,10x – 30 = 49,90 + 0,10 . 400-30 = 49,90 + 40 – 30 = 49,90 + 10 = 59,90 37) D Habilidades do ENEM: 38) B

EM

3M

AT

05

EQUAÇÕES E FUNÇÕES DO 1o _GRAU

4

Desafiando:

39) D y (% de carga) 100 90 75 0 z t (t + 2)

Para resolver essa questão vamos usar seme-lhança de triângulos:

Triângulo com vértices 100, t e 0 com o triân-gulo com vértices 100,75 e x

t–0 / z–0 = 100–0 / 100–75 t / z = 100 / 25

t / z =4 z = t / 4

Triângulo com vértices 90, t+ 2 e 0 com o triângulo com vértices x, t + 2 e z

t+2–0 / t+2–z = 90–0 / 75 t+2 / t+2–t / 4 = 90 / 75 t + 2 –t / 4 = 4t + 8 – t 4 = 3t+8 / 4 t+2 / 3t+8 / 4 = 18 / 15 15(t+2) = 18(3t+8) / 4 15t + 30 = 9(3t+8) / 2 30t + 60 = 27t + 72 30t – 27t = 72 – 60 3t = 12 T = 12 / 3 T = 4 40) D

EM3MAT06

5

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Equações e funções

do 2

o

_grau

Objetivos de aprendizagem:

• Identificar uma função polinomial do 2o _grau,

compreendendo sua importância e aplicações; • Calcular e analisar seus principais parâmetros e interseções com os eixos cartesianos;

• Determinar raízes e realizar estudos de sinal; • Resolver problemas de maximização e mini-mização de funções quadráticas;

• Determinar conjuntos–solução de inequações produto e quociente.

Praticando:

1) f(x) = 3x2 _{–5x –10 f(–2) = 3.4+10 –10} f(–2) = 3(–2)2_{–5(–2) –10 f(–2) = 12} 2) a) S = (–b)/a = (–(–10))/1 = 10 b) P = c/a = 24/1 = 24 c) m + n = 10 m . n = 24 Método da substituição: n = 10 – m m(10 – m) = 24 10m – m2 _{= 24} –m2 _{+ 10m – 24 = 0} m2 _{– 10m + 24 = 0} x =( –b± (b2 _{– 4ac)) / 2a} x = (–(–10)± (–10)2 _{– 4.1.(24))/(2(1))} x = ( 10± (100–96))/2 x = (10± 4)/2 x = (10±2)/2 X1 = 12/2 = 6 X2 = 8/2 =4 As raízes são 4 e 6. 3) V(t) = –2t2 _{– 8t + 120} V(3) = –2(3)2 _{– 8(3) + 120} V(3) = –2.9 – 24 + 120 V(3) = –18 – 24 + 120 V(3) = –2.9 – 24 + 120 V(3) = 78 Letra D 4) F(x) = ax2 _{+ bx + c} P(0, 2) – logo, c = 2 Q(1, 2) → 2= a + b + 2 R(–3, 0) → 0= 9a – 3b + 2 Sistema: 2 = a + b + 2 A + b = 0 A = – b

Substituindo A=–b em: 0= 9a – 3b+2

–9b – 3b = –2 –12b= –2

B=1/6, logo como A=–b, então: a=(–1)/6 Portanto, F(x)= (–1)/6x2_+1/6x+2 Letra A. 5) f(x)= x2 _{– 10x + 16} a) (0,16) b) x = (–b± b2_–4ac)/2a x = (–(–10)± (–10)2_{–4.1.(16))/2.1} x = (10± 100–64)/2 x = (10±6)/2 X1 = 16/2 = 8 → (8,0) X2 = 4/2 = 2 → (2,0) c) Xv = (–b)/2a = (–(–10))/2.1 = 10/2.1 = 5 Yv = (–∆)/4a = (–36)/4.1 = –9 5, –9) d) e) Im = [–9,+∞) 6) C

7) Percebemos que as interseções com o eixo x são: (0,0) e (10,0)

Logo, a forma fatorada é h(t) = a(t – t1 )(t – t2). h(h) = a(t – 0 )(t – 10)

h(t) = a(t)(t – 10) h(t) = a(t2 _{– 10t)}

fht) = at2 _{– 10at}

Para descobrirmos o valor do a, substituímos o ponto (1,18) na forma fatorada:

EM3MAT06

EQUAÇÕES E FUNÇÕES DO 2o _GRAU

6

h(t) = at2 _{– 10at 18/ (–9)=a}

18 = a – 10a A= – 2 18=–9a

Logo, a forma fatorada é h(t) = –2t2 _+20t.

Para descobrir a altura do projétil, basta subs-tituir em t=2.

h(2) = –2.22 _{+ 20.2 h(2) = 32}

h(2)=–8+40 A altura é 32 metros. 8) y = –x2_{/36 + c}

Como podemos perceber no gráfico, o ponto de interseção com o eixo y é (0,9), logo c=9. As-sim: y=–x2_/36+9

Para descobrirmos quando a bola toca no chão, fazemos: 0 = –x2_/36+9 –x2_{/36= –9} –x2 _{= –324} x2 _{= 324} x = 324 x = 18 m

A bola tocaria o chão atrás do gol, então te-mos que testar qual altura estará quando estiver na posição de 16 metros na horizontal. Ou seja, devemos colocar x=16

y = –162_{/36+9 y = –7,11+9}

y = –256/36+9 y = 1,89 m

Como a altura de 1,89m é menor do que a altura interna do gol, portanto a bola foi parar dentro do gol. Letra C. 9) D Habilidades do ENEM: 10) 39 = (–t2_{)/4+400 –1444 = –t}2_(–1) 39 – 400=(–t2_{)/4 1444 = t}2 –361=(–t2_{)/4 T = 1444} –361 x 4 = –t2 _{T = 1444} T = 38 Letra D 11) a) y – 5 = x .x – 10 . x y – 5 = x2 _{– 10x} y = x2 _{– 10x + 5}

Na verdade, devemos calcular Xv = (–b)/2a = (–(–10))/2.1 = 10/2 = 5.

O valor x = 5 torna o y mínimo. b) Devemos calcular

Yv = –∆ = –[(–10)²–4.1.5] = –[100–20] = –80 = –20. 4a 4 4.1 4 O valor mínimo de y é –20.

c) Isso já foi calculado na letra a e b, retirar essa opção.

Vértice = (5,–20). 12) V(n) = –4n² + 120n + 10

C(x) = – 2n² + 20n + 100

Lembre–se que lucro= venda – custo L(x)= – 4n² + 120n + 10 – [– 2n² + 20n + 100] L(x)= – 4n² + 120n + 10 +2n² – 20n – 100 L(x)= – 2n² + 100n – 90

Veja que é pedida a quantidade de unidades, e a unidade faz o papel de x, logo, calcula–se o Xv.

Xv= (–b)/2a = (–(100))/(2.(–2)) = (–100)/(–4) = 25 Letra A.

13) O volume é a multiplicação entre x, 20 – x e 2. V(x) = x.(20 – x).2

V(x) = 2x(20 – x) V(x) = 40x – 2x2

Como queremos saber o volume e o volume é o Yv = (–∆)/4a = (–[(40)² – 4. (–2).0])/(4.(–2)) = (–[1600])/(–8) = (–1600)/(–8) = 200.

Letra C. 14)

Perceba que para o perímetro será 2x + y = 20 e a área é A = xy

2x + y = 20 A = xy

Sistema – método da substituição: y = 20–2x

A(x) = (20 – 2x)x A(x) = 20x – 2x2

Como se quer saber as dimensões, devemos cal-cular o Xv = (–b)/2a = (–(20))/(2.(–2)) = (–20)/(–4) = 5

y = 20 – 2.5 y = 20 – 10 y = 10

As dimensões são 10 metros de comprimento e 5 metros de largura.

EM3MAT06

7

15) E 16) D

17) L = –2q2 + 800q – 60000

Para não ter prejuízo, basta que L ≥ 0. –2q2 + 800q – 60000≥0 q = (–b± b²–4ac)/2a q = (–800± 800²–4(–2)(–60000))/(2(–2)) q = (–800± 640000–480000)/(–4) q = (–800± 160000)/(–4) q = (–800±400)/(–4) q = (–800+400)/(–4)=(–400)/(–4) = 100 q = (–800–400)/(–4)=(–1200)/(–4) = 300

A quantidade de litros para não ter prejuízo é entre 100 e 300 litros, inclusive os extremos. 18) (2 –x)(3x – 18)(x² –16)<0 L = 2 – x Raiz: x=(–b)/a=(–2)/(–1)=2 M = 3x – 18 Raiz: x=(–b)/a=(–(–18))/3=18/3=6 N = x² – 16 Raiz: x2 – 16=0 x²=16 x² = 16 x = ±4

Como queremos os valores negativos, então o conjunto de dados é

X = {x Є IR/–4<x<2 ou 4<x<6}

Habilidades do ENEM: 19) R(x) = k.x. (P – x)

R(x) = kxP – kx²

Perceba que a equação é de uma função do segundo grau, então só podemos considerar as opções C e E. Como o coeficiente a é negativo (–k), então só pode ser a opção E.

Letra E.

20) R(x) = 44.000kx – kx²

O número de pessoas responsáveis pela má-xima rapidez de propagação faz papel de x, en-tão calcula–se Xv = (–b)/2a = (–(44.000k))/(2.(–k)) = (–44.000k)/(–2k) = 22.000 Letra B.

Aprofundando:

21) 10 pessoas

22) Valor da parcela: 120/n, sendo n o número de pessoas.

Novo valor do jogo: 140/(n – 5) Novo valor = valor antigo +4 120/(n–5) = 120/n + 4 120n = 120(n – 5) + 4n (n – 5) 120n = 120n – 600 + 4n² – 20n 4n2 – 20n – 600 = 0 n = (–b± b²–4ac)/2a n = (–(–20)± (–20)²–4(4)(–600))/(2(4)) n = (20 ± 400 + 9600)/8 n = (20 ± 10.000)/8 n = (20±100)/8 n = 120/8 = 15

n = (–80)/8 = –10 (não pode considerar, pois é negativo!)

15 pessoas. Logo, 10 amigo efetivamente com-praram o jogo.

23) a) Valor do serviço recebido por pessoa: 10800/n, sendo n o número de pessoas.

Novo valor do serviço: 10800/(n–3) Novo valor = valor antigo +600 10800/(n–3)=10800/n+600 10800n=10800(n–3)+600n(n–3) 10800n=10800n – 32400 +600n²–1800n (:100) 108n=108n – 324 +6n²–18n 6n²–18n–324=0 n = (– b± b² – 4ac)/2a

EM3MAT06

EQUAÇÕES E FUNÇÕES DO 2o _GRAU

8

n = (–(–18)± (–18)² – 4(6)(–324))/(2(6)) n = (18± 324 + 7776)/12 n =(18± 8100)/12 n =(18 ± 90)/12 n =108/12=9

n = (–72)/12 = –6 (não pode considerar, pois é negativo!)

9 pessoas, como 3 desistiram, então foram 6 pessoas que fizeram o serviço.

b) Novo valor do serviço: 10800/(9–3) = 10800/6 = R$1800,00

24) Letra D 25) A 26) A

27) h(t) = 3t – 3t²

a) Para retornar ao solo, h(t)=0 3t – 3t²=0 3t(1–t)=0 3t=0 T=0 1–t=0 (sai do solo) –t=–1 T=1 (instante 1 segundo)

b) Para achar o tempo para atingir a altura má-xima, bata calcular o Xy, pois o tempo está no lugar do x:

Xv = (–b)/2a=(–(3))/(2.(–3))=(–3)/(–6)=1/2 (meio segundo)

c)Para achar a altura máxima, bata calcular o Yy, pois a altura está no lugar do y:

Yv=(–∆)/4a=(–(3²–4(–3)(0))/(4.(–3))= (–(9))/(–12)=3/4= 0,75 metros 28) C(x) = mx² + nx + p

I) Com essa afirmação, sabemos que p=80, C(x) = mx² + nx + 80 II) é o ponto (30,50) 50 = 30²m + 30n + 80 50=900m+30n+80 900m+30n+80–50=0 900m+30n+30=0 (:30) 30m+n+1=0 III) é o ponto (50,130) 130 = 50²m + 50n + 80 130 = 2500m + 50n + 80 2500m + 50n + 80 – 130=0 2500m+50n–50=0 (:50) 50m+n–1=0 Sistema 30m+n+1=0 –––– 30m+n=–1 ––––– n=–1–30m 50m+n–1=0–––– 50m+n=1 Método da substituição: 50m+n=1 50m–1–30m=1 20m=2 M=1/10 n=–1–30.1/10 n=–1–3 n=–4 Logo C(x) = 1/10x² –4x + 80

a) Devemos achar o Xv, pois queremos saber quantas peças para o custo ser mínimo

Xv = (–b)/2a=(–(–4))/(2.(1/10))= 4/(2/10)=4.10/2=20 peças!

b) Devemos achar o Yv, pois queremos saber o custo mínimo:

Yv=(–∆)/4a=(–((–4)²–4(1/10)(80))/(4.(1/10))=(– (16–32))/(4/10)=(–(–16))/(2/5)=

16/(2/5)=16.5/2=40 reais

29) a) Para tornar o lucro zero, devemos encontrar as raízes. Uma delas é vista no gráfico que é 100.

A outra raiz é encontrada através do Xv=(x1+x2)/2

300=(100+x2)/2 600=100+x2 X2=600–100 X2=500

b) Quando x<100 ou x>500 tornam o lucro ne-gativo.

c) Precisamos encontrar a função quadrática: Interseções com o eixo x: (100,0) e (500,0) Pela forma fatorada: f(x) = a(x –100)(x – 500) Para descobrir o a, devemos aplicar o ponto (300, 800) na forma f(x) = a(x –100)(x – 500) 800 = a(300 –100)(300– 500) 800 = a(200)(–200) A=800/(–40000) A=(–1)/50

EM3MAT06

9

Logo a função quadrática é f(x) = (–1)/50 (x –100)(x – 500)

Como ele quer saber quantas peças vendidas para um lucro de 350 reais, f(x)=350

350 = (–1)/50 (x –100)(x – 500) 350/((–1)/50) = (x –100)(x – 500) 350.(–50)/1=(x –100)(x – 500) –17500=(x –100)(x – 500) –17500= (x² – 500x –100x +50000) –17500= x² – 600x +50000 x² – 600x +50000+17500=0 x² – 600x +67500=0 x= (–(–600)± (–600)²–4(1)67500)/2.1 x= (600± 360000–270000)/2 x= (600± 90000)/2 x= (600±300)/2 x= (600+300)/2=450 x= (600–300)/2=150

Caso sejam vendidas 150 ou 450 peças, o lu-cro será de 350 reais.

30) Letra A.

31) y= (–1)/7x²+8/7x+2

Como é dado que a cesta está a 3 metros do chão, então o ponto da cesta é (x,3)

3 = (–1)/7x²+8/7x+2 (–1)/7x²+8/7x+2–3=0 (–1)/7x²+8/7x+–1=0 MMC(7,1)=7 –x²+8x–7=0 x= (–8± 8²–4(–1).(–7))/(2(–1)) x= (–8± 64–28)/(–2) x= (–8± 36)/(–2) x= (–8±6)/(–2) x= (–8+6)/(–2)=(–2)/(–2)=1 x= (–8–6)/(–2)=(–14)/(–2)=7

Perceba que temos duas respostas, mas a que utilizaremos é 7 metros, pois a distância de 1 metro é quando a bola está subindo.

32) Percebemos que as interseções com o eixo x são A(–4,0) e C(4,0).

Ao utilizara forma fatorada: f(x) = a(x +4)(x – 4)

O ponto C(0;5,6) é aplicado na forma fatorada 5,6 = a(0 +4)(0 – 4)

5,6=–16a 56/10.(–1)/16=a (–7)/20=a

Logo a forma fatorada é f(x) = (–7)/20 (x +4)(x – 4)

Para descobrirmos a distância do ponto P ao eixo Oy: 2,45 = (–7)/20 (x +4)(x – 4) 245/100 = (–7)/20 (x +4)(x – 4) 245/5 = –7(x +4)(x – 4) 49=–7(x +4)(x – 4) 49: (–7)=(x +4)(x – 4) –7=(x +4)(x – 4) –7=x²–16 x²–16+7=0 x²–9=0 x²=9 x= 9 x=+3 ou x=–3

Ou seja, a distância é de 3 metros. 33) y = x2 _{– 9}

Interseção com o eixo y: (0,–9) Interseção com o eixo x: x =( –4.1.(–9))/2.1

x =(± 36)/2=±3 → (–3,0) e (3,0)

Perceba que a união dos pontos forma um triângulo, logo, para calcular a área do triângulo, devemos fazer a multiplicação de base e altura e dividir por 2: 6.9/2 = 3.9 = 27 u.a.

EM3MAT06

EQUAÇÕES E FUNÇÕES DO 2o _GRAU

10

34) y = x2 _{– 1}

a) Percebemos que um dos pontos de interseção é a primeira raiz da parábola e o segundo ponto é (2,y).

Para calcular as raízes: x2 _{– 1=0}

x2 _{= 1}

x = 1

x = ±1, logo (–1,0) e (1,0), portanto a primeira interseção é (–1,0).

O segundo ponto é (2,y):

y = 22 _{– 1 y = 3}

y=4–1 O ponto é (2,3). Por fim, os pontos são (–1,0) e (2,3).

b) Para encontrar a equação da reta, calculamos o coeficiente a utilizando os dois pontos (–1,0) e (2,3):

a = (y1 – y2)/(x1 – x2) = (3 – 0)/(2 – (–1)) = 3/3 = 1 Logo: y = ax + b

y = 1x + b

Para encontrar o coeficiente b, escolhemos um dos pontos, no caso (–1,0), e substituir:

0 = 1.(–1)+b 0 = –1+b 1 = b

A equação da reta é y=1x+1. 35) L(x) = −x² + 12x – 20

Percebe–se que o lucro faz o papel de y, como queremos saber quantos bonés terão em cada pacote, devemos calcular o Xv:

Xv = (–b)/2a=(–(12))/(2.(–1))=(–12)/(–2)=6 Letra B. 36) C = 5 + 10n V = –5n² + 100n – 320 L= V– C L= –5n² + 100n – 320 – (5 + 10n) L= –5n² + 100n – 320 – 5 – 10n L= –5n² + 90n – 325 (:5) L= –n² + 18n – 65 n= (–(18)± (18)²–4(–1).(–65))/(2(–1)) n= (–18± 324–260)/(–2) n= (–18± 64)/(–2) n= (–18±8)/(–2) n= (–18+8)/(–2)=(–10)/(–2)=5 n= (–18–8)/(–2)=(–26)/(–2)=13

Para ter lucro, n deve estar 5<n<13.

b) L= –n² + 18n – 65

Para calcular o valor de n para ter lucro máximo, devemos calcular Xv, pois n está no lugar do x

Xv = (–b)/2a=(–(18))/(2.(–1))=(–18)/(–2)=9 N=9

Para calcular o lucro máximo, devemos fazer Yv, pois o lucro está no lugar do y

Lucro máximo = 80 reais

37) A = x –4 Raiz: x = (–b)/a = (–(–4))/1 = 4/1 = 4 B = x² –25 Raiz: x² – 25 = 0 x² = 25 x = 25 x = ±5

C= – x2 + 5x –4, lembre–se que o denomina-dor deve ser diferente de zero.

x=(–b± b²–4ac)/2a x=(–5± 5²–4(–1)(–4))/(2.(–1)) x=(–5± 25–16)/(–2) x=(–5± 9)/(–2) x=(–5±3)/(–2) x=(–5+3)/(–2)=(–2)/(–2)=1 x=(–5–3)/(–2)=(–8)/(–2)=4 Logo, X={x Є IR/x≤–5 ou 1<x<4 ou 4<x≤5} 38) Essa é uma inequação com apenas funções do primeiro grau, aconselho retirar.

(2x + 3)/(x–1) ≥ 1 (2x + 3)/(x–1) –1/1 ≥ 0 Tirando o MMC (x–1, 1)=x–1 (2x + 3–(x–1))/(x–1)≥ 0 (2x + 3–x+1)/(x–1)≥ 0 (x + 4)/(x–1)≥ 0 A = x+4

EM3MAT06

11

Raiz: x = (–b)/a = (–(4))/1 = (–4)/1 = –4

B = x – 1, lembre–se que o denominador deve ser diferente de zero.

Raiz: x=(–b)/a=(–(–1))/1=1/1=1

Logo, X={x Є IR/x≤–4 ou x>1}

39) Lembre–se que uma raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero.

x/1–900/x ≥ 0 Tirando o MMC (x, 1) = x (x² – 900)/x≥0 A = x² – 900 x² – 900 = 0 x² = 900 X = ₉₀₀ X = ±30

B=x, lembre–se que o denominador deve ser diferente de zero. Logo, D={x Є IR/–30≤x<0 ou x>30} 40) 5x² – 2x + 1 < 4x² + 4x – 7. 5x² –4x² – 2x –4x + 1 +7< 0 x²–6x+8<0 x= (–(–6)± (–6)²–4(1).(8))/(2(1)) x= (6± 36–32)/2 x= (6± 4)/2 x= (6±2)/2 x= (6+2)/2=4 – (4,0) x= (6–2)/2=2 – (2,0) X={x Є IR/2<x<4} 41) ((x – 4)(x² – 25) )/(–x² + 5x –4)≥ 0

Lembre–se que o denominador deve ser dife-rente de zero a) x–4=0 x=4 b) x² – 25=0 x²= 25 X= 25 X=±5 c) –x² + 5x –4=0 x= (–(5)± (5)²–4(–1).(–4))/(2(–1)) x= (–5± 25–16)/(–2) x= (–5± 9)/(–2) x= (–5±3)/(–2) x= (–5+3)/(–2)=(–2)/(–2)=1 x= (–5–3)/(–2)=(–8)/(–2)=4 X={x Є IR/x≤–5 ou 1<x<4 ou 4<x≤5 } Habilidades do ENEM: 42) D

Desafiando:

43)

Os triângulos OAB e CPB são semelhantes OA/OB=CP/PB

OA/3=q/(3–p) 3q=OA(3–p) Sendo OA=d

EM3MAT06

EQUAÇÕES E FUNÇÕES DO 2o _GRAU

12

Como o produto de p x q é mencionado, então P x q e q=d/3 (3–p)

P x d/3 (3–p) P x d/3 (3–p) Pd – d/3p²

Perceba que temos uma função do segundo grau, pois p é variável e d fixo.

Y=Pd – d/3p²

O máximo dessa função é 4,5. Yv=(–∆)/4a=4,5 (–(d²–4.d/3.0))/(4 d/3)=4,5 (–(d²–0))/(4 d/3)=4,5 (–(d²–0))/(4 d/3)=9/2 4 d/3.9=–2d² 4.d.3=–2d² 12d=2d² (:2d) 6=d

O triângulo OAB é retângulo AB² = OA²+OB² AB² = d²+3² AB² = 6²+3² AB² = 36+9 AB² = 45 AB = 45 AB = 3 5 Letra C. 44) a) Perímetro da semicircunfe-rência: πx

Perímetro da área retangular: 2x+2y

Assim πx+2x+2y=4

Colocando em função de x: Y=(4–πx–2x)/2

Área da semicircunferência:(πx²)/2

Área do retângulo: 2xy Área total: (πx²)/2 +2xy Substituindo y na área total (πx²)/2 +2x(4–πx–2x)/2=AT (πx²)/2 +x(4–πx–2x)=AT (πx²2)/2 +4x–πx²–2x²=AT –(πx²)/2 +4x–2x²=AT (–π/2–2)x² +4x=AT –(π/2+2)x² +4x=AT

b) Temos uma equação do segundo grau e, portan-to, o valor de x quando a área for máxima é o Xv

Xv = (–b)/2a=(–(4))/(2.–(π/2+2))=

(–4)/(–2(π/2+2))=2/((π/2+2))=2/(((π+4)/2))= 2.2/(π+4)=4/(π+4)

45) S1= a₁ t² + b₁t, veja que o coeficiente c=0 Colocando na forma fatorada, pois as interse-ções com o eixo x são: (0,0) e (t1,0)

S1=a1(t–0)(t–t1) S1=a1(t)(t–t1)

S2 = a₂t² + b₂t, veja que o coeficiente c=0 Colocando na forma fatorada, pois as interse-ções com o eixo x são: (0,0) e (2t1,0)

S2=a2(t–0)(t–2t1) S2=a2(t)(t–2t1)

Perceba que o Yv é igual para os dois, ou seja: S1(t1/2)=S2(t1)=h a1(t1/2)(t1/2–t1)=a2(t1)(t1–2t1) a1/a2=((t1)(t1–2t1))/((t1/2)(t1/2–t1)) a1/a2=((t1)(–t1))/((t1/2)(–t1/2)) a1/a2=(–1(t1)(t1))/(–1(t1/2)(t1/2)) a1/a2=((t1)(t1))/((t1/2)(t1/2)) a1/a2=t1²/(t1/2)² a1/a2=t1²/(t1²/4) a1/a2=t1².4/t1² a1/a2=4 Letra C 46) ∆ = 0 → b2 _{– 4 aC = 0} → m2 _{– 4.1 (8 – m) = 0} → m2 _{+ 4m – 32 = 0} mI _{= (4 + 12) → m}II _{= 8} mI _{= (4 – 12) → m}II _{= –4} S = (8, –4) 47) C 48) 592

EM3MAT17

13

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Geometria plana:

quadriláteros e

circunferências

Objetivos de aprendizagem:

• Definir elementos e propriedades básicas da geometria plana;

• Conceituar polígono, seus principais exem-plos e relações;

• Estabelecer as principais classificações e pro-priedades dos triângulos;

• Apresentar e identificar os principais seg-mentos e pontos notáveis de um triângulo;

• Estabelecer as principais classificações e pro-priedades dos quadriláteros.

Praticando

1) C 2) 160cm

Ao retirar os dois quadrados perdem-se 14 cm, mas ao ganhar seis segmentos, cada um medindo 7cm, ganhando 42 cm, logo 42 – 14 = 28cm.

É o perímetro original, que era 2 x 48 + 2 x 18 = 132 + 28 = 160cm.

3) C 4) D

Como o ângulo D tem uma bissetriz, por isso o ângulo é dividido ao meio.

Como CD é paralelo a AB, por isso foi marca-do o alterno interno e percebemos que os lamarca-dos são iguais. O perímetro é 6 + 6 + 9 + 9 = 12 + 18 = 30 . A E B C D 3 6 6 6 9 5) 140o 6) A

Como o triangulo CDE é equilátero, então os ângulos são de 60 graus.

A diagonal BD divide o ângulo de 90 na me-tade. O triângulo BDE: x+45+60+60=160 X + 165 = 180 X = 180 – 165 X = 15 A B D E C x 60o 60o 45o 60o 7) D

40º

α

β

90 – α

90 –

α 90 + 40 + 90 – α – β = 90 130 = α + β 8) PM + PN + PS = K

A

M

N

C

B

P

S

K3 3 K3 + K3 + K3 = K 3 3 3 K3 3 K3 3 K3 3 K3 3 K3 3

EM3MAT17

GEOMETRIA PLANA: QUADRILÁTEROS E CIRCUNFERÊNCIAS

14

Habilidades do ENEM: 9) C 10) E 11) B 12) 319 voltas 13) D 14) B 15) B 16) D 17) 8√2 m 18) C Habilidades do ENEM: 19) C

Aprofundando:

20) D A D C B E 2x + 30o _{= 180}o 2x = 180 – 30o 2x = 150o x = 75o 60o 60o 30o x 21) DPB = 45 graus A D C B P 15o 15o 60o 60o 60o 60o 150o 22) ADE = 10 graus E B C A A 140o 40o 40o 63o 10o 10o 360 – (60 + 140) 360 – 200 = 160o

23) D – A altura da grade é igual ao comprimento de x tubos, portanto haverá (x + 1) fileiras hori-zontais de tubos = x . (y + 1)

A largura equivale ao comprimento de y tu-bos, portanto haverá (y + 1) fileiras verticais de tubos = y (x + 1) Total de tubos x . (y+1) + y (x+1) xy + x + yx + y 2xy + x + y 24) Considerando AOB = 2x e BOC = 2y

Ângulos da bissetriz OM valem x e x e para ON valem : y e y

OZ bissetriz de MON, ângulos formados va-lem: (x + y) / 2

OT bissetriz de AOC, ângulos formados va-lem: x+y

BOZ = (x + y) /2 – x = (y – x) /2 ZOT = (x + y) /2 – x = (y – x) /2 BOT = (y – x) /2 + (y – x ) /2 = (y – x)

Como a diferença dos ângulos BOC e AOB vale 24o 2y – 2x = 24o y – x = 12o BOZ = 6o ZOT= 6o BOT= 12o 25) ( 6 – 2) cm 26) 4 6m 27) C 28) D 29) C 30) 0,16 m

EM3MAT17

15

31) E 32) C

Desafiando:

33) E Aumento = 12x – 8x = 4x 8x --- 100% 4x --- P 8xP = 400x 8P = 400 P = 400/8 P = 50% 2p . 4(2x) = 8x x x x x x x x x 2p . 4(3x) = 12x x x x x 2x 2x 2x 2x 34) A 35) E 36) B 37) E

EM3MAT17

GEOMETRIA PLANA: QUADRILÁTEROS E CIRCUNFERÊNCIAS

EM3MAT18

17

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Geometria plana: relações

métricas nas circunferências

Objetivos de aprendizagem:

• Estabelecer as principais classificações e pro-priedades dos quadriláteros.

Praticando

1) a) 12 b) 9 c) 6 d) 9

2) Somando os ângulos ABC e ADC, temos que: ABC + ADC = 180o _{→ 150o + ADC = 180}o

ADC = 30o. Como: ADC + 3X = 180o _{→ 3X =}

180o _{– 30}o _{→ 3X = 150}o _{→ X = 50}o Gabarito: D 3) 2α + 64o _{= 180}o _{→ 2α = 116}o _{→ α = 116}o_{/2 → α = 58}o Gabarito: E 4) E 5) E 6) 157o _30’’

7) a) alinha do horizonte é tangente à circunfe-rência no ponto L

d2 + R2 = (R + h)² d2 + R2 = R2 + 2Rh + h² d2 = 2Rh + h²

d2 = (2R + h) . h

Substituindo como sugerido no enunciado, 2R + h = 2R, segue que:

d2 = 2R . h d = 2Rh . b) 21 km

8) Os triângulos abaixo são semelhantes na razão de 3/5, logo: PO2 = (3/5).R P B A O2 O2 5R C3 R D

Como: O2C = R, temos que: R2 _{= (PC)}2 _{+ (PO2)}2

=> PC = (4/5).R Como PC = BC/2 ou BC = 2PC, então: BC = (8/5).R 9) 10 cm 10) 10 cm 11) 10 cm 12) 12 cm 13) 15 2 cm 14) A 15) E 16) B 17) B Habilidades do ENEM: 18) A

Aprofundando:

19) De acordo com a figura, temos que: 3X + 60o _{= 180}o _{=> X = 120}o_{/3 => X = 40}o

Gabarito: C

20) 2α + 130o _{+ 180}o _{= 360}o _{=> 2α = 50}o _{=> α = 25}o

Gabarito: A

21) De acordo com a figura, temos que: BN = X; NA = 8 – X; CM = 7 – X = CP; AP = 2 + X

Como: AN = AP, então: 8 – X = 2 + X => 2X = 10 => X = 5 cm.

EM3MAT18

GEOMETRIA PLANA: RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

18

22) De acordo com a figura, temos que: X = 1/2.(80o_{/2) = 80}o_{/4 => X = 20}o

Gabarito: C

23) De acordo com a figura, temos que: ABC = (70o _{+ 180}o_{)/2 = 250}o_{/2 = 125}o

Gabarito: A

24) AEC = (BD - AC)/2 => 80o _{= (BD – 100)/2 => BD =}

160o _{+ 100}o

BD = 260o

25) De acordo com a figura, temos que:

12o _{= (68}o _{– 2Y)/2 → 24}o _{= 68}o _{– 2Y → 2Y = 44}o _→

Y =22o

26) De acordo com o triângulo isósceles forma-do, temos que:

2α + 160o _{= 180}o _{→ 2α = 20}o _{→ α = 10}o

Gabarito: B

27) De acordo com a figura e com as informações contidas no enunciado da questão, temos que:

α = 60o _{(ângulo interno de um triângulo}

equilá-tero) β = α/2 = 30o Logo: α + β = 90o _{= π/2} Gabarito: B 28) 0,8 m 29) B

Desafiando:

30) D Habilidades do ENEM: 31) B