CÓDIGO COMPUTACIONAL LTS N - 1 A VERSÃO

CÓDIGO COMPUTACIONAL LTS_N - 1A VERSÃO

Gilberto Orengo(1,2), Marco T. Vilhena(1) , Daniel Beck(1) e Glênio Gonçalves(1)

(1) _{Departamento de Engenharia Nuclear - DENUC}

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - PROMEC Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS

(2) _{Endereço para correspondência:}

Rua do Rosário, 132 97010-430 Santa Maria, RS, Brasil

E-mail: g.orengo@via-rs.net

RESUMO

O objetivo deste trabalho consiste em apresentar a primeira versão de um código computacional para resolver problemas em teoria de transporte utilizando a formulação do método LTSN, em geometria plana. O código incorpora todos os avanços atuais do método LTSN, tais como,

capacidade de resolver problemas de transporte, tanto direto quanto adjunto, com fonte arbitrária, para elevada ordem de quadratura em multigrupos. Cálculo de criticalidade, como keff e dimensão

crítica. Além do código em si, são propostos alguns avanços para o método, entre eles o uso do método iterativo para solução do sistema de equações condições de contorno, que reduziu consideravelmente o tempo computacional. Foram utilizados todos os recursos modernos da linguagem Fortran(Fortran 90/95), permitindo com isto uma otimização dos algoritmos, bem como facilidade de atualização do mesmo. Para validar os resultados, alguns resultados numéricos são apresentados.

Keywords: LTSN method, transport theory. I. INTRODUÇÃO

No estudo da teoria de transporte o interesse é determinar a distribuição de partículas (nêutrons e/ou fótons) num meio, levando em conta o movimento das mesmas e suas interações com o meio. As raízes da teoria de transporte estão na equação de Boltzmann [1,2], inicialmente formulada para o estudo da teoria cinética dos gases. Nos anos 40, com S. Chandrasekhar [3], o estudo de transporte de radiação em atmosferas estelares teve seu início, especialmente na procura de técnicas de solução da equação de transporte de radiação. Estes e outros fatos históricos que apresentam a relevância e avanços em teoria de transporte podem ser encontrados nas referências[4-6], bem como nas acima citadas.

Uma importante contribuição foi incorporada ao estudo de fenômenos de transporte no início dos anos 90: o surgimento do método LTSN [7,8], que resolve de forma

analítica a aproximação SN do problema de transporte,

aplicando a transformada de Laplace na variável espacial em um domínio finito.

O método LTSN consiste, basicamente, na aplicação

da transformada de Laplace no sistema de equações

diferenciais ordinárias gerado pela aproximação SN. Disto

resulta um sistema de equações algébricas, cuja matriz dos coeficientes contém a variável “s”. Então, fazendo-se a inversão desta matriz, seguida da aplicação inversão da transformada de Laplace, encontra-se a expressão para o fluxo angular. Para a inversão da matriz dos coeficientes, vários métodos foram desenvolvidos com o objetivo de encontrar uma fórmula analítica. Primeiramente, Barichello [9] propôs um algoritmo utilizando a estrutura da matriz LTSN linearmente anisotrópica e o conceito de matriz

inversa. A seguir, esta formulação foi generalizada para o caso anisotrópico por Oliveira [10]. Uma aproximação alternativa para este procedimento foi desenvolvida por Streck [11], que usou o método de Trzaska [12] para a inversão de uma matriz do tipo (sA + B), na resolução do método PN. Mas estes métodos tinham uma limitação, só

forneciam boas respostas em problemas com pequena ordem de quadratura (N < 22) ou pequeno grau de anisotropia [13]. Para contornar esta dificuldade, inicialmente Cardona [14] usou o método de particionamento para inverter a matriz LTSN associada a um

problema isotrópico. Este método foi implementado por Brancher [13], chegando a N=400. Mais tarde, surgiu a

idéia de um método recursivo [15-17] para inverter uma matriz simbólica (sI + A), combinando a decomposição de Schur e o método do particionamento, com ordem de quadratura N até 400 em um supercomputador (CRAY Y-MP/2E e/ou J9/32). Levando em conta que a matriz A associada à matriz simbólica (sI + A) é não degenerada, Segatto, Vilhena e Gomes [18] fizeram a decomposição de A em uma matriz diagonal, que propiciou trabalhar com problemas com ordem de quadratura muito elevada (N ≈ 1000), em um microcomputador tipo PC. Para evitar o problema de overflow devido ao caráter exponencial da solução LTSN para problemas envolvendo elevadas ordens

de quadratura ou grandes espessuras de placas, Barichello [19] propôs uma mudança de base na solução, trocando x por x - a para os termos exponenciais positivos, onde a é a espessura da placa. Este procedimento funciona muito bem para problemas homogêneos, mas é ineficiente para problemas não homogêneos porque há uma transferência do problema de overflow para o termo de fonte. Recentemente, Gonçalves[20,21] propôs uma nova formulação para a solução LTSN que leva em conta a propriedade de

invariância das direções discretas. Fisicamente isto significa considerar equivalentes partículas deslocando-se da direita para a esquerda (µi < 0) e partículas deslocando-se da esquerda para a direita (µi > 0). Com isso, o problema de overflow foi completamente eliminado. Outra importante contribuição foi de Pazos [22-24], que provou a convergência do método LTSN. Com isso o controle na

precisão é possível, isto é, à medida que a ordem de quadratura (N) cresce, o resultado obtido se aproxima do valor exato, a menos de erros inerentes a problemas computacionais (arredondamentos e/ou truncamentos). Uma comparação dos métodos de inversão matricial para problemas (sA + B) em problemas de transporte, pode ser encontrado no trabalho de Gomes [25] e uma revisão atualizada e detalhada sobre o método LTSN no recente

trabalho de Segatto e Vilhena [26].

Existe uma grande quantidade de estudos realizados, e em andamento, quanto à aplicação do método LTSN,

mostrando com isso que o método é eficiente na solução de problemas como:

1) resolução de problemas unidimensionais com meio homogêneo e heterogêneo [27],

2) com multigrupos de energia [28],

3) com espalhamento anisotrópico[15] e, com e sem simetria azimutal [16,29],

4) transferência radiativa [16,26],

5) criticalidade (keff e espessura crítica)[30-32],

6) função importância, através do cálculo adjunto [20], 7) dosimetria.

Portanto, o estágio atual de desenvolvimento do método LTSN motivou a construção de um código

computacional reunindo todas as vantagens proporcionadas pelo método, dentre as quais se ressalta o caráter semi-analítico, que proporciona cálculos com controle de erro. Neste sentido, este trabalho relata o desenvolvimento de uma primeira versão do código Código LTSN (ou LTSN

Code), para cálculo de transporte unidimensional utilizando a formulação LTSN.

O restante deste artigo está dividido da seguinte forma: a seguir será apresentado a formulação LTSN para

problemas envolvendo transporte de nêutrons; logo após será abordado os avanços propostos para o método LTSN,

bem como a descrição do Código LTSN. Finalmente serão apresentados os resultados numéricos e as conclusões.

II. O MÉTODO LTSN

Para formalizar o método LTSN, partimos da

equação de transporte na forma SN-multigrupos:

∑∑

= =

Σ

=

Σ

+

G g j g j N j L g g i gi i t gi

x

x

x

dx

d

g 1 ´ ´ 1 ´

(

)

2

1

)

(

)

(

ϖ

ψ

µ

ψ

µ

ψ

,

)

(

)

(

1

2

)

(

1 ´ 1 ´ ´ ´

∑

∑

= =

+

Σ

+

G g i gi N j j g j f g i eff g

S

x

x

v

k

x

x

g

ω

ψ

µ

µ

(1)

onde ψgi é o fluxo na direção i e energia g na posição x, Σtg é a seção de choque macroscópica total para o grupo g, µi e

ωi são, respectivamente, as raízes e os pesos da quadratura angular, Σg´g é a seção de choque macroscópica de espalhamento, Σf é a seção de choque macroscópica de fissão Sgi representa o termo de fonte externa, χg é o

espectro de fissão para o grupo g e νg´ o número médio de nêutrons oriundos d fissão. Esta equação fornece um conjunto de GN equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, com as condições de contorno

0

2

:

1

,

)

0

(

=

=

⇔

µ

>

ψ

_gn

f

_gn

n

N

(1a)

.

0

2

:

1

,

)

(

) 2 ( + −

=

=

⇔

µ

<

ψ

_{g n N}

a

g

_gn

n

N

(1b)

que na forma matricial assume a forma:

)

(

)

(

)

(

~ ~ ~

x

B

x

Q

x

dx

d

=

Φ

+

Φ

, (2) com as condições de contorno, agora escritas como

~ ~

~

~

(

0

)

=

f

e

Φ

(

a

)

=

g

Φ

, (2a) onde B é uma matriz GN x GN, cujos elementos armazenam os dados nucleares do problema, e.g., as seções de choque. Aplicando a transformada de Laplace à Eq. (2) e fazendo uma simples manipulação, temos que o fluxo transformado é:

),

(

)

(

)

0

(

)

(

)

(

~ 1 ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~

s

s

I

A

s

I

A

Q

s

− −

_Φ

₊

₋

−

=

Φ

(3)

onde I é a matriz identidade e A = -B. O fluxo angular é obtido pela inversa da transformada de Laplace, ou seja:

{

(

)

}

(

0

)

{

(

)

}

*

(

),

)

(

~ 1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ ~ 1 ~

x

L

s

I

A

L

s

I

A

Q

x

− − − −

₋

_Φ

₊

₋

=

Φ

(4)

onde o asterisco denota a convolução. Uma formulação semelhante é obtida para a função adjunta (ou fluxo adjunto), basicamente trocando-se o µ por -µ. Uma descrição detalhada desta parte do método LTSN se

encontra nas Ref. [26,33].

O estudo de criticalidade (fator de multiplicação efetivo e dimensão crítica) através do método LTSN é

também possível. Para tanto é necessário resolver uma equação transcedental obtida pela aplicação das condições de contorno[30-32]. A aplicação da formulação LTSN num

problema de placa plana heterogênea (multi-regiões) de K regiões, sujeita a G grupos de energia e à aplicação das condições de contorno do tipo vácuo e de continuidade dos fluxos angulares, nas interfaces entre regiões origina o sistema homogêneo,

[ ]

k GN k GN

A

~ ~ ~

(

0

)

0

*

=

Φ

, (5) onde k = 1:K e Φk*GN(0) é o vetor de KGN componentes

que representam os fluxos angulares modificados nas k regiões e g grupos de energia, em cada uma das regiões e, A é a matriz (KGN x KGN) obtida pela aplicação das condições de contorno e de continuidade para o fluxo angular nas interfaces do problema. O sistema linear homogêneo acima apresenta solução não-trivial se, e somente se,

~ ~

)

0

det(

A

=

. (6) Para outros tipos de condições de contorno homogêneas aplica-se o mesmo procedimento acima.

III. AVANÇOS AO MÉTODO LTSN E O CÓDIGO

LTSN

O vetor condição de contorno Φ(0) não está completamente determinado, porque somente N/2 componentes, referentes a µ > 0, são conhecidas. As outras N/2 condições para µ < 0 devem ser obtidas através da solução de um sistema algébrico de equações lineares a partir das condições de contorno em x =a. O Método de Eliminação Gaussiana é utilizado para solução deste sistema de equações. O esforço computacional deste método é obtido somando-se o número de operações necessárias para resolver um sistema triangular. Assim, na aplicação do Método de Eliminação Gaussiana na resolução de um sistema com n equações e n incógintas, o

número total de operações é da ordem n3 para n grande. Se o sistema não é triangular, no método de eliminação são necessárias mais que 68 vezes o exigido no caso triangular. O peso maior no esforço computacional do método deve-se

às operações realizadas na eliminação, pois o processo de eliminação é responsável pelo termo cúbico do esforço computacional. Com isso, a propagação de erros de arredondamentos também cresce da ordem n3. No sentido de avançar mais no método LTSN, foi proposto a

substituição do Método de Eliminação Gaussiana por um método iterativo, tendo em vista que a matriz LTSN

torna-se grande para altos valores de N e g. Em geral, os métodos iterativos são convenientes para sistemas grandes e/ou esparsos. Outra consideração importante é que o Método de Eliminação Gaussiana pode destruir faixas de zero, enquanto o método iterativo preserva os zeros do sistema. Mas, como nem tudo é perfeito, existem algumas condições para garantir a convergência da sequência de aproximações, calculadas por métodos iterativos.

O método iterativo escolhido foi o Método “Reiniciado” Resíduo Mínimo Generalizado (Restarted Generalized Minimum RESisdual -- RGMRES). O principal motivo desta escolha foi que o mesmo satisfaz a solução esperada e está presente no pacote computacional PIM [34,35], na versão Linux, sistema operacional no qual foi construído a primeira versão do código.

Além deste avanço, é importante ressaltar que outra modificação foi executada, na varredura em busca da mudança do sinal do determinante da matriz dos coeficientes, antes da entrada no Método da Bissecção no cálculo de criticalidade. Estes dois avanços fecham o método LTSN, para estudos de criticalidade, com

autovalores reais (ou imaginários puros) utilizando o Método da Bissecção.

O Código LTSN: o código foi desenvolvido em Fortran 90/95, inicialmente para uma plataforma Linux. A parte principal do código é o programa LTSN, que está dividido em três módulos, que são:

1. LTSN1.f90: onde estão as sub-rotinas para leitura dos dados de entrada;

2. LTSN2.f90: é o núcleo (kernel) do código, é onde se localizam todas as sub-rotinas de cálculo - caso dos fluxos angulares e escalares, tanto direto como adjuntos; e problemas de criticalidade.

3. LTSN3.f90: módulo que contém as sub-rotinas de saída de dados.

Estes três módulos são compilados juntos para gerar o executável do código LTSN.

As sub-rotinas usadas para a inversão da matriz (sI - A) foram extraídas da LAPACK [36] e reunidas numa biblioteca a parte, chamada libltsn.for. Foram utilizados os recursos mais modenos da liguagem Fortran, tais como, MODULE, INTERFACE, ALLOCATABLE, entre outros. A saída de dados contemplará, além dos resultados formatados e localizados num arquivo de saída "OUTPUT", saídas formatadas para uso em LaTeX e em softwares de manipulação para geração de gráficos. Os gráficos terão uma saída especial através da biblioteca DISLIN[37], que permite a visualização de gráficos a partir do Fortran.

IV. RESULTADOS NUMÉRICOS E CONCLUSÕES Dentre os vários problemas resolvidos em neutrônica, um foi escolhido para ser, para mostrar o uso do código LTSN, a reprodução parcial dos resultados do problema resolvido da Ref.[33].

Este demonstra a convergência numérica da solução LTSN para problemas adjuntos de transporte, neste exemplo

é calculada a solução adjunta escalar, em uma posição fixa (x = 15 cm), para várias ordens de quadratura. O problema a ser resolvido é monoenergético, com espessura de placa x0

= 150cm e com fonte adjunta exponencial (Q*(x) = e-0,5x), delta e gaussiana (Q*(x) = e-0,5(x-75)**2). A seção de choque macroscópica total é Σt = 2,9664cm-1 e os coeficientes do kernel de espalhamento são Σs0 = 2,8876cm-1 e Σs1 = 1,2781cm-1. Os resultados são mostrados na Tabela 1. Os cálculos foram realizados num computador tipo PC Pentium III-866MHz/256MB.

TABELA 1. Resultados Numéricos para Fontes Exponencial, Delta e Gaussiana, na Solução Adjunta

N Fonte Exponencial Fonte Delta Fonte Gaussiana 2 0,016279468 0,170275165 0,520868678 4 0,016419778 0,170490076 0,519563301 10 0,016422130 0,170489518 0,519554154 20 0,016422425 0,170489519 0,519555191 30 0,016422480 0,170489529 0,519555211 40 0,016422482 0,170489575 0,519555210 50 0,016422492 0,170489634 0,519555224 80 0,016422507 0,170489624 0,519555255 100 0,016422508 0,170489630 0,519555264 200 0,016422508 0,170489640 0,519555272 300 0,016422510 0,170489641 0,519555275 400 0,016422511 0,170489642 0,519555275 500 0,016422511 0,170489642 0,519555275 AGRADECIMENTOS

Os autores são gratos ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) e CNEN(Comissão Nacional de Energia Nuclear) pelo suporte parcial a este trabalho.

REFERÊNCIAS

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[37] http://www.linmpi.mpg.de/dislin, último acesso: fevereiro de 2002.

ABSTRACT

The aim of this work consists to present the first version of a code to solve problems in transport theory using the formulation of the LTSN method, in slab geometry. The code incorporates all the current progresses of the LTSN method, such as, capacity to solve transport problems, so much direct as adjoint, with arbitrary source, for high order quadrature in multigroups. The criticality calculation, as keff and critical dimension is available. Also,

are some proposed progresses for the method, the use of the iterative method for solution of the system of boundary condition equations, that reduced the computational time considerably. The Fortran 90 language were used. To validate the results, some numeric results are presented.