4m 5) 10,8 kn/m. 2 m. 3 m 2 m. 12 kn/m. 3 m. 5 m 3 m. 6 kn/m. 3 m. 4 m. 6 m. 2 m. 3 m 2 m. 3 m. 4 m 4 m. 6 kn/m 1 kn EI EI

(1)

Exercícios -

Utilize o Método dos deslocamentos para calcular as reações de apoio e trace os diagramas de esforços

normal, cortante e momento fletor dos quadros hiperestáticos:

1)

B A C

15 kN/m

5m

4m

₅₎

6 kN/m

2 m

3 m

2 m

D A 3EI B C EI 3EI

2)

B A C

18 kN/m

4m

3m

4EI EI

₆₎

10,8 kN/m

3 m

4 m

D A B C E

3)

B A C

12 kN/m

5m

4m

3m

D

7)

12 kN/m

3 m

5 m

3 m

D A 4EI B C EI 3EI E EI

4)

6 kN/m

2 m

3 m

2 m

D A B C

8)

B A C D

6 kN/m

6 m

4 m

3 m

1 kN

4EI

EI

Obs.: Confirme as reações de apoio e os esforços com o software:

Ftool

 http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/

(2)

2)

B

A

C

18 kN/m

4m

3m

4EI

EI

Solução:

1- Sistema Principal



1 B A

1 2- Efeitos no sistema principal

B A

1 

10 B A

1 

11

Carregamento Externo

Rotação



1

barra BC:

36

8

4 x

18

8 qL

M

2 2 1 1 B













Temos então:

36 M

B1 10







barra BC:

EI

3

4 EI

4 x

3 L

EI

3 k

1 1 C



barra AC:

EI

333 ,

1

3 EI

4 L

EI

4 k

2 2 C



Temos então:









₁₁

k

_C₁

k

_C₂

EI

333 ,

4 EI

333 ,

1 EI

3

11









(3)

3- Cálculo da incógnita 

1

Sabemos que:

0

1 11 10













11 10 1











EI

333 ,

4

36

1









EI

30769

,

8

1





4- Reações de Apoio









1 B 1 o B B

V









₂ 1 1 1 B

L

EI

3

8 qL

3 V























₂ B

4 EI

4

3 EI

30769

,

8

4

18

3 V

kN

23 ,

33 V

B





































2 A 2 2 1 A 1 A 1 o A A

3 EI

6 EI

30769

,

8

0 H

L

EI

6

0 H

H

kN

54 ,

5 H

A





































EJ

30769

,

8

3 EJ

2

0 M

L

EJ

2

0 M

M

A 1 2 A 1 1 A o A A

kNm

54 ,

5 M

A



As demais reações de apoio podem

ser calculadas por equilíbrio estático.



F

y



0 









V

18 x

4

0

23 ,

33

_A

kN

77 ,

38 V

_A





F

x



0 







H

0

54 ,

5

_B

kN

54 ,

5 H

B



(4)

5- Diagramas de esforços

Barra BC

Equações com origem em B (x=0).

m

4 x

0 



2 B B B

x

9 x

V

)

x

(

M

x

18 V

)

x

(

V

H

)

x

(

N













Barra AC

Equações com origem em A (x=0).

m

3 x

0 



x

H

M

)

x

(

M

H

)

x

(

V

)

x

(

N

A A A A









a) Esforço Normal

b) Cortante

(5)

4)

6 kN/m

2 m

3 m

2 m

D A B C

Solução:

D A 1



1

Sistema Principal

C

D

A

1 

10 Carregamento

Externo

6 kN/m

C

D

A

1 

₁₁

Rotação



1 C

Carregamento Externo:

3

8

2

6

8 qL

M

2

9

12

3

6

12 qL

M

2 2 BC 2 B 2 2 AB 1 B





















Temos então:

2

3

2

9 M

M

_B₁ _B₂ 10

















Rotação 

1

EI

2

2 EI

4 L

EI

4 k

EI

2

3

2 EI

3 L

EI

3 k

EI

3

4

3 EI

4 L

EI

4 k

BD 3 B BC 2 B AB 1 B















Temos então:

EI

6

29 EI

2 EI

2

3 EI

3

4

11









Cálculo da incógnita



1

Sabemos que:

0

1 11 10













11 10 1











EI

6

29

2

3

1









EI

29

9

1





(6)

4- Reações de Apoio

kN

207 ,

9 V

29

267

3 EI

6 EI

29

9

2

3

6 V

L

EI

6

2 qL

V

A 2 A 2 AB 1 AB A 1 A 1 o A A













































kNm

707 ,

4 M

58

273

3 EI

2 EI

29

9

12

3

6 M

L

EI

2

12 qL

M

A 2 A AB 1 2 AB A 1 A 1 o A A













































kN

526 ,

16 V

2 EI

3

3 EI

6 EI

29

9

8

2

6

5

2

3

6 V

L

EI

3 L

EI

6

8 qL

5

2 qL

V

D 2 2 D 2 BC 2 AB 1 BC AB D 1 D 1 o D D













_



_



























































_











kNm

310 ,

0 M

2 EI

29

9

0 M

L

EI

2

0 M

M

D D BD 1 D 1 D 1 o D D





































kN

267 ,

4 V

2 EI

3 EI

29

9

8

2

6

3 V

L

EI

3

8 qL

3 V

V

C 2 C 2 BC 1 BC C 1 C 1 o C C





























































kN

466 ,

0 H

kN

466 ,

0 H

2 EI

6 EI

29

9

0 H

L

EI

6

0 H

H

A D 2 D 2 BD 1 D 1 D 1 o D D





























































(7)

8)

B

A

C

D

6 kN/m

6 m

4 m

3 m

1 kN

4EI

EI

Sistema Principal



1

= Rotação do nó C (deslocabilidade interna)



2

= Rotação do nó D (deslocabilidade interna)



3

= Translação da direção CD (deslocabilidade externa)

1

2

3 

1 

2

(8)

Direção 0 – Carregamento original

Para a barra CD temos os seguintes valores:

18

2

6

2 q

V

18

12

6

12 q

M

18

12

6

12 q

M

0 D 0 C 2 2 0 D 2 2 0 C



























Os demais valores (na cor

azul

) são todos iguais a zero.

6 kN/m

1

2

3 6 kN/m

V

D0

V

_C0

M

C0

M

D0

H

_C0

H

A0

H

_D0

H

_B0

M

_C0

M

A0

M

D0

(9)

Direção 1 – Rotação unitária na direção de



1

Para a barra CD temos os seguintes valores:

3 EI

2

36 EI

24

6 EI

24 )

EI

4 (

6 V

V

3 EI

4

6 EI

8

6 )

EI

4 (

2 )

EI

4 (

2 M

3 EI

8

6 EI

16

6 )

EI

4 (

4 )

EI

4 (

4 M

2 2 1 D 1 C 1 D 1 C









Para a barra AC temos os seguintes valores:

8 EI

3

16 EI

6

4 EI

6 EI

6 H

H

2 EI

4 EI

2 EI

2 M

EI

4 EI

4 M

2 2 1 A 1 C 1 A 1 C









Os demais valores (na cor

azul

) são todos iguais a zero.

1

2

3 V

D1

V

C1

M

C1

M

D1

H

_C1

H

A1

H

_D1

H

_B1

M

C1

M

A1

M

D1

(10)

Direção 2 – Rotação unitária na direção de



2

Para a barra CD temos os seguintes valores:

3 EI

2

36 EI

24

6 EI

24 )

EI

4 (

6 V

V

3 EI

8

6 EI

16

6 )

EI

4 (

4 )

EI

4 (

4 M

3 EI

4

6 EI

8

6 )

EI

4 (

2 )

EI

4 (

2 M

2 2 2 D 2 C 2 D 2 C









Para a barra BD temos os seguintes valores:

3 EI

9 EI

3

3 EI

3 H

H

EI

3 EI

3 M

2 2 2 B 2 D 2 D









Os demais valores (na cor

azul

) são todos iguais a zero.

1

2

3 V

D2

V

C2

M

C2

M

D2

H

C2

H

A2

H

D2

H

_B2

M

_C2

M

_A2

M

D2

(11)

Direção 3 – Translação unitária na direção de



3

Para a barra AC temos os seguintes valores:

16 EI

3

64 EI

12

4 EI

12 EI

12 H

H

8 EI

3

16 EI

6

4 EI

6 EI

6 M

M

3 3 3 A 3 C 2 2 3 A 3 C









Para a barra BD temos os seguintes valores:

9 EI

27 EI

3

3 EI

3 H

H

3 EI

9 EI

3

3 EI

3 M

3 3 3 B 3 D 2 2 3 D









Os demais valores (na cor

azul

) são todos iguais a zero.

1

2

3 V

D3

V

C3

M

C3

M

D3

H

C3

H

_A3

H

D3

H

B3

M

C3

M

_A3

M

_D3

(12)

Equações de compatibilidade

1

1 H

0

0 M

0

0 M

3 33 2 32 1 31 30 3 3 23 2 22 1 21 20 2 3 13 2 12 1 11 10 1













































































Onde:

144 EI

43

9 EI

16 EI

3 H

H

3 EI

H

3 EI

11 EI

3 EI

8 M

M

8 EI

3 H

3 EI

4 M

3 EI

11 EI

3 EI

8 M

M

0

18 M

3 D 3 C 33 32 23 31 13 2 D 32 2 D 2 D 22 21 12 1 C 31 1 D 21 1 C 1 C 11 30 0 D 20 0 C 10











































































Assim:

EI

1 3269346

,

5 3845231

,

7 1391722

,

8

1

18

144

43

3

1

8

3

1

3

11

3

4

8

3

4

3

11 EI

1

0

3 2 1 3 2 1 30 20 10 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11



































































































































































Reações de Apoio:

















































































3 B 3 2 B 2 1 B 1 0 B B 3 B 3 2 B 2 1 B 1 0 B B 3 A 3 2 A 2 1 A 1 0 A A 3 A 3 2 A 2 1 A 1 0 A A 3 A 3 2 A 2 1 A 1 0 A A