[Bluebee-uet.com]1496159728dap-an-va-thang-diem-de-thi-gt2-giua-ky-de-so-2.pdf

(1)

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Đáp án và Thang điểm

***** ĐỀ THI GIỮA KỲ HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 2

(Học kỳ II năm học 2016-2017)

Câu 1.(1,25đ) Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số





         ) 0 , 0 ( ) y , x ( khi b ) 0 , 0 ( ) y , x ( khi y x 1 arctan y x ) y , x ( f 2 2 2 2 trong đó b là tham số. Bài giải.

Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R2_._(0,25đ)

Vì khi (x,y)  (0,0) thì   2 2 y x 1 do đó 2 y x 1 arctan ₂ ₂   khi (x,y)  (0,0) 0 2 ) y x ( y x 1 arctan ) y x ( ) y , x ( f 0 2 2 ₂ ₂  2 2     

 khi (x,y)  0 (0,25đ) nên theo nguyên lý

kẹp thì





0 y x 1 arctan y x lim ) y , x ( f lim 2 2 ₂ ₂ ) 0 , 0 ( ) y , x ( ) 0 , 0 ( ) y , x (       .(0,25đ) Do đó, nếu b = 0 thì f(0,0) = 0 và    f(x,y) f(0,0) lim ) 0 , 0 ( ) y , x

( hàm số f(x,y) đang xét liên tục tại

điểm (0,0)(0,25đ); ngược lại, nếu b  0 thì f(0,0) = b  0 tức là    f(x,y) f(0,0) lim ) 0 , 0 ( ) y , x ( hàm số f(x,y)

đang xét không liên tục tại điểm (0,0). (0,25đ)

Câu 2.(1,5đ) Cho hàm số ₂ ₂ 2 2 ) 5 y ( x 1 1 ) 5 y ( x ) y , x ( f       

2.1. Tìm miền xác định D của hàm số f(x,y); 2.2. Tìm lim f(x,y) ) 5 , 0 ( ) y , x (  . Bài giải. 2.1. Hàm số ₂ ₂ 2 2 ) 5 y ( x 1 1 ) 5 y ( x ) y , x ( f      

 xác định khi x2 + (y – 5)2  0  hoặc x  0 hoặc y  5 nên miền xác định của hàm số là D = R2_\{(0,5)}._(0,5đ) 2.2. Đặt t = x2 + (y – 5)2  t  0 khi (x,y)  (0,5). Biến đổi



_



_



1 1 t 1 1 1 t t 1 1 t 1 1 t t 1 1 t ) 5 y ( x 1 1 ) 5 y ( x ) y , x ( f ₂ ₂ 2 2                     2 1 1 1 0 1 1 1 t 1 lim ) y , x ( f lim 0 t ) 5 , 0 ( ) y , x (           .(1,0đ) Câu 3.(0,75đ) Chứng minh rằng hàm số 2 2 2 z y x 1 ) z , y , x ( f    thỏa mãn phương trình Laplace 0 z ) z , y , x ( f y ) z , y , x ( f x ) z , y , x ( f 2 2 2 2 2 2          trong không gian R3. Bài giải. Ta có





2 1 2 2 2 2 2 2 x y z z y x 1 ) z , y , x ( f       









2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2 z y x x x 2 . z y x . 2 1 x ) z , y , x ( f              

(2)

2

















2 5 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 z y x x 3 z y x x 2 . z y x . 2 3 . x z y x . 1 x ) z , y , x ( f                             (0,5đ),tương tự ta cũng có









2 5 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 z y x y 3 z y x y ) z , y , x ( f            và









2 5 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 z y x z 3 z y x z ) z , y , x ( f           



x y z



3



x y z



x y z



0 3 z ) z , y , x ( f y ) z , y , x ( f x ) z , y , x ( f 2 5 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2                      (0,25đ).

Câu 4.(1,25đ) Cho hàm số f(x,y,z) = x2y2z2. Tính gradf(x,y,z) và _   l ) z , y , x ( f

tại điểm M0(-1,1,1), biết

rằngl được xác định bởi véc tơ M₀M₁với M1(0,-1,-1). Bài giải. + Ta có                                                2 1 . 1 . ) 1 .( 2 z ) 1 , 1 , 1 ( f 2 1 . 1 . ) 1 .( 2 y ) 1 , 1 , 1 ( f 2 1 . 1 ). 1 .( 2 x ) 1 , 1 , 1 ( f z y x 2 z ) z , y , x ( f yz x 2 y ) z , y , x ( f z xy 2 x ) z , y , x ( f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (0,25đ)                         k 2i 2 j 2k z ) 1 , 1 , 1 ( f j y ) 1 , 1 , 1 ( f i x ) 1 , 1 , 1 ( f ) 1 , 1 , 1 ( gradf (0,25đ) + Ta có M₀M₁(10)i(11) j(11)ki2 j2k M₀M₁  (1)22222 3       do đó các cosin chỉ phương của véc tơ l là , 3 1 cos , 3 2 cos  3 2 cos  .(0,5đ) + Suy ra       _ _ _ _ _      _ _ _          

 2i 2 j 2k . cos i cos j cos k l ) 1 , 1 , 1 ( f 3 1 3 k 3 2 j 3 2 i 3 1 . k 2 j 2 i 2      _ _ _      _ _ _     (0,25đ).

Câu 5.(2,0đ) Khảo sát cực trị của hàm số f(x,y) = 6x2y – 24xy – 6x2 + 24x + 4y3 – 15y2 + 36y + 1.

Bài giải.

Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R2_.

- Ta có





                               ) 6 y 5 y 2 x 4 x ( 6 36 y 30 y 12 x 24 x 6 y ) y , x ( f ) 1 y )( 2 x ( 12 2 x y 2 xy 12 24 x 12 y 24 xy 12 x ) y , x ( f 2 2 2 2

Suy ra hệ phương trình để xác định các điểm dừng (nếu có) của hàm số đang xét là

                                    0 6 y 5 y 2 x 4 x 0 ) 1 y )( 2 x ( 0 ) 6 y 5 y 2 x 4 x ( 6 0 ) 1 y )( 2 x ( 12 0 y ) y , x ( f 0 x ) y , x ( f 2 2 2 2 (0,25đ)

(3)

3                                                                                    3 x 1 x 1 y 2 1 y 2 y 2 x 0 3 x 4 x 1 y 0 2 y 5 y 2 2 x 0 6 y 5 y 2 x 4 x 0 1 y 0 6 y 5 y 2 x 4 x 0 2 x 2 2 2 2 2 2 (0,25đ)

Như vậy, hàm số đang xét có 4 điểm dừng M₁(2,2); M₂(2,12);M₃(1,1);M₄(3,1).

- Ta có





                                                ) 5 y 4 ( 6 y ) y , x ( f ) y , x ( C ) 5 y 4 ( 6 30 y 24 y ) y , x ( f ) 2 x ( 12 y x ) y , x ( f ) y , x ( B ) 2 x ( 12 24 x 12 y x ) y , x ( f ) 1 y ( 12 x ) y , x ( f ) y , x ( A 1 y 12 12 y 12 x ) y , x ( f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



2(x 2) (y 1)(4y 5)



72 ) 5 y 4 ( 6 ). 1 y ( 12 ) 2 x ( 12 ) y , x ( C ) y , x ( A ) y , x ( B ) y , x (  2   2  2     2    (0,5đ) + Tại điểm dừng M1(2,2) ta có          0 12 ) 2 , 2 ( A 0 216 ) 2 , 2 (

nên nó là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu là fct = f(2,2) = 21.(0,25đ) + Tại điểm dừng M2(2,12) ta có           0 6 ) 2 1 , 2 ( A 0 108 ) 2 1 , 2 (

nên nó là điểm cực đại và giá trị cực đại là fcđ = f(2,1/2) = 111/4.(0,25đ)

+ Tại điểm dừng M₃(1,1) ta có (1,1)1440nên nó không phải là điểm cực trị.(0,25đ) + Tại điểm dừng M₄(3,1) ta có (3,1)1440nên nó không phải là điểm cực trị.(0,25đ)

Câu 6.(1,5đ) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) = xy + x + y trên miền đóng D là

hình chữ nhật được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 2 và y = 3.

Bài giải.

Miền xác định của hàm số đang xét là R2_{và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi}

x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D.

Ta có hệ phương trình                 0 1 x y ) y , x ( f 0 1 y x ) y , x ( f để xác định các điểm dừng. Hệ phương trình này có 1 nghiệm duy nhất        1 y 1 x

, tức là có 1 điểm dừng (-1,-1) là điểm nằm ngoài miền D nên không xét.(0,25đ)

Bây giờ ta xét giá trị của hàm số f(x,y) trên biên của miền D:

- Trên đường x = 1 thì f(1,y) = 1y + 1 + y = 2y + 1 với 2  y  3 nên fmin = f(1,2) = 5 và fmax =

(4)

4 - Trên đường x = 2 thì f(2,y) = 2y + 2 + y = 3y + 2 với 2  y  3 nên fmin = f(2,2) = 8 và fmax =

f(2,3) = 11.(0,25đ)

- Trên đường y = 2 thì f(x,2) = 2x + x + 2 = 3x + 2 với 1  x  2 nên fmin = f(1,2) = 5 và fmax =

f(2,2) = 8.(0,25đ)

- Trên đường y = 3 thì f(x,3) = 3x + x + 3 = 4x + 3 với 1  x  2 nên fmin = f(1,3) = 7 và fmax =

f(2,3) = 11.(0,5đ)

So sánh các giá trị của hàm f(x,y) tìm được ở trên ta nhận được GTNN(f) = 5 tại điểm (1,2) và GTLN(f) = 11 tại điểm (2,3).(0,25đ)

Câu 7.(1,75đ) Tìm cực trị của hàm số f(x,y) = xy với điều kiện 2x + 3y = 5. Bài giải.

Ta có 2x + 3y = 5  2x + 3y – 5 = 0  (x,y) = 2x + 3y – 5 = 0.

Lập hàm L(x,y,) = f(x,y) + (x,y) = xy + (2x + 3y – 5)(0,25đ)                              5 y 3 x 2 ) , y , x ( L 3 x y ) , y , x ( L 2 y x ) , y , x ( L , (0,25đ) do đó ta được hệ phương trình xác định các điểm dừng là                          12 5 6 5 y 4 5 x 0 5 y 3 x 2 0 3 x 0 2 y 0 0 0 . (0,25đ) Tại 12 5 0   ta có













                                                         0 y 6 5 , 4 5 f C 1 y x 6 5 , 4 5 f B 0 x 6 5 , 4 5 f A 0 y ) y , x ( f 1 y x ) y , x ( f 0 x ) y , x ( f x y ) y , x ( f y x ) y , x ( f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (0,25đ) dxdy 2 Cdy Bdxdy 2 Adx ) y , x ( f d2 ₀ ₀  2   2   .(0,25đ) Mặt khác ta có (x,y) = 2x + 3y – 5 = 0  d(x,y) = 2dx + 3dy = 0 dx 0 3 4 ) y , x ( f d dx 3 2 dy  2 ₀ ₀  2   , tức là dạng toàn phương d2_f(x 0,y0)

xác định âm, (0,25đ) do đó hàm số f(x,y) = xy đạt cực đại tại điểm        6 5 , 4 5 ) y , x ( ₀ ₀ và giá trị cực đại 24 25 6 5 , 4 5 f fmax        .(0,25đ)