UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS FELIPE AUGUSTO RIBEIRO

(1)

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS

FELIPE AUGUSTO RIBEIRO

ESTUDO DO EFEITO DOS REPAROS SUPERFICIAIS SOBRE INTERVALOS DE INSPEÇÃO DE REVESTIMENTOS AERONÁUTICOS, LIGAS

Al2024-T3/T42

LORENA

(2)

Al2024-T3/T42

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado ao Curso de Engenharia de materiais da Universidade de São Paulo como requisito à obtenção do título de Bacharel em Engenharia de Materiais.

Orientador:

Professor Doutor Viktor Pastoukhov.

LORENA

(3)

TERMO DE APROVAÇÃO

Al2024-T3/T42

____________________________________ Professor Doutor Viktor Pastoukhov

Orientador – Departamento de Engenharia de Materiais da Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo, EEL-USP.

_______________________________ Professor Doutor Miguel Justino Ribeiro Barboza

Departamento de Engenharia de Materiais da Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo, EEL-USP.

___________________________________ Professor Doutor João Paulo Pascon

Departamento de Engenharia de Materiais da Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo, EEL-USP.

(4)

Dedico toda minha trajetória acadêmica a Deus, aos meus pais e Thaís

Monfredini, por todo apoio que me deram nos momentos difíceis e

(5)

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu orientador, Professor Doutor Viktor Pastoukhov, pelo acompanhamento, orientação, paciência e amizade durante a realização deste trabalho.

A todos docentes do curso de Engenharia de Materiais, da Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo, por colaborarem no meu crescimento profissional e intelectual. Em especial aos professores Doutor João Paulo Pascon, por me ajudar com atividades extracurriculares, e ao Doutor Miguel Justino Ribeiro Barboza, por ministrar aulas aprofundadas sobre conceitos da fadiga, no qual me fez criar grande apreço por este tema.

Aos meus pais que colaboraram para que eu pudesse conquistar o sonho de me tornar engenheiro.

À Thaís Monfredini que sempre me apoiou nos momentos difíceis da minha trajetória acadêmica, e que me incentivou a continuar a estudar e trabalhar para atingir meus objetivos.

À Deus por me dar a oportunidade de cursar engenharia na Universidade de São Paulo.

(6)

Toda ação humana, quer se torne

positiva ou negativa, precisa

depender de uma motivação.

Dalai Lama

(7)

RESUMO

O acompanhamento da propagação subcrítica de danos em

componentes estruturais é necessário para avaliar sua vida útil. Em aeronaves essa avaliação torna-se fundamental para evitar que falhas possam gerar um prejuízo econômico e humano.

A aplicação de alguns métodos de reparos superficiais, devido a riscos e amassados, em fuselagens aeronáuticas são mecanismos capazes de gerar aumento local de tensão, pois a área de sustentação de carga diminui. Com isso, foi realizada neste trabalho uma avaliação do efeito de reparos

superficiais, em painéis de fuselagem, em relação ao intervalo de inspeção de estruturas aeronáuticas.

A análise utilizou-se da equação cinética de propagação de trinca propagação de Forman, padrões de reparos utilizados atualmente na indústria aeronáutica, propriedades das ligas Al2024-T3/T42 referentes à tolerância aos danos, e o software “MS Excel” para os cálculos do intervalo de inspeção.

No estudo verificou-se que alguns paneis de fuselagem não

suportariam a carga aplicada de forma completa, com possibilidade de falha antes que a trinca atravesse o espaçamento total entre cavernas. Porém, na maioria dos casos, tal falha prematura não deve acontecer, e os reparos de polimento superficial resultam apenas em alguma redução dos intervalos de inspeção.

Palavras - chave: Fadiga. Propagação de trincas. Intervalo de inspeção. Mecânica da fratura. Bacharelado em Engenharia de Materiais.

(8)

Abstract

The simulation of subcritical crack propagation in damage structural components is necessary for assessment of its lifetime. For commercial

aircrafts this assessment becomes essential to prevent catastrophic failures that cause losses of human lives and huge economical losses.

Some surface repairs in aeronautical fuselages due to scratches and “dents” results in local increase of mechanical stresses through reduction of effective cross-section areas. In this work was carried out an evaluation of the effect of surface repairs in fuselage panels on inspection intervals of

aeronautical structures.

An analysis performed using the Forman´s crack kinetic equation, typical parameters of some standard repairs used in aeronautic industry, mechanical properties of Al2024-T3 / T42 alloys related to damage tolerance, and “MS Excel” software for calculations of the inspection interval.

In the study it was found that some fuselage panels may not withstand an applied load and fail before a crack length reach the overall length of a panel. However, in major cases such failure isn´t expected, but the superficial repairs always results in considerable reduction in the inspection interval of the components.

Key words: Fatigue. Subcritical crack propagation. Inspection interval. Fracture mechanics. Material Engineer.

(9)

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1: Idade média dos aviões nas companhias aéreas (até 2015)...14

Figura 1.2: Percentual de acidentes aeronáuticos por tipo de ocorrência (2006-2015)...15

Figura 1.3: Número de usuários de aeronaves...15

Figura 2.2.1.1: Método do microscópio...20

Figura 2.2.1.2: Coordenadas locais sobre a trinca...20

Figura 2.2.1.3: Tensão versus distância da ponta da trinca...21

Figura: 2.2.2.1: Modos de deslocamento da ponta de uma trinca...22

Figura 2.3.1: Superfície de fratura por fadiga...25

Figura 2.3.1.1: Exemplo de ciclo de carregamento...26

Figura 2.3.1.2: Exemplos de ciclo de carregamento...27

Figura 3.1.1: Divisão da fuselagem de um avião comercial...32

Figura 3.1.2: Esquema da redução de espessura gerada por um reparo superficial e o efeito no fator intensidade de tensão (K)...34

(10)

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1.1: Series de alumínio...17

Tabela 2.1.2: Propriedades da liga Al2024...18

Tabela 3.1.1: Espessura e distância entre dois reforços de fuselagem em cada

região da fuselagem de um avião comercial...33

Tabela 3.1.2: Tração efetiva em cada região da fuselagem...34

Tabela 3.1.3: Divisão dos painéis de fuselagem...35

Tabela 4.1: Redução no intervalo de inspeção por região do painel de

(11)

LISTA DE ABREVIATURAS

Airfleets: Website de informação aeronáutica.

CENIPA: Centro de Investigação e Prevenção de Acidentes Aeronáuticos.

IATA: International Air Transport Association.

MFLE: Mecânica da fratura linear elástica.

(12)

LISTA DE SÍMBOLOS

a, b ,c, d, k: Fatores do método Runge-Kutta 4º ordem.

c, n: Constantes do material na equação cinética de trinca.

f: Fator de efeito de flexão nas bordas da trinca.

Kc: Valor crítico do fator de intensidade de tensão.

K: Fator de intensidade de tensão.

KIC: Tenacidade à fratura.

L: Tamanho de trinca.

N: Número de ciclos.

R: Razão de Tensão.

(r,θ): Coordenadas polares da abertura da trinca.

σ: Tensão.

Y(x): Função do Runge-Kutta.

(13)

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 14

2. REFERÊNCIAL TEÓRICO ... 16

2.1. LIGAS Al2024-T3 E Al2024-T42 ... 16

2.2. MECÂNICA DA FRATURA LINEAR ELÁTICA ... 18

2.2.1. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM UM CORPO COM TRINCA.. 19

2.2.2. FATOR DE INTENSIDADE DE TENSÃO, MODO I ... 22

2.2.3. TENACIDADE À FRATURA ... 23

2.3. FRATURA POR CARREGAMENTO CÍCLICO ... 25

2.3.1. CARREGAMENTO PERIÓDICO EM ESTRUTURAS ... 26

2.3.2. NUCLEAÇÃO E PROPAGAÇÃO DE TRINCAS ... 28

2.3.3. PROPAGAÇÃO DE TRINCAS: MODELO PARA AMPLITUDE CONSTANTE ... 29

2.4. INTEGRAÇÂO DA EQUAÇÂO CINÉTICA DE TRINCAS ... 30

3. METODOLOGIA ... 32

3.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ... 32

3.2. SIMULAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DE TRINCA ... 35

3.3. ANÁLISE DA REDUÇÃO NO INTERVALO DE INSPEÇÃO ... 37

4. RESULTADOS ... 38

5. CONCLUSÕES ... 40

(14)

14

1. INTRODUÇÃO

A detecção precoce de danos, como trincas, que aparecem em determinadas estruturas é essencial para evitar falhas indesejadas de um componente. Logo a inspeção dos danos que surgem em um material torna-se essencial para se garantir a utilização segura de um componente, e esta

inspeção é feita segundo cálculos de intervalo de inspeção de forma a garantir que as inspeções sejam realizadas de maneira mais econômica e eficaz.

O cálculo do intervalo em que se deve inspecionar uma estrutura é necessário para verificar o avanço de danos ou mesmo evitar o surgimento de danos. O binômio trinca e falta de manutenção (ou manutenção tardia) pode ser um ingrediente capaz de causar acidentes de maior gravidade em aviões.

Atualmente observa-se um grande interesse mundial no desenvolvimento de sistemas que permitam monitorar contínua e preventivamente a integridade de estruturas aeronáuticas para evitar catástrofes e auxiliar nos procedimentos de manutenção somente quando houver necessidade de intervenção. Uma manutenção adequada de aviões é capaz de fazer que o equipamento tenha uma elevada vida útil, porém a falta de manutenção pode ser causa de pequenos e grandes acidentes no meio aeronáutico.

Figura 1.1: Idade média dos aviões nas companhias aéreas (até 2015).

(15)

15

Figura 1.2: Percentual de acidentes aeronáuticos por tipo de ocorrência (2006-2015)

Fonte: CENIPA.

Com um mercado em expansão, a inspeção de estruturas aeronáuticas torna ainda mais necessária, já que com um cálculo preciso do intervalo de inspeção dos equipamentos as empresas evitam despesas e tempo de aeronave parada, com isso há uma maior economia por parte das empresas, e menor risco de acidentes.

Figura 1.3: Número de usuários de aeronaves.

(16)

16

Os reparos superficiais realizados em painéis de fuselagens

aeronáuticos são pontos de concentração de tensão, já que se reduz a área de sustentação de carga do painel, logo podem ser pontos de surgimento e

propagação de trinca que pode levar a estrutura à falha. Com isso o cálculo das tensões atuantes num painel em que foi realizado um reparo (segundo normas industriais), aliado ao efeito no intervalo de inspeção da estrutura é essencial para entender o comportamento estrutural e evitar falhas

indesejáveis.

Com isso, neste trabalho foi analisado o efeito dos reparos superficiais no intervalo de inspeção de painéis de fuselagens de aviões comerciais. Para isto, tomou-se que a trinca inicia-se foros de rebites (pontos sujeitos a falhas) e o crescimento de trinca foi analisado entre dois reforços de fuselagem. Logo se pode verificar o efeito de redução da espessura devido aos tratamentos para eliminar “aranhões” e outros defeitos superficiais.

Para está analise foi utilizado princípios da mecânica da fratura (equação cinética de crescimento de trinca de Forman), o método de

tratamento matemático utilizando Runge-Kutta, o programa Excel, propriedades mecânicas das ligas Al2024-T3 e Al2024-T42 encontrados na literatura e

divisão da fuselagem do avião segundo padrão da indústria.

2. REFERÊNCIAL TEÓRICO

2.1. LIGAS Al2024-T3 E Al2024-T42

O alumínio é um dos metais mais utilizados atualmente, e também um dos que possuem grande versatilidade de aplicação, tendo aplicação desde folhas para embalar alimentos como utilização em painéis de fuselagem aeronáuticos, isso devido à possibilidade de formar ligar com este metal e assim obter propriedades variadas e de grande aplicabilidade.

(17)

17

As ligas de alumino são classificadas em serie, está classificação está de acordo com os elementos de liga contidos na matriz de alumínio. Dentre as series de ligas temos:

Tabela 2.1.1: Series de alumínio.

Série Principal elemento de Liga

1000 Alumínio de alta pureza (>99%)

2000 Cobre 3000 Manganês 4000 Silício 5000 Magnésio 6000 Magnésio e Silício 7000 Zinco 8000 Outros Elementos

Fonte: Metallic Materials Properties Development and Standardization (2006).

As ligas da série 2000 possuem como principal elemento de liga o cobre que gera maior resistência à tração ao alumio, isto aliado à adição de outros elementos de liga (como Silício, Ferro, Manganês, Magnésio, Cromo, Zinco, entre outros) e a tratamento térmico e envelhecimento torna a liga com propriedades desejáveis como excelente resistência mecânica em

temperaturas relativamente elevadas (fluência) e criogênicas.

A liga Al2024, da família 2000, é uma liga amplamente utilizada em aviões, sendo utilizadas em painéis de fuselagem, devidas suas características como leveza, alta resistência à tração, alta resistência à fluência em altas temperaturas e boa tenacidade.

(18)

18

Tabela 2.1.2: Propriedades da liga Al2024.

Liga

Propriedade Al2024 -T3 Al2024 -T42

Resistência à tração 64 Ksi 62 Ksi

Resistência à compressão 39 Ksi 42 Ksi

Resistência ao cisalhamento 39 Ksi 37 Ksi

Módulo de elasticidade à tração 10,5.10³ Ksi 10,5.10³ Ksi Módulo de elasticidade à compressão 10,7.10³ Ksi 10,7.10³ Ksi

Módulo de cisalhamento 4,0.10³ Ksi 4,0.10³ Ksi

Coeficiente de Poisson 0,33 0,33

Tenacidade à fratura 382 daN/m3/2 _{281 daN/}m3/2

Parâmetros para equação de Forman

c 8,21.10-8_{- 2,09.10}-6 _8,77.10-9

n 3,09 - 3,77 4,05

Fonte: Metallic Materials Properties Development and Standardization (2006) e indústria aeronáutica.

As ligas, apesar de serem de uma mesma série, podem receber

tratamento térmico específico, esses tratamentos são designados por uma sigla ‘T’ ao fim do nome da liga. As ligas Al2024-T3 são ligas em que foram

trabalhadas a frio e envelhecidas até adquirirem as propriedades desejadas, já a liga Al2024-T42 são ligas em que foram tratadas termicamente por têmpera e em seguida foram recozidas e envelhecidas. Esses tratamentos térmicos

geram maior ductilidade, alivio de tensões internas e diminuição da dureza, além de fazer a liga adquirir melhor resistência à tração e adequação as necessidades do mercado aeronáutico.

A liga 2024-T3, em aviões, é utilizada nos painéis de fuselagens centrais de aviões, já a liga 2024-T42 é utilizada nos painéis de fuselagem dianteiro e traseiro de um avião.

2.2. MECÂNICA DA FRATURA LINEAR ELÁTICA

A mecânica da fratura linear elástica (MFLE) geralmente denota problemas envolvendo a fratura de materiais elástico-lineares, podendo ser

(19)

19

capaz de descrever a magnitude e a distribuição de tensões na vizinhança de uma trinca. A MFLE avalia mecanismos de fratura dos materiais frágeis ou quase-frágeis, utilizando os conceitos propostos pela teoria da elasticidade linear.

O campo de tensão provocado ao redor de uma trinca pode ser quantificado por um parâmetro K, chamado de fator intensidade de tensão magnitude. A partir do surgimento da uma trinca, o parâmetro K é comparado com a resistência do material a propagação de danos, denotada por tenacidade à fratura, com isso torna-se possível prever se o material irá ou não sofrer uma falha quando submetido a uma solicitação mecânica.

A formulação de condições de contornos sobre um dano possibilita o uso de soluções analíticas para fornecer resultados numéricos e relações matemáticas que descrevem um dano em um material e permite a previsão e acompanhamento da evolução deste dano, podendo, desta forma, realizar uma previsão de vida de um componente.

2.2.1. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM UM CORPO COM TRINCA

A elaboração das condições de contorno num elemento com trinca torna-se fundamenta, já que a complicada geometria dos elementos estruturais com tais danos torna difícil a elaboração matemática do problema. Porém, nota-se que pontos distantes do núcleo do dano são pouco afetados pelo estado de tensão provocado pelo concentrador de tensão. Com isso, torna-se mais significante a avaliação da distribuição de tensão próxima aos defeitos geométricos ou físicos, e esta avaliação pode ser feita utilizando o método proposto por Cherepanov (1979), conhecido como “método do microscópio”, no qual considera uma pequena área próxima à trinca e que as demais

(20)

20

Figura 2.2.1.1: Método do microscópio.

Fonte: Pastoukhov e Voorwald (1995).

Ao considerar um ponto ‘O’ na ponta de uma trinca, tomando-se as coordenadas cartesianas e polares em torno desta, pode-se modelar as tensões sobre ela.

Figura 2.2.1.2: Coordenadas locais sobre a trinca.

O campo de tensão numa área da ponta da trinca pode-se ser modelado da seguinte maneira:

Equação 2.2.1.1: Campo de tensão numa área da ponta da trinca

(21)

21

Onde i,j = 1, 2 ou 3; e o modo de fratura é indicado por "α" (I, II, III). Os fatores KI, KII, KIII dependem do modo em que a carga externa é aplicada e da geometria do corpo e da trinca. Considera-se que os valores de fator

intensidade de tensão (K) são independentes da distância ‘r’ e infinitos quando o valor de ‘r’ tende a zero, ou seja, para uma carga, não nula, o campo de tensão gerado possui uma singularidade na ponta da trinca. As tensões infinitas, sugeridas pela equação, provocadas numa área na ponta da trinca é uma das causas que gera a fratura de um componente.

Figura 2.2.1.3: Tensão versus distância da ponta da trinca.

Fonte: Robert L. Norton (2000).

Ao fazer (r,θ) tender a zero, obtém a relação entre o fator intensidade de tensão e a tensão aplicada sobre a ponta da trinca. A relação será melhor discutida na secção 2.2.3.

(22)

22

2.2.2. FATOR DE INTENSIDADE DE TENSÃO, MODO I

Quando se trata de movimentos relativos de trinca num material, estes podem ser provenientes de três principais formas: O modo I que se trata de uma abertura da trinca devido à tração ortogonal a sua superfície, o modo II gerado devido a um cisalhamento no plano, e o modo III proveniente de um cisalhamento “anti-plano” (rasgamento).

Figura: 2.2.2.1: Modos de deslocamento da ponta de uma trinca.

Fonte: Miranda (2003)

Cada modo de deslocamento da ponta de uma trinca está associado a um campo de tensões característico, podendo qualquer problema, associado a uma deformação na ponta da trinca, ser tratado como uma interação desses três modos. Foi observado que a abertura da trinca (modo I) o mais importante, pois se trata do modo de faturamento da maioria dos materiais.

As tensões geradas ao em torno de uma trinca podem ser mensuradas a partir de um parâmetro K, chamado de fator intensidade de tensão. Este fator foi introduzido nos conceitos da mecânica da fratura em 1957 por Irwin e

Williams, que propuseram, em trabalhos distintos, porém obtiveram mesmo resultado, uma forma de quantificar o campo de tensões gerado ao redor de uma descontinuidade num material que é predominantemente elástico. Cada modo de abertura da descontinuidade está associado a um campo de tensões, logo a um fator intensidade de tensão ao redor da trinca, com isso pode-se

(23)

23

relacionar os modos de abertura com o fator K, de modo que o modo I possua um KI, o modo II possua um KII e o modo III com o KIII.

Para chapas finas com forças aplicadas distante da superfície da trinca, o fator de intensidade de tensão pode ser apresentado na forma:

Equação 2.2.2.1: Cálculo da tenacidade à fratura.

K

= σ.f.

_{√π. a}

Fonte: George E. Dieter (1981).

Onde ‘σ’ é a tensão uniforme distante da trinca, ‘f’ é uma função

adimensional dependente da largura do painel e do comprimento de trinca, e ‘a’ é o comprimento da trinca.

Os valores críticos de tensão suportados pelo material para cada modo de abertura foram tomados como KC (fator intensidade de tensão crítico). Como o modo I é o mais comum e também o de maior tensão (devido ser um modo de tração), foi tomada uma nova propriedade para os materiais, chamada de tenacidade à fratura (KIC).

2.2.3. TENACIDADE À FRATURA

O estado de tensão/deformação na ponta de uma trinca pode ser descritos pelos modos I, modo II ou modo III em materiais com comportamento elástico-linear, sendo esses modos caracterizados pelos fatores intensidade de tensão, no qual depende do campo de tensão externo aplicado e da geometria da peça.

Ao considerar que a trinca não é somente um corte ou entalhe, mas como um corte capaz de se propagar pelo corpo. O critério de propagação da trinca pelo corpo deve levar em consideração a tensão aplicada e a geometria do componente analisado.

(24)

24

Em 1957 Irwin propôs um critério para estudo da propagação de trincas, no qual o processo de fratura está localizado nas proximidades da ponta da trinca (controlado pelos campos assintóticos de tensão e deformação) e é controlado pelos fatores intensidade de tensão. O critério de Irwin supõe que a trinca caminha quando o fator intensidade de tensão atinge um valor de tensão suportado pelo material, e que cada modo de fratura está associado a um fator intensidade de tensão, ou seja, o modo I está associado a um fator intensidade de tensão I ou KI, já o modo II é associado a um KII e, por fim, o modo III é associado a um KIII.

O valor crítico do fator intensidade de tensão suportada pelo material, KC, é chamado de tenacidade à fratura, e cada material possui um valor

próprio, e possui um significado físico de resistência do material à propagação de um dano (resistência à fratura frágil), seja ele na superfície ou no interior. Os valores de KIC são obtidos de forma experimental e é dependente da espessura do corpo, temperatura, taxa de carregamento entre outros fatores.

O modo I de fratura, ou seja, tração de uma abertura é o mais importante, já que se trata do modo mais comum observado em elementos estruturais. Porém, os valores de KIC é menor que os valores de KIIC e KIIIC para maioria dos materiais, logo pelo valor de KIC ser o menor, toma-o como

parâmetro de tenacidade à fratura do material, já que trata do menor campo de tensão na ponta da trinca suportado por um equipamento.

O crescimento instável da trinca resulta numa fratura total do

componente, isto é resultado do aumento do fator intensidade de tensão devido a um incremento do comprimento da trinca. Já um estado crítico estável está acompanhado de um decréscimo do fator intensidade de tensão na região da ponta da trinca. Para ocorrer um aumento no tamanho da trinca é necessário um aumento no campo de tensão externo atuante no corpo.

A tenacidade à fratura é uma propriedade do material importante para seleção de materiais e elaboração de projetos.

(25)

25

2.3. FRATURA POR CARREGAMENTO CÍCLICO

Desde o século XIX é conhecido que carregamentos cíclicos promovem o fenômeno da fadiga em materiais. As tensões cíclicas podem promover a fratura de um material, sendo essas tensões muito inferiores

àquelas necessárias para promover o rompimento da peça. Nos materiais, que sofreram falha por fadiga, não apresentam uma variação marcante na

estrutura, logo não há indícios que mostram que um componente irá falhar devido um carregamento cíclico.

A fadiga dá origem a uma fratura de aparência frágil, ou seja,

macroscopicamente não há incidência de deformação. Ao olhar a superfície de fratura geralmente possui uma região com aspecto liso (devido a fricção entre as superfícies durante o crescimento de trinca) e uma região com aspecto áspero, devido a uma falha dúctil. O progresso da fratura é indicado por uma região com anéis que se desenvolvem do ponto de inicio de trinca para o interior da peça.

Figura 2.3.1: Superfície de fratura por fadiga.

(26)

26

Para que um componente falhe por fadiga é necessário que haja uma tensão de tração máxima suficientemente alta, uma grande flutuação na tensão aplicada e que exista um número grande de ciclos de aplicação de tensão. Além disto, a existência de corrosão, ação da temperatura, sobrecarga, pontos concentradores de tensão, tensões residuais (provenientes do processo de fabricação do componente), e um estado combinado de tensões tendem a agravar o processo de fadiga.

2.3.1. CARREGAMENTO PERIÓDICO EM ESTRUTURAS

O carregamento periódico observado em fadiga pode ser descrito por uma função de carregamento por número de ciclos, podendo ser expresso em forma de funções senoidais, ondas quadradas ou retangulares, ou outras funções que sejam capazes de descrever o carregamento periódico sobre as estruturas.

Um ciclo de carregamento simples é descrito por haver uma tensão máxima (σmáx), uma tensão mínima (σmín) e um número de ciclos. Com isso pode-se fazer uma relação entre as tensões a fim de se obter uma tensão média (σm), um intervalo de tensão (Δσ) e uma razão de tensão (R).

Figura 2.3.1.1: Exemplo de ciclo de carregamento.

(27)

27

Figura 2.3.1.2: Exemplos de ciclo de carregamento.

Fonte: George E. Dieter (1981).

Equações 2.4.1.1: Relação entre σmáx e σmín.

O carregamento periódico é comum em elementos estruturais, por exemplo, em aeronaves tem-se um ciclo periódico de pressurização e despressurização da cabine e de vibrações da estrutura acarreta um carregamento cíclico sobre os painéis de fuselagem do avião.

Geralmente, a vida de um componente submetido a fadiga pode ser dividida em três fases: deformações cíclicas sem gerar alterações notáveis na microestrutura, nucleação e crescimento de trinca e propagação da trinca (gerando ruptura).

(28)

28

2.3.2. NUCLEAÇÃO E PROPAGAÇÃO DE TRINCAS

Em geral, a fratura de metais ocorre por três micromecanismos. O primeiro mecanismo é o de fratura dúctil, resultante da nucleação, crescimento e coalescência de micro poros no interior do material. O segundo mecanismo envolve a fratura por clivagem, na qual se dá pela separação de planos cristalinos. Por fim, o terceiro mais comum mecanismo é o da fratura

intergranular, que ocorre quando a trinca cresce preferencialmente entre os contornos de grãos.

As trincas podem se propagar tanto de forma estável (trincamento) como também de forma instável (fraturamento). As principais formas de surgimento e propagação de trincas estáveis é devido a um carregamento cíclico (fadiga), corrosão (devido ao ambiente, ação de substâncias químicas, soluções, entre outras) e a hidrogenação na ponta da trinca, presença de concentradores de tensão (riscos, furos, mudança bruscas de tamanho, rugosidade superficial), inclusões, entre outros fatores que geram uma heterogeneidade na distribuição de tensão no material.

Por muitas vezes a propagação de trinca por fadiga, no modo I de carregamento, ocorre na direção de tensão cisalhante máxima por uma distância de alguns grãos, em seguida a propagação ocorre

perpendicularmente à direção da tensão aplicada.

Em metais dúcteis, a propagação da trinca gera estrias na superfície de propagação, pois à medida que a ponta da trinca cresce gera-se deformação plástica resultando a formação de estrias. O espaçamento entre estrias revela a taxa de crescimento da trinca.

(29)

29

2.3.3. PROPAGAÇÃO DE TRINCAS: MODELO PARA AMPLITUDE CONSTANTE

O cálculo da taxa de propagação de uma trinca torna-se fundamental para mensurar a vida útil de um componente, e assim evitar que falhas indesejáveis ocorram. Forman (1967) propôs um modelo matemático sofisticado para avaliar a taxa de propagação de trinca que leva em

consideração as propriedades do material avaliado, a razão de carga aplicada e a tensão submetida pelo corpo. Essa relação ficou conhecida como equação cinética de Forman.

Equação 2.3.3.1: Equação de Forman

Fonte: Forman (1967).

De forma que os parâmetros dl

dN é a taxa de crescimento de trinca por ciclo de carregamento, R é a razão de ciclo e ΔK é a variação no fator

intensidade de tensão, tal que: ΔK= Kmáx – Kmín, sendo Kmáx o fator

intensidade de tensão máxima e Kmín o fator intensidade de tensão mínima, os

parâmetros ‘c’ e ‘n’ são constantes do material.

No caso de cargas de pressurização em fuselagens, a razão de carregamento é nula (R = 0) ,portanto Kmín = 0, logo ΔK = Kmáx. Assim, a equação cinética pode ser escrita na forma:

(30)

30

Equação 2.3.3.2: Equação cinética da taxa de crescimento de trinca por ciclos de carregamento para fuselagens aeronáuticas.

Observa-se que dl

dN torna-se infinito quando o tamanho da trinca se

aproxima ao crítico, quando Kmáx  KC. Com isso é possível analisar o tempo de vida de painéis de fuselagem de aeronaves.

2.4. INTEGRAÇÂO DA EQUAÇÂO CINÉTICA DE TRINCAS

O matemático e físico alemão Carl David Runge (1856-1927) teve muitos trabalhos na área da espectroscopia. Já M. Wilhelm Kutta (1867-1944), matemático alemão, teve muitos trabalhos na área da aerodinâmica. Em 1901 um artigo de M. Kutta sobre soluções levou em consideração a utilização de computação para analise de dados numéricos dando origem ao método de Runge-Kutta.

O método de tratamento matemático utilizando Runge-Kutta consiste em eliminar o cálculo das derivadas utilizando um polinômio de Taylor

apropriado.

O método Runge-Kutta 4º ordem é um método numérico que utiliza equações diferenciais ordinárias para resolução de problemas. É um dos métodos mais preciosos para obter soluções aproximadas de valor inicial.

Tomando-se um polinômio de Taylor y(x), e essa função tendo k+1 derivadas contínuas em um intervalo aberto contendo ‘x’ e ‘a’, tem-se:

(31)

31

Equação 2.4.1: Polinômio de Taylor

Fonte: Karine Nayara F. Valle (2012)

Sendo ‘c’ um número entre ‘xn’ e ‘xn+1’. Tomando K=4, para utilização do método na quarta ordem, tem-se:

Equação 2.4.2: Método de Runge-Kutta 4º ordem

Sendo os parâmetros a= d = 1/6, b= c = 1/3. E os parâmetros K1, K2, K3

e K4 podem ser calculados a partir das relações:

Equações 2.4.3: Parâmetros do método de Runge-Kutta 4º ordem

As constantes são h=1, α1= α2 = 1/2, α3= 1, β1=β3 = 1/2, β2= β4= β5 = 0,

β6 = 1. A resolução dessas equações resulta no seguinte resultado, no qual é utilizado para resolver, com maior precisão, equações diferenciais:

(32)

32

3. METODOLOGIA

3.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Para a análise do efeito dos reparos superficiais no intervalo de inspeção dos painéis de fuselagem de aeronaves, considerou-se a divisão da fuselagem de acordo com a indústria aeronáutica, sendo a fuselagem dividida nas regiões periféricas e centrais, sendo duas divisões na dianteira da

aeronave, quatro na região central e duas na traseira. A estrutura central foi dividida em Fuselagem Central I, Fuselagem Central II, Fuselagem Central III e Fuselagem Central IV. A região da cabine de pilotagem do avião é dividida em duas regiões, porém tratou-se apenas uma região (para eliminar grandes efeitos de curvatura), foi analisada apenas a região de encontro com a Fuselagem central, essa divisão é chamada de Front Fuselagem II. A região traseira da aeronave também pode ser dividida em mais de uma região, porém assim como a região da cabine, tratou-se apenas a região traseira que há contato com a fuselagem central, a região é chamada de Fuselagem Traseira I. Na figura abaixo se pode ver o esquema de divisão da fuselagem da aeronave.

Figura 3.1.1: Divisão da fuselagem de um avião comercial.

Fonte: Indústria aeronáutica.

As regiões da fuselagem possuem distância entre cavernas (distância entre dois reforços de fuselagem) com comprimentos diferentes e espessuras especificas, logo geram reações diferentes a um dano gerado na estrutura. A

(33)

33

seguir tem-se uma relação entre as regiões da fuselagem suas respectivas espessuras e distância entre dois reforços de fuselagem.

Tabela 3.1.1: Espessura e distância entre dois reforços de fuselagem em cada região da fuselagem de um avião comercial.

Região da fuselagem Distância entre dois reforços de fuselagem [mm] Espessura do painel de fuselagem [mm] Fuselagem dianteira II 333,0 1,6 Fuselagem central I 415,0 2,0 Fuselagem central II 415,0 1,6

Fuselagem central III 415,0 2,5

Fuselagem central IV 415,0 1,6

Fuselagem traseira I 335,0 1,6

Fonte: Indústria aeronáutica.

Para análise realizada neste trabalho, consideraram-se dois efeitos sobre o painel de fuselagem do avião, o primeiro efeito é devido a um reparo superficial realizado sobre essas estruturas, e a introdução desse reparo leva a uma diminuição da espessura do painel de fuselagem, com isso gera-se um concentrador de tensão e um intensificador de tensão local, que é quantificado por um fator intensidade de tensão, considerou-se também que a superfície gerada pelo reparo pode ser descrita de forma ‘retangular’, sendo nos pontos de menor espessura o fator intensidade de tensão foi dividido por 0,9, nos pontos de media redução de espessura o fator intensidade de tensão foi dividido por 0,95. Com isto a tensão nos pontos de reparo é aumentada, representando assim um concentrador de tensão e ponto de inicio de trinca.

(34)

34

Figura 3.1.2: Esquema da redução de espessura gerada por um reparo superficial e o efeito no fator intensidade de tensão (K).

O segundo efeito considerado foi da tração efetiva atuante sobre os painéis de fuselagem. Pelos modelos da indústria, os painéis de fuselagem sofrem diferentes tensões de tração (tração efetiva), que podem ser conferidos na tabela abaixo. Para este trabalho avaliou-se o efeito do aumento e

diminuição da tração efetiva atuando sobre os painéis de fuselagem, para se avaliar como esta tração atua sobre o crescimento de trinca, logo sobre os intervalos de inspeção do avião.

Tabela 3.1.2: Tração efetiva em cada região da fuselagem.

Região da fuselagem

Tração efetiva [daN/mm²]

Faixa de tração efetiva analisada [daN/mm²]

Fuselagem dianteira II 6,42 4,0 a 8,0

Fuselagem central I 6,81 4,0 a 8,0

Fuselagem central II 6,50 4,0 a 8,0

Fuselagem central III 4,25 4,0 a 8,0

Fuselagem central IV 5,95 4,0 a 8,0

Fuselagem traseira I 6,38 4,0 a 8,0

Para análise, dividiram-se os painéis em trechos de 100 mm, a fim de se ter um melhor do efeito dos reparos sobre o crescimento de trinca. Na tabela abaixo se verifica as divisões feitas nos painéis de fuselagem.

(35)

35

Tabela 3.1.3: Divisão dos painéis de fuselagem.

Região da fuselagem

Regiões dos painéis de fuselagem em que se analisou o crescimento de

trinca [mm] Fuselagem dianteira II 0 a 100 100 a 200 116,5 a 216,5 133 a 233 233 a 333 Fuselagem central I, II, III e IV 0 a 100 100 a 200 157,5 a 257,5 215 a 315 315 a 415 Fuselagem traseira I 0 a 100 100 a 200 117,5 a 217,5 135 a 235 235 a 335

3.2. SIMULAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DE TRINCA

Ao tomar a equação cinética de crescimento de trinca de Forman, e aplicar a ela o método de Runge-Kutta 4º ordem, sendo os parâmetros para esse método a tensão efetiva, o fator intensidade de tensão, e o comprimento de trinca, como resultado tem-se o intervalo de inspeção do painel de

fuselagem do avião.

Os dados foram tratados com o auxilio do software “MS Excel”, na qual se pode fazer uma relação entre o intervalo de inspeção, proposto pela

indústria, sobre um painel de fuselagem que não há trincas em relação ao painel no qual há este defeito e há um crescimento deste defeito. Com isto houve uma redução percentual nos intervalos de inspeção.

Para cada trecho de analise realizado (observado na tabela 3.1.3), a região foi dividida em três partes, conforme a figura 3.1.2, e então foi aplicado

(36)

36

um fator intensidade de tensão sobre cada trecho, conforme já descrito, isto a fim de avaliar a redução no intervalo de inspeção sobre cada trecho analisado.

O intervalo de inspeção foi medido a partir do intervalo de inspeção gerado pelo programa para o comprimento total do painel (intervalo entre dois reforços de fuselagem), com isso comparou-se com o intervalo de inspeção de um painel isento de defeitos e então se obteve uma redução no intervalo de inspeção devido uma trinca.

A propagação da trinca foi analisada com o auxilio do “MS Excel”, na qual o intervalo de inspeção teve como base o tempo de inspeção inicial fornecido pela indústria, e tomou-se um incremento adequado ao intervalo de inspeção a medida que o defeito cresce. Na imagem abaixo é possível notar a forma em que a analise foi realizada no programa.

Figura 3.3.1: Análise da propagação da trinca no Excel.

Na tabela feita no “MS Excel” para análise dos painéis de fuselagem, representado na figura 3.3.1, a região A é a identificação da região de

(37)

37

da liga utilizada no painel de fuselagem, em C tem-se a espessura do painel, em D é onde se obtém os resultados desejados de redução do intervalo de inspeção, comparado com o intervalo de inspeção de um painel no qual não foi realizado um reparo.

Em E estão especificados os parâmetros característicos da liga, do painel de fuselagem e da carga aplicada sobre o painel, em F e G são constantes aplicadas à região L, na qual será utilizada para o calculo do

intervalo de inspeção do painel de fuselagem com reparo. Na coluna H é obtido os intervalos de inspeção, na qual é obtido quando a trinca atinge o valor

correspondente a distância entre dois reforços de caverna. Na coluna I tem-se o comprimento de trinca, na qual a ultima linha desta coluna é o valor

correspondente ao tamanho de trinca igual à distância entre dois reforços de caverna.

Na coluna J é o tamanho final e inicial de trinca, já M corresponde ao fator de efeito de flexão nas bordas da trinca, e N é uma adição do efeito da redução de espessura gerada por um reparo superficial. Em O é fator

intensidade de tensão, e P é o fator intensidade de tensão efetivo na região analisada, na qual se adicionou o efeito de redução de espessura gerado por um reparo superficial realizado. Por fim, em Q são parâmetros do método Runge-Kutta 4ºordem para o cálculo do intervalo de inspeção do painel de fuselagem.

3.3. ANÁLISE DA REDUÇÃO NO INTERVALO DE INSPEÇÃO

O método do item 3.3 foi utilizado para cálculo da redução do intervalo de inspeção de painéis de fuselagem aeronáuticos em todas as regiões de painéis citadas no item 3.1. Para analise da propagação do dano nos painéis, eles foram divididos em diversas regiões, como mostrado na tabela 3.1.3, e para cada análise foi aplicada uma carga, variando de 4,0 daN/mm² a 8,0 daN/mm².

(38)

38

O efeito da redução de espessura devido a um reparo superficial foi aplicado sobre cada divisão feita do painel de fuselagem, e para cada divisão, foi feita uma analise e assim obteve-se um resultado. Os resultados foram reunidos para uma melhor conclusão e análise dos resultados.

O resultado do intervalo de inspeção obtido é em termos de

percentagem, na qual se comparou o resultado obtido com o de um painel no qual não se realizou um reparo, devido não haver algum tipo de dano.

4. RESULTADOS

A partir da analise de cada painel de fuselagem aeronáutico, das divisões realizadas no painel e da adição de cargas diferentes, obteve-se os seguintes resultados:

Tabela 4.1: Redução no intervalo de inspeção por região do painel de fuselagem do avião.

Redução (%) no intervalo de inspeção: Fuselagem dianteira II Carga [daN/mm²]

4 5 6 7 8

Região [mm] ΔNth ΔNinsp ΔNth ΔNinsp ΔNth ΔNinsp ΔNth ΔNinsp ΔNth ΔNinsp

0 a 100 4,31% 6,76% 4,80% 11,38% 4,42% 7,59% 4,49% 8,55% 5,09% * 16,03%* 100 a 200 0,05% 0,43% 0,03% 0,25% 0,05% 0,50% 0,82% 9,62%* 0,64%* 8,02%* 116,5 a 216,5 0,04% 0,34% 0,04% 0,34% 0,04% 0,40% 0,24% 2,78% 0,64%* 8,02%* 133 a 233 0,03% 0,29% 0,03% 0,30% 0,03% 0,30% 0,02% 0,21% 0,60%* 7,59%* 233 a 333 0,10% 0,91% 0,10% 0,87% 0,10% 1,00% 0,09% 1,07% 0,57% 7,17%

(39)

39

Redução (%) no intervalo de inspeção: Fuselagem Central I Carga [daN/mm²]

4 5 6 7 8

0 a 100 4,27% 5,71% 4,31% 5,83% 4,35% 5,98% 4,39% 6,16% 4,44% 6,35% 100 a 200 0,13% 0,49% 0,12% 0,48% 0,12% 0,48% 0,11% 0,46% 0,11% 0,46% 157,5 a 257,5 0,05% 0,22% 0,07% 0,36% 0,07% 0,33% 0,13% 0,65% 0,11% 0,86% 215 a 315 0,05% 0,22% 0,04% 0,25% 0,07% 0,33% 0,04% 0,27% 0,11% 0,86% 315 a 415 0,12% 0,47% 0,12% 0,56% 0,12% 0,54% 0,13% 0,65% 0,11% 0,86%

Redução (%) no intervalo de inspeção: Fuselagem Central II Carga [daN/mm²]

4 5 6 7 8

0 a 100 4,42% 5,04% 4,54% 5,38% 4,65% 5,70% 4,70% 5,49% 4,99% 7,09% 100 a 200 0,25% 0,68% 0,23% 0,67% 0,21% 0,63% 0,13% 0,42% 0,24% 0,79% 157,5 a 257,5 0,11% 0,30% 0,10% 0,29% 0,07% 0,21% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 215 a 315 0,11% 0,30% 0,10% 0,29% 0,07% 0,21% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 315 a 415 0,34% 0,95% 0,33% 0,96% 0,35% 1,05% 0,27% 0,84% 0,24% 0,79%

Redução (%) no intervalo de inspeção: Fuselagem Central III

Carga [daN/mm²]

4 5 6 7 8

0 a 100 3,52% 4,39% 3,59% 4,51% 3,68% 5,13% 3,79% 5,21% 3,85% 5,73% 100 a 200 0,16% 0,57% 0,17% 0,53% 0,18% 0,68% 0,15% 0,61% 0,48% 2,08% 157,5 a 257,5 0,07% 0,24% 0,07% 0,18% 0,09% 0,34% 0,08% 0,31% 0,00% 0,00% 215 a 315 0,07% 0,24% 0,07% 0,18% 0,09% 0,34% 0,08% 0,31% 0,00% 0,00% 315 a 415 0,18% 0,61% 0,17% 0,53% 0,18% 0,68% 0,15% 0,61% 0,12% 0,52%

Redução (%) no intervalo de inspeção: Fuselagem central IV Carga [daN/mm²]

4 5 6 7 8

0 a 100 4,42% 5,04% 4,54% 5,38% 4,65% 5,70% 4,70% 5,49% 4,99% 7,09% 100 a 200 0,25% 0,68% 0,23% 0,67% 0,21% 0,63% 0,13% 0,42% 0,24% 0,79% 157,5 a 257,5 0,11% 0,30% 0,10% 0,29% 0,07% 0,21% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 215 a 315 0,11% 0,30% 0,10% 0,29% 0,07% 0,21% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 315 a 415 0,34% 0,95% 0,33% 0,96% 0,35% 1,05% 0,27% 0,84% 0,24% 0,79%

(40)

40

Redução (%) no intervalo de inspeção: Fuselagem traseira I Carga [daN/mm²]

4 5 6 7 8

0 a 100 4,63% 5,08% 4,72% 5,34% 4,83% 5,94% 4,96% 6,48% 6,97% * 26,06% * 100 a 200 0,11% 0,71% 0,09% 0,66% 0,12% 0,96% 0,16% 1,41% 1,49% * 15,15% * 117, 5 a 217,5 0,09% 0,57% 0,07% 0,53% 0,08% 0,64% 0,16% 1,41% 1,94% * 19,70% * 135 a 235 0,08% 0,52% 0,07% 0,53% 0,08% 0,64% 0,16% 1,41% 1,94% * 19,70% * 235 a 335 0,26% 1,70% 0,24% 1,72% 0,25% 1,92% 0,33% 2,82% 1,79% * 18,18% *

Os resultados com * representam painéis que falharam antes que a trinca atravesse o espaçamento entre cavernas. O parâmetro ΔNth representa a redução no intervalo de inspeção de Threshold (valor limar entre a região

primária e a secundária de fadiga), e o parâmetro ΔNisp representa a redução no intervalo de inspeção do painel de fuselagem.

Observa-se que a trinca cresse mais rapidamente na região de 0 a 100mm, gerando uma maior redução percentual no intervalo de inspeção, já na região central dos painéis a trinca apresenta uma taxa de crescimento menor, acarretando uma menor redução percentual no intervalo de inspeção. Por fim, a ultima região do painel apresenta um crescimento na taxa de propagação da trinca, porém não tão elevada quanto a região inicial.

5. CONCLUSÕES

A partir das análises realizadas notou-se que o efeito da redução de espessura é mais intenso na região 0 mm a 100 mm dos painéis de fuselagem, isto foi refletido por uma maior redução do intervalo de inspeção da aeronave.

Isso já era esperado, pois nesta região há reforço de caverna, é o tempo de propagação é maior, portanto a sua contribuição para intervalo de inspeção é mais relevante. Com reparo superficial, gera-se uma redução na

(41)

41

espessura da fuselagem, acarretando um aumento na tensão local, gerando um rápido crescimento da trinca, com isso nesta região a redução no intervalo de inspeção é maior.

Notou-se que em ambas as regiões próximas ao reforço de caverna, a redução no intervalo de inspeção também é maior, isto é devido à existência de rebites que transferem as cargas para subestrutura.

Na região central do painel de fuselagem a trinca sempre cresce de forma mais rápida, gerando uma menor redução no intervalo de inspeção devido aos reparos superficiais nesta zona. Isso ocorre devido a menor contribuição para tempo o total de propagação de trinca, já que esta região está mais distante dos reforços.

Ao analisar o efeito da tensão aplicada, os resultados obtidos estão de acordo com a teoria, já que com o aumento da tensão aplicada sobre os

painéis de fuselagem a trinca propaga-se mais rapidamente devido um aumento no fator intensidade de tensão, e com isso gerou-se uma maior diminuição do intervalo de inspeção dos painéis.

Ao aplicar cargas elevadas sobre os painéis, alguns deles não

resistiram à tensão aplicada, e o fator intensidade de tensão atuante foi maior que a tenacidade à fratura do material, gerando rompimento do painel de fuselagem antes que a trinca atingisse o comprimento total entre dois reforços de caverna. Em uma aeronave em operação se o fator intensidade de tensão superar a tenacidade à fratura do material do painel de fuselagem, gera-se o rompimento do painel que pode representar um acidente grave.

6. BIBLIOGRAFIA

PASTOUKHOV, Viktor A.; VOORWALD, Herman J. C.. Introdução à mecânica da integridade estrutural. São Paulo: Unesp, 1995.

(42)

42

MIRANDA, Antonio Carlos de Oliveira. Propagação de Trincas por Fadiga em Geometrias 2D Complexas sob Cargas Cíclicas Variáveis. 2003. 1 v. Tese (Doutorado) - Curso de Engenharia Cívil, Puc-rio, Rio de Janeiro, 2003.

DIETER, George E.. Metalurgia Mecânica. 2. ed. Rio de Janeiro: Guanabara, 1981.

A INDÚSTRIA AERONÁUTICA NO BRASIL: EVOLUÇÃO RECENTE E PERSPECTIVAS. Brasil: Bndes, 2012.

RELATÓRIO DE ACOMPANHAMENTO SETORIAL: indústria aeronáutica. Campinas: Abd/unicamp, dez. 2009.

COUTO, Antonio Augusto et al. ESTUDO DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS EM FADIGA DA LIGA DE ALUMÍNIO 2024 ENVELHECIDA

ARTIFICIALMENTE PARA APLICAÇÕES AERONÁUTICAS. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DO ALUMÍNIO, 5., 2012, São Paulo.

SILVA, Wanderson Santana da; MENDANHA, Adriano; GOLDENSTEIN, Hélio.

Estudo da Tenacidade à Fratura de Aços de Alta Resistência Mecânica Utilizando a Metodologia Chevron, 2005, São Paulo.

ALGUMAS CARACTERÍSTICAS DO MERCADO AERONÁUTICO. Rio de Janeiro: Revista Brasileira de Direito Aeronáutico e Espacial, 2009.

STROHAECKER, Telmo Roberto. MECÂNICA DA FRATURA. Porto Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

MÉTODOS QUE IDENTIFICAM DANOS EM ESTRUTURAS DE AERONAVES. Campinas: Jornal da Unicamp, 2013.

ADMINISTRATION, Federal Aviation. Metallic Materials Properties Development and Standardization (MMPDS). United States: Faa, 2006.

VALLE, Karine Nayara F.. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta. 2012. 40 f.- Curso de Pós Graduação em Matemática, Ufmg, Belo Horizonte, 2012.

OCORRêNCIAS AERONÁUTICAS: Panorama estatístico da aviação brasileira.: Comando da Aeronáutica, 2006.

(43)

43

CORBANI, Silvia. Propagação de frentes de trincas parcialmente fechadas por flexão cíclica. 2012. 236 f. Tese (Doutorado) - Curso de Engenharia Cívil, Puc-rio, Rio de Janeiro, 2012.

CALLISTER JUNIOR, William D.; RETHWISCH, David G.. Ciência e engenharia de materiais:uma introdução. 8. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2012.

ASKELAND, Donald R.; PHULÉ, Pradeep P.. Ciência e engenharia dos materiais. São Paulo: Cengage Learning, 2008.

ABBASCHIAN, Reza; ABBASCHIAN, Lara; REED-HILL, Robert E.. Physical Metallurgy Principles. 4. ed. : Cengage Learning, 2009.

J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, ISBN 0471967580.George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B.

Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977.

Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary fifferential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.

William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T.

Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.).