Pode a matemática descrever uma epidemia?

csilva@ubi.pt

Departamento de Matemática

Universidade da Beira Interior

Portugal

epidemia

Grande praga de peste bubónica (1665)

& médico da praga

Peste bubónica (1665) - registos de mortalidade

Grande praga Londres (1665) & pragas de Londres no sec. XVII

Como modelar o contacto entre susceptíveis e infectados?

β

taxa média de membros da população com que um individuo

contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia

βN

número médio de membros da população com que um individuo

contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia

S

N

probabilidade de que o contacto entre um infectado e outro

individuo da população seja com um susceptível

Como modelar o contacto entre susceptíveis e infectados?

β

taxa média de membros da população com que um individuo

contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia

βN

número médio de membros da população com que um individuo

contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia

S

N

probabilidade de que o contacto entre um infectado e outro

individuo da população seja com um susceptível













S

′

= −βSI

I

′

= βSI − γI

R

′

= γI















S

′

= −βSI

I

′

= βSI − γI

R

′

= γI

γ - taxa de recuperação (per capita) por dia

1/γ - tamanho médio do periodo de infecção













S

′

= −βSI

I

′

= βSI − γI

R

′

= γI

γ - taxa de recuperação (per capita) por dia

1/γ - tamanho médio do periodo de infecção

I

′

= 0 ⇔ (βS − γ)I = 0 ⇔ S = γ/β ∨ I = 0 ⇔

βS















S

′

= −βSI

I

′

= βSI − γI

R

′

= γI

γ - taxa de recuperação (per capita) por dia

1/γ - tamanho médio do periodo de infecção

I

′

= 0 ⇔ (βS − γ)I = 0 ⇔ S = γ/β ∨ I = 0 ⇔

βS

γ

= 1 ∨ I = 0

R

₀

₌

βS(0)

γ













S

′

= −βSI

I

′

= βSI − γI

R

′

= γI

γ - taxa de recuperação (per capita) por dia

1/γ - tamanho médio do periodo de infecção

I

′

= 0 ⇔ (βS − γ)I = 0 ⇔ S = γ/β ∨ I = 0 ⇔

βS

γ

= 1 ∨ I = 0

R

₀

₌

βS(0)

γ

R

₀

_{corresponde ao número médio de infecções secundárias causadas}

por um único individuo infectado introduzido numa população de

S

R

I

I

R

S

R

₀

_{< 1}

R

₀

_{> 1}

I + S −

γ

β

ln S = c

Para uma população de tamanho K fazendo I

0

≈

0 e S

0

≈

K temos

0 + K −

γ

β

ln K = 0 + S

∞

−

γ

β

ln S

∞

Para uma população de tamanho K fazendo I

0

≈

0 e S

0

≈

K temos

0 + K −

γ

β

ln K = 0 + S

∞

−

γ

β

ln S

∞

0 + K −

1

K

R

0

ln K = 0 + S

∞

−

1

K

R

0

ln S

∞

I + S −

γ

β

ln S = c

Para uma população de tamanho K fazendo I

0

≈

0 e S

0

≈

K temos

0 + K −

γ

β

ln K = 0 + S

∞

−

γ

β

ln S

∞

0 + K −

1

K

R

0

ln K = 0 + S

∞

−

1

K

R

0

ln S

∞

ln S

0

−

ln S

∞

= R

0



1 −

S

∞

K



Para uma população de tamanho K fazendo I

0

≈

0 e S

0

≈

K temos

0 + K −

γ

β

ln K = 0 + S

∞

−

γ

β

ln S

∞

0 + K −

1

K

R

0

ln K = 0 + S

∞

−

1

K

R

0

ln S

∞

ln S

0

−

ln S

∞

= R

0



1 −

S

∞

K



I + S −

γ

β

ln S = c

Para uma população de tamanho K fazendo I

0

≈

0 e S

0

≈

K temos

0 + K −

γ

β

ln K = 0 + S

∞

−

γ

β

ln S

∞

0 + K −

1

K

R

0

ln K = 0 + S

∞

−

1

K

R

0

ln S

∞

ln S

0

−

ln S

∞

= R

0



1 −

S

∞

K



S∞

> 0

(lado direito finito ⇒ lado esquerdo finito)

S

0

, S∞

podem ser estimados experimentalmente

(medições sobre as

respostas imunulógicas em amostras de sangue antes e depois de uma

epidemia)















































S

′

h

= µ

h

+ βR

s

I

hS

−

σI

m

S

h

−

µ

h

S

h

E

′

h

= σI

m

S

h

−

ηγE

h

−

(1 − η)γE

h

−

µ

h

E

h

I

′

hS

= ηγE

h

+ ησI

m

I

hA

−

βR

S

I

hS

−

(1 − β)R

S

I

hS

−

µ

h

I

hS

I

′

ha

= (1 − η)γE

h

+ (1 − β)R

S

I

hS

−

ησI

m

I

hA

−

ρI

hA

−

µ

h

I

hA

S

′

m

= µ

m

+ λ

m

S

m

−

µ

m

S

m

E

′

m

= Λ

m

S

m

−

ψΛ

m

(t − τ )S

m

(t − τ ) − µE

m

I

′

m

= ψΛ

m

(t − τ )S

m

(t − τ )µ

m

I

m

De volta a Eyam...

As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena

De volta a Eyam...

As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena

Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em

contacto directo com as pessoas

De volta a Eyam...

As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena

Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em

contacto directo com as pessoas

Em consequência a mortalidade foi muito maior em Eyam do que noutros

locais (por exemplo Londres)

De volta a Eyam...

As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena

Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em

contacto directo com as pessoas

Em consequência a mortalidade foi muito maior em Eyam do que noutros

locais (por exemplo Londres)

De volta a Eyam...

As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena

Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em

contacto directo com as pessoas

Em consequência a mortalidade foi muito maior em Eyam do que noutros

locais (por exemplo Londres)

Além disso a quarentena fez muito pouco para evitar a propagação da peste

uma vez que ratos e pulgas continuaram a viajar livremente...

Não é muito prudente tomar decisões com base em maus modelos!!!

Epidemia de Sarampo - NY, 1962

Simulação - I(0) = 1, S(0) = 7781984

Simulação - I(0) = 1, S(0) = 7781984

Simulação - I(0) = 123 ×

5

30

, S(0) = 7781984

Simulação - I(0) = 123 ×

5

30

, S(0) = 7781984

A curva epidemica assemelha-se muito mais!

Simulação SIR simples vs dados reais 1930-1960

O modelo SIR simples não explica as oscilações!















S

′

= ν − βSI − µS

I

′

= βSI − γI − µI

R

′















S

′

= ν − βSI − µS

I

′

= βSI − γI − µI

R

′

= γI − µR

ν

taxa de natalidade (per capita) por dia

µ

taxa de mortalidade (per capita) por dia

Simulação SIR com demografia

Simulação SIR com demografia







I

′

= β

0

(1 + α cos(2πt))SI − γI − µI

R

′

= γI − µR















S

′

= ν − β

0

(1 + α cos(2πt))SI − µS

I

′

= β

0

(1 + α cos(2πt))SI − γI − µI

R

′

= γI − µR

SIR com sazonalidade

Oscilações semelhantes às da situação real!

A vacina para o sarampo foi licenciada em 1963.

β

₁

, β

₂

−

_incidência

γ

₁

, γ

₂

−

_{recuperação}

n

1

, n

2

−

migração I

m

1

, m

2

−

migração S

d

1

, d

2

−

mortalidade

ε

1

, ε

2

−

mort. doença

β

₁

, β

₂

−

_incidência

γ

₁

, γ

₂

−

_{recuperação}

n

1

, n

2

−

migração I

m

1

, m

2

−

migração S

d

, d

−

_mortalidade

















I

′

1

= β

1

S

I

N

+ n

12

I

2

−

_(n

₂₁

_{+ d}

₁

_{+ ε}

₁

_{+ γ}

₁

_)I

₁

I

′

2

= β

2

S

I

N

+ n

21

I

1

−

_(n

₁₂

_{+ d}

₂

_{+ ε}

₂

_{+ γ}

₂

_)I

₂

S

′

1

= A

1

−

β

1

S

I

N

−

(d

1

+ m

21

)S

1

−

γ

1

I

1

+ m

12

S

2

S

I

R0= β1(a2+ n12) + β2(a1+ n21) +

p

a

1

= d

1

+ ε

1

+ γ

1

a

2

= d

2

+ ε

2

+ γ

2

A

1

= 20,

A

2

= 15,

d

1

= d

2

= 0, 000036,

γ

1

= γ

2

= 0.04,

ε

1

= 0, 06,

ε

2

= 0, 09

β

1

= 0, 22,

β

2

= 0, 1

A

1

= 20,

A

2

= 15,

d

1

= d

2

= 0, 000036,

γ

1

= γ

2

= 0.04,

ε

1

= 0, 06,

ε

2

= 0, 09

β

1

= 0, 22,

β

2

= 0, 1

I

1

(0) = 10,

I

2

(0) = 15,

S

1

(0) = 1990,

S

2

(0) = 1485

End

Ext

A

1

= 20,

A

2

= 15,

d

1

= d

2

= 0, 000036,

γ

1

= γ

2

= 0.04,

ε

1

= 0, 06,

ε

2

= 0, 09

β

1

= 0, 22,

β

2

= 0, 1

I

1

(0) = 10,

I

2

(0) = 15,

S

1

(0) = 1990,

S

2

(0) = 1485

A

1

= 20,

A

2

= 15,

d

1

= d

2

= 0, 000036,

γ

1

= γ

2

= 0.04,

ε

1

= 0, 06,

ε

2

= 0, 09

β

1

= 0, 22,

β

2

= 0, 1

I

1

(0) = 10,

I

2

(0) = 15,

S

1

(0) = 1990,

S

2

(0) = 1485

End

Ext

End

End

A

1

= 20,

A

2

= 15,

d

1

= d

2

= 0, 000036,

γ

1

= γ

2

= 0.04,

ε

1

= 0, 06,

ε

2

= 0, 09

β

1

= 0, 22,

β

2

= 0, 1

I

1

(0) = 10,

I

2

(0) = 15,

S

1

(0) = 1990,

S

2

(0) = 1485

A

1

= 20,

A

2

= 15,

d

1

= d

2

= 0, 000036,

γ

1

= γ

2

= 0.04,

ε

1

= 0, 06,

ε

2

= 0, 09

β

1

= 0, 22,

β

2

= 0, 1

I

1

(0) = 10,

I

2

(0) = 15,

S

1

(0) = 1990,

S

2

(0) = 1485

End

Ext

End

End

Ext

Ext

Pode a matemática ajudar-nos a compreender os mecanismos

presentes numa epidemia?

Pode a matemática ajudar-nos a compreender os mecanismos

presentes numa epidemia?

Pode a matemática ajudar-nos a prevenir ou minimizar os efeitos

de uma epidemia?

[1]

Thieme, Mathematics in Population Biology, Princeton University Press,

Princeton 2003

[2] Brauer, den Driessche and Wu (Eds.), Mathematical Epidemiology,

Lecture Notes in Mathematics, 2008

[3] Salmani and den Driessche, A model for disease transmission in a patchy

environment, Disc. and Cont. Dynamical System 6 (2006), 185-202

[4] Mandal, Sinha and Sarkar, A Realistic Host-Vector Transmission Model for

Describing Malaria Prevalence Pattern, Bull Math Biol 75 (2013), 2499-2528

[5] Lahodny Jr.and Allen, Probability of a Disease Outbreak in Stochastic

Multipatch Epidemic Models, Bull. Math. Biol. 75 (2013), 1157-1180

[6] O’Regan, Kelly, Korobeinikov, O’Callaghan, Pokrovskii and Rachinskii,

Chaos in a seasonally perturbed SIR model: avian influenza in a seabird

colony as a paradigm, J. Math. Biol. 67 (2013), 293-327

[7] Chattarjee, Ghosh and Chattopadhyay, Controlling disease in migratory

bird population: a probable solution through mathematical study, Disc. and

Cont. Dynamical System 21 (2006), 265-288