AVALIAÇÃODEDESEMPENHODECONTROLADORESPID2-DOFEMCONTROLEDE VELOCIDADEDEUMMOTORCC
RENÉD.O.PEREIRA1,LAURINDAL.N. DOS REIS1
1. Grupo de Pesquisa em Automação e Robótica, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Ceará
Caixa postal 6001 – Campus do Pici, CEP:60455-760, Fortaleza – CE E-mails: reneolimpio@yahoo.com.br, laurinda@ufc.br
Abstract This paper evaluate the performance of a set of Proportional, Integral and Derivative controllers structures and of tuning methods applied to a speed digital control system of direct current motor. It is presented the identification process, by means of pseudo random binary signal, the discrete controllers based on the RST structure, the tuning methods of the controllers, the used digital speed control system and simulation and experimental results.
Keywords PID Control, 2-DOF PID controllers, PID tuning, Systems identification, PRBS, Speed Control, DC motors.
Resumo Este artigo avalia o desempenho de um conjunto de estruturas de controladores Proporcional, Integral e Derivativo discretos e de métodos de ajuste aplicados a um sistema de controle digital de velocidade de motor de corrente contínua. São apresentados os controladores discretos escolhidos baseados na estrutura RST, os métodos de ajuste dos controladores, o sistema de controle digital de velocidade utilizado, o processo de identificação por meio de sinal binário pseudo-aleatório, e resultados de simulação e experimentais.
Palavras-chave Controle PID, Controladores PID 2-DOF, Sintonia PID, Identificação de sistemas, Sinais PRBS, Controle de velocidade, Motores CC.
1 Introdução
A modelagem de motores de Corrente Contínua (CC) no domínio contínuo é amplamente abordada na literatura, como em Ogata (2010), Dorf e Bishop (2011) e Golnaraghi e Kuo (2010). Nesses trabalhos são apresentados as equações diferenciais do modelo do motor CC, o modelo em diagrama de blocos, as funções de transferência e as constantes de tempo. Trabalhos sobre técnicas de controle de velocidade de motores CC no domínio discreto datam desde a década de 70, como os trabalhos de Lin e Koepsel (1977) e Wang e Chen (1979). Atualmente, pode-se encontrar vários trabalhos nessa área. Particularmen-te, pode-se citar o trabalho de Vukosavić (2007), que aborda técnicas de controle de velocidade tanto no domínio contínuo como no discreto.
Nesse contexto, este trabalho tem por objetivo avaliar o desempenho de um conjunto de estruturas de con-troladores Proporcional, Integral e Derivativo (PID) e de métodos de ajuste aplicados a um sistema de con-trole digital de velocidade de motor CC.
Desse modo, aborda-se na Seção 2 as estruturas de controladores PID discretos, na Seção 3 os métodos de ajuste do controlador, na Seção 4 o sistema de controle de velocidade utilizado e a identificação do motor, na Seção 5 os resultados de simulação e expe-rimentais e na Seção 6 as conclusões.
2 Estruturas de controladores PID Duas estruturas de controladores PID serão apre-sentadas. A ideal ou acadêmica (PI e PID) e a com ponderação de referência (I-P e I-PD). Serão apre-sentadas as versões dos controladores PID e I-PD com filtro derivativo.
Nos controladores ideais cada termo atua sobre o sinal de erro, enquanto que os controladores com ponderação da referência podem ter termos que atu-am diretatu-amente sobre a saída realimentada.
Serão apresentadas também as versões discretas dos controladores, obedecendo a estrutura RST ou de dois graus de liberdade (2-DOF – do inglês Two De-grees of Freedom). Esta estrutura é mostrada na Fi-gura 1, onde Rc, Sc e Tc são polinômios e G é a fun-ção de transferência da planta, com polinômio do numerador B e polinômio do denominador A.
Figura 1. Uma estrutura 2-DOF com realimentação
A lei de controle implementada na Figura 1 é dada por:
c c c c T S u r y R R , (1)
onde r é a referência e y a variável controlada. Existem um grande número de implementações 2-DOF para controladores PID. No entanto, é necessá-rio que essas implementações obedeçam a uma das condições abaixo (Moudgalya, 2007):
; (1); (1) (1). c c c c c c S T S T S T (2) (3) (4) 2.1 Controlador PI
O controlador PI ideal pode ser representado no domínio do contínuo pela equação abaixo:
0 1 (t) r(t) y(t) (r( ) y( )) t p i u K d T
. (5)Usando a aproximação de diferença atrasada para o termo integral, no domínio discreto sua representação é dada por 1 1 1 1 (z) 1 (z) 1 (z). 1 1 s s p p i i T T U K R K Y T z T z (6)
Desse modo, tem-se Sc = Tc e os polinômios Sc e Rc são 1 1 0 1 (1 ); ; c c R z S s s z (7) (8) 0 1 1 ; . s p i p T s K T s K (9) (10) 2.2 Controlador I-P
Um controlador PI com ponderação da referên-cia, no domínio do contínuo é representado por
0 1 (t) ( (t) (t)) ( ( ) ( )) t p i b u K r y r y d T
, (11)onde b é o peso da referência.
Segundo Åström e Hägglund (2005), para um contro-lador PI, o peso b segue a regra:
0, para 0,3; 1, para 0,3; b b (12)
onde τ = L/(L + T) é o atraso de transporte relativo, sendo L o atraso de transporte aparente e T a constan-te de constan-tempo de um modelo de primeira ordem com atraso de transporte.
Assim, pra casos onde b = 0, chamamos o controla-dor resultante de I-P e a Equação 11 resulta em
0 1 (t) ( ( ) ( )) (t) t p i u K r y d y T
. (13)No domínio discreto, utilizando a aproximação de diferença atrasada sobre a Equação 13, obtém-se a representação dada por
1 1 1 1 (z) (z) 1 (z). 1 1 s s p p i i T T U K R K Y T z T z (14)
Desse modo, tem-se que
1 1 1 1 ; 1 1 . 1 c s p c i c s p c i S T K R T z T T K R T z (15) (16) onde, 1 1 0 1 (1 ); ; c c R z S s s z (17) (18) 0 1 ; s p i T s K T (19) 1 0 ; ; p c s K T t (20) (21) 0 . s p i T t K T (22)
Pode ser observado também que Tc = Sc(1).
2.3 Controlador PID com filtro derivativo
A representação de um controlador PID ideal no domínio do contínuo é 0 1 (t) (t) (t) ( ( ) ( )) ( (t) (t)) . t p i d u K r y r y d T d r y T dt
(23)Com o intuito de eliminar grandes variações no sinal de controle devido ao ruído de medição, acrescentan-do-se um filtro de primeira ordem no termo derivati-vo. No domínio discreto, usando a aproximação da diferença atrasada, o filtro derivativo é dado por:
1 1 1 1 1 1 s d d NT r T s T r z N , (24) onde, 1 d d s T N r T N T . (25)
Usando a mesma regra para aproximação do termo integral, obtém-se 1 1 1 1 1 (1 ) 1 1 , 1 1 c s p c i S T Nr z K R T z r z (26) onde, Tc = Sc (Moudgalya, 2007). Desenvolvendo a Equação 26, tem-se que
1 1 1 1 2 0 1 2 (1 )(1 ); ; c c R z r z S s s z s z (27) (28) 0 1 1 1 1 ; 1 2 1 ; s p i s p i T s K Nr T T s K r N T (29) (30) 2 p1(1 ). s K r N (31)
2.4 Controlador I-PD com filtro derivativo
O controlador PID com ponderação da referên-cia, no domínio do contínuo, é representado como a seguir: 0 1 (t) (t) ( ( ) ( )) ( ( (t)) (t (t) )) , t p i d br y y u K r d T d T cr dt y
(32)onde b e c são os pesos da referência.
Para um controlador PID, segundo Åström e Hägglund (2005), geralmente se tem c = 0 e b dado pela seguinte regra:
0, para 0,5; 1, para 0,5. b b (33)
Escolhendo o caso para τ ≤ 0,5, obtém-se o controla-dor I-PD, dado pela seguinte representação:
0 1 (t) ( ( ) ( )) (t) (t) . t p d i d u K r d T y T y y dt
(34)Aplicando-se a aproximação de diferença adiantada para o termo integral, a de diferença atrasada para o termo derivativo e adicionando-se o filtro de primeira ordem no termo derivativo, obtém-se
1 (z) (z) ( (z) (z)) 1 1 (z) . s p i d d s d s d T U K Y R Y T z NT z Y T NT T z NT T (35)
Definindo os termos abaixo
, , d d s d s i i T a NT T T b T (36) (37) , d d b Na (38) obtém-se 1 1 1 2 1 2 (1 )(1 ) (z) ( ) (z) [(1 ) ( 2 (1 )) ( ) ] (z). d p i i d p d i d d d i d d z a z U K b z b a z R K b b b a z a b a b z Y (39)
Assim, os polinômios Rc, Sc e Tc podem ser dados por
1 1 1 1 (1 )(1 ); ; c d R z r z r a (40) (41) 1 2 0 1 2 0 1 2 ; (1 ); ( 2 (1 )); ( ); c p d p i d d p d i d d S s s z s z s K b s K b b a s K a b a b (42) (43) (44) (45) 1 2 1 2 1 2 ; ; . c p i p i d T t z t z t K b t K b a (46) (47) (48)
3 Métodos de Ajuste
Os métodos de ajuste de controladores PID esco-lhidos são todos baseados na aproximação de modelo de primeira ordem com atraso de transporte, como apresentado abaixo: (s) , 1 Ls K P e Ts (49)
onde, K é o ganho estático, T a constante de tempo e L o atraso de transporte aparente.
3.1 Chien-Hrones-Reswick (CHR)
As formulas de ajuste escolhidas foram para res-posta servo com 0% de sobressinal para controlado-res PI e PID e são dadas na Tabela 1 (Chien et al., 1952).
Tabela 1. Método de Chien-Hrones-Reswick
Kp Ti Td
PI 0, 35T
KL 1,17T -
PID 0, 6T
KL T 0,5L
3.2 Aproximated M-constrained Integral Gain Opti-mization (AMIGO)
Este método foi proposto em Hägglund e Åström (2002) para controladores PI e em Åström e Hägglund (2004) para controladores PID. Para o controlador PI, tem-se a sensibilidade combinada M = 1,4 (Åström e Hägglund, 2005), resultando nas seguintes fórmulas: 2 0,15 0,35 ( ) p LT T K K L T KL (50) 2 2 2 13 0,35 12 7 i LT T L T LT L (51)
Segundo Åström e Hägglund (2004), para o contro-lador PID tem-se as fórmulas abaixo:
1 2 p L T K KL (52) 3 4 5 i L T T L L T (53) 6 7 d LT T L T (54)
Escolhendo-se a sensibilidade combinada M = 1,1, resultam os parâmetros α1 = 0,057, α2 = 0,139,
α3 = 0,4, α4 = 0,923, α5 = 0,012, α6 = 1,59 e α7 = 4,59.
3.3 Internal Model Control (IMC)
Escolheu-se dois métodos IMC, um para o con-trolador PI e outro para o concon-trolador PID. O método proposto por Skogestad (2003), também conhecido como SIMC, foi utilizado para o controlador PI. O método proposto por Chien e Fruehauf (1990) foi aplicado ao controlador PID. Suas fórmulas são mos-tradas abaixo.
Tabela 2. Método IMC
Kp Ti Td PI 1 c T K L min{T, 4(τc + L)} - PID 1 2 2 c T L K L TL 2 2TTLL
O parâmetro τc corresponde à velocidade de resposta em malha fechada. Pelo método de Skogestad (2003), pode-se ter τc < L, para uma resposta mais agressiva, ou τc > L, para uma resposta mais robusta. Pelo mé-todo de Chien e Fruehauf (1990), é indicado que L < τc < T, onde também tem-se o compromisso entre velocidade de resposta (menor valor de τc) e robustez (maior valor de τc).
4 Sistema de controle digital de velocidade O sistema de controle digital de velocidade utili-zado foi implementado como parte do trabalho de conclusão de curso apresentado em Pereira (2013). Ele consiste de um sistema embarcado baseado na ferramenta eZ430-RF2500 da Texas Instruments e conta com uma interface gráfica para computador desenvolvida em Java.
4.1 Componentes
Uma foto do sistema de controle é mostrada na Figura 2.
Os principais componentes do sistema de controle digital de velocidade são descritos abaixo:
Ferramenta de desenvolvimento eZ430-RF2500 da Texas Instruments: baseada no microcontrolador MSP430F2274; driver de motor CC MC33926 Motor
Driver Carrier da Pololu Corporation; Motor CC: tensão nominal de 12 V,
ve-locidade nominal de 80 rpm, caixa de transmissão 131,25:1, torque de rotor travado de 250 oz.in (1,059 N.m) e en-coder em quadratura de 64 pulsos por revolução;
Bateria selada de 12 V e 7 Ah;
Interface gráfica para computador em Java.
4.2 Identificação do modelo do motor CC
A identificação do modelo do motor CC foi rea-lizada por meio de um ensaio de malha aberta apli-cando um sinal binário pseudo-aleatório (PRBS – do inglês Pseudo Ramdom Binary Signal) e depois utili-zando a System Identification Toolbox do MATLAB. As variáveis do sinal PRBS foram níveis de binários de V’ = ± 3 V, número de bits do registrador de des-locamento n = 6 e intervalo de tempo entre bits Tb = 5Ts = 54,6 ms. Portanto, o período do sinal foi de T = (2n – 1)Tb = 3,44 s.
Para a realização do ensaio foram desenvolvidos uma outra interface gráfica em Java e um outro firmware com a finalidade de se obter amostras de velocidade de respostas ao degrau e a sinais PRBS em malha aberta. O sinal PRBS foi gerado por meio de um pro-grama desenvolvido em linguagem C e armazenado em um vetor tipo booleano no firmware do microcon-trolador.
No ensaio, inicialmente foi aplicado ao motor CC, por meio da interface gráfica, uma tensão V’0 = 9 V e esperou-se que o motor atingisse o regime permanen-te. Só então foi aplicado o sinal PRBS. Durante o ensaio a tensão da bateria foi medida, obtendo-se um valor de 12,98 V. Portanto, o real valor aplicado ao motor inicialmente foi de V0 = 9,74 V e para o sinal PRBS, V = ± 3,25 V. Desse modo, +V = 12,98 V e –V = 6,49 V.
Também é importante comentar que, devido ao fato do intervalo entre bits Tb corresponder a cinco perío-dos de amostragem Ts do sistema, cada bit do sinal PRBS foi repetido cinco vezes. Assim, uma sequên-cia que seria {011...} se tornou {000001111111111...}.
Foram coletados dois períodos da resposta ao sinal PRBS. Um foi usado para a identificação do modelo e o outro para validação. Na Figura 3 podem ser ob-servados o sinal PRBS e sua resposta durante um período T.
Utilizando os dados do ensaio na System Identifica-tion Toolbox do MATLAB, identificou-se um
mode-lo de primeira ordem com atraso de transporte. O modelo obtido alcançou uma adequação de 87,79% com os dados de validação e é apresentado abaixo.
0,004739 0, 7664 (s) 0, 09022 1 s P e s (55)
Este é o modelo que foi utilizado para realizar os ajustes dos controladores e simulações apresentados na seção subsequente.
Figura 3. Sinal PRBS para n = 6 aplicado a um motor CC e sua resposta de velocidade durante um período T = 3,44 s
5 Resultados de Simulação e Experimentais Simulações e experimentos foram realizados pa-ra as quatro estrutupa-ras de controladores apresentadas anteriormente: PI, I-P, PID com filtro derivativo e I-PD com filtro derivativo. Para cada estrutura foram aplicados os métodos de sintonia já mencionados. O desempenho dos controladores é avaliado por meio de uma resposta ao degrau de 50 rpm. Como índices de desempenho, são apresentados os tempos de as-sentamento ts em milisegundos, com critério de 5%, e o sobressinal percentual OS% para cada resposta. É importante mencionar também que o atraso de transporte relativo do modelo do motor foi calculado como τ = 0,04991. O que, segundo Åström e Hägglund (2005), justifica a utilização das estruturas I-P e I-PD e também descarta a possibilidade de utili-zação do método de Ziegler-Nichols (e métodos rela-cionados) para o ajuste dos controladores.
5.1 Controladores PI
Os parâmetros dos controladores PI calculados por cada método são apresentados na Tabela 3.
Tabela 3. Parâmetros calculados para os controladores PI Kp Ti
CHR 8,6942 0,1056 AMIGO 7,7120 0,039
SIMC 1,8677 0,0902
As respostas ao degrau e os sinais de controle simu-lados para os três métodos podem ser vistos na Figu-ra 4. Pode-se observar que a sintonia pelos métodos Chien-Hrones-Reswick e AMIGO resultaram em sinais de controle acima da tensão nominal do motor. Portanto, foi implementado no sistema de controle de velocidade apenas o controlador obtido pelo método SIMC, cuja resposta também pode ser vista na Figura 4. Os índices de desempenho dos controladores são apresentados na Tabela 4.
Figura 4. Respostas de velocidade e sinais de controle para os controladores PI
Tabela 4. Índices de desempenho dos controladores PI
CHR AMIGO SIMC
Simulação ts (ms) 65,52 54,6 163,8
OS% 19,94 37,32 0
Experimento ts (ms) - - 251,2
OS% - - 0
Nas simulações, o controlador que obteve o menor tempo de resposta foi o ajustado pelo método AMIGO, mas com o maior sobressinal e sinal de con-trole excedendo os limites. O ajuste pelo método SIMC resultou na resposta mais lenta, mas sem
so-bressinal e com sinal de controle dentro dos limites de tensão.
Comparando a resposta simulada e a experimental do controlador ajustado pelo método SIMC, percebe-se que o sistema real é mais lento do que o modelado. A resposta experimental também não apresenta sobres-sinal.
5.2 Controladores I-P
As simulações e experimentos foram realizadas mantendo-se os mesmos parâmetros do caso dos con-troladores PI. A Figura 5 mostra a resposta ao degrau e os sinais de controle das simulações. Pode ser ob-servado que o sinal de controle para o método AMIGO ficou acima da tensão nominal. Portanto, foram implementados apenas os controladores ajus-tados pelos métodos Chien-Hrones-Reswick e SIMC. As respostas experimentais também podem ser vistas na Figura 5. Os índices de desempenho dos controla-dores são apresentados na Tabela 5.
Figura 5. Respostas de velocidade e sinais de controle para os controladores I-P
Tabela 5. Índices de desempenho dos controladores I-P
CHR AMIGO SIMC
Simulação ts (ms) 338,5 109,2 360,4
OS% 0 0 0
Experimento ts (ms) 360,4 - 393,1
OS% 0 - 0
Para as simulações, pode ser visto que o método AMIGO obteve o melhor tempo de resposta. Todas as respostas não apresentaram sobressinal.
Nos experimentos, o controlador ajustado pelo méto-do Chien-Hrones-Reswick teve melhor desempenho.
Não houve sobressinal para nenhuma resposta expe-rimental.
Comparando os resultados entre o controlador PI e o I-P, o que pode-se perceber é que a realocação do termo proporcional no caminho de realimentação tornou o desempenho da resposta servo mais suave. Nas simulações, pode-se perceber a redução da am-plitude do sinal de controle no regime transitório.
5.3 Controladores PID com filtro derivativo
Os parâmetros dos controladores PID calculados por cada método podem ser observados na Tabela 6. O parâmetro Tc é a constante de tempo do filtro deri-vativo, corresponde a Tc = Td/N e foi ajustado empiri-camente.
Tabela 6. Parâmetros calculados para os controladores PID Kp Ti Td Tc CHR 14,9043 0,0902 0,0024 0,001 AMIGO 3,5272 0,0693 0,0016 0,001 IMC 1,9968 0,0926 0,0023 0,001
As respostas ao degrau e sinais de controle das simu-lações são mostrados na Figura 6. O ajuste pelo mé-todo Chien-Hrones-Reswick resultou em uma respos-ta oscilatória e com sinal de controle fora dos limites de tensão do motor. O método AMIGO também re-sultou em um sinal de controle com valores acima da tensão nominal do motor. Portanto, apenas o contro-lador ajustado pelo método IMC foi implementado. Os índices de desempenho dos controladores são sumarizado na Tabela 7.
Figura 6. Respostas de velocidade e sinais de controle para os controladores PID com filtro derivativo
Tabela 7. Índices de desempenho dos controladores PID com filtro derivativo CHR AMIGO IMC Simulação ts (ms) 120,1 54,6 163,8 OS% 56,04 2,78 0 Experimento ts (ms) - - 251,2 OS% - - 0
Para as simulações o método AMIGO foi o que teve a resposta mais rápida.
Pode-se observar que o desempenho do controlador ajustado pelo método IMC, tanto na simulação como no experimento, foi semelhante ao do controlador PI ajustado pelo método SIMC.
5.4 Controladores I-PD com filtro derivativo
Com intuito de comparação, os parâmetros dos controladores foram mantidos os mesmos para o con-trolador PID com filtro derivativo. As respostas ao degrau e os sinais de controle simulados podem ser vistos na Figura 7. Todos os controladores foram implementados no sistema de controle de velocidade e suas respostas ao degrau podem ser observados também na Figura 7. Os índices de desempenho dos controladores são mostrado na Tabela 8.
Figura 7. Respostas de velocidade e sinais de controle para os controladores I-PD com filtro derivativo
Tabela 8. Índices de desempenho dos controladores I-PD com filtro derivativo CHR AMIGO IMC Simulação ts (ms) 251,2 185,6 327,6 OS% 0 0 0 Experimento ts (ms) 273 218,4 360,4 OS% 0 0 0
Tanto na simulação quanto no experimento, o contro-lador ajustado pelo método AMIGO foi o que apre-sentou melhores resultados.
O sinal de controle da simulação do método Chien-Hrones-Reswick apesar de permanecer abaixo da tensão nominal, foi oscilatório no regime transitório. Na implementação no sistema de controle de veloci-dade, isso resultou em uma resposta sem sobressinal mas oscilatória.
O controlador ajustado pelo método IMC foi o mais lento na simulação e no experimento, mas foi o que apresentou variação do sinal de controle mais suave. Pode-se perceber que na estrutura I-PD, com a pon-deração da referência, o sinal de controle do sistema é mais suave do que na estrutura PID. Controladores que antes não poderiam ser implementados na estru-tura PID são implementados com sucesso na estruestru-tura I-PD e a mudança de referência se torna mais lenta, porém com um esforço de controle menor.
6 Conclusão
A aplicação de um sinal PRBS ao motor CC uti-lizado se mostrou de simples implementação. Aliado a isso, a identificação através da System Identifica-tion Toolbox do MATLAB se mostrou eficaz, esti-mando um modelo com boa adequação.
Através de simulações e experimentos foi possí-vel avaliar o desempenho das estruturas de controla-dores selecionadas, para cada método de ajuste apli-cado. Os métodos com regras de ajuste rígidas (Chi-en-Hrones-Reswick e AMIGO) resultaram em res-postas mais rápidas, mas algumas vezes oscilatórias ou fisicamente impraticáveis, com sinais de controle acima da tensão nominal do motor. Já o método IMC, apesar de ter sido sempre o que produziu respostas mais lentas, com seu parâmetro variável τc, se mos-trou o mais flexível para todas as estruturas. Por meio dele, foi sempre possível produzir sinais de controle fisicamente praticáveis e com uma variação suave.
Vale a pena salientar que possíveis diferenças entre os resultados de simulação podem ser devido a limitações do modelo identificado ou à natureza vari-ável da tensão da bateria utilizada como fonte de alimentação.
Como trabalhos futuros, considera-se a imple-mentação de uma interface gráfica em MATLAB e a aplicação de métodos de auto-ajuste de acordo com a variação da carga no eixo do motor.
Agradecimentos
Este foi um trabalho financiado com recursos próprios, no entanto, os autores agradecem ao Depar-tamento de Engenharia Elétrica da Universidade Fe-deral do Ceará pelas contribuições de orientação, suporte de infraestrutura e possibilidade de dissemi-nação desta pesquisa.
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