Costuma-se denotar as matrizes por letras latinas maiúsculas: A, B, C,...

1. Matrizes

1.1 Definição de Matrizes

Tem-se, a seguir, uma matriz 𝐴 genérica:

𝐴 = [ 𝑎11 𝑎12 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ … 𝑎1𝑛 … 𝑎_2𝑛 ⋮ ⋮ 𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 ⋮ … 𝑎_𝑚𝑛 ] ou 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗] 𝑚×𝑛 Notações: [ ], ‖ ‖ e ( )

Costuma-se denotar as matrizes por letras latinas maiúsculas: A, B, C, ...

Na matriz 𝐴, genérica, seus elementos são formados pela mesma letra minúscula de sua matriz com dois índices, o primeiro índice indica a linha e o segundo indica a coluna onde se encontra este elemento na matriz. Assim, por exemplo, o elemento 𝑎₂₁ está na 2ª linha e 1ª coluna.

Ex.: Determine a matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]_2×3 tal que 𝑎𝑖𝑗 = {

2𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗 𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗] 2×3= [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃] Para 𝑖 ≥ 𝑗: 𝑎₁₁ = 2(1) + 1 = 3 𝑎₂₁ = 2(2) + 1 = 5 𝑎22 = 2(2) + 2 = 6 Para 𝑖 < 𝑗: 𝑎₁₂= 1 − 2 = −1 𝑎13= 1 − 3 = −2 𝑎₂₃ = 2 − 3 = −1 𝐴 = [3 −1 −2 5 6 −1]

Matriz de ordem 𝑚 por 𝑛 é um quadro de 𝑚 × 𝑛 elementos (números, funções, etc) dispostos em 𝑚 linhas e 𝑛 colunas.

1.2 Tipos de Matrizes

Os tipos de matrizes são de acordo com: o número de linhas ou de colunas; a relação entre o número de linhas e colunas; os tipos de elementos da matriz.

Seja uma matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]_𝑚×𝑛.

1.2.1 Matriz coluna

É a matriz de ordem 𝑚 × 1, ou seja, para 𝑛 = 1.

Ex: 𝐴 = [−2 7 ]

1.2.2 Matriz linha

É a matriz de ordem 1 × 𝑛, ou seja, para 𝑚 = 1.

Ex: 𝐴 = [0 −5 7]

1.2.3 Matriz Nula

É a matriz tal que 𝑎_𝑖𝑗 = 0, ∀ 𝑖, 𝑗, ou seja, todos os elementos da matriz são nulos.

Ex: 𝐴 = [0 0 0 0 0 0]

1.2.4 Matriz quadrada

É uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja, 𝑚 = 𝑛.

Ex: 𝐴 = [

2 9 −3

−6 4 0

7 −1 5

]

Denominam-se elementos da diagonal secundária aos elementos 𝑎_𝑖𝑗, onde 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1. Traço de uma matriz 𝐴, notação 𝑇𝑟(𝐴), é a soma dos elementos da diagonal principal.

Ex: O traço da matriz 𝐴 do exemplo acima é 𝑇𝑟(𝐴) = 2 + 4 + 5 = 11

1.2.4.1 Matriz diagonal

É a matriz quadrada tal que 𝑎_𝑖𝑗 = 0, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗

Ex: 𝐴 = [ 3 0 0 0 −7 0 0 0 4 ] 1.2.4.2 Matriz identidade

É a matriz quadrada tal que 𝑎𝑖𝑗 = {

1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 Ex: 𝐴 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

Obs.: Uma matriz identidade é comumente denotada por 𝐼 ou por 𝐼_𝑛, onde 𝑛 indica a ordem da matriz.

1.2.4.3 Matriz triangular superior É a matriz tal que 𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗.

Ex: 𝐴 = [

6 3 7

0 3 −8

0 0 2

]

1.2.4.4 Matriz triangular inferior

Ex: 𝐴 = [ 5 0 0 −2 8 0 9 −1 3 ] 1.2.5 Matriz oposta

A matriz oposta da matriz 𝐴, indicada por −𝐴, é uma matriz cujos elementos são os opostos dos elementos da matriz 𝐴.

Ex: 𝐴 = [−2 0 3

5 −4 7] então −𝐴 = [ 2 0 −3

−5 4 −7]

1.3 Operações com Matrizes 1.3.1 Igualdade matricial

Sejam as matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛, de mesma ordem 𝑚𝑥𝑛. Diz-se que as matrizes 𝐴 e 𝐵 são iguais se, e somente se,

𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗, ∀ 𝑖, 𝑗

Ex: Calcule 𝑥 e 𝑦 sabendo-se que [5 𝑥 − 2 0 3𝑦 6 −1] = [ 5 7 0 −𝑦 + 12 6 −1] 𝑥 − 2 = 7 ⇒ 𝑥 = 9 3𝑦 = −𝑦 + 12 ⇒ 𝑦 = 3 1.3.2 Adição de matrizes

Sejam as matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛, de mesma ordem 𝑚𝑥𝑛. A soma de 𝐴 e 𝐵 é uma matriz 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛, indicada por 𝐶 = 𝐴 + 𝐵, tal que 𝑐𝑖𝑗= 𝑎𝑖𝑗+ 𝑏𝑖𝑗.

Ex: Seja 𝐴 = [2 −1 0 3 ] e 𝐵 = [ −5 −2 4 4 ], assim 𝐴 + 𝐵 = [2 −1 0 3 ] + [ −5 −2 4 4 ] = [ −3 −3 4 7 ]

1.3.2.1 Diferença de matrizes

A diferença entre 𝐴 e 𝐵, indicada por 𝐴 – 𝐵, é definida por 𝐴 + (−𝐵).

1.3.2.2 Propriedades da adição matricial

Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 matrizes de mesma ordem, tem-se: I) 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶

II) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 III) 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴 IV) 𝐴 + (−𝐴) = −𝐴 + 𝐴 = 0

1.3.3 Multiplicação de um escalar por uma matriz

Seja 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 e 𝑘 um número real (𝑘 ∈ ℝ), define-se 𝑘𝐴 por 𝑘𝐴 = [𝑘𝑎_𝑖𝑗] 𝑚𝑥𝑛 Ex: 10 [2 −1 0 5 4 0,9] = [ 20 −10 0 50 40 9]

1.3.3.1 Propriedades de Multiplicação de um escalar por uma matriz Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes de mesma ordem e 𝛼 e 𝛽 escalares, tem-se: I) (𝛼𝛽)𝐴 = 𝛼(𝛽𝐴)

II) (𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴 III) 𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵 IV) 1𝐴 = 𝐴

1.3.4 Multiplicação matricial

A multiplicação matricial entre 𝐴 e 𝐵, denotada por 𝐴𝐵, só é possível se o número de colunas da primeira matriz 𝐴 é igual ao número linhas da matriz 𝐵.

Ex.: Sejam 𝐴 = [ 3 5 0 −2 1 1 ] e 𝐵 = [

−2 1

0

1

−1

5

−2

3

−2 1

0

1

−1

5

−2

3

=

−6

8

2

−1

4

4

1.3.4.1 Propriedades da multiplicação matricial

Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 matrizes que possibilitem a multiplicação matricial e 𝛼 ∈ ℝ, tem-se: I) (𝐴𝐵)𝐶 = A(𝐵𝐶) II) (𝐴 + 𝐵)𝐶 = AC + 𝐵𝐶 𝐶(𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 III) (𝛼𝐴)𝐵 = A(𝛼𝐵) = 𝛼(𝐴𝐵) IV) 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴, em geral 1.3.5 Matriz transposta

A transposta de uma matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] de ordem 𝑚𝑥𝑛 é uma matriz de ordem 𝑛𝑥𝑚, denotada por 𝐴𝑡_{, definida por 𝐴}𝑡_{= [𝑎}

𝑗𝑖]. Ex: 𝐴 = [1 2 −1 0 5 8 ], assim 𝐴 𝑡 _{= [} 1₂ 0₅ −1 8 ]

1.3.5.1 Propriedades da matriz transposta I) (A + B)𝑡 _{= A}𝑡_{+ B}𝑡

II) (𝛼𝐴)𝑡= 𝛼A𝑡, 𝛼 ∈ ℝ III) (A𝑡)𝑡 _{= 𝐴}

IV) (AB)𝑡 = B𝑡A𝑡

1.3.5.2 Matriz simétrica

Ex: 𝐴 = [ 4 −5 11 −5 3 6 11 6 −8 ] 1.3.5.3 Matriz antissimétrica

Uma matriz quadrada 𝐴 é dita antissimétrica se A𝑡 = −𝐴

1.4 Matriz Inversa

Uma matriz quadrada 𝐵 é inversa de uma matriz 𝐴 de mesma ordem, denotada por 𝐵 = 𝐴, se 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼. Ex: A matriz 𝐵 = [2 1 5 3] é inversa de 𝐴 = [ 3 −1 −5 2 ], pois 𝐴𝐵 = [ 1 0 0 1] (verifique).

1.4.1.1 Propriedades de matriz inversa I) (A−1₎−1_{= 𝐴} II) (𝛼𝐴)−1= 1 𝛼A −1_{, 𝛼 ∈ ℝ}∗ III) (A𝑡)−1 _{= (A}−1₎𝑡 IV) (AB)−1= B−1A−1 Exercício 1) Dadas as matrizes 𝐴 = [2 −2 3 0 ], 𝐵 = [ 4 −1 0 2 ] e 𝐶 = [ 0 1

2 3], determine 𝑋 tal que 3𝑋 + 𝐵 = 2𝐴 − 𝐶𝑡. Resp.: 𝑋 = [ 0 − 5 3⁄ 5 3 ⁄ _{− 5 3}⁄ ] 2) Considere as matrizes 𝐴 = [ 3 0 −1 2 1 1 ], 𝐵 = [4 −1 0 2 ], 𝐶 = [ 1 4 2 3 1 5], 𝐷 = [ 1 5 2 −1 0 1 3 2 4 ], 𝐸 = [ 6 1 3 −1 1 2 4 1 3

]. Calcule os seguintes (quando possível).

Resp.: a) [1 10

1.5 Sistema de Equações Lineares (SEL) 1.5.1 Definição de SEL

Toda equação da forma 𝑎₁𝑥₁+ 𝑎₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏 é uma equação linear, onde 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são as variáveis;

𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são os coeficientes das variáveis; 𝑏 é o termo independente.

Um SEL genérico, com 𝑚 equações e 𝑛 variáveis, pode ser escrito como:

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b

+

+ +

=





₊

_{+ +}

₌









₊

_{+ +}

₌



1.5.2 Solução e classificação de um SEL

Solução de um SEL 𝑚𝑥𝑛 é uma n-upla ordenada de números (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) que satisfaz todas as equações do sistema.

Classificação

SP – Sistema possível ou compatível (possui solução)

SI – Sistema impossível ou incompatível (não possui solução) SPD – Sistema possível determinado (única solução)

SPI – Sistema possível indeterminado (infinitas soluções)

1.5.3 Processo retroativo de substituição

O processo consiste em determinar os valores de cada variável, encontrando-se primeiramente o valor da última variável resolvendo-se a última equação, em seguida

SEL

SP SI

substitui-se este valor na penúltima equação, encontrando-se o valor da penúltima variável e assim sucessivamente até a primeira variável.

Ex.: { 2𝑥₁− 𝑥₂+ 3𝑥₃− 2𝑥₄ = 1 𝑥2− 2𝑥3 + 3𝑥4 = 2 4𝑥₃+ 3𝑥₄ = 3 4𝑥₄ = 4 4𝑥₄ = 4 ⇒ 𝑥₄ = 1 4𝑥₃ + 3𝑥₄ = 3 ⇒ 4𝑥₃+ 3 ⋅ 1 = 3 ⇒ 𝑥₃ = 0 𝑥2− 2𝑥3+ 3𝑥4 = 2 ⇒ 𝑥2− 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 = 2 ⇒ 𝑥2 = −1 2𝑥1− 𝑥2+ 3𝑥3 − 2𝑥4 = 1 ⇒ 2𝑥1− (−1) + 3 ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 = 1 ⇒ 𝑥1 = 1 𝑆 = {(1, −1, 0, 1)} Ex.: { 𝑥1+ 3𝑥2− 4𝑥3+ 2𝑥4− 𝑥5 = 2 𝑥3+ 5𝑥4 + 𝑥5 = 1 𝑥₄− 2𝑥₅ = 1

𝑥₂, 𝑥₅ são as variáveis livres 𝑥4 − 2𝑥5 = 1 ⇒ 𝑥4 = 1 + 2𝑥5 𝑥₃+ 5𝑥₄ + 𝑥₅ = 1 ⇒ 𝑥₃ + 5(1 + 2𝑥₅) + 𝑥₅ = 1 ⇒ 𝑥₃ = −5 − 11𝑥₅ 𝑥₁ + 3𝑥₂ − 4𝑥₃+ 2𝑥₄− 𝑥₅ = 2 ⇒ 𝑥1 + 3𝑥2 − 4(−5 − 11𝑥5) + 2(1 + 2𝑥5) − 𝑥5 = 2 ⇒ 𝑥₁ = −20 − 3𝑥₂− 47𝑥₅ 𝑆 = {(−20 − 3𝑥2− 47𝑥5, 𝑥2, −5 − 11𝑥5, 1 + 2𝑥5, 𝑥5); 𝑥2, 𝑥5 ∈ ℝ}

1.5.4 Operações elementares e Sistemas equivalentes

Sistemas equivalentes são sistemas de mesmas variáveis que têm o mesmo conjunto-solução.

• Permutar duas equações.

• Multiplicar uma equação por uma constante não-nula. • Somar a uma equação o múltiplo de uma outra.

Ex.: 𝑆 = { 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −2 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3 −10𝑥 − 20𝑦 − 40𝑧 = 80 𝐿1↔ 𝐿2 𝑆1 = { 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −2 −10𝑥 − 20𝑦 − 40𝑧 = 80 𝐿3 ⟶ 1 10𝐿3 𝑆2 = { 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −2 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3 −𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 8 𝐿2⟶ −3𝐿1+ 𝐿2 𝑆3 = { 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −2 10𝑦 − 𝑧 = 9 −10𝑥 − 20𝑦 − 40𝑧 = 80 1.5.5 Matrizes escalonadas

Uma matriz está em forma escalonada se:

(i) a linha 𝑘 não consiste apenas de zeros (não-nula), o nº de zeros da linha 𝑘 + 1 é maior do que o nº de zeros no início da linha 𝑘;

(ii) existirem linhas nulas, elas ficam abaixo das linhas não-nulas.

Ex.: [ 2 3 −1 0 5 7 0 0 0 5 1 3 6 8 −3 0 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 ]

1.5.6 Matriz escalonada reduzida por linhas

Uma matriz está em forma escalonada reduzida por linhas se: (i) está em forma escalonada;

Ex.: [ 1 7 0 0 0 1 0 2 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 ]

1.5.7 Matriz aumentada de um SEL

2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 6 2 4 2 1 3 2 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x − − + =   _{+ + + =}   _{+ + − = −}   _{+ − + =}  0 1 1 1 0 1 1 1 1 6 2 4 1 2 1 3 1 2 2 3  − −       − −    −     S = {(2, -1, 3, 2)}

1.5.8 Resolução de um SEL por escalonamento (Método de Gauss)

a) { 𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 3 −2𝑥₁+ 3𝑥₂ − 𝑥₃ = −8 −𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = −5 [ 1 −3 1 −2 3 −1 −1 2 −1 3 −8 −5 ] 𝐿2 ⟶ 2𝐿1+ 𝐿2 𝐿3 ⟶ 𝐿1+ 𝐿3 [ 1 −3 1 0 −3 1 0 −1 0 3 −2 −2 ] 𝐿3⟷ 𝐿2 [ 1 −3 1 0 −1 0 0 −3 1 3 −2 −2 ] 𝐿3⟶ −3𝐿2+ 𝐿3 [ 1 −3 1 0 −1 0 0 0 1 3 −2 4 ] { 𝑥1− 3𝑥2+ 𝑥3 = 3 −𝑥2 = −2 𝑥₃ = 4 𝑺 = {(𝟓, 𝟐, 𝟒)}

Operações Elementares sobre as Linhas

I. Permutar duas linhas.

II. Multiplicar uma linha por um nº real não-nulo.

b) { 𝑥1+ 2𝑥2− 3𝑥3+ 𝑥4= −3 2𝑥1− 𝑥2+ 𝑥3− 2𝑥4 = 3 𝑥1− 8𝑥2+ 11𝑥3− 7𝑥4 = 9 [ 1 2 2 −1 1 −8 −3 1 1 −2 11 −7 −3 3 9 ] 𝐿2⟶ −2𝐿1+ 𝐿2 𝐿3 ⟶ −𝐿1+ 𝐿3 [ 1 2 0 −5 0 −10 −3 1 7 −4 14 −8 −3 9 12 ] 𝐿3⟶ −2𝐿2+ 𝐿3 [ 1 2 0 −5 0 0 −3 1 7 −4 0 0 −3 9 −6 ]

Pela última equação (0𝑥₁+ 0𝑥₂+ 0𝑥₃+ 0𝑥₄ = 6) verifica-se que o SEL é impossível, visto que não existem valores para as variáveis de forma que o resultado dê igual a 6. Assim,

𝑆 = ∅ c) { 𝑥1+ 𝑥2− 2𝑥3 = 4 −𝑥1+ 2𝑥2+ 𝑥3= 1 𝑥1+ 4𝑥2− 3𝑥3= 9 [ 1 1 −2 −1 2 1 1 4 −3 4 1 9 ] 𝐿2⟶ 𝐿1+ 𝐿2 𝐿3⟶ −𝐿1+ 𝐿3 [ 1 1 −2 0 3 −1 0 3 −1 4 5 5 ] 𝐿3⟶ −𝐿2+ 𝐿3 [ 1 1 −2 0 3 −1 0 0 0 4 5 0 ]

Verifica-se que o SEL (escalonado) possui três variáveis e duas equações, assim o SEL é SPD.

{ 𝑥1 + 𝑥2− 2𝑥3 = 4 3𝑥2− 𝑥3 = 5 𝑥₃ é variável livre 3𝑥2− 𝑥3 = 5 ⇒ 𝑥2 = 5 + 𝑥₃ 3 𝑥₁+ 5 + 𝑥3 3 − 2𝑥3 = 4 ⇒ 𝑥1 = 7 + 5𝑥3 3 𝑆 = {(7 + 5𝑥3 3 , 5 + 𝑥₃ 3 , 𝑥3) ; 𝑥3 ∈ ℝ}

1.5.9 Tipos de Sistemas de Equações Lineares

Um SEL é dito não-homogêneo quando pelo menos um de seus termos independentes é não-nulo. Todos os sistemas anteriores são SEL não-homogêneos.

Um SEL é dito homogêneo quando seus termos independentes são todos nulos.

Ex.: {

𝑥1+ 2𝑥2− 3𝑥3+ 2𝑥4 = 0 3𝑥₁+ 4𝑥₂− 5𝑥₃+ 2𝑥₄ = 0 2𝑥₁+ 5𝑥₂− 8𝑥₃+ 6𝑥₄ = 0

A solução trivial (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 0) é sempre solução de um SEL homogêneo, assim, todo SEL homogêneo é um sistema possível.

Ex.: Resolva: a) { 𝑥₁+ 2𝑥₂− 3𝑥₃+ 2𝑥₄ = 0 3𝑥₁+ 4𝑥₂− 5𝑥₃+ 2𝑥₄ = 0 2𝑥₁+ 5𝑥₂− 8𝑥₃+ 6𝑥₄ = 0 [ 1 2 3 4 2 5 −3 2 −5 2 −8 6 ] 𝐿2⟶ −3𝐿1+ 𝐿2 𝐿3⟶ −2𝐿1+ 𝐿3 [ 1 2 0 −2 0 1 −3 2 4 −4 −2 2 ] 𝐿3 ⟷𝐿2 [ 1 2 0 1 0 −2 −3 2 −2 2 4 −4 ] 𝐿3 ⟶ 2𝐿2+ 𝐿3 [ 1 2 0 1 0 0 −3 2 −2 2 0 0 ] { 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3+ 2𝑥4 = 0 𝑥₂− 2𝑥₃+ 2𝑥₄ = 0 Temos um Sistema possível determinado.

𝑥₃ 𝑒 𝑥₄ são variáveis livres (obs.: na solução do SEL, as variáveis são escritas em função das variáveis livres)

𝑥2− 2𝑥3 + 2𝑥4 = 0 ⇒ 𝑥2 = 2𝑥3− 2𝑥4

𝑥₁+ 2(2𝑥₃ − 2𝑥₄) − 3𝑥₃+ 2𝑥₄ = 0 ⇒ 𝑥₁ = −𝑥₃+ 2𝑥₄ 𝑆 = {(−𝑥₃ + 2𝑥₄, 2𝑥₃ − 2𝑥₄, 𝑥₃, 𝑥₄); 𝑥₃, 𝑥₄ ∈ ℝ}

1.5.10 SEL na forma matricial

Todo SEL pode ser escrito na forma matricial 𝐴𝑋 = 𝐵, tal que:

- 𝐴 é uma matriz de ordem 𝑚𝑥𝑛 (𝑚 é o número de equações e 𝑛 é o número de variáveis do SEL) cujos elementos são os coeficientes das variáveis do SEL.

- 𝑋 é uma matriz coluna com 𝑛 linhas, cujos elementos são as variáveis do SEL.

- 𝐵 é uma matriz coluna com 𝑚 linhas, cujos elementos são os termos independentes do SEL. Ex: {2𝑥 − 4𝑦 + 3𝑧 = 5 5𝑥 + 8𝑦 − 7𝑧 = 1 [2 −4 3 5 8 −7] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [5 1] Assim, 𝐴 = [2 −4 3 5 8 −7], 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] e 𝐵 = [5 1]

1.5.11 Discussão de Sistema de Equações Lineares

Discutir um SEL é fazer o estudo dos parâmetros que se encontram no SEL, ou seja, verificar para que valores dos parâmetros o SEL é SPD, SPI ou SI.

Ex.: Discutir o SEL:

a) {

𝑥1− 𝑥2− 𝑥3 = 1 2𝑥1− 𝑥2+ 𝑏𝑥3 = 3 −𝑥₁− 𝑥₂ − 𝑥₃ = 𝑎

Faz-se o escalonamento do SEL, pois desta forma é possível classificá-lo.

[ 1 −1 −1 2 −1 𝑏 −1 −1 −1 1 3 𝑎 ] 𝐿2⟶ −2𝐿1+ 𝐿2 𝐿₃ ⟶ 𝐿₁+ 𝐿₃ [ 1 −1 −1 0 1 𝑏 + 2 0 −2 −2 1 1 𝑎 + 1 ] 𝐿₃ ⟶ 2𝐿₂+ 𝐿₃ [ 1 −1 −1 0 1 𝑏 + 2 0 0 2𝑏 + 2 1 1 𝑎 + 3 ]

Finalizado o escalonamento, pergunta-se: quais valores de 𝑎 e 𝑏 para que o SEL seja SI, SPD ou SPI? Desta forma:

i) Para que o SEL seja SI, tem-se: {2𝑏 + 2 = 0

𝑎 + 3 ≠ 0 ⇒ {

𝑏 = −1 𝑎 ≠ −3 ii) Para que o SEL seja SPI, tem-se: {2𝑏 + 2 = 0

𝑎 + 3 = 0 ⇒ {

𝑏 = −1 𝑎 = −3 iii) Para que o SEL seja SPD, tem-se: {2𝑏 + 2 ≠ 0 ⇒ {𝑏 ≠ −1

b) { 𝑥1− 𝑥2 − 2𝑥3 = 𝑎 3𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃ = 𝑏 2𝑥1 + 2𝑥2+ 3𝑥3 = 𝑐 [ 1 −1 −2 3 1 1 2 2 3 𝑎 𝑏 𝑐 ] 𝐿2 ⟶ −3𝐿1+ 𝐿2 𝐿₃ ⟶ −2𝐿₁+ 𝐿₃ [ 1 −1 −2 0 4 7 0 4 7 𝑎 −3𝑎 + 𝑏 −2𝑎 + 𝑐 ] 𝐿₃ ⟶ −𝐿₂+ 𝐿₃ [ 1 −1 −2 0 4 7 0 0 0 𝑎 −3𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 ]

i) Para que o SEL seja SI, tem-se: 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 ≠ 0 ii) Para que o SEL seja SPI, tem-se: 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0

iii) Não existem valores para 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para o SEL seja SPD.

1.5.12 Operações elementares e matriz inversa

Uma matriz 𝐸 é dita elementar se ela é originada a partir de uma matriz identidade 𝐼 fazendo-se apenas uma das três operações elementares sobre ela.

Ex.: Seja a matriz 𝐼 = [1 0

0 1] e fazendo-se, por exemplo: i) 𝐿1 ↔ 𝐿2 em 𝐼, tem-se 𝐸1 = [0 1_{1 0}]

ii) 𝐿₁ ⟶ 4𝐿₁ em 𝐼, tem-se 𝐸₂ = [4 0 0 1] iii) 𝐿2 ⟶ 2𝐿1+ 𝐿2 em 𝐼, tem-se 𝐸3 = [1 0_{2 1}]

Seja a matriz 𝐴 = [1 2 3 5], calculemos: i) 𝐸₁𝐴 = [0 1 1 0] [ 1 2 3 5] = [ 3 5 1 2] ii) 𝐸2𝐴 = [4 0_{0 1}] [1 2_{3 5}] = [4 8_{3 5}] iii) 𝐸₁𝐴 = [1 0 2 1] [ 1 2 3 5] = [ 1 2 5 9]

Observa-se em i) que o produto matricial de 𝐸₁ por 𝐴 é equivalente a se fazer a mesma operação elementar na matriz 𝐴 que foi feita na matriz identidade 𝐼 para se determinar 𝐸₁. De forma similar, observa-se em ii) que o produto matricial de 𝐸₂ por 𝐴 é equivalente a se fazer a mesma operação elementar na matriz 𝐴 que foi feita na matriz identidade 𝐼 para se determinar 𝐸2. Também, observa-se em iii) que o produto matricial de 𝐸3 por 𝐴 é equivalente a se fazer a mesma operação elementar na matriz 𝐴 que foi feita na matriz identidade 𝐼 para se determinar 𝐸3.

Seja uma matriz quadrada 𝐴, se existem 𝐸₁, 𝐸₂, ..., 𝐸_𝑘 matrizes elementares de mesma ordem de 𝐴, tal que

𝐸𝐾 ∙ … ∙ 𝐸2𝐸1𝐴 = 𝐼 (∗)

O lado direito da equação (∗) é equivalente a se fazer 𝑘 operações elementares em 𝐴 até que se transforme na matriz identidade. Assim, verifica-se que 𝐸_𝐾∙ … ∙ 𝐸₂𝐸₁ = 𝐴−1, ou seja, se forem feitas as mesmas operações elementares feitas em 𝐴 na matriz identidade, esta se tornará a inversa de 𝐴.

Esquematicamente,

( 𝐴 | 𝐼 )

( 𝐼 | 𝐴

−1

)

Ex.: Calcule a inversa da matriz 𝐴, se existir:

a) 𝐴 = [

1 2 3 2 5 3 1 0 8 ]

( 1 2 3 2 5 3 1 0 8 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 𝐿2⟶ −2𝐿1+ 𝐿2 𝐿3 ⟶ −𝐿1+ 𝐿3 ( 1 2 3 0 1 −3 0 −2 5 | 1 0 0 −2 1 0 −1 0 1 ) 𝐿1 ⟶ −2𝐿2+ 𝐿1 𝐿3⟶ 2𝐿2+ 𝐿3 ( 1 0 9 0 1 −3 0 0 −1 | 5 −2 0 −2 1 0 −5 2 1 ) 𝐿3⟶ −𝐿3 ( 1 0 9 0 1 −3 0 0 1 | 5 −2 0 −2 1 0 5 −2 −1 ) 𝐿1⟶ −9𝐿3+ 𝐿1 𝐿2 ⟶ 3𝐿3+ 𝐿2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | −40 16 9 13 −5 −3 5 −2 −1 ) 𝐴−1= [ −40 16 9 13 −5 −3 5 −2 −1 ] b) 𝐴 = [ 3 −1 6 1 3 4 −1 5 1 ] ( 3 −1 6 1 3 4 −1 5 1 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 𝐿1⟷ 𝐿2 ( 1 3 4 3 −1 6 −1 5 1 | 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) 𝐿₂⟶ −3𝐿₁+ 𝐿₂ 𝐿₃⟶ 𝐿₁+ 𝐿₃ ( 1 3 4 0 −10 −6 0 8 5 | 0 1 0 1 −3 0 0 1 1 ) 𝐿2 ⟶ − 1 10𝐿2 ( 1 3 4 0 1 3⁄₅ 0 8 5 | 0 1 0 − 1 10⁄ 3⁄₁₀ 0 0 1 1 ) 𝐿1⟶ −3𝐿2+ 𝐿1 𝐿3⟶ −8𝐿2+ 𝐿3 ( 1 0 11⁄₅ 0 1 3⁄₅ 0 0 1⁄₅ || 3 10 ⁄ 1⁄₁₀ 0 − 1 10⁄ 3⁄₁₀ 0 8 10 ⁄ _{− 14 10}⁄ 1 ) 𝐿1⟶ −11𝐿3+ 𝐿1 𝐿2⟶ −3𝐿3+ 𝐿2

( 1 0 0 0 1 0 0 0 1⁄₅ || − 85 10⁄ 155⁄₁₀ −11 − 25 10⁄ 45⁄₁₀ −3 8 10 ⁄ _{− 14 10}⁄ 1 ) 𝐿3⟶ 5𝐿3 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | − 85 10 ⁄ 155⁄₁₀ −11 − 25 10⁄ 45⁄₁₀ −3 4 −7 5 ) 𝐴−1= [− 17 2 ⁄ 31⁄₂ −11 − 5 2⁄ 9⁄₂ −3 4 −7 5 ] 1.6 Determinante 1.6.1 Introdução

O determinante de uma matriz quadrada 𝐴 (notação: 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ou |𝐴| ) é uma função que transforma 𝐴 em um número.

1.6.2 Cálculo de Determinante

Existem várias técnicas de se calcular determinantes, aqui serão abordadas as técnicas consideradas mais utilizadas/apropriadas para cada tipo ou ordem de matriz.

1.6.2.1 Determinante de ordem 2

O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

Assim, seja a matriz 𝐴 = [𝑎 𝑏

𝑐 𝑑], então 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Ex.: 𝐴 = [5 −2

3 4 ] ⇒ 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 5 ∙ 4 − 3(−2) = 26

1.6.2.2 Regra de Sarrus

A técnica mais utilizada para se calcular determinante de ordem 3 é a Regra de Sarrus (regra exclusiva para determinante de ordem 3), pela sua praticidade. A Regra de Sarrus será desenvolvida em algumas etapas, assim, considere a matriz A de ordem 3:

𝐴 = [

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃]

Primeiramente, as duas primeiras colunas são repetidas à direita da matriz A:

[ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ ] 𝑎11 𝑎12 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂

Em seguida, faz-se o produto dos elementos da diagonal principal. Faz-se esse processo também com as “diagonais” que estão à direita da diagonal principal, somando-se esses três valores:

𝐷_𝑝= 𝑎₁₁𝑎₂₂𝑎₃₃+ 𝑎₁₂𝑎₂₃𝑎₃₁+ 𝑎₁₃𝑎₂₁𝑎₃₂

Faz-se o mesmo processo com a diagonal secundária e as demais “diagonais” à sua direita.

𝐷_𝑠 = 𝑎₃₁𝑎₂₂𝑎₁₃+ 𝑎₃₂𝑎₂₃𝑎₁₁+ 𝑎₃₃𝑎₂₁𝑎₁₂

O determinante de 𝐴 é a diferença entre os dois resultados, ou seja, 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝐷_𝑝− 𝐷_𝑠

Assim,

𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎₁₁𝑎₂₂𝑎₃₃+ 𝑎₁₂𝑎₂₃𝑎₃₁+ 𝑎₁₃𝑎₂₁𝑎₃₂− (𝑎₃₁𝑎₂₂𝑎₁₃+ 𝑎₃₂𝑎₂₃𝑎₁₁+ 𝑎₃₃𝑎₂₁𝑎₁₂)

Ex.: Calcule o determinante da matriz 𝐴 = [

2 −3 5 4 1 0 −1 3 4 ] 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = | 2 −3 5 4 1 0 −1 3 4 | = | 2 −3 5 4 1 0 −1 3 4 | 2 −3 4 1 −1 3 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 8 + 0 + 60 − (−5 + 0 − 48) 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 121 [ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ] 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃] 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂

1.6.2.3 Regra de Laplace

A Regra de Laplace pode ser utilizada para matriz de qualquer ordem, mas é comumente usada matrizes de ordem superior a 3.

Pela Regra de Laplace, o determinante de uma matriz 𝐴 é a soma dos produtos dos elementos de qualquer fila (linha ou coluna) da matriz 𝐴 pelos seus respectivos cofatores. O cofator de um elemento 𝑎𝑖𝑗 é o elemento 𝐴𝑖𝑗, que é dado por 𝐴𝑖𝑗= (−1)𝑖+𝑗𝑑𝑒𝑡(𝑀𝑖𝑗), tal que 𝑀𝑖𝑗 é a submatriz de 𝐴, determinada eliminando-se a linha 𝑖 e a coluna 𝑗 de 𝐴.

Ex.: Calcule | 2 0 0 −3 5 0 0 4 3 0 −2 4 0 6 3 1 |

Primeiro escolhe-se uma fila. Como vai ser feito o produto entre os elementos desta fila pelos respectivos cofatores, seria interessante escolher uma fila com a maior quantidade de zeros. Assim, boas escolhas seria a linha 1, 2 ou 3 ou a coluna 2 ou 3, visto que tem dois zeros em cada uma destas filas. Desta forma, escolhe-se a linha 3, o determinante fica:

𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎₃₁𝐴₃₁+ 𝑎₃₂𝐴₃₂+ 𝑎₃₃𝐴₃₃+ 𝑎₃₄𝐴₃₄ 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 3𝐴31+ 0𝐴32+ 0𝐴33+ 6𝐴34 = 3𝐴31+ 6𝐴34 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 3(−1)3+1𝑑𝑒𝑡 (𝑀31) + 6(−1)3+4𝑑𝑒𝑡 (𝑀34) = 3|𝑀31| − 6|𝑀34| 𝑀31= [ 0 5 0 −3 0 4 4 3 1 ] e 𝑀34= [ 2 0 5 0 −3 0 −2 4 3 ] |𝑀₃₁| = |−3 00 5 04 4 3 1 | = | 0 5 0 −3 0 4 4 3 1 | 0 5 −3 0 4 3 = 0 + 80 + 0 − (0 + 0 − 15) = 95 |𝑀₃₄| = | 2 0 5 0 −3 0 −2 4 3 | = | 2 0 5 0 −3 0 −2 4 3 | 2 0 0 −3 −2 4 = −18 + 0 + 0 − (30 + 0 + 0) = −48 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 3(95) − 6(−48) = 573 1.6.3 Propriedades de Determinante

Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 matrizes quadradas de ordem 𝑛:

1) Se A tem uma linha (ou coluna) de zeros, então det A =( ) 0.

2) Se A tem duas linhas (ou colunas) com elementos proporcionais, então det A =( ) 0.

4) Se A é uma matriz triangular (triangular superior, triangular inferior ou diagonal), então

( )

det A é o produto dos elementos da diagonal principal da matriz.

5) Se B é a matriz que resulta quando uma única linha (ou coluna) de A é multiplicada por um escalar k, então det B( )=k det A( ).

6) Se B é a matriz que resulta quando duas linhas (ou duas colunas) de A são permutadas, então det B( )= −det A( ).

7) Se B é a matriz que resulta quando um múltiplo de uma linha (coluna) de A é somado a uma outra linha (coluna) de A, então det B( )=det A( ).

8)

det kA

(

)

=

k det A

( )

9) det A( +B)det A( )+det B( ) (em geral).

10) Sejam A, B e C matrizes que diferem somente em uma única linha (coluna), digamos a

r-ésima, e suponha que a r-ésima de C pode ser obtida somando os elementos

correspondentes nas r-ésimas linhas de A e B, então det C( )=det A( )+det B( ). 11) A é inversível se, e somente se, det A ( ) 0.

12) det AB( )=det A det B( ) ( ).

13) Se A é inversível, então ( 1) 1 ( ) det A det A − ₌ . Ex.: Calcule: a) | 2 1 5 2 −3 4 3 1 −1 −2 0 3 1 0 2 −2 |

Primeiramente pode-se utilizar de propriedades para se “zerar” alguns valores, em seguida, finalizar com a Regra de Laplace. Assim,

| 2 1 5 2 −3 4 3 1 −1 −2 0 3 1 0 2 −2 | 𝐿2 ⟶ −2𝐿1+ 𝐿2 𝐿₃ ⟶ 2𝐿₁+ 𝐿₃ 𝐿₄ ⟶ −3𝐿₁+ 𝐿₄ | 2 1 1 0 −3 4 9 −7 3 0 −6 0 −5 8 11 −14 |

𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎₁₂𝐴₁₂+ 𝑎₂₂𝐴₂₂+ 𝑎₃₂𝐴₃₂+ 𝑎₄₂𝐴₄₂ 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 1𝐴12+ 0𝐴22+ 0𝐴32+ 0𝐴42= (−1)1+2𝑑𝑒𝑡 (𝑀12) = −|𝑀12| 𝑀₁₂= [ 1 9 −7 3 −5 8 −6 11 −14 ] e |𝑀₁₂| = | 1 9 −7 3 −5 8 −6 11 −14 | = −93 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 93 b) 𝐷 = _|| 0 4 −5 0 5 10 10 7 ⁄ 40⁄₇ −10⁄₇ 6 2 −20 25 20 7 ⁄ 10⁄₇ 0 0 0 0 0 0 2 9 0 −3 | |

Aplicando a propriedade 5 nas linhas 2 e 3:

𝐷 = 5 ∙ (10 7⁄ ) || 0 4 −5 0 1 2 1 4 −1 6 2 −4 5 2 1 0 0 0 0 0 0 2 9 0 −3 | | 𝐿₁ ⟷ 𝐿₂ 𝐷 = − 50 7⁄ || 1 4 −1 0 1 2 0 4 −5 2 1 −4 5 6 2 0 0 0 0 0 0 2 9 0 −3 || 𝐿3 ⟶ −4𝐿2+ 𝐿3 𝐷 = − 50 7⁄ || 1 4 −1 0 1 2 0 0 −13 2 1 −4 5 22 −18 0 0 0 0 0 0 2 9 0 −3 || = −(50⁄ )78 = − 3900 7₇ ⁄

1.6.4 Matriz inversa e determinante

Pode-se calcular a inversa de uma matriz A usando-se determinante, de acordo com:

1 1 ( ) ( ) A adj A det A − ₌ onde 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A Adj A A A A       =         , tal que ij

A

a

i j

ij ij

A = − + M , onde 𝑀𝑖𝑗 é a submatriz de A, obtida extraindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Se A' é a matriz dos cofatores dos respectivos elementos de A, então

Adj A

=

( ')

A

Seja uma matriz inversível de ordem 2 genérica 𝐴 = [𝑎 𝑏 𝑐 𝑑], tem-se: 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = ⌊𝐴11 𝐴21 𝐴₁₂ 𝐴₂₂⌋ 𝐴11= (−1)1+1𝑑, 𝐴21= (−1)2+1𝑏, 𝐴12 = (−1)1+2𝑐, 𝐴22 = (−1)2+2𝑎 𝐴11= 𝑑, 𝐴21 = −𝑏, 𝐴12= −𝑐, 𝐴22= 𝑎 Assim, 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = [𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 ], portanto 𝐴−1 ₌ 1 𝑑𝑒𝑡 (𝐴)[ 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 ]

Pode-se escrever que: a inversa de uma matriz 𝐴 é igual a um sobre o determinante de 𝐴, multiplicado pela matriz 𝐴, trocando-se os elementos da diagonal principal e o sinal dos elementos da diagonal secundária.

Ex.: Calcule a inversa de 𝐴 = [2 3 4 7]. 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = |2 3 4 7| = 2 𝐴−1 =1 2[ 7 −3 −4 2 ] = [ 7 2 ⁄ −3⁄₂ −2 1 ] 1.6.5 Regra de Cramer

Seja um SEL 𝐴𝑋 = 𝐵 com 𝑛 equações em variáveis:

[ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ … 𝑎_1𝑛 … 𝑎_2𝑛 ⋮ ⋮ 𝑎_𝑛1 𝑎_𝑛2 ⋮ 𝑎𝑛𝑛 ] [ 𝑥₁ 𝑥₂ ⋮ 𝑥_𝑛 ] = [ 𝑏₁ 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑛 ]

1) Seja 𝐷 o determinante da matriz 𝐴.

2) Seja 𝐷𝑖 o determinante da matriz 𝐴𝑖, originada substituindo-se os elementos da i-ésima coluna de 𝐴 pelos termos independentes do SEL.

Pela Regra de Cramer, tem-se:

i) Se 𝐷 ≠ 0, então o SEL é SPD e cada 𝑥𝑖 é determinado por 𝑥_𝑖 =𝐷𝑖

ii) Se 𝐷 = 0, então

a) Se todos os 𝐷𝑖’s são nulos, então o SEL é SPI. b) Se algum 𝐷𝑖 é diferente de zero, então o SEL é SI.

1.7 Equação matricial

Numa equação consiste em se determinar uma matriz (incógnita) que satisfaça a equação. Para a resolução da equação se recorre as propriedades das operações matriciais para se isolar a matriz incógnita.

Ex.: Determine X na equação matricial, sendo que todas as matrizes são quadradas inversíveis de mesma ordem e 𝐼 é a matriz identidade. Para finalizar, elimine todas as chaves, colchetes e parênteses, se possível:

a) (2𝐴𝑋 + 𝐶)𝐷 = 𝐸 (2𝐴𝑋 + 𝐶)𝐷𝐷−1 _{= 𝐸𝐷}−1 (2𝐴𝑋 + 𝐶)𝐼 = 𝐸𝐷−1 2𝐴𝑋 + 𝐶 = 𝐸𝐷−1 2𝐴𝑋 = 𝐸𝐷−1_{− 𝐶} 𝐴𝑋 =1 2(𝐸𝐷 −1_{− 𝐶)} 𝐴−1𝐴𝑋 = 𝐴−1[1 2(𝐸𝐷 −1_{− 𝐶)]} 𝐼𝑋 =1 2[𝐴 −1_(𝐸𝐷−1_{− 𝐶)]} 𝑋 =1 2(𝐴 −1_𝐸𝐷−1_{− 𝐴}−1_𝐶) 𝑋 =1 2𝐴 −1_𝐸𝐷−1₋1 2𝐴 −1_𝐶 b) (𝐵𝑋)−1_{𝐶 = 3𝐷} (𝐵𝑋)−1_𝐶𝐶−1_{= 3𝐷𝐶}−1 (𝐵𝑋)−1_{𝐼 = 3𝐷𝐶}−1 ((𝐵𝑋)−1₎−1 _{= (3𝐷𝐶}−1₎−1 𝐵𝑋 =1 3(𝐷𝐶 −1₎−1

𝐵𝑋 =1 3𝐶𝐷 −1 𝐵−1_{𝐵𝑋 = 𝐵}−1_[1 3𝐶𝐷 −1_] 𝐼𝑋 =1 3𝐵 −1_𝐶𝐷−1 𝑋 =1 3𝐵 −1_𝐶𝐷−1 c) (𝑋𝑡𝐴−1+ 𝐵)𝐶𝑡= 𝐼 (𝑋𝑡_𝐴−1_{+ 𝐵)𝐶}𝑡_(𝐶𝑡₎−1 _{= 𝐼(𝐶}𝑡₎−1 (𝑋𝑡_𝐴−1_{+ 𝐵)𝐼 = (𝐶}𝑡₎−1 𝑋𝑡_𝐴−1_{+ 𝐵 = (𝐶}𝑡₎−1 𝑋𝑡𝐴−1= (𝐶𝑡)−1_{− 𝐵} 𝑋𝑡𝐴−1𝐴 = [(𝐶𝑡)−1_{− 𝐵]𝐴} 𝑋𝑡𝐼 = (𝐶𝑡)−1_{𝐴 − 𝐵𝐴} 𝑋𝑡 = (𝐶𝑡)−1_{𝐴 − 𝐵𝐴} (𝑋𝑡₎𝑡 _{= [(𝐶}𝑡₎−1_{𝐴 − 𝐵𝐴]}𝑡 𝑋 = [(𝐶𝑡₎−1_𝐴]𝑡_{− (𝐵𝐴)}𝑡 𝑋 = 𝐴𝑡[(𝐶𝑡₎−1_]𝑡_{− 𝐴}𝑡_𝐵𝑡 𝑋 = 𝐴𝑡[(𝐶−1₎𝑡_]𝑡_{− 𝐴}𝑡_𝐵𝑡 𝑋 = 𝐴𝑡𝐶−1− 𝐴𝑡𝐵𝑡