MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS

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MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS

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4.1- INTRODUÇÃO

Inicialmente é necessário que se defina o que é sistema, sistema dinâmico e sistema estático. Um SISTEMA é uma combinação de componentes que atuam em conjunto para satisfazer um objetivo especificado. O sistema é dito ESTÁTICO, quando a saída atual do sistema depende somente da entra-da atual. A saíentra-da do sistema só varia se a sua entraentra-da variar.

O sistema é dito DINÂMICO, se a sua saída depende da entrada e dos valores passados da

entrada. Num sistema dinâmico a saída varia se ela não estiver num ponto de equilíbrio, mesmo que nenhuma entrada esteja sendo aplicada.

O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como sendo o conjunto de equa-ções que representam a dinâmica do sistema com uma certa precisão. O modelo matemático de um dado sistema não é único, isto é, um sistema pode ser representado por diferentes modelos depen-dendo da análise que se deseja fazer.

Na obtenção do modelo matemático para um dado sistema deve-se ter um compromisso en-tre a simplicidade do modelo e a sua precisão. Nenhum modelo matemático, por mais preciso que seja, consegue representar completamente um sistema.

Em geral deve-se obter um modelo matemático, que seja adequado para solucionar o pro-blema específico que esta em análise. Porém, é importante ressaltar que os resultados obtidos desta análise serão válidos somente para os casos em que o modelo é válido.

Quando vamos obter um modelo simplificado de um sistema, geralmente ignoramos algumas propriedades físicas deste sistema. Se os efeitos que estas propriedades causam na resposta do siste-ma são pequenos, então usiste-ma boa semelhança entre os resultados da análise siste-matemática e os resulta-dos práticos do sistema é obtido.

Em geral os sistemas dinâmicos são não lineares. Porém, os procedimentos matemáticos para a obtenção de solução de modelos lineares são muito complicados. Por isto, geralmente substituí-se o modelo não linear por um modelo linear, com validade somente em uma região limitada de opera-ção, ou para um ponto de operação.

A obtenção dos modelos que representam um dado sistema, são baseados nas leis que regem aquele sistema. Por exemplo, na modelagem de um sistema mecânico, deve-se ter em mente as leis de Newton; na modelagem de sistemas elétricos deve-se ter em mente as leis das correntes e das tensões de Kirchoff; na modelagem de sistemas térmicos deve-se ter mente as leis que regem os fe-nômenos térmicos, isto é, condução, radiação e convenção, etc...

Neste capítulo, nos preocupamos com a modelagem de sistemas mecânicos de translação e rotação e sistemas eletromecânicos. A modelagem de outros sistemas físicos, tais como, sistemas térmicos e sistemas hidráulicos não serão objeto de análise.

4.2- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS

Os sistemas mecânicos são divididos em dois grupos, isto é, sistemas mecânicos de transla-ção, e sistemas mecânicos de rotação. A seguir, alguns conceitos importantes relativos a sistemas mecânicos, serão revisados.

- Massa

A massa de um corpo, é a quantidade de matéria deste corpo, a qual é constante. Fisicamen-te, a massa de um corpo é responsável pela inércia do mesmo, isto é, a resistência à mudança de mo-vimento de um corpo. O peso de um corpo, é a força com a qual a terra exerce atração deste corpo.

m g = ω Onde: m é massa (Kg) ω é o peso (Kgf) g é a aceleração da gravidade (≈ 9,81 m/s2)

Embora o peso de um corpo possa variar de um ponto para outro, a massa do mesmo não varia.

- Força

A força é definida como a causa que tende a produzir uma mudança na posição de um corpo,

no qual a força está atuando. As forças, podem ser classificadas de duas formas, FORÇAS DE

CONTATO e FORÇAS DE CAMPO. As forças de contato são aquelas que tem um contato direto com o corpo, enquanto as forças de campo não apresentam contato direto com o corpo, como por exem-plo, força magnética e força gravitacional.

- Torque

O torque, é definido como qualquer causa que tende a produzir uma mudança na posição angular (rotacional) de um corpo, no qual o torque esteja atuando.

- Deslocamento, Velocidade e Aceleração

O deslocamentoχ( )t é a troca de posição de um ponto, tomado como referência, para outro. A velocidade é a derivada temporal do deslocamentoχ( )t .

ϑ( )t dχ( )t χ ( )

dt t

= =

A aceleração é a derivada temporal da velocidade:

a t d t dt d t dt t t t ( )= ϑ( ) = χ( ) ∴ ( )=ϑ ( ) ( )=χ 2 2 a

- Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Aceleração Angular

O deslocamento angular “θ(t)”, é definido como a troca de posição angular, sobre um eixo, de um ângulo tomado como referência e outro. É medido em radianos. A direção anti-horário é to-mada como positiva.

A velocidade angular “ω(t)”, é a derivada temporal do deslocamento angular “θ(t)”.

ω( )t d tθ( ) θ( )

dt t

= =

A aceleração angular “α(t)”, é a derivada temporal da velocidade angular “ω”.

α( )t dω( )t θ( ) α( ) ω ( ) ( )θ

dt

d t

dt t t t

Obs:

Se a velocidade ou a velocidade angular é medida em relação a uma referência fixa, então chamamos de velocidade absoluta ou velocidade angular absoluta. Caso contrário serão grandezas relativas. O mesmo é válido para a aceleração.

LEIS DE NEWTON

Das três leis que foram formuladas por Newton, a segunda lei é a mais importante, para a obtenção de modelos matemáticos de sistemas mecânicos.

- Segunda lei de Newton (Translação)

“A aceleração adquirida por de qualquer corpo rígido é diretamente proporcional as forças que atuam neste corpo, e inversamente proporcional a massa deste corpo”.

- Segunda lei de Newton (Rotação)

“A aceleração angular de qualquer corpo rígido é diretamente proporcional aos torques que atuam neste corpo, e inversamente proporcional ao momento de inércia deste corpo”.

Onde: J → Momento de inércia;

4.2.1- SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO

Nos sistemas mecânicos de translação, há três elementos mecânicos envolvidos que são: ele-mento de inércia, eleele-mento de amorteciele-mento, eleele-mento de elasticidade.

- Elemento de Inércia (Massa)

M → massa;

f(t) → força aplicada;

χ(t) → deslocamento.

É assumido que a massa é rígida. Desta forma a conexão superior, não deve se mover em relação a conexão inferior, isto é, ambas conexões se deslocam segundoχ(t).

f t M a t md t dt M d t dt ( )= . ( )= ϑ( ) = χ( ) 2 2 Onde:

a(t) → aceleração; ϑ(t) → velocidade; χ(t)→ deslocamento.

Σ

forças = m.a

- Elemento de Amortecimento (Amortecedor)

No caso deste elemento existe um deslocamento relativo entre o ponto de conexão superior e o ponto de conexão inferior. Portanto, existe a necessidade de duas variáveis deslocamento para descrever este elemento. A realização física deste elemento é a fricção viscosa associa-da ao óleo ou ar. Força de Amortecimento f t B d t dt d t dt ( )=  ( )− ( )      χ1 χ₂ f(t) = B(ϑ1(t)- ϑ2(t)) B → Coeficiente de amortecimento;

ϑ1(t) → Velocidade relativa ao deslocamento χ1( )t

ϑ2(t) → Velocidade relativa ao deslocamento χ2( )t . - Elemento de Elasticidade (Mola)

Este elemento, pode ser deformado por uma força externa, tal que a deformação é diretamente proporcional a esta força.

f t( )=K

(

χ1( )t −χ₂( )t

)

Força de elasticidade

Uma vez que os elementos mecânicos dos movimentos de translação estão definidos, as equações de sistemas mecânicos de translação podem ser escritas seguindo as leis de Newton.

Ex1:

Neste sistema, três forças exercem influências sobre a massa M: força aplicada f(t), a força de amortecimento e a força de elasticidade.

A função de transferência , pode ser obtida, considerando-se a força aplicada como entrada e o deslocamento χ( )t como saída.

F(s) = MS2X(s) + BSX(s) + KX(s) Md t dt f t B d t dt K t 2 2 χ( ) χ _χ ( ) ( ) ( ) = − − X s F s G s MS BS K M S B MS K M ( ) ( ) = ( )= + + = _{+ +} 1 1 2 2

Ex2:

Este sistema mecânico, é o modelo simplificado de um sistema de suspensão de uma das rodas de um automó-vel, onde:

M1→ Massa do automóvel;

M2→ Massa do roda;

K1 → Cte de elasticidade (mola);

K2 → Cte de elasticidade (pneu);

B → Cte de amortecimento (amortecedores).

Se observarmos a figura, existem 2 deslocamentos independentes χ1( )t e χ2( )t . Isto significa

que, conhecer o deslocamento χ1( )t não implica em conhecer o deslocamento χ₂( )t . Portanto

deve-se escrever 2 equações.

(

)

M d t dt K t t B d t dt d t dt 1 2 1 2 1 1 2 1 2 χ χ χ χ χ ( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) = − − − _ − _ “1”

(

)

M d t dt f t K t t B d t dt d t dt K t 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 χ χ χ χ χ χ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − _ −    − “2”

Supondo que deseja-se obter a função de transferência entre a força aplicada f(t) e o deslo-camento do carro χ1( )t .

M1S2X1(s) = - K1(X1(s) - X2(s)) - B(SX1(s) - SX2(s)) “3”

M2S2X2(s) = F(s) - K1(X2(s) - X1(s)) - B(SX2(s) - SX1(s)) - K2X2(s) “4”

Pela equação “3”; resulta X1(s)(M1S 2 + K1 + BS) = X2(s)(K1 + BS) X s BS K M S BS K X s 1 1 1 2 1 2 ( )= + . ( ) + + “5”

Pela equação “4”, resulta X2(s)(M2S 2 + K1 + K2 + BS) = F(s) + (K1 + BS)X1(s) X s M S BS K K F s BS K M S BS K K 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ( )= . ( ) + + + + + + + + X (s)1 “6” X s₁( )=G s X s₁( ). ₂( ) “5” X s₂( )=G₂( ).s X s₁( )+G s F s₃( ). ( ) “6” As equações “5” e “6” fornecem as seguintes representações:

Caminho direto: M1 = G1. G3 Laços individuais: La = G1. G2 Determinante do sistema: ∆ = −1 G G1 2 Função de transferência: X F 1 ₌ − G G G G 1 3 1 2 1 Onde:

(

) (

)

G G BS K M S BS K BS K M S BS K K 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 = + + + + + + + .

(

) (

)

G G BS K M S BS K M S BS K K 1 3 1 1 2 1 2 2 1 2 1 = + + + . + + +

Com isto, a função de transferência deste sistema é dada por:

(

) (

)

(

)(

) (

)

(

)(

)

X s F s BS K M S BS K M S BS K K M S BS K M S BS K K BS K M S BS K M S BS K K 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) . = + + + + + + + + + + + − + + + + + +

(

)

(

)

X s F s BS K M M S M M BS M K M K M K S BK S K K 1 1 1 2 4 1 2 3 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) = + + + + + + + + +

Esta função de transferência, descreve completamente, a dinâmica do sistema apresentado. Uma vez conhecido, a massa do carro “M1”, massa da roda “M2” e a elasticidade do pneu “K2”, a

suavidade ou conforto do carro é determinado pela definição dos valores de K1 e B.(B →

amortece-dor; K1→ mola).

Como o coeficiente de amortecimento B varia com o desgaste do amortecedor, a função de transferência também varia com o tempo mudando o conforto do carro.

4.2.2- SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO

⇒ Diagrama de blocos

⇒ Gráficos de fluxo de sinais

Os elementos mecânicos envolvidos nos sistemas mecânicos de rotação, são os mesmos já definidos para os sistemas mecânicos de translação. A diferença é que agora os deslocamentos são angulares.

- Elementos de inércia (Momento de Inércia) Onde: J → Momento de inércia; T(t) → Torque aplicado; θ(t) → Deslocamento angular. α(t) → Aceleração angular; ω(t) → Velocidade angular.

- Elemento de Amortecimento (Amortecedor)

- Elemento de Elasticidade (Mola)

Exemplos:

1) Considere o sistema mecânico rotacional, mostrado a seguir:

Aplicando T.L, resulta: T(s) = JS.Ω(s) +B.Ω(s) Ω( ) ) . s T(s = J S+B 1

2) Considere o sistema mecânico rotacional, mostrado a seguir:

Este sistema é um exemplo de relógios de pêndulo. O momento de Inércia do pêndulo, é representado por J; a fricção entre o pêndulo e o ar é representado por B, e a elasticidade do pên-dulo é representada por K.

Jα( )t = ∑T t( ) T t J t Jd t dt J d t dt ( )= α( )= ω( ) = θ( ) ∴ 2 2 T(t) = J( )θ t

(

)

T(t)=Bθ ( )  ( )₁ t −θ₂ t  ( )  ( ) θ1 t −θ2 t = Velocidade Relativa; T = Torque aplicado;

B = Coef. de amortecimento Rotacional.

(

)

T(t)=K θ₁( )t −θ₂( )t T (t) = Torque aplicado;

θ1(t)- θ2(t) = Desloc. angular relativo.

J t T t J t T(t B t T(t J t B t α ω ω ω ω ( ) ( )  ( ) ) ( ) )  ( ) ( ) = = − = +

∑

Jd t dt T(t B d t dt K t 2 2 θ( ) θ _θ ) ( ) ( ) = − −

Aplicando T.L, resulta:

J S. 2θ( )s =T s( )−BS. ( )θ s −K. ( )θ s A função de transferência, será então:

θ( ) . s B S K T(s) = 1 J.S2 + +

4.3- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS

A modelagem de sistemas elétricos é baseada nas leis das tensões e das correntes de Kirchoff. Devido a nossa familiaridade com circuitos elétricos, a modelagem dos mesmos torna-se facilitada.

Os elementos envolvidos nos circuitos elétricos são: Resistores, Indutores, Capacitores, am-plificadores, etc...

4.3.1- CIRCUITO RLC

Aplicando a T.L nas expressões acima, resulta: L.S.I(s) + R.I(s) + Vc(s) = Ei(s)

I(s) = C.S.Vc(s)

Substituindo-se a expressão de I(s) na primeira equação, tem-se: L.S.C.S.Vc(s) + R.C.S.Vc(s) + Vc(s) = Ei(s) Como: Vc(s) = E0(s) LCS2. E0(s) + R.CSE0(s) + E0(s) =Ei(s) E s Ei s L C S R C S 0 2 1 1 ( ) ( ) = . . + . . + Obs:

Em invés trabalharmos com o elemento elétrico podemos trabalhar com o circuito de impe-dância complexa, facilitando a obtenção da Função de Transferência.

Ldi t dt Ri t c t i t i t Cd c t dt e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = = ϑ ϑ

ELEMENTO IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA

R R

L LS

2)

(

)

Ei s R I s C S I s I s ( )+ _{1 1}( )+ ( )− ( ) = 1 1 2 1 0 I s I s C S Ei s R I s 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) − _{= −}

(

)

1 0 1 1 2 2 2 0 C S I s( )−I s( ) +R I s( )+E s( ) = I s I s C S E s R I s 1 2 1 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) − _{= +} I s C SEi s C SE s R C S 1 1 2 0 1 1 1 ( )= ( )+ ( ) + I s2( )=C SE s2 0( ) Ei s R C SEi s C SE s R C S E s R C SE s ( )− . ( )+ ( ) ( ) ( ) +      = + 1 1 2 0 1 1 0 2 2 0 1

(

)

(

)(

)

Ei s( )1+R C S1 1 −R C S1 1 +R C SE s1 2 0( )= +1 R C S1 1 1+R C S E s2 2 0( )

(

)(

)

E Ei _{R C S R C S R C S} 0 1 1 2 2 1 2 1 1 1 = + + + 4.4- SISTEMAS ANÁLOGOS

Sistemas análogos, são sistemas que embora apresentem características físicas diferentes, são descritos pelos mesmos modelos matemáticos. A existência deste conceito é muito utilizada na práti-ca. Uma vez que um determinado sistema físico esteja estudado e analisado, um outro sistema análo-go a este também estará. Em virtude da construção de um protótipo de um sistema mecânico, hi-dráulico, etc, ser mais complicado, estes sistemas podem se estudados e analisados através do cir-cuito elétrico análogo.

4.4.1- ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELÉTRICOS E MECÂNICOS

Entre os sistemas elétricos e mecânicos, existem dois tipos de analogias:

• Analogia Força-Tensão;

• Analogia Força-Corrente.

a) Analogia Força-Tensão

Abaixo é mostrado as grandezas análogas entre os sistemas Elétricos e Mecânicos para este caso. E s C S I s 0 2 2 1 ( )= . ( )

SISTEMA ELÉTRICO SISTEMA MECÂNICO DE TRANSLAÇÃO

SISTEMA MECÂNICO DE ROTAÇÃO

Tensão ϑ(t) Força F(t) Torque T(t)

Indutância L Massa M Momento de Inércia (J)

Resistência R Coef. de Atrito B Coef. de Atrito B

Inverso da Capacitância 1/C Coef. de Elasticidade K Coef. de Elasticidade K

Carga Elétrica q(t) Deslocamento χ( )t Desloc. Angular θ(t)

Corrente i(t) Velocidade  ( )χ t Veloc. Angular ( )θ t =ω( )t

Sejam os sistemas elétricos e mecânicos, abaixo representados.

Para o sistema mecânico, tem-se que:

Md t dt B d t dt K t f 2χ χ χ ( ) ( ) ( ) + + = “1”

Para o sistema elétrico, tem-se que: Ldi t dt Ri t C i t dt t ( ) ( ) ( ) ( ) + + 1

∫

=ϑ mas, i t dq t dt ( )= ( ) → Ldq t dt R dq t dt Cq t t 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + + = ϑ “2”

onde: q(t) → Cargas elétricas.

As equações diferenciais “1” e “2” são idênticas e portanto os dois sistemas apresentados são análogos.

b) Analogia Força-Corrente

A equação que define o sistema mecânico já foi obtida acima, em “1”. Para o sistema elétrico, tem-se que:

iL(t) + iR(t) + iC(t) = is(t) “3” 1 L t dt t R C d t dt is t ϑ( ) +ϑ( )+ ϑ( ) = ( )

∫

mas: ϑ( )t dφ( )t dt

= ; onde: φ→ fluxo magnético.

Cd t dt d t dt t is t R L φ φ φ 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + + = “4”

As equações “1” e “4”, são idênticas e portanto os dois sistemas apresentados são análogos. Abaixo é mostrado as grandezas análogas entre os sistemas elétricos e mecânicos para o caso da analogia Força-Corrente.

SISTEMA ELÉTRICO SISTEMA MECÂNICO DE

TRANSLAÇÃO

SISTEMA MECÂNICO DE ROTAÇÃO

Corrente i(t) Força F(t) Torque T(t)

Capacitância C Massa M Momento de Inércia (J)

Inverso da Resistência 1/R Coef. de Atrito B Coef. de Atrito B

Inverso da Indutância 1/L Coef. de Elasticidade K Coef. de Elasticidade K

Fluxo Magnético φ(t) Deslocamento χ( )t Desloc. Angular θ(t)

4.5 - SISTEMAS ELETROMECÂNICOS

Os sistemas eletromecânicos a serem analisados são o servomotor de corrente contínua e o gerador de corrente contínua.

4.5.1- SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTÍNUA

Um servomotor de corrente contínua é um motor de corrente contínua, com características dinâmicas especiais, para serem usados em sistemas realimentados.

As características desejáveis de um servomotor de CC são:

• Inércia reduzida;

• Máxima aceleração possível;

• Alta relação torque-inércia;

• Constante de tempo extremamente pequena.

Os servomotores CC de baixas potências são usados em equipamentos computacionais como acionadores de disco, impressoras, acionadores de fita e também em instrumentação. Já os servo-motores CC de médias e altas potências são usados em sistemas robotizados, controles de posição, etc...

ϑa(t) → Tensão aplicada na armadura; R_a→ Resistência de armadura; L_a→ Indutância de armadura; E_a(t) → Força eletromotriz i_a(t)→ Corrente da armadura; Lf→ Indutância de campo; R_f→ Resistência de campo;

ϑf(t) → Tensão aplicadano campo;

i_f(t) → Corrente de campo;

T(t) → Torque desenvolvido pelo motor; L_f, R_f→ Enrolamento de campo;

R_a, L_a→ Enrolamento de armadura.

Este servomotor pode ser acionado de 2 formas, que são:

• Controle da Armadura;

• Controle de Campo;

No CONTROLE DE ARMADURA, o enrolamento de campo é excitado separadamente. A cor-rente de campo é mantida constante e o controle do motor é exercido pela corcor-rente de armadura.

No CONTROLE DE CAMPO, a corrente de armadura é mantida constante e a velocidade é

con-trolada pela tensão de campo. O controle pelo campo dos servomotores, apresenta como desvanta-gens, o fato de trabalhar com constantes de tempo maiores e também a maior dificuldade de obten-ção de uma fonte de corrente contínua.

4.5.1.1- CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CC

Considere o diagrama esquemático do controle de servomotores CC pela armadura. A cor-rente de campo é mantida constante.

As equações que definem o motor CC em Regime Permanente estão abaixo definidas. O torque eletromagnético desenvolvido pelo motor CC é dado pela seguinte expressão:

T(t) = Ka.φ(t).ia(t) “1” Onde:

φ→ Fluxo no entreferro; Ka→CTE;

Pela curva de magnetização mostrada, o fluxo no entreferro na região linear, é proporcional a corrente de campo.

φ(t) = K_f . i_f (t) “2”

Como neste caso a corrente de campo é constante, resulta que o fluxo também será:

Substituindo “3” em “1”, tem-se:

“4”

Pela expressão “4”, o torque eletromagnético produzido pelo motor CC é diretamente pro-porcional a corrente de armadura.

A força eletromotriz “E_a(t)” induzida na armadura é dada por: E_a(t) = K_a.φ (t).ωm(t) “5” Onde:

ωm(t) → Velocidade angular do motor;

Como o fluxo é constante, resulta:

E_a( )t = K₃.ω_m( )t ou “6” E K d dt a(t) (t) = 3. θ

A equação diferencial associada a armadura do motor CC, isto é, a equação do motor CC é definida em “7”. ϑa a a a a a L d i dt R i E t (t)= . (t)+ . (t)+ ( ) “7”

A equação diferencial mecânica associada ao sistema representado na figura, é definido em

“8”. T(t Jd t dt B d t dt )= θ ( )+ θ( ) 2 “8”

Assumindo condições iniciais nulas, a transformada de Laplace das expressões “6”, “7”, “8” e “4”, será:

E_a(s) = K3.S.θ(s) “9”

V_a(s) = L_a.S.I_a(s) +R_a.I_a(s) +E_a(s) “10”

T(s) = J.S2.θ(s) + B.S.θ(s) “11”

T(s) = K2.I_a(s) “12”

Considerando que a tensão aplicada na armadura da máquina “V_a(s)” é a entrada do sistema, o deslocamento angular do eixo do rotor “θ(s)” é a saída, pode-se então obter a Função de Transfe-rência deste sistema.

φ(t) = K1 “3”

Inicialmente, mostra-se o diagrama de blocos para o sistema apresentado.

O diagrama de fluxo de sinais, é mostrado a seguir:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) θ( ) θ ( ) . . . . . . . . ( ) ( ) _{. . . . . .} s V s K L S R J S B S K K S L S R J S B S s V s K L S R S J S B K K S a a a a a a a a = + + + + + ∴ = + + + 2 2 2 3 2 2 2 3 1

(

)

( )

{

}

θ( ) ( ) _{. . .} s V s K S K K L S R J S B a _{a a} = + + + 2 2 3 “13”

(

)

(

)

θ( ) ( ) _{. . . . . .} s V s K S L J S L B R J S R B K K a _{a a a a} = + + + + 2 2 2 3 “14”

Considerando-se que L_a é pequena e pode ser desprezada, temos:

(

)

θ( ) ( ) _{. . . .} s V s K S R J S R B K K a a a = + + 2 2 3 “15” Ou: θ( ) ( ) . . . . s V s K R B K K S R J R B K K S a a a a = + + +       ⇒ 2 2 3 2 3 1

₍

K

₎

S T S s V s m m a . . ( ) ( ) +1 = θ “16” T R J R B K K m a a = ₊. . ₂. ₃ K K R B K K m a = + 2 2 3 . .

K_m= ganho constante da máquina; T_m= constante de tempo da máquina.

Pelas expressões acima observa-se que quanto menor for “R_a” e “J”, menor será a constante de tempo da máquina.

As expressões “15” e “16” representam a Função de Transferência para o sistema eletrome-cânico mostrado. Para obtermos a representação por espaço de estado, basta que se tenha as equa-ções diferenciais relacionadas as expressões “15” e “16”.

Da expressão “15”, resulta:

R J_a. .( )θ t +

(

R B_a. +K K₂. ₃

)

θ( )t =K₂.ϑ_a( )t “17” Sejam χ₁( )t e χ2( )t as variáveis de estado.

A saída θ(t) será: y(t) =θ(t) =χ₁(t) e a entrada: ϑ_a(t) =µ(t)

(

)

 ( ) ( )  ( ) . . . . . ( ) χ χ χ χ ϑ 1 2 2 2 3 2 2 t t t R B K K R J K R J t a a a a = = − + +

A representação por Espaço de Estado para a equação “17” resulta:

 ( )  ( ) . _. . . ( ) ( ) _. . ( ) χ χ χ χ µ 1 2 2 3 1 2 2 0 1 0 0 t t R B_{R J}K K t t _{R J}K t a a a    = − +            +         “18”

[ ]

y t t t ( ) . ( ) ( ) =     1 0 1 2 χ χ

Em função dos termos “K_m” e “T_m”, já definidos, a representação por espaço de estado, resulta:  ( )  ( ) . ( ) ( ) . ( ) χ χ χ χ µ 1 2 1 2 0 1 0 1 0 t t _T t t K_T t m m m    = −         +        

[ ]

y t t t ( ) . ( ) ( ) =     1 0 1 2 χ χ

O uso do controle eletrônico de servomotores CC, também conhecido como servo aciona-mento, melhora significamente a operação dos servomotores. A seguir é mostrado um diagrama de blocos de um servoacionamento para controle de velocidade de um servomotor CC.

χ1( )t =θ( )t

E_i→ referência de velocidade (volts); E0 → velocidade de saída (volts);

TN → sensor de velocidade.

O diagrama acima, representa o controle de velocidade de um servomotor CC. O servoacio-namento, transforma o erro entre a Velocidade de Referência e a Velocidade medida, num aumento ou diminuição da tensão que alimenta a armadura do servomotor.

A seguir é mostrado, um diagrama simplificado, para o controle de posição de um servomo-tor. O bloco K

S

a

, representa o ganho do servoacionamento K_a e o integrador 1 S.

Atualmente, através do uso de servoacionamentos incorpora-se ao sistema (servoaciona-mento + servomotor) duas malhas de controle de velocidade e posição, conforme mostrado abaixo.

4.5.1.2- GERADOR CC

O modelo básico do gerador CC, é mostrado a seguir:

As equações que regem este sistema são:

Equação de campo: ϑf t R if f t Lf f d dti t ( )= ( )+ ( ) “19” Equaçã Equação de Armadura: E t R i t L d dti t t a( )= a a( )+ a a( )+ ϑa( ) “20”

o de carga: ϑ_a( )t =Z i. ( )_a t “21”

Pela equação “5” temos que: E t K d t

dt

a( ) a. .

( )

= φ θ

Considerando-se que a velocidade do gerador é constante, e que pela equação “2” o fluxo no entreferro é diretamente proporcional a corrente de campo i_f(t), resulta:

E_a( )t = K i₄. ( )_f t “22”

Desta forma, as transformadas de Laplace das equações “19”, “20”, “21” e “22”, são dadas por: V s_f( ) =(R_f +L S I s_f. ). _f( ) “23” E s_a( )=K i s₄. ( )_f “24” I s R Z L SE s a a a a ( ) . ( ) = + + 1 “25” V s_a( ) =Z I s. _a( ) “26”

O diagrama de bloco para o sistema é mostrado abaixo:

A função de transferência entre Va(s) e Vf(s) é dada por:

V s V s K Z L S R L S R Z) a f f f a a ( ) ( ) . ( . )( . = + + + 4 “27”

Pela expressão acima, verifica-se que a carga “Z” afeta tanto a dinâmica do gerador como também a própria saída ϑ_a(t).

4.6- TRANSFORMADORES E ENGRENAGENS

Em um circuito elétrico, um transformador é um dispositivo de acoplamento magnético, cuja finalidade é transformar os níveis de tensão e corrente de um lado do acoplamento para o outro. Em nosso estudo todos os transformadores serão considerados ideais, sendo desta forma, a potência de entrada do mesmo igual a sua potência de saída. A seguir é mostrado o modelo de um transformador ideal. P t1( )=e1( ). ( )t i t1 P t2( )=e2( ). ( )t i2 t P t1( )=P t2( ) e e t t i t i t 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) =

Pela Lei de Faraday sabe-se que a tensão induzida em um bobina é diretamente proporcional a taxa de variação do fluxo magnético e ao número de espiras da bobina. Com isto, tem-se que:

e t N d t dt 1( ) 1 ( ) = φ e e t N d t dt 2( ) 2 ( ) = φ Portanto: e t e N t N 1 1 2 2 ( ) ( ) = e N N t t i t i t e e 1 2 1 2 2 1 = ( ) = ( ) ( ) ( )

A função da engrenagem em um sistema mecânico é a mesma, do transformador em um sis-tema elétrico, isto é, propiciar o acoplamento mecânico. Seja o acoplamento mecânico mostrado a seguir:

Em uma outra perspectiva, o sistema de engrenagens pode ser representado como mostrado abaixo. O produto entre o número de dente de uma engrenagem (N1) e o deslocamento angular desta

engrenagem (θ1), deve ser igual ao mesmo produto relativo a outra engrenagem. Portanto:

N₁.θ₁( )t =N₂.θ₂( )t ou N N t t 1 2 2 1 = θ_θ ( ) ( )

Já os torques T1(t) e T2(t) são diretamente proporcionais aos números de dentes das

engre-nagens. Portanto: N N T t T t 1 2 1 2 = ( ) ( )

Por outro lado, o número de dentes de uma engrenagem é diretamente proporcional ao raio (ou diâmetro) da engrenagem, isto é, N

N R R na 1 2 1 2 = = .

4.7- LINEARIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS NÃO-LINEARES

Conforme já foi comentado anteriormente, os modelos mais precisos de sistemas físicos são não-lineares. Entretanto, a transformação de Laplace não pode ser utilizada na solução de equações diferenciais não-lineares. Por isto, é necessário que seja introduzida uma técnica de linearização de sistemas não-lineares.

Onde:

T1(t), T2(t) → Torques;

θ1(t), θ2(t)→ Deslocamentos angulares;

Seja o sistema de um pêndulo mostrado abaixo:

L → comprimento do pêndulo; M → massa do pêndulo; f → força que atua no pêndulo; g → gravidade.

A equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo, é: L g d t dt t . ( ) sen ( ) 2 2 θ θ = −

Esta equação é não linear, devido a presença do termo sen θ(t). A característica não-linear para a função f(θ) = sen θ é mostrada abaixo.

O procedimento usual de linearização é substituir a característica da função por uma linha reta, o que fornece uma precisão razoável para uma pequena região de operação. Por exemplo, su-ponha que deseja-se linearizar a função f(θ) = sen θ em torno do ponto f(θ0). Através de expansão

em Série de Taylor, representa-se a função f(θ) em torno do ponto “θ0”, por:

f f df d d f d ( ) ( ) .( ) .( ) ! ... ( ) ( ) θ θ _θ θ θ _θ θ θ θ θ θ θ = + − + − + = = 0 0 0 2 2 0 0 2 2 “2”

Se a variação “θ - θ0” é pequena, os termos de maior grau podem ser desprezados na série de

Taylor. Isto resulta em:

f f df d ( ) ( ) . ( ) ( ) θ θ θ θ θ θ θ ≅ + − = 0 0 0 “3”

Seja portanto: f(θ) = sen θ. Com isto temos:

{

}

(

)

senθ=senθ0+ cosθ θ θ0 . − 0 “4”

Como, o pêndulo mostrado, opera na região em que θ =00, pode-se linearizar a fun-ção em torno do ponto θ₀ =00.

(

)

Substituindo “5” em “1”, resulta: L g d t dt t . ( ) ( ) 2 2 θ θ = − “6” ou ( ) ( ) θ t gθ L t + =0 “7”

Portanto, para linearizar uma função f ( )χ em torno do ponto “χ0”, deve-se⇒ expandir esta

função através de Série de Taylor, considerando-se desprezível os termos (θ − θ₀)n, ⇒para n > 1.

f f df

d

( )χ = (χ₀)+ ( )_χχ _{χ χ=} (χ χ− )

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