P. SAD. Porto, Novembro de 2002

Texto

(1)Introduça˜ o a` s Folheaço˜ es por Curvas em Superf´ıcies P. S AD Porto, Novembro de 2002. Estas notas pretendem apresentar ao leitor algumas propriedades básicas das folheaço˜ es holomorfas em dimensão complexa dois. Os pesquisadores mais conhecidos ligados ao tema (mais geralmente, folheaço˜ es holomorfas em dimensão qualquer) são: BriotBouquet, Darboux, Poincaré, Dulac (fins do século XIX até os anos 30 do século XX), Petrovski e Landis (anos 50), Ilyashenko, Moussu, Mattei, Cerveau, Malgrange,Ecalle, Martinet, Ramis, Camacho, Lins-Neto, Gomez-Mont, Ghys,... (anos 70 em diante). Os instrumentos utilizados foram essencialmente anal´ıticos (funço˜ es de várias variáveis complexas). Mais recentemente, a partir dos anos 90, McQuillan e Brunella introduziram no assunto técnicas de Geometria Algébrica. Na primeira seça˜ o examinaremos os tipos de singularidades que aparecerão na seqüeˆ ncia; a seça˜ o seguinte tratará de uma interessante aplicaça˜ o de técnicas complexas a um problema de natureza real. Nas restantes duas seço˜ es, veremos aspectos globais de folheaço˜ es no plano projetivo. Como referências gerais, podemos citar: 1. D. Cerveau e J.-F. Mattei, Formes Intégrables Holomorphes Singulières, Astérisque 97. 2. C. Camacho e P. Sad, Pontos Singulares de Equaço˜ es Diferenciais Anal´ıticas, Impa, 1991. 3. A. Lins Neto e B. Scardua, Folheaço˜ es Algébricas Complexas, Impa, 1997. 4. M. Brunella, Birational Geometry of Foliations, Impa, 1999. Este texto originou-se de um minicurso apresentado no Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto; o autor agradece a hospitalidade e interesse.. 1.

(2) Uma folheaça˜ o em um aberto U. . . . e´ definida por uma equaça˜ o diferencial. p x y. q x y. são funço˜ es holomorfas, Z x y

(3) onde p q : U p Z q Z . . dx dT dy dT. U eT.

(4) . . . Denotemos X Z. O Teorema de Existência e Unicidade de Soluço˜ es garante que, dados um ponto qualquer a b U e um compact K U , existem r 0 e uma u´ nica aplicaça˜ o holomorfa dψ ψ: r K U de modo que (i) ψ 0 Z Z para todo Z K e (ii) T Z dT X ψT Z . U , isto e´ , φ 0 Z0 Fixado Z0 U , existe então soluça˜ o holomorfa φ : r0 eφ T X φ T para todo T r0 (r0 depende de Z0 , e a soluça˜ o e´ u´ nica no disco r0 )). Os pontos onde X Z0 0 0 são as singularidades da folheaça˜ o; vamos supor sempre que o conjunto de singularidades e´ discreto. Os demais pontos são os pontos regulares. Uma folha e´ uma curva holomorfa, conexa e regular de U a qual localmente pode ser parametrizada como soluça˜ o da equaça˜ o diferencial; naturalmente todos seus pontos são regulares. Observe-se que a folheaça˜ o entendida como conjunto de folhas não se altera quando multiplicamos a equaça˜ o (??) por uma funça˜ o holomorfa que não se anula. Portanto, e´ mais natural encarar a folheaça˜ o como definida pelas soluço˜ es da equaça˜ o de Pfaff.

(5) . .

(6). . . .

(7). . . . . ω. q x y dx p x y dy 0 . Vamos adotar este ponto de vista a maior parte das vezes. Dado um ponto regular a b U , existe sempre, como conseqüeˆ ncia do Teorema acima, um difeomorfismo local h definido numa vizinhança de a b de modo que h ω x y g x y dy, onde g e´ funça˜ o holomorfa definida em torno de a b e que não se anula. Segue-se que, módulo um difeomorfismo holomorfo, a folheaça˜ o em torno de um ponto regular e´ dada por dy 0; vamos nos referir a esta propriedade como trivialidade local em pontos regulares. Em geral, uma folheaça˜ o em uma superf´ıcie complexa S consiste em (i) uma cobertura U Uα por cartas locais e uma coleça˜ o de 1-formas diferenciais ωα definidas nestas cartas e (ii) uma coleça˜ o de funço˜ es holomorfas não nulas f αβ definidas em Uα Uβ (sempre que a interseça˜ o e´ não vazia) de modo que ωα fαβ ωβ . Como fizemos antes,.

(8). . . . . . !. . 2. ! ! . ".

(9) supomos que as singularidades são pontos isolados de S. Uma folha e´ uma curva holomorfa que em cada aberto Uα e´ soluça˜ o de ωα 0. Observe-se que a condiça˜ o (ii) implica que as soluço˜ es se ”colam” nas interseço˜ es dos abertos. Para comparar duas folheaço˜ es, temos a noça˜ o de equivalência holomorfa. Sejam F e G folheaço˜ es em abertos U e V da superf´ıcie S. Diremos que elas são equivalentes se existe um difeomorfismo holomorfo entre U e V que leva folhas de F em folhas de G (portanto, em particular, singularidades são levadas em singularidades).. . 1 Singularidades Reduzidas Dedicamos esta seça˜ o ao estudo de alguns tipos de singularidades que aparecem com freqüeˆ ncia: aquelas hiperbólicas e aquelas no dom´ınio de Siegel. Elas fazem parte de uma classe mais ampla, as singularidades reduzidas. Definamos a folheaça˜ o singular por meio de uma equaça˜ o diferencial. #. u˙1 u˙2. . $ . $ % . . λ1 u 1 φ 1 u 1 u 2 λ2 u 2 φ 2 u 1 u 2. (1). . onde os autovalores λ1 e λ2 são não nulos e as funço˜ es φ1 e φ2 se anulam em 0 0 em ordem pelo menos 2. Quando o quociente λ1 λ2 , dizemos que a singularidade e´ hiperbólica; ela estará no dom´ınio de Siegel quando o mesmo quociente pertencer a . Para o caso hiperbólico, temos o teorema seguinte devido a Poincaré:. &

(10) (& '. '). . Teorema 1. Suponhamos que 0 0 seja singularidade hiperbólica. Existe então um u´ nico difeomorfismo holomorfo ξ, definido numa vizinhança de (0,0) e satisfazendo ξ 0 0 Id, que transforma a equaça˜ o (??) em. * . #. x˙1 x˙2. . . λ1 x 1 λ2 x 2. . (2). Prova. Vamos procurar uma mudança de coordenadas ξ dada por. #. u˙1 u˙2. xx $ $ ξξ xx xx 1. 1. 1. 2. 2. 2. 1. 2. + +, λ x $ ξ $ φ x $ ξ x $ ξ λ x $ ξ $ φ x $ ξ x $ ξ. . (3). %. onde ξ j ∑ Q 2 ξ jQ xQ , j 1 2, são funço˜ es holomorfas (Q q 1 q 2 xQ : Derivando (??) em relaça˜ o ao tempo e substituindo (??) e (??) obtemos 1. 2. 1. 2. 1. 2. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 2. 3. λ1 x 1 λ2 x 2. $. $. . $. $. ∂ξ1 λ1 x 1 ∂x1 ∂ξ2 λ1 x 1 ∂x1. . . . ∂ξ1 λ2 x 2 ∂x2 ∂ξ2 λ2 x 2 ∂x2. . . q. q. x 11 x 22 ). (4).

(11) Finalmente, desenvolvendo em séries as derivadas parciais, chegamos a. #. (5) -- λλ qq $$ λλ qq. !! ξξ xx φφ xx $$ ξξ xx $$ ξξ. q q , e suponhamos que os coeficientes ξ j 1 2 tenConsideremos algum Q ham já sido determinados para todo Q satisfazendo Q ./ Q (com ξ* 0 0. Id). Do lado esquerdo em (??), ξ aparece multiplicado por λ 0 λ q $ λ q ! (os quais não se anulam para j 1 2) compondo os coeficientes de x . Do lado direito, o monômio x tem os seus coeficientes envolvendo ξ j 1 2 somente para Q 1 Q . Segue-se ∑ Q λ1 ∑ Q λ2. 1 1. 2 2. 1 1. 0. 0 1. Q. 1Q. 2 2. Q. 2Q. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 1. 1. 2. 2. 0 2. jQ. 0. 0 1 1. j Q0. jQ0. Q0. 0 2 2. 0. jQ. que podemos determinar ξ jQ0 , e este processo indutivo mostra como encontrar a mudança de coordenadas formal (??) que transforma (??) em (??). Faremos agora algumas majoraço˜ es para provar a convergência das séries obtidas. Sejam t j x j j 1 2 e a série θ t1 t2 : ∑ θQ t Q associada a` série formal θ x1 x2 : q q σQ Q. Nosso objetivo ∑ θQ xQ (como acima, t Q t1 1 t2 2 ). Escrevemos ν σ se νQ e´ provar que ξ1 ξ2 e´ uma série convergente. Observemos inicialmente que existe a tal que. 2 3 $ 3. 3 3 4 3 657 98

(12) :' 8 Q λ - λ q $ λ q ;=< a 0 j 1 2 j. 1 1. . (6). 2 2. Portanto, de (??) obtemos. 3ξ $ 3ξ > t t ?4 a ) 3φ $ 3φ >@ t $ 3ξ $ 3ξ > t t t $ 3ξ $ 3ξ > t t BAC Vemos que 3 ξ $ 3 ξ ?4 H, onde H e´ a u´ nica soluça˜ o anal´ıtica real de h t t. F t $ h t t % t $ h t t 9. que satisfaz h t t. 0 (F a ) 3φ $ 3φ ). A existência e unicidade da soluça˜ o está 1. 2. 1. 1 2. 1. 1. 2. 1. 1. 2. 1 2. 2. 1. 2. 1 2. 2. 1 2. 1. 1. 1 2. 1. 1 2. 2. 1 2. 2. garantida pelo teorema das funço˜ es impl´ıcitas. Segue-se que ξ 1 e ξ2 são convergentes.. Corolário 2. Duas folheaço˜ es com singularidades hiperbólicas são holomorficamente equivalentes em vizinhanças destas singularidades quando os quocientes de autovalores são os mesmos. Podemos ter então uma idéia da topologia das folhas próximas da singularidade hiperbólica analisando o caso linear (??). As soluço˜ es da equaça˜ o diferencial são dadas por. #. x 0 e y 0 e λ1 T. xT yT. λ2 T. 4.

(13)

(14) . .

(15) . onde T . Façamos T αt para α fixado e t reais dentro do fluxo complexo. Temos então. #.

(16) D'. , isto e´ , vamos considerar fluxos. x T ; x 0 ; eR y T ; y 0 ; eR de modo que se α satisfaz R eλ α 0 e R eλ α 0 (o que e´ poss´ıvel devido a` hiperbolicidade) temos x t ;E 0 e y t ; 0 quando t ∞; em particular, as folhas cortam transversalmente as variedades reais tridimensionais dadas por x constante. Observe mos que os eixos horizontal e vertical, sem a origem, são soluço˜ es; examinemos como eλ1 αt. eλ2 αt. 1. 2. as folhas se comportam em relaça˜ o a eles. Por exemplo, tomemos o eixo horizontal, e escolhamos α de modo que λ1 α i:. # x t. x 0 e y t. y 0 e. it λ2 λ1 it. GF y 2π e´ chamada aplicaça˜ o de holonomia da folha horizontal, e as suI definem o modo de aproximaça˜ o das folhas em cessivas imagens y 2πm. y 0 e H e´ um atrator (ou repulsor) relaça˜ o a` horizontal. Como R e i KJ 0, concluimos que 0

(17) hiperbólico. Uma visão mais completa e´ obtida cortando a folheaça˜ o por uma esfera real x $ y R em torno de 0 0 . As interseço˜ es das folhas (que possuem dimensão real 2) definem um campo de linhas do tipo polo norte-polo sul, onde as duas curvas fechadas correspondem a` s interseço˜ es com as retas horizontal e vertical; a aplicaça˜ o y 0 LF y 2π. A aplicaça˜ o y 0. λ. 2iπ λ2 m 1. λ2 λ1. 2. 2. 2. e sua correspondente para a reta vertical são conjugadas a` s aplicaço˜ es de Poincaré das curvas fechadas na esfera. As demais linhas possuem estas curvas como conjuntos limites. Voltemos então ao processo de linearizaça˜ o apresentado na prova do Teorema 1. Observemos que a linearizaça˜ o formal (primeira parte da demonstraça˜ o) se aplica mais geralmente na ausência de ressonâncias, isto e´ , quando algum dos autovalores se escreve como q1 λ1 q2 λ2 para um par de inteiros positivos q1 q2 tais que q1 q2 2. Não há ressonâncias quando λ1 λ2 . Se o quociente e´ irracional positivo, temos ainda a estimativa (??), de modo que o restante da demonstraça˜ o anterior se aplica e obtemos a linearizaça˜ o. ) e não ressonâncias No dom´ınio de Siegel convivem ressonâncias (quando λ1 λ2 com pequenos denominadores, isto e´ , por ser o quociente de autovalores irracional negativo, o ´ınfimo para os módulos em (??) e´ 0. Ocorrem situaço˜ es não linearizáveis, porém raramente (em certo sentido...). Mas algo muito importante pode ser dito:. $. &

(18) D'NMPO. $. &

(19) QO ). 5. <.

(20) Teorema 3 (Briot-Bouquet). Suponhamos que a singularidade da equaça˜ o (??) esteja no dom´ınio de Siegel. Existe então uma mudança de coordenadas holomorfa que transforma (??) em x˙1 λ1 x1 x1 x2 γ1 x1 x2 (7) x˙2 λ2 x2 x1 x2 γ2 x1 x2. #. . $ onde γ γ são funço˜ es holomorfas numa vizinhança de 0 0 . 1. $. . 2. #. Prova. Escrevamos inicialmente x˙1 x˙2. . . . . $. λ1 x 1 ψ 1 x 1 x 2 λ2 x 2 ψ 2 x 1 x 2. $. (8). obtido após aplicaça˜ o da mudança de coordenadas (??). Cálculos análogos a` queles feitos na prova do Teorema de Poincaré levam a ∂ξ ∂ξ ψ ψ q λ $ q λ λ ξ x φ x $ ξ x $ ξ G (9) ∂x ∂x + +, para j 1 2. Procedemos novamente por induça˜ o para obter os coeficientes de ξ e ψ para j 1 2. Tomemos Q q q e suponhamos conhecidos os coeficientes para todo Q satis fazendo 2 5R Q 65S Q . Denotemos por x x o ideal gerado pela funça˜ o x x . 1. Se x

(21) & x x , fazemos ψ 0 e calculamos ξ , o que pode ser feito pois tanto q λ λ quanto q λ λ não se anulam. 2. Se x

(22) - x x , fazemos ξ 0 e calculamos ψ . Observemos que os coefi-. ∑. Q. 1 1. 2 2. j. jQ. j. Q. j. 1. 1. 2. j. 1. 2. 2. j. 0. 0 1. Q0. 1 2. 1 2. 0 1 1. j. 0 2. 0. Q0. 2. 1. 2. j. 1 2. jQ0. 0 2 2. 1 2. jQ0. j. jQ0. jQ0. cientes de ξ j envolvidos neste cálculo provenientes dos segundos membros de (??) são do tipo ξ jQ para Q Q0 .. =7 . Deste modo obtemos as séries formais. Quanto a` convergência a argumentaça˜ o e´ análogo a` quela do Teorema de Poincaré, pois existe cota inferior positiva para os números q 01 λ1 λ j e q02 λ2 λ j .. . . Como corolário, vemos que passam pela singularidade, de forma transversal, duas curvas lisas - as suas separatrizes- que são folhas unidas a` singularidade. Já hav´ıamos observado esta propriedade no caso hiperbólico. A cada uma das separatrizes (de fato a` s folhas regulares contidas nelas, mas cometeremos sempre um abuso de linguagem) está associada sua aplicaça˜ o de holonomia. Vamos descrever uma delas, associada a` separatriz horizontal. 6.

(23) O cálculo seguinte e´ um pouco mais geral, podendo ser aplicado a qualquer singularidade que possua uma separatriz lisa; as coordenadas são escolhidas de modo que ela seja dada por y 0. A equaça˜ o diferencial e´. . . q x y dy. . . 0. yp x y dx. onde p x y e q x y são funço˜ es holomorfas definidas numa vizinhança da origem, com q00 0; observe-se a presença do fator y, o que corresponde naturalmente a` existência da separatriz horizontal. Levantemos então o caminho x t aeit , yt 0 para as folhas vizinhas da folha horizontal; se fazemos isso a partir do ponto a y0 e seguimos o levantamento para 0 t 2π, obtemos um caminho x t y 0 t descrito pela equaça˜ o y0 t p aeit y0 t y0 t q aeit y0 t. . T. . . . 5 5 . . Escrevamos y0 t ∑∞j 0 a j t y0 , o que e´ poss´ıvel devido ao teorema de existência e unicidade de soluço˜ es (a série e´ uniformemente convergente em 0 t 2π y0 δ . Substituindo na equaça˜ o anterior, podemos obter a equaça˜ o diferencial para a j t comj parando os coeficientes de y0 em ambos os lados. Estamos particularmente interessados em a1 t . O procedimento descrito leva a. . j. 5 5. ! 15 ! . a 0 eU H V IXW H V I V V a 2π. e R Y H XI W H I[Z . a1 t Segue-se que. 1. t is 0 iae p. aeis 0 q aeis 0. 2iπ es0 p x 0 q x 0. 1. e portanto o termo linear da aplicaça˜ o de holonomia e´ y0. F. . µy0 µ. e2iπR es0. Y H V XI W H V I\Z p x0 q x0. Voltaremos mais tarde a este número, denominado indice da folheaça˜ o em relaça˜ o a` separatriz. Em particular, no caso de (??), obtemos µ e2iπλ2 λ1 . Se a singularidade está no dom´ınio de Siegel (e usando as coordenadas garantidas pelo Teorema 3), temos então o seguinte quadro:. . W. 1. a aplicaça˜ o de holonomia da separatriz horizontal,definida numa transversal passando por r 0 , e´ do tipo y µy , com µ 1.. . F. $ 2. o fluxo real obtido fazendo T t & λ t < 0 tem parte linear com autovalores 1 e λ & λ , de modo que obtemos uma sela hiperbólica cujas variedades estável 1. 2. 1. e instável são as separatrizes horizontal e vertical, respectivamente. Não existe nenhum fluxo real mergulhado no fluxo complexo tendo a origem como atrator hiperbólico, como na situaça˜ o do Teorema 1. 7.

(24) Decidir sobre equivalência holomorfa torna-se mais complicado. Consideremos então duas folheaço˜ es singulares F e G no dom´ınio de Siegel com o mesmo quociente de autovalores. Fixemos seça˜ o transversal Σ a y0 δ a` s separatrizes horizontais. Sejam f e g as aplicaço˜ es de holonomia de F e G em relaça˜ o a` s horizontais. Diremos que elas são aplicaço˜ es conjugadas se existe um difeomorfismo holomorfo ϕ de Σ satisfazendo 0 e g ϕ ϕ f. ϕ0. R ! ; !. . ] ]. Teorema 4 (Mattei-Moussu). Na situaça˜ o descrita acima, se f e g são conjugadas então F e G são equivalentes.. .

(25). Prova. Consideremos a fam´ılia Σθ de verticais passando pelos pontos aeiθ 0 θ 0 2π . Usando a trivialidade local das folheaço˜ es ao longo de pequenos arcos nos c´ırculos de raio a , transportamos o difeomorfismo ϕ a todas as seço˜ es Σθ ; denotemos por ϕθ o difeomorfismo holomorfo obtido em Σθ . Mais precisamente, indiquemos por lθ a aplicaça˜ o de Σ em Σθ obtida levantando-se a` s folhas de F o arco aeiθ 0 ; analogamente definimos l¯ ¸ o˜ es são holomorfas como consequência da trivialiθ para G . Estas aplicac dade local usada sucessivamente para pequenos arcos contidos em ae iθ 0 . Definamos 1 ϕθ : l¯ f e que l¯ g, de modo que g ϕ ϕ h 2π θ ϕ lθ . Observemos que l2π implica ϕ2π ϕ. A seguir, transportamos da mesma maneira o difeomorfismo ϕ a` s demais seço˜ es verticais substituindo os arcos anteriores pelos raios Ae t , onde A e´ um ponto qualquer do c´ırculo de raio a ; somente não atingimos as separatrizes verticais. Esta construça˜ o produz então uma equivalência holomorfa Id Φ entre as folheaço˜ es definida numa vizinhança da origem exceto pela separatriz vertical. Devemos então tratar de estendêla. Para isso, provemos que Φ e´ limitada; isso e´ bastante pelo Teorema de Remoça˜ o de Singularidades de Riemann (ver R. Gunning, Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, vol.1, pg.30). Vamos utilizar o caráter de sela hiperbólica do fluxo real que introduzimos antes do enunciado do Teorema 3. De fato, e´ este fluxo que estamos utilizando para estender ϕ ao longo dos raios. Utilizemos mais uma vez as coordenadas dadas pelo Teorema 3; para simplificar, elas serão x y para F e x z para G . Observemos inicialmente que o levantamento do um caminho radial x1 t Ae t ao longo das folhas de F possui coordenada y t satisfazendo (c e´ o quociente de autovalores). @ A. . . . ] ] ) . . . ). . . . . ) . y t ^ 1 $ U x t y t _. y t. c x t. x t. onde U x y e´ holomorfa numa vizinhança de 0 0 . Segue-se que y t. c y t > 1 $ U x t y t 9 8. . . . ] ].

(26) Como. ; <. d yt 2 dt concluimos que (pois t. 2 c ` y t ; R e 1 $ U x t y t 9 a. 2R e ¯y t y t 0). 2. 6 5 [ $. d log y t 2 2 c 1 b dt para uma constante b pequena. Finalmente chegamos a. y t ;^57 y 0 ; e + + H b I Se cálculos análogos fossem executados com t < 0 porém com x t. Ae , concluir´ıamos que z 0 ;5R z t 6 e H b I para a folheaça˜ o G . Podemos estimar Φ pois Φ y t . z t (e z 0. Φ y 0 9 ϕ y 0 9 . Existe k 0+ +deb modo que y 0 6+ =+ b k z 0 ; , de modo que y t ;57 y 0 ; e H I 5 k z 0 ; e H I 2c 1 bt. t. 2c 1 b t. 2c 1 bt. Finalmente. 2c 1 bt. y t ;>5 k z t ; e H b I e + + H b I 5 k z t ;c 2c 1 b t 2 c 1 b t. Portanto Φ se estende a` separatriz vertical. Vemos então que a classificaça˜ o anal´ıtica das singularidades no dom´ınio de Siegel depende da classificaça˜ o das aplicaço˜ es do tipo y µy , com µ 1. Em particular, a folheaça˜ o e´ equivalente a` sua parte linear quando a aplicaça˜ o de holonomia de uma de suas separatrizes for linearizável. Dois casos distintos se apresentam: 1) µ não e´ raiz da unidade: a condiça˜ o necessária e suficiente para linearizaça˜ o pode ser estudada nos trabalhos de Bjruno e Yoccoz (ver [Pe]); 2) µ e´ raiz da unidade: o leitor pode consultar os trabalhos de Martinet e Ramis, contendo a classificaça˜ o completa (ver [MR]). Antes de encerrar esta seça˜ o, devemos mencionar que as singularidades reduzidas constituem uma classe maior do que aquelas examinadas anteriormente. Sejam novamente λ1 e λ2 os autovalores da parte linear da singularidade. Dizemos que ela e´ reduzida se. F. &

(27) & O ¯b. 1. o quociente λ1 λ2. $ 9. . ou. 2. um dos autovalores e´ nulo e o outro distinto de 0. Este u´ ltimo tipo e´ a sela-nó, extensivamente estudada em [MR1]. A importância das singularidades reduzidas aparece no processo denominado reduç a˜ o de uma singularidade. Por mais complicada que ela seja, uma sucessão conveniente de explosões conduz a um divisor (que será uma união de curvas lisas racionais) contendo somente singularidades reduzidas. O leitor pode consultar o livro-referência 2 para maiores informaço˜ es. 9.

(28) 2 O Teorema de Poincaré-Liapunov Veremos nesta seça˜ o como utilizar métodos de natureza complexa para demonstrar um teorema sobre centros reais. Consideremos uma equaça˜ o de Pfaff anal´ıtica real (10) a x y dx $ b x y dy 0 definida numa vizinhança de 0 0 d

(29) (' cujas soluço˜ es são todas curvas fechadas em ω. 2. torno deste ponto. Este tipo de singularidade denomina-se centro; diremos que o centro e´ não degenerado se a parte linear da equaça˜ o e´ não degenerada, isto e´ , existem coordenadas anal´ıticas de modo que a parte linear da 1-forma ω se escreve como ω 0 a xdx ydy para algum a 0. Temos então o seguite. . J. $. Teorema 5 (Poincaré-Liapunov). Se o centro (??) e´ não degenerado, existe uma funça˜ o anal´ıtica real h x y x 2 y2 definida em torno de 0 0 de modo que as curvas integrais são as suas curvas de n´ıvel.. . $ . $. . Vamos nos referir a` funça˜ o h como uma integral primeira para (??). A prova que apresentaremos se deve a R. Moussu (ver [Mo]). A idéia básica consiste em encarar a equaça˜ o (??) como uma equaça˜ o de Pfaff em 2 . Sejam j k j k axy ∑ j k a jk x y e b x y ∑ j k b jk x y as séries de potências das funço˜ es a e b em torno de 0 0 , ambas convergentes em x r y r. Definimos j k j k A X Y : ∑ j k a jk X Y e B X Y : ∑ j k b jk X Y para X e Y em , com normas X r Y r, e Ω A X Y dX B X Y dY 0 (11). V . V f 6. V e ^ e V $ . . 6. $. . Mostraremos que (??) e´ equivalente a` folheaça˜ o linear definida por X dX Y dY 0. Precisaremos antes introduzir o conceito de explosa˜ o de uma folheaça˜ o em um ponto, e depois descrever o grupo de holonomia de uma folha, noça˜ o esta utilizada há pouco no Teorema 4. A explosão de 2 em 0 0 consiste em criar uma nova superf´ıcie complexa ao substituir o ponto 0 0 pelo conjunto de direço˜ es complexas neste ponto (o qual e´ isomorfo a ¯, a esfera de Riemann). Formalmente procedemos do seguinte modo: consideramos duas cópias de 2 , com coordenadas X t e u Y , e identificamos X t no aberto U : t 0 uY com u Y no aberto V : u 0 por meio do difeomorfismo holomorfo X t t 1 tX . O quociente e´ uma superf´ıcie 2 complexa, com uma curva holomorfa mergul2 e u Y 2 com a mudanc hada D ¯: temos duas cartas coordenadas X t ¸ a de coordenadas entre U e V dada pelo difeomorfismo e o divisor por X 0 ou Y 0. Além 2 definida em coordenadas por π X t disso, existe uma aplicaça˜ o holomorfa π : 2. . . ) h. . . . J. . . g L

(30) g 10. . ?

(31) . . J aF . . .

(32) X tX e π u Y uY Y ; tem-se que π e´ difeomorfismo holomorfo entre g M D e M 0 0 ! , e π D 0 0 . Vê-se facilmente que a mesma construçaõ pode ser feita em qualquer superf´ıcie, ao invés de . Consideremos agora uma superf´ıcie S com uma folheaça˜ o F ; fixemos p

(33) S, e denotemos por π a aplicaça˜ o associada a` explosão S3 de S em p, D π ) 0 0 ! . Em S3 M D pode mos tomar a folheaça˜ o pull-back de F , denotada por π F , cujas folhas são as imagens 2. 2. 2. 1. inversas por π das folhas de F . Um cálculo simples, que faremos a seguir diretamente para a folheaça˜ o definida em (??), mostra que podemos estender π F holomorficamente a uma folheaça˜ o F definida em todo S, incluindo o divisor D. Escrevamos (??) em uma vizinhança U de 0 0 como. 3. . 3. . X dX $ Y dY $ a X Y dX $ b X Y dY 0 onde a e b possuem multiplicidade algébrica pelo menos 2 em 0 0 . No sistema de coordenadas X t para g , obtemos X 1 $ t dX $ tX dt $ X ) @` a X tX $ tb X tX dX $ b X tX dt A ! 0 como expressão para π F fora de D. No outro sistema de coordenadas obtemos por 2. 1. 2. cálculo análogo. $ Y ) @i b uY Y $ ua uY Y dY $ a uY Y duA ! Portanto, podemos estender π F para D (com singularidades isoladas) como Ω 1 $ t dX $ tX dt $ X ) a X tX $ tb X tX dX $ b X tX dt 1 $ u dY $ 2. Y. uY du. 2. 1. 1. 0. 1. 0. num sistema de coordenadas e. $ Y ) b uY Y $ ua uY Y dY $ a uY Y du 0 t ) tX u Y , de no outro sistema. Observe-se que h Ω t ) Ω para H X t. modo que realmente temos uma folheaça˜ o de U 3 segundo o conceito introduzido no in´ıcio destas notas. Além disso, o divisor D e´ invariante, isto e´ , composto por singularidades e uma folha. De fato, temos duas singularidades, nos pontos p X 0 t i e p X 0 t i . As partes lineares de Ω e Ω nestes pontos podem ser calculadas fazendo-se t t $ i e t t i respectivamente. Obtemos a expressão 2t dX $ X dt 0, de modo que tanto p quanto p são singularidades ressonantes no dom´ınio de Siegel. Cada uma Ω2. 1 $ u dY $ 2. 1. uY du. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 2. 2. delas possui uma separatriz transversal a D (as quais se projetam via π nas separatrizes s 1 e s2 de 0 0 ), estando as outras separatrizes contidas no divisor D.. . 11.

(34) M !. Passemos agora a discutir o grupo de holonomia da folha D p1 p2 . Devido a` importância deste conceito, vamos fazê-lo num contexto mais geral, e ao fim retornaremos a` situaça˜ o presente. Consideremos então uma folha L de uma folheaça˜ o qualquer por curvas holomorfas. Fixemos um ponto p L e uma seça˜ o transversal Σ a L. A cada caminho fechado γ L com in´ıcio e fim em p associamos o difeomorfismo local Tγ de Σ, definido num aberto contendo p, como se segue: dado q Σ, levantamos γ ao caminho começando em q e contido na folha por q; então Tγ q Σ e´ o ponto final deste caminho. Observese que, a exemplo do ocorrido na prova do Teorema 4, precisamos utilizar a trivialidade local da folheaça˜ o ao longo de pequenos arcos do caminho γ para efetuar o levantamento mencionado. A aplicaça˜ o Tγ e´ holomorfa e satisfaz Tγ p p. O fato fundamental diz respeito a` s deformaço˜ es de γ. Seja δ outro caminho fechado com in´ıcio e fim em p obtido deformando-se continuamente γ (sempre mantendo p como ponto inicial e final). Ora, se δ está muito próximo de γ (como caminhos parametrizados), vemos ainda pela trivialidade local que Tγ e Tδ coincidem num aberto contendo p (provavelmente contido na interseça˜ o dos abertos onde as aplicaço˜ es estão definidas). Agora, a deformaça˜ o de γ a δ pode ser quebrada em uma seqüeˆ ncia de pequenas deformaço˜ es, de modo que podemos continuar garantindo que Tγ Tδ num aberto contendo p. Temos assim definida um homomorfismo do grupo fundamental de L, com ponto base p, no pseudogrupo de difeomorfismos holomorfos de Σ que fixam p. Nós utilizamos a palavra pseudogrupo devido a` necessidade de se diminuir abertos em torno de p para compor aplicaço˜ es ou tomar inversas. A imagem do homomorfismo e´ o grupo de holonomia de F relativo a L. De fato, esta imagem depende do par Σ p ; porém quaisquer mudanças neste par levam a grupos conjugados holomorficamente ao original (novamente conseqüeˆ ncia da trivialidade local), de modo que muitas vezes faremos referência apenas ao grupo de holonomia da folha. Estudar a dinâmica do grupo de holonomia de uma folha corresponde a analisar como as folhas próximas se acumulam nela. Temos assim uma espécie de aplicaça˜ o de retorno de Poincaré, motivada pelo caso de o´ rbitas fechadas de campos de vetores reais. Retornemos agora a` folheaça˜ o F que nos interessa. A folha L D p1 p2 , e o seu grupo fundamental e´ isomorfo a , portanto o grupo de holonomia de L possui apenas um gerador. De fato, este gerador e´ conjugado a qualquer uma das aplicaço˜ es de holonomia de F relativa a` s separatrizes de p1 p2 contidas em D: estamos de volta ao contexto do Teorema 4! Precisamos obter informaço˜ es sobre estas aplicaço˜ es, e da´ı informaço˜ es sobre as aplicaço˜ es de holonomia de s1 e s2 ..

(35). K

(36).

(37). . . j. . . k. 3. 3. M !. ' .

(38) ) '. 2 implica naturalmente na inclus˜ Prova do Teorema 5. A inclusão 2 ao π 1 2 2 ; a intersec ¸ a˜ o π 1 2 D e´ descrita tanto em termos da coordenada t como na coordenada u por t ou u , portanto temos um c´ırculo C contido em D. Em. 3.

(39) ) l ' m

(40) " '.

(41) N'. 12.

(42) cada uma das regiões limitadas por ele encontramos uma das singularidades, de modo que podemos estudar o gerador TC do grupo de holonomia de D p1 p2 a partir deste caminho (com ponto inicial e final em X t 00 D). Consideremos as seço˜ es transversais Σs X s ;X s passando pelos pontos X 0 t s D. Podemos acrescentar a esta fam´ılia a seça˜ o Σ∞ 0 Y ;Y passando por u 0 Y 0 . Trata-se de uma variedade W real tridimensional, lisa, cortando transversalmente o divisor D ao longo de C. Quando definimos os levantamentos de C ao longo das folhas, podemos tomá-los todos contidos em W . Dentro de W temos a subvariedade W real, bidimensional, a qual conterá todos os levantamentos a partir dos pontos x 0 ; x . Estes levantamentos são as imagens inversas por π das curvas integrais do centro dado por (??). A observaça˜ o chave agora consiste reconhecer que tanto x 0 quanto x 0 , para x pertencem a` seça˜ o Σ0 , de modo que TC TC x 0 x 0 sempre que x . Logo, TC possui per´ıodo 2 quando restrita aos pontos x 0 Σ0 com x . Sendo TC aplicaça˜ o holomorfa, concluimos que TC possui per´ıodo 2. Uma aplicaça˜ o holomorfa f z , definida numa vizinhança de 0 , tendo 0 como ponto fixo e per´ıodo k N e´ conjugada a` sua parte linear l z f 0 z. Por exemplo, no 1 z f z como a conjugaça˜ o caso que nos interessa, k 2, e podemos tomar A z 2 entre f z e l z z. O leitor poderá facilmente tratar a situaça˜ o geral. Segue-se que TC e´ linearizável, e pelo Teorema 4, concluimos que as singularidades p 1 e p2 são equivalentes a` s suas partes lineares 2t dX X dt 0. Deduzimos finalmente que as aplicaço˜ es de holonomia das separatrizes s1 e s2 são iguais a` Identidade (bastava uma delas), e assim F e´ equivalente por meio de um difeomorfismo Ψ a` sua parte linear X dX Y dY 0, 1 2 cujas folhas são descritas por v X Y X Y 2 . Segue-se que a integral primeira 2 procurada para (??) será v Ψ e para a equaça˜ o (??), h R e v Ψ .. d

(43)

(44) o

(45) ' !

(46) ! n n. M ! p

(47) . q.

(48) r'.

(49) N'.

(50). . . . . . . ]. $. . .

(51) m

(52) '

(53) * . . $. . $. _ .

(54) N'. ]. . Um centro real degenerado pode não ter uma integral primeira anal´ıtica; o leitor encontrará exemplos em [Mo]. Existem também sobre o tema outros belos trabalhos, como por exemplo [MB].. 3 Folheaço˜ es de Darboux Nesta seça˜ o e na seguinte veremos aspectos globais do estudo de folheaço˜ es no plano projetivo. Quando demonstramos o teorema de Poincaré-Liapunov, pudemos perceber a importância da análise do grupo de holonomia de uma folha com fecho compacto. Isso se passa sempre quando encontramos uma curva holomorfa compacta invariante, isto e´ , uma folha regular cujo fecho obtém-se acrescentando um número finito de singularidades da 13.

(55) folheaça˜ o. O grupo fundamental desta folha consiste do grupo da curva compacta acrescentado de caminhos em torno das singularidades, portanto finitamente gerado. Segue-se o mesmo para o grupo de holonomia da folha, e seu estudo será determinante se quisermos conhecer globalmente a folheaça˜ o. Nesta seça˜ o encontraremos o caso mais simples poss´ıvel, em que o grupo de holonomia e´ abeliano. Comecemos por algumas definiço˜ es e propriedades de folheaço˜ es no plano projetivo. Lembremos inicialmente que o conjunto P 1 de retas contidas em 2 passando pela origem e´ exatamente a esfera de Riemann ¯. O plano projetivo P 2 e´ o conjunto das retas complexas de 3 que passam por 0 0 0 ; seja π a projeça˜ o canônica de 3 0 0 0 em P 2 . Podemos usar 3 sistemas de coordenadas para cobrir P 2 . Denotemos por X0 X1 X2 os pontos de 3 , e por U j j 0 1 2, o plano projetivo subtraido de L j X j 0 . As cartas coordenadas (ou seja, as expressões para π nos abertos) serão dadas por:. . M ! . . s ! . 2. π X X X. 3. π X X X. 1. π0 X0 X1 X2 1. 0. 1. 2. 2. 0. 1. 2. . . . 0. 2. 0. 0. 1. 2. 1. 0. 2. 1. 2. . . . X & X X & X. X & X X & X. X & X X & X. 1. . . . . A imagem por π de qualquer plano complexo bidimensional em P 2 será denomi2 e P 2 nada reta projetiva (naturalmente difeomorfa a P 1 ); como π U j U j L j podemos encarar P 2 como a compatificaça˜ o de 2 acrescentando-se uma reta projetiva - a reta no infinito. Se ao invés de um plano tivermos uma superf´ıcie S de P 2 definida por uma equaça˜ o P X0 X1 X2 0, onde P e´ um polinômio homogêneo de grau k, então π S será uma curva plana projetiva C de grau k. Se designarmos x X1 X0 y X2 X0 , vemos que C L j e´ definida na carta U0 pela equaça˜ o pxy P 1 X1 X0 X2 X0 0 (agora, p não e´ mais um polinômio homogêneo). Obviamente o mesmo pode ser feito nas demais cartas coordenadas. Uma folheaça˜ o em P 2 de grau k e´ definida por uma equaça˜ o de Pfaff. t. . . . & & & & . . . M. . . $ P X X X dX $ P X X X dX 0 onde os polinômios P j 0 1 2 são homogêneos de grau k $ 1, satisfazem 0 e possuem um número finito de retas passando por 0 0 0 como ∑ XPX X X. conjuntos comuns de zeros. Para ver que esta definiça˜ o coincide com aquela que estamos Ω. . P0 X0 X1 X2 dX0. 1. 0. 1. 2. 1. 2. 0. 1. 2. 2. j. j. j j. 0. 1. 2. utilizando, vamos introduzir as notaço˜ es seguintes: 1. u. . & . X0 X1 v. &. X2 X1 e s. . & . X0 X2 t. &. X1 X2 (coordenadas para U1 e U2 ). 14.

(56) . u ) vu) (mudança de coordenadas entre U e U ); analoga ϕ s t e u v ϕ s t . 3. ω P 1 x y d x $ P 1 x y d y. 4. ω P u 1 v d u $ P u 1 v d v. 5. ω P s t 1 d s $ P s t 1 d t. u ) H b I ω ϕ ω t ) H b I ω e ϕ ω y ) H b I ω , de modo Temos então que ϕ ω que temos realmente definida uma folheaça˜ o F em P 2 por meio das equaço˜ es de Pfaff 0 j 0 1 2 (a condiça˜ o sobre os zeros comuns de P P e P implica em um número ω finito de singularidades). Deve-se notar também que π F e´ uma folheaça˜ o por superf´ıcies em , definida por Ω 0, holomorfa inclusive em 0 0 0 . Aqui temos algo importante, cuja prova escapa ao objetivo destas notas: se começamos com uma folheaça˜ o em P 2. M 0 0 0 ! , ela e´ (usando a nossa definiça˜ o geral), e tomamos o seu pull-back a necessariamente definida por uma 1-forma polinomial homogênea (como o e´ a forma Ω). 2. x y ϕ01 u v mente temos x y. 1. 1. 0. 02. 0. 1. 2. 1. 0. 2. 2. 0. 1. 12. 1. k 2. 01 0. 1. k 2. 12 1. 2. 0. j. k 2. 20 2. 1. 0. 2. 3. 3. E´ um procedimento comum definir-se a folheaça˜ o somente por sua equaça˜ o polinomial na carta U0 . Vamos aproveitar e fazer uma pequena digressão sobre a noça˜ o de grau (de fato, não utilizada no que se segue). Digamos então que a folheaça˜ o de grau k esteja definida na carta afim U0 pela equaça˜ o q x y d x p x y d y 0, sendo l o maior dos graus entre p e q. Após as substituiço˜ es necessárias para obter o pull-back da folheaça˜ o em 3 , encontramos. . . (12) - X Q X P d X 0 onde P X X X. X p e Q X X X X q . são agora polinômios homogêneos de grau l. Temos duas situaço˜ es poss´ıveis. Se o polinômio X Q X P e´ divis´ıvel por X (ou X P 0 X X v X P 0 X X xw 0), a expressão em (??) após divisão por X possui também grau l, de modo que k l 1. Pode-se ver facilmente que se p e q são os termos homogêneos de grau l de p e q, então xq yp w 0, ou seja, existe g polinômio homogêneo de grau l 1 de modo que p xg e q yg. Por outro lado, se X Q X P não for divis´ıvel por X , concluimos que k $ 1 l $ 1, ou k l. Podemos ver geometricamente estas possibilidades. Na segunda, o plano X 0 e´ soluça˜ o de (??), logo a reta projetiva L e´ invariante para a folheaça˜ o. No primeiro Ω. 0. 1. . X0 Qd X1. l 0. 2. X1 X2 X0 X0. .

(57) ou. X0 Pd X2 0. 1. 1. 2. X1 X2 X0 X0. l 0. 2. 1. 1. 1. 2. 2. 1. 0. 2. 0. 2. 0. l. l. l. l. l. 1. l. 2. 0. 0. 0. . caso, L0 e´ transversal a` s folhas exceto por um número finito de pontos (que podem ser tangências ou singularidades). Sempre podemos escolher as coordenadas em 3 de modo que L0 não seja invariante. 15.

(58) Iniciaremos finalmente o nosso estudo das folheaço˜ es de Darboux. Elas são definidas na carta afim U0 por equaço˜ es de Pfaff meromorfas do tipo. 0 e p e´ polinômio de grau d j 1 B m. onde λ

(59) Se quisermos uma 1-forma holomorfa, basta tomar p i ` p ω ω. m. ∑ λj. T. j 1. j. j. d pj pj. (13). j. 0. A maneira escolhida e´ interessante pois ω e´ 1-forma fechada (em outras palavras, p 1 pm e´ fator integrante para a 1-forma holomorfa). Além disso, as curvas de polos são simples e contêm pelo menos as curvas algébricas C j de equaço˜ es afins p j 0 j 1 m; o número λ j e´ o res´ıduo de ω ao longo de C j . Há ainda a possibilidade de L0 estar contida no conjunto de polos de ω: usando as coordenadas afins u v para o aberto U1 , transformamos (??) em m m d pˆ j du λ ∑ j pˆ j ∑ d j λ j u 0 j 1 j 1 1. ì. m. 99. . - . T onde pˆ u v. u p 1 & u v & u j 1 B m. Vemos então que L e´ curva de polos se e somente se ∑ T d λ J 0. Observemos finalmente que as curvas polares são invariantes para a folheaça˜ o de DarT. dj. j. m j 1. j. 0. j j. boux, e que portanto todas as interseço˜ es destas curvas duas a duas pertencem ao conjunto de singularidades. O teorema que demonstraremos a seguir mostra a estreita relaça˜ o entre folheaça˜ o de Darboux e a existência de uma curva algébrica invariante com grupo de holonomia abeliano. Vamos tratar um caso particular, mas que contém a maior parte das idéias envolvidas (consultar [CLS]). Teorema 6. Suponhamos que a linha no infinito L0 seja invariante para uma folheaça˜ o F . Suponhamos ainda que as singularidades de F ao longo de L 0 sejam todas hiperbólicas, e que o grupo de holonomia associado seja abeliano. Então F e´ folheaça˜ o de Darboux. Prova. Inicialmente, construimos uma versão local da 1-forma meromorfa que desejamos, isto e´ , definida numa vizinhança de L0 . Cada seça˜ o transversal Σ a F passando por um ponto p de L0 possui uma coordenada distinguida. Sejam h1 hl os geradores do grupo de holonomia H calculado na seça˜ o. Afirmamos que existe uma coordenada w para Σ, com w p 0, de modo que h j w µ jw j 1 m. Para demonstrar tal afirmaça˜ o, escolhemos w de modo que h1 w µ1 w, o que e´ poss´ıvel pois esta aplicaça˜ o e´ conjugada a` aplicaça˜ o de holonomia da separatriz de uma singularidade hiperbólica. Usando agora a comu-. _.

(60) . 8 B . 16. .

(61) .

(62) ] . ]. tatividade h j h j h j h1 e expandindo h j em séries de potências, concluimos facilmente que h j w µ j w. De fato, esta coordenada não e´ u´ nica: seja wˆ f w coordenada que também lineariza H , isto e´ , hˆ 1 wˆ µ1 wˆ para hˆ 1 f h f 1 . Segue-se que µ1 f w f µ1 w , e novamente expandindo em séries de potências concluimos que f w c w para algum c C . Comecemos então a construça˜ o da 1-forma meromorfa. Numa vizinhança suficientemente pequena U de Σ, definamos wU q como sendo w r onde r Σ e´ o ponto onde a folha local de F passando por q corta a seça˜ o (mais uma vez utilizamos a trivialidade local em torno de p). Se a mesma construça˜ o for feita para uma seça˜ o Σ U / temos a partir da discussão anterior que wU cwU , de modo que tal que U U 0, d wU d wU η ; obtemos assim em U U uma 1-forma meromorfa η que define a wu wU folheaça˜ o e possui polos simples ao longo de L0 . O problema agora e´ como estendê-la a` s singularidades. Seja então p0 uma singularidade; definamos F localmente por zd w awd z, o que e´ poss´ıvel por ser a singularidade hiperbólica. Aqui, tomamos z como coordenada ao longo da separatriz contida em L0 . Fixemos a seça˜ o vertical Σ transversal a` folheaça˜ o pelo ponto 1 0 , e indiquemos por wˆ a coordenada vertical de seus pontos. Estendamos esta coordenada a uma pequena vizinhança V do ponto 1 0 como integral primeira local a exemplo do que fizemos acima para a coordenada wU ; nosso interesse em fazê-lo consiste d wˆ V . Como w z a wˆ V no fato o´ bvio de que wˆ e´ coordenada distinguida, e assim η wˆ V (estamos considerando o ramo do logaritmo em torno de 1 tal que log1 0), vemos que. . .

(63) . . . ] ] ). K

(64) . . " p J j j. j. . t . . . .

(65) . 3. .

(66). . . dw w. . a. dz z. . d wˆ V wˆ V. η. . ) . e assim temos bem definida a extensão de η a` singularidade. Observe-se que a separatriz vertical aparece dentro do conjunto de polos de η, com um res´ıduo que e´ igual ao quociente de autovalores da singularidade. Como estender η a todo o plano projetivo? A 1-forma η e´ do tipo A x y dx B x y dy, onde A e B são funço˜ es meromorfas definidas fora de um polidisco centrado em 0 0 de raio suficientemente grande. O fato notável nesta altura da demonstraça˜ o e´ que nada mais precisamos fazer. O Teorema de Extensão de Levi nos garante que qualquer funça˜ o meromorfa definida em um aberto contendo o bordo de um polidisco em 2 se estende automaticamente a todo o polidisco, ver [Si]. Em particular, as separatrizes locais das singularidades de L0 estão todas contidas em curvas algébricas. Para completar a prova, vamos constatar que η tem o tipo requerido para definir uma folheaça˜ o de Darboux. Sabemos por construça˜ o que ela e´ fechada, e tem polos simples. $. . . . 17.

(67) 9_. ao longo de certas curvas algébricas, dadas por polinômios p j 0 j 1 m, e mais a linha no infinito. Sejam λ j os res´ıduos de η ao longo destas curvas (bem definido pois η e´ fechada; trata-se de uma conseqüeˆ ncia do teorema de Stokes). Assim sendo, d pj e´ 1-forma holomorfa em 2 , portanto nula. η ∑mj 1 λ j pj. . . T. Integrando diretamente a 1-forma meromorfa fechada que define a folheaça˜ o de Darboux, encontramos uma integral primeira transcendente. Podemos aumentar o grau de complexidade do grupo H , por exemplo supondo-o solúvel. Obtemos também uma expressão particular para definir a folheaça˜ o e um tipo de integral primeira denominada liouvilliana (consultar o livro-referência 3, Cap´ıtulos VI e VII). Finalmente no caso nãosolúvel encontramos uma dinâmica extremamente rica para H , com folhas localmente densas, ver [Na].. 4 Os Exemplos de Jouanolou Vimos na seça˜ o anterior o papel guia desempenhado por curvas algébricas invariantes para a compreensão do comportamento das folhas de uma folheaça˜ o. Porém, a maior parte das vezes não encontramos estas curvas, e muito pouco se conhece. Nosso objetivo agora e´ apresentar uma fam´ılia de exemplos, devida a J.-P. Jouanolou, para os quais não existe nenhuma curva algébrica invariante. Para isso, precisamos inicialmente apresentar um resultado sobre ´ındices de singularidades ao longo de uma curva algébrica. Ele se aplica mais geralmente, ver [Ca] e [Bru]. Consideremos uma curva algébrica C lisa, invariante pela folheaça˜ o F e de grau d; nas coordenadas de U0 , C e´ dada por c x y 0. Usaremos novamente a notaça˜ o introduzida na seça˜ o anterior; para simplificar a exposiça˜ o, suporemos que as coordenadas em 3 são escolhidas de modo que. .

(68) &. 1. π 0 0 1. . C.. 2. C e´ transversal a L0 e os pontos de interseça˜ o são regulares para F . 3. nas coordenadas afins de U0 as tangências da curva com as verticais são de tipo quadrático; além disso, estes pontos são todos regulares para F . Definamos a seguinte 1-forma meromorfa de C: ξ:. & ∂q p dx ∂y 18. C.

(69)

(70). Sendo p C uma singularidade de F , definimos também o ´ındice de F em relaça˜ o a C no ponto p como ind F C p R es p ξ. . Teorema 7. ∑ p ind F C p. . . d2. Prova. Observemos que os ´ındices definidos são res´ıduos de alguns polos da 1-forma ξ, associados a` s singularidades de F . Os demais polos são os pontos de tangência da curva com as verticais, e os pontos em L0 . Calculemos os res´ıduos nos pontos de tangência. Parametrizemos a folha por um ponto deste tipo como x g y cy2 . Como p g y y q g y y g y , vemos que p x y g y q x y anula-se ao longo de x g y 0. Segue-se que existe h x y holomorfa de modo que p x y g y q x y h x y x g y . Concluimos então que qxy hxy 1 g x g y ,e pxy pxy. $ y . z . . . . ∂ q& p. g y d y $ ∂y. & % . . > . . { . g dy g. . h g dy p. h dy q. numa vizinhança da tangência e ao longo de C. Segue-se que o res´ıduo procurado vale 1. Sabemos também pelo teorema de Bezout que existem d d 1 pontos de tangência, ∂c pois eles se situam nas interseço˜ es de c x y 0 com xy 0. ∂y Passemos agora a um ponto r de C L0 . Denotemos pˆ u v ul p 1 u v u e qˆ u v ul q 1 u v u , onde l e´ o maior grau entre p e q. A equaça˜ o de Pfaff para a folheaça˜ o nas coordenadas u v e´ u pd ˆ v qˆ v pˆ d u 0. . & &. ". . & & . . . - ∂ qˆ v pˆ de modo que o res´ıduo em r da 1-forma . d u restrita a` curva e´ 0, pois o ponto r ∂v u pˆ ∂ qˆ não e´ singularidade da folheaça˜ o. Concluimos que R es d u 1. Por outro lado, ∂v u pˆ ∂ q& p. ∂ qˆ dx ∂v u pˆ d u ∂y de modo que o res´ıduo procurado e´ também 1. Novamente pelo teorema de Bezout existem d pontos em C " L . Portanto encontramos ∑ ind F C p G d d 1 G d 0 r. 0. p. o que demonstra o teorema. 19.

(71) Corolário 8. Uma curva algébrica, lisa e invariante sempre possui singularidades da folheaça˜ o. De fato, precisaremos aplicar um resultado como o Teorema 7 para uma curva não lisa, irredut´ıvel. O caso que temos em mente contempla curvas algébricas invariantes com cruzamentos nodais, isto e´ , a curva pode possuir singularidades (como conjunto) do tipo 0 (denominadas nodais). Claramente, se a curva e´ invariante, tais local x y x y pontos são singulares para a folheaça˜ o. Vamos encarar a curva C como uma superf´ıcie de Riemann abstrata, isto e´ , os dois ramos passando por cada ponto nodal serão vistos de forma disjunta; portanto, a singularidade nodal e´ substituida por dois pontos onde a curva e´ lisa. Este processo denomina-se desingularizaça˜ o da curva. Assim, podemos continuar usando a forma ξ (em cada ramo), e teremos dois polos com dois res´ıduos para cada singularidade nodal. A exemplo do que fizemos anteriormente, suporemos que os pontos de C L0 são regulares para a folheaça˜ o, bem como os pontos lisos de C de tangência com as verticais. Finalmente, supomos que nenhum dos ramos das singularidades nodais o número de singularidades nodais de C. possuem tangente vertical. Seja s. % | $ . ".

(72) Du Teorema 9. ∑ ind F C p. d 2 s. Prova. Basta observar que os pontos nodais também são soluço˜ es (de multiplicidade ∂c x y. local 2) do sistema c x y. 0 0. Portanto, na conta feita na demonstraça˜ o ∂y 2. p. do Teorema 7 devemos retirar 2s pontos do conjunto de tangências e recolocá-los como contribuintes para os ´ındices.. Observamos novamente que a cada um dos dois ramos de qualquer singularidade nodal temos 2 ´ındices que participam do somatório. Além disso, pela fórmula do gênero para uma curva plana d 1 d 2 s g 2 obtemos 2g 3d 2 d 2 2s, de modo que a soma de ´ındices e´ sempre positiva. Podemos finalmente apresentar os exemplos de Jouanolou:. $. . > . . 1. - y x b d y 0 k < 2 . xk y d x. k. k 1. Temos as seguintes propriedades 1. a linha no infinito L0 não e´ invariante. 2. todas as singularidades são obtidas como xk. 20. 2. b b. k 1. 1 y x). k..

(73) 3. todas as singularidades são hiperbólicas, e os ´ındices associados a` s separatrizes k2 2k 2 k k 2 3i k2 2k 2 k k 2 (quocientes de autovalores) são i e i 2 k2 k 1 2 k2 k 1. b $ $ $ $ E} $ $. ) $ $ $ $ $. %}. Teorema 10. Os exemplos de Jouanolou não possuem curvas algébricas invariantes. Prova. Seja C um candidato a curva algébrica invariante. Como as singularidades são todas hiperbólicas, esta curva possui no máximo singularidades nodais (como curva). Suponhamos que em sua passagem pelas singularidades ela coleciona m ´ındices do tipo i e m ´ındices do tipo i . Segue-se que. b. b. ). ). 2 kk $ $ 2kk $ $ 12 $ mb m ) 2k kk $ $ 2k E$} 3i1. m . Para k < 3, obtemos um resultado negativo ) para a soma de ´ındices, o que não e´ poss´ıvel. Estudemos o caso k 2. Temos que ∑ ind F C p. 2m bP& 7, e portanto m b 7. Da´ı, ∑ ind F C p. 2 d 2s d 2 7, e d 4. Devido a` fórmula do gênero, não existe uma curva de grau 4 com 7 singularidades nodais. m~b $ m ) Devido ao Teorema 9, vemos que m b. 2. ∑ ind F C p. 2. p. 2. p. p. 2. 2. Segundo um resultado de [LN], um aberto e denso (de fato, um aberto de Zariski) no espaço de folheaço˜ es planas com grau fixado e´ constituido por folheaço˜ es sem nenhuma curva algébrica invariante. Pouco se conhece sobre o comportamento das folhas de folheaço˜ es neste aberto e denso. Por exemplo, não se sabe se o conjunto limite de uma folha necessariamente possui uma singularidade. Existem exemplos, devidos a F. Loray e J. Rebelo, de abertos de folheaço˜ es cujas folhas são todas densas,ver [LR].. 5 Referências [BM] , M. Berthier e R. Moussu Réversibilité et classification des centres nilpotents, Ann. Inst. Fourier 44 (1994). [Bru] , M. Brunella Some remarks on indices of holomorphic vector fields, Publ. Matemàtiques 41 (1997). [CLS] , C. Camacho, A. Lins Neto e P. Sad Foliations with algebraic limit sets, Ann. of Math. 136 (1992).. 21. 3i. ..

(74) [Ca] , C. Camacho e P. Sad Invariant varieties through singularities of holomorphic vector fields, Ann. of Math. 115 (1982). [LN] ,A. Lins Neto Algebraic Solutions of polynomial differential equations and foliations in dimension two, Lect. Notes in Math. 1345. [LR] , F. Loray e J. Rebelo Stably chaotic rational vector fields on 2000/5, Stony Brook (2000).. P n. , preprint. [MR] , J. Martinet e J.-R. Ramis Classification analytique des e´ quations non linéaires réssonantes du premier ordre, Ann. Sci. E.N.S., 4eme série, t. 16 (1983). [MR1] , J. Martinet e J.-R. Ramis Problèmes de modules pour des e´ quations différentielles non lineaires du premier ordre, Publ. Math. IHES, 55 (1982). [Mo] , R. Moussu Une démonstration géométrique d’un théorème de Lyapunov-Poincaré, Astérisque, 98-99, Paris (1982). [Pe] , R. Perez-Marco Solution complète au problème de Siegel de linéarisation d’une application holomorphe au voisinage d’un point fixe, Astérisque 206. [Na] , I. Nakai Separatrices for non solvable dynamics on (1994).. 0, Ann. Inst. Fourier 44, 2. [Si] , Y. Siu Techniques of Extension of Analytic Objects, Marcel Dekker (1974).. 22.

(75)