PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE BACIAS DE DISSIPAÇÃO A JUSANTE DE VERTEDOUROS EM DEGRAUS COM FORTE DECLIVIDADE

PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE BACIAS DE

DISSIPAÇÃO A JUSANTE DE VERTEDOUROS

EM DEGRAUS COM FORTE DECLIVIDADE

André Luiz Andrade Simões Engenheiro Civil, Mestrando do Departamento de Hidráulica e Saneamento, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, Av. Trabalhador São-carlense, 400, CEP 13566-590, São Carlos, SP, e-mail: simoes@sc.usp.br Rodrigo de Melo Porto Professor-Doutor do Departamento de Hidráulica e Saneamento, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, Av. Trabalhador São-carlense, 400, CEP 13566-590, São Carlos, SP, e-mail: rodrigo@sc.usp.br

Resumo

Estudos voltados à compreensão da hidrodinâmica de vertedouros em degraus têm sido desenvolvidos em diversas instituições ao longo de mais de duas décadas, constituindo, ainda hoje, um campo de pesquisas relativamente amplo em decorrência da complexidade imposta pela presença dos degraus. Apesar das dificuldades encontradas na quantificação das numerosas variáveis relacionadas ao escoamento em tais estruturas hidráulicas, é possível encontrar na literatura metodologias coerentes e consistentes, amparadas por criteriosos estudos experimentais e numéricos que dão ao engenheiro subsídios para a elaboração de projetos. O presente trabalho reúne resultados de diferentes pesquisadores por meio de comparações de algumas grandezas hidráulicas envolvidas no fenômeno, dentre as quais se destaca o comprimento do ressalto na bacia de dissipação, através do qual é proposta uma metodologia simplificada para a estimativa do mesmo. Palavras-chave: vertedouro em degraus, dissipação de energia, bacia de dissipação.

Em função das observações anteriores, a hidrodi-nâmica de vertedouros em degraus tem sido estudada há mais de duas décadas em diversos países. Como exemplo desse fato, pode-se mencionar os estudos desenvolvidos em Portugal (Instituto Superior Técnico de Lisboa), na China (Sichuan University), na Grécia (University of Athens), no Japão (Nihon University), na África do Sul (University of Natal), na Austrália (Universidade de Queensland), na Suíça (ETH) e no Canadá (Universidade de Alberta). Especi-ficamente no Brasil, um dos primeiros estudos relacionados ao tema foi desenvolvido na Universidade de São Paulo (USP) em 1992, seguido por pesquisas em outras universi-dades, como pode ser visto na Tabela 1. Os trabalhos destacados por meio da referida tabela abordam os diversos fenômenos envolvidos no escoamento ao longo de calhas em degraus, como, por exemplo, distribuição de velocidades, distribuição de pressões nos degraus, ocorrência da cavitação, desenvolvimento da camada-limite, concentrações médias de ar, ocorrência do escoamento quase-uniforme e avaliação da energia específica residual no pé dos vertedouros em degraus, aspecto de grande relevância para o dimen-sionamento da bacia de dissipação por ressalto hidráulico, tema central deste artigo.

Introdução

Desenvolvimentos no campo dos materiais de construção e dos métodos construtivos culminaram no concreto compactado a rolo (CCR) que, nos dias de hoje, é amplamente empregado na construção de barragens para aproveitamento dos recursos hídricos. Como conse-qüência dessa tecnologia (CCR), muitos vertedouros têm sido projetados e confeccionados com o paramento de jusante em degraus, o que implica a redução da energia específica residual na base dos mesmos em relação aos que possuem o paramento de jusante convencional. Relativamente aos custos com materiais e métodos construtivos, o emprego do CCR na construção de barragens resulta em importante economia em relação àquelas de concreto convencional e, em alguns casos, até mesmo em relação às de terra e enrocamento (Millan, 1993, f. 23-26).

Graças à metodologia de construção, barragens em CCR possibilitam facilmente a confecção do paramento de jusante do vertedouro em degraus, que impõem grande resistência ao escoamento conduzindo a projetos de bacias de dissipação menos onerosas do que aquelas a jusante de estruturas em concreto alisado.

Dissipação de energia

A despeito do que foi dito sobre o CCR nos pará-grafos anteriores, a construção do mais antigo vertedouro em degraus ocorreu aproximadamente há 3.300 anos na Grécia. Trata-se da barragem Arkananian, cujo vertedouro apresentava 10,5 m de altura, 25 m de largura, declividade média de 45°, variando entre 39° e 73°, e degraus entre 0,60 m e 0,90 m de altura (Knauss, 1995, apud Chanson, 2002, p. 36). Além do antigo vertedouro grego, sabe-se que outras estruturas foram encontradas no Oriente Médio, como, por exemplo, no rio Khosr (694 a.C.), situado no Iraque.

No século XX, estruturas em degraus começaram a ser projetadas visando, sobretudo, à maximização da dissipação de energia ao longo da calha e, conseqüen-temente, à diminuição da bacia de dissipação. O vertedouro da barragem de New Croton, construída de 1892 a 1905, com 90,5 m de altura, declividade aproximada de 53° e degraus com altura igual a 2,13 m, provavelmente, é o primeiro em degraus concebido com esse conceito de maximização da dissipação de energia. Entre 14 e 16 de

outubro de 1955, uma tempestade provocou sérios danos à estrutura dessa barragem (Chanson, 2002, p. 266).

A dissipação de energia ao longo do canal de queda, proporcionada pelos degraus, é a principal função desses vertedouros, e sua avaliação tem sido objeto de estudos em diferentes partes do mundo: por meio de modelos reduzidos e simulações numéricas, procura-se estabelecer parâmetros e metodologias para estimar a energia residual no pé do vertedouro. Entre os métodos desenvolvidos, cabe referenciar os trabalhos de Sorensen (1985), Rajaratnam (1990), Diez-Cascon et al. (1991), Stephenson (1991), Tozzi (1992), Christodoulou (1993), Chanson (2002), Povh (2000), Sana-giotto (2003), Daí Prá (2004), Chen et al. (2002), Arantes (2007), entre outros.

O objetivo deste trabalho consistiu em avaliar o estado da arte relacionado aos vertedouros em degraus de barragens com forte declividade (em torno de 1V:0,75H), com ênfase nos resultados relativos à determinação da energia específica residual no final do canal de queda. Pôde-se perceber que os estudos experimentais sobre o tema empregaram diferentes métodos para medir a energia Autor(a): 1

Orientador: 2 Ano Instituição Trabalho

1. Marcos José Tozzi

2. Giorgio Brighetti 1992 USP/EP Tese 1. Winston H. Kanashiro

2. Podalyro Amaral de Souza 1995 USP/EP Tese 1. Paulo Henrique Povh

2. Marcos José Tozzi 2000 UFPR Dissertação 1. Julio Cesar Olinger

2. Giorgio Brighetti 2001 USP/EP Tese 1. Daniela G. Sanagiotto

2. Marcelo Giulian Marques 2003 UFRGS Dissertação 1. Maurício Dai Prá

2. Marcelo Giulian Marques 2004 UFRGS Dissertação 1. Jaime Federici Gomes

2. Marcelo Giulian Marques 2006 UFRGS Tese 1. André Luiz Andrade Simões

2. Michel Sahade Darzé 2006 UNIFACS Monografia 1. Eudes José Arantes

2. Rodrigo de Melo Porto 2007 USP/EESC Tese

específica residual. A maior parte dos resultados, porém, é associada ao uso da equação universal da perda de carga por meio do cálculo do fator de resistência, de tal maneira que, ao longo dos anos, pode-se encontrar nas publicações uma grande dispersão de valores para essa variável hidráulica.

A fim de ilustrar as referidas variações para o fator de resistência, cabe destacar as conclusões de alguns pesquisadores. Rajaratnam (1990), com os dados de Sorensen (1985), encontrou valores de “f” entre 0,44 e 0,80, indicando um valor médio igual a 0,72. Chanson (1993), ao avaliar os dados de Sorensen (1985) e Diez-Cascon et al. (1991), notou uma variação de 0,6 a 3,5, com valor médio de 1,30. Em análise posterior, para estruturas com decli-vidades entre 50° e 55°, Chanson (1994) encontrou valores de “f” entre 0,17 e 5,00, com média de 1,00. Matos e Quintela (1995b) sugeriram para o pré-dimensionamento hidráulico de vertedouros em degraus um fator de resistência igual a 0,10. O número sugerido por esses autores vai ao en-contro do valor médio calculado por Povh & Tozzi (2001), igual a 0,11. Chanson (2002), em função de resultados de estudos experimentais que consideraram a concentração média de ar do escoamento, sugere um fator de resistência igual a 0,20, valor próximo daquele proposto por Tozzi (1992) como valor máximo para estruturas com 1V:0,75H (f = 0,163) e por Arantes (2007), que por meio da solução numérica das equações de Navier-Stokes simulou nume-ricamente o escoamento sobre tais estruturas.

Atualmente, graças aos estudos desenvolvidos há mais de duas décadas, nota-se uma tendência sobre o aspecto abordado anteriormente, o que leva a concluir que o fator de resistência para o pré-dimensionamento de vertedouros em degraus (com aproximadamente 1V:0,75H) deve estar situado entre 0,10 e 0,20 (Simões, 2006). A drástica redução do valor dessa grandeza hidráulica se deve às considerações teóricas sobre a incorporação de ar que conduziram a medidas experimentais e cálculos diferenciados.

Materiais e Métodos

Neste trabalho, o estudo do escoamento sobre vertedouros em degraus (especificamente da energia residual na base dos mesmos) foi desenvolvido por meio da solução da equação diferencial do escoamento permanente gradual-mente variado associada às equações de resistência de Manning, Darcy-Weisbach e de equações e valores experimentais encontrados na literatura. Em razão do baixo grau de analiticidade da referida equação diferencial, foi utilizado o método de Runge-Kutta de 4a _{ordem por meio} de um programa computacional escrito em Linguagem C. O uso de tal metodologia relacionada aos vertedouros em degraus não é recente, podendo-se citar Tozzi (1992), que obteve resultados através de diferenças finitas.

A fim de estudar a ocorrência do escoamento quase-uniforme em tais estruturas hidráulicas, fez-se a comparação

entre os resultados obtidos no escoamento gradualmente variado com resultados provenientes do equacionamento para o escoamento uniforme.

Considerações conceituais sobre o método empregado Escoamento permanente gradualmente variado (EPGV) O estudo do escoamento permanente gradualmente variado (EPGV) conduz à análise das propriedades e características das curvas de remanso. Nesse contexto, ao avaliar a curva correspondente ao escoamento sobre um vertedouro em degraus com 1V:0,75H, nota-se que a declividade de fundo do canal (I) é maior que a declividade crítica (I_c), caracterizando a ocorrência de uma das três curvas do tipo Steep Slope. Prosseguindo com a avaliação, pode-se constatar que o sinal da derivada “dd/dx” é negativo, ou seja, a curva nasce quase perpendicularmente ao nível crítico (d_c), tendendo assintoticamente ao nível normal. Sendo assim, tem-se o escoamento supercrítico, de modo que, quanto menor for a profundidade do escoamento, maior será a energia específica. Isto posto, deve-se esperar dos resultados maiores energias específicas para a condição de escoamento uniforme.

Uma segunda consideração a ser destacada se refere ao perfil de velocidades acima do pseudo fundo formado pelas extremidades dos degraus. Estudos experimentais realizados por Tozzi (1992) e simulações numéricas efe-tuadas por Arantes (2007) demonstram que o perfil de velocidades conduz a um valor médio para o coeficiente de Coriolis (α1) igual a 1,10, que foi utilizado no presente trabalho. Por fim, foi considerado válido o uso das equações de resistência de Darcy-Weisbach e Manning, inicialmente destinadas ao escoamento uniforme, para o cálculo da declividade da linha de energia. A equação diferencial do escoamento permanente gradualmente variado (Equação 1) foi deduzida considerando o pseudo fundo formado pelas extremidades dos degraus, de maneira que as profun-didades calculadas devem ser medidas perpendicularmente ao mesmo. 2 1 f Fr α cosα I I dx dd − − = ₍₁₎ Escoamento uniforme

A partir das equações fundamentais da hidrodinâmica e da hidráulica, pode-se demonstrar que a equação normalmente encontrada na literatura para o cálculo da energia relativa dissipada (ΔH/Hmax) é deduzida por meio de algumas manipulações algébricas (Simões, 2006, f. 48). A referida equação, desenvolvida por Chanson (1993), é:

( )

( )

Resultados e Análise dos Resultados

Os resultados obtidos por meio da equação 1 encontram-se na Figura 1a. Neste gráfico, uma das curvas está vinculada à equação de resistência de Manning-Strickler, com o coeficiente de Manning (n) calculado de acordo com Tozzi (1992, f. 166-167). As demais curvas foram determinadas com o uso da equação universal da perda de carga, sendo que duas delas consideraram o fator de resistência constante, igual a 0,10 e 0,20, pelos motivos expostos anteriormente. A curva restante utilizou o fator de resistência variável, por meio das equações propostas por Tozzi (1992, f. 150) para calhas com declividade de 1V:0,75H. Como esperado, o uso do menor valor (f = 0,10) resultou numa curva que é a favor da segurança, e a partir dos dados que lhe deram origem foi possível propor a seguinte equação: 1613 , 0 d H ln . 2614 , 0 H H c dam máx − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Δ ₍₃₎

A fim de comparar os resultados obtidos com a equação 3, a Figura 1b inclui os resultados experimentais e numéricos de outros autores. Cabe comentar que os dados de Povh & Tozzi (2001) foram obtidos para um vertedouro em degraus que possuía uma contracurva no final da calha, condição que, segundo os autores, implicou menor dissipação de energia.

Avaliação da ocorrência do escoamento quase-uniforme Estudos apresentados por Matos & Quintela (1995a), Yilidiz & Kaz (1998), Boes & Minor (2000), Matos (2000), Boes & Hager (2003) e Ohtsu et al. (2004) re-sultaram em algumas expressões úteis para a avaliação do estabelecimento do escoamento quase-uniforme ao longo de calha em degraus com ângulos de inclinação em torno de 52o_{. Yilidiz & Kaz (1998) propuseram que a} ocorrência do escoamento quase-uniforme se dá para valores do adimensional H_dam/d_c maiores ou iguais a 20, enquanto Matos & Quintela (1995) e Matos (2000) sugeriram que o escoamento quase-uniforme pode ser

observado para valores de H_dam/d_c entre 25 e 30. Boes & Hager (2003), por sua vez, apresentaram a equação 4, que permite obter o valor de H_dam,u medido desde a crista padrão (WES) até a posição de início do escoamento quase-uniforme, como função da profundidade crítica e do seno do ângulo “α”. Ressalta-se que a equação 4 foi desenvolvida de modo semelhante à metodologia em-pregada no presente trabalho, porém, por meio de sim-plificações e manipulações algébricas na equação diferencial do EPGV.

(

)

Em uma formulação mais abrangente, Ohtsu et al. (2004), para calhas com declividades entre 5,7o _{e 55}o_, propõem a equação 5 para a determinação da posição de inicio da zona de escoamento quase-uniforme. Percebe-se que a formulação aprePercebe-sentada por esPercebe-ses autores indica que o adimensional H_dam,u/d_c é função da altura do degrau (h), da profundidade crítica (d_c) e do ângulo de inclinação da calha (α), tendo sido obtida a partir do ajuste a dados experimentais. Em função da dificuldade encontrada nas medições de profundidades aeradas, Ohtsu et al. (2004) utilizaram uma metodologia indireta para a avaliação da ocorrência do escoamento quase-uniforme, que consistiu em medir a profundidade subcrítica de ressaltos hidráulicos formados a jusante da calha em degraus.

30 , 1 . 10 . 13 , 7 . 10 . 60 , 1 . 10 . 21 , 1 . 7 , 6 7 , 5 d H 2 2 3 3 5 . 5 , 6 c u dam, + − + − + = _{− − −} − α α α c d h e ₍₅₎

Segundo Ohtsu et al. (2004), essa equação é válida para 5,7o_{≤ α ≤ 55}o _{e 0,1 ≤ h/d}

c ≤ 1, e o ângulo α deve ser

utilizado em graus. A Figura 2 ilustra graficamente a equação anterior, destacando uma importante semelhança entre as equações 4 e 5, ou seja, a partir de determinado valor do adimensional h/d_c, em torno de 0,4, a ocorrência do escoamento quase-uniforme, indicada pelo adimensional H_dam,u/d_c, depende apenas do ângulo de inclinação da calha em degraus, como indicado pela equação 4.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 10 20 30 40 Hdam/dc H/ H res max Manning-Strickler f = 0,20 f = 0,10 f variável 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 5 10 15 20 25 Hdam/dc D H/H max Simões (2006) CFD-Arantes (2007); k = 6 cm CFD-Arantes (2007); k = 3 cm Povh & Tozzi (2002)

(a) (b)

Figura 1 Energia residual relativa (a); comparação com dados experimentais (b).

Ao comparar os resultados obtidos no presente trabalho com as expressões citadas para o cálculo da posição de início do escoamento quase-uniforme, concluiu-se que, para f = 0,10, tem-concluiu-se H_dam,u/d_{c≥ 25, valor que} apresenta maior coerência com as proposições dos autores aqui mencionados. Tal conclusão foi obtida por meio dos resultados apresentados na Figura 3a e b. Cabe ressaltar que a análise realizada neste estudo não incluiu a altura do degrau como aquela efetuada por Ohtsu et al. (2004), que originou a equação 5.

Estimativa do comprimento do ressalto hidráulico na bacia de dissipação

O cálculo do comprimento do ressalto hidráulico estabelecido a jusante de vertedouros em degraus é de fundamental importância, pois, por meio dessa grandeza, pode-se estimar o comprimento da bacia de dissipação. O teorema da quantidade de movimento aplicado ao ressalto hidráulico permite relacionar a maior parte das variáveis hidráulicas envolvidas nesse fenômeno. Todavia, o comprimento do ressalto não é de fácil obtenção analítica, exigindo o uso de resultados experimentais, dentre os quais se destacam os trabalhos de Peterka (1984), Hager et al. (1991), Hager (1992), entre outros.

Com base na metodologia apresentada por Peterka (1984), para o cálculo do comprimento do ressalto hidráulico em um canal horizontal com seção transversal retangular, e nos dados obtidos por meio dos programas computa-cionais que originaram as Figuras 1 e 3, foi elaborada a Figura 4, que relaciona os adimensionais Lj/Hdam e Hdam/ dc, sendo Lj o comprimento do ressalto e dc a profundidade crítica. A fim de facilitar o uso dos dados de Peterka (1984) no programa computacional desenvolvido, foi adotada a equação 6, proposta por Hager (1992), ajustada aos dados de Peterka (1984). ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 22 1 Fr .tgh 20 2 L ₁ 1 j d (6)

Na Figura 4, além dos resultados obtidos computacio-nalmente, encontram-se dados experimentais apresentados por diferentes pesquisadores, que foram, no presente trabalho, associados ao método de cálculo utilizado para a estimativa do valor de “L_j”. A avaliação de tais informações demonstra coerência entre os resultados aqui calculados e aqueles resultantes de experimentos em modelos reduzidos, podendo-se notar uma tendência, que permitiu o estabe-lecimento da equação 7, apresentada a seguir:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 h/dc H ,u/d dam c 55 graus 30 graus 19 graus 11,3 graus 53,13 graus Hdam Lj k Escoamento quase-uniforme Escoamento gradualmente variado H, u dam h d2 d1 dc

Figura 2 Ocorrência do escoamento quase-uniforme: equação 5 (Ohtsu et al., 2004) e simbologia.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Hdam/dc H/ H res max f = 0,10 (EU) f = 0,20 (EU) f = 0,20 (EPGV) f = 0,10 (EPGV) f variável EPGV f = 0,163 (EU) 0 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hdam/dc d/ d

2c EPGV – f variável (Tozzi, 1992)

Povh & Tozzi (2000) Arantes (2007)–CFD EPGV–f = 0,10 EPGV–f = 0,163

Ohtsuet al. (2004) 1V:0,7H

(a) (b)

2 ψ c dam 1 dam j d H . ψ H L ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ₍₇₎

que pode ser escrita, convenientemente, da seguinte maneira, 2 2 2 .ψ 3 2 3 ψ ψ 1 dam 1 j q .g H . ψ L + = (8)

em que os termos ψ1 e ψ2 representam funções que depen-dem dos valores do fator de resistência (f) estudados. As equações 7 a 11 são válidas para o regime quase-uniforme,

para 46,5 d H 5,8 c dam _≤

≤ , e calhas com declividade em torno de 1V:0,75H. Ressalta-se que as mesmas foram obtidas para valores do fator de resistência entre 0,10 e 0,20, o que restringe o seu emprego a esse intervalo, sendo que f = 0,10 resulta numa envoltória dos dados adimensionais. As funções ψ1 e ψ2, por sua vez, são definidas da seguinte maneira: 12,811 12,669.f 53,664.f ψ 2 1 =− + + (9) 8366 , 0 .f 1215 , 1 .f 3449 , 2 ψ 2 2 = − − (10)

Através do ajuste por mínimos quadrados, a equação 11 (apresentada a seguir) foi obtida com os dados experi-mentais encontrados na Figura 4 e aqueles que originaram as equações 7, 8, 9 e 10. Essa equação fornece resultados que correspondem aproximadamente às médias dos resultados que lhe deram origem, sendo que seu uso para H_dam/d_c < 10 implica valores de L_j mais elevados do que o valor médio correspondente, como pode ser visto através

da curva encontrada na Figura 4. Deve-se ressaltar que o uso das equações propostas neste trabalho é recomen-dado em avaliações preliminares na fase de anteprojeto ou no pré-dimensionamento seguido de verificação em modelos físicos. 0,633 0,05 dam j 6,55.H .q L = (11)

O valor 6,55 não é adimensional (s0,633_/m0,316_{), pois} inclui g = 9,8 m/s2_{, de modo que H}

dam e q devem concordar com o Sistema Internacional de Unidades.

Conclusões

A hidrodinâmica de vertedouros de barragens com a calha em degraus tem sido intensamente estudada desde 1985 em diversas partes do mundo, sobretudo por conta da economia resultante da adoção desse tipo de estrutura. Entretanto, ainda hoje, não há consenso absoluto sobre todos os aspectos relacionados ao dimensionamento desses vertedouros, embora já existam metodologias conceitualmente consistentes e amparadas por criteriosos estudos experimentais que dão subsídios para o projetista realizar o pré-dimensionamento e, em alguns casos, até mesmo dimensionar um vertedouro em degraus sem a necessidade de realizar estudos em modelos reduzidos. Neste contexto, a avaliação do estado da arte dos vertedouros em degraus e os modelos matemáticos aqui empregados resultaram na elaboração de uma metodologia simplificada e adimensional cujo objetivo é estimar o comprimento do ressalto hidráulico a jusante de tais estruturas hidráulicas, o que permite pré-dimensionar as respectivas bacias de dissipação. Sugerem-se, para futuras pesquisas experimentais ou via dinâmica dos fluidos computacional, a verificação e o aperfeiçoamento das equações aqui propostas.

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 0 10 20 30 40 50 Hdam/dc L/ H_jdam f = 0,10 (Simões, 2006) f = 0,163 2006) f = 0,20 2006) f variável segundo Tozzi (1992)

Ajuste por mínimos quadrados (R² = 0,98) Povh & Tozzi (2001) 61 degraus Povh & Tozzi (2000) Com a contracurva Tozzi (1992) Diez-Cascon . (1991) com h = 0,30 m Diez-Cascon . (1991) com h = 0,60 m Pegram . (1999) com 1V:0,6H Arantes (2007) - CFD Dai Prá (2004) 1V:1H Sanagiotto (2003) (Simões, (Simões, et al et al et al – –

Simbologia

d - profundidade do escoamento perpendicular ao pseudo fundo

d_c - profundidade crítica d_c = (q2 /g)1/3 d1 - conjugado supercrítico do ressalto d2 - conjugado subcrítico do ressalto

f - fator de resistência da equação de Darcy-Weisbach Fr₁ - número de Froude correspondente a d₁

g - aceleração da gravidade h - altura do espelho de um degrau H_dam - altura do vertedouro

Hdam,u - altura medida na vertical desde a crista até a posição de início do escoamento uniforme

Hmax - altura total a montante do vertedouro

H_res - energia específica no pé do vertedouro em degraus I - seno do ângulo a

Ic - declividade crítica

k - altura de rugosidade k = h.cos(α)

L_j - comprimento do ressalto hidráulico (ou da bacia de dissipação)

n - coeficiente de Manning-Strickler q - vazão específica

tgh - tangente hiperbólica

x - abscissa positiva no sentido do escoamento formada pelas extremidades dos degraus (pseudo fundo) α - ângulo entre o paramento de jusante do vertedouro e a horizontal

α1 - coeficiente de Coriolis

Agradecimentos

À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) pela bolsa de mestrado concedida ao autor André Luiz Andrade Simões.

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