MATEMÁTICA ENEM 2009

MATEMÁTICA

ENEM 2009

PROF. MARCELO CÓSER

QUESTÃO COM MAIOR INDÍCE DE ERRO!

ATENÇÃO PARA A PERGUNTA...

Área plantada (em hectare), Produção (em toneladas) e Produtividade (em kg/hectare) são conceitos diferentes, basta analisar suas respectivas unidades.

Produtividade no período

Produção no período

O conceito de ÁREA PLANTADA deve ser obtido a partir da Produtividade e da Produção:

Em 1995, a Produtividade foi de 1.500 kg/hectare. Ou seja, cada hectare em média produziu 1.500 kg (1,5 toneladas). Como foram produzidas 30.000 toneladas de algodão, a área plantada foi de 30.000/1,5 = 20.000 hectares.

Dessa forma, a ÁREA PLANTADA é obtida da divisão da Produção (em kg) pela Produtividade (em kg/hectare). 20.000 4 80.000 99 24.000 2,5 60.000 98 20.000 2,5 50.000 97 16.000 2,5 40.000 96 20.000 1,5 30.000 95 Área Plantada (em hectare) Produtividade (em t/hectare) Produção (em t)

Quito Cingapura Cingapura Quito

h

h

km

km

t

km

R

d

25

/

800

000

.

20

000

.

20

6370

14

,

3

6370

2

2



























3 cm

3 cm

DICA: Lembrar da razão de semelhança para área e

volume em polígonos/sólidos semelhantes.

GRANDE GRANDE PEQUENO _PEQUENO COMP ÁREA = COMP ÁREA

( )

2

( )

3

2

ARESTA

ARESTA



2

4

A REA

A REA





2

8

VOLUME

VOLUME





Exemplo de questão: Um fazendeiro deseja dobrar a capacidade de irrigação na

sua plantação. Para isso, decide dobrar o raio de cada cano. A solução é eficaz?

Não, pois dobrando uma medida de comprimento quadruplica-se a área

correspondente. Ele deveria multiplicar o raio por , já que .

₂

 

₂

_

₂

TOTAL

INTERESSA"

"

PROB 

%

25

25

,

0

628

157







P

P

157

2

10

2

km

A

R

A















x

ELEMENTOS

DE

NÚMERO

VALORES

DOS

SOMA

ARITMÉTICA

MÉDIA



1500

12000

10500

1200

10

10500

1200

1

9

1

2500

1

1700

1

1100

3

750

4



































x

x

x

x

A MÉDIA de um conjunto de valores é o valor que, aplicado a todos os elementos, resulta no mesmo que o total do conjunto de valores distintos. No exercício anterior, se o último funcionário fosse contratado com um salário de R$ 1.500, a média salarial seria de R$ 1.200. Ou seja, os 10 funcionários com salários distintos resultariam no mesmo

gasto salarial que se teria com os 10 funcionários ganhando salários

iguais a R$ 1.200 cada um.

ATENÇÃO: nem toda média é aritmética.

As médias aritméticas não se aplicam a todas as situações.

Exemplo: No primeiro bimestre de 2009, as ações de certa companhia valorizaram 21%. Qual foi a valorização percentual mensal média?

VARIAÇÃO PERCENTUAL

FATOR DE VARIAÇÃO

O FATOR DE VARIAÇÃO é obtido somando ou subtraindo a variação desejada a 100%. A variação é obtida a partir da MULTIPLICAÇÃO pelo fator de variação.

Um aumento de 21% tem fator de variação 100% +

21% = 121% = 1,21. Assim, o valor da ação após um

aumento de 21% é 1,21V, onde V é o valor anterior. Ou seja, para calcular a variação percentual média é preciso calcular o fator f que aplicado duas vezes ao valor inicial V resulta em 1,21V.

11

121

21

,

1

21

,

1











f

V

V

f

f

mês

ao

f

%

10

%

110

1

,

1







60% de ferro na mistura  F = 0,6M

Metade da quantidade de ferro é retirada  F = 0,3M, onde a

nova quantidade de material na mistura é 0,7M, já que 30% do

total foi retirado.

Logo, a porcentagem de ferro na mistura obtida é dada por , onde

0,3M é o total de ferro e 0,7M é a quantidade total na mistura. Logo,

%

85

,

42

4285

,

0

7

3

7

,

0

3

,

0

7

,

0

3

,

0









M

M

M

M

7

,

0

3

,

0

x

Nos 50 litros do tanque, 2,5 litros são de álcool anidro puro e 47,5 litros são de uma mistura entre gasolina e álcool anidro. Como 20% dessa mistura é álcool, temos 0,2 · 47,5 = 9,5 litros de álcool nela.

Ou seja, no tanque de 50 litros terá 9,5 + 2,5 = 12 litros de álcool anidro. Ou seja, o teor de álcool anidro será

₀

_,

₂₄

₂₄

_%

50

12





5% de 40 bilhões é 0,05 · 40 = 2 bilhões.

Ou seja, esses 2 bilhões de litros não precisariam mais ser importados, gerando uma economia de 2 bilhões · 0,18 = 360 milhões de dólares.

Resolução algébrica





 





 

 



2006



15985

8

2006

63

8

15985

15985

16008

23

8

24

3

2004

47

2001

23

47

2004

47

;

2004

23

2001

23

;

2001

































































p

n

n

p

b

a

a

a

a

a

b

n

p

a

b

n

p

x

Resolução Conceitual

Funções de 1º grau são

utilizadas para dar conta

de

situações

onde

a

variação é constante. No

caso,

em

3

anos

o

aumento do preço do barril

foi de US$ 24. Ou seja, o

aumento anual foi de US$

8. Assim, em 2006 o preço

será 47 + 2 · 8 = US$ 63

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS  Problemas periódicos

FUNÇÕES EXPONENCIAS/LOGARÍTIMICAS  Taxa de Variação é constante

Exemplo: A água de uma caixa d´água cheia, com capacidade para 100.000 litros, foi tratada com 1000g de cloro. Água pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina a uma vazão constante, sendo o excesso eliminado através de um ladrão. Depois de uma hora, um teste revela que ainda restam 900g de cloro na piscina. Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas após sua colocação?

Água pura

Água com cloro

Repare que, em uma hora, a quantidade de cloro retirada foi de 100g. No entanto, é incorreto afirmar que a cada hora o comportamento será o mesmo, já que a quantidade de cloro que sai é proporcional à quantidade de cloro existente. Ou seja, uma abordagem mais adequada para o problema diz que, a cada hora, a quantidade de cloro existente na piscina reduz em 10%, já que foram perdidas 100g das 1000g iniciais.

10 reduções de 10%  Q = 1000 · 0,9 · 0,9 · 0,9 · … · 0,9 = 1000 · 0,910 _{= 348,68 g.}

Igual à 1ª Barra Igual à 2ª Barra Branca ou Preta 0 ou 1 Branca ou Preta 0 ou 1 Branca ou Preta 0 ou 1 2 · 2 · 2 · 1 · 1 = 8

8 - 2 (todas brancas ou todas pretas) = 6