Análise numérica do punçoamento

(1)

1 INTRODUÇÃO 9 1.1 Generalidades . . . 9 1.2 Objetivos . . . 10 1.3 Organização da Dissertação . . . 10 2 COLAPSO PROGRESSIVO 12 2.1 Generalidades . . . 12 2.2 Ronan Point . . . 12 2.2.1 Colapso . . . 12 2.2.2 Causas . . . 13 2.2.3 Aspetos técnicos . . . 14 2.2.4 Pós-colapso . . . 14 2.3 Sampoong . . . 14 2.3.1 Colapso . . . 14 2.3.2 Causas . . . 15

2.4 Ponte I-35W Mississipi River . . . 16

2.4.1 Colapso . . . 16

2.4.2 Causas . . . 16

3 LAJES FUNGIFORMES 18 3.1 Generalidades . . . 18

3.2 Mecanismo de Rotura por Punçoamento . . . 18

3.3 Mecanismo de Resistência ao Punçoamento . . . 19

3.4 Fatores que inuenciam a resistência ao punçoamento . . . 20

3.5 Avaliação da resistência ao punçoamento . . . 20

4 SEGURANÇA ESTRUTURAL 24 4.1 Generalidades . . . 24

4.2 Métodos de análise de segurança estrutural . . . 25

4.3 Requisitos de dimensionamento . . . 25

4.3.1 Requisitos básicos . . . 25

4.4 Princípios de dimensionamento de estados limites . . . 26

4.4.1 Estados limites . . . 26

4.4.1.1 Estados limites últimos . . . 26

4.4.1.2 Estados limites de serviço . . . 26

(2)

4.5 Princípios de modelação da incerteza . . . 27

4.5.1 Variáveis básicas . . . 27

4.5.2 Tipos de incerteza . . . 27

4.6 Modelos descritivos do comportamento físico . . . 27

4.6.1 Modelos de ações . . . 28

4.6.2 Modelos de materiais . . . 28

4.6.3 Modelos geométricos . . . 28

4.6.4 Modelos mecânicos . . . 28

4.6.4.1 Modelos para a fadiga . . . 29

4.7 Fiabilidade . . . 29

4.7.1 Generalidades . . . 29

4.7.2 Metodologia para denição da abilidade . . . 29

4.7.3 Índice de abilidade . . . 30

4.7.4 Fiabilidade de um elemento e abilidade de um sistema . . . 31

4.7.5 Método para o cálculo e análise de abilidade . . . 32

4.7.6 Descrição das distribuições de probabilidades utilizadas . . . 33

4.7.7 Fiabilidade objetivo . . . 35

4.8 Robustez . . . 37

4.8.1 Generalidades . . . 37

4.8.2 Quanticação da Robustez . . . 37

5 ANÁLISE DETERMINÍSTICA DA SEGURANÇA 38 5.1 Generalidades . . . 38

5.2 Denição do problema . . . 38

5.3 Modelo de elementos nitos . . . 39

5.4 Modelo dos materiais . . . 39

5.5 Ações . . . 41

5.6 Descrição dos modelos . . . 41

5.7 Avaliação da estrutura intacta . . . 42

5.7.1 Comportamento Elástico Linear . . . 42

5.7.2 Comportamento Elastoplástico com Amolecimento . . . 45

5.7.3 Comportamento Elastoplástico Perfeito . . . 47

5.7.4 Comparações entre os comportamentos estudados . . . 50

5.8 Avaliação da estrutura danicada . . . 51

5.8.1 Ligação ao pilar de canto PC1, danicada . . . 51

5.8.2 Restantes ligações danicadas . . . 60

(3)

6 ANÁLISE PROBABILÍSTICA DA SEGURANÇA 66

6.1 Generalidades . . . 66

6.1.1 Denição do problema . . . 66

6.2 Metodologia empregue . . . 66

6.3 Denição das ações . . . 67

6.4 Descrição dos modelos . . . 67

6.5 Avaliação da estrutura intacta . . . 68

6.5.1 Comportamento Elastoplástico Perfeito . . . 69

6.5.2 Comportamento Elastoplástico com Amolecimento . . . 69

6.5.3 Comportamento Elástico Linear . . . 70

6.6 Estrutura danicada (Pilar de canto PC1) . . . 70

6.7 Análise da robustez das estruturas . . . 72

7 CONCLUSÃO 74 7.1 Generalidades . . . 74

7.2 Estudos futuros . . . 74

Bibliograa 74 A ARMADURAS SUPERIORES E INFERIORES DA LAJE 78 B RESULTADOS OBTIDOS NAS RESTANTES ESTRUTURAS DANIFI-CADAS 82 B.1 Ligação ao pilar de bordo PB1,1, danicada . . . 82

B.1.1 Comportamento elástico linear . . . 82

B.1.2 Comportamento elastoplástico com amolecimento . . . 84

B.1.3 Comportamento elastoplástico perfeito . . . 87

B.2 Ligação ao pilar de bordo PB2,1, danicada . . . 87

B.3 Ligação ao pilar de bordo PB3,1, danicada . . . 92

B.4 Ligação ao pilar de bordo PI1,1, danicada . . . 97

(4)

B.5 Ligação ao pilar de bordo PI2,1, danicada . . . 102

(5)

2.1 Esquema da linha de rotura e posicionamento da tubagem de gás . . . 13

2.2 Torre Ronan Point após colapso . . . 13

2.3 Pormenor da ligação entre as paredes resistentes e o pavimento . . . 13

2.4 Localização do pilar fragilizado . . . 15

2.5 Escombros do centro comercial Sampoong . . . 15

2.6 Queda de escombros durante o colapso . . . 15

2.7 Ponte I-35W Mississippi River . . . 16

2.8 Ponte I-35W Mississippi River . . . 17

2.9 Pormenor de Gusset danicado . . . 17

3.1 Rotura da laje por punçoamento . . . 19

3.2 Desenvolvimento das fendas durante o processo de punçoamento . . . 19

3.3 Mecanismo de resistência ao Punçoamento . . . 19

3.4 Primeiros perímetros de controlo para áreas carregadas junto a um bordo livre ou a um canto [21] . . . 21

3.5 Perímetros de controlo reduzidos para pilares de canto e de bordo [21] . . . . 22

3.6 Distribuição de tensões tangenciais devidas a um momento transferiddo entre a laje e um pilar interior . . . 22

4.1 Função estado limite . . . 31

4.2 Função probabilidade cumulativa . . . 34

4.3 Custo vs. Segurança . . . 35

5.1 Representação da estrutura analisada . . . 38

5.2 Esquema dos pilares analisados . . . 39

5.3 Comportamento Elástico Linear . . . 39

5.4 Comportamentos adotados nas diferentes análises . . . 40

5.5 Evolução dos esforços nas conexões pilares com a carga aplicada na laje . . . 44

5.6 Deslocamento máximo na laje . . . 45

5.7 Evolução dos esforços nos pilares com a carga aplicada na laje . . . 46

(6)

5.16 Comportamento da estrutura com o efeito de alavanca . . . 59

B.1 Evolução dos esforços nas conexões pilares com a carga aplicada na laje . . . 83

B.2 Deslocamento máximo na laje . . . 84

(7)

3.1 Valores de κ para áreas carregadas retangulares . . . 22

4.1 Índice de abilidade para estados limites últimos . . . 36

4.2 Índice de abilidade para estados limites de serviço reversíveis . . . 37

5.1 Coecientes parciais majorativos e minorativos . . . 41

5.2 Esforços atuantes e resistentes de punçoamento . . . 43

5.3 Carga de rotura e esforços axiais em cada ligação laje-pilar (a negrito estão indicados os esforços de punçoamento dos pilares que atingem a rotura) . . . 44

5.4 Gradiente de esforços em cada conexão laje-pilar . . . 44

5.5 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados os esforços de punçoamento dos pilares que atingem a rotura) . . . 46

5.6 Gradiente de carga entre cargas de rotura . . . 47

5.7 Cargas de rotura parciais e total e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados os esforços de punçoamento dos pilares que atingem a cedência) 48 5.8 Cargas de rotura parciais e total e esforços axiais em cada pilar . . . 49

5.9 Relações entre os diferentes modelos analisados . . . 50

5.10 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados os esforços de punçoamento dos pilares que atingem a cedência) . . . 52

5.11 Variação de esforços entre cargas de rotura . . . 53

5.12 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados os esforços de punçoamento dos pilares que atingem a cedência) . . . 55

5.13 Variação de esforços entre cargas de rotura . . . 56

5.14 short title . . . 59

5.15 Relações entre os diferentes modelos analisados . . . 60

6.1 Modelos de cálculo das ações . . . 67

6.4 Probabilidades de falha e índices de abilidade . . . 70

(8)

6.9 Índice de robustez e margem de segurança . . . 73 B.1 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar - Comportamento Elástico

Linear . . . 82 B.2 Variação de esforços entre cargas de rotura - Comportamento Elástico Linear 83 B.3 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar - Comportamento

Elasto-plástico com Amolecimento . . . 84 B.4 Variação de esforços entre cargas de rotura - Comportamento Elastoplástico

com Amolecimento . . . 85 B.5 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar - Comportamento Elástico

(9)

1

INTRODUÇÃO

1.1 Generalidades

Ao longo do tempo as técnicas de dimensionamento e construção de estruturas foram evo-luindo no sentido de melhorar as soluções de problemas recorrentes em engenharia civil. Esse melhoramento deve vir acompanhado de uma especial atenção com fatores ambientais e de qualidade sem nunca descuidar os custos associados. Um dos resultados dessa evolução foram as lajes fungiformes, cujas primeiras patentes foram criadas por Turner (E.U.A. 1907) e Maillart (Suiça) [33], e que apresentam as seguintes vantagens:

Construção com menor espessura do piso e consequentemente menor custo;

Tetos planos facilitando não só os processos de cofragem e descofragem mas também a instalação de condutas;

Facilidade de colocação de divisórias;

No entanto, a utilização destes sistemas requer especial atenção no que concerne à: Concentração de esforços nos apoios (exão e punçoamento);

Concentração de deformação nos apoios e deformabilidade em geral; Flexibilidade às ações horizontais.

Existem três metodologias para análise de estruturas: métodos empíricos/analíticos, mé-todos experimentais e mémé-todos numéricos. Os regulamentos existentes, para a análise do punçoamento, baseiam-se essencialmente em métodos empíricos e analíticos que têm vindo a ser desenvolvidos desde o início do século XX. Contudo a concordância nesta matéria não é uma realidade devido ao uso de diferentes parâmetros em diferentes países.

Os ensaios experimentais de punçoamento são dispendiosos e portanto os métodos numéricos de análise, fundamentalmente baseados no método dos elementos nitos, tornaram-se uma ferramenta importante na continuação de recolha de informação e de análise da informação já existente.

No presente estudo, analisa-se o comportamento de lajes fungiformes com o auxilio do mé-todo dos elementos nitos. Este foca a análise de robustez de uma laje fungiforme atra-vés da introdução localizada de defeitos, sendo a robustez aferida atraatra-vés da comparação do índice de abilidade. O comportamento da ligação laje-pilar é modelado considerando três comportamentos idealizados: elástico linear, elastoplástico perfeito e elastoplástico com amolecimento.

É importante que a realização de uma análise numérica seja acompanha por algum outro tipo de análise supracitada, especialmente uma análise experimental, que corrobore os resultados obtidos.

(10)

1.2 Objetivos

Esta dissertação de mestrado tem como objetivo denir o índice de abilidade associado às probabilidades de rotura total e parcial de uma estrutura danicada. A simulação numérica foi efetuada recorrendo ao programa OPENSEES - software opensource criado no seio do PEER (Pacic Earthquake Engineering Center). Este programa permite aos utilizadores criarem estruturas com recurso a elementos nitos para serem posteriormente analisadas [34].

Com o programa supracitado pretende-se simular diversos cenários, o primeiro pretende re-presentar uma situação em que a estrutura cumpre os requisitos para que foi dimensionada e os restantes pretendem simular estruturas com defeitos em diversas ligações laje-pilar. Para cada uma das estruturas analisadas foram utilizados modelos numéricos. Pretendeu-se com isso entender o comportamento de uma laje fungiforme quando a ligação ao pilar de canto de uma laje fungiforme contém um defeito. Com o estudo desse comportamento é possível, através de um número suciente de ensaios, denir-se o índice de abilidade associ-ado às probabilidades de rotura total e parcial da estrutura danicada para posteriormente denir-se o respetivo fator de redundância que dará a indicação sobre a sua redundância e abilidade.

1.3 Organização da Dissertação

Em seguida apresenta-se a estrutura desta dissertação, que é constituída por 8 capítulos. Relativamente ao segundo capítulo são apresentados alguns acidentes originados por uma rotura por punçoamento, dando especial relevância à sua capacidade propagativa.

No capítulo terceiro procura-se apresentar uma informação mais detalhada sobre o com-portamento de lajes fungiformes relativamente ao punçoamento. Apresenta-se o mecanismo de rotura por punçoamento assim como o mecanismo de resistência ao punçoamento e os fatores que o condicionam. Ainda neste capítulo está patente a forma de como pode ser avaliada a resistência ao punçoamento deste tipo de estruturas.

O quarto capítulo pretende descrever de uma forma mais detalhada o conceito de segurança estrutural. Tendo em conta que durante este documento se fala de modelação numérica é imprescindível descrever os modelos descritos do comportamento físico e as incertezas associadas a estes modelos. Em engenharia civil, o termo segurança estrutural aparece quase sempre associado ao de abilidade que é descrito na última secção deste capítulo. Além disso, será apresentado o método de Monte Carlo que será bastante útil especialmente nos últimos capítulos.

No capítulo quinto apresenta-se uma análise determinística da segurança de lajes fungifor-mes. Serão apresentados os modelos numéricos que descrevem as características dos elemen-tos e das ações para serem posteriormente modelados através do programa OPENSEES. Os modelos podem ser divididos em dois grandes grupos: um grupo, em que a estrutura não apresenta qualquer tipo de danos e em que a resistência dos pilares é igual à resistência que foi dimensionada, e um segundo grupo, em que uma das ligações entre laje-pilar contém um defeito que impede que desenvolvam a totalidade da sua capacidade resistente.

A análise probabilística da segurança de lajes fungiformes é apresentada no sexto capítulo. Tal como acontecia na secção anterior, serão denidos os modelos dos elementos e das ações, só que através de variáveis aleatórias. Posteriormente, usando a metodologia de Monte Carlo, serão avaliadas as probabilidades de rotura para as duas situações consideradas: estrutura danicada e estrutura não danicada.

É no último capítulo que serão apresentadas as conclusões relativamente à análise efetuada, assim como os estudos futuros que se consideram relevantes.

(11)

(12)

2

COLAPSO PROGRESSIVO

2.1 Generalidades

O colapso progressivo tem tido um papel importante na enfatização de problemas estruturais de menor dimensão, gerando efeitos catastrócos quando comparados com a causa inicial. Naturalmente, os acidentes que ocorreram ao longo da história representam bons casos de estudo e de prevenção, por esses motivos, devem ser analisados por forma a evitar novos episódios desastrosos.

2.2 Ronan Point

Alguns acidentes ao longo dos anos ilustram este acontecimento, como é o caso do colapso parcial do edifício Ronan Point em Londres, 1968 [7].

Como resposta ao crescimento populacional, os lideres municipais no Reino Unido, numa tentativa de xar os habitantes nos seus municípios, apostam na construção de residências sociais. Utilizando subsídios disponíveis, que eram distribuídos de forma a incentivar a construção de edifícios com mais de cinco andares, esta política social começa a tomar forma, e durante os anos 60, houve um pico na construção de grandes blocos de habitações. Assim, em 1966 inicia-se a construção do edifício Ronan Point, uma torre com vinte e dois andares situada em Newham, recorrendo a uma técnica conhecida como Large Panel System (LPS) que consiste na fabricação de peças de betão em fábricas especializadas e transportadas para o local da obra onde são posicionados e montados com recurso a gruas. Uma das grandes vantagens desta técnica é a rapidez do processo construtivo que, sendo aproveitada, proporcionou a nalização do edifício a 11 de Março de 1968.[1]

2.2.1 Colapso

No dia 16 de Maio de 1968, uma explosão devida a uma fuga de gás ocorreu num apartamento localizado no canto do 18º piso, tal como indica a gura 2.1. A intensidade do acidente foi suciente para criar uma rotura nas paredes suportantes exteriores deixando sem apoio a laje. A falta destes elementos estruturais fez ceder os quatro apartamentos superiores cujos escombros acabaram por cair e sobrecarregar os pisos imediatamente abaixo. A presença de uma nova sobrecarga, maior do que aquela para que terá sido dimensionada a estrutura, foi condição suciente para que os pisos inferiores adjacentes colapsassem, produzindo um efeito em cadeia que acabou por levar à rotura a parte sudoeste do edifício.

Este acidente fez ruir parte da sala de jantar deixando os quartos intactos, à exceção dos apartamentos localizados entre os pisos 17 e 22, tal como indica a gura 2.2, onde estavam

(13)

Figura 2.1: Esquema da linha de rotura e posicionamento da tubagem de gás

as vítimas mortais (devido à hora, os habitantes desses apartamentos ainda se encontravam a dormir) [18].

(a) Vista geral do

edifí-cio (b) Pormenor dos últi-mos pisos (c) Pormenor do 18º piso

Figura 2.2: Torre Ronan Point após colapso

2.2.2 Causas

Figura 2.3: Pormenor da li-gação entre as paredes resisten-tes e o pavimento

Uma equipa de investigação formada pelo governo chegou à con-clusão que não foi utilizada uma porca de bronze standard para fazer a ligação entre ao painel de parede e o painel de solo. Fazendo testes exaustivos ao tipo de porca utilizada cou pa-tente que a pequena espessura da ange e o invulgar ângulo do encaixe (chamfer) diminuíram a sua capacidade resistente (ver gura 2.3). Por isso, foi assumido que a porca já estaria fraturada devido a um aperto excessivo durante a instalação do sistema de gás o que permitiu o escape do gás.

As evidências sugerem que a explosão não foi muito forte, isto porque a residente do apartamento não sofreu danos de audição indicando que a pressão libertada na explosão foi inferior a 69 kPa. No entanto, os testes demonstraram que seria suciente

uma pressão de 21 kPa para mobilizar as paredes exteriores do edifício, uma pressão menos de três vezes inferior à que ocorreu.

A equipa de investigação chegou à conclusão que o colapso progressivo ocorreu devido à falta de mecanismos de segurança e de caminhos de carga alternativos. Sem um sistema estrutural os pisos superiores caram desprovidos de apoio, fracturando-se, despoletando e propagando a destruição até ao piso térreo [18].

(14)

2.2.3 Aspetos técnicos

As investigações supramencionadas também revelaram que ventos fortes ou até mesmo os efeitos provocados por um incêndio seriam sucientes para causar o colapso progressivo da estrutura.

Os edifícios a serem construídos na altura era projetados com base em códigos com cerca de quinze anos de existência que não tinham em conta os efeitos do vento em edifícios de grande altura. Além disso, um incêndio poderia impor deformações ao pavimento promovendo deslocamentos ou rotações nas ligações das peças pré-fabricadas [18].

2.2.4 Pós-colapso

Apesar dos notáveis estragos, o edifício foi reconstruido parcialmente usando soluções re-forçadas, no entanto, a simbiose entre os problemas sociais e a diminuta conança nas capacidades resistentes do edifício, após a ocorrência do acidente, levaram à sua demolição em 1986.

O desmantelamento do edifício foi feito piso a piso de forma a poderem ser inspecionadas as juntas entre as peças da laje e as peças da paredes. O relatório da inspeção indica claramente que as juntas tinham vazios que permitiam a acumulação de lixo, mas o mais preocupante seriam os ganchos utilizados nas ligações que evidenciavam a negligência durante o processo construtivo. A gura 2.3 indica os principais problemas encontrados.[7]

2.3 Sampoong

Em meados dos anos 80, a Coreia do Sul encontra-se em pleno crescimento tanto a nível industrial como a nível de infraestruturas. No entanto, um pico mais acentuado surge quando Seul é a cidade eleita para organizar os jogos Olímpicos em 1988, dinamizando o comércio e fazendo aumentar signicativamente o número de edifícios construídos.

Um grupo de executivos, aproveitando-se do desenvolvimento económico que o país sofria, decide construir um edifício que funcionará como escritórios. Prevendo uma maior fonte de rendimento decidem alterar o projeto inicial e transformar o espaço num centro comer-cial com um uxo de visitantes de cerca de quarenta mil pessoas por dia. A empresa de construção decide abandonar o projeto de construção por não concordar com as alterações propostas a nível estrutural, nem com a construção de um novo piso para suster uma pista de patinagem. Ainda assim, os donos da obra decidem avançar com o projeto contratando uma outra empresa. A última alteração no projeto é efetuada quando a pista de patinagem é substituída por um restaurante típico coreano e a construção termina em 1989 [5].

2.3.1 Colapso

O maior acidente em tempo de paz na Coreia do Sul acontece a 29 de Junho de 1995 em Seul quando ao nal da tarde desse dia o centro comercial Sampoong rui após o aparecimento de várias falhas (guras 2.5 e 2.6).

Os indícios de que a estabilidade do edifício está fragilizada surgem quando o segurança noturno informa o gerente que, durante a noite, foram ouvidos ruídos estranhos vindos da cobertura. Nessa mesma manhã foram encontradas ssuras de grandes dimensões no pilar 5E na zona onde tinha sido construído o restaurante.

(15)

Figura 2.4: Localização do pilar fragilizado

Ao longo do dia vários ruídos foram ouvidos acompanhados por pequenas vibrações. O gerente, pensando que esses sintomas eram provenientes do sistema de ar-condicionado instalado na cobertura, decide desligá-lo. Por volta das 16 horas locais, o gerente decide informar o seu superior do su-cedido até então dando indicações de que as ssuras no pilar 5E aumenta-ram para cerca de 10 cm desde essa manhã. O engenheiro de estrutu-ras, também presente nessa reunião aconselha-o a fechar o centro comer-cial, mesmo assim, o gerente superior recusa-se. Até à hora do acidente vários sons indiciando um colapso foram ouvidos e igno-rados até que por volta das 18 horas uma vibração violenta é sentida em todo o edifício e a cobertura cai. Os escombros depositados no quinto piso aumentaram substancialmente a carga aplicada fazendo com que este também ruísse. Este processo repetiu-se nos pisos subjacentes e o colapso progressivo deu-se em menos de 20 segundos [6].

2.3.2 Causas

Figura 2.5: Escombros do centro comercial Sampoong

Após o colapso, foi iniciado um processo de análise das cau-sas do acidente. O primeiro facto que mereceu especial aten-ção foi a construaten-ção com recurso a lajes fungiformes conheci-das pela capacidade de suportar cargas sem recurso a vigas, o que condiciona a redistribuição e a retransmissão de car-gas.

Posteriormente foi analisada a zona onde o centro comercial tinha sido fundado e os materiais utilizados. As fundações estavam apoiadas em rocha sólida e não sofreram danos. A composição do betão também foi posta em causa mas os resultados das análises mostraram que a qualidade era adequada, o que levou os peritos a rever os projetos.

Figura 2.6: Queda de escombros durante o colapso

Os projetos revelaram grandes problemas a nível estrutural. A conversão num centro comercial, do que tinha sido inicial-mente projetado como um conjunto de escritórios, começou por ser feita criando várias aberturas nas lajes para a ins-talação de escadas rolantes, criando pontos de fraqueza. Os pilares do piso térreo também foram alterados, tendo sido reduzido o seu diâmetro de 85 centímetros para cerca de 60 centímetros. Além disso, o espaçamento entre pilares era de aproximadamente 11 metros, uma distância excessiva para o tipo de soluções adotadas [6].

Contudo, o quinto piso foi crucial durante o colapso, que, com o peso adicional, sobrecarregou substancialmente os elementos suportantes (não somente devido à construção propriamente dita, mas também à alteração para uma zona de restauração). Nos restaurantes tradicionais coreanos, os clientes sentam-se no chão. Por forma a tornar o ambiente mais confortável, o pavimento incorporava um sistema de aquecimento com recurso a tubagens de água quente aumentando consideravelmente os esforços no pavimento. Somado a todos estes erros, os

(16)

pilares no quinto piso que não estariam alinhados com os subjacentes levando à existência de zonas com graves problemas de punçoamento [6].

A cobertura, local onde foi instalado o sistema de ar-condicionado, mostrou ter uma espes-sura quatro vezes inferior à requerida.

Apesar de todos os problemas mencionados até então, o que fez despoletar o acidente foi a movimentação dos aparelhos de ar condicionado. Como foi previamente mencionado, os aparelhos de ar-condicionado encontravam-se na cobertura para evitar ruídos elevados, mas ainda assim houveram queixas dos donos dos edifícios vizinhos. Por forma a diminuir os ruídos produzidos pelos equipamentos, estes foram arrastados ao longo da cobertura promovendo o aparecimento de fendas de enormes dimensões, não só no pavimento, mas também no pilar 5E. As constantes vibrações das unidades de ar-condicionado aumentaram as fendas existentes e provocaram uma rotura por punçoamento.

Este foi o incidente que provocou o maior número de mortos (mais de 500) por falha na construção/projeto [6].

2.4 Ponte I-35W Mississipi River

Figura 2.7: Ponte I-35W Mississippi River

A problemática do colapso progressivo não está apenas relacionada com edifícios. Existem enumeras estruturas que colapsam pelo mesmo processo, sendo exemplo co-nhecido o da ponte I-35W Mississippi River (gura 2.7) .

A ponte, ocialmente designada por Ponte 9340, surge com a necessidade de fazer uma ligação entre o centro da cidade de Minneapolis e os grandes centros habitacionais na periferia. A ponte era composta por catorze vãos que perfaziam cerca de 580 metros. Nove dos catorze vãos foram construídos com recurso a vigas em aço onde

as-sentaria o tabuleiro, os três vãos principais foram elaborados através de um sistema treliçado em aço e os restantes dois eram lajes de betão armado. Sendo o rio Mississippi utilizado por embarcações, optou-se por não se colocarem pilares no canal de navegação, por isso, para que se vencesse um vão de cerca de 140 metros, o centro da ponte seria construído com recurso a um arco em treliça que descarregaria os esforços em dois pilares de betão armado posicionados nas margens do rio. A obra inicia-se em 1964 e termina três anos depois [11].

2.4.1 Colapso

No dia 1 de Agosto de 2007, cerca das dezoito horas, a ponte encontrava-se totalmente preenchida por automóveis que se seguiam em marcha lenta devido à grande auência de veículos. Sem pré-aviso o vão central da ponte cai, seguindo-se uma queda em cadeia dos restantes vãos (ver gura 2.8).

2.4.2 Causas

As ligações do vão central aos pilares nas margens do rio foram efetuadas com recurso a gussets de aço que seriam determinantes no processo de colapso. A agência de investigação descobriu que estes elementos foram cando desadequados quando comparados com a carga atuante na altura do acidente, carga essa que foi aumentando ao longo do tempo provocando

(17)

(a) Vista geral da

estru-tura (b) Pormenor de um dos apoios (c) Pormenor do sistema tre-liçado

Figura 2.8: Ponte I-35W Mississippi River

uma fratura nesses elementos de ligação. Os arquivos de prévias inspeções mostram clara-mente que os gussets já se encontravam corroídos, tal como indica a gura 2.9, e curvados . Além desses fatores, um erro nos cálculos ou na própria construção indicam que houve uma diminuição na espessura de cerca de treze milímetros, a colocação de 51 milímetros de betão no tabuleiro da ponte aumentando o peso próprio em cerca de 20% e a presença de gelo e material de construção no ponto mais fraco da estrutura.[11]

Figura 2.9: Pormenor de Gusset danicado

A limpeza dos destroços foi feita rapidamente e uma nova ponte foi construída no mesmo local da anterior. A nova ponte denominada I-35W Saint Anthony Falls Bridge foi construida em betão armado e abriu ao público no dia 18 de Setembro de 2008.[27]

(18)

3

LAJES FUNGIFORMES

3.1 Generalidades

A utilização de lajes fungiformes tem vindo a tomar uma posição muito relevante na constru-ção civil devido, não somente, às suas vantagens económicas mas também às suas vantagens de carácter funcional. No entanto, a sua aparência simples não é sinónimo de simplicidade comportamental e a análise de esforços toma outra dimensão com a aparição de esforços elevados e concentrados nas zonas de apoio. Estes esforços criam fendas, e numa proporção maior, levar à rotura parcial da laje. O histórico da investigação de soluções com betão ar-mado evidencia o fenómeno do punçoamento como um dos problemas com maior diculdade em termos de dimensionamento de estruturas. Embora a rotura por punçoamento seja um fenómeno localizado, em alguns casos pode dar inicio a uma rotura progressiva e ao colapso total da estrutura.

3.2 Mecanismo de Rotura por Punçoamento

O punçoamento diz respeito a uma falha gerada por esforços de corte e de exão distribuídos ao longo de uma região da laje na periferia dos pilares. Este mecanismo, de colapso local, está associado, em geral, a uma rotura repentina com ausência de ductilidade - rotura frágil - e é caracterizado pela ocorrência de fendas sem o desenvolvimento prévio de mecanismos de deformação permanente com intensidade apreciável. É a união progressiva dessas micro fendas no betão que originam fendas propagativas. No limite do desenvolvimento dessas fendas propagativas dá-se a rotura formando um elemento tronco-cónico.

Este mecanismo pode ser analisado em quatro momentos distintos [20]:

1. Comportamento elástico linear dos materiais: esta fase é caracterizada pela ausência de fendas no betão e o aço da armadura ordinária está sujeita a tensões muito baixas. 2. Aparecimento de fendas de exão: surgem as primeiras fendas, na face superior da laje, tangentes às faces do pilar, tal como indica a gura 3.2a. Com o incremento da carga perpendicular ao plano da laje surgem fendas radiais centradas no pilar (gura 3.2b).

3. Aparecimento de fendas de corte: a partir deste ponto deixam de se formar fendas de exão (radiais e tangenciais), embora as já existentes continuem a sua evolução, aumentando de largura. Esta evolução promove o aparecimento de fendas de corte (circunferenciais) ao longo da espessura da laje que levam à rotura por punçoamento (gura 3.2c).

(19)

4. Separação do sistema pilar-laje (gura 3.1): o betão da laje sofre uma rotura ao longo da fenda de corte que faz com que a laje se separe em duas partes unidas entre si, somente devido à armadura que atravessa a fenda.

(a) Superfície tronco-cónica (b) Superfície tronco-cónica (pormenor) Figura 3.1: Rotura da laje por punçoamento

Note-se que, genericamente, estas são as fases que compõem o mecanismo de rotura por punçoamento e que podem ser facilmente identicadas à exceção das fases de aparcimento de fendas em que a transição entre a manifestação de fendas de exão e de corte pode não ser tão evidente [20].

(a) Fendas tangenciais (b) Fendas radiais (c) Fendas

circunferen-ciais Figura 3.2: Desenvolvimento das fendas durante o processo de punçoamento

3.3 Mecanismo de Resistência ao Punçoamento

O mecanismo de resistência ao punçoamento, representado na gura 3.3, pode ser entendido como um leque de respostas que a estrutura fornece para contrariar as cargas verticais que desencadeiam este mecanismo. Estas respostas são dadas através de esforços que se vão gerando na periferia do pilar devido às interações entre materiais (betão-aço e inertes-inertes) e entre a estrutura e as cargas aplicadas. As interações supracitadas podem ser classicadas como [3]:

Figura 3.3: Mecanismo de resistência ao Punçoamento 1. Componente vertical da compressão radial.

(20)

3. Componente vertical do efeito de ferrolho: Força de corte transferida através das armaduras de exão que atravessam a fenda de punçoamento.

3.4 Fatores que inuenciam a resistência ao punçoamento

Pela análise de resultados obtidos através de testes experimentais, quer sejam baseados em modelos físicos ou com recurso ao método dos elementos nitos, foram evidenciados dois grandes grupos de propriedades que desempenham um papel fundamental na resistência ao punçoamento [31]:

Parâmetros geométricos: A este grupo pertencem, por um lado, as dimensões das lajes (espessura, altura útil e vão) e por outro as dimensões e localização dos pilares (esbelteza, pilar interior, pilar de bordo ou pilar de canto);

Propriedades dos materiais: No que diz respeito às propriedades dos materiais, a resistência à compressão do betão e a resistência à tração do aço da armadura ordinária, da armadura especíca de punçoamento ou da armadura de pré-esforço são os fatores mais importantes.

3.5 Avaliação da resistência ao punçoamento

O punçoamento resulta da aplicação de uma carga numa área relativamente pequena, tal como acontece no pilares de lajes fungiformes. Nesse caso, a resistência ao punçoamento deve ser vericada na face do pilar e no primeiro perímetro de controlo. No caso de ser necessária uma armadura resistente, deverá determinar-se um outro contorno a partir do qual já não seja necessária armadura de punçoamento. A seguinte secção refere-se a regras de dimensionamento propostas no Eurocódigo 2 [21].

É condição suciente, para estar vericada a resistência ao punçoamento, que a tensão resistente seja superior à tensão atuante no primeiro perímetro de controlo:

vEd≤ vRd (3.1) vEd= β VEd u1d ≤ vRd = max ( CRd,c× k × (100 × ρl× fck) 1/3 0, 035 × k2/3_f ck 1/3 (3.2)

Em que:u1- Primeiro perímetro de controlo a uma distância 2d da face do pilar; β - Coeciente que tem em conta a contribuição do momento atuante (β = 1 + κMEd

VEd

u1

W1);

[21]

VEd- Esforço axial de cálculo de punçoamento; d - Altura útil da secção transversal da laje;

CRd,c- Coeciente que depende do facto parcial relativo ao betão (CRd,c= 0.12); k - Coeciente que depende da altura útil da laje (k = 1 +q200

d ≤ 2, 0 com d em mm); ρl- Percentagem de armadura longitudinal (ρl=

√

ρlx× ρly)

ρlx,ρly - Armaduras de tração aderentes nas direções x e y, respetivamente. Estes valores foram calculados como valores médios numa largura de laje igual à largura do pilar acrescida de 3d para cada lado;

(21)

W1 - Calculado para o primeiro perímetro de controlo,

MEd- Valor de cálculo do momento de dimensionamento;

κ - Coeciente que depende da relação entre as dimensões do pilar, c1 e c2; o seu valor é função da proporção do momento não equilibrado transmitido por forças de corte não uniformes e por exão e torção (ver Tabela 3.1); [21]

fck- Valor característico da resistência à compressão do betão.

Para uma área carregada localizada junto a um bordo livre ou a um canto, o perímetro de controlo deverá ser considerado conforme representado na gura 3.4, desde que o seu perímetro (excluindo os bordos livres) seja inferior a u1;

Figura 3.4: Primeiros perímetros de controlo para áreas carregadas junto a um bordo livre ou a um canto [21]

No caso de ligações de pilares de canto, em que a excentricidade é dirigida para o interior da laje, admite-se que o esforço de punçoamento é uniformemente distribuído ao longo do perímetro de controlo reduzido, u1∗, como denido na Figura 3.5. O valor de β poderá ser então considerado a β = u1/u1∗.

No caso de ligações de pilares interiores pode ser utilizado um valor aproximado de β= 1.15. No caso de ligações de pilares de bordo em que existe excentricidade nas duas direções ortogonais, β poderá ser determinado pela seguinte expressão:

β = u1 u1∗ + κMEd VEd u1 W1 (3.3)

No caso de ligações de pilares de bordo, em que a excentricidade na direção perpendicular ao bordo da laje é dirigida para o interior e não há excentricidade na direção paralela ao bordo, poderá considerar-se o esforço de punçoamento uniformemente distribuído ao longo do perímetro de controlo, u1∗, como representado na gura 3.5. [21]

(22)

Figura 3.5: Perímetros de controlo reduzidos para pilares de canto e de bordo [21] Tabela 3.1: Valores de κ para áreas carregadas retangulares

c1/c2 ≤0,5 1,0 2,0 ≥3

κ 0,45 0,60 0,70 0,8

Figura 3.6: Distribuição de tensões tangenciais devidas a um momento transferiddo entre a laje e um pilar interior

(23)

(24)

4

SEGURANÇA ESTRUTURAL

4.1 Generalidades

A incerteza, associada ao comportamento de estruturas, advém da utilização de diversos fatores, durante a fase de dimensionamento estrutural, tais como as ações que a estrutura estará sujeita durante toda a sua existência, a geometria, hipóteses simplicadas utilizadas, condições ambientais e as propriedades dos materiais utilizados, que não podem ser previstos com precisão, estando por isso associadas diversas fontes de incerteza. Por esse motivo todas essas variáveis devem ser cuidadas de forma a prever valores não esperados, minimizando o risco associado à incerteza, tendo sempre presente que a segurança absoluta é inexistente. Em 1971, o Liaison Committee, que coordenava as atividades de cinco associações inter-nacionais no ramo da engenharia civil (CEB, CIB, FIP, IABSE e RILEM), criou o JCSS, (Joint Committee on Structural Safety), com o objetivo de aprofundar o conhecimentos so-bre segurança estrutural. Para isso decidiu criar um modelo que juntasse, de uma forma consistente, algumas das regras, regulamentos e explicações que são necessárias para o di-mensionamento de estruturas de um ponto de vista probabilístico. Este modelo está descrito num documento, Probabilistic Model Code [22], constituído por três partes:

1. Bases de dimensionamento - aborda os princípios gerais para um dimensionamento probabilístico de estruturas;

2. Modelos de Ações - trata, mais detalhadamente, os aspetos relacionados com a descri-ção das ações;

3. Modelos de Resistência - trata, mais detalhadamente, os aspetos relacionados com a descrição das resistências;

Em seguida abordar-se-á cada uma destas secções, tendo sempre presente que este capítulo foi baseado neste documento.

De forma a correlacionar os fatores referidos e o seu impacto ao longo do tempo previsto de utilização, surge o conceito de abilidade estrutural que pode ser denido como a capacidade de uma estrutura ou elemento estrutural vericar os requisitos de segurança durante a sua vida útil. Se se conseguir obter a probabilidade de cumprimento de um desses requisitos, previamente denidos, indispensável para que a rotura não aconteça ao longo da vida útil, pode-se então circunscrever a probabilidade de rotura que servirá para denir a segurança de uma estrutura de forma probabilística.

(25)

4.2 Métodos de análise de segurança estrutural

De uma forma geral, os métodos de análise da segurança estrutural dividem-se em quatro grupos tendo em conta a sensibilidade considerada relativamente à variabilidade das ações ou da resistência [37]:

Métodos de Análise Determinísticos - Consiste na redução da incerteza associada a apenas um coeciente de segurança global, assumindo, que esse coeciente é suciente para representar a inconstância das ações e da resistência. Atualmente considera-se este método inadequado para representar a realidade principalmente devido à ina-dequabilidade de um único coeciente ter a capacidade de traduzir duas grandezas totalmente distintas;

Métodos de Análise Semí-probabilísticos - O procedimento é praticamente igual ao anterior, a diferença está na substituição de um único coeciente global por vários coecientes parciais que advêm da dispersão da respetiva variável aleatória. Note-se que as várias grandezas são todas consideradas independentes ou perfeitamente dependentes entre si. Assim, existirão tantos coecientes parciais quantas ações e resistências que serão representadas por valores característicos ou nominais. A norma em vigor em Portugal, Eurocódigo CEN [16], - está baseada neste tipo de métodos; Métodos de Análise Probabilísticos Simplicados - As variáveis aleatórias são descritas

através de curvas de densidade de frequência utilizando a sua média e desvio padrão e a relação entre elas através da covariância. Neste tipo de análise a segurança é denida em termos de situações desfavoráveis, denidas a partir da função estado limite, que toma valores positivos, se não for ultrapassado o máximo aceitável, e negativos, no caso contrário.

Métodos de Análise Puramente Probabilísticos - Este é o método que trata mais pro-fundamente a temática da variabilidade das grandezas considerando que estas resultam de distribuições estatísticas obtidas através de observações realizadas. O grande en-trave à utilização deste método é o difícil manuseamento da informação.

4.3 Requisitos de dimensionamento

4.3.1 Requisitos básicos

Todos as estruturas e elementos estruturais devem ser projetados, construídos e mantidos durante a sua vida útil de forma a que sejam adequados às necessidades para os quais foram dimensionados, conferindo-lhes uma dimensão económica real. Tal pode ser conseguido se preencherem os seguintes requisitos: [22]

Devem ser ajustados ao uso para o qual foram idealizados (vericação dos estados limites de serviço).

Devem resistir a ações extremas e/ou repetidas frequentemente (vericação dos estados limites últimos).

Não devem ser danicadas por cargas acidentais (fogo, explosões, etc.) numa extensão desproporcional quando comparadas com o evento causador desse dano (vericação da robustez).

(26)

4.4 Princípios de dimensionamento de estados limites

4.4.1 Estados limites

O desempenho estrutural de estruturas, ou de elementos estruturais, deve ser denido baseando-se num conjunto de estados limites que podem ser divididos em duas categorias apresentadas nas secções adjacentes.

Note-se que a excedência de um estado limite pode ser irreversível ou reversível. No pri-meiro caso, os danos causados irão manter-se até a estrutura ser reparada, enquanto que no segundo, os danos estarão presentes apenas durante a atuação da sua causa, ou seja, assim que a causa dos danos desaparece, a estrutura volta a estar dentro dos pressupostos do estado limite previamente excedido.

4.4.1.1 Estados limites últimos

Estes estados limites têm em conta as capacidades máximas de carregamento assim como a máxima deformação suportada e podem corresponder às seguintes situações [21]:

Perda de equilíbrio da estrutura, ou parte desta, considerado como um corpo rígido ; Violação da capacidade resistente máxima de secções, elementos ou ligações por rotura

ou deformação excessiva;

Rotura de elementos ou ligações casada por efeitos cíclicos instabilizadores (ex. fadiga); Alteração do sistema estrutural.

4.4.1.2 Estados limites de serviço

Estes estados limites consideram cargas e deslocamentos mais prováveis durante a vida útil da estrutura que podem corresponder às seguintes situações [21]:

Danos locais que podem reduzir a durabilidade da estrutura ou afetar a eciência e/ou aparência dos elementos;

Deformações exageradas que afetem a eciência e/ou aparência dos elementos e/ou equipamentos;

Vibrações excessivas que afetem elementos não-estruturais e/ou o funcionamento de equipamentos ou causem desconforto de pessoas.

Se existirem danos permanentes ou existirem deformações permanentes não aceitáveis, a excedência do estado limite de serviço é irreversível. Caso contrário, a excedência do estado limite de serviço é reversível. Os limites para este tipo de estados limites devem ser denidos de acordo com a utilização da estrutura.

4.4.2 Situações de dimensionamento

As ações, assim como a inuência do meio ambiente e as propriedades do materiais, podem variar durante a vida útil da estrutura. Essas variações devem ser tidas em conta através de diferentes situações que representem, num determinado intervalo de tempo, limites es-truturais, condições e perigos. De acordo com a sua duração, estas situações podem ser classicadas como [21]:

(27)

Situações persistentes - referem-se a condições normais de uso da estrutura; Situações transitórias - referem-se a condições temporárias da estrutura; Situações acidentais - referem-se a condições excecionais da estrutura.

4.5 Princípios de modelação da incerteza

4.5.1 Variáveis básicas

O modelo de cálculo para cada estado limite considerado deve conter um número especicado de variáveis que descrevam os requisitos que a estrutura deve cumprir, ou seja, quantidades que o caracterizem, que sejam ações, materiais e geometrias. Estes parâmetros denem-se como variáveis básicas e são responsáveis por transmitir toda a informação para o modelo de cálculo.

4.5.2 Tipos de incerteza

As fontes de incerteza no dimensionamento podem resultar, em situações extremas, em desvios signicativos da realidade e condicionar a avaliação da segurança. Essas fontes de incerteza podem ser classicadas da seguinte forma [37]:

Incerteza do modelo - resulta da aproximação do comportamento real da estrutura e/ou ações a um ou vários modelos simplicados permitindo a análise e o dimensionamento. Esta incerteza pode ser minimizada adicionando um parâmetro de correlação entre a situação real e a simulada.

Incerteza física ou mecânica - advém da variabilidade das propriedades dos materiais e da geometria, entre outros. Pode ser reduzida recorrendo a bases de dados e a um controlo de qualidade, embora não possa ser anulada.

Incerteza estatística - resulta da interpretação de dados recorrendo a métodos pro-babilísticos para a extrapolação de determinados parâmetros. Esta extrapolação está associada à limitação de informação existente.

Incerteza humana - associa o facto de imperfeição humana durante o dimensionamento, construção e utilização da estrutura. Pretende ter em conta os erros que podem surgir durante as fases mencionadas, no entanto, devido à sua própria natureza, é bastante difícil de quanticar, podendo ser reduzida recorrendo a scalização.

4.6 Modelos descritivos do comportamento físico

Os modelos de cálculo devem descrever a estrutura e o seu comportamento tendo em conta as ações relevantes e as inuências do ambiente em que a estrutura estará inserida e devem ser considerados como simplicações que têm apenas em conta os fatores decisivos, ignorando os menos importantes. Normalmente são considerados os seguintes modelos que descrevem o comportamento físico da estrutura:

Modelos de ações; Modelos de materiais; Modelos geométricos; Modelos mecânicos.

(28)

4.6.1 Modelos de ações

Um modelo completo que pretenda representar uma ação deve descrever a sua magnitude, posição, direção, duração, etc.

A magnitude g de uma ação pode ser descrita através de dois tipos diferentes de variáveis da seguinte forma:

g = f (g0, F ) (4.1)

em que:

f - função descritiva da magnitude;

g0 - ação básica que varia no tempo e no espaço (aleatoriamente ou não) que é geralmente independente da estrutura;

F - variável (aleatória ou não) que pode depender das propriedades da estrutura e que permite relacionar g com g0.

4.6.2 Modelos de materiais

Para a denição de materiais utilizam-se relações entre a tensão e a extensão, ou seja, utilizam-se relações constitutivas. As quantidades que denem essas relações são o módulo de elasticidade, extensão máxima, tensão última, etc. que normalmente são consideradas variáveis aleatórias que podem variar do tempo e/ou no espaço e que quase sempre são relacionáveis.

4.6.3 Modelos geométricos

Uma estrutura pode, geralmente, ser descrita por um modelo que contém elementos unidi-mensionais (pilares, vigas, etc.), elementos bidiunidi-mensionais (lajes, paredes, etc.) e elementos tridimensionais (sapatas).

Os parâmetros geométricos que são incorporados no modelo dizem respeito a valores no-minais, isto é, dados de desenhos, descrições, etc. De uma forma geral, as quantidades geométricas de uma estrutura real diferem dos seus valores nominais, ou seja, a estrutura contém imperfeições geométricas. Se essas imperfeições condicionam o comportamento da estrutura, estas devem ser tidas em conta no modelo (um exemplo ilustrativo destas imper-feições são os efeitos de segunda ordem num pilar).

4.6.4 Modelos mecânicos

Os modelos mecânicos são os que descrevem o comportamento da estrutura quando sujeita a determinadas ações. Estes podem ser classicados em:

Modelos de resposta estática; Modelos de resposta dinâmica; Modelos de fadiga;

(29)

Na esmagadora maioria dos cálculos de dimensionamento assumem-se relações elásticas entre forças ou momentos e deformações. Estas considerações podem variar dependendo do tipo e objetivos dos cálculos embora a mais utilizada seja a relação elástica.

A teoria da elasticidade pode ser vista como uma simplicação de uma teoria mais geral e pode ser utilizada quando as forças e os momentos estão limitados a valores onde o compor-tamento da estrutura pode ser considerado elástico. No entanto, esta teoria também pode ser aplicada noutros casos como uma aproximação conservativa.

Geralmente, uma análise dinâmica utiliza-se se se pretender obter a resposta da estrutura quando submetida a variações de magnitude, posição ou direção das ações. Deve-se ter presente que uma alteração repentina da rigidez ou resistência de um elemento estrutural também pode originar um comportamento dinâmico.

Os modelos para uma resposta elástica consistem em: modelos de rigidez;

modelos de amortecimento; modelos de inércia.

4.6.4.1 Modelos para a fadiga

Os modelos para a fadiga são utilizados para a descrição de roturas geradas por cargas utuantes (rotura por fadiga). Existem dois tipos de modelos que podem ser utilizados:

modelo S-N baseado em ensaios; modelo de mecanismos de fratura.

4.7 Fiabilidade

4.7.1 Generalidades

Fiabilidade estrutural é um conceito que pode ser denido como a capacidade de uma deter-minada estrutura desempenhar os requisitos funcionais denidos sob condições especícas durante o período de vida útil para o qual a estrutura é dimensionada. Como cou patente anteriormente, a segurança estrutural é um problema probabilístico, e portanto, utilizar o termo estrutura segura pode não signicar que o colapso não advirá, já que a análise apoia-se em dados cujo valor exato não pode ser conhecido [22].

4.7.2 Metodologia para denição da abilidade

O uso da teoria da abilidade impõe, para que seja corretamente posta em prática, a denição de quatro grandes aspetos:

Denição dos critérios de rotura (requisitos de desempenho) - Estudo das possíveis formas de rotura, para um determinado carregamento considerado, sendo a rotura estrutural entendida como o abandono da função para que uma determinada peça foi dimensionada, que pode levar a uma rotura total ou parcial. Deverão também ser tidos em conta as alterações que poderão ocorrer não só durante a fase de utilização mas também durante a fase de execução, como por exemplo, o armazenamento incorreto dos materiais, má vibração do betão, etc.

(30)

Determinação do período de tempo em que a estrutura se encontrará em serviço (re-quisitos temporais).

Determinação da probabilidade de rotura (nível de abilidade) - Podem ser adotados diferentes níveis de abilidades para diferentes estruturas ou estados limite. A tomada de decisão dos níveis de abilidade a considerar num determinado problema deve ter em conta, essencialmente, fatores de ordem social e económica e a sua relação com a rotura. Alguns fatores que devem ser ponderados na escolha dos níveis mínimos de abilidade estrutural podem ser: causas e/ou modo como a rotura é atingida, consequências da rotura (económicas e sociais), frequência de utilização da estrutura, exigências políticas, consequências da rotura na opinião publica e custos associados à redução do risco de colapso.

Condições especícas (limitação das incertezas associadas aos potenciais usos e funci-onalidades).

4.7.3 Índice de abilidade

Sumariamente, pode-se armar que a aplicação da teoria da abilidade pode ser traduzida através da consideração de duas funções de densidade de probabilidade, sendo que uma delas representa as resistências, R, e a outra o efeito das ações, S. Quando a função que representa as ações apresenta valores superiores à função que representa as resistências denomina-se zona de rotura. A distribuição destas variáveis está intimamente relacionado com três parâmetros essenciais:

1. Tipo de distribuição probabilística - Facto que interfere na forma que as curvas tomam; 2. Valor médio - Valor que inuencia a distância relativa entre as duas curvas, podendo,

deste modo, aumentar ou diminuir a zona de rotura;

3. Desvio Padrão - Montante que intervém na dispersão em torno do valor médio, inu-enciando também a dimensão da zona de rotura.

Por forma a transformar o conceito de abilidade estrutural num instrumento mais fácil de manusear, recorre-se ao conceito de função de estado limite g(x). Esta função reúne todas as características das resistências e das ações, combinando-as de tal forma a que permita interpretar se determinada estrutura verica ou não a segurança. Portanto, a quanticação da probabilidade de rotura pode ser obtida aplicando a teoria da abilidade que arma que a probabilidade de rotura pode ser denida como a probabilidade da função estado limite assumir valores iguais ou inferiores a zero: [35]

Pf = P (R ≤ S) = P (R − S ≤ 0) = P (Z ≤ 0) = P (g(x) ≤ 0) (4.2) em que R caracteriza as resistências e S o efeito das ações. A diferença entre estas (R-S) denomina-se margem de segurança (Z). Se as duas variáveis, R e S fossem conhecidas com absoluta precisão, a estrutura seria segura sempre que Z fosse maior que zero, caso contrário a rotura ocorreria. No entanto, estas duas variáveis dependem das propriedades dos materiais, das ações a que a estrutura está sujeita, da geometria, etc., por isso a margem de segurança só pode ser conhecida totalmente após a construção da estrutura, havendo a necessidade de utilizar métodos probabilísticos que envolvam estas incertezas. Assim denomina-se zona de segurança a região onde a função estado limite assume valores positivos e zona de rotura toda a região da função estado limite que apresente valores nulos ou negativos. A gura 4.1 pretende ilustrar a função estado limite e a posição da região de segurança e de insegurança [33].

(31)

Figura 4.1: Função estado limite

O modo de quanticar o conceito de abilidade foi materializado através de um índice de abilidade (β), relacionado com a probabilidade de rotura (Pf) por:

β = −Φ−1(Pf) (4.3)

em que Pf representa a probabilidade de rotura e Φ−1 a função inversa da distribuição normal.

A probabilidade Pf deve ser calculada com base na distribuição normalizada conjunta das variáveis básicas e tendo em conta os formalismos de tratamento da incerteza do modelo e da incerteza estatística. No entanto existem muitas situações em que podem ser utilizadas distribuições não normais para a caracterização das variáveis aleatórias. [35]

4.7.4 Fiabilidade de um elemento e abilidade de um sistema

A abilidade de um componente é a abilidade de um único elemento estrutural com um modo dominante de falha.

A abilidade de um sistema é a abilidade de um sistema estrutural composto por um número de componentes ou de um único componente que tem vários modos de falha. De acordo com o tipo de falha os sistemas podem ser classicados em:

Sistemas redundantes: são sistemas onde o comportamento de um dos elementos não resulta de uma forma direta na falha da estrutura;

Sistemas não-redundantes: são sistemas onde a falha local de um componente conduz rapidamente a uma rotura da estrutura.

O dimensionamento probabilístico estrutural está primariamente focado no comportamento de um elemento mas é o comportamento do sistema estrutural o mais preocupante porque normalmente é o que leva à falha estrutural. No entanto, a probabilidade que o colapso da estrutura aconteça devido à rotura inicial de um componente também deve ser estudada. Assim, é necessário determinar as características do sistema relativamente à tolerância ao dano ou robustez no que diz respeito a eventos acidentais. Os requisitos para a determinação da abilidade de um componente do sistema devem-se basear também nas características globais do sistema.

(32)

Uma análise probabilística do sistema deve ser realizada para indicar a sua redundância (for-mas alternativas de distribuição de cargas) e o estado e complexidade da estrutura (modos múltiplos de falha).

4.7.5 Método para o cálculo e análise de abilidade

O valor numérico da medida de abilidade deve ser obtido através de um método de calculo e da análise de abilidade do sistema estrutural. O método escolhido deve ser capaz de produzir uma análise sensitiva que inclui todos os fatores importantes de parâmetros incertos. A escolha do método deve ser justicada através de outro método computacional relevante ou por referencia em literatura apropriado.

Método de Monte Carlo

A probabilidade de rotura de um determinado sistema estrutural pode ser calculada através do método de simulação de Monte Carlo. Esta ferramenta permite a repetição de diversas análises de dado acontecimento, produzindo vários resultados que após tratamento estatístico constituirão a resolução do problema, sempre com um erro associado. A utilização deste método permite analisar sistemas mais complexos que de outra forma não seria possível, e assim, um número grande de ocorrências pode ser agrupado de acordo com a propriedade que se deseja analisar e esses grupos serem posteriormente utilizados para descrever o sistema como um todo [8].

Metodologia utilizada

A metodologia de aplicação do método de Monte Carlo pode variar, mas tende a seguir um determinado padrão descrito em seguida [8]:

Denição do problema

Primeiramente há que identicar todos os modelos utilizados para a descrição da estrutura em análise. Em seguida deve-se denir quais os modelos que estão associados a incertezas. A análise presente neste documento considera que o modelo geométrico é denido baseando-se em valores determinísticos e que os modelos de ações e de materiais são denidos baseando-se em valores aleatórios. Nesta primeira etapa também se devem denir as variáveis aleató-rias e as suas características probabilísticas, que podem ser descritas através de funções de densidade de probabilidade. Para a a análise probabilística apenas foram considerados par

Geração de N conjuntos de valores aleatórios

Quando se completa o primeiro passo devem-se gerar N valores aleatórios para cada parâ-metro aleatório denido previamente.

Avaliação determinística de N modelos

Cada um dos valores gerados anteriormente será utilizado para construir o modelo global do problema. Tendo em conta que cada conjunto de variáveis aleatórias geradas (utilizadas para denir o modelos de ações e o modelos de materiais) associadas ao modelo geométrico formam um modelo global do problema, então tem-se N modelos globais descritivos do sistema estrutural. Cada um destes modelos globais deve ser analisado de uma forma determinística, fornecendo a informação de que se existiu rotura total ou parcial do sistema.

(33)

Analise probabilística dos resultados

Os N resultados obtidos podem ser agrupados de acordo com a característica que se pretende analisar, isto é, se houve rotura parcial ou total do sistema estrutural e cada um dos grupos formados pode ser expresso através de probabilidades.

4.7.6 Descrição das distribuições de probabilidades utilizadas

Distribuição normal

A distribuição normal, também conhecida como Distribuição Gaussiana ou de Gauss , per-mite de descrever uma série de fenómenos físicos e nanceiros e pode ser utilizada na aproxi-mação de fenómenos cujo numero de observações tende para innito. Esta araproxi-mação baseia-se no teorema do limite central que asbaseia-segura que a soma de um número sucientemente amplo de variáveis aleatórias independentes, com a mesma distribuição de probabilidade, tende a seguir uma distribuição normal [10]. É caracterizada por moda igual à média e tem função de densidade de probabilidade igual a:

fx(x) = 1 σ√2πe

−(x−µ)2

2σ2 , −∞ < x < +∞, σ > 0 (4.4)

A expressão 4.4 é relativamente complexa e, frequentemente, pode-se recorrer a uma distri-buição normal padrão, Z, desde que seja efetuada a transformação dada pela expressão:

Z = X − µ

σ (4.5)

Resultando na seguinte função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão: fx(x) = 1 √ 2πe −x2 2 , −∞ < x < +∞, σ > 0 (4.6)

Sendo uma formula padrão o seu valor é apresentado em tabelas, assim como o valor da sua função de probabilidade cumulativa.

Em engenharia civil, a distribuição Gaussiana tem uma grande utilização na modelação de propriedades de materiais e de ações, como é o caso do peso próprio dos materiais ou do módulo de elasticidade do betão. A sua aplicação está condicionada em determinados problemas porque o seu domínio engloba valores que sicamente não têm signicado, por exemplo, não poderá existir sicamente um módulo de elasticidade do betão negativo. A distribuição normal tem duas propriedades fundamentais para a análise da abilidade estrutural:

O produto de uma variável aleatória normal por uma constante é uma variável aleatória normal, isto é:

X ∼ N (µ, σ) ⇒ Z = a.X ∼ N (a.µ, k.σ) (4.7)

A soma de n variáveis aleatórias independentes com distribuição normal, também segue uma distribuição normal. Assim, sejam Xium conjunto de variáveis estatisticamente independentes, com média µie desvio padrão σi,resulta:

(34)

Z = a0+ n X

i=1

ai.Xi (4.8)

com média e desvio padrão iguais a:          µz= a0+ n P i=1 ai.µi σz= s n P i=1 a2 i.σ 2 i (4.9)

Neste documento, a distribuição de Gauss foi utilizada para denir a resistência à compressão do betão, o peso próprio da estrutura e as restantes cargas permanentes.

Distribuição exponencial

Este tipo de distribuição pode ser aplicada a dados com forte assimetria e representada por um único parâmetro λ. A respetiva função densidade de probabilidade é dada por:

fx(x) = (

λe−λx, x ≥ 0,

0, x ≤ 0. (4.10)

e a função distribuição acumulada: Fx(x) =

(

1 − e−λx, x ≥ 0,

0, x ≤ 0. (4.11)

(a) Função probabilidade cumu-lativa de uma variável aleatória contínua

(b) Função probabilidade cumu-lativa de uma variável aleatória discreta

Figura 4.2: Função probabilidade cumulativa

Repare-se que existe uma família de distribuições exponenciais, e não apenas uma, com innitos parâmetros λ caracterizadas pela esperança, E[X], e pela variância, Var[X]:

E[X] = 1

λ (4.12)

V ar[X] = 1

λ2 (4.13)

Esta distribuição estatística possui a propriedade da falta de memória, isto é, a probabilidade sobre a ocorrência de valores de uma variável aleatória não é afetada pelo conhecimento da ocorrência de valores anteriores, ou seja:

(35)

P (X > s + t|X > s) = P (X > t) ∀s, t ≥ 0 (4.14) A distribuição exponencial foi utilizada para denir os valores aleatórios da sobrecarga na estrutura.

A precisão do método de calculo da abilidade está ligado à sensibilidade na denição das dimensões estruturais e das propriedades dos materiais.

4.7.7 Fiabilidade objetivo

Em termos da teoria da abilidade o critério de risco aceitável corresponde a um mínimo denido como abilidade alvo. Os requisitos para a segurança de uma estrutura são por isso expressos em função do mínimo indicie de abilidade aceitável ou máxima probabilidade de falha aceitável.

Numa análise racional a abilidade alvo pode ser considerada como um parâmetro que pode ser otimizado. O propósito de um engenheiro é obter uma estrutura que cumpra os requisitos para o qual foi prevista associando-lhe o menor custo possível. Se a este custo se adicionar o custo de falha, obtém-se uma probabilidade de rotura que está associada ao menor custo total. Este tipo de análise, denominada análise de risco, é fundamental em grandes projetos tais como plataformas o-shore ou centrais nucleares. Se se considerar o custo medido pelo risco, então facilmente chega-se à conclusão que a estrutura ideal é a de menor custo total, como apresentado na gura 4.3.

Figura 4.3: Custo vs. Segurança

A principal diculdade desta metodologia prende-se com a denição de custo de falha, já que é necessário contabilizar perdas de vidas humanas, custos de reconstrução e custos sociais e políticos.

Numa aproximação prática a abilidade requerida para um tipo de estruturas pode ser controlado por:

Um número de suposições acerca da garantia da qualidade e da qualidade das medidas de supervisão;

Requisitos de probabilidade de rotura, condicionadas por essas suposições, denidas por valores-objectivo para as diversas classes de estruturas e componentes estruturais. Os níveis e abilidade mínimos serão representados nas tabelas seguintes, normalizados através e processos de otimização e considerando que as estruturas sofrerão processos de manutenção ou reparação. [35]