Modelos de fronteira estocástica de produção : estimação por máxima verosimilhança e avaliação da eficiência técnica

Esruoos DE EcoNOMIA, VOL. XVIII, N.0 _{4, OuroNo 1998}

MODELOS DE FRONTEIRA ESTOCASTICA DE PRODUCAO:

ESTIMACAO POR MAxiMA VEROSIMILHANCA E AVALIACAO

DA EFICIENCIA TECNICA

Jose Mwteira

1 - lntrodu~ao (*)

Atenta a defini9ao convencional de funt;ao de produt;ao, como volume maximo de output por referencia a um conjunto de factores ou inputs, a sua estima9ao constitui, em econometria, um exercfcio que reveste alguma especificidade. Com efeito, aquela tun9ao representa um limiar ou fronteira, que, por detini9ao, nenhum agente econ6mico pode exceder. A sua estima9ao deve, pois, partir do axioma de que nenhuma observa9ao se situa acima dela. De outra parte, a chamada funt;ao custo, que integra o nfvel mfnimo de custo, dados o volume de output e os pre9os dos inputs, constitui uma tronteira (de custo) ou limite mfnimo, abaixo do qual nenhum agente econ6mico pode operar.

Cumpre deste modo salientar que nao se pode pretender estimar conve-nientemente um modelo de fronteira (de produ9ao, custo ou outra), mediante o simples recurso a certas tecnicas estatfsticas convencionais, como a regressao do output nos inputs (ou, por exemplo, no caso da tun9ao custo, do nfvel de custo sobre o output e os pregos dos factores). Tal via mostrar-se-ia adequada

a

estima9ao, nao de um maximo (ou mfnimo) condicionado, mas de um valor

media da variavel dependente, como tun9ao dos regressores. Neste sentido,

diversas tecnicas de estima9ao de modelos de tronteira se tem proposto. De entre estas, o metodo da maxima verosimilhan9a (ML) constitui, sem duvida, o recurso mais trequentemente utilizado. A literatura recente inclui, entretanto, algumas propostas alternativas dignas de nota, como a aplica9ao dos metodos generalizado de momentos (GMM) e semiparametrico (distribution free) a mo-delos de tronteira

(1).

Refira-se, entretanto, que a estima9ao de tais modelos nao constitui, por norma, um tim em si mesmo, revestindo, via de regra, uma natureza

instru-mental em rela9ao

a

analise de eficiencia das unidades produtivas. Como

rete-(*) 0 presente estudo constitui a adaptac;:ao de parte da dissertac;:ao de mestrado, apresen-tada pelo autor no lnstituto Superior de Economia e Gestao da Universidade Tecnica de Lisboa. Agradece-se o apoio do Prof. Doutor Jose Pedro Portugal Dias, de cujas observac;:oes resulta devedor o texto ora exposto.

(1) Cf., respectivamente, Koppe Mullahy (1990) e Parke Simar (1994). De referir tambem a adopc;:ao da perspectiva bayesiana na estimac;:ao de modelos de fronteira, proposta por Van den Broeck, Osiewalski e Steel (1994).

Esruoos DE EcoNOMIA, vaL. xv111, N.0 _{4, OuroNo 1998}

re Schmidt (1985), nao admira, pois, que a moderna literatura sobre estima9ao de fronteiras de produ9ao e avalia9ao de eficiencia encontre a sua principal matriz num artigo de Farrell (1957), onde os dois problemas se apresentam estreitamente correlacionados.

0 presente trabalho acompanha, no que diz respeito

a

sua estima9ao ML

e avalia9ao da eficiencia tecnica, diversos mode/as de fronteira estocastica de

produ9tio (2). 0 estudo propoe-se reunir em um unico texto informa9ao

disper-sa na literatura econometrica, a partir da introdu9ao de tais modelos, entre outros, por Aigner, Lovell e Schmidt (1977). Com referencia a alguns dos modelos expostos, completa-se, ainda, tal informa9ao com um conjunto de resultados nao incluidos na literatura pesquisada.

0 plano do ensaio e, resumidamente, o seguinte: no n.Q 2 expoe-se o mo-delo geral e respectivas especifica96es. Os dois numeros seguintes apresen-tam a sua estima9ao ML e avaliaQao da eficiencia, com base, respectivamente, em dados seccionais e de painel. No n.Q 5 procede-se ao elenco das observa-Q6es conclusivas, sugerindo, ainda, algumas pistas para futura investiga9ao. Os principais resultados reunem-se em quadros-resumo, dispostos em anexo.

2 - Apresenta~ao dos modelos

As primeiras especifica96es de modelos econometricos de fronteira de pro-duQao partem do pressuposto de que todos os produtores enfrentam uma uni-ca fun9ao de produQao, atribuindo qualquer varia9ao no desempenho produtivo a diferen9as de eficiencia dos agentes, face

a

fronteira comum (3). Por este mo-tivo se qualifica tais modelos de fronteira determinfstica. A abordagem ignora, todavia, o facto de que os desvios da fronteira de produ9ao podem nao se encontrar totalmente sob o controlo dos produtores e, como tal, nao devem atribuir-se exclusivamente a comportamentos ineficientes. Factores ambientais, como o clima ou a qualidade dos solos, varia96es da qualidade dos inputs, das condi96es de fornecimento ou do desempenho de maquinas constituem exem-plos de perturba96es nao controlaveis pelo produtor, mas que, nem por isso, deixam de influir no nivel e qualidade do output. Alem disso, qualquer rela9ao

empirica envolve, como

e

sabido, diversos tipos de «ruido•• estatistico,

nomea-damente, erros de medida e de especifica9ao (espera-se que sem efeitos gra-ves). Tais perturba96es nao devem, obviamente, confundir-se com ineficiencia,

(2) Nao se aborda, pois, nem a estimac;:ao de modelos de frenteira de custo ou lucre, nem, por conseguinte, a desagregac;:ao da eficiencia produtiva em eficiencia tecnica, alocativa ou de

escala. A sua inclusao de forma consistente no texto alonga-lo-ia em excesso. Em todo o case, torna-se relativamente simples, mediante ligeiras alterac;:oes de sinal, adaptar a exposic;:ao, de modo a englobar tambem a estimac;:ao ML de modelos uniequacionais de frenteira de custo ou lucre.

Esruoos DE EcoNOMIA, VOL. XVIII, N.0 _{4, OuroNo 1998} carecendo, pais, de urn tratamento mais adequado do que o proporcionado pelos modelos de fronteira determinfstica.

Estes argumentos estao na origem do modelo de fronteira estocastica de produc;ao, introduzido par Aigner, Lovell e Schmidt (1977), Meeusen e Van den Broeck (1977), e Battese e Carra (1977). A ideia basica do modelo consiste em considerar dais elementos no seu termo de perturbac;ao. Uma primeira com-ponents permite a considerac;ao da variac;ao aleat6ria da propria fronteira, de produtor para produtor, captando os efeitos de erros de medida e demais «rufdo» estatfstico, bern como de quaisquer ocorrencias nao sistematicas, que

afectam o nfvel de output de forma nao controlavel pelo produtor. A segunda

components visa captar os efeitos da ineficiencia tecnica, relativamente ao output maximo ou potencial, medido sabre a fronteira.

Considerando uma amostra seccional de N observac;oes, pode

escrever--se na seguinte forma o modelo de fronteira de urn s6 output para o produtor

i

(i

=

1' ... , N):

em que:

.Yi

=

f(X;;8) TE1 exp( \tj), (2.1)

y:

nfvel efectivo de output;

f(Xi;8): func;ao ou fronteira de produc;ao (nfvel maximo ou potencial de output, dado o nfvel dos inputs);

X: vector representative dos inputs (sup6e-se que a sua dimensao e K);

8:

vector de parametres;

v:

variavel aleat6ria bilateral, representativa dos efeitos do 'rufdo' es-tatfstico e ocorrencias aleat6rias, nao controlaveis pelo produtor; TE: nfvel de eficiencia tecnica.

Pode definir-se eficiencia tecnica como o quociente entre os volumes efec-tivo e potencial de output, dados v = 0 e os nfveis de inputs. Atento o conceito de func;ao de produc;ao, resulta, de imediato, 0 ::; TE::; 1. Passando a logaritmos

ambos os termos de (2.1), vern

In Y; = In f(Xi;8) + In Tq + IIi

=

In f(Xi;8) - ui + Vi (2.2)

em que u;

= -

In TE;. Como refere Greene (1993), pode tomar-se este termo

como medida aproximada de ineficiencia tecnica: a partir do desenvolvimento

em serie de Tq

=

exp (-ui) pode escrever-se:

Esruoos DE EcoNOMIA, VOL. XVIII, N.0 _{4, OuTONO 1998}

Com frequencia se admite, que a func;ao de produc;ao e linear nos inputs ou suas func;oes (logaritmos, em particular), utilizando-se muitas vezes, como variavel dependente, o logaritmo natural do output. 0 que permite especificar o modelo na forma:

(2.4)

em que ~ e

x

designam, respectivamente, os vectores dos parametros e das

func;oes pertinentes dos nfveis dos inputs (4). A especificac;ao (2.4), na qual se

baseia a analise subsequente, e identica

a

apresentada em varios textos, como

Schmidt (1985) ou Greene (1993). A sua adopc;ao nao restringe o modelo

a

func;ao Cobb-Douglas, porquanto um bam numero de outras formas funcionais,

como, par exemplo, a Cobb-Douglas generalizada, trans/og ou Leontieff

gene-ralizada sao tambem lineares nos parametros.

Em decorrencia do exposto, admitem-se vulgarmente as hip6teses:

Ui - iid, Vi, l.lj ~ 0 "1 - iid, E(v1) = 0

(2.5)

Uj, Vj: variaveis aleat6rias nao observaveis, independentes entre si, nao correla-cionadas com os regressores.

A estimac;ao ML do modelo requer, como e sabido, especificac;ao da den-sidade do termo de perturbac;ao, Ei

=

"1 - ui

=

In Yi - a - Wx;. Varias func;oes se tem sugerido para l.lj e "1· Com referenda

a

variavel Vj, adopta-se habitualmen-te dadas as vantagens usuais, a distribuic;ao normal, com media nula e variancia constante. Formalmente:

V; - NID(O,cr}), Vi (2.6)

(Utiliza-se a notac;ao «NID» para significar «normal e independentemente distribufda».)

Quanta

a

densidade da variavel unilateral, u;, as propostas tradicionais

abrangem, par um !ado, a func;ao normal truncada em zero [Stevenson (1980)] e, em particular, a seminormal [Aigner et a/. (1977)] e, par outro !ado, as

distri-buic;oes gama [Greene (1990)] e exponencial negativa [Aigner et a/. (1977) e

Meeusen eta/. (1977)]. Tais especificac;oes correspondem, respectivamente, aos

modelos de fronteira estocastica, normal-normal truncada (NNT),

normal-semi-(4) Caso se pretenda estimar uma fronteira de custo, deve, com as devidas alterag6es a respeito das variaveis dependente e independentes, especificar-se o modelo na forma:

In .Y; = a + ~'X; + U; + llj , U; <:: 0.

A presenga do termo de ineficiemcia traduz-se agora, como

e

6bvio, em acrescimo de cus-tos, relativamente ao valor de fronteira.

EsTuoos DE EcoNOMJA, vaL. xvm, N.0 _{4, OumNo 1998} normal (NSN), normal-gama (NG) e normal-exponencial (NE). Para cada um dos

modelos a variavel ui pode, pais, especificar-se do seguinte modo:

Modelo NNT: 9u(Ui)

=

_!_

~

(

~

)/<1> (

~)

(2.7)

cru cru cru

NSN: _gu(Ui)

₌

:u

~

(

~)

(2.8)

NG: 9u(ui)

=

r~)

uiP-1 exp(- yui)

(2.9)

y > 0,

p

> 0, ui > 0,

NE: 9u(ui)

=

y exp(- yui), y > 0 (2.10)

No n.Q 3 apresentam-se, para cada modelo com dados seccionais, as express6es da fun9ao densidade do termo de perturba9ao composto, gE(E;), bem como a respectiva fun9ao de verosimilhan9a (LL).

Como adiante se refere, a estima9ao com dados em painel comporta, relativamente aos modelos que utilizam dados seccionais, uma serie de poten-ciais vantagens, as quais permitem contornar ou superar limita96es varias a eles inerentes. Para Lima amostra longitudinal de N unidades produtivas, incluindo ~ observa96es a respeito da i-esima unidade, considere-se a seguinte especifica9ao do modelo de produ9ao de urn s6 output:

(2.11)

t

=

1 , ... , ~ : fndice temporal; i = 1, ... ,N.

Se uit e Vif sao independentes ao Iongo do tempo e de produtor para produtor, pode proceder-se como se de um modelo com dados seccionais se trate (o produtor

i,

observado em diferentes perfodos, e encarado como um conjunto de produtores diferentes). Em todo o caso, como e sabido, a aborda-gem com dados em painel revela-se particularmente vantajosa a partir da adop-98.0 de algumas hip6teses adicionais. Schmidt e Sickles (1984) sugerem a especifica9ao:

In .Yit = a +

WXit -

Ui + Vit , Uj ~ 0, (2.12)

considerando que, para cada produtor, o seu nfvel de inefici€mcia tecnica, re-presentada aproximadamente par ui , afecta o respective volume de output de forma mais ou menos uniforme ao Iongo do tempo. Para este termo, como para l'it , adoptam-se pressupostos identicos aos referidos a prop6sito do modelo com dados seccionais - esfericidade de l'it e l1j , mutua independencia e ausencia de correla9ao com os regressores. 0 modelo de fronteira enquadra-se, assim,

ESTUDOS DE ECONOMIA, VOL. XVIII, N.0 _{4, 0UTONO 1998}

nos termos do modelo convencional com dados em paine!, com excepgao do

termo ui , de media nao nula. Com vista

a

estimagao ML do modelo e

conside-rando uma abordagem de efeitos aleat6rios, podem, naturalmente, adoptar-se as fungoes de densidade acima referidas para ui e vii . Resultam, deste modo tambem, os quatro modelos NNT, NSN, NG e NE, cuja estimagao ML com dados em paine! se expoe no n.Q 4.

3 - Estima~ao ML e avalia~ao da eficiimcia tecnica com dados seccionais

Expoe-se no presente numero a estimagao dos quatro modelos apresen-tados no numero anterior, com base em amostras seccionais. Para o efeito,

reescreva-se (2.4) na forma:

(3.1)

adoptando para

v

1 as hip6teses acima referidas. Pretende, agora, obter-se a

fungao densidade do termo de perturbagao composto, £j, em cada um dos quatro

modelos mencionados. Dadas, par hip6tese, a normalidade do termo bilateral, Vj, e a sua independencia do termo de ineficiencia, Uj, a aplicagao da tecnica da mudanga de variavel conduz, sucessivamente, a:

9c(Ei) =

JD

gE,u(Ej,Ui)dui = +fgv(Ei + Ui)gu(Ui)dui =

=\

f

~

<j> (

E;;

OU; ) gu(Uj)dUj

0 v v

(3.2) em que <!>(·) designa, como habitualmente, a fungao densidade normal padrao. Concretizando gu(Uj), obtem-se, para cada modelo, a fungao pretendida.

Relati-vamente ao modelo NNT, a introdugao de (2.7) em (3.2) conduz

a

expressao:

1 ( E· - J1 ) ( J.l eA. ) / ( J.l _ I )

9c(Ei} = cr <ll - ' a - <I> crJi: -

-+

<I> crJi: -'1 1 + J..,2 (s) (3.3)

em que:

'A =

crufcrv

(3.4)

cr2

=

cru

2 ₊

cr} <I>(·) : fungao de distribuigao correspondente a <j>(-).

(5) A expressao de g,(e;) aqui indicada nao corresponde exactamente

a

de Stevenson (1980), primeiro proponente do modelo NNT. 0 autor define e; como o termo de perturbagao de urn modelo de custo, resultante da soma u, + 11; , com U; ~ 0.

Esruoos DE EcoNOMtA, VOL. XVIII, N.0 _{4, OuroNo 1998}

A partir de (3.3) obtem-se a funQao de verosimilhan9a para este modelo

LL(a,~.!l,<J,/..)

= -

N

t

ln~7t)

+ In cr + In «t>(:A. --J 1 + /..2 ) } (3.5)

+

f

rln

<I>(-!:..._-~)-

(£;-11)21

i=l ~ crA. cr 2cr2

Se em (3.3)

e

(3.5) se considera ll

=

0, resultam de imediato as

corres-pondentes express6es para o modelo NSN, introduzido par Aigner et a/. (1977)

e que tem dominado boa parte dos estudos empfricos. Vem, pais:

(3.6)

l1n(7t I 2)

J

N

I,

(

e.A. ) e2

l

LL(a,~,cr,/..)

= -

N ~ + In cr + ; ~n <I> - ~ -

ic?"-j

(3.7)

A alternativa avan9ada em Greene (1990) visa, entretanto, ultrapassar

res-triQ6es impostas pelos modelos anteriores, nomeadamente a relativa

concentra-c;ao das perturba96es junto de zero, assumida pela especificaQao (3.6). A

pro-pasta do autor passa pela adopc;ao da funQao gama para ui , resultando, como

referido, o modelo NG, com func;ao densidade do termo de perturbaQao dada par:

yP 'fcr2 f:; 6

9c(Ei) = r(p) exp -2

- + 'YEi <I> - crv "ff"v l(p -1; Ej)( ) (3.8)

em que:

y>O

p>O

(3.9)

l(p -1 ; Ei) = E(ziP-1 _{I zi > 0 ; Ej),}

Zi I Ei - NID(- ei - y cr} ; cr/).

(6) Exp6e-se resumidamente, a titulo ilustrativo, a dedw;:ao de (3.8). Sejam as densidades de u; e V;:

9u(U;) = [y P I r(p)) U;P·1 exp(- "( U;), U; > 0, "( > 0, p > 0 9v(V;) = exp[- V;2 I (2crl)l (27tcrl)-1/2

a partir das quais se obtem a fum;:ao densidade conjunta:

9e,u(e;,u,) = [y PI r(p)] (27tcri)·1/2 u,P-1 exp{-[(E; + U; )2 + 2 ycri u;] I (2crl)} =

=

["f' I r(p)] exp[(y2cri 12) + ')'£;) (27tcri)·1/2 exp[-(u; + E; + ycri)21(2crv2)) u, p-1 A expressao de g,(E;) obtem-se por integra<;:ao desta em ordem a u,:

g8(e;)

=

[yPir(p)] exp[(y2crll2) + ')'£;)

J

91+(27tcrl)-112exp[-(u; + E; + YCJv2)21(2cri)l u,P-1 du;

=

=

[yP I r(p)) exp[("f! crv2f 2) + y E;) P(z; > 0 I E;) E(z; p-1 I Z; > 0; E;)

=

= [y P I r(p)] exp[(y2 cri I 2) + y E;) <I>[(- E; lcrv) - y crvl l(p-1; E;)

Esruoos DE EcoNOMtA, VOL. xvm, N.0 _{4, OuroNo 1998} A func;ao LL a maximizar sera:

LL(a,~,crv,Y·

p) = N [pIn y- In r(p)]

+it]+

+

L

~n

«t>(-

=~

-

JUv) + In l(p - 1 ;ei) + y

£~

(3.10)

0 modele NG constitui uma generalizac;ao de Stevenson (1980), que adopta

a distribuic;ao Erlang para o termo de ineficiencia. Ambos generalizam, como e 6bvio, o modele NE, cuja expressao de ge(ei) se obtem imediatamente,

consi-derando

p

= 1 em (3.8). Resultam:

(3.11)

e:

Com referencia

a

estimac;ao ML dos modelos NSN e NE, as estimativas

iniciais utilizadas nos processes iterativos de maximizac;ao, calculam-se

vulgar-mente a partir dos resultados da estimac;ao OLS

(?).

No caso do modele NNT,

as estimativas iniciais sao habitualmente as utilizadas no modele NSN, atribuin-do-se ao parametro f.l o valor zero. Por um lado, o modele NNT tem, relativa-mente a este ultimo, a vantagem de nao restringir a priori o valor de f.l. Par

(7) Para obter estimativas iniciais dos parametres, recorre-se habitualmente ao metoda OLS modificado (MOLS), consistente mas menos eficiente que ML. De acordo com o metoda, o estima-dor de ~ coincide com o seu estimador OLS. Quanta aos parametres da distribui<;:ao de E;. estes estimam-se a partir dos mementos de ordem superior dos residues OLS. Finalmente, o estimador MOLS do termo independents, a, resulta da soma do seu estimador OLS com urn estimador da ineficiencia media, E(u,), obtido a partir dos momentos dos residues OLS. Para os modelos NSN e NE, resultam respectivamente:

Modele NSN:

cru

= [117:3 I (1t -4)]113 -f2T1i

&/ = m_{2 -} {m₃₂ I [2(1t -4)2]}1/3 (1t - 2) CXMQLS

=

&oLs +

cru

-f2T1t

Modele NE:

y= -

(2 I 117:3)113

cr/=

m2 + (m3 I 2)213

(m₂ e 117:3 designam, respectivamente, o segundo e terceiro momentos dos residues OLS.)

Note--se que se m3

e

positive- ou seja, os residues OLS apresentam assimetria positiva- nao

e

passive! estimar o desvio-padrao de u, par MOLS (cru e y, respectivamente). Em modelos de fron-teira de produ<;:ao, tal ocorrencia pode significar que este desvio-padrao

e

nulo (o que significa ausencia sistematica de ineficiencia, isto e, u, = o, 'tf1) ou, em alternativa, que o modele se encon-tra mal especificado (note-se a consistencia de 117:3 para o terceiro momenta de E; , o qual

e

ne-gative, em modelos de fronteira de produ<;:ao com as referidas hip6teses a respeito de U; e V; ). Nesta situa<;:ao, o estimador ML do modelo NSN coincide com o estimador OLS. V., a prop6sito, Waldman (1982) para urn tratamento pormenorizado do assunto.

Esruoos DE EcoNOMIA, voL. XVIII, N.0 _{4, OUTONO 1998} outro lado, a fungao LL parece apresentar um comportamento alga instavel, com frequente sobreavaliagao das variancias dos demais parametres ou, inclu-sivamente, divergencia do processo iterative. Este aspecto parece desencorajar a sua utilizagao e pode explicar, ate certo ponto, a preponderancia do modelo NSN em boa parte dos estudos empfricos.

Relativamente ao modelo NG, a principal vantagem parece sera da flexi-bilidade quanta

a

forma da distribuigao do termo de perturbagao, Ei· Par outro lado, o calculo do valor da fungao LL revela-se bastante complicado, devido ao termo l(p -1; Ei) [cf. (3.1 0)], de diffcil computagao rigorosa. Quer adoptando (3.1 0),

quer com a formulagao de Beckers e Hammond (1987), a sua estimagao ML

revela-se, pois, problematica (8). Em qualquer caso, uma vez utilizado o

meto-da ML, a matriz meto-das co-variancias assint6ticas dos estimadores dos parametres estima-se convenientemente atraves de qualquer das tecnicas habituais, como

o metoda BHHH ou com recurso

a

matriz hesseana.

Passando agora ao tema da avaliagao da eficiencia tecnica, deve referir--se, antes de mais, que no modelo de fronteira estocastica, qualquer que seja

1\

o metoda adoptado, o resfduo lnyi-

& -

W

xi estima Ej, nao ui. Perante a impos-sibilidade de decompor, de forma consistente, o resfduo de estimagao nas suas

componentes,

vi

e

Uj,

Jondrow, Lovell, Materov e Schmidt (1982) propoem, em

alternativa, a estimagao de E(ui I Ej), apresentando a sua expressao para os

modelos NSN e NE (9).

A partir da expressao de 9uie(ui I e,) e possfvel obter, para cada modelo,

E(ui I ei)· Nos modelos considerados vem, respectivamente:

-e·A.

_Modelo NNT: E(ui I Ei) = [crA. 1(1+A2)] {

7 -

1-l +

( -e·A. -e;A. )

+ [<!>~-1-l I

ci>

-cr--1-l ]}

-e·A. ( -e·A.

l (

-e·A. )

NSN: E(~lg)=[crA.I(1+A.2)]{-i-+[$

--iJ-/ci>

- 7

NG: E(ui I Ei) = l(p; Ei) I l(p -1; g)

NE: E(ui I g)= 1(1; g)=- f.i -yo}+

O"v

lj> (

~

+

"ff"v} ct>(-

~

-

"ff"v)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

Como e 6bvio, E(ui I ei) deve calcular-se a partir das estimativas geradas; como estimador de Uj, esta estatfstica nao e, todavia, consistente

(1°).

0 motiVO reside na variabilidade intrfnseca da distribuigao de ui condicional em

e

1, que nao depende da dimensao da amostra. Como adiante se pode verificar, a situa-gao e potencialmente superavel quando se dispoe de informasitua-gao em painel.

(B) Greene (1995) apresenta tambem a estimayao do modelo NG com base nos resultados OLS. (9) Os autores apresentam tambem, como estimador de u;, a sua moda condicional em e;. (10) Embora seja assintoticamente centrada, no sentido de que lim E[E(u; I e;)] = E(u;).

EsTUoos DE EcoNOMIA, VOL. xvm, N.0 _{4, OuroNo 1998}

Entretanto, especificando-se o modelo na forma (2.4), a ineficiencia tecni-ca vern dada, de modo mais rigoroso, por:

1-TE; = 1 -exp (-u1) (3.17)

Battese e Coelli (1988) apresentam, para o modelo NNT com dados em painel, a expressao de E[exp(-u1) I E11 , ••• , £17:). A partir desta, considerando

T

= 1, obtem-se a correspondente expressao para o modelo com dados seccionais:

E(TE; lEi)= E[exp(-ui)IEiJ=<I>( :;.· -cr.)exp(-11t+

~· }<~>( ~~)

(3.18) em que:

lli* = (IJ.- EiA-2) I (1 + A-2)

cr.2 = cru2 I (1 + A,2) (3.19)

Considerando IJ. = 0 em (3.18)

e

(3.19), de imediato resulta a correspon-dente expressao para o modelo NSN. Para o modelo NG vern:

em que:

E(TEj I Ei) = exp[Ei + cri (1 + 2y)/2] <I> [-

=~

-

crv (1 + y)

J

x

X l*(p -1; Ei) I

[<I>(-=~

-')Uv) l(p -1; Ei)] (11)

l*(p -1; Ej) = E(zi*p-1 I zi* > 0 ; Ei) Zi* I Ei - NID(-Ei - cri(1 + y) ; cri)

(3.20)

(3.21)

Facilmente se deduz a correspondente expressao para o modelo NE,

con-siderando, nas expressoes acima, p = 1. Em todas

ha

que substituir os

parametres pelas suas estimativas [por exemplo, ML ou MOLS, obtendo-se E(TEj I Ei)]. Pelo motivo apontado a prop6sito de E(ui I Ej), o estimador nao e

consistente para TEj em amostras seccionais.

(11) Resumidamente, a expressao foi deduzida como segue: a partir de 9e,u(E;,u1) (cf. nota6)

e de g,(E;) [cf. (3.8)], obtem-se:

9ule(U; IE;)= (2mJv2)·1/2 exp[-(U, + E; + ycrl)21(2cri)l u,P·11 {II>[(- E/crv)- ycrv]l(p-1; E;)} pelo que:

E[ exp( -u, I E;)] =

f

91+ exp( -u;) 9ule( u, I E;) du; =

=

f

91+ (27tcri)-1'2. exp[-( U; + E; + ycri)21(2crl)] u,P-1 exp( -u,) du, I {II>[(- E; lcrv) - ycrvl l(p-1; E;)} = =

J

91+(27tcri)-1/2 exp{-[u, + E; + crl(1 +y)]21(2crl)}u,P·1du,exp[E; + cr/(1 +2g)l2]1{!1>[(- E/crv) - ycrv]l(p-1; E;)} =

Esruoos DE EcoNOMIA, voL. xvw, N." 4, OuroNo 1998

Jondrow et a/. (1982) sugerem tambem a estimac;ao da ineficiencia

tecni-ca media, E(ui)· Tal e possfvel com base em estimativas consistentes dos parametros ou a partir da media dos resfduos de estimac;ao. Nos modelos in-dicados, a expressao de E(ui) vem dada por:

• cp (J.L'cru)

Modelo NNT. E(ui) = !J. + <Ju <I> (J.L'cru) NG: E(ui) = ply

(3.22) (3.23)

Nos modelos NSN e NE, as express6es respectivas correspondem, obvia-mente, a casos particulares destas.

Em Battese e Coelli (1988) exp6e-se tambem a expressao de E(TEi) = E[exp(-ui)], para o modelo NNT:

(3.24)

No modelo NG vern:

E[exp(-L\)] = [y /(y + 1 )] P (3.25)

Apesar de facilmente estimaveis, estas medidas nao permitem, como e 6bvio, avaliar a ineficiencia tecnica individual, de algum modo se frustrando, assim, urn dos objectivos frequentes da estimac;ao de modelos de fronteira de produc;ao.

4 - Estima~ao ML e avalia~ao da eficiencia tecnica com dados em painel

0 recurso a dados em paine! comporta, em modelos de fronteira, urn conjunto de potenciais vantagens, que permitem, em princfpio, contornar

al-gumas das limitac;oes inerentes

a

estimac;ao com amostras meramente

sec-cionais. No tocante aos dois temas abordados no presente ensaio, os efei-tos beneficos de tal utilizac;ao fazem, sobretudo, sentir-se em termos da avaliac;ao da eficiencia tecnica. Como adiante se vera, o recurso a amostras

de painel permite a estimac;ao consistente da eficiencia - contrariamente,

como atras referido, ao que sucede em modelos de fronteira estocastica com

dados seccionais.

E

sabido que a estimac;ao com dados E?m painel reveste,

Esruoos ot: EcoNOMtA, voL. xvm, N." 4, OuroNo 1998

caso, no que se refere

a

estimac;ao ML dos quatro modelos presentemente

abordados (12).

Reformule-se no que segue a especificac;ao (2.12), de acordo com:

(4.1)

adoptando, para o termo de perturbac;ao composto, as hip6teses ja referidas. Dadas tais hip6teses, a expressao da densidade conjunta de Ei = (Ei1 , ... , EiTi)'

obtem-se a partir de:

(4.2)

Considere-se primeiramente o modelo NNT; a substituic;ao de 9u(ui) por

(2.7) conduz

a

func;ao [ct. Greene (1993)]:

9e(q) = 21/2 [(21tCJu2)Ti (1 +A. 7j)]-1/2

<I{

~

Jx

(4.3)

[

T, f..

1] 1

X cp { L{Eit-11)

+

1171---

a }

X

~1 f.. u

x exp ( -

1

₂ { - - L(Eit- 11)

+

L

(Eit- 11)2 } )

f..

[T,

]2

T

1

2cr u 1 + f..T; 1=1 1=1

(12) Embora permitindo urn c6modo enquadramento do modelo de fronteira nos termos da abordagem convencional com dados em painel, a hip6tese de invariancia temporal da eficiencia [cf. (2.12)] pode, em muitos casos, revelar-se pouco apropriada. Com efeito, a sua imposi9ao afasta, a priori o estudo dinamico da eficiencia tecnica, inviabilizando, por exemplo, a modeliza9ao de fen6menos como a aprendizagem ou o aperfei9oamento tecnico. A questao que a prop6sito se coloca, consiste em saber ate que ponto se pode flexibilizar tal pressuposto, sem, por outro lado, abandonar as vantagens da utiliza9ao de dados em painel. Neste sentido, a literatura contem algumas propostas de interesse, como, por exemplo, Cornwell, Schmidt e Sickles (1990), Kumbhakar (1990, 1991), Battese e Coelli (1993) ou Lee e Schmidt (1993). Em todos estes textos o modelo sugerido engloba, como caso particular, o modelo de fronteira com invariancia temporal da efi-ciencia, facilitando, pois, o ensaio de tal hip6tese. Tambem com dados em painel, nao se revela estritamente necessaria a imposi9ao de ausencia de correla9ao entre U; e os regressores. Tal pode inclusivamente mostrar-se desadequado, esperando-se que, se uma empresa conhece o seu nfvel de ineficiencia, se alterem as suas decis6es quanto ao nfvel de inputs. A estima9ao ML exige, todavia, este pressuposto. Pode, pois, aconselhar-se o ensaio previo da mesma hip6tese, por exemplo, atraves de urn teste de Hausman (1978) ou com recurso

a

metodologia de Hausman e Taylor (1981 ).

Esruoos DE EcoNOMIA, VOL. xvm, N.0 _{4, OuroNo 1998}

em que Eit

=

In .Yit -a - WXit e, diversamente de (3.4), A

=

(cru lcrv)2. A func;ao LL

N

resulta naturalmente deL In 9e(c;), ou seja

i=1

N 1

LL(a,p,Jl,A,O"u)

=

~ { ~

[1i

ln(27t} - In 2 + 7j ln(cru2) + ln(1 +A 7j) - (4.4)

( )

2

Jl A T, Eit-Jl T, E;t-Jl 2

- 21n

<1>(-)--

I i -

+ L ( - 1 ] } +

\ O"u 1 + AT; l=1 O"u 1=1 O"u )

N

1

J;J;[TI

A.

1]

+

L

In <I> { - L(Eit-

J.L)

+

J.L7i --- }

i=1 cru 1 + A.T; 1=1 A.

0 modelo NNT e analisado em Battese e Coelli (1988). Se ~m (4.3) e

(4.4) se fizer Jl = 0, obtem-se as correspondentes express6es para o modelo NSN, proposto, entre outros, par Pitt e Lee (1981 ).

Para o modelo NG, obtem-se a func;ao 9e(E1):

A_P _ L- { -1 [T1 _{2 (A.cr}2 _{+ Tr £.)2 }}

9e(f;) = - - (~7t cr)Hi Ti-112 exp - -

L

Eit - v 1 1

x

qpJ 2cre 1=1 T;

(

-A.crv

.]T:

E; ) .

X <I> ~-- 0 " - v - l(p -1; tj} (4.5)

Resulta, deste modo, a func;ao LL:

LL(a,~,O"v,y,p)

= N [p In g - In r(p)] +

~ ~1-7j}

In ( -5crJ - ln

2T;} (4.6)

N

-1

[TI 2

1

2 -

~

N

[

-"ff"v '1/T;t:;

-~

+

Ii--2

LEit - - (YO"v +

7i

Ei)2

+L

In <I> (~ - - - ) + In l(p -1 ;Ej)

i=1 2crv i=1 T; i=1

.J7i

O"v

em que:

(4.7)

Se em (4.6)

e

(4.7) se fizer p = 1, resultam as func;6es 9e(ci) e LL para o modelo NE.

Quanta as propriedades assint6ticas dos estimadores ML em modelos de fronteira com dados de painel, deve referir-se que as mesmas nao estao, ainda, estabelecidas com absoluto rigor. Mostrando-se consistentes

-e

assintoticamente eficientes com N ~ oo, a situac;ao nao e tao evidente quando, com N fixo, se

Esruoos DE EcoNOMIA, VOL. XVIII, N.0 _{4, OuroNo 1998}

tem T ~ oo,

E

clara que a estimagao consistente dos parametros da densidade

de

u

requer N ~ oo mas, no tocante aos demais parametros, as conclus6es sao

menos 6b~ias. Schmidt e Sickles (1984) aventam a hip6tese de que se possa encontrar distribuigoes para as quais,

a

semelhanga do que acontece com a distribuigao normal no modelo classico, a informagao adicional aproveitada pelo metoda ML se revele assintoticamente inutil.

Considerando, agora, o tema da avaliagao da eficiencia tecnica, cabe re-ferir, em primeiro Iugar, a proposta de Battese e Coelli (1988), para o modelo NNT. Os autores apresentam, para este, a expressao de E(L\ I Ej), contrapartida da de Jondrow

et

a/. (1982), para dados em painel:

em que: E(ui I f'1)

=

~*

+ cri. <!> (

~;:)

lCD (

~;:)

7i 11-A. LE;t * 1=1 ~ = 1+A.T; cri• = O'u2 I (1 + A.7j)

A. = ( cru I crv)2

(4.8)

(4.9)

Para os modelos NG e NE, as expressoes de E(ui I f'1) vem dadas, res-pectivamente, por:

Modelo NG: E(ui I f'1)

=

l(p; Ei) I l(p -1; Ei) (4.10)

Modelo NE:

(4.11)

Note-se como,

a

medida que

7i

~ oo, as expressoes de E(ui I Ej)

conver-gem em cada caso para -

eh

o qual, por sua vez, tende para Ll· Recorde-se que, no modelo com dados seccionais, o estimador de Jondrow

et

a/. (1982) [d. (3.13)- (3.16)] nao e consistente para Uj. Torna-se agora evidente, uma da;; vantagens da utilizagao de dado§ em painel, mesmo que

7i

(ou T) nao sejc.. muito elevado. Quando se toma

Ej,

o peso, neste, do rufdo aleat6rio tenoe em probabilidade para zero, pelo que a ineficiencia tecnica vem progressiva-mente realgada.

Battese e Coelli (1988) apresentam tambem, para o modelo NNT, a ex-pressao correspondente a (3.18) para dados em painel, a qual vem dada por:

Esruoos DE EcoNOMIA, VOL. XVIII, N.0 _{4, OuroNo 1998} A correspondente expressao para o modelo NSN resulta desta, tazendo ll = 0.

Nos modelos NG e NE vem, respectivamente:

Modelo NG: E[exp(-Uj ) I tj]

=

l*(p-1;Ei)

<I>[-

E;

17; -

(y + 1) crv ] X

crv -) T; (4.13)

X exp(Ej

+

cr;

1 + 2A.) I [l(p-1 ;q)

<I> (

=-

E;

17; -

y crv )]

\: 2T; crv

-J

T;

em que:

l*(p-1; Ei) = E(Zi *p-1 I zi* > 0; Ei) (4.14)

Zi *I E·- NID [-(A.+1)cri -E· --. crl]

I I 7j I• 7j

[

E;

17;

crv ] Modelo NE: E[exp(-ui) I Ei]

=<I> - - - -

(y+ 1 )

-crv

-J7i

( - 1+2A.) exp Ei

+

cr; - -

I 2T; I ..,.( ' l ' - - - - y -E;17; crv) crv

-fii

(4.15)

Note-se que, considerando 7j

=

1 (i

=

1 , ... ,N), se obtem, a partir das ex-pressoes indicadas no presente numero, as correspondentes exex-pressoes para os modelos com dados seccionais, expostas no n.Q 3. Ambas se reunem, como reterido, em quadros-resumo anexos.

5 - Conclusao e perspectivas de investiga~ao

No presente ensaio expoe-se urn conjunto de resultados, necessaries para a estimac;ao ML dos modelos de fronteira estocastica de produc;ao mais fre-quentes na literatura econometrica. Embora de utilizac;ao corrente, nomeada-mente com recurso a software adequado (13), o metoda apresenta, como e bern sabido, algumas limitac;oes, com destaque para a fraca robustez dos estimadores, em face da violac;ao de alguns pressupostos relativos aos termos de perturba-c;ao. Par tal motivo, necessaria se torna testar estatisticamente a validade das hip6teses adoptadas, nomeadamente as que se referem

a

densidade de tais termos. Lee (1983) expoe dais testes de score, visando o ensaio dos modelos NSN e NNT com dados seccionais. Resulta naturalmente atractiva a ideia de aplicar a metodologia proposta a modelos com dados em painel. Entretanto, no que diz respeito aos modelos NE e NG, o maior 6bice reside na operaciona-lizac;ao da estimac;ao ML do segundo; nao raro, a diticuldade conduz

a

ESTUDOS DE EcoNOMIA, VOL. XVIII, N.0 _{4, 0UTONO 1998}

980 acrftica do modelo NE, em detrimento da modeliza9ao mais flexfvel da eficiencia, proporcionada pelo modelo NG. Afigura-se, pais, util a supera9ao deste obstaculo, tanto mais que o recurso ao teste de score, para ensaiar o modelo

NE, apresenta, tambem, dificuldades de calculo rigoroso (14).

No que respeita propriamente a avalia9ao da eficiencia tecnica, cumpre real9ar a potencialidade da utiliza9ao de dados em paine!. Contrariamente a abordagem com amostras seccionais, o recurso a dados longitudinais permite, como referido, a avalia9ao consistente da eficiencia tecnica individual. Mostra--se, todavia, questionavel, a adop9ao de algumas hip6teses subjacentes aos modelos apresentados, como, por exemplo, a independencia entre regressores e eficiencia, ou a sua invariancia temporal. Potencialmente relevantes, tais as-pectos requerem uma abordagem mais completa, sugerindo alternativas de especifica9ao bern como o ensaio estatfstico dos referidos pressupostos usuais. Tambem aqui se afigura fecunda a abordagem com dados em paine!, como o atestam varios estudos, incidentalmente mencionados no texto.

Uma outra hip6tese, adoptada em todos os modelos expostos, e a da homoscedasticidade dos termos de perturba9ao. Em modelos de regressao clas-sica, a viola9ao de tal pressuposto nao acarreta, como e sabido, inconsistencia dos estimadores habitualmente utilizados, afectando apenas a sua eficiencia. Todavia, em modelos de fronteira, as suas consequencias afiguram-se mais graves, quer no tocante as propriedades dos estimadores usuais, quer a res-peito das medidas de eficiencia geradas. Embora alguns trabalhos empfricos o sugiram, nao se conhecem, na literatura, estudos de natureza te6rica, que de-monstrem a inconsistencia dos estimadores, em presen9a de heteroscedas-ticidade (15). Por tal motivo, constitui, tambem este, urn assunto merecedor de aten9ao mais cuidada, quer no contexto da estima9ao ML, quer no ambito de metodos mais robustos.

(14) Atente-se na expressao da derivada da func;:ao LL em ordem a p, no modelo NG [cf. (4.6)]:

N

r (

)

( -)

8LL

I

~ crv ycr,l

j -

ycr, £, ,J T, - =Niny+~ In - w - E ; - - q,(w)dw < I >

-op

P=1 - r:::T {T; T, {T; a, £j V li ycrv + -a, -[T,

Ul 0 Modele NNT NSN NG NE 9E(E;) .;, $( ., : ~ ) ci>(-~ - ~ ) ci>(- ___!!___

-J1

+ A2) a A. A = crjcrv , cr2 = cru 2 + cr}

!

$(~)

ct>(-

~)

A = crjcrv , cr2 = cru 2 + cr} fa2 ['f I r(p)] exp(-2 ' -+ y E1) x

x ci>(-

-t-

y cry) l(p-1; E;)

l(p-1 ; E;) = E(z;P-1 I 2j > 0 ; E;) z₁ I E; - NID(- E; - y cr} ; cr}) "fa,' E; y exp(-2- + y E1) ci>(-

cr;-

y cry) - - · - - - - · - - -ANEXO Quadros-resumo OUADRO 1

Modelos com amostra seccional

LL E(u; I E1) N [ ln(21t) I I ci>( ~~)] aA. e? .. - - - +ncr+n - - - - + _{1+A.' [--a-- J.l +} 2 aA. N~ -~ E;A (E1- ~)j + L In ci>(- - ) -i=1 aA. a 2a2 <1> E;A .,:~.

+ -a-+ J.l) lei>(- -a- - J.L)]

- N [ 1"'"'2) +lncr]+ 2 ___:!!:___[-~+ 1 +A.' a

N~

E1

~']

+L !net>(' ) -~1 a 2~ <1> .,:~. E;A

+ -a-) lei>(- -a-)]

N[plny-ln r(p)+ r';v' ]+ _{l(p; E;) /l(p-1; E;)}

+

£

~n

ci> ( ----} - y cr)] + l(p; E;) = E(z;P I Z; > 0 ; E;)

1;;1 v z₁ I E; - NID(- E_{1 -}ycr} ; cr}) N +.L [In l(p-1; E₁₎ + yE;] 1=1 i a2 2 .,

- N (lnr+----t-l + -E; -ycrv + crvljl (---a,;-+

+

£

[1

n ci> ( - --} - y cr) + y EJ + ycr ) I ci> (-~ - yo: )

1=1 v v (Jv v

- - -

-E[ exp(- u,) I E;l

ci>(.!i- cr.) exp(-JJ/ + ~-) I ci>(...!.'L)

~ ~

J.l;* = (J.l- E;A2) I (1 + A2) cr.2 = cr} I (1 + A2)

.

~

.

ci>(~-cr.) exp(-J.L₁* +...!)I ct>(..&.)

a. 2 a. J.l;* = - E;A2 I (1 + A2) cr.2 = cru2 I (1 + A2) . [ a,' (1 + y)] expE₁+ -2- x

.,

x ci>[-

cr. -

crv (1 + y)] l*(p -1; E;) I I [ci>(- ~: - "( cr) l(p--1; E;)] l*(p -1; E;) = E(z₁*P -1 I z;* > 0; E;) z;* I E; - NID[- E; - cr/(1 + y) ; cr/] a 2 (1 + y) exp[E; + ' -2- ] x x ci>[-

..:t. -

_av cr (1 + y)]lci>(-_v

..:t. -

_av y cr ) _v - - -[Xi

~

~ ~

j

~

-~

~ _

..

~

~

~

c.n 0 co Modele NNT NSN OUADRO 2.1

Modelos NNT e NSN com dados em paine!

ge(E,) l l

21i2[(2ncru 2)Ti (1 +A T;)J -1/2 ct>( ~) x _-2 1 ~ N [ T;ln(2n) - In 2 + T;ln( cru 2) +

).. 7j X Cl>{(--)_{1 +A7j} 1'2 [ ₁₌₁ L (E· -11) + II + ln(1 +AT;)- 21n ct>(L)-cr, A-1 1 1 A

I

7j - 7j -+ 11 T;-J-) exp(-- {- - -x _ _ :>.._ ( :L~)2 + :L (~)2 1 + A cr, 2cr", 1+A7j _{1+A7j 1=1} cr, ₁₌₁ cr, N 7j

+LIn ci> {( 1 \ ,)112 x...!:... [ :L (E;t -11) + 1=1 +~~,,i 0u t=1 7i 7i X [ t;, (E;t -11]2 + t;,(Eit - 11)2}) A= (cru I crv)2 _{+ ~17j A~ 1]}} [2 (2ncru 2)n (1 +A 7;)]"1/2 ct>[( 1 +\

.,y/2

x 1 7j 1 A X - ~ _E;1] exp{ -2_, [ - --,----rr X O'u t-1 u-u + 1 7j 7j N .::..! L [ 7jln(2n) + In 2 + 7jln( cru2) + 2 1=1 ).. 7j '" + ln(1+A7j)- 1 +J..7j (t~1

cr.l

+ X (

t;,

E;1)2 + ~ E;12]} A= (cru I crY 7j £ N 7j

+L(cf-)2] +.Lin ct> ( 1 \,)t=1 u 1=1 +/\.11 112 ...2...:LE11] crut=1

E(u, I E1) * ~-* 11; + cr1• <P (...!...) _ai• I 1 ct>(E) cri• T ~-Afe,. 11;. = _____!=.!___ 1 +A7j cr1• = cru 2 I (1 +AT;) A = (cru I cry)2 11·· + cr. <P(E) 1 ' •• a,. lei>(~) _cr,, 7j -A :Ee11 f.l;. = __j=1.__ 1 +A7j cr1• = cru 2 I (1 +AT;) A = (cru I crY Elexp(-U,) I E11 exp(-11;' +

~'')

x ~· ~· X !I>(_!_-cr;.) I ct>(....!...) cr1• cr1• T ~-Af

•. ,

1r 1=1 1 11; = 1+1..7j cr1• = cru 2 I (1 +AT;) A = (cru I crv)2

"'

exp(-11;' +

-fl

x ~· ~· x ct>(....!...- cr .• ) I ct>(....!...) a,. ' a,. 7j • -:>..t::;:1'" 11;=~ cr1• = cru 2 I (1 +A 7j) A = (cru I crv)2 txt

~

1il

I

~

-~

::;, _ ....

~

0

i

QUADRO 2.2

Modelos NG e NE com dados em painel

Modele 9E(E₁₎ LL E(ui I E₁₎ E[exp(-ui) I E,l

NG

['f I r(p)] (ffi cry·Ti "f; ·1/2 x N [p In y-In r(p)] l(p;E:;} I l(p -I;E;)

[ fu

a

II>- - (y+1)-• ] X

crv {T:

7j ( 2 2

+

6

~1

- 7j) ln(fficr) - In/

j

+

X exp{-1- [}fi.2 - "'f'Jv + 7jEj) ]} X x exp[e1 + (1+2y) ..5!:l...] l*(p-1;E;) I

2a} l=l II 7j l(p;E;)=E(z1P I Z; > 0; E;) 27j

X 11>(-ya.

_fu)

l(p-1· £.)

+

4

I [I

E-2 - (ycr} + T,EI)j + z1 IE;- /[l(p-1 ;E;) !I>(-

~.·

1

-

[i,- )]

rr;-

CJV 1 _I

7j _{2av i=l 1=1 II T,}

- NID( 4 _{cr} - e. ·}

_{.s:_)}

l(p-1 ;E;) = E(zt1 I Z; > O;E;). Ej = LE/T.

t=1 I I

Nt

-ya

IT•

~

7j I I 7j

l*(p-1; E;) = E(z;"P-1 1 z;* > 0; E;)

-ya} - av2

7j

z IE.- NID(---e · - ) + :

1

1n!I>( ~-~)+In l(p-1;E;)

_e:

₌

_L

_E/T a:2 0'2

I I 7j I ' 7j I t=l I I z₁*1E;- NID[-(y+1)-i';- e₁ ;

T]

I I

NE y ({2n cr)I-Ti r;-1/2 X

N In y+

f

~1

- T) ln(f2ncr)- In

7i}

-ya}_e.+

[ fr:E;

a ]

7j ( 2 2 !f>- - -

-(y+1)-•-X

x exp { -1- [}fi? - "'f'Jv + T,f,) ]} x i:l I V 2 ~ I I crv

0

2cr/ t=1 1t 7j

N[1j

~

X II>( -y a. -

IT£; )

+...::!..-LLE.2- (ycr}+T,f,)2 + + ....5&._ II>( G•1 + y a. )I _{x exp[e}

1 + (1+2y)~ ] I

2av i=l 1=1 II T, .

[T,

a. [T, 27j

[T, a.

+£In <I>ea·

_&)

7j _{I !I>(- .[T,l!l - y a. )}

I !I>( - fT: £1 - y a. )

E;=

tf;,

IT; i=l [T, a.

I= crv

[T,

_{a. ~ T,} [),1

~

~

f

~

-~

:;;, -"""

f

(II

~

i

Esruoos DE EcoNOMJA, voL. xvm, N.0 _{4, OuroNo 1998}

BIBLIOGRAFIA

AFRIAT, S. (1972), «Efficiency Estimation of Production Functions», International Economic Review,

13, 3, pp. 568-598.

AIGNER D., Lovell, C., e SCHMIDT, P. (1977), «Formulation and Estimation of Stochastic Frontier Production Function Models••. Journal of Econometrics, 6, pp. 21-37.

BATTESE, G., e COELLI, T. (1988), «Prediction of Firm-level Technical Efficiencies with a Generalized Frontier Production Function and Panel Data», Journal of Econometrics, 38, pp.

387-399.

- - (1992), «Frontier Production Functions, Technical Efficiency and Panel Data: With Application to Paddy Farmers in India••, Journal of Econometrics, 38, pp. 387-399.

- - (1993), A Generalized Stochastic Frontier Production Function Incorporating a Model for Inefficiency Effects, Department of Econometrics, University of New England, Armidale,

Australia.

BATTESE, G., e CORRA, G. (1977), «Estimation of a Production Frontier Model: With Application to the Pastoral Zone of Eastern Australia••, Australian Journal of Agricultural Economics, 21,

pp. 167-179.

BAUER, P. (1990), «A Survey of Recent Econometric Developments in Frontier Estimation», Journal of Econometrics, 46, pp. 21-39.

BECKERS, D., e HAMMOND, C. (1987), «A Tractable Likelihood Function for the Normal-Gamma Stochastic Frontier Model», Economics Letters, 24, pp. 33-38.

CAUDILL, S., e FORD, J. (1993), «Biases in Frontier Estimation due to Heteroscedasticity",

Economics Letters, 41, pp. 17-20.

CAUDILL, S., FORD, J., e GROPPER, D. (1995), «Frontier Estimation and Firm-Specific Inefficiency Measures in the Presence of Heteroscedasticity••, Journal of Business and Economic Statistics,

13, pp. 105-111.

COELLI, T. (1995), «Estimators and Hypothesis Tests for a Stochastic Frontier Function: A Monte Carlo Analysis», Journal of Productivity Analysis, 6, 3, pp. 247-268.

CORNWELL, C., SCHMIDT, P., e SICKLES, R. (1990), «Production Frontiers with Cross Sectional and Time Series Variation in Efficiency Levels», Journal of Econometrics, 46, pp. 185-200.

FARRELL, M. (1957), «The Measurement of Productive Efficiency», Journal of the Royal Statistical Society A, (general) 120, part Ill, pp. 253-281.

F0RSUND, F. (1985), «Frontier Production Functions, Comment», Econometric Reviews, 4(2), pp. 329-334.

F0RSUND, F. , LOVELL, C., e SCHMIDT, P. (1980), «A Survey of Frontier Production Functions and of their Relationship to Efficiency Measurement», Journal of Econometrics, 13, pp. 5-25.

GONG, B., e SICKLES, R. (1989), «Finite Sample Evidence on the Performance of Stochastic Frontier Models Using Panel Data», Journal of Productivity Analysis, 1, 3, pp. 229-261.

GREENE, W. (1980), «Maximum Likelihood Estimation of Econometric Frontier Functions», Journal of Econometrics, 13, pp. 27-56.

- - (1985), «Frontier Production Functions, Comment», Econometric Reviews, 4(2), pp. 335-338.

- - (1990), «A Gamma Distributed Stochastic Frontier Model», Journal of Econometrics, 46,

pp. 141-163.

- - (1993), «The Econometric Approach to Efficiency Analysis», in H. Fried, C. Lovell, S. Schmidt

(eds.), The Measurement of Productive Efficiency, Oxford, Oxford University Press.

- - (1995), LIMDEP, version 7.0, User's Manual, New York: Econometric Software, Inc.

- - (1997), Econometric Analysis, 3d ed., New Jersey, Prentice-Hall, Inc. Hall, Bronwyn H. (1995), Time Series Processor, Version 4.3, Reference Manual, TSP International.

HAUSMAN, J. (1978), «Specification Tests in Econometrics», Econometrica, 46, pp. 1251-1271.

HAUSMAN, J., e TAYLOR, W. (1981), «Panel Data and Unobservable Individual Effects»,

Econometrica, 49, pp. 1377-1398.

JONDROW, J., LOVELL, C., MATEROV, 1., e SCHMIDT, P. (1982), «On the Estimation of Technical Inefficiency in the Stochastic Frontier Production Function Model», Journal of Econometrics,

19, pp. 233-238.

KOPP, J., e MULLAHY, J. (1990), «Moment-Based Estimation and Testing of Stochastic Frontier Models», Journal of Econometrics, 46, pp. 165-183.

Esruoos DE EcoNOMIA, VOL. xvm, N.0 _4,

OuroNo 1998

KUMBHAKAR, S. (1990), «Production Frontiers, Panel Data and Time-varying Technical Inefficiency», Journal of Econometrics, 46, pp. 201-211.

- - (1991), «Estimation of Technical Inefficiency in Panel Data Models with Firm and Time-specific Effects», Economics Letters, 36, pp. 43-48.

KUMBHAKAR, S., GHOSH, S., e McGUCKIN, J. (1991), «A Generalized Production Frontier Approach for Estimating Determinants of Inefficiency in U. S. Dairy Farms», Journal of Business and Economic Statistics, 9, 3, pp. 279-286.

LEE, L.-F. (1983), «A Test for the Distributional Assumptions for the Stochastic Frontier Functions»,

Journal of Econometrics, 22, pp. 245-267.

- - (1993), «Asymptotic Distribution of the Maximum Likelihood Estimator for a Stochastic Frontier Function Model with a Singular Information Matrix», Econometric Theory, 9, pp. 413-430.

LEE, Y., e SCHMIDT, P. (1993), <<A Production Frontier Model with Flexible. Temporal Variation in Technical Efficiency», in H. Fried, C. Lovell, S. Schmidt (eds.), The Measurement of Productive Efficiency, Oxford, Oxford University Press.

LEOTE DE PAIVA, R. (s. d.), A Medir;ao da Eficiencia no Sector Hospitalar-0 Caso Portugues,

tese de doutoramento, Universidade Tecnica de Lisboa, Institute Superior de Economia e Gestae.

LOVELL, C. (1993), <<Production Frontiers and Productive Efficiency», in H. Fried, C. Lovell, S.

Schmidt (eds.), The Measurement of Productive Efficiency, Oxford, Oxford University Press.

MEEUSEN, W., e VAN DEN BROECK, J. (1977), <<Efficiency Estimation from Cobb-Douglas Production Functions with Composed Error••, International Economic Review, 18, pp. 435-444.

MURTEIRA, B. J. F. (1990), Probabilidades e Estatfstica, vols. I e II, 2.~ ed., Lisboa, McGraw-Hill. MURTEIRA, J. (1997), Modelos de Fronteira Estocastica de Produr;ao, dissertac;:ao de mestrado,

Universidade Tecnica de Lisboa, Institute Superior de Economia e Gestae.

PARK, B., e SIMAR, L. (1994), <<Efficient Semiparametric Estimation in a Stochastic Frontier Model»,

Journal of the American Statistical Association, vol. 89, n.0 _{427, pp. 929-936.}

PITT, M., e LEE, L.-F. (1981), «The Measurement and Sources of Technical Inefficiency in the Indonesian Weaving Industry», Journal of Development Economics, 9(1), pp. 43-64.

RICHMOND, J. (1974), «Estimating the Efficiency of Production», International Economic Review,

15, pp. 515-521.

SCHMIDT, P. (1976), «On the Statistical Estimation of Parametric Frontier Production Functions»,

Review of Economics and Statistics, 58, pp. 238-239.

- - (1976), «On the Statistical Estimation of Parametric Frontier Production Functions», Review of Economics and Statistics, 58, pp. 481-482.

- - (1985), «Frontier Production Functions», Econometric Reviews, 4(2), pp. 289-328.

SCHMIDT, P., e LIN, T. (1984), «Simple Tests of Alternative Specifications in Stochastic Frontier Models», Journal of Econometrics, 24, pp. 349-361.

SCHMIDT, P.,- e SICKLES, R. (1984), «Production Frontiers and Panel Data», Journal of Business and Economic Statistics, 2, pp. 367-374.

STEVENSON, R. (1980), «Likelihood Functions for Generalized Stochastic Frontier Estimation»,

Journal of Econometrics, 13, pp. 58-66.

VAN DEN BROECK, J., OSIEWALSKI, J., e STEEL, M. (1994), «Stochastic Frontier Models, A Bayesian Perspective», Journal of Econometrics, 61, pp. 273-303.

WALDMAN, D. (1982), «A Stationary Point for the Stochastic Frontier Likelihood», Journal of Econometrics, 18, pp. 275-279.