1 - CÁLCULO DO VALOR PRESENTE (ATUAL)

Séries Uniformes

Sabemos do capítulo anterior, que as séries uniformes são aquelas que têm os termos constantes e periódicos.

Passaremos, agora, a discutir como calcular os elementos de uma série uniforme para podermos solucionar situações financeiras que se enquadrem dentro desse modelo.

1 - CÁLCULO DO VALOR PRESENTE (ATUAL)

Quase sempre em finanças há necessidade de se conhecer o valor presente de uma série uniforme correspondente a termos futuros.

Podemos citar os casos de antecipação de prestações ou o valor de um depósito para se receber uma certa quantia periodicamente.

A fim de se obter o valor presente de uma série uniforme, tudo o que precisamos é encontrar o valor presente de cada termo individualmente e depois somá-los.

Este processo é o mesmo que descapitalizarmos os termos da série uniforme, um a um, conforme já fizemos anteriormente.

O valor presente (ou atual) da série uniforme é a soma destas descapitalizações como ilustra o fluxo de caixa abaixo.

0 1 2 3 ... n

PV1 PMT PMT PMT

PV2

PV3

PV

Deste modo, a fórmula que permite calcular o o valor presente P de uma série uniforme será igual a:

PV = PV1 + PV2 + PV3 + ... + PVn

PV = PMT(1+i)-1_{+ PMT(1+i)}-2 _{+ PMT(1+i)}-3 _{+ ... + PMT(1+i)}-n

PV = PMT[(1+i)-1 _{+ (1+i)}-2 _{+ ... + (1+i)}-n_]









1

1

1

n

n

i

PV

PMT

i

i



_

_



















onde: PV é o valor presente

PMT é o termo ou pagamento periódico ou parcelas









1

1

1







i

i

i

n

n é o fator que multiplicado por T obtém-se P.

Exemplo:

Um empréstimo é quitado em 3 parcelas iguais a R$ 180,17. Considerando que a taxa é de 4% ao mês, qual a quantia emprestada?

2 -

CÁLCULO DO VALOR FUTURO (MONTANTE)

Muitas vezes é útil encontrarmos o valor futuro dos termos de uma série uniforme.

Incluem-se aqui os casos de investimentos nos quais se deposita o mesmo valor periodicamente para se ter no futuro uma quantia desejada.

Tudo o que precisamos para obter o valor futuro de uma série uniforme é encontrar o valor futuro de cada termo individualmente e depois somá-los.

Neste caso é o mesmo que capitalizarmos os termos da série uniforme, um a um, conforme já fizemos anteriormente.

O valor futuro (ou montante) da série uniforme é a soma destas capitalizações como ilustra o fluxo de caixa abaixo.

FV1

FV2

FV3

PMT PMT PMT FVn

0 1 2 3 ... n

Portanto a fórmula que permite calcular o valor futuro de uma série uniforme é obtida por:

FV = FV1 + FV2 + FV3 + ... + FVn

FV = PMT(1+i)n _{+ PMT(1+i)}n-1 _{+ ...+PM T}

FV = PMT[(1+i)n _{+ (1+i)}n-1 _{+ ...+ 1]}



1

i



1

FV

PMT

i



_

_

















onde: FV é o valor futuro ou montante

PMT é o termo ou pagamento periódico ou parcela



₁



_i





₁

i

n

é o fato que multiplicado por T obtém-se F.

Exemplo:

Aplica-se mensalmente numa caderneta de poupança que remunera 4% ao mês a quantia de R$ 180,17. Qual o valor acumulado daqui a 3 meses ?

3 - CÁLCULO DOS TERMOS (PAGAMENTOS PERIÓDICOS)

Em finanças é muito freqüente necessitarmos conhecer o valor dos termos de uma série uniforme. Várias são as aplicações e podemos citar os casos de amortizações de empréstimos, de financiamentos, crédito de lojas onde se determina o valor das prestações iguais que deverão ser pagas, ou ainda, quando se faz um fundo de investimentos no qual se determina o valor dos depósitos constantes para se atingir uma quantia desejada.

O que precisamos para determinar o valor dos termos de uma série uniforme é saber se ele será calculado a partir do valor presente ou a partir do valor futuro.

Tanto num como noutro caso, o valor do termo de uma série uniforme é encontrado a partir das expressões para a determinação do cálculo do valor presente e a do cálculo do valor futuro já apresentadas anteriormente.

3.1 - CÁLCULO DO TERMO PARTINDO DO VALOR PRESENTE

Para este propósito necessitamos saber qual o valor do termo que em n períodos produzirá o valor presente conhecido.

Este é o cálculo inverso do que fizemos quando determinamos o valor presente de uma série uniforme. Por isso, se sabemos como encontrar o valor presente de uma série uniforme de termos futuros, podemos achar os termos futuros que corresponderão a um certo valor presente através de uma simples mudança algébrica, ou seja:









1

1

1

i

PV

PMT

i

i



_

_



























1

1

1

i

i

PMT

PV

i



_





















Portanto, a fórmula que permite calcular os valores dos termos de uma série uniforme, partindo do valor presente é dada pela expressão:









1

1

1

i

i

PMT

PV

i



_





















onde: PMT é o termo ou pagamento periódico ou parcela PV é o valor presente







i

_i



i

n n

1

1

1



















Exemplo:

Um empréstimo de R$ 500,00 será pago em 3 parcelas iguais. Sabendo que o banco cobra juros a uma taxa de 4% ao mês, qual o valor das prestações ?

3.2 - CÁLCULO DO TERMO PARTINDO DO VALOR FUTURO

Aqui necessitamos saber qual o valor do termo de uma série uniforme que produzirá em n períodos o valor futuro conhecido.

Este cálculo é o inverso do que fizemos quando determinamos o valor futuro de uma série uniforme. Deste modo devemos ter:



1

i



1

FV

PMT

i



_

_



















1



1

i

PMT

FV

i























A fórmula que permite calcular os valores dos termos de uma série uniforme, partindo do valor futuro é dada pela expressão:



1



1

i

PMT

FV

i























onde: PMT é o termo ou pagamento periódico ou parcelas FV é o valor futuro



_i



i

1





1









_



Observação: a fórmula apresentada só poderá ser utilizada nas séries uniformes e postecipadas. Para as antecipadas e diferidas não deduziremos fórmulas, pois faremos ajustes no fluxo de caixa correspondente.

Exemplo:

Quanto se deve aplicar mensalmente numa caderneta de poupança que remunera 4% ao mês para se obter em 3 meses a quantia de 562,42

5 - EXERCÍCIOS

5.1 - Um empréstimo será pago em 8 prestações mensais de R$ 600,00. Qual o valor deste empréstimo se a taxa de juros cobrada é de 4% ao mês ?

5.2 - Quanto você acumularia no fim de 15 meses se depositasse todo final de mês R$ 350,00 numa caderneta de poupança que paga juros de 2% ao mês ?

quanto deve depositar mensalmente numa caderneta de poupança que paga 2% ao mês ?

5.5 - Comprando a prazo, um cliente que pagar em 6 parcelas mensais sem entrada. Se o valor à vista da sua compra é de R$ 2.500,00, qual é o valor de cada prestação sendo que a loja cobra 4% ao mês ?

5.6 - No caso anterior qual será o valor das prestações se uma delas é considerada como entrada ?