SIMULAÇÃO DE SISTEMAS LISTA 2 - RESOLUÇÃO

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 08 de Agosto 2013

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

LISTA 2 - RESOLUÇÃO

2

(2)

Questão 1:

Cada bagagem de um passageiro de avião deve ser verificada se possui armas ou não. Suponha que no aeroporto de Gotham City ocorre, em média, a chegada de 10 passageiros por minuto (tempo entre as chegadas segue uma distribuição exponencial). Para realizar a verificação é necessário um detector de metais e um equipamento de raio-x. Considere os dois equipamentos como um único ponto de checagem que pode atender uma média de 12 passageiros por minuto (com distribuição exponencial). Assumindo que o aeroporto possui apenas um ponto de checagem, responder:

Item (A): Qual a probabilidade de que o ponto de checagem não está ocioso? E de que existem passageiros na fila?

Item (B): Em média quantos passageiros estão esperando para entrar no ponto de checagem?

Item (C): Em média quanto tempo um passageiro gasta em um ponto de checagem?

4

TEORIA DE FILAS

Sabendo que o modelo de filas segue M/M/1/GD/∞/∞, que a taxa de chegadas é de λλλλ = 10 passageiros por minuto e de atendimento é de µµµµ= 12 passageiros por minuto e que ρρρρ = λλλλ/µµµµ = 10/12 = 5/6.

2

1

0 λλλλ

= 10

λλλλ

= 10

µµµµ

= 12

µµµµ

= 12

ππππ0 = (1 - ρρρρ) = (1 – 5/6) = 1/6

Item (A): Qual a probabilidade de que o ponto de checagem não está ocioso? E de que existem passageiros na fila?

ππππ0:Ocioso ππππ2:a partir deste estado ocorre fila

●

Não ocioso:1-ππππ₀= 5/6

●Fila:1-ππππ₀-ππππ₁= 1-11/36 = 25/36

(3)

5

1 ,

4 )

6 /

25 (

)

6 /

1 (

)

36 /

25 (

)

6 /

5 (

1 )

6 /

5 (

1

2 2

=

−

=

−

=

−

=

ρ

L

Lq

L =

λλλλ

W

→

W = L/

λλλλ

5 )

6 /

5

1 (

6 /

5 )

1 (

−

=

−

=

ρ

L

W = 5/10 =

_{1/2 minuto}

Item (B): Em média quantos passageiros estão esperando para entrar no ponto de checagem?

Item (C): Em média quanto tempo um passageiro gasta em um ponto de checagem?

6

TEORIA DE FILAS

Questão 2:

(4)

O objetivo do aeroporto é minimizar a soma do custo do serviço e o custo do cliente na fila por 10 anos:

Custo médio

10 anos

Custo serviço

10 anos

=

Custo espera

10 anos

+

Custo espera

10 anos

=

10××××(16××××365××××10)××××Wλλλλ Custo serviço

10 anos

=

1.000.000 ×××× no. maq.

Número de horas em 10 anos

8

Agora os custos esperados por hora para uma ou mais máquinas compradas podem ser comparadas. Lembrando que λλλλ = 10.

TEORIA DE FILAS

Caso 1 – Apenas 1 máquina: µµµµ= 12.

λ

µ

λ

−

=

L

λ

L

W

=

+

λ

µ

−

=

1 W

10

12

1 −

=

W

Custo espera

10 anos

=

2.920.000

Custo serviço

10 anos

=

Custo médio

10 anos

=

3.920.000 10××××(16××××365××××10)××××Wλλλλ

1.000.000 ×××× 1

no. maq.

(5)

9

Observe que tanto faz W e λλλλestarem em minutos ou horas, pois

λλλλW = L e L é o número médio de pessoas no sistema. Para verificar tal afirmação, considerar λλλλ em horas: λλλλ = 10*60. Caso 1 – Apenas 1 máquina: µµµµ= 12*60.

λ

µ

−

=

1 W

60 *

)

10

12 (

1 −

=

W

Custo espera

10 anos

=

2.920.000

Custo serviço

10 anos

=

Custo médio

10 anos

=

3.920.000 10××××(16××××365××××10)××××Wλλλλ

1.000.000 ×××× 1

no. maq.

Número de horas em 10 anos

60 *

)

10

12 (

60 *

10 *

−

=

W

λ

10

Agora os custos esperados uma segunda máquina for comprada. Supor que µµµµ= 24 e lembrar que λλλλ = 10.

TEORIA DE FILAS

Caso 2 – 2 máquinas: µµµµ = 24.

λ

µ

λ

−

=

L

λ

L

W

=

+

λ

µ

−

=

1 W

10

24

1 −

=

W

Custo espera

10 anos

=

417.142,86

Custo serviço

10 anos

=

Custo médio

10 anos

=

2.417.142 10××××(16××××365××××10)××××Wλλλλ

1.000.000 ×××× 2

(6)

Agora os custos esperados uma terceira máquina for comprada. Supor que µµµµ= 36 e lembrar que λλλλ = 10.

Caso 3 – 3 máquinas: µµµµ = 36.

λ

µ

λ

−

=

L

λ

L

W

=

+

λ

µ

−

=

1 W

10

36

1 −

=

W

Custo espera

10 anos

=

224.615,38

Custo serviço

10 anos

=

Custo médio

10 anos

=

3.224.615 10××××(16××××365××××10)××××Wλλλλ

1.000.000 ×××× 3

no. maq.

12

TEORIA DE FILAS

Custo serviço µµµµ

1.000.000 12

24

36

Resumo das opções de investimento

2.000.000

3.000.000

Custo espera

2.920.000

417.142

(7)

13

Questão 3:

Um departamento de ciências deve decidir entre alugar uma impressora rápida e um impressora lenta. O departamento acredita que o trabalho de um empregado vale R$15 por hora. O aluguel da impressora lenta custa R$4 e demanda, em média, 10 minutos de um empregado (com distribuição exponencial) ao passo que a impressora rápida custa R$15 por hora e demanda, em média, 6 minutos (com distribuição exponencial) para completar o trabalho. Qual máquina deve ser alugada?

14

Tempo µµµµ (hora)

6 min 10 atend.

6 atend.

Resumo das opções de investimento

10 min

Custo espera (hora)

?

? Máquina

Rápida

Lenta

Custo serviço

(hora)

R$ 15

R$ 4 Custo de opr.

da máquina Custo da hora

(8)

Agora os custos esperados por hora de acordo com o tipo de máquina podem ser comparados. Usa-se λλλλ genérico.

Caso 1 – Máquina rápida: µµµµ= 10.

λ

µ

λ

−

=

L

W

λ

=

λ

−

=

10 L

Custo espera

hora

=

Custo serviço

hora

=

Custo médio

hora

=

15+15××××(λλλλ/(10-λλλλ)) 15××××(λλλλ/(10-λλλλ))

15

16

Agora os custos esperados por hora de acordo com o tipo de máquina podem ser comparados. Usa-se λλλλ genérico.

TEORIA DE FILAS

Caso 2 – Máquina lenta: µµµµ = 6.

λ

µ

λ

−

=

L

W

λ

=

λ

−

=

6 L

Custo espera

hora

=

Custo serviço

hora

=

Custo médio

hora

=

4+15××××(λλλλ/(6-λλλλ)) 15××××(λλλλ/(6-λλλλ))

(9)

17

Usa-se a fórmulas anteriores para determinar para quais valores de λλλλ é mais vantajoso usar a máquina rápida ou lenta:

Rápida Lenta

15+15/9 = 16,66 λλλλ = 1

λλλλ = 2

15+15××××(λλλλ/(10-λλλλ)) 4+15××××(λλλλ/(6-λλλλ))

15+15/4 = 18,75

λλλλ = 3 15+15/4 = 20,00 λλλλ = 4 15+15*2/3 = 25,00

4+15/5 = 7

4+15/2 = 11,50

4+15/1 = 19,00

4+15*2 = 34,00

A partir de λλλλ = 4 é mais vantajoso empregar a máquina rápida.

18

TEORIA DE FILAS

Questão 4:

Para um sistema de fila com M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞, suponha que tanto ∞ λλλλquanto µµµµ são duplicados.

Item (A): Como L é modificado?

Item (B): Como W é modificado?

(10)

)

1 (

ρ

−

=

L

Seja ρρρρ = λλλλ/µµµµe a equação de L dada por:

L

=

−

=

−

=

)

1 (

)

'

1 (

'

ρ

Seja ρρρρ’ = 2λλλλ/2µµµµ = λλλλ/µµµµ = ρρρρ, então, o novo valor L’ será dado por:

20

λ

L

W

=

Seja ρρρρ = λλλλ/µµµµe a equação de W dada por:

Seja λλλλ’ = 2λλλλ e L’ = L, então, o novo valor W’ será dado por:

W

L

W

2

1 *

2

1

2 '

'

=

λ

(11)

21

Sejam as equações de estado permanente dadas por:

Seja ρρρρ’ = 2λλλλ/2µµµµ = λλλλ/µµµµ = ρρρρ, então:

ππππ

0

= (1 -

ρρρρ

)

ππππ

j

=

ρρρρ

j

(1 -

ρρρρ

)

ππππ

0

’ = (1 -

ρρρρ

’) = (1 -

ρρρρ

) =

ππππ

0

ππππ

j

’ = (

ρρρρ

’)

j

(1 -

ρρρρ

’) = (

ρρρρ

)

j

(1 -

ρρρρ

) =

ππππ

j

22

TEORIA DE FILAS

Questão 5:

Um restaurante fast-food possui um serviço de atendimento de drive-in. Em média 40 clientes chegam por hora no serviço de drive-in e, em média, o tempo de serviço é de 1 minuto. Assumindo que o serviço de atendimento e o tempo entre as chegadas seguem uma distribuição exponencial.

Item (A): Em média, quantos clientes estão esperando na fila?

Item (B): Em média, quanto tempo o cliente gasta no restaurante (desde o tempo da chegada até o atendimento ser completado)?

(12)

33 ,

1 )

3 /

4 (

)

3 /

1 (

)

9 /

4 (

)

3 /

2 (

1 )

3 /

2 (

1

2 2

=

−

=

−

=

−

=

ρ

L

Lq

L =

λλλλ

W

→

W = L/

λλλλ

2 )

3 /

2

1 (

3 /

2 )

1 (

−

=

−

=

ρ

L

W = 2/40 horas = 2*60/40 minutos = 3 minutos

Item (A): Em média, quantos clientes estão esperando na fila?

Item (B): Em média, quanto tempo o cliente gasta no restaurante (desde o tempo da chegada até o atendimento ser completado)?

Sabendo que o modelo de filas segue M/M/1/GD/∞/∞, que a taxa de chegadas é de λλλλ = 40 clientes por hora e de

atendimento é de µµµµ= 60 clientes por hora e que ρρρρ = λλλλ/µµµµ = 40/60 = 2/3.

24

TEORIA DE FILAS

2

1

0 λλλλ

= 40

λλλλ

= 40

µµµµ

= 60

µµµµ

= 60

Item (c): Qual a fração do tempo existem mais de 3 carros esperando para o serviço (isto inclui o carro (se houver) em atendimento)?

ππππ0:Ocioso

ππππ2:a partir deste estado ocorre fila

Seja ππππ0 + ππππ1 + ππππ2 + ππππ3 + ππππ4 +... = 1, então:

ππππ3 + ππππ4 +... = 1 - ππππ0 - ππππ1 - ππππ2. Portanto, a probabilidade de que existam 3 ou mais carros é: 1 - ππππ0 - ππππ1 - ππππ2

3 λλλλ

= 40

µµµµ

= 60

ππππ3:Existem 3 carros no sistema.

(13)

25

ππππ

0

= (1 -

ρρρρ

) = (1 - 2/3) = 1/3

ππππ

1

=

ρρρρ

1

(1 -

ρρρρ

**) = 2/3*(1 - 2/3) = 2/9**

Achando os valores de ππππ₀, ππππ₁ e ππππ₂ se ρρρρ = λλλλ/µµµµ =40/60=2/3:

ππππ

2

=

ρρρρ

2

(1 -

ρρρρ

) = (2/3)

2

*(1 – 2/3) = 4/27

Seja ππππ₃+ ππππ₄+... = 1 - ππππ₀- ππππ₁ - ππππ₂, então:

1 - ππππ₀- ππππ₁ - ππππ₂ = 1 – 1/3 – 2/9 – 4/27 = 1 -(9+6+4)/27 = 19/27 = 0,7037 ou 70,37% do tempo existem 3 ou mais carros.

26

TEORIA DE FILAS

Questão 6:

Em um Sábado típico, chegam e são servidos 1200 clientes em um restaurante. O restaurante fica aberto por 12 horas. Na média, 150 clientes estão presentes. Quanto tempo, em média, um cliente gasta no restaurante?