ENCIAS - MODELO LOGIT E MEDIDAS APROXIMADAS DE IMPACTOS AMBIENTAIS 2 Volumes (Vol.II - Anexos)

INCIDˆ

ENCIAS - MODELO LOGIT E MEDIDAS

APROXIMADAS DE IMPACTOS

AMBIENTAIS

2 Volumes (Vol. II - Anexos)

LISBOA

INCIDˆ

ENCIAS - MODELO LOGIT E MEDIDAS

APROXIMADAS DE IMPACTOS

AMBIENTAIS

2 Volumes (Vol.II - Anexos)

Disserta¸c˜

ao apresentada para obten¸c˜

ao do Grau de Doutor em

Matem´

atica na especialidade de Estat´ıstica pela Universidade Nova,

Faculdade de Ciˆ

encias e Tecnologia.

Conte´

udo

1 Anexo 1 - Momentos de

β

b

1

1

2 Anexo 2 - Momentos de

∆

3

2.1 C´alculo do 1

o

_{momento . . . .}

₃

2.2 C´alculo do 2

o

_{momento . . . .}

₅

2.3 C´alculo do 3

o

momento . . . 18

2.4 C´alculo do 4

o

_{momento . . . 97}

Cap´ıtulo 1

Anexo 1 - Momentos de

β

b

₁

b

β

1

=

1_d

·

a

n

P

i=1

fiyi

vi

−

n

P

i=1

yi

vi

¸

=

1

d n

P

i=1

ziyi

vi

com

z

i

=

af

i

−

b

b

β

2

1

=

1

d2







n

P

i=1

z2

i y

2

i

v2

i

+

n

P

i=1

n

P

l=1

i6=l

zizlyiyl

vivl







b

β

3

1

=

1

d3

"µ

_n

P

i=1

ziyi

vi

¶ Ã

_n

P

j=1

z2

j y

2

j

v2

j

!

+

+

µ

_n

P

i=1

ziyi

vi

¶







n

P

j=1

n

P

l=1

j6=l

zjzlyjyl

vjvl













=

=

1

d3







n

P

i=1

z3

i y

3

i

v3

i

+ 3

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j z2

i zjy2i yj

v2

i vj

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

zizj zlyiyjyl

vivjvl







b

β

4

1

=







d14

µ

_n

P

i=1

ziyi

vi

¶ Ã

_n

P

j=1

z3

j y

3

j

v3

j

!

+ 3

µ

_n

P

i=1

ziyi

vi

¶







n

P

j=1

n

P

l=1

j6=l z2

j zlyj2yl

v2

j vl







+

+

µ

_n

P

i=1

ziyi

vi

¶







n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

j6=l6=k

zj zlzkyjylyk

vjvlvk













=

=

1

d4







n

P

i=1

z4

i y

4

i

v4

i

+ 4

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j z3

i zjy3i yj

v3

i vj

+ 3

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j z2

i z

2

j y

2

i y

2

j

v2

i v

2

+6

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l z2

i zjzly2i yjyl

v2

i vjvl

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

zizjzlzkyiyjylyk

vivjvlvk







E

h

β

b

1

i

=

1

d n

P

i=1

ziµi

vi

E

h

β

b

2 1

i

=

1

d2







n

P

i=1

z2

i µ′i,2

v2

i

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

zizjµiµj

vivj







E

h

β

b

3 1

i

=

1

d3







n

P

i=1

z3

i µ′i,3

v3

i

+ 3

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j z2

i zjµ′i,2 µj

v2

i vj

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

zizjzlµiµjµl

vivjvl







E

h

β

b

4 1

i

=

1

d4







n

P

i=1

z4

i µ′i,4

v4

i

+ 4

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j z3

i zjµ′i,3 µj

v3

i vj

+ 3

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j z2

i z

2

jµ′i,2µ′j,2

v3

i vj

+

+6

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l z2

i zjzlµ′i,2µjµl

vivjvl

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

zizjzlzkµiµjµlµk

vivjvlvk

Cap´ıtulo 2

Anexo 2 - Momentos de

_∆

2.1

C´

alculo do 1

o

momento

1.

C´

alculo de

∆

e

E

(∆)

∆ =

1

d

h

a

(˜

γ

−

γ

)

−

³

˜

b

−

b

´

U

i

−

β

ˆ

1

d

³

˜

d

−

d

´

com

θ

=

1

d

h

a

(˜

γ

−

γ

)

−

³

˜

b

−

b

´

U

i

˜

γ

−

γ

=

P

n

i=1

εiyi

vi

˜

_b

₋

_b

₌

P

n

i=1

εi

vi

U

=

P

n

i=1

yi

vi

ent˜ao

θ

=

1

d

·

a

n

P

i=1

εiyi

vi

−

n

P

i=1

εi

vi

×

n

P

i=1

yi

vi

¸

=

=

1

d







a

n

P

i=1

εiyi

vi

−

n

P

i=1

εiyi

v2

i

−

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j εiyj

vivj







³

˜

d

−

d

´

=

a

n

P

i=1 ˜

f2

i−f

2

i

vi

−

³

˜

b

−

b

´

2

=

a

n

P

i=1 ˜

f2

i−f

2

i

vi

−

µ

_n

P

i=1

εi

vi

¶

2

com ˜

f

i

=

f

i

+

ε

i

=

⇒

f

˜

i2

=

f

i2

+ 2

f

i

ε

i

+

ε

2i

⊛

=

a

n

P

i=1

f2

i+2fiεi+ε2i−f

2

i

vi

−







n

P

i=1

ε2

i

v2

i

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j εiεj

vivj







=

= 2

a

P

n

i=1

fiεi

vi

+

a

n

P

i=1

ε2

i

vi

−

n

P

i=1

ε2

i

v2

i

−

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j εiεj

vivj

ˆ

β

1

=

1_d

·

a

P

n

i=1

fiyi

vi

−

b

n

P

i=1

yi

vi

¸

tem-se assim

∆ =

θ

−

βˆ1

d

³

˜

d

−

d

´

=

1

d







a

n

P

i=1

εiyi

vi

−

n

P

i=1

εiyi

v2

i

−

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j εiyj

vivj







−

−

1

d2

·

a

n

P

i=1

fiyi

vi

−

b

n

P

i=1

yi

vi

¸

×







2

a

n

P

i=1

fiεi

vi

+

a

n

P

i=1

ε2

i

vi

−

n

P

i=1

ε2

i

v2

i

−

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j εiεj

vivj







=

=

1

d







a

n

P

i=1

εiyi

vi

−

n

P

i=1

εiyi

v2

i

−

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j εiyj

vivj







−

d12

·

2

a

2

P

n

i=1

f2

i εiyi

v2

i

+

+2

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

fiyifjεj

vivj

+

a

2

P

n

i=1

fiyiε2i

v2

i

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

fiyiε2j

vivj

−

a

n

P

i=1

fiyiε2i

v3

i

−

−

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

fiyiε2j

viv2j

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

fiyiεiεj

v2

i vj

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

fiyiεjεl

vivjvl

−

2

ab

n

P

i=1

fiyiεi

v2

i

−

−

2

ab

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

yifjεj

vivj

−

ab

n

P

i=1

yiε2i

v2

i

−

ab

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j yiε2j

vivj

+

b

n

P

i=1

yiε2i

v3

i

+

+

b

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j yiε2j

vivj2

+ 2

b

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

yiεiεj

v2

i vj

+

b

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

yiεjεl

vivjvl

Os termos n˜ao nulos de ∆ s˜ao:

½

−

1

d2

·

a

2

P

n

i=1

fiyiε2i

v2

i

−

a

n

P

i=1

fiyiε2i

v3

i

−

ab

n

P

i=1

yiε2i

v2

i

+

b

n

P

i=1

yiε2i

v3

i

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

fiyiε2j

vivj

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

fiyiε2j

vivj2

−

ab

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j yiε2j

vivj

+

b

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j yiε2j

viv2j

















Tem-se deste modo:

E

(∆) =

−

σ_d22

·

a

2

P

n

i=1

fi

v2

i

µ

i

−

a

n

P

i=1

fi

v3

i

µ

i

−

ab

n

P

i=1 1

v2

i

µ

i

+

b

n

P

i=1 1

v3

i

µ

i

+

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j fi

vivj

µ

i

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j fi

viv2j

µ

i

−

ab

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

1

vivj

µ

i

+

+

b

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

1

viv2j

µ

i







2.2

C´

alculo do 2

o

momento

∆

2

=

θ

2

−

2

θ

β

ˆ

1

d

³

˜

d

−

d

´

+

β

ˆ

2 1

d

2

³

˜

d

−

d

´

2

θ

2

=

1

d2







a

2

P

n

i=1

εiyi2

v2

i

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiεjyj

vivj

−

2

a

n

P

i=1

ε2

i y

2

i

v3

i

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiεjyj

v2

i vj

−

2

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i yiyj

v2

i vj

+ (1

−

2

a

)

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiεjyj2

vivj2

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiεjyl

vivjvl

+

+

P

n

i=1

ε2

i y

2

i

v4

i

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

εiyiεjyj

v2

i v

2

j

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

ε2

i yiyj

v3

i vj

+ 4

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

εiyiεjyl

v2

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiεj y2j

viv3j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i y

2

j

v2

i v

2

j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i yjyl

v2

i vjvl

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiy2j εl

viv2j vl

+

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiyjεlyk

vivjvlvk







Os termos n˜ao nulos de

θ

2

_s˜ao:











1

d2







a

2

n

P

i=1

εiy2i

v2

i

−

2

a

n

P

i=1

ε2

i y

2

i

v3

i

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i yiyj

v2

i vj

+

n

P

i=1

ε2

i y

2

i

v4

i

+2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i yiyj

v3

i vj

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i y

2

j

v2

i v

2

j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i yjyl

v2

i vj vl

















Obtendo-se deste modo:

E

[

θ

2

_{] =}

σ2

d2







a

2

n

P

i=1 1

v2

i

µ

′

i,2

−

2

a

n

P

i=1 1

v3

i

µ

′

i,2

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

1

v2

i vj

µ

i

µ

j

+

n

P

i=1 1

v4

i

µ

′

i,2

+

+2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

1

v3

i vj

µ

i

µ

j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

1

v2

i v

2

j

µ

′

i,2

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

1

v2

i vjvl

µ

j

µ

l







Vamos agora calcular

−

2

θ

βˆ1

d

³

˜

d

−

d

´

:

θ

β

ˆ

1

=

1_d







a

n

P

i=1

εiyi

vi

−

n

P

i=1

εiyi

v2

i

−

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j εiyj

vivj







×

1

d

"

a

n

X

i=1

f

i

y

i

v

i

−

b

n

X

i=1

y

i

v

2

i

#

|

{z

}

=

n

P

i=1

yi zi

vi comzi=afi−b

=

=

1

d2







a

n

P

i=1

εiyi2zi

v2

i

+

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiyjzj

vivj

−

n

P

i=1

εiyi2zi

v3

i

−

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiyjzj

v2

−

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiziyj

v2

i vj

−

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiy2jzj

viv2j

−

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyjylzl

vivjvl







−

2

θ

βˆ1

d

³

˜

d

−

d

´

=

−2

d3







2

a

3

n

P

i=1

ε2

i fiyi2zi

v3

i

+ 2

a

3

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiy2i ziεj fj

v2

i vj

+

+2

a

3

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiyiyjzj

v2

i vj

+ 2

a

3

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiεjfjyjzj

vivj2

+ 2

a

3

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiyjzjylzl

vivjvl

−

−

2

a

n

P

i=1

ε2

i fiy2i zi

v4

i

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiy2i ziεjfj

v3

i vj

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiyiyjzj

v3

i vj

−

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiεjfjyjzj

v2

i v

2

j

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiyj zjεlfl

v2

i vjvl

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiyiziyj

v3

i vj

−

−

2

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiziεjfjzj

v2

i vj

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiziyjεlfl

v2

i vjvl

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiy2jzj

v2

i v

2

j

−

−

2

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiεjfjyj2zj

vivj3

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiy2j zj εlfl

viv2j vl

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i fiyjylzl

v2

i vjvl

−

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiεjfj yjylzl

viv2j vl

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyjεlflylzl

vivjv2_l

−

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiyjylzlεkfk

vivjvlvk

+

a

2

P

n

i=1

ε3

i y

2

i zi

v3

i

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiy2i ziε2j

v2

i vj

+

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i yiyjzj

v2

i vj

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiε2jyjzj

viv2j

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiyjzj ε2l

vivjvl

−

−

a

P

n

i=1

ε3

i y

2

i zi

v4

i

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiy2i ziε2j

v3

i vj

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i yiyjzj

v3

i vj

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiε2j yjzj

v2

i v

2

j

−

−

a

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

εiyiyjzjε2_l

v2

i vjvl

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

ε3

i yiziyj

v3

i vj

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

εiyiziε2j yj

v2

i v

2

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiziyjε2l

v2

i vj vl

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i y

2

j zj

v2

i v

2

j

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiε2jy

2

j zj

vivj3

−

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiy2j zjε2_l

vivj2vl

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε3

i yjylzl

v2

i vj vl

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiε2jyjylzl

viv2j vl

−

−

a

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyjε2_l ylzl

vivjvl2

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiyjylzlε2k

vivjvlvk

−

a

n

P

i=1

ε3

i y

2

i zi

v4

i

−

−

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyi2ziε2j

v2

i v

2

j

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i yiyjzj

v3

i vj

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiε2j yjzj

viv_j3

−

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiyjzjε2l

vivjv_l2

+

n

P

i=1

ε3

i y

2

i zi

v5

i

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiy2i ziε2j

v3

i v

2

j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i yiyj zj

v4

i vj

+

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiε2jyjzj

v2

i v

3

j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiyjzjε2l

v2

i vjv2l

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i yiziyj

v4

i vj

+

+

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiyiziε2j yj

v2

i v

3

j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiziyjε2l

v2

i vjvl2

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i y

2

j zj

v3

i v

2

j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εiε2j y

2

j zj

viv4j

+

+

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyj2zjε2l

viv2j v

2

l

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε3

i yjylzl

v3

i vj vl

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiε2j yjylzl

viv3jvl

+

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyjε2l ylzl

vivjv3_l

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiyjylzlε2k

vivjvlvk2

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i y

2

i ziεj

v3

i vj

−

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiεjεly2l zl

vivjvl2

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i yiεjyjzj

v2

i v

2

j

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiziεjεlyl

v2

i vjvl

−

−

2

a

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i yiεjylzl

v2

i vjvl

−

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiεjεlylykzk

vivjvlvk

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i y

2

i ziεj

v4

i vj

+

+

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiεjεly2l zl

vivjv3l

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i yiεjyjzj

v3

i v

2

j

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiziεjεlyl

v3

+2

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i yiεj ylzl

v3

i vjvl

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiεjεlylyk zk

vivjv2_l vk

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i yiziεjyj

v3

i v

2

j

+

+2

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiyiεjεlylzl

v2

i vjv_l2

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i yiziεjyl

v3

i vjvl

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiεjεlylzlyk

vivj v2_l vk

+

+2

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i εjyj2zj

v2

i v

3

j

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiy2_i ziεjεl

v3

i vjvl

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εjy_l2zl

v2

i vjv

2

l

+

+

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiεjεly2kzk

vivjvlv2k

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εiεjyjεlylzl

viv2j v

2

l

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i yjεlylzl

v2

i vjv2l

+

+2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εjyjylzl

v2

i v

2

j vl

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiyjεlylzlεk

vivjv2l vk

+

+2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiεjyjylzlεk

viv2j vlvk

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε2

i yjylzlεk

v2

i vjvlvk

+

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

n

P

t=1

i6=j6=l6=k6=t

εiyjylzlεk εt

vivjvlvkvt







Os termos n˜ao nulos de

−

2

θ

βˆ1

d

³

˜

d

−

d

´

s˜ao:

−

2

θ

βˆ1

d

³

˜

d

−

d

´

=

⇒

−_d32







2

a

3

n

P

i=1

ε2

i fiyi2zi

v3

i

+ 2

a

3

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiyiyjzj

v2

i vj

−

−

2

a

n

P

i=1

ε2

i fiy2i zi

v4

i

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiyiyjzj

v3

i vj

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiyiziyj

v3

i vj

−

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiy2j zj

v2

i v

2

j

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i fiyj ylzl

v2

i vj vl

E

h

−

2

θ

βˆ1

d

³

˜

d

−

d

´i

=

−2σ2

d3

·

2

a

3

P

n

i=1

fizi

v3

i

µ

′

i,2

−

2

a

n

P

i=1

fizi

v4

i

µ

′

i,2

+

+2

a

3

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j fizj

v2

i vj

µ

i

µ

j

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j fizj

v3

i vj

µ

i

µ

j

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j fizi

v3

i vj

µ

i

µ

j

−

−

2

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j fizj

v2

i v

2

j

µ

′

j,2

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

fizl

v2

i vj vl

µ

j

µ

l







Vamos agora calcular

βˆ12

d2

³

˜

d

−

d

´

2

.

Sendo

ˆ

β

2

1

=

1

d2







n

P

i=1

y2

i z

2

i

v2

i

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

yiziyjzj

vivj







e

³

˜

d

−

d

´

2

=







4

a

2

n

P

i=1

ε2

i f

2

i

v2

i

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiεjfj

vivj

+ 4

a

2

P

n

i=1

ε3

i fi

v2

i

+

+4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiε2j

vivj

−

4

a

n

P

i=1

ε3

i fi

v3

i

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiε2j

vivj2

−

8

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiεj

v2

i vj

−

−

4

a

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiεjεl

vivjvl

+

a

2

P

n

i=1

ε4

i

v2

i

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i ε

2

j

vivj

−

2

a

n

P

i=1

ε4

i

v3

i

−

−

2

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i ε

2

j

v2

i vj

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i εj

v2

i vj

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εjεl

vivjvl

+

n

P

i=1

ε4

i

v4

i

+

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i ε

2

j

v2

i v

2

j

+ 4

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i εj

v3

i vj

+ 6

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εjεl

v2

i vjvl

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i ε

2

j

v2

i vj

+

+

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εiεjεlεk

vivjvlvk

obtemos:

ˆ

β2 1

d2

³

˜

d

−

d

´

2

=

1

d4







4

a

2

n

P

i=1

ε2

i f

2

i y

2

i z

2

i

v4

i

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i f

2

i y

2

j z

2

j

v2

i v

2

j

+

+4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiyi2z

2

i εjfj

v3

i vj

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiεjfjy2jz

2

j

vivj3

+

+4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiεjfjy2l z

2

l

vivjv2_l

+ 4

a

2

P

n

i=1

ε3

i fiy2i z

2

i

v4

i

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i fiyj2z

2

j

v2

i v

2

j

+

+4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiy_i2z_i2ε2_j

v3

i vj

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiε2_j y2_j z2_j

viv3j

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiε2_jy2_l z_l2

vivjv_l2

−

−

4

a

n

P

i=1

ε3

i fiy2i z

2

i

v5

i

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i fiy2jz

2

j

v3

i v

2

j

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiy2i z

2

i ε

2

j

v3

i v

2

j

−

−

4

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiε2j y

2

j z

2

j

viv4j

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiε2jy

2

l z

2

l

viv2j v

2

l

−

8

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiy2i z

2

i εj

v4

i vj

−

−

8

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiεjy2j z

2

j

v2

i v

3

j

−

8

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i fiεjy2_l z_l2

v2

i vjv2l

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiy2i z

2

i εjεl

v3

i vjvl

−

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiεjy2j z

2

j εl

vivj3vl

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiεjεly2l z

2

l

vivjv3_l

−

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εifiεj εlyk2z

2

k

vivjvlv2_k

+

a

2

P

n

i=1

ε4

i y

2

i z

2

i

v4

i

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε4

i y

2

j z

2

j

v2

i v

2

j

+

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i y

2

i z

2

i ε

2

j

v3

i vj

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i ε

2

j y

2

j z

2

j

viv3j

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i ε

2

j y

2

l z

2

l

vivjv2l

−

−

2

a

P

n

i=1

ε4

i y

2

i z

2

i

v5

i

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε4

i y

2

j z

2

j

v3

i v

2

j

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i y

2

i z

2

i ε

2

j

v4

i vj

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i ε

2

j y

2

j z

2

j

v2

i v

3

j

−

−

2

a

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

ε2

i ε

2

jy

2

l z

2

l

v2

i vjvl2

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

ε3

i y

2

i z

2

i εj

v4

i vj

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

ε3

i εjyj2z

2

j

v2

i v

3

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε3

i εj y2l z

2

l

v2

i vjv2_l

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i y

2

iz

2

iεjεl

v3

i vjvl

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εjy2j z

2

j εl

viv3jvl

−

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εj εlyl2z

2

l

vivjv3l

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε2

i εjεlyk2 z

2

k

vivjvlv2k

+

n

P

i=1

ε4

i y

2

i z

2

i

v6

i

+

+

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε4

i y

2

j z

2

j

v4

i v

2

j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i y

2

i z

2

iε

2

j

v4

i v

2

j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i ε

2

jy

2

j z

2

j

v2

i v

4

j

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i ε

2

j y

2

l z

2

l

v2

i v

2

j v

2

l

+

+4

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i y

2

i z

2

i εj

v5

i vj

+ 4

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i εjyj2z

2

j

v3

i v

3

j

+ 4

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εjy_l2z_l2

v3

i vjv

2

l

+

+6

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i y

2

i z

2

i εjεl

v4

i vjvl

+ 6

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εjy2j z

2

j εl

v2

i v

3

j vl

+ 6

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εjεly2l z

2

l

v2

i vjv_l3

+

+6

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε2

i εjεly2kz

2

k

v2

i vjvlv2k

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i y

2

i z

2

i ε

2

j

v4

i vj

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i ε

2

j y

2

j z

2

j

v2

i v

3

j

+

+2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i ε

2

jy

2

l z

2

l

v2

i vjvl2

+ 4

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε2

i y

2

i z

2

i εjεlεk

v3

i vjvlvk

+

+

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

n

P

t=1

i6=j6=l6=k6=t

εiεjεlεkyt2z

2

t

vivjvlvkvt2

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i f

2

i yiziyjzj

v3

i vj

+

+4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

yiziε2jf

2

j yjzj

vivj3

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i f

2

i yjzjylzl

v2

i vjvl

+

+8

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiyiziεjfjyjzj

v2

i v

2

j

+ 16

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiyiziεjfj ylzl

v2

i vjvl

+

+4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εifiεjfjylzlykzk

vivjvlvk

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i fiyiziyjzj

v3

i vj

+

+4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

yiziε3jfj yjzj

viv3j

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε3

i fiyjzjylzl

v2

+8

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiyiziε2jyjzj

v2

i v

2

j

+ 8

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiε2jyjzjylzl

vivj2vl

+

+8

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiyiziε2j ylzl

v2

i vjvl

+ 4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εifiε2j ylzlykzk

vivjvlvk

−

−

4

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i fiyiziyjzj

v4

i vj

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

yiziε3j fjyjzj

viv4_j

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε3

i fiyjzjylzl

v3

i vjvl

−

−

8

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

εifiyiziε2j yjzj

v2

i v

3

j

−

8

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiε2j yjzjylzl

vivj3vl

−

−

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiyiziε2j ylzl

v2

i v

2

j vl

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εifiε2jylzlykzk

viv2j vlvk

−

−

16

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i fiyiziεjyjzj

v3

i v

2

j

−

16

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε3

i fiεjyjzjylzl

v2

i v

2

j vl

−

−

16

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i fiyiziεjylzl

v3

i vjvl

−

8

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε2

i fiεjylzlykzk

v2

i vjvlvk

−

−

8

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiεjyjzjεlylzl

vivj2v

2

l

−

16

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l

εifiyiziεjyjzjεl

v3

i v

2

j vl

−

−

16

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εifiεjyjzjεlyk zk

vivj2vlvk

−

8

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k

εifiyiziεjεlykzk

v2

i vjvlvk

−

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

n

P

t=1

i6=j6=l6=k6=t

εifiεjεlykzkytzt

vivjvlvkvt

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε4

i yiziyjzj

v3

i vj

+

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j

yiziε4j yjzj

viv3_j

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε4

i yjzjylzl

v2

i vjvl

+ 2

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i yiziε2jyjzj

v2

i v

2

j

+

+4

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

ε2

i yiziε2jylzl

v2

i vjvl

+

a

2

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

ε2

i ε

2

j ylzlykzk

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε4

i yiziyjzj

v4

i vj

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

yiziε4j yjzj

viv4j

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε4

i yjzjylzl

v3

i vjvl

−

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i yiziε2j yjzj

v3

i v

2

j

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i ε

2

jyj zj ylzl

v2

i v

2

j vl

−

−

4

a

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i yiziε2jylzl

v3

i vj vl

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε2

i ε

2

j ylzlykzk

v2

i vj vlvk

−

−

8

a

P

n

i=1

n

P

j=1

i6=j ε3

i yiziεj yjzj

v3

i v

2

j

−

8

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε3

i εjyjzjylzl

v2

i v

2

j vl

−

−

8

a

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε3

i yiziεjylzl

v3

i vjvl

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε3

i εjylzlykzk

v2

i vjvlvk

−

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εj yjzjεlylzl

vivj2v

2

l

−

8

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i yiziεjyjzjεl

v2

i v

2

j vl

−

−

8

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε2

i εjyjzjεlykzk

vivj2vlvk

−

4

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε2

i yiziεjεlyk zk

v2

i vjvlvk

−

−

2

a

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

n

P

t=1

i6=j6=l6=k6=t ε2

i εj εlykzkytzt

vivjvlvkvt

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε4

i yiziyjzj

v5

i vj

+

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j

yiziε4jyjzj

vivj5

+

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε4

i yjzjylzl

v4

i vjvl

+ 2

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i yiziε2jyjzj

v3

i v

3

j

+ 4

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i yiziε2jylzl

v3

i v

2

j vl

+

+

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε2

i ε

2

j ylzlyk zk

v2

i v

2

j vlvk

+ 8

n

P

i=1

n

P

j=1

i6=j ε2

i yiziεj yjzj

v4

i v

2

j

+

+8

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε3

i εjyjzjylzl

v3

i v

2

j vl

+ 8

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε3

i yiziεjylzl

v4

i vj vl

+

+4

P

n

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

n

P

k=1

i6=j6=l6=k ε3

i εjylzlykzk

v3

i vjvlvk

+ 12

n

P

i=1

n

P

j=1

n

P

l=1

i6=j6=l ε2

i εjyjzjεlylzl

v2

i v

2

j v

2