VESTIBULAR: RESUMOS PROFESSOR: WALTER TADEU
MATEMÁTICA II
TRIGONOMETRIA
Triângulo Retângulo: Diversas aplicações trigonométricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triângulo recorrendo a determinadas relações dependentes de ângulos internos. Assim, apresentam-se de seguida algumas relações trigonométricas com esse fim.
a) Seno de : É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo
pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, h
y hipotenusa
oposto cateto
) (
sen .
b) Cosseno de : É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
h x hipotenusa
adjacente cateto
)
cos( .
c) Tangente de : É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja,
x y x h h y h / x
h / y adjacente cateto
oposto cateto
)
tan( .
Relação fundamental da trigonometria: 1 h y h h x y
x 2
2 2 2 2 2
2 .
Ângulos notáveis: Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo equilátero de lado l e um quadrado de lado l.
ARCOS NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CÍRCULO
Observe as semelhanças nos triângulos sombreados à esquerda e direita. As razões serão apresentadas sempre dos lados opostos aos ângulos congruentes partindo do Triângulo OAP.
Tangente
Cotangente Secante
Cossecante
Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas Seno de x: Função ímpar, positiva no 1º e 2º Quadrantes, negativa no 3º e 4º Quadrantes.
Monotonia: crescente no 1º e 4º Quadrantes, decrescente no 2º e 3º Quadrantes.
Domínio: ] –∞ , +∞ [
Imagem: [–1 ; +1]
Período: 2
Cosseno de x : Função par, positiva no 1º e 4º Quadrantes, negativa no 2º e 3º Quadrantes.
Monotonia: crescente no 3º e 4º Quadrantes, decrescente no 1º e 2º Quadrantes.
Domínio: ] –∞ , +∞ [.
Imagem: [–1 ; +1].
Período: 2
Tangente de x : Função ímpar, estritamente crescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3º Quadrantes, negativa no 2º e 4º Quadrantes.
Domínio: IR-{k+/2, k = 0, ±1, ±2,...}.
Imagem: ]–∞ ,+∞[.
Período: .
Cotangente de x: Função ímpar, estritamente decrescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3º Quadrantes, negativa no 2º e 4º Quadrantes.
Domínio: IR-{k, k = 0, ±1, ±2,...}.
Imagem:] –∞ , +∞ [.
Período: .
Secante de x : Função par , positiva no 1º e 4º Quadrantes, negativa no 2º e 3º Quadrantes. Os sinais seguem os da função f(x) = cos x.
Monotonia: crescente no 1º e 2º Quadrantes, decrescente no 3º e 4º Quadrantes.
Domínio: IR-{k+/2, k = 0, ±1, ±2,...}.
Imagem: ]–∞ , -1] U [1, +∞[ ou IR- ]-1, 1[
Período: 2.
Cossecante de x: Função ímpar, positiva no 1º e 2º Quadrantes, negativa no 3º e 4º Quadrantes.
Monotonia: crescente no 2º e 3º Quadrantes, decrescente no 1º e 4º Quadrantes.
Domínio: IR-{k, k = 0, ±1, ±2,...}.
Imagem: ]–∞ , -1] U [1, +∞[ ou IR- ]-1, 1[
Período: 2
OBS: Uma função é par se f(-x) = f(x) e ímpar se f(-x) = - f(x).
Fórmulas de adição e subtração
Sejam OA e OB dois vetores com origem no ponto O e extremidade no ponto A e B, respectivamente, e que fazem ângulos e com o eixo dos X, respectivamente.
Os triângulos assinalados são semelhantes e temos as relações:
i)
cos . sen DE cos OE )1 OB OB ( cos OE
sen . OE OE DE
sen DE
ii)
cos . sen BF cos . BE BE BF
BF OE cos OD
sen BE )1 OB OB ( sen BE
iii)
(sen ) sen cos. sen cos.
DE BF BC )DE FC(
FC BF BC
) (sen BC )1 OB OB(
) BC
(sen
Para calcular o seno da diferença, basta utilizar o fato que: sen() sen e cos()cos. Temos: sen()sen(())sen.cos()sen().cossen.cossen().cos. Para calcular a fórmula para o cosseno da soma, observamos na figura que:
i)
OD cos cos.
cos OE )1 OB(
cos OB OE
cos.
OE OD
ii)
CD sen . sen
sen BE
sen . BE CD BE sen
) CD FE CD BE ( sen FE
.
Logo,
cos( ) cos cos. sen sen.
FE OD OC )FE CD(
CD OD OC
) cos(
OC )1 OB OB(
) OC
cos(
.Temos: cos()cos(())cos.cos()sen().sen cos.cossen.sen. Para o cálculo de tg( ) dividindo sen( )e cos( ) por (cos.cos):
i)
1 tg tg
tg tg cos
. cos
sen . sen cos
. cos
cos . cos
cos . cos
cos . sen cos
. cos
cos . sen sen
. sen cos
. cos
cos . sen cos
. ) sen
tg( .
ii)
1 tg tg
tg tg cos
. cos
sen . sen cos
. cos
cos . cos
cos . cos
cos . sen cos
. cos
cos . sen sen
. sen cos
. cos
cos . sen cos
. ) sen
tg( .
iii)
2
tg 1
tg 2 tg
tg 1
tg tg sen
. sen cos
. cos
cos . sen cos
. ) sen 2 tg(
) tg(
,
Se .
OUTRAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
Fórmulas de duplicação Fórmulas de bissecção
2sen .cos 2
sen 2
cos ) 1
2 / (
sen
cos2 sen2 2
cos 2
cos ) 1
2 /
cos(
2
tg 1
tg ) 2
2 (
tg
1 cos
cos ) 1
2 / ( tg
Fórmulas de transformação
cos 2
sen 2 2 sen
sen
cos 2
sen 2 2 sen sen
cos 2
cos 2 2 cos
cos
sen 2
sen 2 2 cos cos
cos cos
) ( tan sen
tan
cos cos
) ( tan sen
tan
Exercícios Resolvidos 1) Simplifique a expressão: cos(x + y).cos y + sen(x + y).sen y
Solução. Desenvolvendo as operações de acordo com as relações fundamentais e simplificando, temos:
x cos seny ) y x ( sen y cos ) y x cos(
. x cos ) y sen y (cos x cos x cos y sen yseny cos senx y
cos senxseny y
cos x cos
seny . x cos seny y
cos senx y
cos . senxseny y
cos x cos seny ) y x ( sen y cos ) y x cos(
2 2
2 2
.
2) Calcule o valor: a) cos 105º b) tg 75º
Solução. Aplicando as fórmulas da soma e diferenças de arcos, temos:
a) 4
6 2 2 . 2 2
3 2 . 2 2 º 1 45 sen º 60 sen º 45 cos º 60 cos ) º 45 º 60 cos(
) º 105
cos(
.
b) 3 2
3 9
3 3 6 9 3 3
3 . 3 3
3 3
3 3 3
) 1 3 .(
1 3 3 1
3 º
45 tg º.
30 tg 1
º 45 tg º 30 ) tg
º 45 º 30 ( tg ) º 75 (
tg
.
3) Sendo senx = 4/5 e cosy = 12/13, em 0 x /2 e 0 y /2, determine: a) sen (x + y) b) tg (x – y) Solução. Sabendo que sen2x + cos2x = 1, calculamos as raízes positivas de cosx e seny.
i) 5
3 25
9 25 1 16 1
cosx sen2x ii)
13 5 169
25 169
1 144 cos
1 2
y
seny .
a) 65
63 65
15 48 5 .3 13
5 13 .12 5 cos 4 cos
)
(xy senx yseny x
sen .
b) 56
33 56 .65 65 33 65 56 65 33 ) y x cos(
) y x ( ) sen y x (
tg
.
