C O LÉ G IO P A R A N A P U Ã R ua J ai m e P er di gã o, 4 38 – M on er ó T el .: 2 46 2- 49 46
MATÉRIA: MATEMÁTICA PROF.(A).: EMANUEL SÉRIE
: 3ª EM
ALUNO(A): TURMA: TURNO:
Poder Supremo! Lista para os semideuses!!!!
P.G
1. (Uerj 2010) Sejam a e b dois números reais positivos e A, G e H, respectivamente, as médias aritmética, geométrica e harmônica desses dois números. Admita que a > b e que a sequência (A, G, H) seja uma progressão geométrica de razão 3
2 . Determine a .
b
2. (Uerj 2007) João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio várias vezes, conforme ilustrado na figura 1.
Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, João escreve a soma dos números que estão nas extremidades de cada arco.
A figura 2 a seguir ilustra as quatro etapas iniciais desse processo.
João continuou o processo de dobradura, escrevendo os números, conforme a descrição anterior, até concluir dez etapas.
Calcule a soma de todos os números que estarão escritos na etapa 10.
3. (Fgv2009) Seja a sequência 3, 3, 3, 3,
2 4 8 , cujos termos são radicais de radicando 3, e o índice de cada termo é o dobro do índice do termo anterior. Calcule o produto:
a) dos 10 primeiros termos dessa sequência.
b) dos infinitos termos dessa sequência.
4. (Fgv2006) João investiu R$ 10.000,00 num fundo de renda fixa que remunera as aplicações à taxa de juro composto de 20% ao ano, com o objetivo de comprar um automóvel cujo preço atual é R$ 30.000,00, que é desvalorizado à taxa de juro de 10% ao ano.
Depois de quantos anos, João conseguirá adquirir o automóvel pretendido?
São dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.
Rio de Janeiro, ________ de _____________________________ de 2015.
Exercícios
C O LÉ G IO P A R A N A P U Ã R ua J ai m e P er di gã o, 4 38 – M on er ó T el .: 2 46 2- 49 46 5. (Ime2014) Calcular o valor da expressão abaixo
3 89 algarismos 30 algs"1"30 algs"0"
370370...037 11...1 00...0
Obs.: algs algarismos
6. (Fuvest 2015) Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos, representados por * e #. Uma palavra de comprimento n, n 1, é formada por n escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e #* * # é uma palavra de comprimento 4.
Usando esse alfabeto minimalista,
a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas?
b) qual é o menor valor de N para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho menor ou igual a N?
7. (Fuvest 1994) Na figura a seguir, A
1B
1= 3, B
1A
2= 2.
Calcule a soma dos infinitos segmentos: A
1B
1+ B
1A
2+ A
2B
2+ B
2A
3+...
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a b 2 2ab
A ,G ab e H
2 1 1 a b
a b
A sequência (A, G, H) é uma P.G. de razão 3
q .
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 a b 3
G Ax ab x
2 2 2
3(a b)
ab 16ab 3(a 2ab b ) 3a 10ab 3b 0 16
10b ( 10b) 4x3x(3b ) 10b 100b 36b 10b 8b
a 2x3 6 6
a 3b ou a 2 b 3
ae b são números reais positivos com a >b, logo: a 3.
b
Resposta da questão 2:
39.366
Resposta da questão 3:
a)
512 10233 . b) 9.
Resposta da questão 4:
4 anos
Resposta da questão 5:
90
9087 84 81 3 0
37 10 1 10 1
370370...037 37 (10 10 10 ... 10 10 )
1000 1 27
30 30 60 3030 29 28 27 0
10 (10 1) 10 10
11 1 00 0 10 10 10 10 ... 10
10 1 9
3 89 algarismos 30 algs"1" 30 algs"0"
90 60 30
3
90 6 30 1
3
30 3
3 30
370370...037 11...1 00...0
10 1 10 10
27 9
10 3 10 3 10 27
10 1 10 1 .
3 3
Resposta da questão 6:
a) palavras com uma letra: 2 palavras com duas letras: 2
2palavras com três letras: 2
3
C O LÉ G IO P A R A N A P U Ã R ua J ai m e P er di gã o, 4 38 – M on er ó T el .: 2 46 2- 49 46 E assim sucessivamente.
Portanto, o número de palavras de comprimento menor do que 6 será dado por:
2 4 9 16 32 62.
b) Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G, temos:
N
6N 1 6
N 1 6
N 1
2 2 1 2 1 10
2 2 10
2 10 2
2 1000002
20 19
