Unidade Temática: Equação quadrática paramétrica simples. Sumário: Equação quadrática (Revisão) Equação quadrática paramétrica simples

(1)

1

Unidade Temática: Equação quadrática paramétrica simples

Sumário: Equação quadrática (Revisão)

Equação quadrática paramétrica simples

Equação quadrática (Revisão)

Uma equação quadrática ou equação do 2

^o

grau de incógnita x é toda a equação que, pela aplicação dos princípios de equivalência, pode ser reduzida à forma canónica:

Exemplos:

a) 𝑥

²

− 4 = 0 ⟺ 𝑥

²

+ 0𝑥 − 4 = 0; (𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = −4) b) 2𝑥

²

+ 2𝑥 − 1 = 0; (𝑎 = 2, 𝑏 = 2, 𝑐 = −1)

c) 𝑥

²

− 2𝑥 = 0 ⟺ 𝑥

²

− 2𝑥 + 0 = 0; (𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = 0) d) −3𝑥

²

= 0 ⟺ −3𝑥

²

+ 0𝑥 + 0 = 0; (𝑎 = −3, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0)

Resolução de equações quadráticas

Existe uma fórmula que permite determinar as soluções de qualquer equação quadrática, nomeadamente, a fórmula resolvente de uma equação quadrática.

𝒂𝒙

^𝟐

+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ⟺ 𝒙

_𝟏/𝟐

=

^{−𝒃±√∆}

𝟐𝒂

, Onde ∆= 𝒃

^𝟐

− 𝟒𝒂𝒄

Binómio discriminante e a natureza das raízes da equação quadrática

𝑆𝑒 ∆> 𝟎, 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑡𝑒𝑚 2 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔 (𝑥

₁

≠ 𝑥

₂

);

𝑆𝑒 ∆= 𝟎, 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑡𝑒𝑚 2 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒊𝒔 𝑜𝑢 𝒓𝒂í𝒛 𝒅𝒖𝒑𝒍𝒂 (𝑥

₁

= 𝑥

₂

);

𝑆𝑒 ∆< 𝟎, 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 é 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑚 ℝ.

Exemplo:

Resolva as seguintes equações quadráticas:

a) 𝑥

²

− 𝑥 − 12 = 0 b) 𝑥

²

+ 3𝑥 = −1 c) 1 = 4𝑥 − 4𝑥

²

d) 𝑥

²

+ 1 = 𝑥

𝒂𝒙

^𝟐

+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒄𝒐𝒎 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ 𝒆 𝒂 ≠ 𝟎

(2)

2

Resolução:

a) 𝑥

²

− 𝑥 − 12 = 0

(𝑎 = 1, 𝑏 = −1, 𝑐 = −12)

∆= 𝑏

²

− 4𝑎𝑐

∆= (−1)

²

− 4 ∙ 1 ∙ (−12)

∆= 1 + 48

∆= 49 → 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑡𝑒𝑚 2 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔 (∆> 𝟎)

b) 𝑥

²

+ 3𝑥 = −1 ⟺ 𝑥

²

+ 3𝑥 + 1 = 0 (𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑐 = 1)

∆= 𝑏

²

− 4𝑎𝑐

∆= 3

²

− 4 ∙ 1 ∙ 1

∆= 9 − 4

∆= 5 → 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑡𝑒𝑚 2 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔 (∆> 𝟎) c) 1 = 4𝑥 − 4𝑥

²

⟺ 4𝑥

²

− 4𝑥 + 1 = 0

(𝑎 = 4, 𝑏 = −4, 𝑐 = 1)

∆= 𝑏

²

− 4𝑎𝑐

∆= (−4)

²

− 4 ∙ 4 ∙ 1

∆= 16 − 16

∆= 0 → 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑡𝑒𝑚 2 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒊𝒔 (∆= 𝟎) d) 𝑥

²

+ 1 = 𝑥 ⟺ 𝑥

²

− 𝑥 + 1 = 0

(𝑎 = 1, 𝑏 = −1, 𝑐 = 1)

∆= 𝑏

²

− 4𝑎𝑐

∆= (−1)

²

− 4 ∙ 1 ∙ 1

∆= 1 − 4

∆= −3 → 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 é 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑚 ℝ

Soma e produto das raízes da equação quadrática Sejam 𝑥

₁

e 𝑥

₂

raízes da equação quadrática 𝑎𝑥

²

+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0.

Soma das raízes da equação quadrática

Produto das raízes da equação quadrática 𝑆 = 𝑥

₁

+ 𝑥

₂

= −

^𝑏

𝑎

𝑃 = 𝑥

₁

× 𝑥

₂

=

^𝑐

𝑎

(3)

3

Exemplo:

Sem resolver a equação 2𝑥

²

− 8𝑥 − 3 = 0, determine a soma e o produto das raízes.

Resolução:

2𝑥

²

− 8𝑥 − 3 = 0 (𝑎 = 2, 𝑏 = −8, 𝑐 = −3) Soma: 𝑆 = −

^𝑏

𝑎

𝑆 = −

⁻⁸

2

= +4 = 4 Produto: 𝑃 =

^𝑐

𝑎

𝑷 =

^−𝟑

𝟐

= −

^𝟑

𝟐

Resposta: A soma das raízes da equação 2𝑥

²

− 8𝑥 − 3 = 0 é igual a 4 e o produto é igual a −

³

2

.

Exercícios:

1. Indica os valores dos coeficientes a, b e c nas seguintes equações quadráticas:

a) 9𝑥

²

− 24𝑥 + 16 = 0 d) 𝑥

²

− 𝑥 − 4 = 0 b) −𝑥

²

+ 𝑥 + 6 = 0 e) 10𝑥

²

+ 72𝑥 − 64 = 0 c) 3𝑥

²

− 15𝑥 + 12 = 0 f) −

^𝑥²

3

+ 4√3𝑥 + 9 = 0

2. Forma a equação quadrática sabendo que:

a) 𝑎 = 3, 𝑏 = −2 𝑒 𝑐 = 1 b) 𝑎 = −1, 𝑏 = 3 𝑒 𝑐 = 0 c) 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = −5 3. Aplicando a fórmula resolvente, resolve cada uma das seguintes equações:

a) 𝑥

²

− 4𝑥 + 3 = 0 g) 𝑥 (

³

4

− 𝑥) = 𝑥 +

¹

2

b) 2𝑥

²

− 5𝑥 + 2 = 0 h) 𝑥

²

−

^𝑥

2

=

¹

2

−

²

3

𝑥 c) 2𝑥

²

= 𝑥 + 1 i) 𝑥

²

+ 4√3𝑥 + 9 = 0 d) 𝑥

²

−

¹

2

𝑥 −

¹

2

= 0 j) (𝑥 + 2)

²

= 4(5 + 𝑥)

e) 21 − 𝑥

²

= 4𝑥 k) −(𝑥 + 2)

²

= 3 − (−2𝑥 − 1)

²

f) 4𝑥 + 21 = 𝑥

²

l) 𝑥

²

+ 2𝑥 + 3 = 0

(4)

4

4. Resolve as seguintes equações pelo método mais conveniente:

a) 𝑥

²

= 5𝑥 f) (

^𝑥

2

− 1) (3𝑥 +

¹

4

) = 0 b) 4𝑥

²

− 25 = 0 g) 16𝑥

²

− (𝑥 + 1)

²

= 0 c) 𝑥

²

+ 5 = 0 h) (2 + 𝑥)

²

= 5(2 + 𝑥)

d) 3𝑥

²

+ 7𝑥 = 0 i) 2𝑥

²

− 2𝑥 + 1 = (1 − 2𝑥)(1 + 2𝑥) e) 5𝑥

²

= 20 j)

^𝑥−2

2

− 𝑥(𝑥 + 1) = −19

5. Determina a soma e o produto das raízes de cada uma das seguintes equações quadráticas:

a) 𝑥

²

− 4𝑥 + 8 = 0 d) 4𝑥

²

+ 4𝑥 + 1 = 0 b) −3𝑥

²

+ 5𝑥 + 2 = 0 e) 5𝑥

²

+ 3√2𝑥 + 2 = 0 c) 𝑥 + 2 =

^𝑥²

3

f) 4𝑥

²

− 12𝑥 + 5 = 0

(5)

5

Equação quadrática paramétrica simples

Equação paramétrica

Definição: Chama-se equação paramétrica a toda a equação que para além da incógnita considerada, apresenta outra variável denominada parâmetro.

Exemplo: 𝟐𝒙

^𝟐

+ (𝒎 + 𝟑)𝒙 + 𝒎 − 𝟏 = 𝟎 é uma 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓á𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 de incógnita 𝒙, tendo como parâmetro 𝒎.

Tem como coeficientes:

𝒂 = 𝟐 𝒃 = 𝒎 + 𝟑 𝒄 = 𝒎 − 𝟏

Resolução de equações quadráticas paramétricas Exemplos:

1. Resolva as seguintes equações quadráticas paramétricas em 𝒙.

a) 𝑥

²

− 5𝑝𝑥 + 6𝑝

²

= 0; com 𝑝 ∈ ℝ

₀⁺

b) 𝑥

²

− 4𝑘𝑥 = 1 − 4𝑘

²

; com 𝑘 ∈ ℝ Resolução:

a) 𝑥

²

− 5𝑝𝑥 + 6𝑝

²

= 0 (𝑎 = 1, 𝑏 = −5𝑝, 𝑐 = 6𝑝

²

)

∆= 𝑏

²

− 4𝑎𝑐

∆= (−5𝑝)

²

− 4 ∙ 1 ∙ 6𝑝

²

∆= 25𝑝

²

− 24𝑝

²

∆= 𝑝

²

b) 𝑥

²

− 4𝑘𝑥 = 1 − 4𝑘

²

⟺ 𝑥

²

− 4𝑘𝑥 + (4𝑘

²

− 1) = 0 (𝑎 = 1, 𝑏 = −4𝑘, 𝑐 = 4𝑘

²

− 1)

∆= 𝑏

²

− 4𝑎𝑐

∆= (−4𝑘)

²

− 4 ∙ 1 ∙ (4𝑘

²

− 1)

∆= 16𝑘

²

− 4 ∙ (4𝑘

²

− 1)

∆= 16𝑘

²

− 16𝑘

²

+ 4

∆= 4

2. Considere a equação quadrática paramétrica em 𝒙, 𝒙

^𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝒎 = 𝟎. Determine o parâmetro real 𝒎 de modo que:

a) A equação admita 2 raízes reais e diferentes;

b) O produto das raízes seja

¹₂

;

c) 𝑥 = 1 seja uma das raízes da equação.

(6)

6

Resolução:

𝑥

²

+ 2𝑥 + 3 − 𝑚 = 0 (𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 3 − 𝑚) a) Condição: ∆> 𝟎

2

²

− 4 ∙ 1 ∙ (3 − 𝑚) > 0 4 − 4 ∙ (3 − 𝑚) > 0 4 − 12 + 4𝑚 > 0

−8 + 4𝑚 > 0 4𝑚 > 8 𝑚 > 8

4 𝑚 > 2 𝑺𝒐𝒍. : 𝑚 ∈ ]2; +∞[

b) 𝑪𝒐𝒏𝒅𝒊çã𝒐: 𝑃 =

¹

2

^𝑐

𝑎

=

¹

2

^3−𝑚

1

=

¹

2

6 − 2𝑚 = 1 −2𝑚 = 1 − 6

−2𝑚 = −5 𝑚 =

⁻⁵

−2

𝑚 =

⁵

2

𝑺𝒐𝒍. : 𝑚 ∈ {

⁵

2

} c) 𝑪𝒐𝒏𝒅𝒊çã𝒐: 𝟏

^𝟐

+ 𝟐 ∙ 𝟏 + 𝟑 − 𝒎 = 𝟎

1 + 2 + 3 − 𝑚 = 0 6 − 𝑚 = 0

−𝑚 = −6

𝑚 = 6 𝑺𝒐𝒍. : 𝑚 ∈ {6}

Exercícios

1. Resolva as seguintes equações quadráticas paramétricas em 𝒙.

a) 𝑥

²

− 𝑚𝑥 − 𝑚

²

= 0 b) 𝑥

²

+ 1 = 2𝑝𝑥

2. Seja dada a equação 𝟑𝒙

^𝟐

+ (𝒌 + 𝟐)𝒙 + 𝒌 − 𝟏 = 𝟎, determine 𝒌 de modo que:

a) A equação admita raízes reais iguais;

b) O produto das raízes seja igual a

²

3

; c) A soma das raízes seja igual a −

⁵

3

.

(7)

7

3. Determine o valor de 𝒑 nas equações abaixo, de modo que:

a) A equação (2 − 𝑝)𝑥

²

+ 2𝑥 + 1 = 0 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎;

b) 𝑥

²

− 5𝑥 + 𝑝 + 4 = 0, 𝑡𝑒𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠;

c) 2𝑥

²

+ 𝑥 + 𝑝 − 5 = 0, 𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑛ℎ𝑎 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠;

d) (3𝑝 − 2)𝑥

²

+ 2𝑥 + 3 = 0, 𝑡𝑒𝑛ℎ𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 ú𝑛𝑖𝑐𝑎;

e) 2𝑝𝑥

²

− 20𝑥 + 12 = 0, 𝑡𝑒𝑛ℎ𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠;

f) 2𝑥

²

− 2𝑥 + 3𝑝 = 0, 𝑡𝑒𝑛ℎ𝑎 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠;

g) A equação (𝑝

²

+ 2𝑝 − 3)𝑥

²

− 3𝑥 − 4 = 0 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑑𝑜 2

^o

grau.

4. Dada a equação 𝟐𝒙

^𝟐

+ 𝟕𝒙 + 𝒎 − 𝟏 = 𝟎, determine m para que o produto das raízes seja

𝟏 𝟐

.

5. Dada a equação (𝒎 − 𝟏)𝒙

^𝟐

+ (𝒎

^𝟐

+ 𝟏)𝒙 − 𝟓 = 𝟎, determine m para que a soma das suas raízes seja 1.

6. Dada a equação 𝒎𝒙

^𝟐

+ 𝟑𝒙 + 𝟑 + 𝒎 = 𝟎, determine m para que 𝒙 = −𝟏 seja uma das raízes da equação.

7. Considere a equação 𝒙

^𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝒎 = 𝟎.

a) Resolva a equação para m=3.

b) Determine m real de modo que a equação admita:

i. Uma raiz nula;

ii. Raízes reais do mesmo sinal;

iii. Raízes simétricas.

(8)

8

Unidade temática: Equação biquadrática

Sumário: Equação biquadrática

Conceito de equação biquadrática Resolução de equações biquadráticas

Equação biquadrática Conceito de equação biquadrática

Determine as dimensões de um campo de futebol com a forma rectangular cuja área é igual a 1200𝑚

²

.

𝐴 = 1200𝑚

²

𝐴 = 𝐶 × 𝐿

𝐴 = (100 + 𝑥

²

) ∙ 𝑥

²

= 1200

(100 + 𝑥

²

) ∙ 𝑥

²

= 1200 ⟺ 100𝑥

²

+ 𝑥

⁴

= 1200 ⟺ 𝑥

⁴

+ 100𝑥

²

− 1200 = 0

Para encontrarmos as dimensões do campo devemos resolver a equação 𝑥

⁴

+ 100𝑥

²

− 1200 = 0.

Esta equação é designada por equação biquadrática.

Definição:

Chama-se equação biquadrática a toda a equação que pela aplicação dos princípios de equivalência pode ser reduzida a forma canónica:

Exemplos:

a) 𝑥

⁴

− 3𝑥

²

+ 2 = 0; (𝑎 = 1, 𝑏 = −3, 𝑐 = 2) b) −2𝑥

⁴

+ 6𝑥

²

= 0; (𝑎 = −2, 𝑏 = 6, 𝑐 = 0) c) 2𝑥

⁴

= 0; (𝑎 = 2, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0) d) −𝑥

⁴

+ 7 = 0; (𝑎 = −1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 7) Exercício:

Reduza as equações à forma canónica e indique os parâmetros a, b e c.

a) 2𝑥

⁴

= 1 − 𝑥

²

b) (𝑥

²

+ 4)

²

= 4(2𝑥

²

+ 8) c) 4 − (𝑥

²

− 2)

²

= 𝑥

⁴

d)

^𝑥

2(𝑥²−1)

3

−

^𝑥²⁺²

4

=

^𝑥⁴⁻¹

2

𝒂𝒙

^𝟒

+ 𝒃𝒙

^𝟐

+ 𝒄 = 𝟎, 𝒄𝒐𝒎 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ 𝒆 𝒂 ≠ 𝟎

(9)

9

Resolução de equações biquadráticas

Para a resolução da equação biquadrática 𝑎𝑥

⁴

+ 𝑏𝑥

²

+ 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0, introduz-se a substituição do tipo 𝒙

^𝟐

= 𝒚.

Assim, a equação biquadrática transforma-se em equação quadrática 𝑎𝑦

²

+ 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, onde 𝑦 =

^{−𝑏±√𝑏}²^−4𝑎𝑐

2𝑎

.

Desta forma, as soluções da equação biquadrática são encontradas da seguinte forma:

𝒙

^𝟐

= 𝒚 ⟺ 𝒙 = ±√𝒚

As raízes da equação biquadrática, caso existam, são no máximo quatro e são simétricas duas a duas.

Exemplo:

Resolva as seguintes equações biquadráticas:

a) 𝑥

⁴

− 9 = 0 b) 4𝑥

⁴

+ 4 = 17𝑥

²

Resolução:

a) 𝒙

^𝟒

− 𝟗 = 𝟎

⟺ (𝑥

²

)

²

− 9 = 0

Seja 𝒙

^𝟐

= 𝒚

𝑦

²

− 9 = 0 ⟺ 𝑦

²

= 9 ⟺ 𝑦 = ±√9 ⟺ 𝑦 = ±3 Substituindo 𝒚 por 𝒙

^𝟐

𝒗𝒆𝒎:

𝑥

²

= 3 ⟺ 𝑥 = ±√3 So𝒍. : {−√3; √3}

𝑜𝑢

𝑥

²

= −3 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑚 ℝ b) 𝟒𝒙

^𝟒

+ 𝟒 = 𝟏𝟕𝒙

^𝟐

⟺ 4𝑥

⁴

− 17𝑥

²

+ 4 = 0

⟺ 4(𝑥

²

)

²

− 17𝑥

²

+ 4 = 0

Seja 𝒙

^𝟐

= 𝒚 4𝑦

²

− 17𝑦 + 4 = 0

(𝑎 = 4, 𝑏 = −17, 𝑐 = 4)

∆= 𝑏

²

− 4𝑎𝑐

∆= (−17)

²

− 4 ∙ 4 ∙ 4

∆= 2899 − 64

∆= 225 So𝒍. : {−2; −

¹

2

;

¹

2

; 2}

(10)

10

Exercícios

Resolva as seguintes equações biquadráticas:

a) 𝑥

⁴

− 5𝑥

²

+ 4 = 0 b) 𝑥

⁴

+ 𝑥

²

− 6 = 0 c) 9𝑥

⁴

+ 10𝑥

²

+ 1 = 0 d) 4𝑥

⁴

= 6 − 5𝑥

²

e) 2𝑥

⁴

+ 5𝑥

²

= 3 f) 5 = 8𝑥

²

− 3𝑥

⁴

g) 2𝑥

⁴

= 3𝑥

²

+ 5

h) 5𝑥

²

(3 − 𝑥

²

) = 15𝑥

²

− 10𝑥

⁴

i) (𝑥

²

+ 2𝑥)

²

− 4𝑥

³

= 5

j) (𝑥

²

+ 3)(𝑥

²

+ 4) = 2𝑥

²

(2𝑥

²

− 1) k)

⁶

𝑥²

+ 𝑥

²

= 5 l) 𝑥

²

(

³

4

− 𝑥

²

) = 𝑥

²

+

¹

2

(11)

11

Unidade temática: Função quadrática

Sumário: Função quadrática (definição)

Função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

(significado de a)

Função quadrática

𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊çã𝒐: Chama-se 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓á𝒕𝒊𝒄𝒂 ou polinomial do 2

^o

grau a qualquer função f, real de variável real, que pode definir-se por uma expressão analítica da forma 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

+ 𝒃𝒙 + 𝒄, onde 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são números reais, com 𝑎 ≠ 0.

𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐

O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos números reais (𝓡).

O gráfico de uma função quadrática é uma curva designada por parábola.

Exemplos:

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥

²

+ 𝑥 − 1; (𝑎 = 2, 𝑏 = 1, 𝑐 = −1)

b) 𝑔(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 1) ⟺ 𝑔(𝑥) = 𝑥

²

+ 𝑥; (𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 0)

c) ℎ(𝑥) = (𝑥 − 2)

²

⟺ ℎ(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 2) ⟺ ℎ(𝑥) = 𝑥

²

− 2𝑥 − 2𝑥 + 4 ⟺ ℎ(𝑥) = 𝑥

²

− 4𝑥 + 4; (𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = 4)

d) 𝑖(𝑥) = −3𝑥

²

; (𝑎 = −3, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0)

Função do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

Significado de a

A função do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

com 𝒂 ≠ 𝟎, são parábolas cuja amplitude é tanto maior quanto menor for o valor absoluto de a.

Sentido de concavidade Se 𝑎 > 0 a concavidade da parábola está voltada para cima;

Se 𝑎 < 0 a concavidade da parábola está voltada para baixo.

Exemplos:

1. Determine o parâmetro real 𝑚 de modo que a função 𝑓(𝑥) = (4𝑚

²

− 16)𝑥

²

+ 2𝑥 − 1 seja quadrática. NB: Deixe 5 linhas para passar a resolução.

2. Dada a função 𝑓(𝑥) = (4𝑚 + 2)𝑥

²

+ 9𝑥 + 20. Determine o parâmetro real 𝑚 de modo que:

a) A função seja quadrática;

b) A função não seja quadrática.

(12)

12

c) A concavidade da parábola da função esteja voltada para cima.

d) A concavidade da parábola da função esteja voltada para baixo.

NB: Deixe 10 linhas para passar a resolução.

Exercício:

Na função 𝑓(𝑥) = (2 − 𝑚)𝑥

²

+ 4𝑥 + 6, determine 𝑚 de modo que:

a) A função seja quadrática;

b) A concavidade da parábola da função esteja voltada para baixo.

T.P.C.

Pág. 55, exercício 4

(13)

13

Unidade temática: Função quadrática

Sumário: Função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

com 𝑎 ≠ 0: representação gráfica e estudo completo

Função do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

com 𝒂 ≠ 𝟎: representação gráfica e estudo completo

Exemplo: Considere as funções seguintes: 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

𝑒 𝑔(𝑥) = −𝑥

²

. Represente as funções num mesmo SCO.

Resolução:

1

^o

Devemos determinar os pares ordenados (𝒙, 𝒚):

2

^o

Representamos os gráficos das funções dadas no SCO:

𝒙 −𝟑 −𝟐 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑

𝑓(𝑥) = 𝑥

²

(−𝟑)^𝟐= 𝟗 (−𝟐)^𝟐 = 𝟒 (−𝟏)^𝟐= 𝟏 𝟎^𝟐= 𝟎 𝟏^𝟐= 𝟏 𝟐^𝟐= 𝟒 𝟑^𝟐= 𝟗

𝑔(𝑥) = −𝑥

²

(−𝟑)^𝟐= 𝟗 −(−𝟐)^𝟐

= −𝟒 −(−𝟏)^𝟐− 𝟏 −𝟎^𝟐= 𝟎 −𝟏^𝟐= −𝟏 −𝟐^𝟐= −𝟒 −𝟑^𝟐= −𝟗

(14)

14

Estudo completo das funções do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

com 𝒂 ≠ 𝟎

1

^o

caso: 𝒂 > 𝟎

Todas as funções do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

com 𝑎 > 0 têm as seguintes propriedades:



Concavidade voltada para cima



Domínio da função: 𝑫

_𝒇

: 𝒙 ∈ 𝓡



Contradomínio da função: 𝑫

_𝒇^′

: 𝒚 ∈ 𝓡

_𝟎⁺



Zeros da função: 𝒙

_𝟏

= 𝒙

_𝟐

= 𝟎



Equação do eixo de simetria: 𝒙 = 𝟎



Coordenadas do vértice: 𝑽(𝟎; 𝟎)



Monotonia ou variação da função:



Variação do sinal da função:

2

^o

caso: 𝒂 < 𝟎

Todas as funções do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

com 𝑎 < 0 têm as seguintes propriedades:



Concavidade voltada para cima



Domínio da função: 𝑫

_𝒇

: 𝒙 ∈ 𝓡



Contradomínio da função: 𝑫

_𝒇^′

: 𝒚 ∈ 𝓡

_𝟎⁻



Zeros da função: 𝒙

_𝟏

= 𝒙

_𝟐

= 𝟎



Equação do eixo de simetria: 𝒙 = 𝟎



Coordenadas do vértice: 𝑽(𝟎; 𝟎)



Monotonia ou variação da função:



Variação do sinal da função:

𝒙 ]−∞; 𝟎[ 𝟎 ]𝟎; +∞[

𝒇(𝒙) 𝟎

𝒙 ]−∞; 𝟎[ 𝟎 ]𝟎; +∞[

𝒇(𝒙) + 𝟎 +

𝒙 ]−∞; 𝟎[ 𝟎 ]𝟎; +∞[

𝒇(𝒙) 𝟎

(15)

15

Exercício

Represente no mesmo SCO os gráficos das funções seguintes e faça o estudo completo de cada uma delas.

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥

²

b) 𝑔(𝑥) = −2𝑥

²

c) ℎ(𝑥) =

¹

2

𝑥

²

d) 𝑖(𝑥) = −

¹

2

𝑥

²

𝒙 ]−∞; 𝟎[ 𝟎 ]𝟎; +∞[

𝒇(𝒙) - 𝟎 -

(16)

16

Unidade temática: Função quadrática

Sumário: Função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

+ 𝑐 com 𝑎 𝑒 𝑐 não nulos

Representação gráfica da função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

+ 𝑐 a partir do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

Estudo completo da função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

+ 𝑐

Função do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

+ 𝒄 com 𝒂 𝒆 𝒄 não nulos

Representação gráfica da função do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

+ 𝒄 a partir do gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

Considere as funções seguintes: 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

, 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

+ 2 𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

− 2.

Represente as funções num mesmo SCO.

Resolução:

1

^o

Devemos determinar os pares ordenados (𝒙, 𝒚):

2

^o

Representamos os gráficos das funções dadas no SCO:

𝒙 −𝟑 −𝟐 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑

𝑓(𝑥) = 𝑥

² _(−𝟑)_𝟐

= 𝟗 (−𝟐)^𝟐 = 𝟒 (−𝟏)^𝟐= 𝟏 𝟎^𝟐= 𝟎 𝟏^𝟐= 𝟏 𝟐^𝟐= 𝟒 𝟑^𝟐= 𝟗

𝑓(𝑥)

= 𝑥

²

+ 2

(−𝟑)^𝟐+ 𝟐

= 𝟗 + 𝟐

= 𝟏𝟏

(−𝟐)^𝟐+ 𝟐

= 𝟒 + 𝟐 = 𝟔

(−𝟏)^𝟐+ 𝟐

= 𝟏 + 𝟐 = 𝟑

𝟎^𝟐+ 𝟐

= 𝟎 + 𝟐 = 𝟐

𝟏^𝟐+ 𝟐

= 𝟏 + 𝟐 = 𝟑

𝟐^𝟐+ 𝟐

= 𝟒 + 𝟐 = 𝟔

𝟑^𝟐+ 𝟐

= 𝟗 + 𝟐

= 𝟏𝟏

𝑓(𝑥)

= 𝑥

²

− 2

^(−𝟑)

𝟐− 𝟐

= 𝟗 − 𝟐 = 𝟕

(−𝟐)^𝟐− 𝟐

= 𝟒 − 𝟐 = 𝟐

(−𝟏)^𝟐− 𝟐

= 𝟏 − 𝟐

= −𝟏

𝟎^𝟐− 𝟐

= 𝟎 − 𝟐

= −𝟐

𝟏^𝟐− 𝟐

= 𝟏 − 𝟐

= −𝟏

𝟐^𝟐− 𝟐

= 𝟒 − 𝟐 = 𝟐

𝟑^𝟐− 𝟐

= 𝟗 − 𝟐 = 𝟕

(17)

17

Pergunta para si: Qual é a conclusão que tira?

O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

+ 𝑐 com 𝑎 𝑒 𝑐 não nulos obtém-se a partir da translação vertical do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

, |𝐶| unidades:



Para cima se 𝒄 > 𝟎



Para baixo se 𝒄 < 𝟎 Exemplos:

1. Represente o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

− 4 a partir do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

e faça o estudo completo.

Resolução:

1

^o

Representar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

;

2

^o

Transladar verticalmente o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

, quatro unidades para baixo. O gráfico que se obtém é da função 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

− 4.

Estudo completo da função 𝒇(𝒙) = 𝒙

^𝟐

− 𝟒



Concavidade voltada para cima



Domínio da função: 𝑫

_𝒇

: 𝒙 ∈ 𝓡



Contradomínio da função: 𝑫

_𝒇^′

: 𝒚 ∈ [−𝟒; +∞[



Zeros da função: 𝒙

_𝟏

= −𝟐 ∧ 𝒙

_𝟐

= 𝟐



Equação do eixo de simetria: 𝒙 = 𝟎



Coordenadas do vértice: 𝑽(𝟎; −𝟒)

(18)

18



Monotonia ou variação da função:



Variação do sinal da função:

2. Represente o gráfico da função 𝑔(𝑥) = −𝑥

²

− 2 a partir do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

e faça o estudo completo.

Resolução:

1

^o

Representar o gráfico da função 𝑔(𝑥) = −𝑥

²

;

2

^o

Transladar verticalmente o gráfico da função g(𝑥) = −𝑥

²

, duas unidades para baixo. O gráfico que se obtém é da função 𝑔(𝑥) = −𝑥

²

− 2.

Estudo completo da função 𝒈(𝒙) = −𝒙

^𝟐

− 𝟐



Concavidade voltada para baixo



Domínio da função: 𝑫

_𝒈

: 𝒙 ∈ 𝓡

𝒙 ]−∞; 𝟎[ 𝟎 ]𝟎; +∞[

𝒇(𝒙) −𝟒

𝒙 ]−∞; −𝟐[ −𝟐 ]−𝟐; 𝟐[ 𝟐 ]𝟐; +∞[

𝒇(𝒙) + 𝟎 - 0 +

(19)

19



Contradomínio da função: 𝑫

_𝒈^′

: 𝒚 ∈ ]−∞; −𝟐]



Zeros da função: 𝑵ã𝒐 𝒕𝒆𝒎



Equação do eixo de simetria: 𝒙 = 𝟎



Coordenadas do vértice: 𝑽(𝟎; −𝟐)



Monotonia ou variação da função:



Variação do sinal da função:

Exercícios:

Represente graficamente e faça o estudo completo de cada uma das seguintes funções:

a) 𝒇(𝒙) = 𝒙

^𝟐

− 𝟏 b) 𝒈(𝒙) = −𝒙

^𝟐

+ 𝟏 c) 𝒉(𝒙) = 𝒙

^𝟐

+ 𝟐 d) 𝒊(𝒙) = −

^𝟏

𝟐

𝒙

^𝟐

− 𝟏

𝒙 ]−∞; 𝟎[ 𝟎 ]𝟎; +∞[

𝒈(𝒙) −𝟐

𝒙 ]−∞; +∞[

𝒈(𝒙) +

(20)

20

Unidade temática: Função quadrática

Sumário: Função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)

²

com 𝑎 𝑒 𝑝 não nulos

Representação gráfica da função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)

²

a partir do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

Estudo completo da função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)

²

Função do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒑)

^𝟐

com 𝒂 𝒆 𝒑 não nulos

Representação gráfica da função do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

+ 𝒄 a partir do gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

Considere as funções seguintes: 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

, 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)

²

𝑒 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)

²

. Represente as funções num mesmo SCO.

Resolução:

1

^o

Devemos determinar os pares ordenados (𝒙, 𝒚):

2

^o

Representamos os gráficos das funções dadas no SCO:

𝒙 −𝟑 −𝟐 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑

𝑓(𝑥) = 𝑥

²

(−𝟑)^𝟐= 𝟗 (−𝟐)^𝟐 = 𝟒 (−𝟏)^𝟐= 𝟏 𝟎^𝟐= 𝟎 𝟏^𝟐= 𝟏 𝟐^𝟐= 𝟒 𝟑^𝟐= 𝟗

𝑓(𝑥)

= (𝑥 − 2)

²

(−3 − 2)

²

= (−5)

²

= 25

(−2 − 2)

²

= (−4)

²

= 16

(−1 − 2)

²

= (−3)

²

= 9

(0 − 2)

²

= (−2)

²

= 4

(1 − 2)

²

= (−1)

²

= 1

(2 − 2)

²

= 0

²

= 0

(3 − 2)

²

= 1

²

= 1 𝑓(𝑥)

= (𝑥 + 2)

²

(−3 + 2)

²

= (−1)

²

= 1

(−2 + 2)

²

= 0

²

= 0

(−1 + 2)

²

= 1

²

= 1

(0 + 2)

²

= 2

²

= 4

(1 + 2)

²

= 3

²

= 9

(2 + 2)

²

= 4

²

= 16

(3 + 2)

²

= 5

²

= 25

(21)

21

Pergunta para si: Qual é a conclusão que tira?

O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)

²

com 𝑎 𝑒 𝑐 não nulos obtém-se a partir da translação horizontal do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

, |𝑝| unidades:



Para direita se 𝒑 > 𝟎



Para esquerda se 𝒑 < 𝟎 Exemplos:

1. Represente o gráfico da função 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)

²

a partir do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

e faça o estudo completo.

Resolução:

1

^o

Representar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

;

2

^o

Transladar horizontalmente o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

, três unidades para direita. O gráfico que se obtém é da função 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)

²

.

Estudo completo da função 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)

²



Concavidade voltada para cima



Domínio da função: 𝑫

_𝒇

: 𝒙 ∈ 𝓡



Contradomínio da função: 𝑫

_𝒇^′

: 𝒚 ∈ [𝟎; +∞[



Zeros da função: 𝒙

_𝟏

= 𝒙

_𝟐

= 𝟑



Equação do eixo de simetria: 𝒙 = 𝟑



Coordenadas do vértice: 𝑽(𝟑; 𝟎)

(22)

22



Monotonia ou variação da função:



Variação do sinal da função:

2. Represente o gráfico da função ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 2)

²

a partir do gráfico da função ℎ(𝑥) = 𝑎𝑥

²

e faça o estudo completo.

Resolução:

1

^o

Representar o gráfico da função ℎ(𝑥) = −𝑥

²

;

2

^o

Transladar horizontalmente o gráfico da função ℎ(𝑥) = −𝑥

²

, duas unidades para esquerda. O gráfico que se obtém é da função ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 2)

²

.

𝒙 ]−∞; 𝟑[ 𝟑 ]𝟑; +∞[

𝒇(𝒙) 𝟎

𝒙 ]−∞; 𝟑[ 𝟑 ]𝟑; +∞[

𝒇(𝒙) + 𝟎 +

(23)

23

Estudo completo da função 𝒉(𝒙) = −(𝒙 + 𝟐)

^𝟐



Concavidade voltada para baixo



Domínio da função: 𝑫

_𝒉

: 𝒙 ∈ 𝓡



Contradomínio da função: 𝑫

_𝒉^′

: 𝒚 ∈ ]−∞; 𝟎]



Zeros da função: 𝒙

_𝟏

= 𝒙

_𝟐

= −𝟐



Equação do eixo de simetria: 𝒙 = −𝟐



Coordenadas do vértice: 𝑽(−𝟐; 𝟎)



Monotonia ou variação da função:



Variação do sinal da função:

Exercícios:

Represente graficamente e faça o estudo completo de cada uma das seguintes funções:

e) 𝒇(𝒙) = −(𝒙 − 𝟏)

^𝟐

f) 𝒈(𝒙) = −(𝒙 + 𝟏)

^𝟐

g) 𝒉(𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟐)

^𝟐

h) 𝒊(𝒙) =

^𝟏

𝟐

(𝒙 + 𝟐)

^𝟐

𝒙 ]−∞; −𝟐[ −𝟐 ]−𝟐; +∞[

𝒉(𝒙) 𝟎

𝒙 ]−∞; −𝟐[ −𝟐 ]−𝟐; +∞[

𝒉(𝒙) - 𝟎 -

(24)

24

Unidade temática: Função quadrática

Sumário: Função do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒑)

^𝟐

+ 𝒒 com 𝒂, 𝒑 𝒆 𝒒 não nulos Estudo completo da função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)

²

+ 𝑞

Função do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒑)

^𝟐

+ 𝒒 com 𝒂, 𝒑 𝒆 𝒒 não nulos

O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)

²

+ 𝑞 com 𝑎, 𝑝 𝑒 𝑞 não nulos, obtém-se a partir do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

²

deslocando-o 𝒑

unidades na 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 e

𝒒

unidades na 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍.

Deslocamento horizontal:



Para direita se 𝒑 > 𝟎



Para esquerda se 𝒑 < 𝟎

Deslocamento vertical:



Para cima se 𝒒 > 𝟎



Para baixo se 𝒒 < 𝟎

Exemplo: Represente graficamente e faça o estudo completo da função 𝒇(𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟑)

^𝟐

− 𝟐.

Resolução:

𝒇(𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟑)

^𝟐

− 𝟐 𝒂 = 𝟐, 𝒑 = 𝟑 𝒆 𝒒 = −𝟐

1

^o

como 𝒂 = 𝟐, vamos representar o gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

^𝟐

;

2

^o

O gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

^𝟐

sofre translação horizontal de 3 unidades para direita e translação vertical de 2 unidades para baixo.

𝒙 −𝟑 −𝟐 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑

𝑓(𝑥) = 2𝑥

² ^{𝟐 ∙ (−𝟑)}^𝟐

= 𝟐 ∙ 𝟗

= 𝟏𝟖

𝟐 ∙ (−𝟐)^𝟐

= 𝟐 ∙ 𝟒 = 𝟖

𝟐 ∙ (−𝟏)^𝟐

= 𝟐 ∙ 𝟏 = 𝟐

𝟐 ∙ 𝟎^𝟐

= 𝟐 ∙ 𝟎 = 𝟎

𝟐 ∙ 𝟏^𝟐

= 𝟐 ∙ 𝟏 = 𝟐

𝟐 ∙ 𝟐^𝟐

= 𝟐 ∙ 𝟒 = 𝟖

𝟐 ∙ 𝟑^𝟐

= 𝟐 ∙ 𝟗

= 𝟏𝟖

(25)

25

Estudo completo da função 𝒇(𝒙) = 𝟐(𝒙 − 𝟑)

^𝟐

− 𝟐



Concavidade voltada para cima



Domínio da função: 𝑫

_𝒇

: 𝒙 ∈ 𝓡



Contradomínio da função: 𝑫

_𝒇^′

: 𝒚 ∈ [−𝟐; +∞[



Zeros da função: 𝒙

_𝟏

= 𝟐 ∧ 𝒙

_𝟐

= 𝟒



Equação do eixo de simetria: 𝒙 = 𝟑



Coordenadas do vértice: 𝑽(𝟑; −𝟐)



Monotonia ou variação da função:



Variação do sinal da função:

𝒙 ]−∞; 𝟑[ 𝟑 ]𝟑; +∞[

𝒇(𝒙) −𝟐

(26)

26

Exercícios

Considere as funções seguintes:

a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)

²

+ 1 b) 𝑓(𝑥) = −2(𝑥 − 1)

²

− 3 c) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)

²

+ 2 d) 𝑓(𝑥) =

¹

2

(𝑥 + 2)

²

− 2 e) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)

²

+ 4 f) 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 1)

²

− 1

i. Determine para cada caso, os valores de 𝑎, 𝑝 𝑒 𝑞.

ii. Represente graficamente e faça o estudo de cada uma das funções.

Unidade temática: Função quadrática

Sumário: Função quadrática do tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

+ 𝒃𝒙 + 𝒄

Representação gráfica da função a partir da determinação dos zeros e coordenadas do vértice

A função quadrática da forma 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

^𝟐

+ 𝒃𝒙 + 𝒄, pode ser escrita na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥

_𝑣

)

²

+ 𝑦

_𝑣

, onde 𝑥

_𝑣

= −

^𝑏

2𝑎

e 𝑦

_𝑣

= −

^∆

4𝑎

.

Exemplos:

Esboce os gráficos das seguintes funções:

a) 𝒇(𝒙) = 𝒙

^𝟐

− 𝟒𝒙 + 𝟑 b) 𝒈(𝒙) = −𝒙

^𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟑

𝒙 ]−∞; 𝟐[ 𝟐 ]𝟐; 𝟒[ 𝟒 ]𝟒; +∞[

𝒇(𝒙) + 𝟎 - 0 +

(27)

27

Resolução:

a) 𝒇(𝒙) = 𝒙

^𝟐

− 𝟒𝒙 + 𝟑



Zeros da função: 𝒇(𝒙) = 𝟎

𝒙

^𝟐

− 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎

𝒙

_𝟏/𝟐

=

^{−𝒃±√∆}

𝟐𝒂

;



Coordenadas do vértice: 𝑉(𝑥

_𝑉

; 𝑦

_𝑉

) 𝑥

_𝑣

= −

^𝑏

2𝑎

𝑥

_𝑣

= − (−4)

2 ∙ 1 = 4 2 = 2

𝑦

_𝑣

= − ∆ 4𝑎

𝑦

_𝑣

= − 4

4 ∙ 1 = − 4

4 = −1 𝑉(2; −1)



Ordenada na origem: 𝒚 = 𝒄 𝒚 = 𝟑



Sentido de concavidade: Concavidade voltada para cima porque 𝑎 = 1 > 0.



Gráfico:

(28)

28

b) 𝒈(𝒙) = −𝒙

^𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟑

Zeros da função: 𝒈(𝒙) = 𝟎 −𝒙

^𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟎



Coordenadas do vértice: 𝑉(𝑥

_𝑉

; 𝑦

_𝑉

) 𝑥

_𝑣

= −

^𝑏

2𝑎

𝑥

_𝑣

= − 2

2 ∙ (−1) = − 2

−2 = 1

𝑦

_𝑣

= − ∆ 4𝑎

𝑦

_𝑣

= − 16

4 ∙ (−1) = − 16

−4 = 4 𝑉(1; 4)



Ordenada na origem: 𝒚 = 𝒄 𝒚 = 𝟑



Sentido de concavidade: Concavidade voltada para cima porque 𝑎 = −1 < 0.



Gráfico:

(29)

29

Exercício

Represente graficamente e faça o estudo completo de cada uma das seguintes funções: