UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ESCOLA DE ENGENHARIA ENGENHARIA ELÉTRICA HENRIQUE MOREIRA DE OLIVEIRA

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ESCOLA DE ENGENHARIA

ENGENHARIA ELÉTRICA

HENRIQUE MOREIRA DE OLIVEIRA

DESCONTAMINAÇÃO DE SINAIS DE ELETROCARDIOGRAMA UTILIZANDO WAVELETS

São Paulo

2008

HENRIQUE MOREIRA DE OLIVEIRA

DESCONTAMINAÇÃO DE SINAIS DE ELETROCARDIOGRAMA UTILIZANDO WAVELETS

Trabalho de Graduação Interdisciplinar apresen- tado ao Curso de Engenharia Elétrica da Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, como requisito parcial à obtenção do grau de Bacharel em Engenharia.

ORIENTADOR: PROFESSOR DOUTOR MARCIO EISENCRAFT

São Paulo 2008

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Professor Marcio Eisencraft, os conselhos, sugestões e idéias que foram de grande valia e muito acrescentou ao meu conhecimento.

Aos meus pais todo apoio, dedicação, comprometimento e motivação que sempre me inspira- ram durante todos esses anos.

A todos os amigos, em especial à Milena Cicco de Godau, pela diária convivência e os mo- mentos passados juntos que marcaram esse período de vida.

À Escola de Engenharia Mackenzie e à FAPESP pelo apoio parcial na participação no XXVI Simpósio Brasileiro de Telecomunicações.

RESUMO

O objetivo deste trabalho é analisar o uso das transformadas wavelets para eliminar interfe- rências e ruídos em sinais de eletrocardiograma (ECG). Esta técnica é conhecida como des- contaminação. É feita uma revisão sobre o assunto, descrevendo-se suas bases matemáticas, aplicações e as wavelets utilizadas. Uma revisão da literatura sobre ECG também é feita tendo seu enfoque nas características desse sinal. Para testar as técnicas de descontaminação é inse- rido ruído branco gaussiano em sinais de ECG sintéticos que são tratados por meio de algo- ritmos utilizando o programa de simulação numérica Matlab^®. A verificação do resultado é feita por meio de comparações entre sinais originais, sinais contaminados e sinais recuperados por diferentes transformadas wavelets. Os resultados destas análises buscam mostrar a impor- tância da descontaminação dos sinais para os diagnósticos médicos que dependem de um sinal de qualidade para resultados precisos.

Palavras-chave: Descontaminação, Wavelets, Eletrocardiograma.

ABSTRACT

The objective of this work is to analyze the use of wavelet transforms to remove interference and noise in electrocardiogram signals (ECG). This technique is called denoising. We review this subject, describing their mathematical bases, applications and some of the wavelets used.

A summary description of ECG signals is presented, focusing on their characteristics. To test the denoising techniques, white gaussian noise is added to synthetic ECG signals, that are processed later by algorithms using the numeric simulation software Matlab^®. To check the results the original signal, the contaminated signal and the recovered signal by different wave- let transforms are compared. The analysis results show the denoising relevance for medical diagnostics that need a quality signal to be precise.

Keywords: Denoising, Wavelets, Electrocardiogram.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Desenho 1 - Componentes do coração ... 11

Diagrama 1 - Derivações bipolares ... 13

Diagrama 2 - WCT... 14

Diagrama 3 - Derivações aumentadas ... 14

Esquema 1 - Triângulo de Einthoven... 15

Diagrama 4 - Derivações precordiais ... 16

Gráfico 1 - Elementos do sinal de eletrocardiograma ... 17

Gráfico 2 - Batimento cardíaco sintético...,.19

Gráfico 3 - Sinal de ECG sintético contaminado com ruído branco gaussiano...19

Gráfico 4 - Wavelet de Daubechies...25

Gráfico 5 - Wavelet de Haar...26

Gráfico 6 - Wavelet Symlets...27

Gráfico 7 - Wavelet Coiflets...27

Gráfico 8 –Trecho de ECG sintético usado nas simulações ... 32

Gráfico 9 - Variação do ganho de cada wavelet variando-se o número de níveis de decomposição ... 34

Gráfico 10 - Variação do ganho de cada wavelet com a relação sinal ruído de entrada...355

Gráfico 11 - a) sinal original, b) sinal contaminado, c) sinal recuperado com db9, d) sinal recuperado com haar, e) sinal recuperado com sym2 e f) sinal recuperado com coif 2...36

Gráfico 12 - Variação do ganho de cada wavelet com o número de níveis de decomposição 37 Gráfico 13 -Variação do ganho de cada wavelet com a relação sinal ruído de entrada ... 37

Gráfico 14 - a) sinal original, b) sinal contaminado, c) sinal recuperado com db9, d) sinal recuperado com haar, e) sinal recuperado com sym2 e f) sinal recuperado com coif2...38

Gráfico 15 - Sinais de eletrocardiograma: a) sinal original; b) Sinal contaminado; c) sinal recuperado; d) erro entre o sinal original e o contaminado; e) erro entre o sinal original e o recuperado...39

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 8

1.1 ESTRUTURA DO TRABALHO ... 9

2 SISTEMA CARDIOVASCULAR E ELETROCARDIOGRAMA... 10

2.1 FISIOLOGIA DO CORAÇÃO E DISTÚRBIOS CARDÍACOS ... 10

2.2 ELETROCARDIOGRAMA... 12

2.2.1 Aquisição do sinal de eletrocardiograma ... 13

2.2.2 Morfologia do sinal de ECG ... 16

2.3 SINAL DE ELETROCARDIOGRAMA SINTÉTICO... 18

3 WAVELETS... 20

3.1 TRANSFORMADA WAVELET ... 20

3.2 TIPOS DE WAVELETS ... 24

3.2.1 Wavelets de Daubechies ... 25

3.2.2 Wavelets de Haar... 25

3.2.3 Wavelets Symlets e Coiflets ... 26

3.3 DESCONTAMINAÇÃO DE SINAIS VIA WAVELET SHRINKAGE ... 28

4 SIMULAÇÕES ... 31

4.1 SINAL DE ENTRADA ... 31

4.2 SINAL CONTAMINADO COM RUÍDO BRANCO GAUSSIANO... 31

4.3 SINAL CONTAMINADO COM SENOIDE ... 35

5 CONCLUSÕES... 41

REFERÊNCIAS... 42

APÊNDICE A... 44

APÊNDICE B – ARTIGO PUBLICADO NOS ANAIS DO XXVI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES (SBrT 2008) ...47

1 INTRODUÇÃO

Um sinal é a representação de uma informação em função de uma determinada variável, geralmente o tempo (BRUCE, 2001). A variação da temperatura num ambiente, a corrente elétrica num circuito e o som de um instrumento podem ser representados por meio de sinais.

Os impulsos elétricos do corpo humano também podem ser representados dessa forma. Dentre os diversos sinais contidos nessa área, destaca-se o de eletrocardiograma (ECG), que consiste no registro da variação dos potenciais elétricos gerados pela atividade elétrica do coração (NORTHROP, 2003).

Todos os sinais estão sujeitos a ruídos introduzidos em sua captação que preju- dicam seu processamento. Os sinais biológicos, em especial o sinal de ECG, por terem peque- nas amplitudes, devem ser tratados para que tenha-se a maior redução do nível de ruído no sinal. Esse processo é denominado descontaminação (RAO, 1998; NORTHROP, 2003).

Para sinais de ECG a descontaminação se faz necessária pela nitidez e clareza que os diagnósticos exigem já que distúrbios cardíacos podem ser determinados em pequenas variações de sua forma de onda (BRUCE, 2001). Com o intuito de suprimir ruídos dos sinais, a aplicação de transformadas wavelets vem se mostrando uma importante alternativa (RAO, 1998; OLIVEIRA, 2007; BRUCE, 2001; ERÇELEBI, 2003; KAISER, 2001).

As wavelets tiveram sua primeira menção na tese de Alfred Haar em 1909 e tiveram sua introdução no meio acadêmico e científico no inicio da década de 80 por Alex Grossman e Jean Morlet (OLIVEIRA, 2007). Essa técnica consiste em dividir os sinais, a par- tir de um padrão inicial chamado wavelet mãe, em diferentes sinais que quando somados for- necem o original (BURRUS; GOPINATH, 1998). Nessa decomposição pode-se detectar, para cada diferente nível, se o ruído esta prevalecendo ou não em relação ao sinal original, poden- do-se descartar os níveis com maiores quantidades de ruído (STRANG; NGUYEN, 1996).

O objetivo deste trabalho é analisar a descontaminação de sinais de ECG por meio de transformadas wavelets, visando-se obter uma melhor relação sinal-ruído de saída em comparação com a de entrada.

Os resultados deste trabalho foram publicados nos anais do XXVI Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT’08) realizado de 02 a 05 de Setembro no Rio de Janei- ro também na forma de pôster.

Para a realização deste estudo utilizam-se sinais de eletrocardiograma sintéti- cos, contaminados com ruído branco gaussiano ou com senóide. Esses sinais são descontami-

nados e a eficiência do método é medida por meio de comparações entre a entrada e saída do sistema sendo essa representada pelo ganho do processo.

1.1 ESTRUTURA DO TRABALHO

O trabalho está estruturado em cinco capítulos e dois apêndices.

No Capítulo 2 são abordados o sistema cardiovascular e o ECG, descrevendo- se a fisiologia do coração, algumas de suas possíveis patologias, a aquisição do ECG e suas características.

O Capítulo 3 contém a definição da transformada wavelet e suas características, em especial as das famílias que fazem parte das simulações deste trabalho. Mostra-se ainda o processo de wavelet shrinkage, que é o método utilizado para a descontaminação dos sinais de ECG nas simulações.

O Capítulo 4 apresenta as simulações de descontaminação dos sinais de eletro- cardiograma. O processo é realizado com o auxilio do programa de simulações numéricas Matlab^®, utilizando sua toolbox wavelets e por meio de algoritmos desenvolvidos. Os resulta- dos são mostrados em gráficos em que sua eficiência é medida por meio do ganho do sistema.

O Capítulo 5 trata das conclusões do trabalho, mostrando os resultados compa- rativos entre as wavelets utilizadas bem como entre os níveis de decomposição e a relação sinal-ruído de entrada.

O Apêndice A traz os programas desenvolvidos para geração do sinal de Ele- trocardiograma, sua contaminação e descontaminação utilizados nas simulações do trabalho.

O Apêndice B contém o artigo apresentado no XXVI Simpósio Brasileiro de Telecomunicações bem como seu pôster.

2 SISTEMA CARDIOVASCULAR E ELETROCARDIOGRAMA

As pesquisas realizadas ao longo dos séculos sobre o coração são muitas. As- sunto de grande interesse foi alvo de importantes pesquisadores como Leonardo da Vinci, que afirmou que este era um corpo muscular oco e Willian Harvey, médico inglês, que em 1628 concluiu que o coração é o centro de um circuito sanguíneo fechado (SILIPO; MARCHESI, 1998).

Basicamente o coração é uma bomba distribuidora de nutrientes para o corpo humano. Dado sua importância e a de seu estado, vários exames são realizados para se obter diagnósticos referentes ao coração, dentre eles o eletrocardiograma (ECG) que é considerado de grande importância para sua análise (GESELOWITZ, 1989).

Na seção 2.1 são discutidos os estudos dos principais aspectos fisiológicos do coração, os distúrbios e possíveis problemas patológicos que podem ocorrer com este órgão.

Na seção 2.2 são estudadas as características do sinal de ECG e sua aquisição, e na seção 2.3 a obtenção de um sinal de eletrocardiograma sintético.

2.1 FISIOLOGIA DO CORAÇÃO E DISTÚRBIOS CARDÍACOS

O coração é o órgão responsável pelo bombeamento do sangue para o corpo todo. Sua estrutura externa é constituída pelo músculo atrial, o músculo ventricular e as fibras excitatórias e condutoras. Seu interior é dividido em 4 cavidades: átrios esquerdo e direito e ventrículos esquerdo e direito. Os átrios recebem o sangue e o distribui pelas veias e os ven- trículos são responsáveis por bombear o sangue pelas artérias. Para controlar o sangue que circula pelo órgão existem 4 válvulas: tricúspide, mitral, pulmonar e a aórtica (RANGAY- YAN, 2002).

No Desenho 1 são mostrados os componentes do coração por meio de uma re- presentação esquemática.

Durante o intervalo de um batimento cardíaco são identificadas duas fases dis- tintas de atuação cardíaca: sístole e diástole (RANGAYYAN, 2002).

A sístole é a fase de contração em que o sangue é bombeado da seguinte forma:

o sangue venoso, com baixa concentração de oxigênio, do ventrículo direito passa pela válvu- la pulmonar para que seja oxigenado nos pulmões e o sangue arterial do ventrículo esquerdo

vai para a artéria através da válvula aórtica, para ser distribuída para todo o corpo (RAN- GAYYAN, 2002).

Desenho 1 - Componentes do coração Fonte: Rangayyan (2002, p.18)

A diástole é a fase de relaxamento do coração, o sangue preenche as cavidades de entrada. No processo o átrio direito coleta o sangue venoso das veias cavas superiores e inferiores e passa para o ventrículo direito através da válvula tricúspide durante a contração atrial. Simultaneamente o átrio esquerdo recebe o sangue arterial vindo dos pulmões e o passa para o ventrículo esquerdo através da válvula mitral (RANGAYYAN, 2002; GESELOWITZ, 1989).

Os músculos cardíacos contraem-se de modo diferente dos músculos comuns.

Enquanto os músculos comuns são comandados por neurônios motores, os músculos do cora- ção são controlados por células marca-passo que se despolarizam e repolarizam espontanea- mente gerando aos músculos do coração um movimento rítmico (RANGAYYAN, 2002).

O principal marca-passo se encontra no nó sinoatrial que se localiza na junção do átrio direito com a veia cava superior. O controle da taxa de batimentos é determinada pela presença de adrenalina ou aceticolina, sendo a primeira responsável pelo aumento da taxa de batimentos e a segunda responsável pela sua diminuição (RANGAYYAN, 2002)..

Existe uma variedade de problemas cardíacos, que pode-se detectar, observan- do distúrbios nos sistemas de condução elétrico e em regiões do coração, como músculos e

tecidos. As alterações patológicas podem ser divididas em 3 tipos principais: i) arritmias, ii) isquemias e iii) alterações crônicas nas estruturas mecânicas do coração.

A arritmia é um problema na velocidade e no ritmo dos batimentos cardíacos.

Dois dos eventos indesejados são a geração ou extinção dos batimentos quando encontram um tecido alterado, ou alteração na velocidade de condução desses batimentos pelos tecidos do coração. Dependendo do caso, pode-se não ter um batimento homogêneo, em que o batimento se direciona apenas para um lado do coração, comportando-se assim como um bloco unidire- cional. Os batimentos também podem ficar circulando, formando circuitos fechados fazendo com que o coração se comporte de modo anormal. Alguns dos problemas relacionados a ar- ritmia que podem ser ocasionados por essas alterações são a taquicardia , que é o batimento acelerado do coração, a braquicardia, batimento lento do coração, e a fibrilação que é o bati- mento não rítmico do coração (KILPATRICK, JOHNSTON, 1994).

A isquemia se caracteriza pela obstrução do sistema circulatório devido a pre- sença de substâncias nos canais do sistema circulatório. Neste caso a entrega de nutrientes às células e tecidos corpóreos sofre diminuição devido ao fluxo insuficiente de sangue. Pode-se ter uma isquemia total, quando o fluxo arterial não é suficiente para manter a vida celular, e parcial quando se mantém a vida celular, porém com enfraquecimento do tecido (KILPA- TRICK, JOHNSTON, 1994).

As alterações das estruturas mecânicas são caracterizadas por problemas nos músculos e cavidades do coração. Seus tamanhos e capacidades podem ser alterados gerando, por exemplo, um aumento atrial e a hipertrofia do ventrículo esquerdo (KILPATRICK, JOHNSTON, 1994).

2.2 ELETROCARDIOGRAMA

Geralmente as células são eletricamente polarizadas devido a seu interior apre- sentar potencial elétrico negativo em relação ao meio exterior. As células de músculos e ner- vos são capazes, em um curto espaço de tempo de se despolarizarem e voltar a seu estado normal de polarização. Devido a este fenômeno surgem diferenças de potências por causa dos movimentos dos íons pela membrana celular gerando correntes e campos elétricos pelo corpo (GESELOWITZ, 1989).

Para medir esses potenciais, eletrodos são colocados em pontos sobre o coração e membros do corpo. Enquanto algumas células contribuem com sua fase de despolarização,

outras estão em repouso e outras ainda em fase de repolarização. O sinal de ECG é represen- tado pela somatória de todas essas manifestações geradas pela atividade do coração (GON- ÇALVES FILHO, 1999).

2.2.1 AQUISIÇÃO DO SINAL DE ELETROCARDIOGRAMA

Para realizar a aquisição dos sinais de ECG são colocados eletrodos no braço esquerdo, direito, perna esquerda e no tórax. Um eletrodo também é colocado na perna direita para servir de referência e retirar a interferência externa. Na prática os exames de ECG são realizados com o paciente em atividades físicas, por esse motivo os eletrodos dos braços são colocados próximos ao tórax e os das pernas próximos ao abdômen para facilitar a movimen- tação do paciente. Esses pontos de colocação dos eletrodos não alteram a qualidade do sinal obtido pois os potências nas extremidades dos membros, tórax e abdômen são praticamente os mesmos dos pulsos e tornozelos (GOLÇALVES FILHO, 1999).

Os sinais de ECG são obtidos por meio de derivações. Cada uma das deriva- ções é um arranjo de eletrodos ponderados algumas vezes com resistores. O sistema padrão é composto por 12 derivações divididas em 3 grupos: as derivações bipolares, aumentadas e precordiais (GESELOWITZ, 1989).

As derivações bipolares são compostas por sinais de diferença de potencial en- tre os membros do corpo, menos o do sinal de referência da perna direita. A diferença de po- tencial entre os braços é denominada como derivação I, a diferença entre a perna esquerda e o braço direito é chamado de derivação II e a diferença entre a perna esquerda e o braço esquer- do é a derivação III. Essas derivações são mostradas no Diagrama 1.

Diagrama 1 - Derivações bipolares

As derivações aumentadas e precordiais são obtidas em relação a uma referên- cia chamada de terminal central de Wilson (WCT – Wilson’s Central Terminal). Ela é obtida por meio da junção das potências dos membros por meio de resistores ligados a todos os ele- trodos, menos o de referência da perna direita como mostrado no Diagrama 2. Esse potencial é a média da distribuição de potencial na superfície do tronco (GESELOWITZ, 1989).

Diagrama 2 – WCT

As derivações aumentadas são obtidas entre a perna esquerda, braço direito, braço esquerdo e o WCT. O resistor ligado ao WCT referente ao membro a ser medido é aber- to e ligado diretamente ao amplificador operacional, o que causará um aumento de 50% na amplitude do sinal. As derivações aumentadas são conhecidas como VR, que é a diferença entre o braço direito e o WCT, VL, diferença entre o braço esquerdo e o WCT e VF que re- presenta a diferença entre a perna esquerda e o WCT. Essas derivações são mostradas no Dia- grama 3.

Diagrama 3 - Derivações aumentadas

As derivações bipolares e aumentadas podem ser representadas conforme o es- quema determinado como triângulo de Einthoven. Esse se trata de um triângulo eqüilátero

formado pelas derivações I, II, e III. O baricentro do triângulo representa o WCT. O coração está localizado no centro do triângulo e cada uma das derivações mede uma projeção do vetor elétrico cardíaco. Sua amplitude é medida pela quantidade de massa muscular contraída e seu sentido é dado pelo espalhamento do impulso de despolarização. Essas projeções permitem que as atividades elétricas do coração sejam analisadas a partir de diferentes perspectivas do plano frontal (RANGAYYAN, 2002).

Esquema 1 - Triângulo de Einthoven

As seis derivações precordiais são obtidas das diferenças de potencial entre as seis posições padronizadas do peito, representadas pelo diagrama 4, e do WCT. As derivações V1 e V2 são obtidas por meio da colocação do eletrodo no quarto espaço entre as costelas, à direita e à esquerda do esterno respectivamente. V4 é obtido a partir do quinto espaço entre as costelas do lado esquerdo, na linha média da clavícula. V3 é obtida na posição média entre V2 e V4. V5 e V6 são colocadas na mesma altura que V4, mas nas linhas anterior e do meio da axila respectivamente. Estas seis derivações permitem a análise do vetor elétrico do coração a partir de diferentes orientações de um plano de secção cruzada. V5 e V6 são mais sensíveis à atividade do ventrículo esquerdo. V3 e V4 mostram a atividade do septo cardíaco (região en- tre cavidades) e V1 e V2 representam a atividade do lado direito do coração (RANGAYYAN, 2002).

Portanto o sinal de ECG é obtido na saída do amplificador operacional mostra- do no Diagrama 4, sendo a soma de todas as derivações já citadas. Uma vez tendo este sinal, pode-se determinar, por meio de suas características, patologias que podem ocorrer no cora- ção (RANGAYYAN, 2002). Deste modo se torna importante o conhecimento de sua morfo- logia para um correto diagnóstico.

Diagrama 4 - Derivações precordiais

2.2.2 MORFOLOGIA DO SINAL DE ECG

Um sinal de ECG pode ser dividido em ondas segmentos e intervalos.

Cada um desses representa a evolução da atividade elétrica do coração que inicia uma contra- ção muscular. No gráfico 1 são mostrados os principais pontos do sinal de eletrocardiograma (MCSHARRY, 2003).

Os elementos que compõem o sinal de eletrocardiograma podem ser descritos da seguinte maneira (MCSHARRY, 2003; KILPATRICK, 1994; GONÇALVES FILHO, 1999):

• Onda P: O ciclo cardíaco inicia-se com a onde P, reflexo da ativação da musculatura atrial derivada de sua despolarização. Seu aspecto é arredondado, possui pequena am- plitude e é simétrico. Sua duração normal é de aproximadamente 100 ms e tem ampli- tude máxima de 0,25 mV. Um aumento da voltagem ou tempo de duração desta onda indica uma anomalia atrial.

• Segmento PR: Trecho da linha isoelétrica, conhecida também como linha de base, que se inicia no final da onda P e acaba no início da deflexão do complexo QRS. Ocorre devido ao tempo que o estímulo elétrico leva para atingir os ventrículos. Dependendo da freqüência cardíaca leva em torno de 120 a 210 ms.

• Complexo QRS: está relacionado a despolarização ventricular. Sua forma de onda é variável com maior amplitude nas derivações precordiais. Em pacientes adultos, sua duração varia entre 60 e 100 ms.

• Segmento ST: é o trecho entre o final do complexo QRS e o início da onda T. Repre- senta o tempo em que os ventrículos estão em estado ativo e a repolarização ventricu- lar pode ser iniciada. Pode possuir aspecto ligeiramente curvo voltado para cima, sem que isto signifique uma anomalia.

• Onda T: representa a repolarização ventricular. Seu aspecto é arredondado e pode ser ligeiramente assimétrica com a borda de subida mais suave em relação à borda de descida. Como segmento ST tem solução de continuidade com a onda T, é difícil dis- tinguir com precisão o final do segmento ST e o início da onda T. Assim como o in- tervalo PR, o intervalo QT varia com a freqüência cardíaca.

• Intervalo QT: é o intervalo que corresponde ao início do complexo QRS e ao final da onda T. Sua duração total é equivalente à duração total da sístole ventricular.

Gráfico 1 - Elementos do sinal de eletrocardiograma

2.3 SINAL DE ELETROCARDIOGRAMA SINTÉTICO

Pode-se extrair importantes informações clínicas analisando as componentes do sinal de eletrocardiograma por meio da utilização de técnicas de processamento digital de sinais. Variações dessas componentes revelam importantes características fisiológicas do pa- ciente que está sendo submetido a esse exame (MCSHARRY, 2003).

Atualmente novos algoritmos de processamento de sinais biomédicos são de- senvolvidos para serem aplicados em sinais de ECG de banco de dados eletrônicos que são obtidos por meio de amostras reais de pacientes, estando sujeito a variações e ruídos (MC- SHARRY, 2003).

É possível determinar a eficiência de um certo método para um determinado sinal, porém não se pode garantir seu funcionamento com diferentes níveis de ruído e fre- qüência de amostragem. Portanto tendo acesso a um sinal de ECG artificial realístico o desen- volvimento desses algoritmos pode ser facilitado (MCSHARRY, 2003).

Neste trabalho são utilizados sinais de ECG artificiais obtidos por meio de téc- nicas utilizadas por McSharry e Clifford com uma morfologia PQRST, ou seja, das compo- nentes do ECG, realista e já conhecidas dinâmicas na taxa de batimentos cardíacos (MC- SHARRY, 2003).

Para a obtenção do sinal ECG sintético é utilizado o algoritmo ecgsyn.m de- senvolvido para o programa de simulações numéricas Matlab^®. Esse algoritmo possui como parâmetros de saída o sinal de ECG e as posições dos elementos do sinal definidos pela variá- vel “ipeaks” (MCSHARRY, 2003). Para se obter o sinal de ECG deve-se fornecer como parâmetros de entrada a freqüência de amostragem, o número de batimentos cardíacos, a quantidade de ruído aditivo, a taxa de batimentos por minuto e o desvio padrão da taxa de batimentos (MCSHARRY, 2003).

Para a aquisição do sinal de ECG neste trabalho, utilizando o algoritmo ecgsyn.m, foram usados os seguintes parâmetros de entrada: i) freqüência de amostragem de 256 Hz, ii) 256 batimentos cardíacos, iii) 60 batimentos por minuto, iv) desvio padrão da taxa de batimentos e ruído aditivos nulos.

O propósito deste modelo é fornecer sinais de ECG padronizados que podem se gerados com estatísticas especificas como as variações nos batimentos cardíacos (MCSHAR- RY, 2003).

Os gráficos 2 e 3 apresentam exemplos de um batimento cardíaco e um sinal de ECG contaminado com ruído branco gaussiano respectivamente, obtidos por meio do algo- ritmo citado.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Sinal ECG

Tempo (s)

Amplitude (mV)

Gráfico 2 – Batimento cardíaco sintético

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Tempo (s)

Amplitude (mV)

Sinal de ECG com ruído

Gráfico 3 – Sinal de ECG sintético contaminado com ruído branco gaussiano

3 WAVELETS

A análise de sinais constitui uma das mais importantes ferramentas no proces- samento digital de sinais (OLIVEIRA, 2007). Essa análise pode ser feita por meio das trans- formadas de Fourier, porém ela se torna ineficaz para determinadas situações em que o sinal não é estacionário tendo variação de suas características estatísticas com o tempo, como foi percebido por Alex Grossmann e Jean Morlet enquanto analisavam sinais geofísicos destina- dos a exploração do petróleo (OLIVEIRA, 2007).

Após essa constatação o conceito de wavelets foi introduzido no meio científi- co pela escola francesa tendo como suas bases os pesquisadores Morlet, Grossmann, Mallat, Meyer entre outros (OLIVEIRA, 2007).

Neste capítulo são apresentados as definições das transformadas wavelets, os tipos de wavelets utilizadas no trabalho por meio de gráficos e expressões e a descrição do processo de descontaminação conhecido como wavelet shrinkage.

3.1 TRANSFORMADA WAVELET

Para introduzir a definição de transformada wavelet, é necessário relembrar algumas noções sobre decomposição de funções em séries. Considere inicialmente uma fun- ção f contida no espaço L₂( )ℝ . Portanto, a energia da função f é limitada ao longo de todo o eixo dos reais, isto é (OLIVEIRA, 2007):

f t( )²dt

∞

−∞

< ∞

∫

. (1)

Para o espaço L₂( )ℝ a norma e o produto escalar são definidos como a seguir:

f g, f t g t dt( ) ( )

∞

−∞

=

∫

(2)

f = f f, . (3) Se a função g possuir norma unitária, então o resultado do produto escalar en- tre f e g corresponderá à operação de projeção de f sobre g .

Considere, agora, um conjunto de funções ortonormais, ou seja, todos os veto- res do conjunto possuem norma igual a 1 e ortogonais entre si, ψ_k( )t ^{, k}∈ℕ, formando um conjunto de vetores linearmente independentes, também conhecido como base, para o espaço

2( )

L ℝ . Pela condição de ortogonalidade

ψ ψ_m, _n =0, para todo m≠n. (4) Define-se então a expansão da função f em uma série ortonormal como sen- do a combinação linear das funções de base ψ_k( )t ponderadas pelas projeções de f sobre cada uma delas, isto é, (MALLAT, 1999)

( ) , _k . _k( ) _{k k}

k k

f t ^∞ f ψ ψ t ^∞ Fψ

=−∞ =−∞

=

∑

=

∑

, (5)

em queF_k = f,ψ_k ^{, k}∈^N, define a transformada da função f . Dentro desta abordagem, está o fato da base ψ_k( )t possuir suporte, que é o menor subconjunto fechado do domínio onde a função não é nula, igual a toda extensão do eixo real, isto é, cada função de base ψ_k( )t decai a zero somente nos limites ±∞. No entanto, se a base possuir suporte limitado, decaindo para zero muito rapidamente, então uma eficiente maneira desta base cobrir o eixo dos reais é através de translações do tipo ψ_{k l,}( )t =ψ_k(t−l), l∈ℕ (MALLAT, 1999).

Por fim, observando a base da transformada de Fourier, pode-se constatar que cada função de base – as exponenciais complexas – é obtida a partir de simples dilatações na freqüência (OLIVEIRA, 2007)

F( )ω ^∞ f t e( ) ^{−j tω}dt

−∞

=

∫

. (6)

Reunindo estas duas propriedades – dilatação e translação – em um único pro- tótipo de função de base, obtem-se as funções wavelet contínuas ortonormais, em que as dila- tações e as translações são dadas por duas variáveis nomeadas a∈ℕ e b∈ℝ respectivamen- te, (KAISER, 1994)

_, 1

a b( )

t b

t a a

ψ = ψ ^ ^{− }

  (7)

de forma que a transformada wavelet é definida como (OLIVEIRA, 2007)

, _{a b,} ( ). t b

f f t dt

ψ ^∞ ψ a

−∞

−

 

=  

 

∫

. (8)

As versões discretas da transformada podem ser obtidas discretizando-se as di- latações e as translações. Assumindo dilatações binárias e translações unitárias, as funções de base wavelet tornam-se (KAISER, 1994)

ψ_{m n,} ( )t =2^−m/2ψ(2^mt−n) (9)

sendo que a=2^−m e b=n2^−m. A transformada wavelet discreta será então definida como

( ) , _{m n,} . _{m n,} ( )

m n

f t ^{∞ ∞} f ψ ψ t

=−∞ =−∞

=

∑ ∑

. (10)

Através do conceito de análise em multiresolução, pode-se construir famílias de wavelets discretas e desenvolver algoritmos rápidos para o cálculo da transformada. A aná- lise em multiresolução parte da existência de duas funções básicas, uma função wavelet mãe ( )ψ t e uma função de escala mãe ( )ϕ t , ortogonais entre si e tais que, ao longo dos di- versos níveis de resolução, as diversas funções de escala ϕ_{m n,} ( )t e wavelet ψ_{m n,} ( )t estão rela- cionadas às respectivas funções mãe por meio da seguintes equações (MALLAT, 1999):

ϕ_{m n,} ( )t =2^{−m/ 2}ϕ(2^mt−n), (11)

ψ_{m n,} ( )t =2^−m/2ψ(2^mt−n). (12) A relação entre os níveis de resolução pode ser descrita sob a forma de um a- ninhamento dos espaços de função, em que cada espaço de maior resolução contém os espa- ços de menor resolução, ou seja, (MALLAT, 1999)

...⊂V₋₂ ⊂V₋₁⊂V₀ ⊂ ⊂V₁ V₂... (13) Cada espaço V é coberto pela família de funções de base _m ϕ_{m n,} ( )t correspon- dente. As funções wavelet ψ_{m n,} ( )t estão contidas nos espaços W , sendo cada espaço _m W o _m

complemento ortogonal de V em relação ao espaço _m V_m+1. Desta forma, escreve-se a relação entre dois níveis adjacentes de resolução como (STRANG, 1996)

V_m+1=V_m⊕W_m. (14) em que o símbolo ⊕ representa a operação de soma direta, que é a soma de dois subespaços vetoriais quando sua interjeição é nula. Uma vez que V e _m W estão contidos em _m V_m+1, então ambos os conjuntos de funções de base podem ser expressos como combinação linear das funções de base de V_m+1, sendo cada uma delas ponderada pelos coeficientes h n e ₀[ ] h n , ₁[ ] responsáveis pela relação de ortogonalidade entre as funções e definido como:aa

h n[ ] = ϕ ϕ_0,0, _1,n (15)

Portanto (MALLAT, 1999)

_{m n,} ( ) ₀[ 2 ]. _{m 1,k}( )

k

t h k n t

ϕ =

∑

− ϕ ₊ (16)

_{m n,} ( ) ₁[ 2 ]. _{m 1,k}( )

k

t h k n t

ψ =

∑

− ϕ ₊ (17)

Estando a função f contida no espaço V_m+1, então f pode ser expressa como combinação linear das funções de base ϕ_m+1,n( )t . De forma similar, projetando f em V e _m W e escrevendo estas projeções em função das bases de m V e _m W , é possível relacionar as _m projeções de f e os diversos níveis de refinamento da seguinte forma: (DAUBECHIES, 1990)

a_m+1,k = f,ϕ_m+1,k a_mn = f,ψ_{m n,} . (18)

Aplicando (16) e (17) na equação (18), obtém-se:

_{m n,} , _{m n, 0}[ 2 ]. , _{m 1,k 0}[ 2 ]. _{m 1,k}

k k

a = f ϕ =

∑

h k− n f ϕ ₊ =

∑

h k− n a ₊ (19)

e dado que V_m+1 é a soma direta dos espaços V e _m W . Pode-se expressar a base de _m V_m+1 como combinação linear das bases de V e _m W em que cada uma delas está ponderada pelos coefici-_m entes g₀[n] e g₁[n], responsáveis pela relação de ortogonalidade entre as funções e definido como:

g_n = ψ ϕ_0,0, _1,n (20)

Então (MALLAT, 1989)

_{m 1,k}( ) ₀[ 2 ]. _{m n,} ( ) ₁[ 2 ]. _{m n,} ( )

n n

t g k n t g k n t

ϕ ₊ =

∑

− ϕ +

∑

− ψ (21)

Os processos de síntese ou composição e análise ou decomposição descritos anteriormente podem ser entendidos como a aplicação de filtros passa-baixas e passa-altas seguidos de uma subamostragem na análise ou precedidos por uma superamostragem na sín- tese – como nos métodos de codificação de bandas (Subband Coding), em que os coeficientes

{

^{h n h n0[ ], [ ]1}

}

^e

{

^{g n g n0[ ], 1[ ]}

}

formam os bancos de filtros utilizados por estes métodos. Eles correspondem aos bancos de filtros de análise e de síntese respectivamente. Todas as expres- sões apresentadas até aqui sugerem uma recursão, em que a projeção de f sobre V_m é de- composta em V_m−1 e W_m−1, a projeção em V_m−1 é decomposta sobre V_m−2 e W_m−2, e assim por diante. Cada projeção equivale a uma versão menos refinada da projeção anterior (STRANG, 1996). Uma vez que as projeções nos espaços V_m e W_m são ortogonais entre si e complemen- tares em relação ao espaço V_m+1, a reconstrução da função original através do processo de síntese é perfeita – isto se não houver perdas entre a decomposição e a reconstrução (POOR- NACHANDRA, 2007).

3.2 FAMÍLIAS DE WAVELET

Baseado na análise de multiresolução que estabelece os princípios básicos para a determinação de uma wavelet, diversos pesquisadores desenvolveram estudos e criaram sua própria família de wavelets para resolução dos mais variados problemas (OLIVEIRA, 2007).

Neste trabalho são apresentadas 4 diferentes famílias de wavelets que serão uti- lizadas para as simulações sendo elas i) Daubechies, ii) Haar, iii) Coiflets e iv) Symlets (O- LIVEIRA, 2007).

3.2.1 WAVELETS DE DAUBECHIES

As wavelets de Daubechies são uma família de wavelets ortogonais definindo uma transformada discreta wavelet e caracterizada pelo máximo número de momentos nulos para um dado suporte, ou seja, momentos em que a função é nula. Com cada tipo de wavelet dessa classe há uma função base, chamada wavelet-mãe, que gera uma análise de multiresolu- ção ortogonal (OLIVEIRA, 2007).

Estas wavelets não possuem uma expressão explícita para sua determinação exceto para a wavelet Daubechies de nível 1, que também é conhecida como wavelet de Haar.

O Gráfico 4 mostra a forma da wavelet-mãe da família de Daubechies de or- dem 9, que são as utilizadas neste trabalho, obtida por meio do comando wavefun.m.

Gráfico 4 - Wavelet de Daubechies

3.2.2 WAVELET DE HAAR

A wavelet de haar é a primeira e mais simples das wavelets, se trata de uma wavelet descontinua lembra um degrau, e representa o mesmo que a de Daubechies nível 1.

Ela pode ser considerada como uma “wavelet digital” devido sua forma de on- da parecer um pulso digital (OLIVEIRA, 2007).

Sua utilização é adequada para sinais que possuem mudanças abruptas de valo- res no decorrer do tempo e sua representação matemática é dada como segue

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

k

Wavelet Daubechies de ordem 9

1, [0, 0.5[

( ) 1, [0.5,1[

0, [0,1[

se x

x se x

se x ψ

∈



= − ∈

 ∉



(22)

O Gráfico 5 apresenta a wavelet de haar obtida por meio do comando wave- fun.m

Gráfico 5 - Wavelet de Haar

3.2.3 WAVELETS SYMLETS E COIFLETS

Essas duas famílias de wavelets são provenientes das wavelets de Daubechies, e foram solicitadas por Ronald Coifmam para a própria Ingrid Daubechies. Ela propôs modi- ficações em suas wavelets que aumentavam a simetria sem comprometer sua simplicidade. O conceito se resume basicamente em manter momentos nulos que é definido como,

m₀ ^∞ψ( )x dx 1

−∞

=

∫

= (23) Em que ψ( )x é a função wavelet, tanto para a função base, quanto para a wavelet-mãe (OLI- VEIRA, 2007).

0 200 400 600 800 1000 1200

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Wavelet de Haar

k

O Gráfico 6 apresenta a wavelet symlets de ordem 2 e o Gráfico 7 apresenta a wavelet coiflets de ordem 2. Ambas as wavelets foram obtidas utilizando o comando wave- fun.m

Gráfico 6 - Wavelet Symlets

Gráfico 7 - Wavelet Coiflets

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

1.5 Wavelet Symlets

k

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

2 Wavelet Coiflets

k

3.3 DESCONTAMINAÇÃO DE SINAIS VIA WAVELET SHRINKAGE

É conhecido que no mundo real não existe sinal sem ruído. Esse ruído para propósitos práticos faz com que a interpretação dos sinais se torne mais difícil sendo necessá- rio então a retirada do ruído. O sinal em que o ruído está contido é conhecido como sinal con- taminado e o processo para retirá-lo é chamado de descontaminação (TASWELL, 2000).

Existem diferentes métodos para descontaminação de sinais. Um que vem causando grande impacto na área de processamento de imagem e sinais e a descontaminação por meio de transformadas wavelets conhecido como wavelet shrinkage (OLIVEIRA, 2007).

Não se deve confundir esse processo com uma suavização do sinal. Enquanto a suavização remove altas freqüências e mantêm as baixas, a descontaminação visa remover qualquer ruído presente e manter o sinal sem alteração, não retirando informações por elimi- nação de uma determinada faixa de freqüência (TASWELL, 2000).

A descontaminação por wavelet shrinkage envolve a compressão do sinal no domínio das transformadas wavelets e é composto por 3 etapas: i) decompor o sinal por meio de transformadas wavelets, ii) descontaminar o sinal e iii) reconstruir o sinal por meio da transformada inversa wavelet (TASWELL, 2000).

Esse procedimento distingue-se dos demais métodos de decontaminação linea- res por se tratar de um método não paramétrico, ou seja, não depende de parâmetros estima- dos anteriormente para sua realização (TASWELL, 2000).

Assumindo um sinal qualquer ( )s t adicionado a um ruído ( )n t tem-se o sinal contaminado ( )x t representado como

( )x t =s t( )+n t( ) (24) Uma vez tendo este sinal deve-se decompor o mesmo por meio de transforma- das wavelets representada por W(.). O sinal decomposto em seus diversos níveis é submetido a aplicação de um limiar de corte, abrupto ou suave, λ (descrito posteriormente) que vai eli- minar os coeficientes que estejam abaixo do mesmo, no caso de uso de um limiar abrupto, essa etapa é representada como D(., )λ . Com os coeficientes indesejados retirados por meio da aplicação do limiar a transformada wavelet W⁻¹(.) deve ser aplicada aos dados restantes para reconstrução do sinal sem o ruído. Desta forma tem-se os 3 passos descritos (TAS- WELL, 2000):

( ) Y =W x

( , ) Z =D Y λ

1( ) S =W⁻ Z

Dado um limiar λ para um dado Y o limiar suave não linear é definido como

D Y( , )λ ≡sgn( ) max(0,Y U −λ) (25)

Onde, sgn representa a função que retorna o sinal do número real, ou seja,

1, 0

sgn 0, 0

1, 0

se x se x se x

− <



= =

 >



(26)

O operador D anula todos os valores nos quais Y =λ e comprime para a o- rigem do sinal por uma quantidade λ todos os valores deU para que U >λ. Por este último aspecto é que o operador D passou a ser chamado não só de operador de limiar suave, mas também de operador de compressão (TASWELL, 2000).

Para a determinação do limiar de corte, supõe-se um sinal X que apresente tamanho ne amostras em n pontos t tal que ^{Xi ≡X t}

( )

ⁱ . Para uma transformada wavelet ortogonal W em que haverá n coeficientes de transformada Y , pode se usar um limiar que _j dependa apenas do tamanho da amostra, como um limiar universal ou minimax e pode-se usar os três passos para descontaminação do sinal (DONOHO, 1994). Entretanto se pretende usar um limiar adaptativo que dependa não apenas do comprimento do sinal mas também das ca- racterísticas do sinal, deve-se incluir um novo passo no procedimento, resultando assim em um processo de 4 passos como segue (TASWELL, 2000):

1

( ) ( )

( , ) ( )

Y W X

d Y

Z D Y

S W Z

λ

λ

−

=

=

=

=

A partir deste momento a etapa d(.)seleciona o limiar dependendo das carac- terísticas do nível da transformada que irá variar de nível para nível.

Pode-se definir muitos diferentes tipos de procedimentos de descontaminação variando os tipos de transformadas wavelets e escolhas dos limiares de corte, e ainda definin-

do D como o limiar suave e _s D como limiar abrupto combinado-os com os tipos adaptativo _h ou fixo obtem-se ainda mais possibilidades de procedimentos (TASWELL, 2000).

Esse processo de descontaminação foi desenvolvido por Donoho e Johnstone e eles introduziram pesquisas para determinação do limiar como o riskshrink, com o limiar mi- nimax, e o visushrink com o limiar universal e discutiram seu uso em formas fixas e adaptati- vas (DONOHO, 1994).. Para se verificar qual a melhor escolha de limiar para o sinal que se está estudando deve conhecer a priori as características do sinal que se está trabalhando, que teoricamente pode ser determinado para comparações e simulações. Deve-se analisar também qual procedimento deseja-se usar, um limiar fixo para cada nível de decomposição ou um limiar variável (TASWELL, 2000).

Uma escolha possível de limiar fixo é o limiar universal representado pela e- quação 26 definido para níveis de l=1 a l=L(DONOHO, 1994).

λ= 2 log n (27)

Um exemplo de limiar adaptativo é o limiar minimax, que busca a maximiza- ção do ganho mínimo, e que tem seu valor variado com o nível de decomposição (OLIVEI- RA, 2007).

2 log( )

m

T K

K

= σ (28)

T é o limiar de corte, m K é o comprimento do sinal no nível de decomposição que se está analisando, σ é o desvio padrão do ruído.

Utilizando as informações obtidas os sinais de eletrocardiograma artificiais são descontaminados com o uso das técnicas de wavelet shrinkage utilizando limiares adapta- tivos para cada diferente nível de decomposição das transformadas wavelets. Essas simula- ções foram desenvolvidas com diferentes níveis de relação sinal-ruído de entrada.

4 SIMULAÇÕES

Para avaliar o desempenho da descontaminação de sinais de eletrocardiograma via wavelets foram realizadas simulações variando-se as famílias de wavelets utilizadas, as relações sinal-ruído de entrada e os níveis de decomposição. Para a análise de todos os fatores foram utilizados sinais de ECG sintéticos (MCSHARRY, 2003), discutidos na seção 2.3, ge- rados no Matlab^®.

São considerados dois casos:(i) interferência por uma senóide com freqüência de 60Hz simulando interferência da rede elétrica e (ii) ruído branco gaussiano simulando ruído experimental na aquisição do sinal

4.1 SINAL DE ENTRADA

O sinal de entrada estudado é um sinal de ECG gerado artificialmente pelo programa ecgsyn.m desenvolvido por Patrick McSharry e Gari Clifford (MCSHARRY, 2003). O sinal de ECG obtido possui uma amplitude da ordem de milivolts e algumas caracte- rísticas padrões, quando não alteradas pelo usuário são de uma freqüência de amostragem de 256 Hz, 256 batimentos cardíacos, 60 batimentos por minuto e sem ruído aditivo .

O Gráfico 8 apresenta o sinal de ECG utilizado para todas as simulações feitas.

Esse sinal apresenta uma freqüência de amostragem de 256 Hz e 60 batimentos cardíacos, porém serão mostrados apenas 4 para melhor visualização, os outros valores foram mantidos os quais são discutidos na seção 2.3.

A potência desse sinal é determinada por ²

1

1 [ ]

N s

k

P s k

N ₌

=

∑

(29) em que N é o número de amostras do sinal e [ ]s k é o valor do sinal em cada amostra k .

4.2 SINAL CONTAMINADO COM RUÍDO BRANCO GAUSSIANO

Para se realizar as simulações de descontaminação de sinais, um ruído deve ser adicionado ao sinal de ECG. Primeiramente utiliza-se um ruído branco gaussiano de média nula.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -0.4

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Sinal ECG

tempo (s)

Amplitude (mV)

Gráfico 8 – Trecho de ECG sintético usado nas simulações

Esse ruído é somado ao sinal de ECG gerado fazendo com que esse se torne um sinal contaminado. A potência do ruído é obtida por

_r ^s

in

P P

= SNR , (30) em queP representa a potência do ruído, _r P é a potência do sinal e _s SNR é a relação sinal _in ruído de entrada desejada.

Com as potências dos sinais conhecidas deve-se realizar a normalização do si- nal contaminado, como descrito na seção 3.3 por meio de (OLIVEIRA, 2007)

[ ] [ ]

2

n

m

s k s k

= N (31) em que s k é o sinal normalizado, [ ]_n[ ] s k é o sinal original, N é o comprimento do sinal origi- nal e mé o número de níveis de decomposição escolhido.

Tendo o sinal normalizado deve-se aplicar o conceito de transformadas wave- lets para a decomposição do sinal, conforme seção 3.3. Essa decomposição é feita por meio de algoritmos desenvolvidos para o programa de simulação numérica Matlab. Para efeito de si- mulações nesse trabalho, diversas variáveis são alteradas, como por exemplo, o nível de de- composição, a relação sinal ruído de entrada e o tipo de wavelet utilizada, para que se tenha o maior número de informações possíveis para a verificação de qual a melhor alternativa para o método utilizado.

Uma vez o sinal decomposto, deve-se aplicar, para os coeficientes de detalhe de cada nível de decomposição, o limiar definido como

2 log( )

m

T K

K

= σ (32)

em que T é o limiar de corte, K é o comprimento do sinal no nível de decomposição que se _m está analisando, σ é a potência média do ruído, expressão essa que visa maximizar o ganho mínimo. Os valores que estão abaixo do limiar são cortados e descartados da recomposição do sinal, restando apenas os coeficientes que encontrem acima desse valor para se recuperar o sinal original. O uso desse limiar nessa aplicação é conhecido como limiar abrupto (hard thre- shold) (TASWELL, 2000).

Após a aplicação do limiar os coeficientes de detalhe restantes de todos os ní- veis devem ser somados aos coeficientes de aproximação do maior nível de decomposição.

Isso proporciona a recuperação do sinal previamente contaminado, porém ainda normalizado.

Deve-se ainda multiplicar o sinal recuperado pelo mesmo fator de normalização utilizado an- teriormente o que encerra o processo.

Após o processo finalizado deve-se definir o parâmetro para que se verifique a eficiência do método. O parâmetro analisado nesse trabalho, o ganho G do sistema, é defini- do por

G=SNR dB_in( )−SNR_out(dB). (33)

O valor de entrada é conhecido, pois é fornecido como dado de entrada, en- quanto a relação sinal ruído de saída é calcula a partir da relação da potência do sinal de saída calculada conforme expressão (32) e a potência de ruído do sinal recuperado que é a diferença do sinal original e do sinal recuperado desnormalizado como mostrado em (35).

²

1

1 [ ]

N

srec srec

k

P s k

N ₌

=

∑

(34)

Em que, P_srecé a potência do sinal recuperado após a desnormalização, N é o comprimento do sinal recuperado e s_srec[ ]k é o valor do sinal no ponto k .

P_r^' = −S S_rec (35) Primeiramente o valor da relação sinal ruído de entrada é fixado em 0 dB, variando-se o número de níveis de decomposição. Verifica-se que todas as famílias wave-

lets utilizadas apresentam um melhor rendimento com 3 níveis de decomposição sendo que wavelet de Daubechies de ordem 9 se destaca em relação as demais independente do nível analisado. Verifica-se essa situação no Gráfico 9.

Gráfico 9 - Variação do ganho de cada wavelet variando-se o número de níveis de decomposição

Utilizando as informações obtidas no Gráfico 9, é fixado o nível que obteve melhores resultados, ou seja, 3 níveis de decomposição.Os valores da relação sinal ruído de entrada irão variar de -10dB a 10dB.

Verifica-se novamente que a família de wavelets Daubechies de ordem 9 apre- senta resultados superiores as demais para qualquer relação sinal ruído de entrada. Um fato interessante de se observar é o rápido decaimento da wavelet de haar a partir da relação sinal- ruído de entrada de -6dB já que tinha valores similares a wavelet db9 e com maiores valores de SNR foi a única a ter valores negativos. Esse fato se deve ao processo eliminar informa-_in ções do sinal, e quando a SNR é maior, o sinal se sobrepõe ao ruído resultando na perca de _in informações do sinal e não do ruído. Essas informações são mostradas no Gráfico 10.

Para visualização dos resultados do sistema é representado no gráfico 11 uma comparação entre o sinal original de ECG, o sinal contaminado e o sinal recuperado com o uso dos tipos de wavelets estudados, nas condições onde se tem uma melhor visualização do sinal de ECG contaminado e recuperado. Os valores são fixados numa relação sinal ruído de entrada de 10dB e serão utilizados 3 níveis de decomposição.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2

0 2 4 6 8 10

SNR in dB

Ganho

coif2 db9 haar sym2

Gráfico 10 - Variação do ganho de cada wavelet variando-se a relação sinal ruído de entrada

4.3 SINAL CONTAMINADO COM SENÓIDE

Nesta seção do trabalho os sinais de eletrocardiograma são contaminados com uma senóide de 60 Hz simulando uma possível interferência da rede elétrica em que o apare- lho de aquisição do ECG possa estar ligado.

As etapas do processo de descontaminação permanecerão as mesmas que fo- ram utilizadas para o sinal com ruído branco aditivo, ou seja, poderá utilizar-se todos os pa- râmetros e o programa já citados alterando apenas a forma de ruído.

A senóide que contamina o sinal terá uma freqüência de 60 Hz e é definido conforme expressão:

^{Rsen[ ]n =σ 2 cos(2π}

(

^{60 256}

)

ⁿ⁾ (36) Em que R_sené a senóide que contamina o sinal, σ é o desvio padrão do ruído e né o ponto de amostra do sinal original de ECG.

O primeiro teste será feito fixando a relação sinal-ruído de entrada em 0dB e variando o nível de decomposição de 1 até 5. As famílias wavelets utilizadas permanecem as mesmas. O gráfico 12 mostra que se obtém ganhos de até 40 dB utilizando a wavelet db9 o que é um valor considerável quando se compara com a wavelet de haar em que seu ganho não ultrapassa 15dB. Pode-se perceber também que todas as wavelets apresentam os seus maiores