21 - Corrente e Resistência

Prof. Anderson Coser Gaudio

Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson

anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/11/2006 14:54 H

21 - Corrente e Resistência

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker

4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 28 - Corrente e

Resistência Cap. 32 - Corrente e

Resistência Cap. 29 - As

Propriedades Elétricas dos Materiais

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3

CAPÍTULO 28 - CORRENTE E RESISTÊNCIA

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

[Início documento]

[Início seção] [Início documento]

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 32 - CORRENTE E RESISTÊNCIA

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61

[Início documento]

01. Uma corrente constante de 4,82 A percorre uma resistência de 12,4 Ω durante 4,60 minutos. (a) Quantos coulombs e (b) quantos elétrons passam através de uma seção reta do resistor durante esse tempo?

(Pág. 109) Solução.

(a) A corrente elétrica i é definida por:

i dq

= dt Logo:

dq = idt

0 t

q = ∫ id ^t

Como a corrente é constante, sai da integral.

( ) ( )

0

4,82 A 4, 6 min 60 s 1.330,32 C min

q = i dt ∫

= = it × × ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ = 1, 33 10 C

q ≈ ×

(b) O número de elétrons (N) é dado por:

( )

( ^{1, 60 10 1.330,32 C}

^C ) ^{8,3145 10}

N q e

+

= =

= ×

× 8, 31 10

N ≈ ×

[Início seção] [Início documento]

07. Produz-se uma corrente num tubo de descarga gasosa, quando se aplica uma diferença de potencial suficientemente elevada entre os dois eletrodos do tubo. O gás ioniza-se; os elétrons deslocam-se par o terminal positivo e os íons positivos, para o terminal negativo. Quais são a intensidade e o sentido da corrente, num tubo de descarga de hidrogênio, onde 3,1 × 10

elétrons e 1,1 × 10

prótons passam através de uma seção reta do tubo, por segundo?

(Pág. 109) Solução.

A corrente de prótons i

é igual ao número de prótons que passa pela seção reta do tubo a cada segundo N

multiplicada pela carga fundamental e:

P P

i = N e

e

O mesmo raciocínio aplica-se à corrente de elétrons:

E E

i = N

Num primeiro momento podemos ser induzidos a pensar que a corrente total no tubo seja igual à diferença entre i

e i

, o que equivaleria à corrente elétrica líquida. No entanto, quando temos cargas positivas movendo-se na presença de cargas negativas, e vice-versa, o movimento das cargas positivas para a direita equivale ao movimento das negativas para a esquerda. Portanto, prótons movendo-se para um lado na presença de elétrons movendo-se para o outro reforça a corrente positiva para um lado e a corrente negativa para o outro. Logo:

( ) ( ^{1,1 10}

^{3,1 10}

)( ^{1, 60 10}

^C ) ^{0, 672 A}

P E P E P E

i = + = i i N e + N e = N + N e = × + × ×

= 0, 67 A

i ≈

[Início seção] [Início documento]

13. Quanto tempo levam os elétrons para ir da bateria de um carro até o motor de arranque?

Suponha que a corrente é de 115 A e os elétrons percorrem o fio de cobre cuja área da seção reta é de 31,2 mm

e o comprimento é de 85,5 cm. Veja o Exemplo 2.

(Pág. 110) Solução.

O módulo da velocidade de deriva (v

) dos elétrons é a razão entre o comprimento do fio L e o tempo t que os elétrons levam para percorrer L.

d

L J

v = = t ne (1)

Na Eq. (1), J é a densidade de corrente, n é a densidade dos elétrons de condução e e é a carga fundamental. Considerando-se a densidade de corrente constante, teremos:

J i

= A (2)

Substituindo-se (2) em (1) e resolvendo-se para t:

t neLA

= i (3)

O cobre possui um elétron de condução para cada átomo. Logo, a densidade dos portadores de carga no cobre é igual à densidade de átomos de cobre. Pode-se representar esta idéia na equação a seguir, onde N

é o número de Avogadro, ρ é a densidade do cobre e M é a massa molar do cobre.

A

n

N M

= ρ

N

n M

= ρ (4)

Substituindo-se (4) em (3):

eLA N

t iM

= ρ

( ) ^{( )} ( )( )( )

( ) ( )

19 5 2 3 3 23 1

3

1, 60 C 0,855 m 3,12 m 9, 0 kg/m 6, 02 mol

115 A 64 kg/mol t

− −

−

×10 ×10 ×10 ×10

= ×10

−

3.141,96 s 52,366 min

t = " = "

52, 4 min t ≈

[Início seção] [Início documento]

15. Nos dois anéis de armazenamento de 950 m de circunferência do CERN, que se interceptam, são formados feixes de prótons de 30,0 A, com energia de 28,0 GeV. (a) Ache a carga total associada aos prótons em cada anel. Suponha que os prótons se deslocam à velocidade da luz.

(b) Um dos feixes é desviado para fora do anel e atinge um bloco de cobre de 43,5 kg. De quanto a temperatura do bloco aumenta?

(Pág. 110) Solução.

(a) A corrente i, considerada constante, no anel de prótons é dada pela equação a seguir, onde q é a carga total dos prótons que passam através da área da seção reta do fluxo e Δt é o tempo que a carga q leva para atravessar essa área.

i q

= t Δ

O tempo Δt está associado ao comprimento do percurso Δs e à velocidade dos prótons v:

t s v Δ = Δ Logo:

( )( )

( 30, 0 A 950 m

)

3, 00 10 m/s q i s

v

= Δ =

× 9, 50 10 C

q = ×

(b) A energia total (E

) do feixe de prótons que atinge o bloco de cobre é dada por:

T p

E E q

= e

Nessa expressão, q/e é o número total de prótons (carga total dividida pela carga de cada próton) e E

é a energia transferida para o bloco por cada um dos prótons colidentes, que corresponde à energia de 28,0 GeV citada no enunciado do problema. A energia E

é transferida para o bloco de cobre na forma de calor (Q), que aquece o bloco (ΔT):

T p

E Q mc T E q

= = Δ = e

Na expressão acima, m é a massa do bloco de cobre e c é o calor específico do cobre.

E q

T mce Δ =

( )( )

( )( ) ( )

9 19

19

28 10 eV 1, 602 10 J/eV 9,50 10 C 43,5 kg 386 J/kg.K 1, 602 10 C T

− −

−

× × × ×

Δ = ×

5

158, 4182 K

Δ = T "

158 K Δ ≈ T

[Início seção] [Início documento]

25. Uma lagarta de 4,0 cm de comprimento se arrasta no sentido da velocidade de arrasto dos elétrons ao longo do fio desencapado de cobre de 5,2 mm de diâmetro* que é percorrido por uma corrente de 12 A. (a) Ache a diferença de potencial entre as duas extremidades da lagarta.

(b) Comparada com a sua cabeça, a cauda da lagarta é positiva ou negativa? (c) Se a velocidade da lagarta for igual à velocidade de arrasto dos elétrons no fio, quanto tempo será necessário para a lagarta se arrastar 1,0 cm.

* O diâmetro do fio não aparece no enunciado original deste problema, mas aparece em outras edições da série Halliday-Resnick.

(Pág. 110) Solução.

(a) A diferença de potencial (V) entre a cabeça e a cauda da lagarta é a mesma existente no mesmo comprimento do fio e depende de sua resistência (R) e da corrente (i) que o percorre.

V = Ri

A resistência pode ser representada em termos da resistividade ρ , do comprimento L e da área da seção reta A do fio.

R L A

= ρ Logo:

( ) ^{( )( )}

( )

8

4

2 2 3 2

4 1, 69 10 .m 0, 040 cm 12 A

4 3,8197 10 V

5, 2 10 m 2

Li Li Li

V A d d

ρ ρ ρ

π π

π

−

−

−

× Ω

= = = = = ×

⎛ ⎞ ×

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

"

0,38 mV V ≈

(b) A lagarta segue no sentido da corrente real, ou seja, no sentido do fluxo de elétrons. Estes migram do potencial elétrico menor para o potencial maior. Logo, a cauda da lagarta está num potencial menor do que a sua cabeça. Isto significa que a cauda está mais negativa do que a cabeça.

(c) O tempo t gasto para percorrer a distância l depende da velocidade de deriva v

e é dado por:

d

t l

= v (1)

Por sua vez, a velocidade de deriva é função da densidade de corrente J, da densidade dos

portadores de carga n e da carga fundamental e e vale:

2 2

4 2

d

J i i i

v ne neA d ned

ne π

π

= = = =

⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

(2)

Na Eq.(2), i é a corrente elétrica e A é a área da seção reta do fio. O cobre possui um elétron de condução para cada átomo. Logo, a densidade dos portadores de carga no cobre é igual à densidade de átomos de cobre. Pode-se representar esta idéia na equação a seguir, onde N

é o número de Avogadro, ρ é a densidade do cobre e M é a massa molar do cobre.

A

n

N M

= ρ

N

n M

= ρ (3)

Substituindo-se (3) em (2):

2

4

d

A

v iM

ed N π ρ

= (4)

Substituindo-se (4) em (1):

2

4 eld N

t iM

π ρ

=

( ) ^{( )} ( )( )( )

( ) ( )

19 3 2 3 3 23 1

3

1, 60 C 0, 010 m 5, 2 m 9, 0 kg/m 6, 02 mol

4 12 A 64 kg/mol

t π

−

×10 ×10 ×10 ×10

= ×10

−

239, 71 s 3,9952 min

t = " = "

4, 0 min t ≈

[Início seção] [Início documento]

30. Dois fios, um de cobre e outro de ferro, têm o mesmo comprimento. Aplicamos às extremidades de ambos os fios a mesma diferença de potencial. (a) Qual deve ser a razão entre os raios dos fios, para que ambos sejam percorridos pela mesma corrente? (b) É possível fazer com que a densidade de corrente seja a mesma nos dois fios, escolhendo convenientemente os seus raios?

(Pág. 110) Solução.

(a) Sabendo-se que a diferença de potencial V nos terminais de um resistor é igual ao produto de sua resistência R pela corrente i que o atravessa, V = Ri, para que dois fios que estejam sujeitos à mesma diferença de potencial sejam percorridos pela mesma corrente, isso implica em que ambos tenham a mesma resistência. Logo, a resistência do fio de cobre R

deve ser igual à do fio de ferro R

:

Cu Fe

R = R

A resistência de um corpo regular está relacionada com a sua resistividade ρ , o seu comprimento L e a sua área de seção reta A:

Cu Fe

Cu Fe

L L

A A

ρ ₌ ρ

Como os fios têm forma cilíndrica, a área de seção reta é circular de raio r:

Cu Fe

2 2

Cu Fe

r r

ρ ρ

π ⁼ π

( )

( )

8

Fe Fe

8

Cu Cu

9,68 10 m

2, 3932 1,69 10 m

r r

ρ ρ

−

−

× Ω

= = =

× Ω "

Fe Cu

r 2,39 r ≈

(b) Para que os fios de ferro e de cobre possam ter a mesma densidade de corrente j, deveremos ter:

Cu Fe

j = j

Cu Fe

Cu Fe

i i

A = A

Cu Fe

Cu Cu Fe Fe

V V

R A = R A

O enunciado diz que a diferença de potencial V e o comprimento L dos fios devem ser os mesmos:

Cu Fe

Cu Fe

Cu Fe

V V

L L

A A

A A

ρ ⁼ ρ

Cu Fe

ρ = ρ

Portanto, dois fios feitos de materiais diferentes, de mesmo comprimento e sujeitos à mesma diferença de potencial somente poderiam ter mesma densidade de corrente se suas resistividades fossem iguais. Como a resistividade é uma propriedade física de cada material, isso não é possível.

[Início seção] [Início documento]

34. Um bloco com o formato de paralelepípedo tem área de seção reta de 3,50 cm

e comprimento de 15,8 cm, sendo sua resistência 935 Ω. Existem 5,33 × 10

elétrons de condução/m

no material de que é feito o bloco. Uma diferença de potencial de 35,8 V é mantida entre as duas faces menores. (a) Ache a corrente no bloco. (b) Supondo que a densidade de corrente é

uniforme, qual o seu valor? Calcule (c) a velocidade de arrasto dos elétrons de condução e (d) o campo elétrico no interior do bloco.

(Pág. 111) Solução.

(a) A corrente i vale:

( )

( )

35,8 V

0, 03828 A 935

i V

= R = =

Ω "

38,3 mA i ≈

(b) A densidade de corrente J vale:

( )

( ^{3,50 10 m 0, 03828}

^A

) ^{0, 010939 A/m}

J i

A

= = =

×

"

"

10, 9 mA/m

J ≈

(c) A velocidade de deriva ou arrasto v

vale:

( )

( )( )

2

22 3 19

0, 010939 A/m

0, 012827 m/s 5,33 10 m 1, 60 10 C

d

v J

ne

= = =

× ×

"

"

1, 28 cm/s v

≈

(d) O campo elétrico vale:

( )

( )

35,8 V

226,58 V/m 0,158 m

E V

= L = = "

227 V/m E ≈

[Início seção] [Início documento]

37. Uma barra de um certo metal tem comprimento de 1,6 m e 5,5 mm de diâmetro. A resistência entre seus extremos (a 20

C) é 1,09 × 10

Ω. Um disco circular feito do mesmo material tem 2,14 cm de diâmetro e 1,35 mm de espessura. (a) Qual é o material? (b) Qual a resistência entre as faces circulares opostas do disco, supondo que elas sejam superfícies eqüipotenciais?

(Pág. 111) Solução.

(a) Considere o seguinte esquema da barra:

d L

O material de que é feito a barra pode ser identificado pela sua resistividade, que é dada por:

( )( )

( )

2

3 3 2

2

1, 09 5, 5 m

2 1, 6185 .m

4 4 1, 6 m

R d

RA Rd

L L L

π π π

ρ

− −

−

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ×10 Ω ×10

= = ⎝ ⎠ = = = " ×10 Ω

1, 6

.m ρ ≈ ×10 Ω

Este valor de resistividade corresponde à PRATA, de acordo com a Tabela 1, pág. 101.

(b) Considere o seguinte esquema do disco:

D

l

A resistência do disco é dada por:

( )( )

( )

8 3

8

2 2 2 2

4 1, 6185 .m 1,35 m

4 6, 074

2,14 m

2

L l l

R A D D

ρ ρ ρ

π π

π

− −

−

−

×10 Ω ×10

= = = = = ×10

⎛ ⎞ ×10

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

"

" Ω

61 n

R ≈ Ω

[Início seção] [Início documento]

40. Um resistor tem a forma de um tronco de cone circular reto (Fig. 14). Os raios das bases são a e b, e a altura L. Se a inclinação da superfície lateral for suficientemente pequena, podemos supor que a densidade de corrente é uniforme através de qualquer seção transversal. (a) Calcular a resistência desse sistema. (b) Mostrar que o resultado de (a) se reduz a ρ L/A para o caso especial onde a = b, ou seja para um cilindro.

(Pág. 111) Solução.

(a) Considere o esquema abaixo:

dx L

a r

x

b

No esquema acima, vale a relação:

r a b a

x L

− = −

( ^{b a x} )

r L

= − + a (1)

A resistência dR de um disco de raio r e espessura dx vale:

2

dR dx r ρ

= π (2)

Substituindo-se (1) em (2):

( )

2

2

dR L dx

b a x aL ρ

= π

− +

⎡ ⎤

⎣ ⎦

( )

2 0 2

L

dx

R dR

b a x aL ρ

= = π

− +

⎡ ⎤

⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ( )

2

0

1

L

R L

a b a L x bx ρ

= π

− ⎡ ⎣ − + ⎤ ⎦

R L ab ρ

= π (b) Para a = a:

2

R L a ρ

= π R L

A

= ρ

[Início seção] [Início documento]

49. Uma lâmpada de 100 W é ligada a uma rede de 120 V. (a) Quanto custa por mês (31 dias) deixar a lâmpada acesa 24 h por dia? Suponha que a energia elétrica custa 6 centavos/kW.h. (b) Qual é a resistência da lâmpada? (c) Qual a corrente através da lâmpada? (d) A resistência será diferente quando a lâmpada estiver desligada?

(Pág. 112) Solução.

(a) O custo mensal (C) da lâmpada corresponde à quantidade de energia gasta por mês (E), em kW.h, multiplicada pelo custo (c) por kW.h. A energia gasta pela lâmpada corresponde à sua potência (P) multiplicada pelo tempo (t) que ela fica acesa.

( 6 cent/kW.h 0,100 kW 31 d 24 h/d )( )( )( ) 4.464 cent

C = cE = cPt = =

$ 4, 46 C ≈

(b) A resistência da lâmpada vale:

( )

( )

2

120 V

100 W 144 R V

= P = = Ω

144

R = Ω

(c) A corrente i que passa através da lâmpada vale:

( )

( )

100 W

0,833 A 120 V

i P

= V = =

0,833 A i =

(d) Sim. Desprezando-se a variação nas dimensões da lâmpada com a temperatura, a resistência do filamento da lâmpada é maior em temperaturas mais elevadas. Isto se deve ao aumento da

resistividade do material do filamento, em geral constituído de tungstênio, que possui resistividade quatro vezes maior do que o cobre, com a temperatura.

[Início seção] [Início documento]

54. Uma bobina construída com fio Nicromo está imersa num líquido dentro de um calorímetro.

Quando a diferença de potencial aplicada à bobina é 12 V e a corrente através dela é 5,2 A, o

líquido ferve a uma taxa constante, evaporando 21 mg/s. Calcule o calor de vaporização do

líquido.

(Pág. 112) Solução.

O calor de vaporização pode ser representado pela razão:

v

L dQ

= dm

A potência dissipada pelo fio Nicromo vale:

v

dQ dQ dm dm

P iV L

dt dm dt dt

= = = × =

Na expressão acima, dm/dt corresponde à taxa de fervura do líquido.

( )( )

( 5, 2 A 12 V

)

1 cal 1 kg

2,9714 10 J/kg 710,188 cal/g

4,184 J 1.000 g 21 10 kg/s

v

L iV dm

dt

−

⎛ ⎞

⎛ ⎞

= = × = " × ⎜ ⎝ × ⎟ ⎠⎝ ⎜ × ⎟ ⎠ = "

710 cal/g L

≈

[Início seção] [Início documento]

55. Uma resistência ligada a uma bateria, é colocada dentro de um cilindro termicamente isolado que possui um pistão ajustado sem atrito e contém um gás ideal. Através da resistência passa uma corrente i = 240 mA. A que velocidade v o pistão deve se deslocar para cima para que a temperatura dos gás permaneça constante? (Veja a Fig. 15.) A resistência vale R = 550 Ω e a massa do pistão é m = 11,8 kg.

(Pág. 112) Solução.

Como a variação de temperatura é zero (ΔT = 0), isto implica em variação de energia interna também igual a zero (ΔE = 0).

De acordo com a Primeira Lei da Termodinâmica:

0 dE = dQ − dW = Logo:

dQ = dW

(1)

dW = pdV = pAdx

Em (1), V é o volume do cilindro, A é a área do êmbolo e x é o deslocamento do êmbolo. Dividindo- se ambos os lados de (1) por dt:

dW dx

P pA

dt = = dt

P = pAv

P P P

v pA mg mg A A

= = = (2)

O calor transferido da resistência para o gás vale:

dQ

P Ri

dt = = (3)

Substituindo-se a Eq. (3) em (2)

2

0, 27367 m/s v Ri

= mg = "

27, 4 cm/s v =

[Início seção] [Início documento]

56. Um aquecedor elétrico de imersão normalmente leva 93,5 min para elevar a temperatura da água fria num recipiente bem isolado até um certo valor. Ao atingir esta temperatura um termostato desliga o aquecedor. Um certo dia a voltagem da rede teve uma queda de 6,20% por causa de uma sobrecarga em um laboratório. Sob estas novas condições quanto tempo levará o aquecedor para levar a água à mesma temperatura? Suponha que a resistência do aquecedor é a mesma nas duas situações.

(Pág. 112) Solução.

Resumo da situação:

Experimento: A B

Tempo t

t = ?

Var. temperatura T

→ T T

→ T

Voltagem V

V = fV

Em ambos os experimentos o aquecedor forneceu a mesma quantidade de calor à água para provocar a mesma variação de temperatura:

A B

Q = Q

Q

= Q P t

= Pt

2 2

0 0

V V

t t

R = R

2 0

0

t V t

V

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

A voltagem final (V) é igual à voltagem inicial (V

) multiplicada pelo fator de atenuação da voltagem da rede (f).

2 0

0 0

t V t

fV

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 2

t t

= f

106, 268 min

t = "

106 min t ≈

[Início seção] [Início documento]

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 29 - AS PROPRIEDADES ELÉTRICAS DOS MATERIAIS

EXERCÍCIOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

[Início documento]

[Início seção] [Início documento]