Simulações Computacionais de Sistemas Complexos

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Outline Aula I Aula II Testes de Números Aleatórios Caminhadas Aleatórias Percola¸cão

Simula¸c˜ oes Computacionais de Sistemas Complexos

Thadeu Penna

Instituto de F´ısica Universidade Federal Fluminense

tjpp@if.uff.br

V Escola do CBPF, 2004

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Aula III

1 Aula I

2 Aula II

3 Testes de Números Aleatórios Integra¸cão

Rejei¸c˜ao

M´etodo da Transforma¸c˜ao

4 Caminhadas Aleat´orias

5 Percola¸c˜ao Defini¸c˜oes Burning

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Aula III

1 Aula I

2 Aula II

Rejei¸c˜ao

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Aula III

1 Aula I

2 Aula II

Rejei¸c˜ao

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Aula III

1 Aula I

2 Aula II

Rejei¸c˜ao

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Aula III

1 Aula I

2 Aula II

Rejei¸c˜ao

5 Percola¸c˜ao

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Tabela Verdade

Opera¸c˜oes Booleanas

AND OR XOR

00 0 0 0

01 0 1 1

10 0 1 1

11 1 1 0

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LCG

Opera¸c˜oes Booleanas

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LCG

Opera¸c˜oes Booleanas Da forma

x(n) = (a∗x(n−1) +b) mod M

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LCG

x(n) = (a∗x(n−1) +b) mod M com valores especiais paraa eM

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LCG

Exemplos: a = 16807 (Park e Muller),65539 (IBM RANDU), 69621,1103515245 eM = 2³¹−1

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LCG

Para 64 bitsa= 13¹³,44485709377909

(13)

LCG

Para 64 bitsa= 13¹³,44485709377909 R´apidos e gastam pouca mem´oria

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Outros Geradores

Recursivos M´ultiplos xn= (a1xn−1+a2xn−2) modm com a₁ = 271828183, a₂= 314159269 em= 2³¹−1.

Kirkpatrick and Stollxn=xn−103⊗xn−250

RANLUX (per´ıodo de 10¹⁷¹)

Tausworthe xn= (s1n⊗s2n⊗s3n), com trˆes n´umeros embaralhados com⊗.

Lagged Fibonacci rn=rn−A⊗rn−B⊗rn−C ⊗rn−D com A= 471,B = 1586,C = 6988,D = 9689.

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Outros Geradores

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Outros Geradores

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Outros Geradores

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Outros Geradores

Lagged Fibonacci rn=rn−A⊗rn−B⊗rn−C ⊗rn−D com

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Integra¸c˜ao Rejei¸c˜ao

M´ etodo de Monte Carlo

(20)

C´ alculo de Pi

(21)

Volume do Torus Cortado

(22)

Rejei¸c˜ ao por von Neumann

(23)

Rejei¸c˜ ao por von Neumann

(24)

M´ etodo da Rejei¸c˜ ao

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M´ etodo da Rejei¸c˜ ao Otimizado

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Defini¸c˜ ao

Transforma¸c˜ao

Sejap(x) a distribui¸c˜ao desejada, com y=P(x) =R

p(x⁰)dx⁰. P⁻¹(y) ´e conhecida.

Sey é aleatório (uniforme), então x=P⁻¹(y) é distribuida segundop(x).

Exemplos: p(x) =e^−x,y =e^−x,x =−ln(y)

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Defini¸c˜ ao

Transforma¸c˜ao

Sejap(x) a distribui¸c˜ao desejada, com y=P(x) =R

p(x⁰)dx⁰. P⁻¹(y) ´e conhecida.

Sey é aleatório (uniforme), então x=P⁻¹(y) é distribuida segundop(x).

Exemplos: p(x) =e^−x,y =e^−x,x =−ln(y)

Prob: Adapte o m´etodo da transforma¸c˜ao para a Lorentziana.

Teste-o.

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Box-Muller

Gerando Gaussianas

z₁ = p

−2 lnx₁cos(2πx₂) z2 = p

−2 lnx1sin(2πx2)

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Box-Muller

Gerando Gaussianas

z₁ = p

−2 lnx₁cos(2πx₂) z2 = p

−2 lnx1sin(2πx2)

Prob: Implemente o método de Box-Muller e compare-o com o método da rejei¸cão (tempo e convergência)

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Caminhada Aleat´ oria

A cada intervalo de tempo, o caminhante d´a um passo de tamanho unit´ario.

4 dire¸c˜oes poss´ıveis: N,S,L,O

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Caminhada Aleat´ oria

Caminhada aleat´oria em duas dimens˜oes

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Caminhada Aleat´ oria

Podemos calcular m´edias em diversas configura¸c˜oes.

Podemos dividir o espa¸co em blocos e verificar a ocupa¸c˜ao.

Difus˜ao de 10 caminhantes

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Caminhada Aleat´ oria

Microesferas de poliestireno em suspens˜ao: 2,1 e 0.5 m´ıcrons.

Sistema Real 10s

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Caminhada Aleat´ oria

Microesferas de poliestireno em suspens˜ao: 2,1 e 0.5 m´ıcrons.

Sistema Real 10s

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Defini¸c˜oes Burning

Percola¸c˜ao RedeL×L

S´ıtios ocupados com probabilidade p

pc: Qual o menor p tal que a informa¸c˜ao percorra a rede ?

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p_c: Qual o menor p tal que a informa¸c˜ao percorra a rede ? Gerando a configura¸c˜ao inicial

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p_c: Qual o menor p tal que a informa¸c˜ao percorra a rede ? Checando a configura¸c˜ao

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Burning

Verdes: nunca queimaram

Vermelhas: est˜ao queimando (s´ıtios ativos) Pretas: queimaram em algum instante anterior Queimar˜ao no passo seguinte

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Burning

Vermelhas: est˜ao queimando (s´ıtios ativos)

Pretas: queimaram em algum instante anterior Queimar˜ao no passo seguinte

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Burning

Vermelhas: est˜ao queimando (s´ıtios ativos) Pretas: queimaram em algum instante anterior

Queimar˜ao no passo seguinte

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Burning

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Burning

Burning em a¸c˜ao

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Burning

Identificando o cluster percolante

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Burning